N(0) número de núcleos da espécie inicial no instante t=0. N(t) número de núcleos da espécie inicial no instante t. λ constante de decaimento

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1 Lei do Decaimeno Radioacivo probabilidade de ransformação elemenar durane d d número médio de ransformações (dum elemeno) ocorridas em d N = Nd número médio de ocorrências na amosra com N elemenos em d N ( + d) = N ( ) N dn = Nd variação na amosra em d Lei do decaimeno (exponencial) N ( ) = N (0) e N(0) número de núcleos da espécie inicial no insane =0. N() número de núcleos da espécie inicial no insane. consane de decaimeno N ( τ ) = N ( 0 ) e τ τ=/ Vida média = N ( 0 ) e / T/ Meia vida = N ( 0 ) / e (Período de semi-ransformação) /e N ( T ) = N ( 0 ) / T / / ln 0, = = # nuclídeos N()/N(0) T / τ empo (s) Lei do Decaimeno Radioacivo N ( T ) = N ( 0 ) / / T / ln = N ( τ ) = N ( 0 ) / e τ = Influência da consane de decaimeno sobre a evolução do número que núcleos sobrevivenes em dado insane # nuclídeos N()/N(0) N( ) = N(0) e grande médio pequeno Noar: Se um dado sisema em mais que um canal de decaimeno, a axa a que ele desaparece é a soma das axas de cada um desses canais efecivo = (s)

2 Lei do Decaimeno Radioacivo Raramene medimos o número de áomos de uma amosra, N() é difícil Mais acessível é observar as ransformações que nela ocorrem, a sua variação emporal aravés da deecção das emissões de radioacividade α, β ou γ dn N( ) = N(0) e = d Acividade A() = nº de ransformações por unidade de empo A( ) = A(0) e A(0) = N(0) = = axa de decaimenos em =0 (acividade inicial) Acividade A()/A(0) /e T / τ empo (s) 3 Num sisema em cadeia Frequenemene um nuclídeo radioacivo, pai, decai para um ouro, o filho, b/ radioacivo N () Pai N () Filho N 3 Neo esável As acividades do pai e do filho : sisema de equações diferenciais lineares de ª ordem dn d dn d = N = N + N NOTAR: Fala-se de EQUILÍBRIO quando é igual a acividade de diferenes membros da cadeia 4

3 Num sisema em cadeia Soluções do sisema: - Condições iniciais... a) N (0) 0 e N (0)= 0 Acividades: A ()= N () A ()= N () N( ) = N(0) e ( ) N( ) = N(0) e e A ( ) = A (0) e ( ) A ( ) = A (0) e e b) N (0) 0 e N (0) 0 N ( ) = N (0) e A ( ) = A (0) e ( ) A ( ) = A (0) ( e e ) + A (0) e N ( ) = N (0) e e + N (0) e 5 Equilíbrio secular Se << (i.e., τ >>τ ) o decréscimo de acividade do pai ao longo de algumas vidas médias do filho é desprezável Obs.: Admia-se parir de uma amosra pura de, i.e., N (0)=0 ( ) N( ) = N(0) e e N (0) ( e ) A = N N ( ) = A Mais, N = N Equilíbrio Secular Ouro exemplo: veja-se a acividade da amosra! Aciviy Ra Rn 6 Ra + Rn Time (h) 6 3

4 Equilíbrio ransiório Se < (ou seja, τ >τ ) resula o Equilíbrio Transiório A espécie evolui com as caracerísicas da espécie (como se ivesse i ou τ ); uma solução sempre ransiória A ( ) N = = A ( ) N = ( ) ( e ) A ( ) = lim A ( ) 7 Oura siuação Sendo > não ocorre equilíbrio, mas o pai () desaparece depressa A acividade do filho começa por crescer e decresce depois Para empos longos, >>/ resula N ( ) N(0) e 8 4

5 IRRADIAÇÃO DE UMA AMOSTRA Considere um feixe de parículas de inensidade I NOTAR: I = # parículas / (unidade de empo unidade de área) Admia uma amosra com um dado nuclídeo sujeia a esse feixe Sendo σ a secção eficaz para a reacção de absorção, resula: Taxa de formação: R = N 0 σ I Admia-se que o nuclídeo formado pela absorção da parícula é radioacivo e decai à axa Variação da população desse nuclídeo : dn = Rd - N d Inegrando: R N ( ) = e ( ) >> τ A ( ) R A ( ) = N ( ) ( e ) = R << τ A ( ) R 9 Esaísica no decaimeno radioacivo 0 não obriga a que uma dada ransição se dê Esaísica de pequenos números: probabilidade de observar o número k de evenos num dado inervalo de empo, fixo, se em média ocorrerem nesse empo e os evenos forem independenes Disribuição de POISSON Probabilidade de ocorrência durane = Probabilidade de ocorrerem n evenos na amosra Para n grande, a disribuição de Poisson ende para a disribuição de GAUSS P( n) = n ( N ) e N n! ( N n) Média P( n) = exp n = N π N N Variância σ = N 0 5

6 Decaimeno radioacivo e leis de conservação - Conservação do momeno linear recúo do núcleo resane X Y + a ( + b) p p + p ( + p ) X Y a b - Conservação da energia oal massas deerminam as condições de esabilidade em cada processo [ ( )] Q = M M + M + M X Y a b Q > 0 Processo exponâneo Q = energia em excesso = = E cin (produos) - Conservação da carga elécrica Ex.: β + p + n (o) + e + + ν (o) - Conservação do momeno angular Ex.: o foão em momeno angular Condições energéicas nos decaimenos α e β Decaimeno α X(A, Z) Y(A 4, Z ) + He(4,) núcleo Como o Y(A-4.Z-) em afinal elecrões a mais, resula Q = M (A,Z) [ M(A 4, Z ) + M(He) ] Tendo o esado final dois corpos, a conservação de momeno e de energia obriga a: i) orienação relaiva do movimeno de Y(A 4, Z ) e da parícula alfa bem deerminada ( qual será?) ii) Energia cinéica dos dois corpos bem definida, i.e., especro desconínuo das parículas alfa. 6

7 Condições energéicas nos decaimenos α e β Decaimeno β β - n p + e - + ν ani Q = [m n m p m e ]c Q = [m n M( H)] c X(A, Z) Y(A, Z+) + e - + ν ani sai um e -, mas fala um para o áomo Y ser neuro Q = [M(A,Z) M(A,Z+)]c β + X(A, Z) Y(A, Z ) + e + + ν sai um elecrão (e - ) e fica Y(A, Z ) com Z- elecrões Q = [M(A,Z) M(A,Z) m e ]c c.e. X(A, Z) Y(A, Z ) + ν (p + e - n + ν) o e - que desaparece vem da nuvem elecrónica Q = [M(A,Z) M(A,Z)]c 3 Condições energéicas nos decaimenos α e β DUAS SITUAÇÕES DIFERENTES a) β - n p + e - + ν ani Q = [m n m p m e ]c β + X(A, Z) Y(A, Z ) + e + + ν Q = [M(A,Z) M(A,Z) m e ]c Q Esados finais de 3 corpos: impossível prever como Q é disribuído enre eles; especros de energia de β - e β + são desconínuos! Alguma explicação para esa diferença? Q b) c.e. X(A, Z) Y(A, Z ) + ν Q = [M(A,Z) M(A,Z)]c Obs.: Apenas corpos no esado final - É possível prever momenos (iguais e oposos) de Y e ν - Diferença de massas E ν Q (ν leva quase oda a energia) 4 7

8 Mas quando há esabilidade, como é que ela surge? O modelo da Goa Líquida coném as forças de curo alcance e de faco o comporameno da ineracção N-N N (nucleão-nucleão) em esa forma. B(MeV) 0-40 ~fm 0 r Iso deve-se a serem as forças em presença forças de roca e sabemos aé raar-se de roca de mesões π PRINCÍPIO DA INCERTEZA pode escrever-se Assim pode violar-se a conservação durane Durane esse empo a parícula de massa m pode, no máximo, deslocar-se aé uma disância x E = mc ħ ħ mc ( ) x = c = c ħ mc Nas condições do problema, al parícula poderá er uma energia c 00 MeV. fm em repouso inferior a mc = ħ 00MeV x = fm = Ora o pião em jusamene massa de ~40 MeV/c 5 8