Método de integração por partes

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1 Maemáica - 8/9 - Inegral de nido 77 Méodo de inegração or ares O méodo de inegração or ares é aenas uma "radução", em ermos de inegrais, do méodo de rimiivação or ares. Sejam f e g duas funções de nidas num inervalo I, com derivadas f e g, conínuas em I: ara quaisquer dois onos a; b I em-se: Z b a f () g () d [f () g ()] b a Z b a f () g () d Eemlo: Z arcsin d [ arcsin ] () Z d arcsin arcsin r!! + f arcsin! f g g () rimiivação e inegração or subsiuição O méodo de rimiivação or subsiuição baseia-se na regra de derivação da função comosa e ermie, mais uma vez, ransformar rimiivas não imediaas em rimiivas imediaas ou já conhecidas. Seja f () uma função que reendemos rimiivar e suonhamos que F () é uma rimiiva de f () num deerminado inervalo real. Se subsiuirmos or uma função bijeciva u () ; como (F (u ())) F (u ()) u () f (u ()) u () ; emos que ( (F (u ()))) (f (u ()) u ()),, F (u ()) (f (u ()) u ()) : Assim a função F (u ()) ode ser calculada rimiivando a função f (u ()) u () :

2 Maemáica - 8/9 - Inegral de nido 78 Como u () é bijeciva, de u () ; obemos u () : Subsiuindo em F (u ()) a variável or u () ; camos com F (u (u ())) F () ; que é a rimiiva reendida. Vejamos alguns eemlos de alicação do méodo: Eemlos:. Z e Fazendo d: e ; em-se que elo que, nese caso, ln + ; u () ln + e u () + : Vamos enão efecuar a subsiuição e rimiivar a função f (u ()) u () : d + d + d + arcan + c: ara ober a rimiiva reendida, basa agora subsiuir or u () e ca: arcan e + c: e e Noa: ara não sobrecarregar os cálculos, muias vezes não se refere eliciamene a função u () ; ois de faco o que ineressa é er escrio em função de e em função de : ara indicar a derivada de u () ; comee-se um abuso de linguagem escrevendo d ou simlesmene d : No caso anerior er-se-ia: e ln ( + ) +. Z e e + e d

3 Maemáica - 8/9 - Inegral de nido 79 Vamos efecuar a a subsiuição ln. Resumimos a informação necessária ao rocedimeno na seguine abela: ln e Assim, ln + + c: Subsiuindo or e ; obém-se: e e + e ln e + + c: Méodo de inegração or subsiuição: Nese caso do méodo, o rocedimeno simli ca-se ois o cálculo do valor do inegral é direco desde que, ao efecuar a susbsiuição, ara além de alerar a função inegranda e mudar a variável de inegração, se mudem ambém os limies de inegração. Sendo f uma função conínua num inervalo I e u uma função bijeciva de um inervalo H no inervalo I; com derivada conínua. Enão, ara a; b I; Eemlos: Z b a f () d Z u (b) u (a) f (u ()) u () d. Z 5 () d Z Z + Z d + d + d [ arcan ] ( arcan + arcan ) arcan

4 Maemáica - 8/9 - Inegral de nido 8 () Subsiuição: u () + u () u () Novos limies de inegração: u (5) 5 u (). Z d + () 8 Z d 8 Z d !! () Subsiuição: + u () u () u () Novos limies de inegração: u () + 8 u () + rimiivação de funções racionais Chama-se função racional uma função que ode ser de nida elo quociene de dois olinómios. Eemlos:. f () f () + +

5 Maemáica - 8/9 - Inegral de nido 8 Uma função racional é, orano, reresenável or um cociene a () em que a () e b () b () são olinómios. Quando o grau de a () é maior ou igual que o grau de b () a função racional ode ser reresenada na forma a () b () q () + r () b () em que o grau de r () é menor que o grau de b () : De faco, dado que efecuando a divisão de a () or b () se obém a () q () b () + r () ; em que o grau de r () é menor que o grau de b () ; enão a () b () q () b () + r () b () q () + r () b () O roblema de rimiivar funções racionais arbirárias reduz-se assim ao de rimiivar funções racionais em que o grau do numerador é menor que o grau do denominador ois a () q () + r () r () (q ()) + b () b () b () em que (q ()) é a rimiiva de um olinómio e o grau de r () é menor que o grau de b () : ara rimiivar essas funções, vamos decomô-las na soma de funções racionais mais simles, cujas rimiivas se inserem na classe das rimiivas imediaas. Consideramos, enão uma função racional da forma (), em que o grau de () é menor q () que o grau de q () : Há dois casos fundamenais: Caso q () decomôe-se num roduo de facores de grau : q () ( a ) ( a ) : : : ( a n ) Caso q () em facores de grau sem raízes. Vamos analisar cada um desses casos: Caso : Ese caso em dois subcasos: Subcaso (i) a ; a ; : : : ; a n são odos diferenes. Nese caso: em que A i () q () A + A + + A n a a (a i ) (a i a ) : : : (a i a i ) (a i a i+ ) : : : (a i a n ) a n + Eemlo: ( ) ( ) 7

6 Maemáica - 8/9 - Inegral de nido 8 Subcaso (ii) Eisem facores da forma ( a ) k : Na decomosição de () ; ara além q () das arcelas corresondenes às raizes simles, a cada um desses facores corresondem k arcelas da forma: Eemlo: ( ) Caso : Novamene há dois subcasos: A a + A ( a ) + + A k ( a i ) k + ( ) Subcaso (i) Cada facor quadráico é simles. Nese caso a cada facor de grau dois, sem raizes reais, a + b + c, corrsonde uma arcela da forma: B + C a + b + c Eemlo: ( ) ( + + ) Subcaso (ii) Eisem facores quadráicos múlilos, iso é, da forma (a + b + c) k. A cada um desses facores corresondem k arcelas da forma: B + C a + b + c + B + C (a + b + c) + + B k + C k (a + b + c) k Eemlo: + ( + ) + ( + ) + + ( + ) Méodo dos coe cienes indeerminados Em geral, ara deerminar as consanes que aarecem nos numeradores, usa-se o chamado méodo dos coe cienes indeerminados, que consise em igualar () à soma das q () fracções corresondenes aos facores do denominador, de acordo com os casos eliciados acima, e efecuar os cálculos ara deerminar as consanes que êm de gurar nos numeradores, o que assa em geral or resolver um sisema (eemlo abaio), ou enão aribuir valores de modo a ober os resulados reendidos (eemlo abaio). Eemlos:. Vamos decomor a função racional numa soma de fracções simles: ( + ) ( + )

7 Maemáica - 8/9 - Inegral de nido 8 ( + ) ( + ) A + + B + C +,, ( + ) ( + ) A ( + ) + (B + C) ( + ) ( + ) ( + ), A ( + ) + (B + C) ( + ), (A + B) + ( A + B + C) + (A + C) >< A + B, A + B + C >: A + C, A ; B ; C orano ( + ) ( + ) Vamos decomor ( ) numa soma de fracções simles: ( + ) ( ) ( + ) A + B ( ) + C +,, A ( ) + B ( + ) + C ( ) ) C ) C ) B ) B ) A + B + C ) A orano + # e. ( ) ( + ) ( ) + +. Cálculo de uma rimiiva or decomosição em fracções simles: ( + ) ( ) ( ) ( + ) + ( ) + C A + + ( ) + ln j j ln j + j. Cálculo de um inegral de nido uilizando o méodo de decomosição: Z + 5 d

8 Maemáica - 8/9 - Inegral de nido 8 Z () ( 5) ( ) d Z 5 () 5 d + 5 Z Z 5 d 5 [ln j 5j] d Z d [ln j j] 5 (ln ln ) (ln ln ) 5 ln ln ln () + 5, 5 _ () Decomosição: ( 5) ( ) A 5 + B, A 5 e B