INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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1 INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Gil da Cosa Marques Fundamenos de Maemáica I.1 Inrodução. Equações Diferenciais Lineares.3 Equações Lineares de Primeira ordem.3.1 Equações de Primeira ordem não homogêneas simples.3. Equações lineares homogêneas de primeira ordem.3.3 Equações com um ermo não Homogêneo Consane.4 Equações Lineares de segunda ordem.4.1 Equações Lineares de Segunda ordem lineares não-homogêneas simples.4. Casos especiais de Equações Diferenciais Homogêneas de Segunda Ordem.5 Equações Lineares Homogêneas de segunda ordem: caso geral.6 Solução da Equação Homogênea.6.1 Oscilações Superamorecidas.6. Oscilações Amorecidas Criicamene.6.3 Oscilações Subamorecidas.6.4 Oscilações forçadas: fone de correne alernada.7 Equações diferenciais Não lineares Licenciaura em Ciências USP/ Univesp

2 Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo Inrodução É noório o fao de que vivemos num mundo em ransformação. A presença de um deerminado agene num sisema físico (como, por exemplo, uma força) acarrea uma deerminada ransformação (o movimeno, no caso da força). Cada uma das mudanças aconece a uma deerminada axa de variação. O fao é que as leis da naureza expressam relações enre axas de variação do que é ransformado com os agenes responsáveis por elas. Usualmene, queremos deerminar as consequências (os efeios, porano) da presença dos agenes ransformadores, os quais são assumidos conhecidos. É disso que raa o problema das equações diferenciais nas ciências. Assim, a grande maioria das leis físicas, especialmene as leis fundamenais, é formulada em ermos de equações diferenciais. Em princípio, oda a química se reduziria a enconrar soluções para equações diferenciais mui especiais. O problema (e com ele a dificuldade) da previsão do clima envolve a deerminação de soluções de equações diferenciais. Muios problemas da elerônica, da eleroécnica, da engenharia civil podem ser formulados em ermos de equações diferenciais. Daí a relevância do ema para odas as ciências. Uma equação diferencial para funções de uma variável real é enendida, no senido mais amplo possível, como o problema de enconrar a função f(x) (a consequência) a parir de uma relação enre axas de variação de ordens disinas e os agenes que provocam a variação. Geralmene represenamos os agenes que provocam ransformações com funções represenadas a seguir pela função E(x). Assim, a solução de uma equação diferencial reside na deerminação da função f(x) que saisfaça a uma relação da forma: Φ d n f x n 1 ( ) d f ( x) df x f x Ex n n ( ),,, ( ) = ( ) 1 Denominamos ordem da equação diferencial, à ordem da derivada mais ala da equação. No caso acima, a ordem é dada pelo índice n. O dado mais relevane no problema das equações diferenciais é o agene E(x). No enano, em muios casos, uma equação diferencial é escria apenas como uma relação envolvendo axas de variação. Quando o ermo E(x) é nulo (E(x) = ), a equação será denominada homogênea..1 Fundamenos de Maemáica I

3 436 Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 A resolução de uma equação diferencial da forma geral.1 implica na deerminação da função f(x). Ou seja, na deerminação do que é ransformado quando sob a ação do agene E(x). Por exemplo, a lei de Newon relaciona a axa de variação de segunda ordem da posição de um objeo com o agene que provoca a mudança de posição. Tal agene recebe o nome de força, represenada por F( r). Sendo o veor posição represenado por r (), a lei de Newon se escreve como m dr () F r = ( ) d Assim, odo problema de mecânica se resume a enconrar soluções de equações diferenciais... Equações Diferenciais Lineares Num curso regular de cálculo, lidamos apenas com equações diferenciais lineares, as quais são definidas pela forma geral dada por: a d n f x n 1 ( ) d f x a a df x n a f x E x n + ( ) n n + + ( ) ( )= ( ).3 A expressão acima define uma equação linear não homogênea de ordem n. A equação homogênea, associada a ela, se escreve: a d n f x n 1 ( ) d f x a a df x n a f x n + ( ) n n + + ( ) 1 + ( )= A seguir, consideraremos apenas casos simples de equações diferenciais. Apesar de simples, algumas delas são de ineresse. A caracerísica mais marcane das equações diferenciais lineares diz respeio ao princípio da superposição. Ele afirma que, se ( ) ( ) ( ) ( ) f x, f x, f x f x, 1 3 n.5 Inrodução às Equações Diferenciais

4 Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo forem soluções linearmene independenes da equação diferencial.4, enão uma superposição das mesmas ambém o será. Assim, a solução mais geral possível da equação.3 será da forma: ( )= ( ) ( ) ( )+ + ( ) f x bf x + b f x + bf x b f x n n.6 onde b 1, b,..., b são consanes a serem deerminadas. Como regra geral, ais consanes são n deerminadas a parir de condições dias iniciais..3 Equações Lineares de Primeira ordem A equação linear de primeira ordem e mais geral possível pode ser escria como: a df ( x) + a f ( 1 x )= E ( x ).7 A seguir consideraremos os casos mais simples, encerrando esse ópico com a resolução da equação de primeira ordem para o caso em que o ermo não homogêneo é consane..3.1 Equações de Primeira ordem não homogêneas simples Consideremos o caso da equação diferencial de primeira ordem linear e não homogênea mais simples. Tais equações assumem a forma: df ( x) = Ex ( ).8 A resolução da equação acima implica em deerminar a função f(x) al que sua derivada seja uma função dada, a função E(x). Basicamene, a solução de.8 se reduz a enconrar a função primiiva da função E(x). Lembrando o conceio de diferencial de uma função, podemos escrever a equação acima sob a forma: df ( x)= E( x ).9 Fundamenos de Maemáica I

5 438 Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Inegrando ambos os lados da equação acima, obemos: x xa df ( u)= ( ) x xa E udu.1 donde enconramos a função f(x) em ermos de uma inegral de uma função de uma variável: ( ) ( )= ( ) f x f x Eudu A x xa Equações lineares homogêneas de primeira ordem Tais equações êm a forma geral: a df ( x) + bf ( x )=.1 A solução para a equação diferencial acima pode ser enconrada de uma forma simples, uma vez que ela pode ser reescria como: df ( x) f x ( ) = b a Sempre que f(x) não se anula, inegrando ermos a ermo, enconramos:.13 x df ( u) b = f( u) a x x x du.14 E, porano, a solução da equação diferencial.1 é: ln f x ln f x b ( a x x ) ( ) ( )=.15 ou, de oura forma: f x f x e b ( a x x ) ( )= ( ).16 Inrodução às Equações Diferenciais

6 Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo Exemplos Exemplo 1 Na Figura.1, apresenamos um circuio RC, não alimenado por uma fone. Traa-se de um circuio conendo apenas um capacior, cuja capaciância é C e um resisor cuja resisência é R. Nesse caso, eles se enconram disposos em série. Deermine a equação diferencial para o comporameno da carga elérica que flui pelo mesmo como função do empo, a parir do insane em que a chave é fechada. a b Figura.1: a. Circuio RC e b. o comporameno da correne como função do empo. Resolução: Levando-se em cona a lei de Kirchoff, ao ligarmos a chave enconraremos que a soma das diferenças de poencial ao longo do circuio deve se anular. Obemos, porano: Q C dq + RI = Q+ RC = d.17 De acordo com a solução.16, a carga elérica depende do empo de acordo com a expressão: Q Q ( ) e ()= RC.18 A correne elérica obedece igualmene a uma lei do decaimeno exponencial. Obemos: i dq d ()= = 1 RC e RC.19 Fundamenos de Maemáica I

7 44 Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Exemplo Analise o caso de um objeo que se movimena num fluido de al forma que não exisam ouras forças agindo na direção do movimeno, além daquela exercida pelo fluido. Admia que a força exercida pelo fluido seja uma força viscosa que dependa linearmene com a velocidade. Um bom exemplo dessa siuação é aquela de um barco que, a parir de um deerminado momeno, desliga o moor. Resolução: No caso, emos várias forças agindo sobre o objeo. Na direção normal à superfície do lago agem duas forças. A força peso é equilibrada pela força de empuxo. Na direção angencial emos apenas a força devido às colisões do barco com as parículas que compõem o fluido. Assim, nessa direção, a angencial, emos que a equação de Newon se escreve como: m dv () = bv () d. Figura.: Forças agindo sobre um barco em movimeno, com desaque para a força viscosa. Recaímos, assim, numa equação de primeira ordem para a velocidade. O problema agora recai naquele que denominamos inegração da equação diferencial. Nem sempre isso é simples como nesse caso. Para fazê-lo, reescrevemos a equação acima sob a forma: () () dv V b = m d = γ d Agora, inegramos os dois membros dessa equação. Essa inegração corresponde a efeuar a soma de Riemann de cada um dos lados, levando-se em cona a variável empo. Ou seja, inegramos ambos os ermos sobre os empos, desde um empo inicial aé o empo presene (): ( ) ( ) dv d = γ d V As duas inegrais envolvem a deerminação da função primiiva. Ambas são funções primiivas basane simples. Obemos: V () ln ( V () ) ln ( V ( ))= ln = γ( ) V ( ).1..3 Inrodução às Equações Diferenciais

8 Tomando agora a exponencial dos dois lados enconramos: Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo V V e γ ( ) ()= ( ).4 donde se infere que a velocidade do barco decresce exponencialmene. Para deerminarmos a posição, lembramos agora que, E, porano, emos a seguine relação enre diferenciais: d () = ()= V Ve γ( ).5 γ V e d ()= ( ).6 Inegrando a equação acima, eremos a idenidade: γ ( )= V e ( ) d.7 O que nos leva à solução: ( ) V γ x()= x( ) e ( ) γ 1.8 A conclusão é que o barco percorre uma disância x V γ ()=.9 aé parar. Assim, como resulado da uilização das leis de Newon, e a parir da solução da equação diferencial correspondene, é possível fazer uma previsão para a posição e a velocidade do barco para cada insane de empo. Tal solução envolve claramene as condições no insane omado como o insane inicial. Em paricular, vemos que a disancia percorrida depende da velocidade inicial. Quano maior for essa velocidade, ano maior será a disância percorrida pelo barco na água aé ele parar. Fundamenos de Maemáica I

9 44 Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo Equações com um ermo não Homogêneo Consane A equação diferencial, linear e de primeira ordem mais geral possível é da forma: a df ( x ) + bf ( x )= E ( x ).3 A seguir, apresenaremos a solução apenas no caso em que o ermo não homogêneo seja consane. Nesse caso, escrevemos: a df ( x ) + bf ( x )= E.31 Exemplo 3 Resolver a equação que descreve o movimeno de uma esfera quando sola num líquido viscoso. Resolução: Consideremos agora o caso de uma esfera que é sola denro de um liquido viscoso e que é colocada em movimeno sob a ação da gravidade. Devemos levar em cona, além da força da gravidade, a força exercida pelo fluido viscoso. Admiiremos ainda que o movimeno se dê ao longo do eixo y, pois agora o movimeno é na verical. Assim, levando em cona a força exercida pelo fluido como sendo direamene proporcional à velocidade, e a força graviacional como sendo consane, escrevemos a seguine equação de primeira ordem para a velocidade da esfera: m dv y () = bv mg.3 y ()+ d Essa equação é da forma.31 e ela pode ser escria da seguine forma: () dvy d g Vy ()+ = γ γ.33 Figura.3: Movimeno de uma esfera num meio viscoso. onde γ = b/m. Inrodução às Equações Diferenciais

10 Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Inegrando membro a membro a equação acima, obemos a solução para a velocidade em função da velocidade inicial V y ( ) (no caso em que a esfera é sola, essa velocidade é nula): 443 V y g g ()= Vy e + ( )+ γ γ γ ( ).34 A primeira conclusão à qual chegamos é que, independenemene do valor da velocidade inicial, a parícula ainge uma velocidade final, que é consane, e que é dada por: V y g ( final)= γ Observe-se que essa velocidade final é exaamene aquela para a qual a força exercida pelo líquido se orna igual à força graviacional. De fao, de.3 vemos que uma solução descrevendo o movimeno uniforme é válida desde que a velocidade final obedeça à seguine relação: bvy ( final) mg = Infere-se da equação de Newon, porano, que, ao aingir essa velocidade limie, a parícula se movimena com velocidade consane. Fao esse que se pode comprovar experimenalmene. A solução para a posição como função do empo é: g g y()= y ( ) Vy e 1 ( ) ( )+ γ( ) ( 1) γ γ γ Da solução dada pela expressão.37, concluímos que no limie em que o empo ende a infinio, obemos a seguine dependência da posição com o empo: g g y( ) y ( ) Vy 1 ( )+ ( )+ γ γ γ O que de novo indica que, com o passar do empo, o movimeno da esfera ende a ser um movimeno uniforme Equações Lineares de segunda ordem A equação linear de segunda ordem mais geral possível é da forma: a d f ( x) a df ( x) + + a f ( x )= E ( x ) 1.39 Fundamenos de Maemáica I

11 444 Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Sem o ermo não homogêneo essa equação é: ( ) + ( ) + ( )= a d f x a df x a f x Equações Lineares de Segunda ordem lineares não-homogêneas simples.4 Definiremos equações lineares de ordem n e simples como sendo equações lineares simples quando ais equações assumem a forma: n d f ( x ) = E ( x ) n.41 A razão para al denominação advém do fao de que ais equações são inegráveis. Ou seja, elas são solúveis uma vez que as soluções podem ser expressas em ermos de inegrais. Como primeiro passo, definimos uma função auxiliar definida por: ( ) n 1 d f x g( x)= n 1.4 A função auxiliar g(x) saisfaz à equação: dg ( x) = E ( x ).43 Cuja solução já foi discuida. Em seguida, definimos uma nova função auxiliar de um forma análoga a.4. E assim, sucessivamene. Assim, as equações lineares de segunda ordem mais simples e com um ermo não homogêneo são aquelas que podem ser escrias sob a forma: d f ( x ) = E ( x ).44 A solução para ais equações será ilusrada por meio do exemplo a seguir. O procedimeno adoado a seguir pode ser facilmene esendido para enconrar soluções para equações da forma.41. Inrodução às Equações Diferenciais

12 Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo Exemplo 4 Uma parícula de massa m se move numa região na qual o campo elérico é uniforme no espaço mas depende do empo E( r, )= E (). Escreva as equações de movimeno e deermine a solução para a velocidade e a posição da parícula a qualquer empo. Resolução: No caso em que o campo magnéico é nulo, a equação de Newon se escreve: m dr () q E r = ( ) d,.45 Com o inuio de buscar uma solução para al equação, inroduzimos a função veorial auxiliar: v ()= dr d ().46 onde, em princípio, v () é um função veorial desconhecida. No caso em apreço al função é a velocidade da parícula. Lembrando que o campo elérico depende só do empo, podemos escrever a equação.45 sob a forma: m dv () = q E () d Uilizando a definição de aceleração reduzimos o problema ao de deerminar a velocidade da parícula. Isso é possível nesse caso porque a equação para a velocidade é uma equação de primeira ordem no empo. A equação.45 pode ser reescria em ermos de diferenciais. Obemos: mdv()= q E () d Efeuando-se a inegral em cada um dos lados, somos levados à solução: m dv u ( ) du = q E ( udu ) du.49 A inegral do primeiro ermo é rivial e nos leva ao seguine resulado: m dv ( u ) du du m v v m v v = ( () ( ) )= () ( ).5 Fundamenos de Maemáica I

13 446 Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Inegrando ambos os membros da equação acima deerminamos a velocidade da parícula como função do empo: q v() v = m E ( u ) du Admiiremos que a velocidade inicial ( v ) seja conhecida. Esse é um pono muio imporane. A solução complea pressupõe o conhecimeno da velocidade em algum insane de empo. Essa é uma condição dia condição inicial pois é sabido que o movimeno depende de como ele se iniciou (arbirariamene omamos o inicio do movimeno no insane de empo = ). Como resulado das inegrais acima, só nos ineressa o que ocorreu depois desse insane de empo. Levando em cona a definição da velocidade a equação acima se escreve agora como uma equação de primeira ordem para a posição: dr () q v d m E = ( u ) du Inegrando cada ermo dessa equação, como fizemos para o caso da velocidade, enconraremos que o veor posição será dado pela expressão: y q r()= r( )+ v + dy E ( u) du m Como era de se esperar, a solução envolve o conhecimeno não só da velocidade no insane de empo inicial como ambém o conhecimeno da posição inicial da parícula. As condições iniciais a serem especificadas são, como em odo problema de mecânica, os dados sobre a posição e velocidade iniciais: r( )= r v( )= v Consideremos, a iulo de ilusração, o caso em que o campo elérico é um campo uniforme. Nesse caso o veor de posição para qualquer empo será dado por: r ()= r + q v + m E e, obemos da equação acima, que o movimeno é uniformemene variado pois a aceleração é consane e dada por: a ()= q m E Inrodução às Equações Diferenciais

14 Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo Imaginando uma escolha do eixo z coincidindo com a direção do campo elérico, a solução geral se escreve como: x= x + v x y = y + v y qeo z = z v m + z Casos especiais de Equações Diferenciais Homogêneas de Segunda Ordem Um caso basane imporane, por seu amplo uso, é aquele das equações diferenciais de segunda ordem que podem ser escrias sob a forma geral: d f( x) = ω f( x).58 A solução para ais equações será apresenada a parir de dois exemplos, os quais ilusram a relevância desse ipo de equação diferencial. Exemplo 5 O exemplo mais simples de equação diferencial de segunda ordem sem o ermo não homogêneo é aquele do Movimeno Harmônico Simples. Ou seja, o movimeno no qual uma parícula de massa m é colocada a oscilar sob o efeio de uma força elásica da forma: F( x)= kx onde k é uma consane dia elásica e x é a coordenada associada à posição da parícula..59 Figura.4: A força elásica em ação. A lei de Newon se escreve, no caso do M.H.S.: ma = kx.6 Fundamenos de Maemáica I

15 448 Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 e, porano, m d x kx d =.61 Para deerminarmos a solução para a equação acima, devemos lembrar que a derivada segunda da função seno e cosseno nos leva às mesmas funções precedidas de um sinal menos e de uma consane. Assim, se procurarmos duas soluções da forma: verificaremos que, se o parâmero ω for al que: x () = cosω 1 x () = sen ω.6 ω = k m.63 enão, qualquer uma delas saisfaz à equação.61, uma vez que: d x x ( 1() )= ω 1() d x x ( () )= ω ().64 Assim, a solução geral para a equação de Newon (.6) pode ser escria sob a forma de uma cominação linear das duas funções rigonoméricas (seno ou cosseno). Escrevemos, porano, a solução sob a forma: x ax + a x E, porano, a solução geral pode ser escria como: ()= () () a qual pode ser escria ainda como: x a cosω+ a sen ω ()= 1.66 Ou, analogamene, x()= Acos( ω+ θ ).67 ()= [ ] x A cos( ω)cos( θ ) sen( ω)sen( θ ) Traa-se de uma solução envolvendo dois parâmeros desconhecidos (A, θ ) e que podem ser deerminados como segue..68 Inrodução às Equações Diferenciais

16 Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Noemos primeiramene que a solução proposa.67 é al que o valor máximo do deslocameno x m será dado por: x m = O parâmero A é, porano, a ampliude do movimeno. A consane θ é a fase inicial. As consanes A e θ podem ser deerminadas a parir das condições iniciais. Iso é, a parir da posição e da velocidade iniciais A ( )= ( )= x x v v.7 Exemplo 6: Circuio RLC A resolução do problema de um circuio composo apenas por uma induância e um capacior ambém nos leva a uma equação da forma.58. Tal circuio é apresenado na Figura.4. Veremos que quando o circuio é fechado, a correne resulane é uma correne alernada. No circuio RLC mais simples, o circuio LC, admiimos apenas um induor caracerizado por uma induância L e um capacior de capacidade C. Esses componenes do circuio podem esar ligados em série ou em paralelo. Consideraremos aqui apenas o primeiro caso. O circuio será fechado num insane de empo = o capacior esá carregado, nese insane, Figura.5: Circuio LC. com uma carga cujo valor é Q. Ao fecharmos o circuio a carga elérica no capacior se orna função do empo, pois ela fluirá pelo mesmo alerando assim a carga elérica no capacior (em cada uma das suas placas). Ao fluir gera uma correne elérica fluindo no circuio. A equação diferencial básica do circuio LC é: Q () + () = C L di d.71 onde I() é a correne fluindo pelo circuio e Q() é a carga armazenada no capacior. Em ermos da carga elérica, a equação.71 se escreve: () () + = Q C L dq d.7 Obemos assim uma equação diferencial que é um caso paricular de.58. De acordo com o que foi discuido aneriormene, nese caso a solução geral é da forma: ( ) Q = Q sen ω + δ Para a solução dada acima, a correne elérica será dada por: I = I cos( ω+ δ)= ωq cos( ω + δ) Fundamenos de Maemáica I

17 45 onde Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 ω= LC A condição de que a carga no capacior inicialmene é dada pelo valor Q, implica que a fase se anula. Escrevemos assim, δ =. Concluímos, a parir de.73 e.74, que depois de fechado o circuio, ano a carga quano a correne dependem do empo de uma forma periódica. Ou seja, a correne é alernada de período T = π/ω. Um caso mais geral é aquele no qual o circuio é alimenado por uma baeria ou por um gerador de correne alernada. As fones de correne podem ser, porano, fones de correne coninua ou fones de correnes alernadas. Esses casos serão discuidos a seguir Equações Lineares Homogêneas de segunda ordem: caso geral Soluções gerais para as equações lineares de segunda ordem serão apresenadas por meio de um exemplo exraído do esudo dos circuios RLC. Exemplo 7: Circuio RLC O circuio RLC, quando alimenado por uma fone, conforme ilusrado na Figura.6, provê o melhor exemplo de equações diferenciais da forma.39. Num circuio RLC, as grandezas físicas relevanes como carga elérica armazenada no capacior ou a correne que percorre o circuio são grandezas físicas que dependem do empo. Pode-se deerminar al dependência a parir de uma equação diferencial linear de segunda ordem no empo. Por essa razão, ais circuios são denominados de circuios de segunda ordem no empo. Figura.6: Circuio RLC alimenado por uma fone de ensão. Para escrevermos a equação diferencial que é a base para o esudo dos circuios RLC, começamos pela lei de Kirchoff para circuios no que ange à soma das diferenças de poenciais. Escrevemos: V() + V() + V() = V() c r i onde V é a volagem provida pela fone de correne elérica e as diferenças de poencial são aquelas dos diversos elemenos do circuio: o capacior, o resisor e o induor. Uilizando as expressões para as diferenças de poencial nos erminais de cada um dos elemenos em.76, obemos a equação: Q() RI L di + () ()+ = V () C d Inrodução às Equações Diferenciais

18 Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 onde Q é a carga elérica e I é a correne elérica que percorre o circuio. Lembrando a relação enre essas grandezas: dq() I()= d e subsiuindo essa expressão na equação.77, obemos a equação diferencial de segunda ordem: Q R dq L dq () + () + () V = () C d d.79 Que é a equação fundamenal para circuios RLC em série. Pode-se escrever a solução para a equação acima como sendo dada por uma soma envolvendo dois ermos: Q Q Q ()= ()+ () onde Q () é uma solução da equação homogenea (ou livre), enquano Q G () é uma solução da equação geral, ou seja, da equação.79. G.8.6 Solução da Equação Homogênea Soluções da equação homogênea são de ineresse por dois moivos. Em primeiro lugar, porque al equação descreve um circuio RLC quando não alimenado por uma fone. Soluções dessa equação esão associadas a uma siuação física na qual inicialmene exise uma cera quanidade de carga no capacior, ou uma correne no circuio (ou ambos). Denominamos as cargas e correnes exisenes no início (caracerizado pelo empo = ) por: ( )= ( ) ( = )= ( ) Q = Q, I I.81 Procurar soluções para a equação homogênea é imporane, por ouro lado, sempre que esivermos ineressados em efeios de ransienes nos circuios alimenados por uma fone. Iso é, efeios que êm a ver com as condições iniciais do sisema, mas que vão se ornando menos e menos imporanes à medida que o empo passa. Fundamenos de Maemáica I

19 45 Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 A equação homogênea se escreve: Q R dq L dq () + () + () = C d d.8 Tal equação é análoga à de um oscilador harmônico amorecido. Iso é, um oscilador que esá sujeio a uma forção de amorecimeno da forma: F = bv = b d.83 No caso do oscilador harmônico simples, a equação análoga a.8 é 1 C k, R b, L m, Q X.84 onde X é a posição da parícula como função do empo, k é a consane elásica da mola e m é a massa da parícula. Temos assim uma correspondência com um análogo mecânico. Isso faz com que possamos passar de um problema para o ouro efeuando as seguines subsiuições: 1 C k, R b, L m, Q X.85 A forma de resolver equações da forma.8 é aravés da enaiva de se buscar uma solução da forma: Q Qe i ω ( ()= ).86 Claramene al solução é uma função a valores complexos. Assim, as soluções fisicamene aceiáveis são ou a pare real, ou a pare imaginária de Q(), ou uma combinação linear das soluções. Dessa forma, se definirmos Q 1 e Q como as pares reais e imaginárias, Q Re Q, Q ImQ () () () () 1.87 Enão, a solução da equação homogênea será dada como uma combinação linear das duas soluções. Inrodução às Equações Diferenciais

20 Escrevemos assim: Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo Q()= aq 1 1 ()+ aq ().88 onde a 1 e a são consanes arbirárias, mas que podem ser deerminadas a parir das condições iniciais. Ou seja, a parir das condições dadas quando iniciamos o esudo do fenômeno. A subsiuição da solução proposa em.8 resula na seguine equação: ω C ω + iωr+ L Q e i = o que nos leva a concluir que uma solução como aquela proposa na equação.8 é de fao possível, desde que ω seja dado como uma das soluções da equação do segundo grau:.89 ω C + iωr+ L =.9 Temos, assim, duas soluções: ω 1 ω = 1 irc 4LC RC, irc 4LC ( RC ) + = + ( ).91 Em função dos possíveis valores de R, L e C, podemos er rês siuações físicas disinas..6.1 Oscilações Superamorecidas Esse caso ocorre para valores da resisência muio grandes. Ou seja, saisfazendo a condição R < L C.9 o circuio RLC oscilará, mas de uma forma muio peculiar. Isso é, ele será superamorecido. Isso decorre da solução que será da forma: RC L RC RC L 1 4 RC 1 4 RC Q Ae RC e Be e ()= +.93 Fundamenos de Maemáica I

21 454 Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 e, porano, descrevendo a carga sendo coninuamene elérica no circuio diminuindo coninuamene (exponencialmene decrescene). Isso resula da fore dissipação que ocorre no resisor e que resula no superamorecimeno da solução. As consanes A e B da solução acima podem ser deerminas a parir da carga no capacior no insane de empo igual a zero e da correne elérica. Por exemplo: Q ( o )= A + B Oscilações Amorecidas Criicamene Esse caso ocorre para uma relação especifica enre as consanes R, L e C. Ou seja, quando essas grandezas saisfazem a condição: R = L C.95 o circuio RLC será amorecido de uma forma dia críica. A solução agora é da forma: Q A B e ()=( + ) RC.96 Essa é uma solução que, como no caso anerior, descreve uma siuação física na qual o capacior é coninuamene descarregado e no qual a correne no circuio decresce exponencialmene: 1 I()= B RC( A+ B) e RC.97 As consanes A e B da solução acima são deerminadas a parir da carga no capacior no insane de empo igual a zero e da correne elérica nesse insane de empo. Temos, expliciamene: A= Q ( ) o 1 B I RCQ = ( )+ ( ).98 Inrodução às Equações Diferenciais

22 Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo Oscilações Subamorecidas Esse é o caso mais ineressane dos rês. Ele ocorre para valores das consanes que saisfaçam a condição: R > L C.99 A solução geral agora será da forma: RC RC Q () = Ee cosω + De senω.1 onde E e D são consanes a serem deerminadas a parir das condições iniciais e ω' é uma frequência dada por: = RC ω ω.11 A consane C dá a carga elérica do sisema no insane de empo =. ( ) C = Q =.1 onde ω = LC é, como se verá a seguir, a frequência naural de oscilação do sisema quando a resisência ende a zero..6.4 Oscilações forçadas: fone de correne alernada Consideremos o caso em que o circuio seja alimenado por uma fone de correne alernada. Escrevemos para a diferença de poencial provida pelo gerador: ()= ( + ϕ ) V VCos ω.13 Fundamenos de Maemáica I

23 456 Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Denominaremos o valor máximo da diferença de poencial (V ) de ampliude. A consane φ é uma fase cuja imporância nesse pono não é muio grande, uma vez que ela pode ser eliminada aravés de uma escolha adequada do empo inicial. Para uma alimenação do circuio dada por.13, a equação de um circuio RLC será dada por: Q () R dq () L dq () + + = VCos ω + ϕ C d d ( ).14 Com o inuio de buscarmos soluções para a equação acima, escreveremos essa equação de al forma a admiir soluções com variáveis complexas. Designaremos as soluções complexas por Q * (). Tal solução pode ser enconrada ao escrevermos a equação acima como: Q R dq L dq () + () + () Ve i = C d d ( ω + ϕ ).15 A solução preendida será dada como a pare real da solução complexa (Q()), iso é, Q ReQ ()= ().16 Como no caso anerior, procuraremos soluções da forma exponencial. Para isso, escrevemos: Q Ae i ω ()=.17 Subsiuindo a solução proposa em.17, na equação.15 enconraremos que, de fao, uma al solução é possível desde que: 1 C + i R L ω ω A = V Ou seja, se A for um número complexo dado por: A V 1 = L R ω ω + iω L Inrodução às Equações Diferenciais

24 Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo onde a frequência naural de oscilação é dada em.75. Uilizando a propriedade fundamenal dos números complexos, podemos escrever qualquer número sob a forma de uma ampliude vezes uma exponencial, iθ b a+ ib= a + be onde θ = arcg a.11 Uilizando a idenidade acima, a ampliude se escreve como: A V = L e iθ R ( ) + ω ω ω L onde θ é uma diferença de fase dada por: R ω θ = arcg L ω ω.11 Assim, a solução geral para o circuio RLC quando alimenado por uma fone de correne alernada é dada pela pare real de.17 com a consane A dada por.111. Obemos assim: Q ()= V L cos( ω + ϕ + θ ) R ω ω ω L ( ) + 1 Q M cos( ω + ϕ + θ ).113 A solução mais geral possível para um circuio RLC, levando-se em cona efeios de ransiene, é dada pela solução paricular.113 mais a solução geral. Escrevemos porano: V Q()= Ee cosω + De senω + L cos( ω + ϕ + θ ) RC RC ( ω ω ) + ω R L Fundamenos de Maemáica I

25 458 Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 onde as consanes E e D são obidas a parir das condições iniciais. Os ermos de ransiene, que dependem das condições iniciais do sisema, endem a zero exponencialmene. Ou seja, só em efeios significaivos quando ligamos a fone. Depois de um alguns insanes, a correne no sisema será uma correne alernada com a mesma frequência da fone e dada pela expressão: I()= I sen ω+ ϕ + θ M ( ).115 onde o valor máximo da correne será dado por: I M = Vω L R ( ) + ω ω ω L Um ouro efeio inroduzido pelos componenes RLC no sisema é inroduzir uma diferença de fase em relação à fase da fone. Essa diferença de fase é θ, onde esse ângulo é definido em.11. A diferença de fase se anula quando a resisência é nula..7 Equações diferenciais Não lineares Esses casos são mais complexos. Nem sempre é possível enconrar uma solução simples. Considere o caso de uma equação diferencial da forma: a df x ( ) + ( )= bf x E.117 Exemplo 8: Resolva as equações diferenciais resulanes no esudo do movimeno da bolha quando consideramos o caso de uma força que depende do quadrado da velocidade. Resolução: Nesse caso a lei de Newon se escreve como: m dv d () = ()+ BV mg.118 Inrodução às Equações Diferenciais

26 Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Apesar de er a mesma forma da equação anerior, essa equação não é uma equação linear. Ou seja, não vale o princípio da superposição para ela. Como no caso anerior, no enano, podemos escrevê-la de uma forma equivalene à expressão.117. Ou seja, V y dvy () d g ()+ = γ γ Inegrando membro a membro a equação acima, obemos a solução para o caso de uma velocidade inicial diferene de zero, ou seja: g Vy()= Vy( )+ γ anh Assim, nos insanes de empo iniciais, caracerizados pela condição (gγ) 1/, podemos verificar que o movimeno é acelerado, pois nesse caso vale o resulado aproximado: 1 / gγ V V g y () ( )+ y.11 Enquano para grandes valores do inervalo de empo, caracerizados pela condição (gγ) 1/, a solução.11 nos leva a um valor consane da velocidade, esse valor agora é, considerando-se agora o caso de velocidade inicial nula, dado por: V y ()= g γ 1 /.1 Valor esse que poderíamos deduzir do fao de que, nesse limie, as forcas se compensam, levando-nos ao resulado: ()+ = ()= g BV mg V y Concluímos assim que, como no caso anerior, a parícula ainge uma velocidade final consane. Se a parícula pare de uma posição inicial y() =, sua coordenada y dependerá do empo, da seguine forma: y()= g 1 ln cosh ( γ ) γ γ E, porano, nos insanes iniciais do movimeno ( (gγ) 1/ ), emos: y 1 / y () 1 g.15 enquano nos insanes finais (aqueles para os quais vale a desigualdade (gγ) 1/ ) o movimeno será uniforme. Fundamenos de Maemáica I

27 46 Licenciaura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Nesse limie, a solução.14 nos leva ao resulado: y () g 1 γ γ ( ln ).16 o qual é ineiramene compaível com.13. Muias vezes a derivada aparece na forma do quadrado. Por exemplo, no esudo do movimeno dos planeas, recaímos numa equação da forma: E m dr a k = d + r r onde a, m, E e k são consanes. Essa equação se reduz a uma forma inegrável, pois em úlima insância pode ser escria como: d = dr E k a + m r r E esa pode ser inegrada depois de escrevermos, para o sinal posiivo, a seguine expressão: E k a dr ± + = m r r d.19 e, porano, reduzimos o problema a deerminar inegrais indefinidas. Lisa de Imagens Thinksock.com: Figuras.7, 7.. Inrodução às Equações Diferenciais