Formas Quadráticas e Cônicas

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1 Formas Quadráicas e Cônicas Sela Zumerle Soares Anônio Carlos Nogueira Resumo Faculdade de Maemáica, UFU, MG Nesse rabalho preendemos apresenar alguns resulados da álgebra linear. Nosso objeivo é exibir os conceios de ormas bilineares e ormas quadráicas. Além disso, aremos a classiicação das cônicas no plano. - Formas Bilineares Deinição. - Seja V um espaço veorial sobre o corpo F. Uma orma bilinear sobre V é uma unção, que associa a cada par ordenado de veores α, β em V, um escalar ( α, β ) em F, e que saisaz ( cα + α, β) = c( α, β) + ( α, β). ( α, cβ+ β) = c( αβ, ) + ( αβ, ) A unção nula de V V é ambém uma orma bilinear. Além disso, oda combinação linear de ormas bilineares sobre V é uma orma bilinear. Assim, o conjuno das ormas bilineares sobre V é um subespaço veorial do espaço das unções de V V em F. Exemplo. Seja V um espaço veorial sobre o corpo F e sejam L e L uncionais lineares sobre V. Deinamos por ( α, β) = L ( α) L ( β). Fixando β e considerando como uma unção de α, enão emos simplesmene um múliplo escalar do uncional linear. L Com α ixo, é um múliplo escalar de. L Assim, é evidene que é uma orma bilinear sobre V. Deinição. Seja V um espaço veorial de dimensão inia e seja β = { α, L, α n } uma base ordenada de V. Se é uma orma bilinear sobre V, a mariz de em relação à base Bolsisa do PET -Maemáica da Universidade Federal de Uberlândia Docene da Faculdade de Maemáica da Universidade Federal de Uberlândia

2 ordenada β é a mariz n n A com elemenos A = ( α, α ). Às vezes indicaremos esa mariz por [ ]. β ij i j Teorema. Seja V um espaço veorial de dimensão inia sobre o corpo F. Para cada base ordenada β de V, a unção que associa a cada orma bilinear sobre V sua mariz em relação à base ordenada β é um isomorismo do espaço L( VVF,, ) no espaço das marizes n n sobre o corpo F. Demonsração: Observamos aneriormene que [ ] é uma correspondência bijeora enre os conjunos das ormas bilineares sobre V e o conjuno de odas as marizes n n sobre F. E isso é uma ransormação linear, pois β ( c + g )( αi, α j) = c ( αi, α j) + g ( αi, α j) Para odos i e j. Iso diz simplesmene que [ c g] c[ ] [ g] + = +. β β β * Corolário Se β = { α L α } é uma base ordenada de V e { L L },, n * de V, enão as n ormas bilineares ( α, β) ( α) ( ) = L L β, i n, j n ij i j β =,, L n é a base dual ormam uma base do espaço L( VVF,, ). Em paricular, a dimensão de L( VVF,, ) é n.,, n Li α é a i-ésima coordenada de α em relação à base ordenada β (para odo α em V ). Ora, as unções Demonsração: A base dual { L L L } é deinida essencialmene pelo ao de que ( ) ij deinidas por ( α, β) = ( α) ( β ) L L ij i j são ormas bilineares do ipo considerado no exemplo. Se enão α = xα+ L + xnαn e β = yα+ L + ynαn, (, ) αβ = xy. ij i j Seja uma orma arbirária sobre V e seja A a mariz de em relação à base ordenada β. Enão

3 ( ) αβ =, Axy ij i j i, j o que diz simplesmene que Agora é evidene que as n ormas i, j ij ij (, ) = A α β. ij ormam uma base de L( VVF,, ). Oura maneira de demonsrar o corolário:, A mariz da orma bilinear ij em relação à base ordenada β é a mariz uniária E i j, i, j cujo único elemeno não-nulo é um na linha i e coluna j. Como esas marizes E consiuem uma base do espaço das marizes n n, as ormas ij consiuem uma base do espaço das ormas bilineares. Deinição.3 Uma orma bilinear sobre um espaço veorial V é dia não-degenerada (ou não-singular) se sua mariz em relação a alguma (oda) base ordenada de V é uma mariz não-singular, ou seja, se Poso( ) = n.. - Formas Bilineares Siméricas e Formas Quadráicas Nesa seção descreveremos um ipo especial de orma bilinear, as chamadas ormas bilineares siméricas. Deinição.4 - Seja uma orma bilinear sobre o espaço veorial V. Dizemos que é simérica se ( α, β) = ( β, α), para quaisquer veores α, β em V. Se V é de dimensão inia, a orma bilinear é simérica se, e somene se, sua mariz A em relação a alguma ou (oda) base ordenada é simérica, iso é, A= A. Para ver iso, pergunamos quando é que a orma bilinear ( XY, ) = XAY é simérica. Iso aconece se, e somene se, X AY = Y AX para odas marizes-colunas X e Y. Como X AY é uma mariz, emos X AY = Y A X. Assim, é simérica se, e somene se, YAX = YAX para odas XY,. Evidenemene, iso signiica apenas que A= A. Em paricular, deve-se noar que se exisir uma base ordenada de V em relação à qual seja represenada por uma mariz diagonal, enão é simérica, pois qualquer mariz diagonal é uma mariz simérica.

4 Se é uma orma bilinear simérica, a orma quadráica associada a é a unção V em F deinida por q de q( α) = ( αα, ). Se F é um subcorpo do corpo dos números complexos, a orma bilinear simérica é compleamene deerminada por sua orma quadráica associada, de acordo com a seguine idenidade, conhecida por idenidade de polarização: Demonsração: ( α, β) = q( α + β) q( α β). 4 4 Temos que: q( α + β ) = ( α + β, α + β) = ( α + β, α) + ( α + β, β) = ( αα, ) + ( βα, ) + ( αβ, ) + ( ββ, ) = ( αα, ) + ( αβ, ) + ( ββ, ) = q( α ) + ( α, β) + q( β). () Temos ambém que: q( α β ) = ( α β, α β) = ( α β, α) ( α β, β) = ( α, α) ( β, α) ( α, β) + ( β, β) = ( αα, ) ( αβ, ) + ( ββ, ) = q( α ) ( α, β) + q( β). () Fazendo () (), obemos: q( α + β) q( α β) = q( α) + ( αβ, ) + q( β) q( α) + ( αβ, ) q( β) = 4 ( αβ, )

5 E enão, ( α, β) = ( q( α + β) q( α β )) 4 ( α, β) = q( α + β) q( α β)). (3) 4 4 Observe que, azendo ()+(), obemos a idenidade do paralelogramo q( α + β) + q( α β) = ( q( α) + q( β)). (4) Uma classe imporane de ormas bilineares siméricas consise dos produos inernos sobre espaços veoriais reais. Se V é um espaço veorial real, um produo inerno sobre V é um a orma bilinear simérica sobre V que saisaz ( α, α ) > 0, se α 0. (5) Se é uma orma bilinear dada pelo produo escalar, enão a orma quadráica associada é qx (, x, L, x) = x + x + L + x. n n Em ouras palavras, q( α) é o quadrado do comprimeno de α. Para a orma bilinear ( XY, ) = XAY, a orma quadráica associada é A q ( X) X AX A xx = =. A ij i j i, j Uma orma bilinear que saisaz a equação (5) é dia posiiva deinida. Assim, um produo inerno sobre um espaço veorial real é uma orma bilinear simérica posiiva deinida sobre aquele espaço. Noe que, um produo inerno é não degenerado. ( ) ( ) = ( ) oma apenas valores não-negaivos e ( ) Dois veores α, β são dios orogonais em relação ao produo inerno se orma quadráica q α αα, considerado como o quadrado do comprimeno de α. αβ, = 0. A q α é usualmene Observe que se é uma orma bilinear simérica sobre um espaço veorial V, é conveniene dizer que α e β são orogonais em relação à se ( αβ, ) = 0. Mas não é aconselhável considerar ( α, α ) como sendo o quadrado do comprimeno de α. Por exemplo, se V é

6 um espaço veorial complexo, podemos er ( ) ( αα, ) =. αα, = = i, ou num espaço veorial real Teorema. Seja V um espaço veorial de dimensão inia sobre um corpo de caracerísica zero, e seja uma orma bilinear simérica sobre V. Enão, exise uma base ordenada de V em relação à qual é represenada por uma mariz diagonal. Demonsração: O que precisamos enconrar é uma base ordenada α α = 0 para i j, ou seja al que ( i, j) { } β = α, α, L, αn K 0 * K 0 M O M = M O M 0 0 * L nn L Se = 0 ou n =, o eorema é verdadeiro, pois a mariz é uma mariz diagonal. Assim, podemos supor 0 e. Se n > (, ) αα = 0 para odo α em V, a orma quadráica q é idenicamene 0 e a idenidade de polarização mosra que = 0, pois ( α, α) = q( α + α) q( α α ). 4 4 αα, = q α 0. Assim, exise um veor α em V al que ( ) ( ) Seja W o subespaço unidimensional de V que é gerado por α e seja W ( W orogonal) o conjuno de veores αβ, = 0. Airmamos agora, que V = W W. β em V ais que ( ) Ceramene os subespaços W e W são independenes. Um veor ípico em W é cα, onde c é um escalar. Se cα esá, ambém, em W, enão cα, cα = c α, α = 0. ( ) ( ) ( ) Mas, αα, 0, logo c = 0. Além disso, odo veor em V é a soma de um veor em W e um em W. De ao, seja γ um veor arbirário em V e coloquemos: Enão ( γα, ) ( αα, ) β = γ α. ( γα, ) ( αα, ) ( α, β) = ( α, γ) ( α, α )

7 E como é simérica, (, ) Porano, β esá no subespaço W nos mosra que V = W W. αβ = 0, (pois é diagonal e α β ).. A expressão ( γα, ) ( αα, ) γ = α + β A resrição de a W é uma orma bilinear simérica sobre W. Como W em dimensão ( n ) (pois W em dim = ), podemos supor, por indução, que W possua uma base { α L α },, n al que Colocando α α ( i, j) α α 0 =, obemos uma base { α α } =, i j( i, j ) L de V al que ( i, j),, n α α = 0 para i j. Obs: Em ermos das coordenadas dos veores α = xα + xα + L + xnαn e β = y α + y α + L + y α relaivamene à base { α,, L αn} do eorema. a orma n n bilinear se expressa como ( αβ), λixy i i =. Em paricular, a orma quadráica q associada a é dada por uma combinação linear de quadrados: q α = λ x + λ x + L + λ x. Os escalares λ, λ, L, λn ( ) n n são os auovalores da mariz da orma bilinear.. Formas Quadráicas no plano De acordo com o eorema, uma orma quadráica no plano pode ser represenada por uma a c mariz simérica A =. Iso é eio da seguine maneira: a mariz simérica real c b a c A = associa ao veor vs = ( x, y) R, reerido à base canônica S = { e, e}, c b ( e = (, 0) e e = (0,) ), o polinômio ax + bxy + cy que é um polinômio homogêneo do º grau em x e y chamado orma quadráica no plano. Na orma maricial, ese polinômio é represenado por:

8 vav s s a c x = ( x y) c b y, sendo a mariz simérica A a mariz da orma quadráica. Assim, a cada veor vs corresponde um número real: p ax bxy cy = Redução da Forma Quadráica à Forma Canônica. A orma quadráica no plano orma: vav pode ser reduzida aravés de mudanças de coordenadas à s s λ x ' + λ y ' onde λ e λ são os auovalores da mariz A, e x ' e y ' as componenes do veor v na base P = { u, u}, iso é, v = ( x', y'), sendo u e u os auoveores associados a λ e λ. p Demonsração: Temos que a mariz P é a mariz mudança de base de P para S, pois: E, porano: P [ ] I = S P = IP = P S v s = Pv p logo, ( ) ( ) vav Pv A Pv s s = p p ou, Como P diagonaliza A orogonalmene ( ) vav = v PAPv. S S P P

9 PAP λ 0 ; = D= 0 λ conclui-se que, vav = vdv, S S P P ou, a c x λ 0 x' = c b y 0 λ y' ( x y) ( x' y' ) ou ainda, ax bxy cy λ x λ y + + = ' + '. A orma λ x ' + λy ' é denominada orma canônica da orma quadráica no plano, ou ambém, orma quadráica diagonalizada. O que na verdade acabamos de azer oi uma mudança de base ou uma mudança de reerencial. Essa mudança de reerencial corresponde a uma roação de um ângulo θ do sisema xoy aé o sisema x' Oy '. A mariz responsável por essa roação é a mariz orogonal colunas são os auoveores e u de A. u P, cujas 3 Cônicas. Chama-se cônica a odo conjuno de ponos M do plano cujas coordenadas x e relação à base canônica, saisazem a equação do º grau: y, em ax bxy cy dx ey = 0 onde abc,, não são odos nulos. 3.- Equação reduzida de uma Cônica. Dada a cônica C de equação

10 ax bxy cy dx ey = 0 (6) queremos, aravés de mudanças de coordenadas, reduzí-la a uma equação de uma orma mais simples, chamada equação reduzida da cônica. Para iso seguimos as seguines eapas. ª eapa: Eliminação do ermo em xy : º passo: escrever a equação na orma maricial ou, a c x x c b y y ( x y) + ( d e) + = 0 vav + Nv + = 0. s s s (7) º passo: calcular os auovalores λ e λ e os auoveores uniários u = ( x, x ) da mariz simérica A. u = ( x, x ) e 3º passo: subsiuir na equação (7) a orma quadráica: a c x vav s s = ( x y) c b y pela orma canônica P ( ' ') λ 0 x', e P = 0 λ y ' vdv x y v s x = y por x x x ' PvP = x x y ' endo o cuidado para que de ( P ) =, a im de que essa ransormação seja uma roação. Assim, a equação (7) se ransorma em: ou, λ 0 x' x x x' x y + d e + = ( ) ( ) ' ' 0 0 λ y' x x y' λ x ' + λ y ' + px ' + qy ' + =0 (8) que é a equação da cônica dada em (7), porém reerida ao sisema deerminados pela base P = { u, u }. x ' Oy ', cujos eixos são Observe que enquano a equação (7) apresena o ermo miso xy, a equação (8) é desprovida dele.

11 Porano da equação (7) para a (8) ocorreu uma simpliicação. ª eapa: Translação de eixos: Conhecida a equação da cônica λ x ' + λ y ' + px ' + qy ' + =0. (9) Para se ober a equação reduzida eeua-se uma nova mudança de coordenadas, que consise na ranslação do úlimo reerencial x ' Oy ' para o novo, o qual denominaremos xo' y. A seguir é eia a análise das duas possibilidades: (I) Supondo λ e λ dierenes de zero, podemos escrever: p q λ x' + x' + λ y' + y' + = 0 λ λ ' p ' p ' q ' q p q λ x + x + + λ y + y + + = 0 λ 4λ λ 4λ 4λ 4λ Fazendo: ' p ' q p q λ x + + λ y + + = 0. λ λ 4λ 4λ p q F 4λ 4λ = e por meio das órmulas de ranslação: X p = x' + e λ Y = y' + q λ vem, λ X + λy F = 0 X λ Y F. λ + = (0) A equação (0) é a equação reduzida de uma cônica de cenro, e como se vê, o º membro é a orma canônica da orma quadráica do plano. (II) Se um dos auovalores or igual a zero, λ = 0, por exemplo, a equação (9) ica:

12 λ y + px + qy + = 0 ' ' ' ou seja, Fazendo, por meio de uma ranslação: q λ y' + y' + px' + =0 λ q q q λ y' + y' + px' + + = 0 λ 4λ 4λ λ y' + q + p x' + q λ p 4pλ = 0. X = q x' + p 4 pλ e Y = y' + q λ vem, λ + =. () Y px 0 A equação () é a equação reduzida de uma cônica sem cenro. Se λ = 0, a equação (9) ica: λ x + px + qy + = 0 ' ' ' p λ x' + x' + qy' + =0 λ p p p λ x' + x' + qy' + + = 0 λ 4λ 4λ Fazendo por meio de uma ranslação: λ x' + p + q y' + p λ q 4qλ = 0. vem, Y = p y' + p 4qλ e X = x' + p λ

13 λ + =. X qy Classiicação das Cônicas. I) A equação reduzida de uma cônica de cenro é: λ X + λ Y = F. Se λ e λ orem de mesmo sinal, a cônica será do gênero elipse. Se λ e λ orem de sinais conrários, a cônica será do gênero hipérbole. II) A equação de uma cônica sem cenro é: λ + = ou Y px 0 λ + =. X qy 0 Uma cônica represenada por qualquer uma dessas equações é do gênero parábola. É usada a mesma classiicação para as ormas quadráicas. Exemplo 3.: a) Para a cônica de equação = 0, a mariz A é dada x y xy 7 x 5 y 0 por A = e seus auovalores são λ = 3 e λ =. Porano, pela classiicação de cônicas, como os sinais dos auovalores são iguais, a cônica em quesão é uma elipse.

14 b) Para a cônica de equação x + xy+ y 8x+ 4 = 0, a mariz A é dada por A = e como um de seus auovalores é nulo, concluímos que esa cônica é uma parábola. c) A equação 4x 3y + 4xy 56 = 0, represena uma hipérbole, pois a mariz 4 A = apresena auovalores de sinais oposos ( λ = e λ = 3) Reerências bibliográicas [] HOOFMAN, K. & KUNZE, R. Álgebra Linear. São Paulo: Polígono, Ediora da Universidade de São Paulo,97.

15 [] GREUB, W. Linear Algebra. 4ª ed. Nova York: Springer-Verlag, 974. [3] STEINBRUCH, A. & WINTERLE, P. Álgebra Linear. ª ed. São Paulo: Makron Books, 987. [4] LIMA, E. L. Álgebra Linear. ª ed. Insiuo de Maemáica Pura e Aplicada, 996 (Coleção Maemáica Universiária).

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