3.8. Resolução de grelhas hiperestáticas:

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1 3.8. Resolução de grelhas hiperesáias: Esforços inernos e formas de vinulação em grelhas isosáias Chamamos de grelhas as esruuras planas soliiadas por arregameno perpendiular ao plano da esruura. Na figura 11 emos um eemplo de grelha, sem vinulação eerna, no plano, om o arregameno na direção do eio z. z a f d g e Figura 11 Nos asos práios os espaços enre as arras são preenhidas om plaas (lajes) para disriuição de argas. Nese aso, mesmo que oorram esforços horizonais (veno, por eemplo) eses serão asorvidos pelas lajes sem soliiar as arras da grelha. Em uma arra de uma esruura espaial podem eisir 6 ipos de esforços inernos soliianes, onforme india a figura (12.a). No aso de grelhas, pela ausênia de arregameno no plano da esruura, eses esforços, figura (12.), se reduzem a 3: esforço orane, momeno fleor e momeno orçor. 1

2 z M z Mz M (T) M T z Qz Q z Qz N Figura 12.a Figura 12. As equações de equilírio da meânia dos orpos rígidos são em numero de 6: F = 0 F = 0 Fz = 0 (07.a) Mo = 0 Mo = 0 Moz = 0 (07.) No aso de grelhas, pela ausênia de argas horizonais, esas epressões se reduzem a: Fz = 0 Mo = 0 Mo = 0 (08) Pelo fao das equações da meânia forneerem 3 ondições de equilírio, somaória de forças veriais e de momenos em orno de dois eios nulos, uma grelha inernamene isosáia preisa apresenar no mínimo 3 vínulos eernos, que ofereçam as ondições neessárias para o equilírio, para ser onsiderada isosáia. eerna: No aso da grelha da figura 11, poderíamos er as seguines formas de vinulação 2

3 a a a d e d e d e f g f g f g Figura 13.a Figura 13. Figura 13. Na figura (13.a) mosramos uma forma de vinulação om 3 pêndulos. O fao da esruura não poder, aparenemene, resisir a argas horizonais não deve ser levado em ona, pois não onsideramos a eisênia desas argas. Deve-se omar uidado nese aso para que os 3 pêndulos não fiquem alinhados so pena da esruura não er omo reagir a um momeno esáio, resulane do arregameno, em orno do eio formado pelos 3 pêndulos. No segundo aso, figura (13.), emos uma forma de vinulação om um engase oal que fornee as 3 reações de apoio neessárias para o equilírio. No ereiro aso, figura (13.), emos no apoio A um engase parial que permie engasameno em orno de um únio eio, no aso O. Se, pelo onrário, ese engase permiisse engasameno somene em orno do eio Ou, o pendulo do pono E poderia ser desloado para o pono G sem ompromeer a esailidade da esruura, pois o momeno em orno do eio AG seria resisido pelo engase em A. A siuação de engase parial pode ser visualizada na praia em asos de vigas erminando em pilares que apresenam uma dimensão preponderando sore a oura. Nese aso, osuma-se admiir um engase somene em orno do eio de maior inéria do pilar. A figura (14.a) represena em plana a siuação real da figura (13.) e as (14.) e (14.) as siuações reais da figura (13.). 3

4 Pilar Viga Figura 14.a Figura 14. Figura 14. Em alguns asos podemos enonrar vigas erminando de forma esonsa em pilares reangulares. Nese aso, apesar de eisirem na eremidade da viga 3 esforços inernos soliianes, as reações de apoio são 2. Devemos lemrar que o momeno fleor e o momeno orçor na eremidade da viga são dependenes enre si onforme a inlinação da viga em relação ao pilar. O aso é semelhane ao de uma arra inlinada de um pório plano erminando sore um apoio verial. Apesar de eisirem 2 esforços inernos na eremidade da arra, esforços normal e orane, só eise uma reação de apoio. M Mv Tv R N Q Figura 15.a Figura Consideração das deformações por orção: Dos 3 esforços inernos soliianes que oorrem nas arras de uma grelha podemos desprezar as deformações por isalhameno, as deformações por orção devem, 4

5 neessariamene, ser levadas em ona pois geralmene são superiores as deformações por fleão. Se apliarmos a epressão geral do Prinípio dos Traalhos Viruais, epressão 06 do apíulo 2, às grelhas, eremos: M M T T δ = d + d (09) EI GI Por simpliidade, no aso de arras de seção onsane, podemos referir o desloameno ao produo de inéria EI à fleão. EIδ = M M d + k TT d (10) onde k é a relação enre o produo de inéria à fleão e o produo de inéria á orção: EI k = (11) GI Na epressão 11, G é o módulo de elasiidade ransversal dado por: E G = (12) 2 (1 + ν) onde ν é oefiiene de Poisson e I o momeno de inéria a orção. No aso de seções irulares o momeno de inéria a orção é igual ao momeno de inéria polar: I = I p π D = 32 4 Em seções reangulares o mesmo é dado por: h Figura 16 J = α. ³. h (14) 5

6 Onde é sempre o menor lado da seção, não imporando sua posição, e á é variável de aordo om a relação enre os lados: α 4 1 0, h 12h = 4 Se a seção for omposa por reângulos, o momeno de inéria oal pode ser dado pela soma dos momenos de inéria de ada reângulo. 1 2 Figura 17 j = j1+ j2 (15) Em seções vazadas a epressão 15 não pode ser apliada pois o momeno de inéria de seções fehadas é muio maior do que o de seções aeras. Nese aso, deve ser apliada a fórmula de Bred: Seção Média Figura 18 J 4. A² = ds (16) 6

7 Onde A é a área desenvolvida pela seção média e a inegral de linha deve ser omada ao longo do perímero da mesma seção. No aso espeífio de seções reangulares, susiuindo o momeno de inéria a fleão por seu valor já onheido, eremos: 1+ν. h² k = (17) 6. α. ² Origem dos momenos orçores: Em arras de grelhas os momenos orçores podem er duas origens disinas onforme eemplifia a figura 19. a a d ' P P ' = ' d=a ' P Figura 19.a Figura 19. Figura 19. Na figura (19.a) em-se um aso om orção na arra AB. Esa orção oorre devido a eenriidade da arga em C. Se a arra AB não resisisse a orção, o equilírio da esruura esaria ompromeido. Nas figuras (19.) e (19.) em-se um aso diferene de orção. Como os giros a fleão das eremidades BA e CD são diferenes, inlusive em senidos oposos, a arra BC que une as duas eremidades fia sujeia a um momeno orçor. Ese surge enão a fim de se ompaiilizar os giros nas eremidades da arra, e será direamene proporional a sua rigidez a orção. Se a arra BC não possuísse resisênia (rigidez) a orção, o momeno 7

8 orçor amém se anularia. Tudo se passaria, nese aso, omo se a arra BA e CD fossem ariuladas nas eremidades. Mesmo assim a esruura onseguiria se maner em equilírio. Figura 20 O primeiro aso mosra que a rigidez à orção é fundamenal para o equilírio da esruura. A ese aso hamamos de orção de equilírio. O segundo aso mosra que o momeno orçor surge om o ojeivo de se ompaiilizar os giros nas eremidades. Ao se anular as rigidezes a orção das arras os momenos orçores amém se anulam, porém a esruura oninua em equilírio. A ese aso hamamos de orção de ompaiilidade. Eisem asos em que só oorre orção de equilírio, figura 19.a, ouros em que só oorrem orção de ompaiilidade, figura (19.) e asos onde oorrem os dois, figura 21. P As esruuras de onreo armado possuem aiíssima rigidez à orção. Nese asos é omum se desprezá-la oalmene no álulo quando se raa de orção de ompaiilidade. 8

9 EXERCÍCIOS: 05. Oer o diagrama de momenos fleores e orçores na grelha da figura (22.a) uilizando esruura fundamenal da figura (22.). OBS.: Resolver o eeríio primeiramene o oefiiene k igual a 10 e seguir om k endendo a infinio. Noar que o segundo aso os momenos orçores se anulam e o resulado se iguala ao dês ariuladas. 06. Oer mariz de fleiilidade da grelha a seguir: OBS.: No eeríio anerior odas as arras formavam um ângulo reo. A oenção dos esforços na esruura fundamenal era relaivamene simples, pois o momeno fleor em uma eremidade se ransferia para a oura eremidade que onorria no nó omo momeno orçor. No aso agora as arras DE e DB não formam u ângulo reo no nó D. Nese aso os momenos orçor e fleor em DB deverão ser oidos om a ondição de somaória de momenos em orno de dois eios no nó igual a zero. O aso é semelhane ao do equilírio enre esforços normais e oranes no nó de um pório om arras não orogonais. 07. Oer os diagramas finais de momeno fleores e orçores nas grelhas a seguir: 08. Oer para a viga alão em plana aaio, o diagrama de momenos fleores e orçores onsiderando que os pilares permiem um engasameno perfeio em orno do eio de maior inéria. Cargas disriuídas: AB q 1 = 0,57 / m BC q 2 = 0,82 / m CD q 3 = 0,32 / m = 0,15 (onreo) 9