SÉRIE: Estatística Básica Texto: SÉRIES TEMPORAIS SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO TENDÊNCIA VARIAÇÕES SAZONAIS... 16

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2 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS SUMÁRIO. INTRODUÇÃO NOTAÇÃO E NOMENCLATURA COMPONENTES DE UMA SÉRIE TEMPORAL ESTACIONARIDADE TENDÊNCIA DETERMINAÇÃO DA TENDÊNCIA TENDÊNCIA POLINOMIAL Tendência Linear Tendência parabólica TENDÊNCIA LINEARIZÁVEL POR TRANSFORMAÇÃO Tendência exponencial Tendência geomérica (função poência) COEFICIENTE DE EXPLICAÇÃO VARIAÇÕES SAZONAIS DETERMINAÇÃO DOS ÍNDICES ESTACIONAIS VARIAÇÕES IRREGULARES DEFLAÇÃO DE SÉRIES TEMPORAIS EXERCÍCIOS RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS REFERÊNCIAS... 7 Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7

3 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS. INTRODUÇÃO SÉRIES TEMPORAIS Na Esaísica exisem siuações de esudo onde os dados de ineresse são obidos em insanes sucessivos de empo, que pode ser, por exemplo, a cada minuo ou hora, a cada dia, a cada mês ou ano, ou ainda num período conínuo de empo, como aconece num elerocardiograma. Eses dados ordenados no empo são denominados de série emporal. Podem ser considerados como exemplos de séries emporais: (a) Os valores diários do preço das ações em uma bolsa de valores; (b) Os valores, regisrados mensalmene, das emperauras máximas em Poro Alegre; (c) As quanidades anuais de chuva que caem numa deerminada região; (d) O índice mensal da inflação brasileira; (e) As aluras da maré no Poro de Rio Grande, medidas aravés de um mareógrafo (mareógrafo); (f) O regisro do elerocardiograma (ECG) de uma pessoa; (g) O regisro do movimeno da crosa erresre, medido aravés de um sismógrafo. Os exemplos de (a) a (d) mosram séries discreas, enquano que os de (e) a (g) ilusram séries conínuas. As séries discreas são observadas em insanes eqüiespaçados de empo, iso é, em inervalos de empo =,,..., n, enquano que as séries conínuas são observadas em inervalos de empo conínuos [, ]. No enano, as séries conínuas são ransformadas em discreas para poderem ser analisadas. Os valores de uma série ambém podem ser obidos por agregação, como, por exemplo, as emperauras diárias são somadas e é obido a média, ou no caso, de chuvas as precipiações diárias são somadas para se ober um valor mensal... NOTAÇÃO E NOMENCLATURA Suponha-se que se esá ineressado em colear dados sobre a emperaura média diária na cidade de Poro Alegre. Como a cidade é muio grande e exisem insalados vários ermômeros em diferenes ponos da capial vai se er diferenes leiuras para a emperaura em uma mesma hora. Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7

4 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS Assim, por exemplo, as 3 horas da arde pode-se er um local marcando graus e ouro marcando graus. Cada ermômero vai regisrar uma curva de emperaura diferene para um mesmo período de 4 horas de observação. Cada uma desas curvas é denominada de uma rajeória do processo físico sendo observado. O processo esocásico é o conjuno de odas as rajeórias possíveis que se poderia observar. Cada rajeória obida, iso é, efeivamene observada é denominada de função amosral ou mais comumene de série emporal. Fazendo uma analogia com os conceios de população e amosra da Esaísica clássica o processo esocásico corresponderia a população enquano que cada rajeória ou série emporal seria uma amosra da população. As rajeórias podem ser represenadas por Y (), Y (), ec. No insane = se erá o valor Y () da emperaura na primeira esação e Y () para a segunda esação. Eses são os valores efeivamene observados e poderiam ser C e 9 C, por exemplo. A figura mosra um exemplo de duas rajeórias diferenes de um mesmo fenômeno. Y() Y () Y () 4 Figura A - Duas rajeórias de um mesmo fenômeno (emperaura do ar). Percebe-se assim que para um dado pono no empo, os vários ermômeros esarão medindo diferenes emperauras, iso é, fixado um valor no empo a emperaura é uma variável aleaória. Assim para fixo Y() é uma variável aleaória e, como al, erá uma deerminada disribuição de probabilidade. Variando vai-se er ouras disribuições de probabilidade. Desa forma um processo esocásico pode ser enendido como: (i) Um conjuno de possíveis rajeórias que poderiam er sido observadas ou (ii) Um conjuno de variáveis aleaórias, uma para cada insane de empo. Cada valor observado de uma rajeória é um dos possíveis valores que poderiam er sido observados, de acordo com a disribuição de probabilidades da respeciva variável aleaória. Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7

5 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS Na realidade o que é chamado de série emporal, iso é, o conjuno de valores que se dispõe para análise, é uma pare de uma rajeória, denre as muias que poderiam er sido observadas. De um modo geral uma série emporal Y pode ser um veor de ordem rx, onde, por seu lado é um veor de ordem px. Por exemplo Y = [Y (), Y (), Y 3 ()], onde as 3 componenes podem ser a: a alura, a emperaura e a pressão de um pono do lioral brasileiro e =(empo, laiude, longiude). Nese caso, a série é dia mulivariada (r = 3) e mulidimensional (p = 3). Um ouro exemplo poderia ser o número de acidenes que ocorrem em rodovias do Rio Grande do Sul, por dia. Nese exemplo, r = e p =, com =(dia, rodovia)... COMPONENTES DE UMA SÉRIE TEMPORAL Em geral, pode-se idenificar os seguines padrões de comporameno na análise de séries emporais uilizando-se um modelo clássico: Uma endência ao longo do empo, Um padrão sazonal e Uma componene aleaória (não idenificada) Eses padrões dificilmene aparecem isolados, eles, em geral, surgem de forma combinada. A análise das séries emporais pode enão ser encarada, simplesmene, como uma enaiva de decomposição nesas várias componenes. O méodo clássico de análise de séries emporais consise em decompor uma série em cada uma de suas componenes básicas e analisar cada uma desas componenes separadamene e enão recombinar a série a fim de descrever as variações observadas na variável de ineresse. O processo de decomposição envolve a remoção sisemáica de cada componene dos dados, a começar pela endência. Exisem dois modelos uilizados classicamene. O modelo adiivo e o modelo muliplicaivo. O modelo adiivo considera a série emporal como sendo uma soma de suas componenes, enquano que o modelo muliplicaivo considera a série como sendo um produo de suas componenes. Se a endência for represenada por T, a componene sazonal por S e a irregular por a, enão os dois modelos podem ser expressos como: Y = T + S + a Y = T.S.a (modelo adiivo) e (modelo muliplicaivo) para =,,..., n. Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7

6 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS O modelo adiivo é adequado quando a componene endência S não depende das ouras componenes. Se as Ampliudes sazonais variam com a endência, o modelo mais adequado é o muliplicaivo. É possível, ainda, considerar modelos misos, como por exemplo: Y = T.S + a, ou enão ouros mais complicados..3. ESTACIONARIDADE Uma das hipóeses mais comuns sobre uma série emporal é de que ela seja esacionária. Quer dizer ela se desenvolve aleaoriamene no decorrer do empo em orno de uma média consane, mosrando uma forma de esabilidade. No enano, a maioria das séries enconradas, na práica, apresenam algum ipo de endência. No caso de séries econômicas, iso aconece, em geral, sendo que a endência mais simples é aquela em que a série fluua em orno de uma linha rea, podendo er uma inclinação posiiva ou negaiva. Uma forma simples de verificar se uma série apresena uma endência é omar diferenças sucessivas. Para verificar a linearidade basa omar a primeira diferença. Seja Y a série considerada. Enão, a primeira diferença de Y é definida por: Y = Y - Y - Se esa série (da primeira diferença) for esacionária enão a série original apresena uma endência linear. Para verificar se a série apresena uma endência polinomial de segundo grau (parabólica) pode-se omar a segunda diferença, definida por: Y = [ Y ] = [Y - Y - ] = Y - Y - + Y - Se a série formada pela segunda diferença for esacionária enão a série original apresena uma endência parabólica.. TENDÊNCIA O ermo endência descreve o movimeno suave, a longo prazo, dos dados, para cima ou para baixo. As endências podem esar relacionadas com faos como: o crescimeno da população, modificações na preferência dos consumidores, campanhas governamenais de longo prazo, ec. Normalmene a endência é o elemeno mais imporane em uma série emporal. Pode ser linear, onde o crescimeno é consane em cada período de empo, polinomial ou ainda exponencial. Se Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7

7 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS o crescimeno da série é exponencial enão os logarimos dos seus valores seguirão uma endência linear. A maneira mais simples de isolar a endência é aravés da regressão, fazendo primeiramene o ajusameno sazonal, iso é, eliminando-se a endência sazonal caso ela exisa. A endência sazonal é uma componene que exise somene para séries medidas em sub-períodos do ano. Exisem dois objeivos básicos em se isolar a endência de uma série emporal. Uma é idenificar a endência e usá-la para fazer previsões. O ouro é remover a endência, de modo a permiir o esudo das demais componenes da série. A endência a longo prazo da demanda é de vial imporância para o planejameno esraégico de qualquer empresa. É imporane saber se a demanda esá crescendo, decrescendo ou enão esacionou. Aravés da análise da endência da demanda é que podem ser omadas decisões imporanes como a expansão física, o aumeno de capial, a consrução de uma nova fábrica, ec... DETERMINAÇÃO DA TENDÊNCIA Para esimar a endência vamos supor que a componene sazonal não eseja presene e que o modelo é adiivo, iso é: e Y. Y = T + a onde a é a componene irregular. A esimação da endência de uma série emporal é feia aravés da regressão enre as variáveis A variável ajusada é anoada por endência ou livre da endência, iso é: Z = Y - Y $ = a$ (pois por hipóese o modelo é adiivo)... TENDÊNCIA POLINOMIAL Y $, e aravés dela pode-se ober a série ajusada para a Um procedimeno muias vezes usado é ajusar uma curva aos valores observados da série para esimar T e fazer previsões. Tradicionalmene são uilizadas funções exponenciais, logísicas, de Gomperz, ec. Nese caso, iremos nos limiar a descrever o modelo polinomial, o exponencial e o geomérico. O ajuse polinomial apresena um problema sério, que é o de nem sempre fornecer boas previsões, mesmo com um ajuse basane bom. Supõem-se que: T = m m Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7

8 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS onde o grau m do polinômio deve ser bem menor do que o número n de valores da série. Para esimar os parâmeros j uiliza-se o méodo dos mínimos quadrados, iso é, minimiza-se a função: n = m f(,,..., m) = ( Y... m ) (equação A) obendo-se os esimadores dos mínimos quadrados: $ $ $,,..., m De onde, segue, enão que a endência esimada será: $ $ $ T $ = m m... TENDÊNCIA LINEAR Se m =, a equação T = m m se reduz a uma endência linear e nese caso a equação dos mínimos quadrados (equação ) acima fica: n Y f(, ) = ( ) = Minimizando em relação aos valores e (iso é, derivando em relação a cada um deles e igualando a zero) obêm-se as duas equações abaixo, denominadas de equações normais da rea: n n n$ + $ = Y = = n n n $ $ + = Y = = = Resolvendo em função de $ e $ segue: $ Y $, onde Y = n = n Y = n e = n = e $ é dado por: $ = n n n n Y = = = n n n = = Y = n Y Y = n ( ) n Y Y 4 n n Exemplo Na abela a, esão as vendas de uma empresa nos úlimos anos. Deerminar a endência a longo prazo das vendas aravés de um polinômio de grau um (rea). Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7

9 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS Tabela A - Vendas da Empresa Lucrocero S.A /94 Anos Vendas (em R$ milhões) 9,5 9,45 9, 9 3,84 9 6, , ,8 95 5, , 97 73,85 A figura b mosra um diagrama (por ponos) desas vendas. A represenação gráfica dos valores da série é imporane, pois fornece uma idéia inicial sobre qual deve ser a equação de endência mais adequada. Figura B- Diagrama das vendas da Empresa Lucrocero S.A Vendas Y.45 Ano Consruindo a abela b para a elaboração dos cálculos em-se: Tabela B - Ajusameno de uma equação linear aos valores da abela a Y Y Y,5,5 4,5,45 4,9 4 48,5 3, 63, ,44 4 3,84 95, , ,96 34,8 5 76, ,55 95, ,55 Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7

10 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS 7 4,8 85, ,64 8 5,65 45, , , 53, ,64 73,85 738,5 5453,85 Σ 37 5, ,7 Desa forma em-se: n n = (n + ) = 5 e = 5,5 e n n(n + )( n+ ) = = 385. Logo: = = 6 n Y = n = 37 e Y = 37 e Y = 5,56 Daí segue que: = $ = 5,67 e $ = 5,7886 Assim um esimador para a endência linear (T ) é: T $ = 5,6 + 5,79 A figura c mosra um diagrama da equação linear obida, junamene, com os dados originais. Figura C - Diagrama dos dados e da equação de endência linear 8 Y TENDÊNCIA PARABÓLICA Se m =, a equação T = m m se reduz a uma parábola e nese caso a equação dos mínimos quadrados (equação ) fica: n f(,, ) = ( Y ) = Minimizando em relação aos valores, e (iso é, derivando em relação a cada um e igualando a zero) obêm-se as relações abaixo, denominadas de equações normais da parábola. n n n n$ + $ + $ = Y = = = Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7

11 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS n n n n = = = = = $ $ $ Y n n n n = = = = = $ $ $ Y As equações normais formam um sisema linear de 3 equações a 3 valores desconhecidos e pode ser resolvidos por um dos vários méodos de se resolver um sisema dese ipo, como por exemplo, o méodo de Cramer. Exemplo Ajusar uma endência parabólica aos valores dos dados conidos na abela a. A abela c coném os cálculos necessários para a obenção das equações normais. Tabela C - Vendas da Empresa Lucrocero S.A /94 Y Y Y 3 4,5,5,5,45 4,9 4 8, , 63,6 9 9, ,84 95, , ,96 34, , ,55 95,3 36 7, ,8 85, , ,65 45, 64 34, , 53, , ,85 738,5 7385, Σ 37 5, , Nese caso em-se: $ + 55 $ + 385$ = $ $ + 35$ = 5, $ + 35 $ $ = 994,34 De onde segue que: $ = 3,668, Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7

12 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS $ = -3,4443, e $ =,8394 Logo um esimador para a endência T é: T $ = 3,63-3,44 +,84 A figura d mosra um diagrama dos dados originais e da equação de endência parabólica esimada. Observe que o ajuse é praicamene perfeio. Figura D - Diagrama dos dados e da equação de endência parabólica 8 Y TENDÊNCIA LINEARIZÁVEL POR TRANSFORMAÇÃO Algumas funções, que a primeira visa não são lineares podem ser linearizadas por alguma ransformação sobre uma ou mesmo sobre as duas variáveis ( e Y ). Em geral esa ransformação consise em rabalhar com os logarimos de uma ou de ambas as variáveis TENDÊNCIA EXPONENCIAL A endência exponencial pode ser caracerizada por uma equação do ipo: T = α Aplicando-se logarimos aos dois lados desa equação vem: ln(t ) = ln(α ) = ln(α) + ln()., que é uma equação do ipo linear. Desa forma para se esimar α e, ajusa-se a ln(t ) e uma equação linear com = ln(α) e = ln(). Os valores esimados de α e serão: $a = $ e e b $ = $ e Exemplo 3 Ajusar uma endência exponencial aos valores dos dados conidos na abela a. Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7

13 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS A abela d coném os cálculos necessários para a obenção das equações normais. Tabela D - Cálculos para a obenção de um ajusameno exponencial Y ln(y) ln(y) ln(y), ,4 9,3,45 3,8 6,36 4 9,8 3, 3,54 9,6 9 9, ,84 3,74,6855 6, ,96 3,944 6,478 5, ,55 3,488, ,97 7 4,8 3,787 5, , ,65 3,949 3, , , 4,89 36, , ,85 4,3 43,4 8, ,575 5, ,99 De onde segue que: $ = ln( Y) ln( Y) = (.5, ,575) / ( ) =,53 n ( ) n $ = 3,558-5,5.=,668 Os valores esimados de a e b serão: $a = $ e = 4,46 e b $ $ = e =,645. Logo um esimador para a endência exponencial T é: T $ = 4,4.(,6) A figura e mosra a equação de endência exponencial bem como os dados originais. Figura E - Tendência exponencial e série emporal. 8 Y Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7

14 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS.3.. TENDÊNCIA GEOMÉTRICA (FUNÇÃO POTÊNCIA) A endência geomérica de uma série emporal pode ser avaliada por uma equação do ipo: T = a b Aplicando-se logarimos aos dois lados da expressão acima vem: ln(t ) = ln(a b ) = ln(a) + b.ln() Nese caso para esimar a e b, ajusa-se aos logarimos de Y e aos logarimos de uma $ equação linear com = ln(a) e = b. Os valores esimados de a e b serão: $a = e e b $ = Exemplo 4 Ajusar uma endência geomérica aos valores dos dados conidos na abela a. A abela e coném os cálculos necessários para a obenção das equações normais. Tabela E - Cálculos para a obenção de um ajusameno geomérico Y ln() ln(y) ln()ln(y) ln() ln(y), ,3,45,693 3,8,99,485 9,8 3,,986 3,54 3,355,69 9, ,84,3863 3,74 4,3965,98, ,96,694 3,944 5,3,593, ,55,798 3,488 6,43 3,4,97 7 4,8,9459 3,787 7,68 3,7866 3, ,65,794 3,949 8,66 4,34 5, ,,97 4,89 8,9667 4,878 6, ,85,36 4,3 9,957 5,39 8, ,43 35,575 55,6368 7,653 4,99 De onde segue que: $ = Y n ln () ( ln() ) n ln( )ln( ) ln( ) ln( Y) = = (.55,6368-5,43.35,575) / (.7,653-5,43 ) =,555 $ = 3,556 -,54.,555 =,667 Enão os esimadores serão: $ $a = e = e,667 = 4,4 b $ = $ =,555 Logo um esimador para a endência geomérica T é: Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7 $

15 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS T $ = 4,4.,56 A figura f mosra a equação de endência geomérica, bem como os dados originais. Figura F - Equação de endência geomérica e dados originais 8 Y COEFICIENTE DE EXPLICAÇÃO Um coeficiene que fornece um indicador sobre qual é a melhor função ajusane se uma polinomial ou uma linearizável para uma série emporal é dado pelo coeficiene de explicação, que é represenado por R e calculado por: R = n n Y ( ) ( Y) = n Y Y n Y ( Y ) se a função é linear ou linearizável e por R = ( n Y Y) + ( n Y Y) n ( ) Y Y se a função ajusane é parabólica. Ese coeficiene é expresso em percenagem e informa o quano a variável independene explica as variações da variável dependene Y. Vê-se assim que o coeficiene de explicação confirma a impressão obida pelos diagramas de que a parábola, nese caso, é a melhor função ajusane. Exemplo (a) Para a rea, em-se: R = n n Y ( ) ( Y) (b) Para a parábola, em-se: = 5,7886.( ) / (.683,7-37 ) = 88,4% Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7

16 SÉRIE: Esaísica Básica R = ( n Y Y) + ( n Y Y ) n Y ( Y ) = Texo: SÉRIES TEMPORAIS = [-3,44.(.5, ) +,84(.994, )] / (.683, - 37 ) = 99,88% (c) Para a exponencial, em-se: R = n n ( ) =,53.( ) / (.4,9-35,6 ) = 94,9% ( ln Y) [ ln( Y )] (d) Para a geomérica, em-se: R = n [ ln( ) ] [ ln( ) ] n ( ln Y) [ ln( Y )] =,555.(.7,653-5,43 ) / (.4,99-35,575 ) = = 73,94% Pode-se concluir, pelos valores obidos, que a parábola é que fornece o melhor ajuse da endência desa série. Nese caso, se o propósio fosse fazer previsões, a parábola seria a escolha a fazer. No enano, uma cera precaução é necessária, pois a parábola nem sempre fornece as melhores previsões, apesar de er fornecido o melhor ajusameno. 3. VARIAÇÕES SAZONAIS As variações sazonais são variações cíclicas de prazos relaivamene curos (um ano ou menos), em geral relacionadas com a época (empo) ou feriados. Por exemplo, exisem padrões nas vendas de arigos esporivos, sorvees, livros didáicos, vesuário, auomóveis, aumeno das vendas de passagens áreas no verão, ec. A componene sazonal deve ser idenificada e removida para se poder deerminar correamene a endência a longo prazo. Para se deerminar e eliminar a componene sazonal pode-se supor que a série segue ano o modelo adiivo, Y = T + S + a, quano o modelo muliplicaivo, Y = T.S.a, Um procedimeno de ajusameno sazonal consise em: Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7

17 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS (i) Ober esimaivas S $ de S ; (ii) Calcular a série sazonalmene ajusada S Y = Y - S $ se o modelo for adiivo, ou S Y = Y / S $ se o modelo for muliplicaivo. 3.. DETERMINAÇÃO DOS ÍNDICES ESTACIONAIS Supõem-se que a série emporal é avaliada em k sub-períodos do ano. Se por exemplo k =, er-se-á uma série mensal, se k = uma semesral, ec. Um índice esacional S k avalia aé que o pono a série no sub-período esá acima ou abaixo dos valores da série no período. Ese méodo é denominado de méodo das percenagens médias. Uma das maneiras de avaliar a esacionalidade de uma série emporal é aravés das médias dos sub-períodos. Inicialmene supõem-se que a série é consiuída de m períodos (anos), onde cada período é subdividido em k = sub-períodos (meses, bimesres, semesres, ec.). Tem-se, enão, que n = k.m. O procedimeno é execuado da seguine forma: (i) Deermina-se a média geral da série Y = n n Y = (ii) Deermina-se a média de cada sub-período Y sub-períodos e m = números de anos da série. i = m m Y j, onde I =,,..., k = número de j= (iii) Deermina-se o índice esacional para o sub-período como sendo o quociene enre a média do sub-período ( Y i ) e a média global da série (Y ), iso é, S k = Y i Y = m m Yj j= n Y n = Exemplo Vamos supor que as vendas da Empresa Lucrocero, apresenadas na abela a, sejam agora fornecidas em valores semesrais, conforme abela f. Tabela F - Vendas (em R$ milhões) da Empresa Lucrocero S.A /94 Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7

18 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS Períodos Semesre Período Semesre Toal 8,45 3,5,5 3 9,8 4,65,45 5 9,7 6,3, 7,8 8,4 3,84 9 3,4 3,7 6,96 5,97 5,58 3,55 3,4 4,4 4,8 5 5,65 6 5, 5,65 7 8,3 8 3,9 59, 9 33, 4,63 73, Tem-se enão: (a) Média geral do período: Y = n n Y = = 37 / = 8,5. (pois são n = k.m =. = observações) (b) Média do primeiro semesre: m Y = m Y j = 77 / = 7,7 j= (c) Média do segundo semesre: m Y = m Y j = 93 / = 9,3 j= Pode-se ver enão que os dados possuem esacionalidade, pois a média do primeiro semesre é menor do que a média do período odo. E que, ambém, a média do segundo semesre é maior do que a média do período odo. Se esas 3 médias fornecessem o mesmo valor, enão, os dados não eriam esacionalidade. (d) Os índices esacionais serão: Para o primeiro semesre (nese caso, k = ): S = Y i Y = 7,7 / 8,5 =,9568 = 95,68% Por ese resulado pode-se ver, que as vendas no primeiro semesre esão 4,3% abaixo das vendas do período considerado como um odo. Porano, para eliminar a esacionalidade é necessário aumenar as vendas para que elas fiquem na média do período, ou seja, é necessário dividir cada valor do primeiro semesre por S =,9568. Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7

19 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS Para o segundo semesre (nese caso, k = ): S = Y i Y = 9,3 = 8,5 =,43 = 4,3% Por ese resulado pode-se ver, que as vendas no segundo semesre esão 4,3% acima das vendas do período considerado como um odo. Porano, para eliminar a esacionalidade é necessário diminuir as vendas para que elas fiquem na média do período, iso é, é necessário dividir cada valor do primeiro semesre por S =,43. Noe-se que S + S =,9568 +,43 =. De forma geral, em-se que: sub-períodos. Assim para um período de meses, deve-se er: S =. i= i k S i i= = k = número de Após a divisão das vendas do primeiro semesre por S e as vendas do segundo semesre por S os valores esarão desesacionalizados. Iso ocorre, é claro, se considerarmos o modelo muliplicaivo: Y = T.S.a. Enão dividindo os dois ermos desa equação por S, em-se: Y $ = Y / S = (T.S.a ) / S = T.a, que é a série de valores sem esacionalidade. 4. VARIAÇÕES IRREGULARES As variações irregulares ou aleaórias são odas as demais que não podem ser explicadas pela endência ou pelas variações sazonais. Removida a endência a longo prazo (T ) e a sazonalidade (S ) o que sobra é a componene irregular ou aleaória. A suposição geralmene feia é que a seja uma série puramene aleaória ou ruído branco. Uma série é dia um ruído branco quando em média zero e variância consane, iso é, a mesma variância para cada valor de. Exemplo: Deerminar para os valores da abela a os valores da componene irregular. Supor que a endência da série é linear. Como os valores da série são anuais ela não apresena esacionalidade e como a suposição é de que a endência seja linear a componene irregular pode ser obida fazendo-se: a = (Y - Y $ ) = (Y - 5,6-5,79) A abela g mosra os cálculos necessários para a obenção da componene irregular, quando a endência é do ipo linear. Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7

20 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS Tabela G - Vendas (em R$ milhões) da Empresa Lucrocero S.A /94 Anos () Vendas (Y) Y $ a = Y - 5,6-5,79,5,95 9,55,45 6,74 3,7 3,,53 -,33 4 3,84 8,3-4,48 5 6,96 34, -7,5 6 3,55 39,89-7,34 7 4,8 45,68-4,88 8 5,65 5,47 -,8 9 59, 57,6,94 73,85 63,5, Pode-se verificar que Y$ = Y = 37, iso é, a soma dos valores previsos é igual a soma dos valores da série emporal. Também pode-se verificar que ( Y Y$ ) = a =. O que mosra a componene irregular em média igual a zero. Aravés da componene irregular (ou resíduos) do ajusameno da Tendência pode-se avaliar se a equação ajusane é adequada ou não. Como pode ser viso no exemplo acima os desvios em relação a equação de endência consiuí a componene irregular e pode-se ver que a soma deses desvios é zero. Se omarmos eses desvios ao quadrado e fizermos uma média eremos uma medida da adequação da endência aos dados. Quano menor for esa média, melhor será a equação ajusane. Exraindo-se a raiz quadrada dese resulado er-se-á o denominado erro padrão do ajusameno. ( ) Y Ŷ σ R = = a n n A abela h mosra os cálculos para a obenção do erro padrão do ajusameno linear. Tabela H- Vendas (em R$ milhões) da Empresa Lucrocero S.A /94 Anos () Vendas (Y) Y $ a = Y - 5,6-5,79 (Y - 5,6-5,79),5,95 9,55 9,5,45 6,74 3,7 3,764 3,,53 -,33, ,84 8,3-4,48,74 5 6,96 34, -7,5 5,5 6 3,55 39,89-7,34 53,8756 Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7

21 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS σ R = 7 4,8 45,68-4,88 3, ,65 5,47 -,8, , 57,6,94 3, ,85 63,5,8 6, ,6944 ( Y Y$ ) n = n a = 365,6944 / = 37,6694 σ R = ( Y Y ) $ n = 6,375 = 6,4 Ese resulado sendo um valor absoluo não fornece de imediao uma idéia do ajusameno. O melhor é compará-lo com os dados para verificar se ele é um valor grande ou pequeno. Para iso calcula-se o coeficiene de variação. γ R σr = = 6,375 / 37 = 6,59% Y 5. DEFLAÇÃO DE SÉRIES TEMPORAIS Séries emporais que envolvem valores em moeda devem ser deflacionadas. Da mesma forma que uma série emporal é desesacionalizada, ela pode ser deflacionada. Assim dada a série: Y, Y,..., Y n e a série dos índices I, I,..., I n índices. obém-se a série deflacionada mediane a divisão dos valores da série pelos valores dos Assim a série deflacionada (a valores consanes ou reais) será: Y / I, Y / I,..., Y n / I n Exemplo: Se o salário de uma pessoa em é 5% do de (iso é, aumenou 5%), enquano o índice do cuso de vida dobrou, no período, o salário real do sujeio em, será apenas de,5 : =,75 = 75% do que era em. Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7

22 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS 6. EXERCÍCIOS () Classifique as seguines séries em: discrea, conínua, mulivariada ou mulidimensional. (.) Índices diários da bolsa de valores de São Paulo (índice Bovespa). (.) Regisro das marés do poro de Tubarão (Sana Caarina), aravés de um marégrafo, durane um período de 6 dias. (.3) Medida da pressão sangüínea de um paciene durane uma cirurgia. (.4) Número de casos mensais de meningie no esado do Rio Grande do Sul. (.5) Medidas da inensidade de uma correne maríima da cosa brasileira, durane um cero inervalo de empo. () Considere a série emporal (PIB brasileiro, em milhões de cruzeiros) da abela. Ano PIB (.) Faça o gráfico da série. (.) Verifique se a série apresena uma endência linear, aravés do cálculo da primeira diferença. (3) Considere a série emporal (Exporações de suco concenrado de laranja, em U$ ) da abela. Ano Exp (3.) A série apresena endência? (3.) Deermine e faça o gráfico da primeira diferença. Ela é esacionária? (3.3) Deermine a série ln(y ). (3.4) Deermine e faça o gráfico da primeira diferença da série ln(y ). Ela é esacionária? (4) Considere a série do PIB, represenada na abela do exercício. (4.) Esime a endência da série, supondo o modelo T = e (4.) Faça a previsão do PIB para 975 e 976, usando o valor T$ (5) Repia o exercício (4) para a série de exporações de suco de laranja. (6) Considerando os valores da abela abaixo, ober os índices de esacionalidade. Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Se. Ou. Nov. Dez Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7

23 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS (7) A abela apresena os valores do salário mínimo vigene em dezembro na cidade do Rio de Janeiro, bem como os valores do Índice de Preços ao Consumidor, ambém para o Rio de Janeiro e para o mês de dezembro, calculados pela Fundação Geúlio Vargas. Deerminar a série de salários mínimos reais (ou a preços consanes), comparando-o com o de 975. Ano S.M. 53,8 768, 6,4 56, 93,8 5788,8 98, 3568, Índice 55,4 8, 4,8 58,6 79, 5, 43,3 5,5 Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7

24 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS 7. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS () (.) Discrea, r =, p = (.) Conínua, r =, p = (.3) Discrea e mulivariada, r =, p = (.4) Discrea e mulidimensional, r =, p = (mês, município) (.5) Conínua, mulivariada e mulidimensional r = 3, p = 3 (dia, laiude e longiude) () (.) (.) A série não apresena uma endência linear, pois a primeira diferença não é esacionária. Pelo gráfico pode-se perceber que a endência da série é exponencial. (3) (3.) Sim (3.) Ano PIB Pelo diagrama pode-se ver que a série não é esacionária. (3.3) Ano PIB,78 3,5553 3,736 4,589 4,943 4,7 4,65 5,76 5,88 6,684 6,3 Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7

25 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS Pelo diagrama pode-se ver que a série apresena uma leve endência linear crescene. (3.4) Ano PIB -,8473,58,4453 -,645,38,488,56,63,63,68,8,6,4, Série aparenemene esacionária. (4) (4.) T = 3, 66 3, e (4.) Para 75 a esimaiva é e para 76 a esimaiva é 3333 Y e. (5.) T = 3, 4e , (5.) Para 8 a esimaiva é 73 e para 8 a esimaiva é 978. Y e Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7

26 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS (6) (7) Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Se. Ou. Nov. Dez. Toal Toais Médias Mensais 4 37,7 5 Índices,886, ,3 8, ,7 5,5,55 4 9,, ,6,89,97 4,4 388,,96 44,5 44,6,857 8,85 355,57 Ano Índice, 44,8 7,6 86,3 53,8 938,8 883, 38,5 SM real 53,8 53,39 533,98 544,88 58,4 66,6 633,39 6,3 Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7

27 SÉRIE: Esaísica Básica Texo: SÉRIES TEMPORAIS 8. REFERÊNCIAS [BUS86] BUSSAB, Wilon O, MORETTIN, Pedro A. Esaísica Básica. 3. ed. São Paulo, Aual, 986. [DOW89] DOWNING, Douglas, CLARK, Jeff. Saisics The Easy Way. Hauppauge (New York): Barron s Educaional Series, Inc, 989. [HIN88] HINKLE, Dennis E., WILLIAM, Wiersma, JURS, Sephen G. Applied Saisics for he Behavioral Sciences. Boson: Houghon Mifflin Co., 988. [HOF8] HOFFMAN, Rodolfo. Esaísica para Economisas. São Paulo. Livraria Pioneira Ediora, 98. [MAS9] MASON, Rober D., DOUGLAS, Lind A. Saisical Techniques in Business And Economics. IRWIN, Boson, 99. [MOR86] MORETTIN, Pedro A., TOLOI, Clélia M. Séries Temporais. Coleção Méodos Quaniaivos. São Paulo: Aual Ediora Lda [RES93] Research & Educaion Associaion. The Saisics Problem Solver. Piscaaway (New Jersey): 993. [STE8] STEVENSON, William J. Esaísica Aplicada à Adminisração. São Paulo. Ediora Harbra, 98. [WEL8] WLKOWITZ, Joan, EWEN, Rober B., COHEN, Jacob. Inroducory Saisics for he Behavioral Sciences. Orlando(FL): Harcour Brace Javanovich, 98. [WON8] WONNACOTT, Thomas, H., WONNACOTT, Ronald J. Esaísica Aplicada à Economia e à Adminisração. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Cieníficos, 98. [WON85] WONNACOTT, Ronald J., WONNACOTT, Thomas. Fundamenos de Esaísica. Rio de Janeiro. Livros Técnicos e Cieníficos Ediora S. A., 985. Prof. Lorí Viali, Dr. - viali@pucrs.br - hp:// 7