Analogia de Mohr. Viga Análoga.
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- Elias da Fonseca Galvão
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1 nalogia de Mohr analogia de Mohr se baseia no fato ue a euação da linha elástia e a euação do relaionamento entre a arga apliada, a força ortante e o momento fletor possuem a mesma forma. expressão 1 é a euação da linha elástia e a expressão é a relação entre arga apliada, força ortante e Momento fletor. d d M dx dx E Ι d M dv () dx dx y (1) onde é uma arga distribuída em um treho. Desta forma, ao imaginar ue M a relação seja uma arga E Ι y distribuída em um treho de barra, a força ortante em uma seção, oriunda desta arga, nada mais é do ue o ângulo de deflexão nesta seção. Da mesma maneira, o momento fletor em uma seção é igual ã fleha ue nela oorre. d d M dx dx E Ι d M dx dv dx y Univesidade Santa eília a) O diagrama de momentos fletores é feito om sinal invertido. b) força ortante e o momento fletor em uma seção dependem da arga distribuída no treho e das ondições de vínulo om o restante da estrutura. ssim, para ue determinar o ângulo de deflexão e a fleha em uma seção, usando esta analogia é neessário: 1. Determinar o diagrama de momentos fletores para a estrutura.. onsertar o sinal deste diagrama invertendo-º. Tomar ada valor de momento deste diagrama e dividi-lo por E Ι. nalisar as ondições de vínulo da estrutura e determinar o ue será hamado de viga análoga. 5. arregar a viga análoga om o resultado do item. 6. Determinar as reações de apoio nesta viga análoga. 7. Na seção em ue se deseja onheer o ângulo de deflexão e a fleha, determinar a força ortante e o momento fletor. Viga náloga. ara failitar a visualização, tudo o ue se relaionar om a viga análoga terá um asteriso () em sua representação. ue: há de se lembrar, entretanto, rof. José arlos Morilla 1 nalogia de Mohr
2 viga análoga é uma viga ue respeita as ondições de desloamento da viga original. ν Univesidade Santa eília ν Seja por exemplo uma barra prismátia engastada em uma de suas extremidades, omo mostra a figura 1. S figura ondições de desloamento nas extremidades e nos pontos de apoio de uma barra engastada. S o se tomar a relação da analogia, se enontra: figura 1 arra engastada na extremidade direita. Quando são analisadas as possibilidades de desloamento, das extremidades da barra e dos pontos de apoio, se observa ue Na seção (extremidade da direita) pode existir ualuer ue seja o desloamento (flehas e ângulo de deflexão) Na seção (extremidade da esuerda) não existe ualuer tipo de desloamento, ou seja, independente da arga apliada a fleha e o ângulo de deflexão são iguais a zero. viga análoga deve garantir ue estes desloamentos oorram (ou não possam oorrer). Viga eal Viga náloga V v M V v M Desta maneira, a viga análoga deve ser apoiada de maneira a garantir as forças ortantes e os momentos fletores nas seções e da viga análoga. fia: V M Desta forma, a viga análoga S V M ssim, lembrando ue: Viga eal Viga náloga V v M barra da figura 1 fia: figura viga análoga para a barra da figura Importante observar ue na viga análoga, em relação ã viga real é ue existe apenas a mudança na forma de apoio. s posições das seções ontinuam as mesmas. rof. José arlos Morilla nalogia de Mohr
3 figura mostra algumas vigas análogas para barras: Univesidade Santa eília Viga eal Viga náloga x x arga distribuída ue será apliada na viga análoga é: L b a figura Exemplos de vigas análogas Outro fato importante de se notar é ue, aso uma viga real seja apoiada da maneira ue a representada por uma das análogas da figura, a viga análoga para esta será apoiada da forma ue a real desta, aui representada. Exemplo 1 Determinar a fleha e o ângulo de deflexão na extremidade livre da barra uando se sabe ue E e I são onstantes. L b a /EI viga análoga arregada om a arga distribuída da figura anterior fia: /EI ssim, o ângulo de deflexão e a fleha na seção (extremidade livre da barra real) fiam: 1 V l EΙ EΙ () M 1 l l EΙ O diagrama de momentos fletores para esta barra fia: EΙ () rof. José arlos Morilla nalogia de Mohr
4 Exemplo Determinar a fleha e o ângulo de deflexão na seção ue se enontra na metade do omprimento da barra uando se sabe ue E e I são onstantes. Univesidade Santa eília s reações de apoio para esta situação fiam: 8E Ι l 8EΙ l s reações de apoio são: EΙ l / / ssim, o ângulo de deflexão e a fleha na seção ue se enontra na metade do omprimento da barra fiam: 8E Ι om estas reações, O diagrama de momentos fletores fia: / / 8 viga análoga arregada fia: 8EΙ V V l 8EΙ l EΙ 8EΙ (5) V M l l l 8E Ι 8 rof. José arlos Morilla nalogia de Mohr
5 M l l l E 8E Ι Ι 8 v Univesidade Santa eília 1 l EΙ M 5 8EΙ (6) 6EΙ (7) Exemplo Determinar a fleha e o ângulo de deflexão na extremidade livre da barra uando se sabe ue E e I são onstantes. O diagrama de momentos fletores para esta barra fia: M 6EΙ EΙ (8) Exemplo Determinar a fleha e o ângulo de deflexão na seção ue se enontra na metade do omprimento da barra uando se sabe ue E e I são onstantes. l / / viga análoga arregada fia: s reações de apoio são: EΙ ssim, o ângulo de deflexão e a fleha na seção (extremidade livre da barra real) fiam: / / / / om estas reações, o diagrama de momentos fletores fia: rof. José arlos Morilla 5 nalogia de Mohr
6 Univesidade Santa eília EΙ viga análoga arregada fia: / V 1 l EΙ EΙ V 1 l 16EΙ EΙ (9) V s reações de apoio para esta situação fiam: M l 1 l 1 l EΙ EΙ M l 1 l l 16EΙ EΙ 6 M 8EΙ (1) 1 l EΙ l 16EΙ l ssim, o ângulo de deflexão e a fleha na seção ue se enontra na metade do omprimento da barra fiam: Exeríios Usando a analogia de Mohr, determinar a fleha na seção S indiada na figura, uando se sabe ue EI são onstantes e valem: E Ga I x1 7 mm rof. José arlos Morilla 6 nalogia de Mohr
7 5kN/m 1kN Univesidade Santa eília m m S ϑ 5,kNm EΙ kn/m 5kN m S m 19kNm ϑ EΙ S 5N 1,5kN/m,75m,15m ϑ S,kNm EΙ rof. José arlos Morilla 7 nalogia de Mohr
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