Prof. Carlos H. C. Ribeiro ramal 5895 sala 106 IEC

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1 MB770 Previsão usa ando modelos maemáicos Prof. Carlos H. C. Ribeiro ramal 5895 sala 106 IEC

2 Aula 14 Modelos de defasagem disribuída Modelos de auo-regressão Esacionariedade Modelos ARIMA Meodologia Box-Jenkins 2

3 Modelos de séries empo orais Dados associados ao empo são mu uio comuns em Economia e ouras Ciências. Os modelos para o esudo de séries os Modelos de Séries Temporais. de dados associados ao empo são Qualquer série emporal pode ser visa como sendo gerada por um processo esocásico (aleaório). Um ma realização paricular é uma amosra dese processo esocásico subjacene.. Um processo esocásico é dio esa acionário se: Média E(Y ) e variância var(y ) forem consanes ao longo do empo. Covariância cov(y,y +k ) depender apenas de k, e não de. Por enquano, vamos nos preocupar apenas com modelos de séries geradas por processos esacionários. Iso já dá muio pano pra manga... 3

4 Modelos de defasagem disribuída ib Y = 2 α + β0 X + β1 X 1 + β X 2 + K + β k X k + ε β 0 : muliplicador de curo prazo dá a aleração no valor médio de Y produzida por uma aleração simulânea de uma unidade de X. β 0 + β 1 : dá a aleração no valor médio de Y produzida por uma aleração de uma unidade de X manida ao longo de dois períodos de empo. β 0 + β 1 + β 2 : dá a aleração no valor médio de Y produzida por uma aleração de uma unidade de X manida ao longo de rês períodos de empo.... k β i 0 i= 0 Depois de k períodos: β = β + β β K+ β = β 1 + k β Muliplicador de defasagem disribuída de longo prazo 4

5 Modelo de auo-regressã ão Y = + βx + γ 1Y 1 + γ 2Y 2 α + K + γ + ε + Y k k Reraa a variação emporal da variável dependene em relação aos seus valores passados. Veremos mais arde que exise e uma relação enre modelos de defasagem disribuída e modelos de regressão. 5

6 Razões das defasagens Razões psicológicas Conservadorismo Econômico Força de hábios Razões ecnológicas Aumeno da ofera de produos (indecisão do consumidor) Razões insiucionais Obrigações conrauais 6

7 Ei Esimação de modelos dl de defasagem disribuída: abordagem ad hoc Assumindo que a variável explicaiva X não enha correlação com o erro ε : 1. Regrido Y sobre X (via MQO); 2. Regrido Y sobre X e X -1 (via MQO); 3. Regrido Y sobre X, X -1 e X -2 (via MQO); 4. ec, ec, aé que: coeficienes de regressão começam a ficar esaisicamene insignificanes; ou coeficiene de regressão mudar de sinal ou se ornar de difícil inerpreação. 7

8 Ei Esimação de modelos dl de defasagem disribuída: abordagem ad hoc -Exemplo Consumo de óleo combusível Y em função de novas encomendas X USA, : Y = 8,37 + 0,171X Y = 8,27 + 0,111X + 0,064X -1 Y = 8,27 + 0,109X + 0,071X071X ,05 5X -2 Y =8,32 + 0,108X + 0,063X ,022X -2-0,020X -3 sinal insável difícil de inerprear 8

9 Ei Esimação de modelos dl de defasagem disribuída: abordagem ad hoc -Problemas Não há como deerminar a pri ori a duração máxima da defasagem. À medida que aumena o número de defasagens esimadas, diminui o número de graus de liberdade: amanho da base de dados pode ficar próximo do número de variáveis, produzindo esimaivas insáveis para os coeficienes. A correlação (muio comum em amosras defasadas) começa a causar problemas. 9

10 Ei Esimação de modelos dl de defasagem disribuída: modelo de Koyck Ideia: inerprear cada coeficiene como um peso associado à memória dos valores defasados: quano mais remoa a defasagem, menor a influência esperada. Admiindo odos os coeficienes β com o mesmo sinal: β k = β 0 λ k, k = 0,1,K 0 < λ < 1 é a axa de decaimeno da defasagem disribuída. Quano mais próximo de 1 for λ, mais lena é a axa de declínio do coeficiene de defasagem em relação ao seu valor inicial β 0. Noe que o muliplicador de longo prazo é finio: k = 0 β k = 1 β 0 1 λ 10

11 Ei Esimação de modelos dl de defasagem disribuída: modelo de Koyck Formalmene: Y = α + β X + β λ X + β 2 λ X + K + ε Não dá pra regredir por MQO: não-linear em λ e com um número infinio de parâmeros a esimar... Mas manipulações algébricas simples (Transformação de Koyck) mosram que iso é equivalene a: Y ( 1 λ) + β0 X + λy = 1 α + υ υ 2 com ν = ε - λ ε -1 Modelo auo-regressivo, 3 parâmero os a esimar! 11

12 Ei Esimação de modelos dl auo-regressivos: problemas Além do modelo de Koyck: Y α ( 1 λ ) + β X + λ Y + [ ε λε 1 ] = 0 1 Exisem mais dois modelos auo-regressivos de maior ineresse: 1. Modelo de expecaiva adapaiva Y ( γ ) Y [ = γβ 0 + γβ 1X Modelo de ajusameno parcial Y ( δ ) Y = 0 + δβ1x δβ + δε ε ( 1 ) ε ] γ 11 Y -1 correlacionado com erro (via ε -1 ): esimado MQO é endencioso ε Y -1 não correlacionado com erro: esimador MQO OK!!! 12

13 Modelo de ajusameno parcial: racionalização O modelo de ajusameno parcial é muio usado em Economia para relacionar o esoque de capial e a produção associada. Suponha haver um esoque de capial Y * (desconhecido) óimo paraa produzir um produo X sobre um dado esado de ecnologia. Uma possível relação enre Y * e X é: Y = β + β + ε * 0 1X (a) Infelizmene, o esoque óimo de capial não pode ser medido. Enreano, uma hipóese razoável é: Y Y = δ ( * Y Y ) 1 1 (b) Invesimeno Coeficiene de ajusameno (enre 0 e 1) 13

14 Modelo de ajusameno parcial: racionalização Subsiuindo (a) em (b), obem os: Y ( ) Y = δβ0 + δβ1x + 1 δ 1 + δε que é o modelo de ajusameno parcial! Ese modelo pode ser usado para explicar uma dema anda de curo prazo por esoque de capial (ou seja, ainda fora do pono óimo). 14

15 Modelo de ajusameno regressão via MQO parcial: obenção da Esimar (via regressão MQO) os coeficienes da demanda de curo prazo: ( ) Y δε Y + = δβ0 + δβ1x + 1 δ 1 Esimar o coeficiene de ajusameno δ (a parir do coeficiene de Y -1 ) * Derivar o esoque óimo Y = β 0 + β 1 X + ε dividindo δβ 0 e δβ 1 por δ e omiindo o ermo em Y

16 Aividade id d 1 16

17 Modelos ARMA São modelos de grande impor rância em Economia, usados para a análise de séries emporais esacionárias. Um modelo ARMA(p,q) combina um processo auo-regressivo de p-ésima ordem AR(p). ( Y ) = α ( Y δ ) + α ( Y δ ) δ + K+ α δ + ε p Y ( ) p e um modelo média-móvel de q-ésima ordem MA(q): Y = κ + β ε + β ε ε β K+ + β ε q q Por exemplo, um modelo ARMA A(1,1) 1) em a forma: Y = θ + α1y 1 + β0ε + β1ε 1 17

18 E Esacionariedade idd Qualquer série emporal pode se r visa como sendo gerada por um processo esocásico (aleaório). Uma realização paricular é uma amosra dese processo esocásico subjacene. Um processo esocásico é dio esacionário se: Média E(Y ) = μ e variância var(y ) = γ 0 = E[(Y -μ ) 2 ] forem consanes ao longo do empo. Covariância cov(y,y +k ) = γ k = E[(Y -μ) não de. (Y +k - μ)] depender apenas de k, e As écnicas de regressão e a análise em geral de séries esacionárias são muio mais simples do que aquelas de séries não-esacionárias. Problema: como saber se um processo é esacionário? 18

19 A função auocorrelação o (FAC) Usada para um ese simples de esa acionariedade, baseado em correlogramas. Para uma defasagem k, define-se: F Infelizmene, em geral só emos uma amosra (sequência de dados de amanho N) do processo amosral. Aproximam mos enão as FAC usando a variância amosral e a covariância amosral: ( k) FAC = ρ = k γ k γ 0 ˆ ρ k = ˆ γ k ˆ γ 0 = N ( Y )( ) Y Y + k Y = 0 N N ( Y ) Y = 0 N 2 = N ( Y )( ) Y Y + k Y = 0 N ( Y ) Y =

20 Correlogramas Um correlograma é um gráfico de ρ k em função de k. k Processos com um componene auo-regressivo AR(p) em correlogramas decrescenes. Processos com um componene média móvel MA(q) em ρ k diferene de zero apenas para valores de k menores ou iguais a q. Correlogramas com decrescimeno muio leno de ρ k são caracerísicos de processos não-esacionários. Correlogramas com descrescimen o rápido de ρ k são caracerísicos de processos esacionários. Em paricular, um processo esocásico puramene aleaório em auocorrelação nula para qualquer defasagem diferene de zero. 20

21 Observação: confiança a respeio de ρ k Como avaliar se ρ k é efeivamene diferene de zero? Solução: um ese sobre a hipóese ρ k =0. (Barle, 1946): 1,96 N ρ k 1,96 N : aceio a hipóese nula Exemplo 1 21

22 Modelos ARIMA Muias vezes, um processo não pode ser modelado como ARMA por ser não- esacionário. Neses casos, é possível que um modelo baseado nas diferenças enre os dados Y seja esacionário. Temos enão os modelos: ARIMA(p,1,q): em que o modelo base eado nas diferenças ΔY =Y - Y -1 é um modelo ARMA esacionário. ARIMA(p,2,q): em que o modelo baseado nas diferenças Δ 2 Y = ΔY - ΔY -1 é um modelo ARMA esacionário.... ARIMA(p,d,q): em que o modelo base eado nas diferenças Δ d Y = d-1 - d-1 Δ Y Δ Y -1 é um modelo ARMA esacionário. Noe que: Um modelo ARIMA(p,0,q) é um modeloo ARMA(p,q). Um modelo ARIMA(p,0,0) é um modeloo AR(p). Exemplo 2 Um modelo ARIMA(0,0,q) é um modeloo MA(q). 22

23 Meodologia Box-Jenkins Traa-se de um processo para análise de séries econômicas assumidamene do ipo ARIMA(p,d,q), baseado em 4 eapas: 1. Idenificação: quais os valores mais apropriados para p, d e q? 2. Esimaiva: quais os valores dos parâmeros (coeficienes) do modelo? 3. Checagem: quão bom é o mo odelo obido? 4. Previsão: como usar o modelo para fazer previsões? 23

24 Meodologia Box-Jenkins s: idenificação (1) Para esimar d, uso a FAC sob re dados d obidos a parir de diferenças de ordem cada vez maior. Fico saisfeio quando obiver um correlograma com descrescimeno rápido de ρ k, caracerísicos de processos esacionários. Noe que exisem ouros méodos para deecar esacionariedade. Para esimar q, uso a FAC (possivelmene sobre uma equação de diferenças de ordem diferene de zero, obida no iem 1) e a propriedade: Processos com um componene média móvel MA(q) êm ρ k diferene de zero apena as para valores de k menores ou iguais a q. Noe que exisem ouros méodos para esimar q. 24

25 Meodologia Box-Jenkins s: idenificação (2) Para esimar p, uso a FACP (Função de Auo-correlação Parcial), possivelmene sobre uma equação de diferenças de ordem diferene de zero, obida no ie em 1, e a propriedade: Processos com um componene auo-regressivo AR(p) êm ρ kk diferene de zero apenas para valores de k menores ou iguais a p. Noe que exisem ouros méodos para esimar p. A auo-correlação parcial ρ kk med e a correlação enre amosras defasadas de k unidades, depois de se remover os efeios de odas as defasagens inermediárias. O conceio é similar ao de correlação X correlação parcial no conexo de regressão linear. Pacoes esaísicos calculam facilmene a FACP a parir de séries emporais. Um dealhameno dese ópico foge ao nosso escopo. 25

26 Observação: confiança a respeio de ρ kk Como avaliar se ρ kk é efeivamene diferene de zero? Solução: um ese sobre a hipóese ρ kk =0. (Barle, 1946): 1,96 N ρ kk 1,96 N : aceio a hipóese nula 26

27 Meodologia Box-Jenkins s: esimaiva MQO normalmene não funciona para esimar os coeficienes de modelos ARMA. Muias vezes, são necessárias fogem ao escopo do curso. écnicas não lineares, que Esas écnicas são disponibilizadas em pacoes de sofware de Esaísica ou Economeria. 27

28 Meodologia Box-Jenkins s: checagem Uilizando o modelo obido: 1. Calcule os resíduos do mode elo. 2. Calcule a FAC e a FACP deses resíduos. 3. Se: Nenhum dos ρ k e ρ kk for esaisicamene significaivo, significa que os erros são não-correlacionados, ou seja, puramene aleaórios (e porano não passíveis de serem explicado os pela variação emporal dos dados). d Logo, o modelo esá ok. Caso conrário, o modelo em problemas e deve ser reesimado, possivelmene aravés de écnicas mais precisas. 28

29 Meodologia Box-Jenkins s: previsão iã Muio simples: 1. Reescrevo (se necessário) a equação do modelo, com Y como variável dependene. 2. A parir dos dados e de esimaivas de ordem mais baixa, esimo um Y +k por aplicação direa da equação do modelo. 29

30 Aividade id d 2 30