Integração por substituição (mudança de variável)

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1 Inegrais Inegrais Pare II IV. Técnicas de inegração Quando o inegral (definido ou indefinido) não é imediao ou quase imediao, recorremos a ouras écnicas de inegração. Inegração por subsiuição (mudança de variável) Seja uma primiiva da função e uma função derivável al que,,. Podemos enão considerar a função composa,,. Aplicando a Regra da Cadeia logo, Recorde que: Se é uma primiiva de emos,. Para simplificar esa epressão podemos considerar e porano (consular guião M@ b_complemenos de Derivação). Subsiuindo na igualdade anerior,. De seguida vamos resolver o eemplo da página 5 do Guião inegrais Pare I, uiliando, agora, o méodo de inegração por subsiuição. Eemplo Calcule o inegral Passos auiliares:. Considera se a mudança de variável: 5 Faendo enão Calcular o inegral em ordem a Página de 6

2 Inegrais 0. Para aplicar a fórmula é necessário inroduir o facor 0 no inegrando, pelo que se muliplicará o inegral por, Repare que após a mudança de variável e a resolução do inegral obemos uma função na variável, que não é a variável inicial da função que esamos a inegrar. É por isso necessário volar a efecuar uma mudança de variável. Como 5, 5 8 5,. O Méodo de Inegração por Subsiuição ou ambém designado por Mudança de Variável é dado por Faendo e subsiuindo por, obemos,. Sendo uma primiiva de. Para aplicarmos ese méodo é necessário efecuarmos os seguines passos: I. Subsiui se a variável dada por oura variável (função de subsiuição) ; II. Subsiui se por dado que ; III. Inegra se a função obida em ordem à nova variável ; IV. Vola se à variável original subsiuindo por. Página de 6

3 Inegrais Eemplo : Calcule. ln Faendo enão ln. ln ln Cálculos auiliares:. Considera se a mudança de variável: ln. ln. Calcular o inegral em ordem a. Depois de calculado o inegral, subsiui se novamene, desa ve por Como ln,,. Sendo uma função conínua no inervalo,, o cálculo do inegral definido de em, efecua se, calculando o inegral indefinido e no final aplicando o º Teorema Fundamenal do Cálculo.. Eemplo : Calcule, por mudança de variável, o inegral definido /.. Calculemos o inegral indefinido., uiliando a mudança de variável:. Enão Subsiuindo vem:..,. Página de 6

4 Inegrais Subsiuindo novamene, desa ve por :. 7,. Assim, dado que o domínio da epressão inegranda é,.. 7 /. Aenção: Quando usamos o méodo de subsiuição no cálculo de um inegral definido, emos que er o cuidado de efecuar a subsiuição dos eremos de inegração na primiiva da função, depois desa esar na variável inicial. Como alernaiva à resolução apresenada, poderíamos er uiliado o Teorema da Mudança de Variável. Teorema da Mudança de Variável Sejam e funções reais de variável real, e uma função derivável, conínua e inverível em,, com derivada conínua em,, onde., Com a aplicação dese eorema não é necessário volar à variável original após inegração, no enano, é necessário alerar os eremos de inegração. Vamos aplicar ese eorema para resolver o eemplo anerior. Uiliando a mudança de variável, e subsiuindo e e. 7 7 Página 4 de 6

5 Inegrais Eercícios. Calcule:.. ;.. ; Página 5 de 6

6 Inegrais.Inegração por pares Ese méodo é baseado na regra da derivada do produo. Dadas duas funções reais de variável real e, deriváveis, emos que: logo,. Tal como não é verdade que, não é verdade que. Inegração por pares Sejam e duas funções reais de variável real, deriváveis, enão. Noa: pode ser uma qualquer primiiva de. Ese méodo é aplicável sempre que esamos perane um produo de funções e se conhece uma primiiva de pelo menos um dos facores. Eemplo: Calcule o inegral indefinido. A função a primiivar é um produo de dois facores (méodo de inegração por pares). Como sabemos inegrar qualquer das funções, aparenemene, a escolha é indiferene. Façamos e Aplicando a fórmula de inegração por pares vem: Repare que: O problema complicou se, obendo se uma nova primiiva produo da eponencial por um polinómio do º grau., Neses casos apenas precisamos de uma primiiva e não da família de primiivas. Por uma quesão de simplificação consideramos sempre 0. Vamos rocar o papel das funções. Façamos: e Temos que Aplicando a fórmula de inegração por pares vem: Como podemos observar, nese caso é imediao resolver o inegral. Página 6 de 6

7 Inegrais dado por: O inegral definido da função no inervalo,, sendo esa conínua nesse inervalo, é. Eemplo: Calcule o inegral definido. Noe que, e é coninua em. Vimos no eemplo anerior que Logo,.. Em geral, como escolher e? Se conhecermos a primiiva de ambos os facores, devemos escolher para derivar aquele que mais simplifica por derivação. Eemplo: Calcule o inegral indefinido. Cálculos auiliares:,., 4. Página 7 de 6

8 Inegrais Se só um dos dois facores admie uma primiiva imediaa, escolhemos esse para primiivar e o ouro para derivar. Por eemplo, as funções rigonoméricas inversas (arcsen, arcos, arcg) e as logarímicas não admiem uma primiiva imediaa logo, devem ser escolhidas para derivar. Os polinómios devem ser escolhidos para derivar quando não é imediaa a inegração do ouro facor. Eemplo: Calcule o inegral indefinido. Cálculos auiliares: Nese caso emos apenas uma função que não sabemos inegrar, conudo esa primiiva calcula se usando o méodo de inegração por pares uma ve que podemos considerar,. Se o inegrane for uma única função, que não sabemos inegrar mas que se simplifica por derivação (como o caso do logarimo e das funções rigonoméricas inversas), escreve se e escolhe se obviamene a função para derivar e a função consane,, para inegrar. Eemplo: Calcule o inegral. Na primeira pare do guião resolvemos ese inegral recorrendo às fórmulas rigonoméricas. No enano, ese inegral ambém pode ser resolvido uiliando o méodo de inegração por pares. Repare que:. Aplicando o méodo de inegração por pares vem: Cálculos auiliares: Página 8 de 6

9 Inegrais,. Pela aplicação sucessiva da regra de inegração por pares, pode aparecer no segundo membro um inegral igual ao que se preende calcular. Isola se enão esse inegral e resolve se a equação. Eercícios. Calcule: a. ; b. ; c. ; d. ; e. ; f.. Página 9 de 6

10 Inegrais. Inegração de funções racionais Chama se função racional a qualquer função da forma polinómios em e 0., onde e são O cálculo da primiiva de algumas funções racionais é imediao ou quase imediao. Neses casos incluem se as funções cujas primiivas são funções logarímicas ou rigonoméricas inversas. Vejamos alguns eemplos.,.,.,. Podemos ainda er oura siuação, como por eemplo:,. Eisem no enano ouras funções racionais em que esas regras não se aplicam. Nese caso, duas siuações podem aconecer: I. o grau do polinómio do numerador é menor do que o grau do polinómio do denominador; Eemplo: 5 7 II. o grau do polinómio do numerador é maior ou igual do que o grau do polinómio do denominador. Eemplos: 44 Página 0 de 6

11 Inegrais Quando nos enconramos na siuação II, vamos simplificar a fracção racional aplicando o algorimo da divisão aos polinómios. Algorimo da divisão. A aplicação do algorimo a divisão à nossa função racional (quando o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador) permie nos escrevê la como a soma de um polinómio com uma função racional cujo grau do numerador é menor que o grau do denominador. Por vees esa decomposição basa para resolver o inegral. Eemplo: Calcule. A função inegranda é uma função racional cujo grau do numerador é maior que o grau do denominador. Vamos por isso aplicar o algorimo da divisão. Algorimo da divisão Enão 4 Assim,,. Página de 6

12 Inegrais enconra se na siuação I, viso que ao efecuar o algorimo da divisão o grau do polinómio é sempre menor do que o grau do polinómio. Eemplo: Calcule 44. Algorimo da divisão Enão Não é um inegral imediao/quase imediao. Decomposição em Fracções Parciais A resolução do inegral de uma fracção racional quando o grau do numerador é menor que o grau do denominador é efecuada usando o méodo das fracções parciais. Ese processo consise em separar uma dada fracção numa soma de fracções com denominadores mais simples. Para al, emos que facoriar o denominador. Facoriar o denominador Facoriar um polinómio é decompô lo num produo de polinómios de grau inferior. Ver mais Guião do M@b. Vamos decompor o polinómio. Calculemos os eros do polinómio. 0 Aplicando a fórmula resolvene: 4 4. Logo Página de 6

13 Inegrais Qualquer epressão racional (al que o grau de é inferior ao grau de ) pode escrever se como soma de epressões racionais cujos denominadores envolvam poências de polinómios de grau ou de grau sem raíes reais, enão onde, onde, e,, onde é irreduível (polinómio de grau dois que não admie raíes reais). A soma designa se por decomposição em fracções parciais de e cada é uma fracção parcial. Para ober a decomposição em fracções parciais seguimos os seguines passos. Passo Eprimir o denominador como produo de facores e/ou facores irreduíveis do ipo. Caso eisam facores repeidos, agrupamo los de modo que se epresse como o produo de facores diferenes da forma e/ou, onde,. Passo Aplicam se as seguines regras: Regra : A cada facor da forma,, corresponde na decomposição às seguines de fracções parciais: onde cada é um número real. Página de 6

14 Inegrais Regra : A cada facor da forma, onde n e é irreduível, corresponde na decomposição, às seguines fracções parciais, onde, para cada, e são números reais. fracção Volando ao úlimo eemplo, preendemos calcular fracções parciais., para isso vamos escrever a como soma de fracções mais simples, uiliando o méodo de decomposição em Temos que 5 7 Logo A ese méodo chama se Méodo dos Coeficienes Indeeeminados. Por ese ser um sisema de equações lineares, pode ser resolvido pelo Méodo de Eliminação de Gauss Jordan ou regra de Cramer. O cálculo das consanes e pode ainda ser feio omando se valores de que anulem os respecivos coeficienes, que nese caso são e.. Faendo na igualdade 5 7, emos Faendo na igualdade 5 7, emos Página 4 de 6

15 Inegrais Esa regra é compensaória quando os valores de que anulem os coeficienes não são repeidos. Deerminados A e B em se 5 7. Logo 5 7 ln ln,. Assim, volando ao cálculo do inegral da página, emos ln ln,. Eemplo: Calcule. A função inegranda é uma função racional cujo grau do numerador é menor que o grau do denominador. Enão vamos eprimir o denominador como um produo de facores de grau e/ou grau sem raíes reais. Passo Facoriando o denominador escrevemos. Como o facor aparece repeido, Vamos decompor o polinómio. Calculemos os eros do polinómio. 0. Colocando em evidência o ermo em, 0 0 Aplicando a lei do anulameno do produo: Logo. Passo Nese caso, como os facores são odos da forma, aplicamos a regra. Página 5 de 6

16 Inegrais Porano, emos uma decomposição da forma onde, e são consanes a deerminar., Para deerminar essas consanes uiliamos o Méodo dos Coeficienes Indeerminados: logo 0. Assim. Temos porano,. Já esudamos os casos em que a facoriação de resula num produo de polinómios de grau. Vamos agora analisar siuações em que na facoriação de esão presenes polinómios irreduíveis de grau. Página 6 de 6

17 Inegrais Eemplo: Calcule. é uma função racional, em que o grau do polinómio numerador é menor que o grau do polinómio denominador. Passo Decompor o polinómio num produo de polinómios de grau e/ou em polinómios de grau dois irreduíveis (polinómio de grau dois sem raíes reais) Agrupar os facores repeidos, se eisirem. Regra Regra Passo Escrever a função como soma de fracções parciais (nese caso, são duas). Méodo dos Coeficienes Indeerminados. Deerminar as incógnias Calcular cada uma das primiivas 0 Assim ln,. Página 7 de 6

18 Inegrais Eemplo Calcule. A função inegranda é uma função racional cujo grau do numerador é menor que grau do denominador. Passo Facoriando o denominador escrevemos logo,. Analisando os facores repeidos, agrupam se de modo a que se epresse como o produo de facores diferenes da forma e/ou, onde, logo, Passo Polinómio Parcelas Nese caso, emos a decomposição da forma Regra Regra onde,,,,, e são consanes a deerminar. Após deerminar as incógnias, emos que inegrar cada uma das parcelas. Página 8 de 6

19 Inegrais Resumo: Considere a função racional, com 0. Se o grau de for maior ou igual ao grau de efecua se a divisão dos polinómios, aplicando se poseriormene, se necessário, o processo de decomposição de fracções parciais. Processo de decomposição em fracções parciais Se o grau de for menor ao grau de uilia se, se necessário, o processo de decomposição em fracções parciais. No cálculo de inegrais de funções racionais aplicamos normalmene as seguines regras:,,.,.,. Eercícios. Calcule: a. ; b. ; c. ; d. ; e.. Página 9 de 6

20 Inegrais 4. Ouras mudanças de variável Uma das principais dificuldades na inegração por subsiuição reside na escolha da mudança de variável. Quando as funções a inegrar êm deerminadas caracerísicas, podem ser uiliadas mudanças de variável aconselhadas, como apresenamos a seguir. Muias desas mudanças de variável produem o inegral de uma função racional. Para calcular o inegral de funções que resulam de operações racionais de epressões do ipo /, /, deve se calcular o mínimo múliplo comum enre,...,,. Enão a mudança de variável aconselhada é. Após esa mudança de variável emos o inegral de uma função racional. Eemplo Calcule. / / Como o menor múliplo comum dos índices das raíes,,4 4, efecuamos a subsiuição: Assim emos 4. / / Página 0 de 6

21 Inegrais Algorimo da divisão Enão ln ln,. Para volamos à variável original, nese caso, emos que: ln ln,. Página de 6

22 Inegrais Para calcular o inegral de funções que resulam de operações racionais de epressões do ipo / /,, deve se calcular o mínimo múliplo comum enre,...,,. Enão a mudança de variável aconselhada é. Após esa mudança de variável emos o inegral de uma função racional. Eemplo Calcule. Calculemos o inegral indefinido /. / Como o menor múliplo comum dos índices das raíes é, 6, efecuamos a subsiuição: Assim emos Página de 6

23 Inegrais Algorimo da divisão Enão Volando ao cálculo do inegral: ln,. Para volarmos à variável original, nese caso, emos que: 6 ln,. E assim, como a função ln 6 é conínua no inervalo,5, ln ln 4. Para calcular o inegral de funções que resulam de operações racionais de epressões do ipo,,,, deve se calcular o máimo divisor comum enre,...,,. Enão a mudança de variável aconselhada é. Página de 6

24 Inegrais Eemplo Calcule. Como o,, efecuamos a subsiuição:. Assim emos. Logo, ln. Repare que no inegral não é possível colocar em evidencia o facor e porano não podemos subsiuir o por. Nesa siuação resolvemos em ordem a, ou seja, ln, e assim, Recorde:. c,. Para volamos à variável original, nese caso, emos que:,. Calculo auiliar. Dese modo já é possível subsiuir no inegral por e por. A função inegranda é uma função racional cujo grau do numerador é menor que o grau do denominador. Passo. Passo Nese caso, como os facores são odos da forma, aplicamos a regra. Porano, emos uma decomposição da forma onde, e são consanes a deerminar. Para deerminar essas consanes uiliamos o Méodo dos Coeficienes Indeerminados: logo 0 0. Assim. Temos porano,., Página 4 de 6

25 Inegrais Para calcular o inegral de funções que resulam de operações racionais de epressões do ipo ln,ln, deve se calcular o máimo divisor comum enre,...,,. Enão a mudança de variável aconselhada é.,, Eemplo Calcule. Como o,4, efecuamos a subsiuição:. Esamos na mesma siuação que no eemplo anerior, uma ve que não podemos subsiuir no inegral. Assim, Recorde:, logo,. 4 Algorimo da divisão. Enão Página 5 de 6

26 Inegrais,. Para volarmos à variável original, nese caso, emos que:.,. 4 [PISK] Chama se binómio diferencial à epressão em que,,,,, são consanes. O inegral do binómio diferencial pode ser reduido, se,, forem números racionais, ao inegral duma função racional nos seguines rês casos: ) é um número ineiro, iso é, ; ) é um número ineiro; ) é um número ineiro. Página 6 de 6

27 Inegrais Em qualquer um dos casos referidos, devemos proceder, inicialmene, à mudança de variável seguine: Desa resula o seguine: n n, d d. n n p q p ( a b ) d ( a b) d m m n onde q. n A segunda mudança de variável aconselhada depende do caso em nos enconramos, assim, ) se p é um número ineiro, e sendo q o número racional subsiuição r q, devemos efecuar a s s ; ) se m n é um número ineiro e sendo p o número racional λ p, devemos μ efecuar a subsiuição a b ; m ) se p é um número ineiro, iso é, q n seguine modificação μ p é ineiro, façamos primeiro a Eemplo q a b p q p ( a b) d d e, de seguida, consideremos a subsiuição a b μ λ ( p ). μ p, Calcule. ; ; ª mudança de variável, logo Como, mas 0, enconramo nos no º caso. Página 7 de 6

28 Inegrais Página 8 de 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C C C d d d d d d d ln ln ln ln ) )( ( 4 v. m. ª v. m. ª Eemplo Calcule. Noe que 4 é uma função racional à variável Algorimo da divisão 4 4 Decompondo em fracções simples. e ) ( ) ( ) )( ( B A B A B A Para volar à variável : ; ; ª mudança de variável, logo Como,, mas 0, enconramo nos no º caso. ª mudança de variável, logo

29 Inegrais Página 9 de 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C C C d d d d d d d d d ln ln ln ln ) )( ( v. m. ª v. m. ª Noe que é uma função racional à variável Algorimo da divisão Decompondo em fracções simples. e ) ( ) ( ) )( ( B A B A B A Para volar à variável : ª mudança de variável (após a modificação efecuada) Logo,

30 Inegrais Para calcular o inegral de funções que envolvem epressões radicais do ipo Efecuamos respecivamene a mudança de variável (subsiuição rigonomérica) Esas mudanças de variável ambém se aplicam se no lugar de esiver uma função linear,. Na abela seguine emos um resumo de cada uma das mudanças de variável aneriores. Epressão Subsiuição a efecuar Cálculo do inegral Para volar à variável inicial Simplificar usando a relação rigonomérica Simplificar usando a relação rigonomérica Simplificar usando a relação rigonomérica Página 0 de 6

31 Inegrais Eemplo Calcule 9.. Função irracional quadráica incomplea da forma. Subsiuição: cos.. Subsiuindo, inegra se a função obida em ordem à nova variável. 9 9 cos 9 9 cos 9 cos cos 9 cos ,.. Como. No nosso caso,,,, Para calcular cos usamos a relação rigonomérica Em alernaiva, repare que: se ivermos o riângulo recângulo, em que um dos ângulos em ampliude, o caeo oposo a esse ângulo mede e a hipoenusa do riângulo mede, emos, pelo Teorema de Piágoras, que o caeo adjacene ao ângulo é igual a 9. Hipoenusa Subsiuindo 9,, Como,, esamos no º ou 4º quadrane onde o cosseno é posiivo. Temos enão que e que 9 Caeo adjacene Caeo oposo 9 Página de 6

32 Inegrais Assim ,. 9 Eemplo Calcule. Comecemos por ransformar numa diferença de quadrados. Como o coeficiene de é negaivo, eremos que colocá lo em evidência e seguir o processo descrio ao lado para ransformar na diferença, em que é uma função linear de. 4 Passos:. Idenificar.. Considerar.. Somar e subrair a o valor obido no passo anerior, ou seja,. 4. Escrever na forma 4. Seja e. Como, emos e e porano, ,. Página de 6

33 Inegrais Para volamos à variável original, nese caso, emos que: 4,. Qualquer função rigonomérica,,, pode eprimir se à cusa das funções e. Para calcular o inegral de funções que envolvam a funções e, efecuamos a mudança de variável. Na abela seguine emos um resumo da mudança de variável anerior. Epressão Subsiuição a efecuar Uiliar Para volar à variável inicial Eemplo: Calcule o inegral.. É uma função que envolve funções rigonoméricas.. Comecemos por faer a mudança de variável. Tal como referido aneriormene:, cos e d. Página de 6

34 Inegrais Calculando o inegral por mudança de variável:,. Para volamos à variável original, nese caso, emos que:,. Página 4 de 6

35 Inegrais Eercícios. Calcule: a. ; b. ; c. ; d. ; e. ; f. 7 5 ; g. ; (Sugesão: Faça.) h. ; 5 ; d j. ; ( ) d k. ; 4 4 i. ( ) d 4 l. d.. Num cero subúrbio de uma merópole, a concenração de Oono no ar,, é de 0,5 pares por milhão () às 7. De acordo com o serviço de meeorologia, a concenração de Oono horas mais arde varia à raão de 0,4 0,0 6 6 / Deermine a função que devolve a concenração de Oono horas após as see da manhã. Página 5 de 6

36 Inegrais Bibliografia [LH] Larson, R., Hoseler, R. e Edwards, B., Cálculo, Mc Graw Hill, 006. [ELL] Lima, L. E.; Curso de Análise, Vol., Projeco Euclides, Nona Edição, 999. [CUV] Mala I., Pesco, S., Lopes,H.; Cálculo a uma variável, Vol. II, Derivada e Inegral; Ediora PUC Rio, 00. [CGA] Swokowski; Cálculo com Geomeria Analíica, Vol., Makron Books, 99. [MA] Harshbarger, R. J., Reynolds, J. J., Maemáica Aplicada Adminisração, Economia e Ciencias Sociais e Biológicas, Mc Graw Hill, 006. [PISK] Piskounov, N. ; Cálculo Diferencial e Inegral, Vol. I e Vol. II, Ed. Lopes da Silva, 8ª edição. Página 6 de 6