PARTE 12 DERIVADAS DIRECIONAIS

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1 PARTE DERIVADAS DIRECIONAIS. Inrodução Dada uma função f : Dom(f) R n R X = (x, x,..., x n ) f(x) = f(x, x,..., x n ), vimos que a derivada parcial de f com respeio à variável x i no pono X 0, (X 0 ), x i fornece a axa de variação da função f em relação à variação da variável x i no pono X 0. Desa forma, podemos inerprear que x i (X 0 ) fornece a axa de variação da função f numa deerminada direção, que é uma direção coordenada. Para ober a axa de variação da função numa direção arbirária, uilizamos a derivada direcional.. Derivadas Direcionais DEFINIÇÃO..: Seja f : Dom(f) R n R uma função real de várias variáveis e seja u um veor uniário em R n. A derivada direcional de f no pono X 0 na direção do veor u, denoada por, é a função real definida por (X f(x 0 + u) f(x 0 ) 0). 0 O domínio de é o subconjuno de Dom(f) para o qual o ie acima exise. A derivada direcional (X 0) denomina-se, ambém, axa de variação de f no pono X 0 na direção do veor u. Observe que (X 0) f(x 0 + u) f(x 0 ), sendo que esa aproximação é ano melhor quano menor for. 85

2 Cálculo B - Noas de Aula (em consrução) - Prof a Denise Exemplo..: Seja f(x, y) = x + y. Calcule (, ), onde u é o versor (veor uniário correspondene) dos veores dados abaixo. a) v = (, ) b) v = (, ) c) v = (, ) Solução: Vamos rabalhar com o veor uniário arbirário u = (a, b) e calcular (, ) e depois subisiuir em cada caso acima. f((, ) + (a, b)) f(, ) (, ) 0 0 ( + a) + ( + b) 0 a + a + b + b No caso (a), emos que u = No caso (b), emos que u = (, ), de modo que 0 f( + a, + b) f(, ) 0 + a + a + b + b 0 a + a + b + b = a + b. (, ) = + = 0. ( 5, Finalmene, no caso (c), emos que u = 5 ), de modo que (, ) = + = (, ), de modo que (, ) = + = 4..3 Inerpreação Geomérica Seja f a função f : Dom(f) R R X = (x, y) f(x, y) e sejam (x 0, y 0 ) A(abero) Dom(f) e u o veor u = (a, b). Como (x 0, y 0 ) perence a um abero conido no domíno de f, emos que exise δ > 0, al que (x 0 +a, y 0 +b) A(abero) Dom(f), [ δ, δ]. Considere enão a curva C paramerizada pela função γ dada por γ() = (x 0 + a, y 0 + b, g()), [ δ, δ],

3 Cálculo B - Noas de Aula (em consrução) - Prof a Denise onde g() = f(x 0 + a, y 0 + b). Observe que, consruida desa forma, C é uma curva conida no gráfico da função f, dada pela inerseção do gráfico da função f com o plano que coném o veor u = (x 0 + a, y 0 + b) e é paralelo ao eixo z. Observe que γ () = (a, b, g ()), ( δ, δ), de modo que Desa forma, como emos que γ (0) = (a, b, g (0)). g (0) = g() g(0) 0 = f(x 0 + a, y 0 + b) f(x 0, y 0 ) 0 = (x 0, y 0 ), γ (0) = ( a, b, = (a, b, 0) + ) (x 0, y 0 ) ( 0, 0, (x 0, y 0 ) ). Como u = (a, b) é um veor uniário, emos que (x 0, y 0 ) = an α, onde α é o ângulo formado pelos veores γ (0) e (a, b, 0), o qual fornece a inclinação da rea angene à curva C no pono γ(0) = (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). Temos porano que (x 0, y 0 ) fornece o coeficiene angular da rea angene à curva C dada pela inerseção do gráfico da função f com o plano que coném o veor u = (x 0 + a, y 0 + b) e é paralelo ao eixo z, no pono (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). Observe que se u = (, 0), emos que e que se u = (0, ), emos que (x 0, y 0 ) = x (x 0, y 0 ) (x 0, y 0 ) = y (x 0, y 0 )..4 Derivada Direcional e Veor Gradiene

4 Cálculo B - Noas de Aula (em consrução) - Prof a Denise Exise um conexão enre derivada direcional e veor gradiene, no caso da função ser diferenciável. Confira o eorema a seguir. TEOREMA.4.: Se f : Dom(f) R n X 0 A(Abero) Dom(f), enão para odo veor uniário u em R n. (X 0) = f(x 0 ) u, R é uma função diferenciável em Demonsração: emos que Como f é diferenciável em X 0, emos que onde (.) é o produo maricial, ou (X f(x 0 + u) f(x 0 ) 0). 0 f(x 0 + H) = f(x 0 ) + f (X 0 ).H + erro(h), f(x 0 + H) = f(x 0 ) + f(x 0 ) H + erro(h) onde ( ) é o produo escalar e erro(h) é al que erro(h) H 0 H Porano, se f é diferenciável em X 0, fazendo H = u, e observando que H = u =, pois u é uniário, emos que onde, que equivale a = 0. f(x 0 + u) = f(x 0 ) + f(x 0 ) u + erro( u), () erro( u) 0 = 0, erro( u). () 0 Desa forma, uilizando () na definição de derivada direcional, emos que (X f(x 0 + u) f(x 0 ) 0) 0 f(x 0 ) + f(x 0 ) u + erro( u) f(x 0 ) 0 f(x 0 ) u + erro( u) 0 ( f(x 0 ) u + erro( u) ) 0 (3)

5 Cálculo B - Noas de Aula (em consrução) - Prof a Denise Porano, subsiuindo () em (3), concluimos que (X 0) = f(x 0 ) u. Exemplo.4.: Refaça o Exemplo... É imporane ressalar que a diferenciabilidade da função f no pono X 0 é essencial para valer a fórmula (X 0) = f(x 0 ) u, conforme pode ser viso no exemplo a seguir. Exemplo.4.: Seja y 3 ; (x, y) (0, 0) f(x, y) = x + y. 0; (x, y) = (0, 0) Calcule (0, 0), onde u = (a, b) é um veor uniário dado e verifique que (0, 0) f(0, 0) u. Solução: Temos pela definição de derivada direcional, que f(0 + a, 0 + b) f(0, 0) (0, 0) 0 0 b 3 3 a + b b 3 0 a + b = b3, pois, como u = (a, b) é um veor uniário, emos que u = a + b =. Lembre-se que no Exemplo 7.4. verificamos que f(0, 0) = (0, ). Desa forma, emos que, de fao, f(0, 0) u = (0, ) (a, b) = b b 3 = (0, 0). Lembre-se que no Exemplo 7.4. ambém verificamos que f é conínua na origem, mas não é diferenciável em (0,0).

6 Cálculo B - Noas de Aula (em consrução) - Prof a Denise Observação.4.: O Exemplo.4. acima mosra ainda que uma função f pode ser conínua em um pono, possuir derivadas direcionais nese pono em odas as direções e, mesmo assim, não se diferenciável nese pono. Uilizando o Teorema.4., podemos deerminar em que direção a derivada direcional é máxima, e qual é o seu valor máximo. TEOREMA.4.: Se f : Dom(f) R n R é uma função diferenciável em X 0 A(Abero) Dom(f), al que f(x 0 ) 0, enão o valor máximo da derivada direcional de f, no pono X 0, ocorre quando u = f(x 0) e, nese caso, ese valor f(x 0 ) máximo é dado por f(x 0 ). Exemplo.4.3: Seja f(x, y) = x y. a) Deermine u, de modo que (, ) seja máxima. b) Qual é o valor máximo de (, ). c) Esando-se no pono (, ), que direção e senido devemos omar para que f cresça mais rapidamene? d) Esando-se no pono (, ), que direção e senido devemos omar para que f decresça mais rapidamene? Solução: a) De acordo com o eorema acima, emos que o veor u, al que (, ) é máxima é o veor dado por f(, ) u = f(, ). Como segue que de modo que o veor u pedido é o veor u = f(x, y) = (xy, x ), f(, ) = (, ), ( ) f(, ) f(, ) = + (, ) = 5,. 5

7 Cálculo B - Noas de Aula (em consrução) - Prof a Denise 0. 9 b) Novamene, de acordo com o eorema acima, emos que o valor máximo de (, ), f(, ) que é obido quando u =, é dado por f(, ). Porano, o valor máximo f(, ) de (, ) é igual a 5. c) Esando-se no pono (, ), a direção e senido que devemos omar( para que f cresça f(, ) mais rapidamene é a direção e senido do veor u = f(, ) = 5, ). 5 d) Esando-se no pono (, ), a direção e senido que devemos omar para ( que f decresça mais rapidamene é a direção e senido do veor u = f(, ) f(, ) =, ). 5 5