9. COMPORTAMENTO DINÂMICO COMPLEXO

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1 9. COMPORTAMENTO DINÂMICO COMPLEXO 9. Movimeno no Espaço de Esado A resposa de um sisema começando em um esado inicial o, acompanha uma curva num espaço de (n+) dimensões. Esamos bem acosumados ao ipo de represenação: () ( o ) o Esa represenação uiliza um espaço de duas dimensões. A projeção desa curva no espaço de n dimensões, com coordenadas,,..., n, não inclui o empo epliciamene mais é de grande uilidade na análise de sisemas. Esa curva é chamada de rajeória. O espaço é o espaço de esados. Nauralmene que uma represenação geomérica dese espaço não poderá ser feia para n. Em paricular, para fins didáicos, ineressa o plano de esados, ou plano de fases. Eemplo : A 6 o 4 A resposa emporal é

2 A e o Para a mariz A, os valores caracerísicos são e. Usando o eorema de Sylveser: e A 6 e e e e e e e e Pe P e 6 e 6 Conseqüenemene: e e e e ou ou 7e 5e 7 5 e e A represenação individual desas resposas em a forma:

3 No espaço de dimensões,, : Os veores caracerísicos dese sisema são: v d v d Represenados no plano (,4) - Considerando uma rajeória iniciando em algum pono sobre um veor caracerísico o e e

4 As rajeórias que se iniciam nos veores caracerísicos permanecem sobre eles. Em geral, para ober a rajeória deve-se eliminar o parâmero enre as equações da resposa emporal. 7e 5e 7 5 e e e e 4 4 Se mudar o pono inicial, a rajeória deverá ser recalculada. ---X--- Muias vezes as rajeórias levam a ponos fios no espaço de esados. Eses ponos são esacionários e uma vez aingidos, o sisema fica neles para sempre. f Eses ponos são chamados de ponos esacionários (de equilíbrio; críicos). Os sisemas não-lineares podem er um número qualquer de ponos esacionários. Um eemplo é o reaor CSTR com seus ponos. Para se fazer uma análise do comporameno das rajeórias pero dos ponos esacionários é conveniene deslocá-los para a origem definindo variáveis desvio. Por problemas de represenação, a nossa análise é feia no plano de esados (o espaço de dimensões é difícil de represenar). 4

5 f, f, em = Os ponos esacionários saisfazem f, f, De odos os ponos resulanes da solução dese sisema, o de maior ineresse foi levado à origem f, f, O comporameno das rajeórias pero dos ponos esacionários pode ser analisado usando a forma linearizada das equações de esado. Em regiões do espaço mais afasadas, essas equações não são válidas. a a a a A visualização fica mais clara raando a forma canônica diagonal Lembrando e e A inclinação das rajeórias vem dada por Para valores caracerísicos diferenes eisem possibilidades: 5

6 o ) Os dois negaivos no o e o quadranes no o e 4 o quadrane as rajeórias em inclinação posiiva as rajeórias em inclinação negaiva Como os valores caracerísicos são negaivos sabe-se que as rajeórias vão se aproimar do pono esacionário, e assim: O pono esacionário é um nó esável. Noa: como (e negaivos), a variável aproima-se mais rápido da origem que a. o ) Os dois posiivos Observa-se que as inclinações serão as mesmas do caso anerior, porém as rajeórias enderão a se afasar do pono esacionário devido aos auovalores posiivos. 6

7 Um nó insável. o ) Um posiivo e ouro negaivo no o e o quadranes no o e 4 o quadranes as rajeórias em inclinação negaiva. as rajeórias em inclinação posiiva. Devido aos sinais dos auovalores * se aproima de zero e * se afasa. 7

8 O pono esacionário é um pono de sela (insável) Para valores caracerísicos compleos conjugados a resposa emporal,, do sisema vai incluir ermos oscilaórios da forma Tj / e cos d como já foi viso aneriormene. j j j Conseqüenemene, no plano de esados, se e oscilam ao redor do esado esacionário com ampliude decrescene, consane ou crescene (segundo que Re, ou > ) espera-se um comporameno das rajeórias da forma: Na forma canônica, para valores caracerísicos compleos conjugados, os esados ambém são compleos conjugados (na forma original não, pois os sisemas reais não 8

9 poderão er um comporameno compleo). Assim, ano plano para sua represenação. como precisam de um Para i R I R I y iy i R I R I y iy Usa-se o plano y R, y I dyr iyi i y iy y y i y y R I R I R R I I R I I R Separando pare real e imaginária dy dy R I y y R R I I y y R I I R As mesmas equações são obidas para o conjugado. As inclinações no plano y R, y I são dy y y dy y y I I R R I R R R I I Considerando I, eisem casos de ineresse: o ) R dyi I - No eio real, yi dy R R as inclinações são odas iguais e negaivas Usando dy R y y y R R I I R R observa-se que no semi-eio posiivo, yr, há uma diminuição com o empo e viceversa. dyi R - No eio imaginário yr dy R I As inclinações são odas iguais e posiivas 9

10 Os senidos são calculados da mesma forma anerior: dy I y y y R I I R R I Observa-se que no semi-eio posiivo, yi, há uma diminuição com o empo. Enão É um foco esável. o ) R O comporameno é semelhane ao anerior, porém com senidos oposos foco insável o ) R raízes imaginárias. dy dy I R yr y I

11 No eio real, yi inclinação infinia No eio imaginário, yr inclinação zero Em yi dyi yr dy R y I I < y R Traa-se de um cenro. Deve-se noar que se a represenação não ivesse sido feia na forma canônica se oberia o mesmo ipo de resulados, porém com as curvas deformadas. Eemplo : Esados Esacionários de Sisemas Não-Lineares a) e No esado esacionário e Há duas soluções ,,84 e,,

12 Linearizando o sisema de equações e A e No primeiro pono, (, -,84) A V d Pono de Sela No segundo pono, (-, -,5) A,5 i,866,5 i,866 Foco Esável b) No esado esacionário Há rês soluções,,, Linearizando o sisema de equações

13 A Os valores caracerísicos desa mariz são 5 Para o primeiro pono (, ) 5,68 5,68 V d 5 5 Pono de Sela Para o segundo pono (, ) i 7 Foco Esável Para o erceiro pono (-, ) i 7 Foco Esável c) Biorreaor (Bequee, 998) ( ) D ( ) f D Y ma onde ( ) k k m ma =,5 h - k m =, g/l D =, h - k =,4545 L/g Y =,4 f = 4, g/l No esado esacionário

14 Há rês soluções, 4,995,,5,5,,746 Linearizando o sisema de equações k k ( ) D ( )( k ) ma m ( ) ma ( )( k ) D Y k Y m k ( ) D ma ( )( k) km k A ( ) ma ( )( k ) D Y k Y m k Para o primeiro pono (, 4) - washou,9 A, 465, V d,5,9, Nó esável No segundo pono (,995,,5), 679 A, 75, V d, 64,5,698, Pono Sela No erceiro pono (,5,,746) A,948, 75,56 V d, 6,5,6, Nó Esável ---X--- Esa análise foi feia nas proimidades dos ponos esacionários onde as rajeórias do sisema não-linear coincidem com as do linear. Quando as rajeórias não-lineares se afasam de um pono esacionário insável, elas podem ir para o infinio, se aproimar de um ouro pono esacionário esável ou de um ouro araor esável. 4

15 Além dos ponos esacionários, eisem ouras figuras geoméricas do espaço de esados para os quais podem se dirigir (ou dos quais podem se afasar) as rajeórias dos sisemas não-lineares: ciclos limies, araores oroidais e araores caóicos. O assuno araores será apresenado a seguir, de forma resumida. Eemplo : Ciclo limie a) Araor,5,5 No esado esacionário Há uma solução: (, ) Linearizando o sisema de equações ,5,5 A,5,5 Para o pono (, ) A, 5,5 V d i i, 5 i, 5 i Foco insável Para ese sisema há um ciclo limie esável em é equivalene a:,5 e, nese caso, o sisema 5

16 A V d i i i i Ciclo limie b) Repulsor.8,5,5.6.4.,5 A,5 Para o pono (, ) , 5 A,5 V d i i, 5 i, 5 i Foco esável Para ese sisema há um ciclo limie insável em,5. A grande diferença enre um ciclo limie e um cenro é que os ciclos limies são órbias isoladas, ou seja, uma perurbação irando da órbia de um ciclo limie reornará à mesma órbia ao passo que uma perurbação irando da órbia de um cenro vai cair em oura órbia dese cenro. 9. Araores e Bifurcações Seja um sisema dinâmico não-linear auônomo (nese coneo isso significa que não há dependência eplícia com o empo, ). Um sisema dinâmico é uma forma de se descrever a evolução emporal de odos os ponos do espaço de esados S. É uma ransformação al que: :,,, () (),,, () 6

17 () indica a ransformação idenidade () é a composição de ransformações Esa úlima igualdade indica que se chega ao mesmo resulado aplicando a ransformação de uma única vez para odo o inervalo de empo, que aplicando sucessivamene para os inervalos e. Todo sisema dinâmico definido por (), () e () pode ser represenado na forma de um sisema de equações diferenciais ordinárias não-lineares: Se f com f é coninuamene diferenciável enão: Dada a condição inicial, o sisema em solução num cero inervalo de empo., A solução é única. A solução depende coninuamene das condições iniciais. Seja o sisema linear auônomo no empo A com e sejam os conjunos de condições iniciais S S e de soluções S S. Enão, para odo eise um S al que S A função é uma ransformação dinâmica chamada escoameno ou fluo. Se V() é o volume do espaço S e V() é o volume do espaço S, enão: Se r( A), o volume do espaço se conrai e o sisema é dissipaivo. Observe que para um sisema linear de segunda ordem: de( A I) r( A) de( A) e ( ) ( ) 4de( ) r A r A A Ou seja, no mínimo um valor caracerísico será negaivo se r( A). 7

18 Os diferenes comporamenos dinâmicos dese sisema linear podem ser localizados em um plano de( A) r( A) : Para o caso geral, não-linear, se o divf em S, o volume do espaço se conrai e o sisema dinâmico é dissipaivo. div f f f f f n n r J onde J a ij a ij f i Mariz Jacobiana j Se a div f em S, o volume do espaço cresce e o sisema dinâmico é epansivo. Se a divf em S, o volume do espaço se maném e o sisema dinâmico é conservaivo. Esas caracerísicas podem ser apenas locais. Um sisema que é globalmene dissipaivo pode ser localmene epansivo. 8

19 A grande maioria dos sisemas em engenharia é dissipaivo. Se o sisema dissipaivo é limiado, no senido de que nenhuma rajeória em S ende para quando, o volume do espaço se conrai e converge para uma das seguines figuras geomérica: pono (esado esacionário; equilíbrio) curva fechada (solução periódica simples; ciclo limie) figura oroidal (solução quase-periódica; araor oroidal) caos (solução oscilaória não-periódica; araor esranho; fracal) São os araores. Desprezando a fase ransiene eses araores são soluções de um sisema dissipaivo. Do pono de visa dinâmico ineressa a esabilidade dos araores. São esáveis se odas as rajeórias que passam numa vizinhança de odos os seus ponos convergem para ele para. Os araores esranhos são localmene insáveis. Todo sisema dinâmico dissipaivo limiado em pelo menos um araor. Para mais de um araor esável definem-se bases de araores e superfícies de separação. Um sisema dinâmico é esruuralmene esável (um ouro conceio) se sisemas vizinhos, obidos de perurbações (de algum parâmero) do sisema original, êm uma esruura dinâmica similar (mesmo número e igual esabilidade dos araores). Quando mudanças de parâmeros deerminam alerações qualiaivas na esruura dinâmica do sisema ocorre uma bifurcação. Numa bifurcação, um sisema dinâmico esruuralmene insável se ransforma em sisemas com caracerísicas dinâmicas diferenes. Eemplos desa siuação são: dobrar inclinar esicar encher quebrar cair rasgar eplodir 9

20 Traa-se de mudanças qualiaivas. Nesse ipo de mudança pode-se passar, em ermos de comporameno dinâmico, por eemplo, de esado esacionário a esado dinâmico: esável simérico esacionário regular ordem insável assimérico movimeno regular irregular caos Em ermos das soluções das equações que governam o fenômeno, há uma solução diferene de cada lado do valor de cero parâmero, podendo haver diferença no número de soluções ou no comporameno das soluções. Eemplo 4: Bifurcações em ermos da variação de um parâmero p e () 4p e pe p ( ) e A 4 p e 4 p ( ) e No esado esacionário a solução é (, ) para p = e os valores caracerísicos são e.

21 Em função dos valores do parâmero "p" se apresenam as seguines siuações: p <,66 Parâmero p Valores caracerísicos Plano de fase Valores caracerísicos reais e negaivos - Nó Esável p =,5 = [-,, -,6] p =,66 Valores caracerísicos reais, negaivos e repeidos - Nó Esável (Esrela) = [-,47, -,47] ,66 < p <,889 Valores caracerísicos compleos conjugados com pare real negaiva - Foco Esável p =,85 = -,95,565 i p =,889 o nó insável dá origem a dois ponos: nó insável e sela para p >,889 Pono limie: Uma solução esável (foco) e oura insável (nó) (pono na figura abaio) = -,9,65 i = [,,4] ,889 < p <,9 Uma solução esável (foco) e duas insáveis (sela e nó) p =,9 = -,98,64 i = [-,,,] = [,64,,5] ,9 < p <,574 em p =,5789 o primeiro pono passa de foco para nó esável: = [-,55, -,46] Uma solução esável (foco) 7 6 e duas insáveis (sela e 5 foco) 4 p =, = -,65,65 i = [-,49,,95] =,4,85 i

22 p =,574 o nó esável dá origem a dois ponos: nó esável e sela para p <,574 Pono limie: Uma solução esável (nó), oura insável (foco) (pono na figura abaio) e um ciclo limie esável = [-,97, ] =,86,478 i ,574 < p <, Uma solução insável (foco) e um ciclo limie esável p =, =,58,487 i p =,9 Bifurcação Hopf: Valores caracerísicos imaginários puros (pono 4 na figura abaio) = 4,8 i p >,9 Valores caracerísicos compleos conjugados com pare real negaiva - Foco Esável p =,5 = -,95 4,67 i p

23 8 6 Hopf 4 º pono limie Im() º pono limie Hopf Trajeórias: pono esável pono sela pono insável Re() ---X--- A mudança de comporameno pode ser em eapas, passando de esado esacionário a movimeno regular e, finalmene, a movimeno irregular (caos). Na passagem de auovalores reais de negaivos a posiivos, usualmene aparecem novos ramos de soluções esacionárias. Na passagem de auovalores conjugados do plano negaivo ao posiivo, coninua a solução esacionária, mas, sob ceras condições, aparecem soluções periódicas. Pono Fio; Solução Esacionária; Pono de Equilíbrio; Pono Críico. Considerando o sisema dinâmico função de um veor de parâmeros f ;p o pono de equilíbrio é solução do sisema de equações algébricas f ;p

24 Em um diagrama de bifurcação o pono de equilíbrio, p, evolui, em função do valor de p, ao longo de ramos de soluções esacionárias, aé aingir uma singularidade. Usando o conceio de derivada oal, pode-se ober (eliminando a barra para simplificar a noação) f f dp J p f dp p Se J é não-singular, pode ser compuado coninuamene nas vizinhanças de um pono (, p) como uma função de p, com solução única. A correspondene função (p) é um ramo de soluções. Quando J é singular (pelo menos um valor caracerísico nulo), há o enconro de dois ou mais ramos de soluções esacionárias, caracerizando ponos de ramificações esacionárias: ponos limie: neles nascem ou morrem dois ramos. ponos de bifurcação: neles nascem ou morrem mais de dois ramos. Eisem pacoes compuacionais (AUTO, por eemplo) que calculam os ramos de soluções esacionárias e idenificam ponos singulares. Na engenharia química são normalmene enconrados os ponos limie. Linearizando em orno do esado esacionário, d J se odos os valores caracerísicos de J êm pare real negaiva (solução esacionária) é localmene esável. Se algum desses valores caracerísicos êm pare real posiiva o sisema é localmene insável. Quando os auovalores são zero ou imaginários o pono de equilíbrio é dio degenerado. Por eemplo, para um sisema linear, considerando valores caracerísicos compleos conjugados, na passagem de pare real negaiva à pare real posiiva, passa-se pela 4

25 forma degenerada chamada cenro, na mudança de um foco esável para um foco insável. Para um sisema não-linear esa forma degenerada ambém pode aparecer na forma de um ciclo limie. Considerando o caso de um sisema descrio por apenas um esado, conendo um parâmero de bifurcação p: f ;p cujo pono de equilíbrio é solução da equação algébrica: f (;p) Um pono de bifurcação ocorre quando o Jacobiano é singular, que nese caso é equivalene a: f (;p) O número de soluções esacionárias pode ser deerminado pelo seguine criério: k k f f f f f (;p),,,, e k k que se saisfeio implica que o sisema possui k soluções esacionárias. Bifurcação pichfork: Supercríica Subcríica Isola Nese caso k muda de para no pono de bifurcação. Eemplo 5: f[();p] p J(;p) p 5

26 em como esados esacionários:, p e p quando p >, sendo o primeiro insável e os ouros dois esáveis. Para p <, o único esado esacionário possível é, que nese caso é sempre esável. Para deerminar o pono de bifurcação, aplica-se a condição J(;p) : p O único esado esacionário que saisfaz esa condição é quando p p e, nese pono: f f 6 e 6 (,p) Indicando o surgimeno de esados esacionários nese pono de bifurcação. Pela análise de esabilidade dos esados esacionários, idenifica-se ese pono como uma bifurcação pichfork supercríica. Bifurcação sela-nó: Também chamada de bifurcação angencial ou de dobra (fold) ou pono limie (urning poin), no pono de bifurcação ocorre a junção de k = ramos de soluções esacionárias. Eemplo 6: f[();p] p J(;p) em como esados esacionários: p e p quando p >, sendo o primeiro esável (nó) e o segundo insável ( sela ). Para p <, não há pono de equilíbrio real. O ermo sela faz mais senido para sisemas de dimensão maior do que, onde os demais valores caracerísicos êm pare real negaiva, caracerizando um pono sela (poderia ambém ser o oposo: o primeiro ser nó insável e o segundo sela, com os demais valores caracerísicos com pare real posiiva), veja os ponos limies do eemplo 4 acima. 6

27 Para deerminar o pono de bifurcação, aplica-se a condição J(;p) : O único esado esacionário que saisfaz esa condição é quando p p e, nese pono: f (,p) Indicando o surgimeno de esados esacionários disinos nese pono de bifurcação. Bifurcação ranscríica: No pono de bifurcação ocorre a roca das condições de esabilidade das soluções esacionárias. Eemplo 7: f[();p] p J(;p) p em como esados esacionários: e p. Para p >, o primeiro pono é insável e o segundo esável, mas para p < a siuação se revere, sendo o primeiro esável e o segundo insável. Para deerminar o pono de bifurcação, aplica-se a condição J(;p) : p O único esado esacionário que saisfaz esa condição é quando p p e, nese pono: f (,p) Indicando o surgimeno de esados esacionários disinos nese pono de bifurcação. Observe que nese caso há dois esados esacionários disinos em cada lado do pono de 7

28 bifurcação. A mesma observação poderia ser feia para o eemplo anerior se ambém fossem considerado os valores compleos. Ciclo Limie; Solução Periódica A solução esacionária é periódica, repeindo-se para múliplos de cero inervalo de empo "T". T O sisema linearizado apresenará soluções oscilaórias quando houver auovalores de J imaginários conjugados (são soluções ponuais). Em ermos de diagramas de bifurcação, esas soluções surgem numa bifurcação de Hopf, com período T = /, onde = Hopf e Hopf é o valor caracerísico no pono da bifurcação Hopf (imaginário puro). A esabilidade do ciclo limie pode ser deerminada da seguine forma. Seja uma solução periódica. Seja uma perurbação pequena em =, que gera uma evolução emporal descria por J com cuja solução é ; ; ep( J ) Como () é periódica, de período T, T T, Em geral k T T, kt (mapeameno de Poincaré) Esa equação de diferenças será esável se os valores caracerísicos de T, (valores caracerísicos muliplicadores de Floque) esão denro do círculo uniário. 8

29 A menos que se enha realizado uma análise de bifurcação paramérica (consrução de diagramas de bifurcação), com a localização de bifurcações Hopf (origem de um ciclo limie), não é fácil esabelecer se um sisema possuiu ou não um ciclo limie. O eorema de Poincaré-Bendion diz que qualquer rajeória descria por um sisema não-linear que enra ou esá conida e nunca sai de uma região fechada e limiada, V, sem a eisência de um esado esacionário, é um ciclo limie ou esá se aproimando assinoicamene de um. Considerando agora uma região V delimiada pelo ciclo limie, sem a eclusão de esados esacionários, pode-se concluir a parir dese eorema que: F + N + C S = onde F, N, C e S são, respecivamene, os números de focos, nós, cenros e ponos selas conidos na região V, independenemene de serem esáveis ou não. Por eemplo, um único esado esacionário cercado por um ciclo limie esável (insável) deve ser insável (esável), ou seja, um foco ou um nó. Um ouro eorema de Bendion diz que ao aplicarmos o eorema da divergência de Gauss para o veor f ;p no plano de fases, se o r J ;p não mudar de sinal na região V enão não eise ciclo limie nesa região. O eorema de divergência de Gauss diz que: V dv n onde n é um veor normal deiando a superfície S. Para um espaço bidimensional: C ds V C 9

30 onde V é a região delimiada pelo ciclo limie e C é o ciclo. Na inegral ao longo de C, e variam de acordo com o sisema dinâmico: que resula em: f ;p f f V C Se o veor for o próprio veor f ;p, enão: f f f f f f V C f f Logo, a primeira inegral é nula somene se V. r(j) mudar de sinal denro de Eemplo 8: reaor CSTR não-isoérmico com reação de primeira ordem e com propriedades físicas, volume do meio reacional e emperaura da camisa consanes. F, C Ae, T e F w, T w ce. C p ce. h = C p (T T ref ) F w, T w F, C A, T dc A V F(CA C e A) k(t)ca V dt VCp FC p(te T) ( H r)k(t)cav UA (T T w) com k(t) = k ep(-e/rt). A mariz Jacobiana para ese sisema é dada por:

31 F E k(t) k(t)c A V RT J(C A,T) ( H )k(t) F E ( H )k(t)c UA r r A Cp V RT Cp VCp e r[j(c,t)] F E ( H )k(t)c UA V RT C VC r A A k(t) p p. Concluí-se, nese caso, que se a reação química for endoérmica (H r > ) enão r(j) para qualquer valor de C A e T e, porano, o sisema nunca apresenará ciclo limie. Para o caso de uma reação química eoérmica (H r < ), é possível enconrar condições onde eisa ciclo limie. Por eemplo, para o caso de uma condição operacional apresenar somene um esado esacionário insável, o eorema de Poincaré- Bendion diz que para eisir um ciclo limie, ese esado deve ser um nó ou um foco e, porano, deve saisfazer a condição: de[j()] e r[j()] mas, a medida que C A e T endem a seus valores eremos (ao se afasarem do esado esacionário insável), o r(j) devido ao ermo de geração de calor que ende a zero, havendo porano a mudança de sinal r(j) e saisfazendo a condição necessária para a eisência de um ciclo limie. Analisando f e f, observa-se que quando C A : f > fazendo com que C A aumene, e quando C A C Ae : f < fazendo com que C A diminua; da mesma forma, quando T : f > fazendo que a emperaura aumene, e quando T : f < fazendo que a emperaura diminua. Ese comporameno ilusrado na CA C CT Ae p figura abaio ( e ), confirma a eisência de um ciclo C ( H )C Ae limie, de acordo com o eorema de Poincaré-Bendion. r Ae

32 Toro; Solução Quase-Periódica; Neimark-Sacker É um movimeno oscilaório com pequenos desvios de fase, como que percorrendo a superfície de um anel. Surge quando os valores caracerísicos de Floque cruzam o círculo uniário com pare imaginária. Eemplo 9: (p),5 [,( )], 5 (p ) [, ( )] p ( ) p = e = [,,,] T

33 p,8,5 (,4 ) A, 5 p,8 (, 4 ) p No pono esacionário (,, ): p,8,5 A,5 p,8 p,8, 5i,8, 5i (pono sela) Araor Esranho; Solução Caóica É uma solução não-esacionária e não-periódica que pode ocorrer em sisemas conínuos com ou mais esados e em sisemas discreos de qualquer dimensão. A sua evolução é muio sensível às condições iniciais. Eemplo : modelo de crescimeno de população (equação logísica), discreo. k p k( k) g( k) Ese mapeameno quadráico é esável quando g(). As soluções esacionárias p possíveis são e. Como g () p( ), a origem é esável p somene para p < e o segundo pono, onde g( ) p, só é esável para < p <. Para valores de < p < 4 os esados esacionários são insáveis e há o aparecimeno de araores periódicos com duplicações de período à medida que p aumena aé levar ao caos. Valores de p > 4 não há araores, levando a população a um crescimeno infinio. A figura abaio apresena o diagrama de órbias em função do parâmero de bifurcação.

34 p Eemplo : Equação de Lorenz, conínuo. ( ) r 5 4 b =, r = 8 e b = 8/ = [- ] T 5 A r b b(r ) b(r ) Os esados esacionários são:, b(r) e b(r) r r E, para os valores dados dos parâmeros, odos os esados esacionários são insáveis, ocorrendo a eisência de um araor esranho (caos). A solução em dimensão não ineira. Define-se como dimensão: 4

35 ln M d lim ln M : número mínimo de cubos de lado necessários para cobrir compleamene uma figura geomérica em S. Fracal: qualquer figura geomérica com dimensão não-ineira Os mecanismos que provocam o aparecimeno do caos podem ser diversos: duplicação de período. coalescência de esados esacionários. desruição de um movimeno oroidal. São várias as écnicas disponíveis para caracerizar o grau de caoicidade de um sisema: cálculo da dimensão do araor (quano mais pero de um ineiro menor a caoicidade) epoenes de Lyapunov (se posiivos indicam caos) especro de poência (maior achaameno, maior caos) inegral de correlação (com o caos ende rápido para zero) mapeameno de Poincaré. 5