Análise de séries de tempo: modelos de decomposição

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1 Análise de séries de empo: modelos de decomposição Profa. Dra. Liane Werner Séries de emporais - Inrodução Uma série emporal é qualquer conjuno de observações ordenadas no empo. Dados adminisraivos, econômicos, de engenharia ou de ciências naurais ocorrem na forma de série emporal, onde as observações são dependenes do próprio empo. na área econômica=> oal de exporações; na física => emperaura diária em deerminada localidade no markeing => as vendas semanais em demografia => a população de um país ano a ano na engenharia supervisionando a qualidade de um processo de manufaura. 2 Séries de emporais - Inrodução proporção de não-conformes 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, loe Séries de emporais - Inrodução Séries emporais são composas por quaro elemenos. A primeira componene é a Tendência, que verifica o senido de deslocameno da série ao longo de vários anos. A segunda componene é o Ciclo, movimeno ondulaório que ao longo de vários anos ende a ser periódico. A erceira componene é a Sazonalidade que em a duração de curo prazo, inferior a um ano. A quara componene é conhecida como Ruído Aleaório. O ruído aleaório compreende a variabilidade inrínseca aos dados, que não pode ser modelada. 3 4

2 Séries de emporais - Inrodução Fone: Sevenson, W. Séries de emporais - Inrodução A lieraura sobre as écnicas para analisar séries de empo é vasa: (i) Modelos de Decomposição; (ii) Modelos de Suavização Exponencial; (iii) Modelos de Box-Jenkins; (iv) processos de memória longa (arfima); (v) análise de inervenção; (vi) modelos não-lineares (arch, garch, arch) (vii) redes neurais 5 6 Modelos de decomposição Modelos de Decomposição consisem em, como o próprio nome diz, decompor o modelo que descreve o comporameno da série emporal aravés de suas componenes: Valor da série emporal = padrão emporal + erro Valor da série emporal = f (Tend., Ciclo, Sazon., Ruído Alea.) ou Y = f (T, C, S, ε ) onde: Y é o valor da série emporal T é a componene Tendência no período C é a componene Ciclo no período S é a componene de Sazonalidade no período ε é a componene de erro ou Ruído Aleaório no período 7 Modelos de decomposição É comum incluir a componene Ciclo no modelo para represenar movimenos com períodos longos. Conudo, como em geral os períodos observados são pequenos quando comparados com o amanho do Ciclo, muias vezes o que se observa ao analisar o efeio da Tendência é pare do Ciclo. Ese fao nos leva a confundir o efeio do componene Ciclo com a componene Tendência. Por iso, auores como Makridakis e al. (1998) e Morein e Toloi (1987) uilizam para represenar o Modelo de Decomposição a seguine expressão: Y = f (T, S, ε ) Que será uilizada doravane. 8

3 Modelos de decomposição A função exaa que descreve a expressão anerior depende do méodo de composição a ser uilizado, que pode ser adiivo ou muliplicaivo. O Modelo de Decomposição Adiivo considera que a série emporal é resulane da soma das componene: Y = T +S +ε O Modelo de Decomposição Muliplicaivo considera que a série emporal é resulane do produo das componenes: Y = T xs xε 9 Modelos de decomposição: Tendência A componene Tendência consise em um movimeno superior a um ano e indica qual a direção de deslocameno da série, se esa ocorrendo um aumeno global ou uma diminuição global. O isolameno da componene Tendência, em duas finalidades: (i) idenificá-la para auxiliar no processo de previsão => usa-se análise de regressão e (ii) removê-la, para que as demais componenes da série emporal sejam conhecidas => usa-se médias móveis. 10 Modelos de decomposição: Tendência Roda-se a regressão (MQO) e a equação enconrada será uilizada para esimar valores fuuros desa componene, bem como para recompor o modelo, seja adiivo ou muliplicaivo. Uma vez idenificada a Tendência, uiliza-se a écnica de Médias Móveis para isolá-la e assim ober componene de sazonalidade. As médias móveis podem ser definidas para qualquer ordem. A média móvel de ordem k consise em ober a média de m valores observados anes do valor aual aé m valores após. Modelos de decomposição: Tendência A expressão para ober a componene de Tendência é dada por: T = 1 m Y + j k j= m Caso o período de observação seja mês, será necessário calcular as médias móveis e depois cenrá-las. A cenralização consise em ober a média ariméica de dois valores sucessivos (das médias móveis)

4 Modelos de decomposição: Tendência Conjuno de dados para o número de passageiros em vôos inernacionais e a componene Tendência obida por média móvel. Mês/Ano Número de Passageiros Média Móvel de 12 meses não cenrada Média Móvel de 12 meses cenrada jan/ fev/ Uma vez que a Tendência foi mar/ abr/ isolada, agora a - obém-se a mai/ componene de Sazonalidade - S. jun/ jul/ , ,792 ago/ , ,25 se/ , ,958 ou/ , ,583 nov/ , dez/ , ,75 jan/ , ,25 fev/ , ,083 mar/ , Exercício do arquivo TEQ6_chocolae: iens a,b,c 13 Séries que conenham componene Sazonal são comuns. A sazonalidade consise um comporameno ípico em períodos de empo inferiores a um ano. Por exemplo: as vendas de brinquedos aumenam muio no Naal e em ouubro; as vendas de sorvees aumenam no verão; vendas de jóias aumenam em maio. A maneira de obenção da componene Sazonalidade esá arelada ao ipo de modelo, adiivo ou muliplicaivo. 14 Obenção da componene de Sazonalidade para o modelo adiivo Após remover Tendência da série emporal, resa apenas as componenes de Sazonalidade e os Ruídos Aleaórios: Y T = S + ε Para esimar a Sazonalidade no exemplo dos passageiros, calcula-se as diferenças enre o valor observado (Y ) e as médias móveis cenradas para cada mês do ano, conforme a equação acima. Conjuno de dados para o número de passageiros em vôos inernacionais e a componene Sazonalidade para o modelo adiivo Mês/Ano Número de Passageiros MM de 12 meses não cenrada MM de 12 meses cenrada Série sem Tendência (1) (2) (3) (4) = (1)-(3) jan/ fev/ mar/ abr/ mai/ jun/ jul/ , ,792 21,208 ago/ , ,25 20,75 se/ , ,958 8,042 ou/ , ,583-9,583 nov/ , dez/ , ,75-11,75 jan/ , ,25-16,25 fev/ , ,083-7,

5 A fim de ober a componene de Sazonalidade(índice), agrupa-se os valores da série sem Tendência para cada período em esudo (4). Após calcula-se a média, esa média será o Índice Sazonal do período. Segundo Makridakis e al. (1998) ese índices são assumidos como consanes ano a ano. A média (das diferenças) será uma esimaiva do Índice Sazonal em um dado mês. Assim, o Índice Sazonal de janeiro é a média de odos os valores da série sem Tendência para janeiro ,50 Índices Sazonais para modelo adiivo -36,94-2,99-8,79-5,26 34,65 63,08 62,07 Espera-se menos que 3 passageiros, em relação a média, no mês de março Espera-se mais que 62 passageiros, em relação a média, no mês de agoso 15,77-21,39-54,34-29,37 jan fev mar abr mai jun jul ago se ou nov dez Exercício iem d 18 Obenção da componene de Sazonalidade para o modelo muliplicaivo Após remover Tendência da série emporal, resa apenas as componenes de Sazonalidade e os Ruídos Aleaórios: Y T x S x ε = = S x ε As componenes de Sazonalidade são obidas aravés da écnica da razão de médias móveis. Esa écnica consise em fazer a razão enre o valor observado na série e o valor da média móvel. T T Para esimar a Sazonalidade no exemplo, calcula-se as razões enre o valor observado (Y ) e as médias móveis cenradas para cada mês do ano. Conjuno de dados para o número de passageiros em vôos inernacionais, as médias móveis e a série sem Tendência Mês/Ano Número de Passageiros MM de 12 meses não cenrada MM de 12 meses cenrada Série sem Tendência (1) (2) (3) (4) = (1)/(3)*100 jan/ fev/ mar/ abr/ mai/ jun/ jul/ , , ,727 ago/ , ,25 116,306 se/ , , ,285 ou/ , ,583 92,547 nov/ , ,62 dez/ , ,75 90,944 jan/ , ,25 87,

6 A fim de ober a componene de Sazonalidade, agrupa-se os valores da série sem Tendência para cada período em esudo (4). Após calcula-se a média, esa média será o Índice Sazonal do período. Segundo Makridakis e al. (1998) ese índices são assumidos como consanes ano a ano. A média das razões será uma esimaiva do Índice Sazonal em um dado mês. Assim, o Índice Sazonal de janeiro é a média de odos os valores da série sem Tendência para janeiro ,00 120,00 100,00 80,00 60,00 40,00 20,00 0,00 Índices Sazonais para modelo muliplicaivo 90,86 88,21 100,56 97,42 97,96 122,44 121,78 111,08 105,86 em %, pois facilia a inerpreação. 92,01 89,72 79,98 um valor superior a 100 indica que há uma influência sazonal de crescimeno, se for inferior a 100 significa uma influência sazonal de decréscimo. jan fev mar abr mai jun jul ago se ou nov dez Exercício iem e 22 Modelos de decomposição: Ruído Para ober a componene Ruído Aleaório no modelo adiivo basa subrair o valor das demais componenes, no caso Tendência e Sazonalidade, do valor observado na série emporal. Y T - S = ε Para o modelo muliplicaivo a componene Ruído Aleaório é obida pela razão do valor da série emporal e as demais componenes. Y T x S x ε ε = = S x T S x T Modelos de decomposição: Ruído Componene Ruído Aleaório para modelo adiivo 1,15 1,10 1,05 1,00 0,95 0,90 0,85 O comporameno dos ruídos aleaórios não são iguais, iso se deve ao fao de que os valores obidos de ε não são obidos das próprias componenes Sazonais e sim dos Índices Sazonais esimados para cada período. Ruído Aleaório para o modelo muliplicaivo 24

7 Modelos de decomposição: Recomposição Esimando aravés da Recomposição do Modelo O processo de recomposição difere, conforme o modelo que esá sendo uilizado, se é um modelo adiivo ou um modelo muliplicaivo. Os valores obidos na recomposição são esimaivas para o modelo adoado. 25 Modelos de decomposição: Recomposição Para a componene Tendência foram uilizadas as médias móveis. Para a componene Sazonalidade são uilizados os Índices Sazonais de cada período. Os Índices Sazonais uilizados para recompor o modelo adiivo são os valores esabelecidos, conudo para o modelo muliplicaivo os valores uilizados não são os percenuais e sim o valor do índice. A componene Ruído Aleaório não é conemplada na recomposição, pois ela não é modelável e seu valor é igualado a zero no modelo adiivo e a um no modelo muliplicaivo. 26 Modelos de decomposição: Recomposição Modelo Adiivo Mês Y T S ε Ŷ jan/ ,5 0 - fev/ , mar/ , abr/ , mai/ , jun/ , jul/ ,79 63, ,87 ago/ ,25 62, ,32 se/ ,96 15, ,73 ou/ ,58-21, ,19 nov/ , ,66 dez/ ,75-29, ,38 jan/ ,25-25, ,75 fev/ ,08-36, , Modelos de decomposição: Recomposição Modelo Muliplicaivo Y T S ε Ŷ 112-0, , , , , , ,79 1, , ,25 1, , ,96 1, , ,58 0, , , , ,75 0, , ,25 0, , ,08 0, ,

8 Para realizar previsões de valores fuuros com base nos modelos de decomposição, basa recompô-los conforme sua forma, adiivo ou muliplicaivo. Segundo Morein e Toloi (1987) o modelo adiivo é mais adequado quando a componene de Sazonalidade não depende das ouras componenes. Se a Sazonalidade varia com a endência, o modelo muliplicaivo é mais adequado. Exercício iem f 29 ros, em mil número passageir Número de passageiros em vôos inernacionais 0 Jan/49 Jan/50 Jan/51 Jan/52 Jan/53 Jan/54 Jan/55 Jan/56 Jan/57 Jan/58 Jan/59 Jan/60 mês número de passageiros Tendência Componene Tendência obida por regressão linear simples. A componene de Sazonalidade aparena uma dependência com a Tendência, pois a medida que os anos passam a ampliude sazonal aumena, desa forma o modelo muliplicaivo parece mais adequado. 30 Vejamos, qual seria o valor esimado de passageiros para julho de 1961? Para realizar uma previsão com o modelo muliplicaivo, precisa-se ober as esimaivas de cada componene. Primeiramene precisa-se ober o valor de, empo correspondene ao mês de julho de 1961, O período de jan/49 é o primeiro logo = 0 assim para jul/61, = 150. A rea de regressão para os dados é T =90,31+2,66, sendo assim a esimaiva da componene Tendência T 150 = 90,31 + 2,66 x 150 = 489,31 31 Obido a esimaiva para a componene Tendência, é necessário resgaar o valor esimado do índice percenual Sazonal para o mês de julho, que é de 122,44 Assim S 150 = 1,2244 que é o valor do Índice Sazonal. A componene Ruído Aleaório para o modelo muliplicaivo é assumido como sendo 1. Desa forma ε 150 = 1. 32

9 Calculadas as esimaivas das componenes, obém-se o valor esimado para julho de 1961: Y = T x S x ε = T 150 x S 150 x ε 150 = 489,31 x 1,2244 x 1 = 599,11 A previsão para julho de 1961 seria de passageiros em vôos inernacionais. Exercício iem g Para os dados do exemplo, que se enconram no arquivo TEQ6_avioes.xls Esime o número de passageiros de janeiro a março de 1961? Análise de séries de empo: modelos de decomposição Profa. Dra. Liane Werner