3. Representaç ão de Fourier dos Sinais

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1 Sinais e Sisemas - 3. Represenaç ão de Fourier dos Sinais Nese capíulo consideramos a represenação dos sinais como uma soma pesada de exponenciais complexas. Dese modo faz-se uma passagem do domínio do empo para o domínio da frequência, o que permie por em relevo ceras caracerísicas dos sinais. Oura vanagem surge na aná lise de sisemas lineares que, ao aplicar-lhe ese ipo de sinais, a sua saída será ambém um sinal dese ipo (soma pesada de exponenciais complexas. O esudo de sinais e sisemas usando represenação sinusoidal é designado por aná lise de Fourier (Joseph Fourier, ). O méodo de Fourier em larga aplicação quer no domínio cienífico quer no domínio da engenharia. A represenação de Fourier a aplicar depende da classe dos sinais. A abela apresenada abaixo mosra essa relação: abela 3. Relações enre as propriedades no empo dos sinais e a represenação de Fourier adequada. Propriedade emporal Perió dico Não Perió dico Coninuo Série de Fourier ransformada de Fourier Discreo Série Discrea de Fourier ransformada Discrea de Fourier 3. ransformada de Fourier (Sinais nã o perió dicos em empo conínuo) Uma apresenação da ransformada de Fourier pode ser feia como um limie das series de Fourier quando o período ende para infinio. A não periodicidade dos sinais implica um conínuo de frequências de - a. Dese modo a represenação dos sinais envolve um inegral. Opamos aqui por inroduzir direcamene a definição de ransformada de Fourier: X = xe () d ransformada de Fourier (Eq. de aná lise) x () = X e d π ransformada inversa de Fourier (Eq. de sínese) F Esas duas equaçõ es formam o par de Fourier e pode escrever-se: x () X X() descreve o sinal x() como uma função de frequência e designa-se como a sua represenação no domínio da frequência. Para garanir que os inegrais exisam é necessá rio garanir a sua convergência. Rogé rio Largo Seúbal 999-3

2 Sinais e Sisemas - Condiçõ es de convergência: Condiçõ es para garanir que X() é finio é que x() seja de quadrado inegrá vel (iso é que enha energia finia): x () d < Uma condição equivalene é esabelecida se x() for absoluamene inegrá vel: x () d e iver um número finio de desconinuidades e de máximos ou mínimos locais em qualquer inervalo finio, e essas desconinuidades forem finias. Muios dos sinais físicos enconrados na engenharia saisfazem esas condiçõ es. Conudo alguns, como por exemplo o salo uniá rio, não são absoluamene nem de quadrado inegrá veis. Porém neses casos podem definir-se pares de Fourier aravés do uso de impulsos. 3. ransformada de Fourier de sinais bá sicos 3... Função exponencial: a) x() = e -a u(), a> < a ( a+ ) ( a+ ) e X = e ue () d = e d, a = = > a+ a+ X() é uma função complexa. Pode ser represenado em módulo e fase: j X X = X e, X =, X = g a + a x() X() Fase de X() b) x() = e -a, a> x() a ( a ) ( a+ ) X = e e d = e d + e d a = + =, a > a a+ a Nese caso X() é real. Noa: - Em (a) e (b), se a for complexo o resulado é o mesmo. Apenas a condição será Re{a} >. Rogé rio Largo Seúbal 999-3

3 Sinais e Sisemas Impulso de Dirac: x() = δ() X = δ () e d = δ() X() Noar que δ() = para e que e j =., < Função recangular: x () =, > X = xe () d = e d e e = sen( ) =. e e = sen = j É uma função da forma sen( x) x, designada por sinc(x) Sinc() = sen()/ Função recangular na frequência:, < X = Aplicando a ransformada de Fourier inversa:, > π π π. x () = X e d= e d= e e j sen =. e e = sen = π j π π Deve salienar-se aqui a dualidade enre as duas funçõ es aneriores: Um recângulo num domínio corresponde a uma função sinc no ouro. É uma consequência do princípio da dualidade que se enunciará mais à frene. Noa. A função sinc, numa formulação exaca, é definida da seguine maneira: sen( πθ ) sinc( θ ) =. πθ Desa forma as suas passagem por zero verificam-se nos ponos θ = ±, ±, ec Sinusóides: F π sin( ) = ( e e ) [ δ ( ) δ ( + )] F{cos} j j π F cos( ) = ( e + e ) πδ [ ( ) + δ( + )] - Como é conhecido as funçõ es sinusoidais conêm uma única frequência. Logo era de esperar que a sua represenação em frequência desse cona desse faco. Em ambos os casos obiveram-se Dirac s localizados em ± (apenas diferindo na fase)..5 - x() Rogé rio Largo Seúbal 999-3

4 Sinais e Sisemas abelas de ransformadas de Fourier Com base nas ransformadas já enconradas poderíamos organizar uma mini abela de ransformadas de Fourier que seria úil para consula numa fase poserior: abela 3. ransformada de Fourier de funções elemenares Função emporal x() ransformada de Fourier X() e -a u() ( a+ ) e -a a a + e -a u() ( a+ ) Re{a}> Re{a}> Re{a}> Noas δ() Dela de Dirac δ(- ) exp(- ) Dela arasado rec sinc Função recangular Função recangular sinc ( ) rec π na frequência π sen( ) [ δ ( ) δ ( + )] Função seno j cos( ) πδ [ ( ) + δ( + )] Função coseno exp( ) πδ(- ) Exponencial complexa 3.4 Propriedades da ransformada de Fourier Usando funçõ es simples cujas ransformadas podem ser consuladas em abelas e recorrendo às propriedades que se enunciam a seguir podem ober-se facilmene as ransformadas de funçõ es mais complicadas. i.) Linearidade Sendo: F{x()} = X() F{y()} = Y() enão: F{ax()+by()} = ax() +by() A demonsração é imediaa aendendo a que o operador inegral é linear. ii.) Deslocameno no empo Sendo: F{x()} = X() enão: F{x(- )} = exp(- )X() A demonsração é simples recorrendo a uma mudança de variá vel: τ = - : F ( τ + ) τ { x ( ) } = x ( ). e d = x () τ. e d = e x () τ. e d τ = e X Rogé rio Largo Seúbal 999-3

5 Sinais e Sisemas - 5 iii.) Deslocação na frequência (Modulação) Sendo: F {x()} = X() enão: F{x()exp( )}=X(j(- )) O especro do sinal que se enconrava em redor da origem é deslocado para. Fazendo o produo for por sinusóides, recorrendo às fórmulas de Euler obém-se: F{ x ()sen } = X ( j( ) ) X ( j( ) ) j + F { x ( ) cos( ) } = [ X ( j ( ) ) + X ( j ( + ) )] iv.) Diferenciação e Inegração Sendo: F {x()} = X() Enão: F{x ()} = X() e F{x (n) ()} = () n X() ambé m { } = + F x τ dτ X πx j δ Noas: - Derivar no empo raduz-se na frequência por um produo por. As alas frequências ficam mais acenuadas (amplificadas). - Pelo conrá rio, inegrar no empo em como consequência um acenuar das baixas frequências (divisão por ). Ese efeio era de esperar pois inegrar um sinal significa ober a uma média no inervalo. v.) Escalonameno no empo e em frequência Sendo: F{x()} = X() Enão: F{ x( a) } = X, a a a real não nulo. Fazendo a = -, ambém se obém: F{x(-)}=X(-) Se a > emos uma compressão na escala de empo de que resula um expansão na frequência e vice-versa. vi.) Conjugado Sendo: F{x()} = X() enão: F{x* ()} = X* (-), Noe-se que : * X = x() e d = x* () e d rocando por -fica: * * () { ()} X ( ) = x* e d = F x*, c.q.d. - Propriedade do conjugado simérico: Se x() for real enão x*() = x(), logo em-se: X*(-) = X(). X(-) = X*(). Como consequência verifica-se que X() é uma função par e Fase[X()] é impar: X(-)= X(-) e jφ(-) e X*()= X*() e -jφ() Rogé rio Largo Seúbal 999-3

6 Sinais e Sisemas - 6 Sendo X() = X*(-) X() = X*(-) e Φ(-) = -Φ() De igual modo se vê que Re{X()} é par e Im{X()} é impar. Exemplo: Função real: x() = e -a u(), a> X = a + porano: X( ) = = X *, como se esperava. a - Consequências da propriedade do conjugado simé rico (a) x() real e par enão ambém X() é real e par: x() = x(-) X(-) = X() (b) x() real e impar enão X() é imaginá ria pura e par: x() = -x(-) X(-) = -X() e X() = Im[X()] (c) Separando x() nas suas componenes par e impar, aendendo a (a) e (b), eremos: x() = x P () + x I () logo F{x()} = F{x P ()} + F{x I ()} Pelo que: F{x P ()} = Re[X()] e F{x I ()} = Im[X()] Exemplo: Função real e par: x() = e -a, a>, = a + F Par[ e u ()] a = Re[ ] = a+ a + = F{ e } c.q.d x() = Par[e -a u()] = {[e -a u()+ e a a u(-)]/}, F{ e u ()} a a logo { } vii.) Princípio da dualidade Sendo: F{x()} = X() enão: F{X()} = π x(-) Ese resulado já inha aparecido quando se calcularam as ransformadas das funçõ es recangulares no empo e na frequência. Uma das suas uilidades surge quando se preende ober ransformadas de funçõ es emporais que êm um aspeco semelhane a ransformadas conhecidas. Exemplo: Calcular F +. Sabemos que: a a F{ e } =. a + A nossa função no empo assemelha-se a esa ransformada com a=, iso é : F{ e } =. + Pelo princípio da dualidade obé m-se: F π e = + viii.) Convolução Definição da convolução de x() com h(): x ()* h () = x( τ) h ( τ) dτ Esa propriedade esabelece que : F{x()*h()} = X()H() Rogé rio Largo Seúbal 999-3

7 Sinais e Sisemas - 7 É muio imporane nas elecomunicaçõ es quando se esuda a resposa de sisemas. ix.) Relação de Parseval Esabelece que a energia do sinal x() pode ser calculada a parir da sua ransformada: x () d = X d π abela 3.3 Propriedades da ransformada de Fourier Função emporal x() ransformada de Fourier X() a x() + a y() a X() + a Y() Linearidade Noas x(- ) exp(- )X() Deslocameno no empo x(a) X Escalameno no empo a a x * () X * (-) Conjugação x(-) X(-) Reflexão no empo e n x ) X(j(- ) Modulação d x n d () n X() Derivação x() dx j d Derivação na frequência X x( τ) dτ + π X ( j ) δ ( ) Inegração X() πx(-) Dualidade x()*y() X()Y() Convolução no empo x()y() x () d π X()*Y() Convolução na frequência X d π Relação de Parseval Rogé rio Largo Seúbal 999-3

8 Sinais e Sisemas Amosragem de sinais em empo conínuo Nesa secção usaremos a ransformada de Fourier para analisar os efeios da amosragem uniforme de sinais em empo conínuo. Seja x() um sinal em empo conínuo de que se preendem exrair amosras uniformemene espaçadas. Já aneriormene vimos que a forma de ober uma amosra do sinal era aravés do seu produo por um impulso. Nese caso a forma de ober a sequência de amosras leva ao uso de um sequência de impulsos. Designando o sinal amosrado por x δ () poderemos esquemaizar o processo das amosragem na figura seguine: x() x x δ () p() p() p () = δ ( n ) - rem de Diracs. n= s jk () s π p = e, s = - Represenação de p() em série de Fourier. k= s s A ransformada de Fourier de p() pode ser facilmene obida a parir da represenação em série de Fourier: π jks F P = δ ( ks ), noar que: e πδ ( k s ) s k = Designando por x δ () o sinal amosrado de x() eremos: () = () () = () ( ) = ( ) xδ x p x δ n x n δ n n= Pela propriedade da convolução na frequência obém-se: s s s n= x p s X P X π k π π X jk F () () * = * δ ( ) = ( ) s k= s k = Ese resulado mosra que na represenação em frequência do sinal amosrado (especro) se obém o especro original do sinal cenrado na origem e réplicas suas espaçadas de s e seus múliplos como se pode ver na figura abaixo. s x() X() p() s - m m P() π/ s -s -s s s x δ () / s X δ () s -s -s m m s s - m s+ m s Fig.3. Esquema da amosragem no empo e em frequê ncia Rogé rio Largo Seúbal 999-3

9 Sinais e Sisemas - 9 Noas: Foi necessá rio impor que x() fosse de banda limiada (não ivesse componenes de frequência superiores a uma frequência má xima m ). Para poserior recuperação do sinal original é necessá rio que as réplicas de X() não se sobreponham. Para isso eremos de impor a condição s > m eorema da Amosragem F Seja x X s -s um sinal de banda limiada, iso é X() = para > m. Se s > m (com s =π/ s ) for a frequência de amosragem, enão x() será represenada de forma única pelas suas amosras x(n s ), n=,±,±,... O valor limie mínimo de s = m designa-se rimo de amosragem de Nyquis Reconsrução do sinal emos para o sinal amosrado que: X = X ( jk ) H() s δ s k = X δ () para k = será X(). Se eliminarmos odas as réplicas para k obemos o sinal original. Iso consegue-se muliplicando X δ () por um filro cuja função H() seja um recângulo: H s s, < = s, > X() = X δ ()H () Na ausência de aliasing, iso é nas condiçõ es do eorema da amosragem (s>m) a recuperação do sinal pode esquemaizar-se na figura seguine: s / s X δ () x δ () X δ () Filro H () x() X() -s -s - s m m s H () s s - m s s+ m s X() - m m Fig.3. Esquema da reconsrução do sinal amosrado Rogé rio Largo Seúbal 999-3