Modelos Matemáticos e Equações Diferenciais Ordinárias.

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1 Universidade Esadual Paulisa Júlio de Mesquia Filho Insiuo de Geociências e Ciências Exaas Campus de Rio Claro Modelos Maemáicos e Equações Diferenciais Ordinárias. Rogério Piva Disseração apresenada ao Programa de Pós- Graduação Mesrado Prossional em Maemáica em Rede Nacional-PROFMAT como requisio parcial para a obenção do grau de Mesre Orienadora Profa. Dra. Mara Cilene Gadoi 2016

2 P693m Piva, Rogério Modelos Maemáicos e Equações Diferenciais Ordinárias./ Rogério Piva- Rio Claro: [s.n.], f.:g. Disseração (mesrado) - Universidade Esadual Paulisa, Insiuo de Geociências e Ciências Exaas. Orienadora: Mara Cilene Gadoi 1. Exisência e Unicidade de Solução. 2. Sisemas Lineares. 3. Esabilidade. 4. Modelos de 1ª e 2ª Ordem. 5. Cálculo para Ensino Médio. I. Tíulo Ficha Caalográca elaborada pela STATI - Biblioeca da UNESP Campus de Rio Claro/SP

3 ermo de aprovação Rogério Piva Modelos Maemáicos e Equações Diferenciais Ordinárias. Disseração aprovada como requisio parcial para a obenção do grau de Mesre no Curso de Pós-Graduação Mesrado Prossional em Maemáica Universiária do Insiuo de Geociências e Ciências Exaas da Universidade Esadual Paulisa Júlio de Mesquia Filho, pela seguine banca examinadora: Profa. Dra. Mara Cilene Gadoi Orienadora Prof(a). Dr(a). Carina Alves IGCE/UNESP/Rio Claro(SP) Prof. Dr. Wladimir Seixas CCTS/UFSCar/Sorocoba(SP) Rio Claro, 15 de Dezembro de 2016

4 Ao meu pai.

5 Agradecimenos A minha mãe Tianinha, quem eu amo e admiro. Aos meus amigos do mesrado: a Juliana, a Tássia, o Luiz Rodrigo e a Gabriela. Aos professores do Insiuo de Maemáica: a Marinha, o Jamil, a Renaa, o Thiago, a Suzy, a Alice e o Rawlilson. Aos moniores de sala: o Vior Simões e o Renanda. Aos funcionários do Insiuo de Maemáica, do R.U. e da biblioeca. A quem me apresenou o PROFMAT: o Pedro Braga. Ao Deparameno de Maemáica da Unesp de Rio Claro, pela iniciaiva desaadora de promover o PROFMAT no campus de Rio Claro. Graidão por udo.

6 O verdadeiro discípulo é aquele que supera o mesre. Arisóeles.

7 Resumo As equações diferenciais ordinárias consiuem ferramena imporane na modelagem de alguns problemas, sejam físicos, ecológicos, econômicos, ec. Nese rabalho são apresenados os resulados clássicos de equações diferenciais ordinárias, são realizadas algumas aplicações e nalmene é apresenada na proposa didáica para o ensino médio em como a derivada de uma função pode ser calculada de uma forma inuiiva. Palavras-chave: Exisência e Unicidade de Solução, Sisemas Lineares, Esabilidade, Modelos de 1ª e 2ª Ordem, Cálculo para Ensino Médio.

8 Absrac The ordinary dierenial equaions are an imporan ool in he modeling of some problems, wheher of physical, ecological or ecnonomical naure. In his work he classical resuls of ordinary dierenial equaions are presened. Some of hem are made and a he end here is a didacic proposal o nd a derivae funcion in a inuiive way for high school sudens. Keywords: Exisence and Uniqueness of Soluion, Linear Sysems, Sabiliy, 1s and 2nd Order Models, Calculus for High School.

9 Lisa de Figuras 1.1 Para I [ 0 a, 0 + a] e I [ 0 b M, 0 + b M ] (a) Solução de equilíbrio y 0 esável (b) Solução de equilíbrio y 0 assinoicamene esável Modelos malhuseanos de crescimeno populacional Curva logísica conforme modelo de Verhuls Sisema massa e mola Relação enre δ e c 1 e c Gráco de y() = R cos (ω 0 δ) Gráco de y() = Re c 2m cos (ω 0 δ) Órbia do sisema das equações (4.12) e (4.13) Órbias do sisema por (4.12) e (4.13) Obenção da rea angene Esudo da função quadráica f(x) = x Rea angene Relação enre o comporameno de f(x) = x 2 com o sinal de f (x) = 2x Recipienes de mesma capacidade e alura H Gráco da alura do nível da água dos recipienes da Figura 5.5 em função do empo Esudo de y i Core meridional no recipiene (b) Tabela de População de habianes de Arur Nogueira Tabela auxiliar para relacionar n com o ano correspondene Gráco e ponos obidos aravés do sofware MATLAB

10 Sumário 1 Equações Diferenciais Ordinárias Breve Inrodução às Equações Diferenciais Classicando as Equações Diferenciais Ordinárias Soluções para EDO's Problema de Valor Inicial Exisência e Unicidade de Solução de EDO de Primeira Ordem Ieradas de Picard Prova dos Resulados Sisemas de Equações Diferenciais Sisemas Homogêneos e Não Homogêneos Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes Exponencial Maricial O Méodo dos Auovalores e dos Auoveores para deerminar Soluções Sisemas Lineares Não Homogêneos Esudo de Esabilidade Ponos de Equilíbrio Sisemas Lineares Aplicações Dinâmica Populacional: Malhus e Verhuls Sisema Massa e Mola: Um Modelo de 2ª Ordem Vibrações Livres Vibrações Livres Amorecidas Presa e Predador: Um Modelo Não Linear Proposas de Aividades para o Ensino Médio: Pré Cálculo e Malhus Pré Cálculo Apresenando os Conceios: 1ª Pare Aplicando os Conceios: 2ª Pare Aprofundando os Conceios: 3ª Pare

11 5.2 Malhus: uma aplicação para as Funções Exponenciais Obendo a Consane Consruindo a Função Ajuse do Domínio Referências 85

12 Inrodução O objeivo dese rabalho é realizar um esudo sobre as equações diferenciais ordinárias (EDO) e algumas aplicações. A abordagem foi feia de forma qualiaiva, preocupando-se em apresenar os conceios e eoremas, odos devidamene provados. Ese rabalho é dividido em duas pares: a primeira pare abordando o esudo de sisemas lineares de equações diferenciais e aplicações e na segunda pare duas proposas didáicas para o prossional de maemáica que leciona para o Ensino Médio. Após um cero empo de pesquisa, sobre qual ema seria abordado nese rabalho, a escolha foi feia na seguine premissa: oda equação diferencial ordinária linear de ordem n pode ser expressa em forma de um sisema de n equações lineares ordinárias. Para o esudo desse coneúdo, escolheu-se duas obras como base: [1, 2]. A primeira perguna a ser respondida quando se rabalha com modelos de equações diferenciais é com respeio à exisência de solução para al problema e depois se al solução é única. De início, faz-se uma apresenação sobre os conceios e elemenos que denem uma EDO para enão apresenar a demonsração de um dos eoremas mais imporanes e que consise na prova da exisência e da unicidade da solução de problema de valor inicial (PVI). Ese resulado é de exrema imporância para o esudo dos sisemas lineares de EDO s. Próximo passo é mosrar a conversão de uma EDO linear de ordem n em um Sisema Linear de EDO's de n equações, cujo procedimeno é bem simples. Tendo enão o sisema linear em mãos, o desao nesa pare do rabalho é mosrar que o conjuno das soluções de um sisema de EDO's lineares homogêneas é um subespaço veorial permiindo enão que cada solução possa ser escria como combinação linear de elemenos de uma base de n veores linearmene independenes, ou seja, com o auxilio da Álgebra Linear, pode-se enão aplicar o conceio de base para gerar o espaço das soluções do sisema linear homogêneo. Em seguida, fez-se o esudo sobre esabilidade de uma solução de equilíbrio de sisemas auônomos. 10

13 11 Depois das apresenações dos conceios básicos e eóricos, devidamene demonsrados, aplica-se enão em alguns modelos cuja nalidade é visualizar siuações-problemas. A nalidade principal desa pare do rabalho é a aplicação da modelagem maemáica para cada problema proposo e a apresenação de uma resolução algébrica, uilizando odos os conceios apresenados inicialmene nese rabalho. Foram escolhidos 3 problemas de acordo com o grau de diculdade na resolução de cada um, nalizando com um caso não linear. São duas as proposas didáicas para a úlima pare do rabalho: A proposa didáica pré-cálculo cujo objeivo é inroduzir ao aluno de Ensino Médio, conceios de cálculos de uma forma acessível e despreensiosa aos rigores maemáicos focando apenas em exemplos e visualizações da ideia inuiiva de derivada. A proposa didáica Malhus consise em apresenar ao aluno do Ensino Médio um coneúdo abordado nese rabalho. Todos os grácos, desenhos e ilusrações desse rabalho, com exceção ao gráco apresenado na aividade na proposa didáica Malhus que foi feio aravés do Malab; foram devidamene consruídos pelo auor desse rabalho aravés do programa Powerpoin. De uma forma resumida, o primeiro capíulo apresena odos os conceios básicos e inroduórios sobre as EDO's e PVI focando principalmene nas soluções. Aravés das ieradas de Picard apresena-se a demonsração da exisência e unicidade de um PVI. No segundo capíulo será abordado de forma qualiaiva o esudo dos sisemas lineares de EDO's apresenando inicialmene odos os resulados necessários para se comprovar de que o conjuno solução é ambém um subespaço veorial para enão apresenar o Méodo dos Auovalores e Auoveores como méodo de resolução. No erceiro capíulo o conceio de esabilidade de uma solução de equilíbrio é apresenado e comprovado apenas, limiando ao coneúdo necessário a ese rabalho. O quaro capíulo apresena as aplicações de modelagem maemáica consisindo de aplicações de EDO's lineares aravés do Modelo de Malhus e Verhuls; modelando o fenômeno físico massa-e-mola, esuda-se uma equação linear de 2ª ordem podendo enão ser converida um sisema linear de duas EDO s e ambem apresena-se um modelo não-linear de sisemas de EDO's aravés do modelo presa e predador. E nalmene o úlimo capíulo consise na pare didáica dese rabalho apresenando duas proposas de aividades para o Ensino Médio.

14 1 Equações Diferenciais Ordinárias Para uma melhor compreensão dos sisemas de EDO, é imporane apresenar oda a base do coneúdo das EDO s, como noações a denições básicas e exemplos. Nese capíulo, a prova da exisência e unicidade de um PVI descrio por uma EDO será o foco principal para enão usar esse resulado no próximo capíulo. O esudo desse capíulo é baseado nas referencias [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]. 1.1 Breve Inrodução às Equações Diferenciais Denição 1.1. Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnia e suas derivadas. De modo geral, oda equação que coném as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependenes, em relação a uma ou mais variáveis independenes, denominaremos como equação diferencial (ED). Uma equação diferencial é chamada ordinária (EDO) se a função incógnia depende de apenas uma variável independene. Se a função incógnia depende de mais de uma variável independene, denomina-se como uma equação diferencial parcial (EDP) ou equação de derivadas parciais. Apesar dessa inrodução abordar as equações diferenciais de modo geral, ese rabalho consisirá de um esudo focado exclusivamene ao universo das Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). A derivada de uma função pode ser expressa aravés de rês noações ociais: ˆ Noação dy dx : represena a derivada da função y = y(x) em relação à x. ˆ Noação y por apósrofos: ambém represena a derivada da função y = y(x) em relação à x; noação mais usual nas represenações de EDO's. ˆ Noação ẋ: represena a derivada da função x = x() em relação a variável independene empo. ˆ Noação y x : represena a derivada parcial da função y em relação a x, em que y possui mais de uma variável independene. 12

15 Breve Inrodução às Equações Diferenciais 13 Exemplo 1.2. Alguns casos de EDO s envolvendo as noações ciadas aneriormene: dy + 3x = 2, (1.1) dx d 2 3 y dx (dy 2 dx ) 5y = 0. (1.2) u = 3v 5 (1.3) v = u + v 5 cos., Pode-se escrever o sisema de equações diferenciais (1.3) na seguine forma maricial: u = 3v 5 v u + v 5 cos u = 0 3 u + 5. v 1 1 v 5 cos Se X = u, Ẋ = u, A = 0 3, e b() = 5 em que b R R 2, obém-se v v 1 1 5cos um sisema de EDO's da seguine forma: Mais alguns exemplos de EDO: Ẋ = AX + b(). y + y 2x = 0, 2y + 3y x 2 y = 5y. Serão usadas as noações y, y, y para represenar a derivada de ordem um, dois e rês respecivamene. Genericamene a noação y (n) ou dn y represena a derivada de d n y de ordem n. Como exemplos, emos: y (5) = 2y + 1, u + v u v = u2, 2 4 u + 2 u = 0. (1.4) Classicando as Equações Diferenciais Ordinárias Dene-se a ordem de uma EDO como sendo a ordem da mais ala derivada que aparece na equação diferencial. Verica-se que a ordem da equação (1.1) é de primeira ordem (ou ordem um); analisando a equação (1.2) noa-se que apesar de dy dx esar elevado ao cubo, a ordem da equação será dois caracerizando assim uma equação diferencial de segunda ordem. A seguir, alguns ipos especícos de EDO's.

16 Breve Inrodução às Equações Diferenciais 14 Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Toda equação diferencial do ipo a n (x) dn y dx n + a n 1 (x) dn 1 y dx n a 1 (x) dy dx + a 0 (x) y = f (x), será classicada como equação diferencial ordinária linear de ordem n. As duas principais caracerísicas das equações diferenciais ordinárias lineares são: i. A função incógnia e odas as suas derivadas são do primeiro grau; iso é, a poência de cada ermo envolvendo a função incógnia é um. ii. Os coecienes da equação depende exclusivamene da variável independene. Toda equação que não é linear é chamada de não-linear. Exemplo 1.3. y 2y y = 0, (1.5) x 2 d3 y dx + 3 2x2 d2 y dx 5xdy 2 dx 7y = e2x, (1.6) y dy + 2x = 0, dx (1.7) d 2 y dx 2 y3 = 0. (1.8) As equações (1.5) e (1.6) são equações diferenciais ordinárias lineares de segunda e erceira ordem, respecivamene. As equações (1.7) e (1.8) são equações diferenciais ordinárias não lineares de primeira e segunda ordem respecivamene. Noe que a condição da variável dependene ser um coeciene da equação (1.7) enquano na (1.8) a variável dependene possui expoene diferene de um, faz com que esas equações não se enquadrem nas condições de EDO's lineares. Equações Diferenciais Homogêneas Toda equação diferencial que pode ser escria na forma dy dx = f (y x ) (1.9) é chamada de equação diferencial homogênea. Por exemplo, a equação dy dx = x2 + xy + y 2 x 2 é homogênea, pois pode ser escria da forma dy dx = 1 + y x + (y x ) 2. Uma equação diferencial é não-homogênea se não for possível expressar a equação diferencial na forma (1.9).

17 Breve Inrodução às Equações Diferenciais 15 Equações Diferenciais Auônomas Uma equação diferencial é auônoma se a função f depende apenas da variável dependene, iso é, oda equação diferencial auônoma é do ipo dy dx = f(y). A equação diferencial será idenicada como não-auônoma caso a função f dependa ambém da variável independene Soluções para EDO's Considere f Ω R R n R n com Ω abero. Uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem será represenada por dx d = f(, x). (1.10) Denição 1.4. Qualquer função x = x() denida em algum inervalo I, que quando d x subsiuída na equação diferencial, iso é, () = f(, x()) I, é chamada de d solução de (1.10) no inervalo I. Exemplo 1.5. A seguir alguns exemplos de soluções de equações diferenciais: a) Equação diferencial : 2y + y = 0, Uma solução y = e x 2. Para vericar que de fao y é solução, deriva-se a função em relação à x: y = e x 2 ( 1) 2. Assim: 2y + y = 2[e x 2 ( 1)] 2 + e x 2 = e x 2 + e x 2 = 0. b) c) Equação diferencial : dy dx 2y = e3x. Uma solução y = e 3x + 10e 2x. De fao: dy dx = 3e3x + 20e 2x. Assim: dy dx 2y = [3e3x + 20e 2x ] 2 (e 3x + 10e 2x ) = 3e 3x + 20e 2x 2e 3x 20e 2x = e 3x. Equação diferencial : y 6y + 13y = 0. De fao: Uma solução y = e 3x cos 2x. y = e 3x (3 cos 2x 2 sen 2x)), e y = e 3x (5 cos 2x 12 sen 2x).

18 Problema de Valor Inicial 16 Assim: y 6y + 13y = e 3x (5 cos 2x 12 sen 2x) 6e 3x (3 cos 2x 2 sen 2x) + 13e 3x cos 2x = 5e 3x cos 2x 12e 3x sen 2x 18e 3x cos 2x + 12e 3x sen 2x + 13e 3x cos 2x = Problema de Valor Inicial Um problema de valor inicial (PVI) consise em uma equação diferencial, junamene com condições iniciais imposas à função incógnia e suas derivadas, desde que essas condições iniciais sejam resrias a um mesmo valor xado da variável independene. Abordando apenas o conjuno das equações diferenciais de primeira ordem, emos: dy = f(x, y) dx sujeia à condição inicial y (x 0 ) = y 0 em que x 0 é um número em algum inervalo I e y 0 é um elemeno de R n. Também pode-se denir um problema de valor inicial quando depara-se com a siuação: resolva a equação que saisfaça dy = f(x, y) (1.11) dx y (x 0 ) = y 0. (1.12) A solução de um PVI possibilia visualizar uma de várias soluções da EDO ou seja, geomericamene falando esa solução esá conida numa coleção de funções que saisfaz a equação diferencial em algum inervalo I conendo a condição inicial x 0. Para que a EDO admia uma solução, esa deverá saisfazer algumas condições para comprovar sua exisência e sua unicidade. Ese coneúdo será abordado na próxima seção. 1.3 Exisência e Unicidade de Solução de EDO de Primeira Ordem Nesa seção será provada a exisência para o caso escalar. Supondo que f seja conínua numa região D R 2 e que (x 0, y 0 ) seja um pono arbirário de D, resolver um problema de valor inicial envolvendo equações diferenciais de primeira ordem é equivalene a deerminar uma função conínua y(x) denida em algum inervalo I conendo x 0, al que y(x) saisfaça a seguine equação inegral: x y(x) = y 0 + f(s, y(s))ds. (1.13) x 0

19 Exisência e Unicidade de Solução de EDO de Primeira Ordem 17 Parindo do PVI (1.11) (1.12) e inegrando ambos os lados, usando o Teorema Fundamenal do Cálculo, chega-se à equação inegral desejada. O próximo passo será buscar a solução da equação inegral aravés da consrução de uma sequência de funções que convergem para a solução y(x) ão desejada, conseguindo desa forma, recursos necessários para provar que y(x) exise e é única Ieradas de Picard Anes de iniciar a demonsração do eorema cenral desa seção, é perinene enender o raciocínio de Picard que o levou à demonsração do eorema. Nessa subseção apenas desaca-se as ieradas aravés de um exemplo de fácil visualização e compreensão para que o leior possa perceber o méodo. Por exemplo, a parir do PVI: y = ky, y(0) = 1. Nese caso, f(x, y) = ky, y 0 = 1 e x 0 = 0 deseja-se enconrar uma sequência de funções (y n ), al que em que y n (x) = y x f(, y n 1 ())d (1.14) f(, y n 1 ) = ky n 1. Percebe-se que para cada ierada, gera-se um ermo y n em função de y n 1. Observe: y 1 (x) = y 0 + = x = 1 + kx. x f(, y(0))d, kd, y 2 (x) = y 0 + = 1 + = x 0 x 0 x f(, y 1 ())d, k(1 + k)d, kd + = 1 + kx + (kx)2. 2! 0 x k 2 d,

20 Exisência e Unicidade de Solução de EDO de Primeira Ordem 18 Generalizando, em-se: y 3 (x) = y 0 + = 1 + = x 0 x 0 x f(, y 2 ())d, k(1 + k + (k)2 )d, 2! kd + = 1 + kx + (kx)2 2! y n (x) = 1 + kx + (kx)2 2! 0 x k 2 d + + (kx)3. 3! + (kx)3 3! 0 x k 3 2 d, 2! Subsiuindo kx por uma variável z, (1.15) pode ser escria como: y n (x) = 1 + z + z2 2! + z3 3! zn n!, logo, idenicando-se como uma Série de Taylor, em-se: lim y n(z) = e z, n (kx)n. (1.15) n! lim y n(x) = e kx. n Noe que o limie da sequência (y n ) dada pelas ieradas de Picard é solução do PVI proposo. pois y (x) = ke kx = ky(x) e y(0) = Prova dos Resulados [1]. Nesa subseção serão apresenadas as provas dos resulados baseadas na referência O lema apresenado a seguir será a base para a demonsração do eorema principal desa seção. Lema 1.6. Sejam a e b números reais posiivos, onde R é o reângulo: α, y y 0 b, al que R R 2 e M = max f(, y) em que α = min (a, b (,y) R M ). Enão: para α, em que y n é dada por (1.14) y n () y 0 M( 0 ) (1.16) Resumidamene, a ideia principal dese lema é mosrar que cada função da sequência (y n ) esá conida no reângulo proposo pelo Lema 1.6, ou seja, mosrar que y n é uniformemene limiada, n N. A parir de (1.16) observa-se que: y 0 M( 0 ) y n y 0 + M( 0 ) [ 0, 0 + α]. Porano, oda função da sequência (y n ) esá conida na região limiada enre as reas y = y 0 M( 0 ) e y = y 0 + M( 0 ), conforme a Figura 1.1

21 Exisência e Unicidade de Solução de EDO de Primeira Ordem 19 Figura 1.1: Para I [ 0 a, 0 + a] e I [ 0 b M, 0 + b M ] Demonsração: Prova-se usando o processo de indução em n. Para n = 0 a desigualdade (1.16) é saisfeia. Considerando verdadeira a hipóese sobre n em (1.16), em-se que é verdadeira ambém para n + 1. De fao: y n+1 y 0 = f(s, y n )ds f(s, y n ) ds Mds = M( 0 ) para odo α. O próximo objeivo é mosrar que a sequência dada pelas ieradas de Picard converge no inervalo α, se f y exisir e for conínua no reângulo R. Teorema 1.7. Sejam f e f y conínuas no reângulo R α, y y 0 b al que R R 2 e M = max f(, y), em que α = min (a, b (,y) R M ). Enão, o problema de valor inicial y = f(, y), y( 0 ) = y 0 em pelo menos uma solução y() denida no inervalo α. Demonsração: Observe que y n () pode ser escria da seguine forma: y n () = y 0 () + [y 1 () y 0 ()] + [y 2 () y 1 ()] + [y 3 () y 2 ()] + + [y n () y n 1 ()]. A sequência (y n ) convergirá somene se a série innia y 0 () + [y 1 () y 0 ()] + [y 2 () y 1 ()] + [y 3 () y 2 ()] + + [y n () y n 1 ()] + (1.17) for convergene. Para provar que a sequência innia (y n ) converge, basa mosrar que: Inicia-se observando o seguine: y n () y n 1 () <. (1.18) n=1 y n () y n 1 () = (f(s, y n 1 ) f(s, y n 2 ))ds 0 = 0 0 f(s, y n 1 ) f(s, y n 2 ) ds f y (s, µ(s)) y n 1(s) y n 2 (s) ds

22 Exisência e Unicidade de Solução de EDO de Primeira Ordem 20 pelo Teorema do Valor Médio aplicado à segunda componene, exise µ() enre a região limiada pelas curvas y n 1 e y n 2, al que f(s, y n 1 (s)) f(s, y n 2 (s)) f y (s, µ(s)) y n 1(s) y n 2 (s) Segue imediaamene do Lema 1.6 que odos os ponos (s, µ(s)) perencem ao reângulo R para 0 < s < + α. Segue que onde y n () y n 1 () L y n 1 (s) y n 2 (s) ds, α, (1.19) 0 Para n = 2 em (1.19) em-se: y 2 () y 1 () L Para n = 3, em-se: y 3 () y 2 () L 0 0 L = max (,y) R f (, y). y y 1 (s) y 0 ds L M(s 0 )ds = LM( 0) LM(s 0 ) y 2 (s) y 1 (s) ds L 2 ds = L2 M( 0 ) ! Agora, supondo que a desigualdade é válida para n, iso é, y n () y n 1 () Ln 1 M( 0 ) n, (1.20) n! prova-se a validade da mesma para n + 1, ou seja, É imediao, pois: y n+1 () y n () L para odo α. Porano, em-se: y n+1 () y n () Ln M( 0 ) n+1. (n + 1)! 0 L y n (s) y n 1 (s) ds L n 1 M(s 0 ) n ds = 0 n! = Ln M( 0 ) n+1, (n + 1)! y n () y 0 () = y 1 () y 0 + y 2 () + y 1 () + + y n () y n 1 + n=1 M( 0 ) + ML( 0) 2 2 M( 0 ) + ML( 0) 2 2 = M L [L( 0) + L2 ( 0 ) 2 2 = M L [L( 0) + [L( 0)] 2 = M L (e( 0)L 1). 2 + ML2 ( 0 ) 3 3! + ML2 ( 0 ) 3 3! + L3 ( 0 ) 3 3! + [L( 0)] 3 3! + + MLn 1 ( 0 ) n n! + + MLn 1 ( 0 ) n n! + + Ln ( 0 ) n n! + + [L( 0)] n n! + ] ]

23 Exisência e Unicidade de Solução de EDO de Primeira Ordem 21 para odo α. Desa forma, foi possível mosrar que a série é convergene e, desse modo, as ieradas de Picard convergem para odo perencene ao inervalo [ 0, 0 +α]. De forma análoga, mosra-se que a sequência (y n ()) converge para odo omado no inervalo [ 0 α, 0 ]. O limie da sequência (y n ()) será indicado por y(). Prosseguindo, ainda fala mosrar que o limie da sequência (y n ()) será solução do problema de valor inicial (1.13). Reomando a recorrência das ieradas de Picard êm-se a equação: y n+1 () = y 0 + Tomando os limies em ambos os lados, emos: 0 lim y n+1() = lim [y 0 + n n y() = y 0 + lim n [ f(s, y n (s))ds. 0 f(s, y n (s))ds] 0 f(s, y n (s))ds]. (1.21) Logo, para provar que a equação (1.21) saisfaz (1.13), basa mosrar que: 0 f(s, y(s))ds = lim n [ Assim, provar (1.22) equivale a mosrar que a diferença abaixo 0 f(s, y(s))ds 0 0 f(s, y n (s))ds]. (1.22) f(s, y n (s))ds ende a zero quando n ende ao innio. Sabemos que y() é o limie de funções y n () cujos grácos esão em R, logo o gráco de y() ambém esá conido em R, porano: 0 f(s, y(s))ds 0 f(s, y n (s))ds 0 f(s, y(s))ds f(s, y n (s)) ds L 0 y(s) y n (s) ds onde L foi denido nas condições da equação (1.19). Volando à sequência (y n ()) emos: y(s) = y 0 + y n (s) = y 0 + i=1 n i=1 Subraindo a equação (1.24) de (1.23) obemos: y(s) y n (s) = y(s) y n (s) = n i=1 i=1 y i (s) y i 1 (s) + y i (s) y i 1 (s) (1.23) y i (s) y i 1 (s). (1.24) y i (s) y i 1 (s) y i (s) y i 1 (s) i=n+1 n i=1 y i (s) y i 1 (s) y i (s) y i 1 (s) n i=1

24 Exisência e Unicidade de Solução de EDO de Primeira Ordem 22 y(s) y n (s) = Por consequência a (1.20) em-se y(s) y n (s) M y(s) y n (s) M L y i (s) y i 1 (s). i=n+1 L i 1 (s 0) i i=n+1 i! i=n+1 Manipulando as seguines desigualdades, em-se: 0 enão: 0 f(s, y(s))ds f(s, y(s))ds 0 0 f(s, y n (s))ds L 0 f(s, y n (s))ds M = M( 0 ) i=n+1 L i (s 0) i. (1.25) i! y(s) y n (s) ds L i=n+1 L i α i i! 0 Mα 0 M L n+1 L i (s 0) i ds, i! L i (s 0) i ds M L i (α)i i! i=n+1 i! ds = 0 i=n+1 (Lα) i. (1.26) i! Observa-se que o úlimo membro da desigualdade (1.26) consise no reso do desenvolvimeno (convergene) em série de Taylor de e Lα. Noe que quando n ende ao innio, a soma em (1.26) ende a zero; porano, e y() saisfaz o PVI (1.13). 0 f(s, y(s))ds = lim n [ 0 f(s, y n (s))ds] Resa provar que y() é conínua, iso é, para odo δ > 0 exise um η > 0 com δ e η reais al que y( + h) y() < δ se h < η. Apesar de não conseguir uma forma explícia de y(), uma alernaiva é usar o seguine recurso: oma-se um N sucienemene grande e escreve-se y() assim Desse modo, y( + h) = y( + h) y() + y() y N ( + h) + y N ( + h) y N () + y N () y( + h) y() = y( + h) y N ( + h) + y N ( + h) y N () + y N () y() y( + h) y() = y( + h) y N ( + h) + y N ( + h) y N () + y N () y() y( + h) y() y( + h) y N ( + h) + y N ( + h) y N () + y N () y(). (1.27) Dado um δ,oma-se um N sucienemene grande al que M L (kl) i i=n+1 i! < δ 3.

25 Exisência e Unicidade de Solução de EDO de Primeira Ordem 23 Reomando a relação (1.25), obém-se y( + h) y N ( + h) < δ 3 e y N () y() < δ 3 para e h sucienemene pequeno. A função y N () é conínua pois foi consruída por N inerações de funções conínuas, assim dado δ > 0 exise η al que Subsiuindo em (1.27) em-se: y N ( + h) y N () < δ, para h < η. 3 y( + h) y() δ 3 + δ 3 + δ 3 = δ para h < η, porano, y() é conínua. Com odos os passos acima já é possível considerar y() uma solução da equação inegral (1.13), implicando que y() ambém será solução de (1.11) e (1.12) O que resa ainda vericar é se a solução y() é única no inervalo [ 0, 0 + α]. A prova do próximo eorema irá encerrar essa seção, mosrando a unicidade da solução do PVI dado. Teorema 1.8. Sejam f e f y conínuas no reângulo R α, y y 0 b al que R R 2. Calculemos M = max f(, y) e seja α = min (a, b (,y) R M ). Enão, o problema de valor inicial (1.11) e (1.12) em uma única solução y() no inervalo α. Demonsração: O Teorema 1.7 garane que exise pelo menos uma solução em R. Seja z() oura solução alem de y() do PVI proposo pelo Teorema 1.8. Enão: y() = y 0 + f(s, y(s))ds e z() = y Subraindo as duas equações, em-se: y() z() = 0 f(s, y(s))ds Tomando o valor absoluo em ambos membros: y() z() = 0 0 f(s, y(s))ds 0 0 f(s, z(s))ds. f(s, z(s))ds. f(s, z(s))ds. Como y() e z() são soluções de uma equação que saisfaz o Teorema 1.7, obém-se a desigualdade: y() z() = 0 f(s, y(s))ds 0 f(s, z(s))ds f(s, y(s))ds f(s, z(s)) ds L y(s) z(s) ds, (1.28) 0 0

26 Exisência e Unicidade de Solução de EDO de Primeira Ordem 24 onde L é como na prova do Teorema 1.7. Por conveniência, oma-se a função denida por: É de imediao: U() = y(s) z(s) ds. (1.29) 0 U( 0 ) = 0 U() 0, > 0. (1.30) Além disso, U() é derivável pois U () = y() z(y). Porano pode-se escrever a desigualdade (1.28) da seguine forma: U () L U() 0, muliplicando ambos os lados pelo faor inegrane posiivo e L em-se: e L [U () L U()] 0 [e L U()] 0. Inegrando ambos os lados no inervalo de 0 a obém-se: e L U() 0. (1.31) Da desigualdade (1.31) e como o faor e L sempre é posiivo para odo real, segue que: U() 0. (1.32) Das desigualdades (1.30) e (1.32) conclui-se que: U() = 0 para odo α. Enão, por (1.29) obém-se a igualdade: y() = z(), [ 0, 0 + α] comprovando que a solução do PVI (1.11) e (1.12) é única.

27 2 Sisemas de Equações Diferenciais Todo o coneúdo necessário para mosrar que o conjuno solução de uma EDO linear e homogênea de grau n é um subespaço veorial será apresenado conforme a referência [1]. Alguns resulados não serão demonsrados pelo fao de não se adequarem ao escolpo do exo. Nese capíulo, as referências [2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12] ambém foram uilizadas. Os sisemas de equações diferenciais são consiuídos por um conjuno nio de equações diferenciais de primeira ordem, iso é: x 1 () = f 1 (, x 1,, x n ) x 2 () = f 2 (, x 1,, x n ) x n () = f n (, x 1,, x n ) (2.1) Uma solução de (2.1) pode ser represenada pela mariz coluna X composa por n funções: ais que dx j d = f j(, x 1, x 2,, x n ), j = 1, 2,, n. x 1 () x 2 () X() =, (2.2) x n () 2.1 Sisemas Homogêneos e Não Homogêneos Além das equações diferenciais do sisema (2.1), comumene impõem-se condições iniciais sobre as funções soluções em um cero valor inicial obendo enão um problema de valor inicial. Pode-se ambém converer uma equação diferencial linear de ordem n num sisema de n equações de primeira ordem. A seguir, alguns exemplos: Exemplo 2.1. Seja o PVI dado por: d 2 y d 2 + p()dy d + q()y = 0; y( 0) = y 0, y ( 0 ) = y 0. (2.3) 25

28 Sisemas Homogêneos e Não Homogêneos 26 Noe que a equação em (2.3) pode ser ransformada, por uma mudança de variável em um sisema de 1ª ordem, considerando as variáveis x 1 () e x 2 (): x 1 () = y(), x 2 () = y (), em-se que x 1 () = x 2 () x 2 () = p()x 2 () q()x 1 (). Considerando X() = (x 1 (), x 2 ()) pode-se reescrever o sisema na forma: x 1 () = 0 1 x 1 (). (2.4) x 2 () q() p() x 2 () Assim: f(, (x 1, x 2 )) = 0 1 x 1 (), q() p() x 2 () e a equação em (2.3) pode ser escria na forma: Ẋ() = f(, (x 1, x 2 )). Nese caso f(, (x 1, x 2 )) possui o seguine formao: f(, (x 1, x 2 )) = A() X(). Escrevendo (2.4) na forma Ẋ() = A()X(), a solução da equação (2.3) pode ser obida resolvendo o sisema de EDO's obido em (2.4). Exemplo 2.2. Com o mesmo raciocínio para a seguine EDO de erceira ordem: d 3 y d + y 3 p()d2 d + q()dy + r()y = s() 2 d pode-se escrever essa equação diferencial de 3ª ordem na seguine forma de sisema: x 1 () x 1 () 0 x 2 () = x 2 () + 0. x 3 () q() p() r() x 3 () s() Generalizando para uma EDO linear de ordem n expressa na forma: d n y d n + µ n() dn 1 y d n µ 2() dy d + µ 1()y = s() (2.5)

29 Sisemas Homogêneos e Não Homogêneos 27 e omando as seguines igualdades: y() = dy d = d 2 y d = 2 d n 1 y d = n 1 x 1 () x 2() x 3() x n() pode-se escrever a equação (2.5) na seguine forma maricial: x 1 () x 1 () 0 x 2 () x 2 () 0 x 3 () x 3 () 0 = +. (2.6) ẋ n 1 () x n 1 () 0 x n () µ 1 () µ 2 ()... µ n 1 () µ n () x n () s() Porano, a equação (2.5) foi reescria na forma de um sisema de EDO's obendo a equação maricial da forma: Ẋ() = A()X() + b(), (2.7) com A() uma função maricial denida conforme a EDO que a originou e b() um veor coluna. Noe que a solução é um veor coluna X(). Observe que a função maricial A() quadrada de ordem n obedece o padrão de que a úlima linha sempre será composa por odas as funções µ i e o ouros elemenos seriam composos por 0 ou 1. O próximo propósio é mosrar que um PVI da forma (2.7) com uma condição inicial X 0 = X( 0 ) admiirá uma única solução. Teorema 2.3. Para odo ( 0, X 0 ) I Ω, al que I R e Ω R n, exise uma única solução ϕ() = ϕ() de (2.7) denida em I al que ϕ( 0 ) = X 0. Demonsração: A prova a seguir obedecerá o méodo das aproximações sucessivas conforme foi viso na prova do Teorema 1.7. Seja a sequência de funções (ϕ i ) i N consruída da seguine maneira: ϕ 0 = X 0 ϕ i () = X 0 + [A(s)ϕ i 1 (s) + b(s)]ds 0 (2.8) Para qualquer inervalo compaco [a, b] I, a sequência (ϕ i ) i N converge uniformemene em [a, b] para uma solução de (2.7). De fao, sejam: K = sup{ A(s) ; s [a, b]} e

30 Sisemas Homogêneos e Não Homogêneos 28 c = sup{ ϕ 1 (s) ϕ 0 (s) ; s [a, b]}. Noa-se que: ϕ 2 () ϕ 1 () = 0 A(s)(ϕ 1 (s) ϕ 0 (s))ds Kc ds = Kc( 0 ) Kc 0. 0 Usando esa úlima desigualdade, obém-se ϕ 3 () ϕ 2 () = 0 A(s)(ϕ 2 (s) ϕ 1 (s))ds K 2 c s 0 ds = K2 c( 0 ) 2 0 2! 0 0 A(s)(ϕ 1 (s) ϕ 0 (s)) ds A(s)(ϕ 2 (s) ϕ 1 (s)) ds = K2 c ! Generalizando: ϕ n+1 () ϕ n () Kn c 0 n. (2.9) n! Por indução, suponha o resulado verdadeiro para n e prova-se para n + 1: ϕ n+2 () ϕ n+1 () = Pela hipóese de indução 2.9 segue que 0 A(s)(ϕ n+1 () ϕ n ())ds 0 A(s)(ϕ n+1 () ϕ n ()) ds. ϕ n+2 () ϕ n+1 () Como 0 < b a, segue que 0 K n+1 c(s 0 ) n n! ds = Kn+1 c( 0 ) n+1 (n + 1)! Kn+1 c 0 n+1. (n + 1)! para odo n. max ϕ n+1() ϕ n () Kn c(b a) n [a,b] n! Toma-se agora a série de aplicações obida escrevendo ϕ i () da seguine forma: ϕ i () = ϕ 0 ()+(ϕ 1 () ϕ 0 ()) + (ϕ 2() ϕ 1 ()) + +(ϕ i 1() ϕ i 2 ()) + (ϕ i() ϕ i 1 ()), i 1 i 1 K ϕ i () = ϕ 0 () + (ϕ j+1 () ϕ i ()) ϕ 0 () + j c b a j. j! j=0 K Como n c b a n n! converge, em-se que ϕ i converge uniformemene pelo Tese de n=0 Weiersrass 1. Seja enão ϕ() o limie ponual de ϕ i (). Fazendo i ender ao innio em (2.8) em-se que, para odo I, j=0 ϕ() = X 0 + [A(s)ϕ(s) + b(s)]ds. 0 1 A condição f n + é garanida pela exisência de uma série convergene c n de consanes posiivas ais que f n () c n para odo M. Nesas condições, o ese de Weiersrass arma que a série f n converge uniformemene em M para f k M R n

31 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 29 Derivando com respeio a, verica-se que ϕ() saisfaz (2.7). Ainda fala mosrar a unicidade. Suponha que φ() seja oura função que saisfaça (2.7). Assim para odo I, φ() = X 0 + [A(s)φ(s) + b(s)]ds. 0 Seja m = sup{ φ() ϕ 1 () }, [a, b], obém-se: φ() ϕ 2 () = 0 A(s)(φ(s) ϕ 1 (s))ds Km ds = Km( 0 ) Km 0. 0 Usando a úlima desigualdade obém-se φ() ϕ 3 () = 0 0 A(s)(φ(s) ϕ 2 (s))ds K 2 m(s 0 ) ds = K2 m( 0 ) 2 2! 0 0 A(s)(φ(s) ϕ 1 (s)) ds A(s)(φ(s) ϕ 2 (s)) ds K2 m ! Provando por indução, similarmene como a úlima prova por indução feia, chega-se que: φ() ϕ n () = Kn 1 m (n 1)! 0 n 1 Kn 1 m (n 1)! (b a)n 1, n ou seja, a série φ() ϕ j () converge uniformemene pelo Tese de Weiersrass. j=0 Porano, a diferença φ() ϕ j () converge ambém a zero, o que implica: φ() = lim n ϕ n () = ϕ(). Desa forma, mosrou-se que a solução enconrada é única. 2.2 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes Nessa seção será abordado o esudo dos sisemas lineares de EDO's para os sisemas homogêneos com os coecienes consanes. Deni-se Sisemas Lineares Homogêneos odos os sisemas da forma (2.7) al que b() seja o veor nulo. Além do caso homogêneo, a função maricial A() denida em (2.7) será composa apenas por valores consanes, ou seja a ij R para i, j 1,, n. O objeivo principal será mosrar como consruir a solução geral de um sisema de n equações lineares homogêneas com os coecienes consanes, iso é, de um sisema na forma: Ẋ() = AX() (2.10)

32 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 30 onde A é uma mariz quadrada de ordem n. Sabe-se que (2.10) é um caso especial de (2.7). Comoo já se sabe, o PVI admie uma única solução, comojá demonsrado no Teorema 2.3. O próximo passo é mosrar que as soluções obidas de (2.7) saisfazem a condição de ser um espaço veorial de dimensão nia. Assim, oda solução de (2.10) será escria como combinação linear dos elemenos de uma base. Seja V o conjuno de odos os veores x 1 () x 2 () X() = x n () que são soluções da equação veorial diferencial a a 1n Ẋ = AX, A = a n1... a nn (2.11) Para que V seja um espaço veorial, primeiro será vericado duas condições iniciais aravés do lema abaixo. Lema 2.4. Seja A uma mariz n n. Para quaisquer veores X e Y e qualquer consane real c, (a) A(cX)=cAX, (b) A(X+Y)=AX+AY. Demonsração: Considere: a a x 1 () x 1 () 1n A = x 2 () x 2 (), X() = e Y () =. a n1... a nn x n () x n () (a) Tem-se que ca n n X n 1 é um veor coluna do ipo W n 1 cuja a i-ésima componene do veor é dada por: w i = c a i1 x 1 + c a i2 x 2 + c a i3 x c a in x n, pode-se escrever W n () na forma: w i = c (a i1 x 1 + a i2 x 2 + a i3 x a in x n ). Tomando o veor A n n (cx n 1 ), pode-se escrevê-lo na forma veor coluna do ipo Z n 1 : z i = a i1 (c x 1 ) + a i2 (c x 2 ) + a i3 (c x 3 ) a in (c x n,.

33 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 31 e pode-se escrever Z n () na forma: z i = c (a i1 x 1 + a i2 x 2 + a i3 x a in x n ). Comparando os resulados, concluí-se que w i () = z i (), i {1, 2,, n}, provando assim a primeira pare do lema. (b) A i-ésima componene do veor A(X + Y ) pode ser escria na forma: a i1 (X 1 + Y 1 ) + a i2 (X 2 + Y 2 ) + a i3 (X 3 + Y 3 ) + + a in (X n + Y n ). (2.12) realizando as disribuivas, a expressão (2.12) pode ser escria na forma: a i1 X 1 + a i2 X 2 + a i3 X a in X n + a i1 Y 1 + a i2 Y 2 + a i3 Y a in Y n. Observa-se que essa é a noação da i-ésima componene da soma enre os veores AX + AY. Porano: A(X + Y ) = AX + AY. Teorema 2.5. Sejam X() e Y () duas soluções de (a) c X() é solução para qualquer consane real c. (b) X() + Y () é solução ambém. Demonsração: A parir do Lema 2.4, prova-se que: (a) Se X() é solução enão: Ẋ() = A X(). Enão: d[c X()] d = c dx() d = c Ẋ() = c A X() = A (c X()). Logo, c X() saisfaz a equação diferencial Ẋ() = A X() e porano c X() é solução ambém. (b) Se X() e Y ( ) são soluções enão: d[x() + Y ()] d = dx() d + dy () d Logo, X() + Y () é solução ambém. = A X() + A Y () = A [X() + Y ()]. Porano, se X() e Y () são soluções de Ẋ() = AX(), enão qualquer combinação linear a X() + b Y () ambém será solução. Assim, V é um subespaço veorial do espaço veorial das funções veoriais, o que é garanido pelo Teorema 2.5. Os próximos resulados irão provar que ese espaço possui dimensão igual a n inde n é a ordem da mariz A.

34 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 32 Teorema 2.6. (Tese para independência linear) Sejam X 1,X 2, X 3,, X n soluções de Ẋ = AX. Dado 0 enão X 1,X 2, X 3,, X n são soluções linearmene independenes se, e só se, X 1 ( 0 ),X 2 ( 0 ), X 3 ( 0 ),, X n ( 0 ) forem veores linearmene independenes. Demonsração: A maneira mais simples de realizar essa prova é usar a conraposiiva: Suponha que X 1,X 2, X 3,, X n são soluções linearmene dependenes, enão, exisem consanes c 1, c 2, c 3,, c n não odas nulas, ais que: Tomando = 0 na equação, obém-se c 1 X 1 + c 2 X 2 + c 3 X c n X n = c 1 X 1 ( 0 ) + c 2 X 2 ( 0 ) + c 3 X 3 ( 0 ) + + c n X n ( 0 ) = 0, 0 porano X 1 ( 0 ),X 2 ( 0 ), X 3 ( 0 ),, X n ( 0 ) são veores linearmene dependenes. Reciprocamene, suponha que para um cero 0, os valores para X 1,X 2, X 3,, X n deerminam veores linearmene dependenes em R n. consanes c 1, c 2, c 3,, c n, não odas nulas, ais que: 0 0 c 1 X 1 ( 0 ) + c 2 X 2 ( 0 ) + c 3 X 3 ( 0 ) + + c n X n ( 0 ) = 0 = 0. 0 Isso signica que exisem Adoando as mesmas consanes X 1 ( 0 ),X 2 ( 0 ), X 3 ( 0 ),, X n ( 0 ), consrói-se uma função veorial: φ() = c 1 X 1 () + c 2 X 2 () + c 3 X 3 () + + c n X n (). Esa função saisfaz (2.10) pois é uma combinação linear de soluções com φ( 0 ) = 0. Porano pelo Teorema 2.3, em-se que φ() = 0 para odo, implicando que X 1,X 2, X 3,, X n são soluções linearmene dependenes. Teorema 2.7. A dimensão do espaço V de odas as soluções do sisema linear homogêneo de equações diferenciais é n. Demonsração: Basa consruir uma base para V que conenha n elemenos. Seja

35 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 33 φ i (), i = 1,, n, n soluções do problema de valor inicial dx d = AX, X(0) = ei = onde e 1, e 2,, e n é a base canônica do R n. Por hipóese, para i = 1: para i = 2: assim sucessivamene. Para i = n: 1 0 φ 1 (0) = e 1 = 0, φ 2 (0) = e 2 = 0, φ n (0) = e n = 0. 1 Pelo Teorema 2.3 segue que φ i () exise para odo e é única , para 1 i n. (2.13) 0 0 Para mosrar que φ 1,, φ n é uma base de V, verica-se que o conjuno é lineramene independene. Sejam c 1,, c n R ais que c 1 φ 1 (0) + c 2 φ 2 (0) + c 3 φ 3 (0) + + c n φ n (0) = 0 (2.14) al que o zero do segundo membro de (2.14) represena o veor nulo em V. logo, c 1 e 1 + c 2 e 2 + c 3 e c n e n = 0 (2.15) Observa-se que e 1, e 2, e 3, e n deerminam uma base canônica em R n enão e 1, e 2, e 3, e n são linearmene independenes. Como a soma em (2.15) resula em zero, a única possibilidade de escrever essa soma é c 1 = 0, c 2 = 0, c 3 = 0,, c n = 0, implicando

36 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 34 em (2.14) que as soluções de V, deerminadas por φ 1, φ 2, φ 3,, φ n são linearmene independenes em V, condição comprovada no Teorema Para provar que φ 1, φ 2, φ 3,, φ n gera V, é preciso mosrar que oda solução X() de V pode ser escria como combinação linear das φ i. Seja X() uma solução qualquer de (2.10) al que X(0) = c, onde: c 1 c 2 c = c 3. Com essas consanes, consrói-se a seguine função: φ() = c 1 φ 1 () + c 2 φ 2 () + + c n φ n (). Sabe-se que φ() saisfaz (2.10) pois é uma combinação linear de soluções comprovado pelo Teorema 2.5. Por ouro lado, em-se: c 2 φ(0) = c 1 φ 1 (0) + c 2 φ 2 (0) + + c n φ n (0) = c c c n 0 = c 3 = X(0) Como X() e φ() saisfazem o mesmo sisema linear homogêneo de equações diferenciais e as condições inicias de X() e φ() são iguais para = 0, segue pelo Teorema 2.3, X() e φ() devem ser únicas. Porano, são iguais e pode-se assim escrever a igualdade: X() = c 1 φ 1 () + c 2 φ 2 () + + c n φ n () c n c 1 c n o que mosra que {φ 1, φ 2,, φ n } gera V Exponencial Maricial No início dessa subseção será úil lembrar de algumas propriedades sobre o espaço M n (R) = {A = (a ij ) n n ; a ij R; 1 i, j n}. Ese espaço é de dimensão nia, a saber n dim(m n (R)) = n 2 e para A M n (R) e norma denida por A = a ij saisfazendo: i,j=1 i) A 0, ii) A + B A + B, iii) AB A B,

37 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 35 iv) A n A n, v) λa = λ A, λ R, vi) A = 0 A = 0. Observe que x() = ce a é solução da equação diferencial escalar ẋ = ax para qualquer consane a. Assim é de se esperar que X() = e A v seja solução da equação diferencial veorial Ẋ = AX para odo veor v consane onde e A é uma mariz exponencial denida conforme abaixo: e A = I + A + A2 2 2! + + An n n! + (2.16) Noe que (2.16) é a série de MacLaurin da função escalar f(x) = e a. Para se usar essa expressão deve-se enão garanir a convergência de (2.16). Enão onde De fao, e A = S n = e A = A n n=0 n!, A M n(r). A n n=0 n! = lim S n; n n A j j=0 j! = I + A + + An n!. Será mosrado que (S n ) é de Cauchy 2, iso é, ɛ > 0, n 0 N al que m, n > n 0 ocorra Considere n = m + p, com p N e m+p A S n S m = S m+p S m = j m j=0 j! j=0 ou seja Como e a = S n S m < ɛ. S n S m A j m+p j! = A j j=m+1 m+p j=m+1 m+p j! j=m+1 A j j! m+p A j j=m+1 j! A j. (2.17) j! a j j=0 j! é convergene a R, enão ɛ > 0, n 0 N, m > n 0 e p N, êm-se m+p a j j=m+1 j! < ɛ. Sabendo que A R, enão para a = A, obêm-se m+p A j j=m+1 j! < ɛ, m > n 0 e p N. (2.18) 2 Uma condição necessária e suciene para que uma série f n (x), onde os ermos de f n são funções com o mesmo domínio D, convirja uniformene é que ɛ > 0 N al que n > N n+p j=n+1 f j(x) < ɛ, p N.

38 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 36 Por (2.17) e (2.18) verica-se que S n S m < ɛ comprovando assim que (2.16) converge uniformemene pelo Criério de Cauchy. Como a série (2.16) converge enão é diferenciável ermo a ermo e vale d d ea = A+A 2 + A An+1 n + = A[I +A+ A An n + ] = Ae A, (2.19) 2! n! 2! n! porano e A v é solução da equação diferencial uma vez que: d d ea v = Ae A v = A(e A v). Ẋ = AX para odo veor v consane, O Méodo dos Auovalores e dos Auoveores para deerminar Soluções Considere novamene um sisema de equações diferenciais homogêneo: x 1 a 11 a 1n Ẋ = AX, X =, A =. (2.20) a n1 a nn x n O objeivo agora é deerminar n soluções linearmene independenes X 1 (), X 2 (),, X n (). Analisando (2.20) verica-se que a derivada é a própria função muliplicada por uma mariz consane, ou seja, a solução em comporameno exponencial. Isso sugere que a função X() = e λ v, onde v é um veor consane, pode ser uma boa enaiva de ser solução de (2.20). De fao: e d d eλ v = λe λ v A(e λ v) = e λ Av. Logo X() = e λ v é uma solução de (2.20) se, e só se, λe λ v = e λ Av. Dividindo ambos os membros por e λ obem-se: Av = λv. (2.21) Porano, X() = e λ v é uma solução de (2.20) se, e só se, λ e v saisfazem (2.21). Denição 2.8. Um veor não-nulo v saisfazendo (2.21) é chamado de um auoveor ou veor próprio de A com auovalor ou valor próprio λ. A parir de (2.21) obém-se 0 = Av λv = (A λi)v. (2.22)

39 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 37 Sabendo que v é um veor não-nulo, enão a equação (2.22) em uma solução não rivial se, e só se, de(a λi) = 0. Porano os auovalores λ de A são as raízes da equação a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n 0 = de(a λi) = de, a n1 a n2 a nn λ e os auoveores de A são enão as soluções não nulas da equação (A λi)v = 0, para esses valores de λ. A parir do deerminane da mariz A λi obém-se um polinômio de grau n, chamado de polinômio caracerísico de A e indicado por p(λ). Para cada raíz λ i de p(λ) exise pelo menos um veor não nulo v i al que Av i = λ i v i. Todo polinômio de grau n 1 em pelo menos uma raiz complexa o que garane que oda mariz em pelo menos um valor próprio e consequenemene, pelo menos um veor próprio. Considerando que p(λ) possa vir a er n raízes disinas, pode-se dizer que oda mariz n n em no máximo n veores próprios linearmene independenes, pois o espaço de odos os veores em dimensão n. v 1 v v = 2 Observação 2.9. Seja v um veor de A com o valor próprio λ. Observa-se que: para qualquer consane c. v n A(cv) = cav = cλv = λ(cv) Porano, qualquer veor obido pelo produo de uma consane por um veor próprio de A ambém será um veor próprio de A. Para cada veor próprio de v i de A com valor próprio λ i, em-se uma solução X i () = e λ i v i de (2.20). Se A em n veores próprios linearmene independenes v 1,, v n com valores próprios λ 1,, λ n, enão v 1,, v n são soluções linearmene independenes de (2.20), conforme o Teorema (2.13), e X i (0) = v i. Pode-se enão escrever oda solução X() de (2.20) na forma: X() = c 1 e λ 1 v 1 + c 2 e λ 2 v c n e λn v n, (2.23) cuja solução será denominada como solução geral de (2.20). Teorema Quaisquer k auoveores de A, v 1,, v k, com valores próprios disinos λ 1,, λ k respecivamene, são linearmene independenes.

40 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 38 Demonsração: A prova será feia por indução sobre k, o número de auovalores disinos. Para k = 1 é imediao. Considere que quaisquer conjuno de n veores de A sejam linearmene independenes com n < k. Seja enão o conjuno v 1,, v n, v n+1 formado por veores próprios de A com seus respecivos valores próprios λ 1,, λ n, λ n+1, odos disinos enre si. Toma-se a seguine igualdade: c 1 v 1 + c 2 v c n v n + c n+1 v n+1 = 0, (2.24) onde c 1,, c n+1 são consanes a serem deerminadas. Aplicando A em ambos os membros de (2.24) obém-se: λ 1 c 1 v 1 + λ 2 c 2 v λ n c n v n + λ n+1 c n+1 v n+1 = 0. (2.25) Muliplicando (2.24) por λ 1 e subraindo o resulado de (2.25), (λ 2 λ 1 )c 2 v (λ n λ 1 )c n v n + (λ n+1 λ 1 )c n+1 v n+1 = 0. Tem-se por hipóese que v 2,, v n, v n+1 são linearmene independenes, consequenemene: (λ 2 λ 1 )c 2 = 0, (λ 3 λ 1 )c 2 = 0,, (λ n+1 λ 1 )c n+1 = 0. Como λ 2,, λ n, λ n+1 são disinos enre si, concluí-se que c 2, c 3,, c n+1 são odos nulos. A equação (2.24) implica que c 1 é zero ambém. Porano, v 1,, v n, v n+1 são linearmene independenes. Auovalores Complexos Se λ = α + iβ é um auovalor complexo de A com auoveor v = v 1 + iv 2, enão X() = e λ v é uma solução com valores complexos da equação diferencial (2.20). Noe que essa solução complexa é composa por duas soluções reais conforme o lema a seguir: Lema Se X() = Y () + iz() é uma solução com valores complexos de (2.20). Enão, ano Y () como Z() são soluções com valores reais de (2.20). Demonsração: Se X() = Y () + iz() é uma solução complexa de (2.20) enão: Ẋ() = Ẏ () + iż() = A(Ẏ () + iż()) = AẎ () + iaż(). Igualando as pares real e imaginária, obém-se Ẏ () = AY () e Ż() = AZ(), porano são soluções reais de (2.20). A função X() = e (α+iβ) (v 1 + iv 2 ) com valores complexos, pode ser expressa da forma: X() = e (α+iβ) (v 1 + iv 2 ) = e α [cos β + i sen β](v 1 + iv 2 ) = = e α [(v 1 cos β v 2 sen β) + i(v 1 sen β + v 2 cos β)]. Porano, Y () = e α (v 1 cos β v 2 sen β) (2.26)

41 Sisemas Lineares Homogêneos com os Coecienes Consanes 39 e são soluções reais de (2.20). Z() = e α (v 1 sen β + v 2 cos β) (2.27) Observação Se v é um auoveor de A com o auovalor λ, enão v, o complexo conjugado de v, é auoveor de A com o auovalor λ. Agora será mosrado que as soluções Y () e Z() são linearmene independenes. Por absurdo, admie-se que Y () e Z() são soluções linearmene dependenes, ou seja, exisem k 1 e k 2 não nulos saisfazendo, Subsiuindo (2.26) e (2.27), obém-se k 1 Y () + k 2 Z() = 0. k 1 e α (v 1 cos β v 2 sen β) + k 2 e α (v 1 sen β + v 2 cos β) = 0. Simplicando oda a expressão por e α, pois e α > 0 para odo real k 1 (v 1 cos β v 2 sen β) + k 2 (v 1 sen β + v 2 cos β) = 0. Manipulando o primeiro membro, em-se v 1 [k 1 cos β + k 2 sen β] + v 2 [k 2 cos β k 1 sen β] = 0. Como v 1 e v 2 são linearmene independenes por hipóese (cada um dos auoveores complexos esão associados a auovalores complexos disinos), implica que Igualando as duas equações, e manipulando a igualdade, ém-se que k 1 cos β + k 2 sen β = 0, k 2 cos β k 1 sen β = 0. k 1 cos β + k 2 sen β = k 2 cos β k 1 sen β. (k 1 k 2 ) cos β + (k 1 + k 2 ) sen β = 0, ou seja exisem k 1 e k 2 não nulos ais que saisfazem a equação acima, o que implica que cos β e sen β são linearmene dependenes, o que é uma conradição. Observação Noe que no caso de auovalores complexos, as soluções são dadas em ermos da exponencial complexa. Assim rabalha-se no conjuno dos números complexos. Para descrever as soluções com variáveis reais, usa-se o Lema 2.11.