CE017 - ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS NOTAS DE AULA

Transcrição

1 CE07 - ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS NOTAS DE AULA Esas Noas de Aula êm apenas o objeivo de faciliar o rabalho do aluno em sala de aula na pare de anoação do coneúdo exposo pelo professor e com iso se ganha empo na exposição dos emas. De maneira nenhuma subsiui a bibliografia abaixo referenciada. As Noas de Aula seguem de muio pero a bibliografia ciada, que são os verdadeiros livros exos dese curso, sugere-se a sua aquisição. Prof. Anselmo Chaves Neo BIBLIOGRAFIA [] Box, G. E. P. & Jenins, G. M Time Series Analysis, forecasing and conrol, ed. Holden Day, 976. [] Morein, P. A. & Toloi, C. M. de C. Previsão de Séries Temporais, Aual Ediora, 978. [3] Maridais, S. e alli Forecasing: Mehods and Aplicaions, J. Willey & Sons, 978. [4] Anderson, T. W. - Time Series Analysis, John Willey & Sons, 97. [5] Enders, W. Applied Economeric Time Series, John Wiley & Sons, Inc. Torono.

2 CONTEÚDO INTRODUÇÃO Definição e Exemplos de Séries Temporais Meodologias... 4 A) Era pré-box & Jenins (décadas de 30 e 40)... 4 B) Méodos Auomáicos ou caixa-prea (década de 60)... 5 C) Modelos Box & Jenins (970)... 5 D) Era pós Box & Jenins (970) METODOLOGIA BOX & JENKINS Conceios Iniciais Fases da Meodologia Box & Jenins Parâmeros de um processo esocásico Operadores Modelo de filro linear para séries emporais Modelos auo-regressivos Equações de Yule-Waler Méodo Recursivo Para Cálculo de Parâmeros Auo-regressivos Variância e Erro Padrão das Esimaivas da FAC e FACP Modelos Médias Móveis (MA(q)) Processos Misos (ARMA(p,q)) Condições de Esacionariedade e Inveribilidade Esacionariedade e Inveribilidade de um Processo Linear Esacionariedade dos Modelos AR(p) e Inveribilidade dos Modelos MA(q) Modelos ARIMA(p,d,q) Série Não Esacionária Homogênea Esruura dos Modelos ARIMA(p,d,q) Idenificação da Esruura de Proc. Modelados por ARIMA(p,d,q) Esimação dos Parâmeros dos Modelos ARIMA(p,d,q) Verificação da Validade do Modelo: Teses Tese da Sobrefixação Tese de Comparação das Auocorrelações Teses Aplicados aos Resíduos Previsão: Formas de Previsão Séries Temporais Sazonais Modelos MA(Q) Puramene Sazonais Modelos AR(P) Puramene Sazonais Modelos ARIMA Muliplicaivos MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO: Tendência e sazonalidade Inrodução Tendência Sazonalidade MODELOS DE AMORTECIMENTO EXPONENCIAL Inrodução Modelos para um Processo Consane Médias Móveis Simples (MMS) Amorecimeno Exponencial para um Processo Consane MODELOS PARA SÉRIES QUE APRESENTAM TENDÊNCIA Alisameno Exponencial de Brown ALIZAMENTO EXPONENCIAL SAZONAL DE HOLT-WINTERS.. 69

3 INTRODUÇÃO. - Definição e Exemplos de Séries Temporais SÉRIE TEMPORAL é um conjuno de observações geradas seqüencialmene no empo e que apresenam uma dependência serial enre elas. Se o conjuno é conínuo, a série emporal é dia conínua e se o conjuno é discreo, a série é dia discrea. Pode ser represenada por: {Z, Z, Z 3,...,Z,..., Z n-, Z n } ou como a série {Z, =,,...,n} e consideraremos aqui séries onde as observações são feias no mesmo inervalo de empo fixado h. EXEMPLO : CONSUMO DE ENERGIA ELÉTRICA EM UMA RESIDÊNCIA NO PERÍODO de 0/986 a /989 Mês Consumo Wh Mês Consumo Mês Consumo Wh Mês Consumo Wh 590 Consumo de Energia Elérica na Residência A 490 w /86 /87 /88 /89 /90 /9 EXEMPLO : Venda mensal de garrafas de champanhe da Vinícola V

4 Número de garrafas (mil) VENDAS MENSAIS DE CHAMPANHE -0/9 - / /9 /93 /95 /97 /99 EXEMPLO 3: São ambém séries emporais: a) Índices diários da Bolsa de Valores de S. Paulo (Índice Bovespa) (série discrea); b) Vazão em deerminada secção de um rio (série conínua); c) Índice Nacional de Preços ao Consumidor (mensal) (série discrea); d) Saldo mensal da balança de pagamenos do Brasil (série discrea); e) Regisros da alura da maré no cais do poro de Paranaguá (série conínua); ec. É imporane observar-se que muias vezes séries emporais discreas são obidas por amosragem de uma série emporal conínua. Assim, observando-se a alura das marés em inervalos de empo iguais (de hora em hora, p.ex.) em-se uma série emporal discrea. Séries emporais discreas, ambém são obidas acumulando-se a variável em um período de empo. Um exemplo é uma série de chuva, cuja variável é observada em milímeros por dia, mês ou ano. Os objeivos da Análise de Séries Temporais são: Fazer previsão de valores fuuros da série; Descrever apenas o comporameno da série (verificação de endência e sazonalidade); Idenificar o mecanismo gerador da série.. Meodologias A) Era pré-box & Jenins (décadas de 30 e 40) Nesa época considerava-se a S.T. {Z, =,,3,...,n} como composa por 4 componenes, não observáveis e disinas: T (endência), S (sazonalidade), C (ciclo) e ruído aleaório (a ), ou seja, Z = f(t, S, C, a ). As formas de decomposição dessas componenes são: Modelo adiivo: Z = T + S + C + a Modelo muliplicaivo: Z = T.S. C.a Modelo miso: Z = T. S. C + a H. O. Wold em 938 mosrou que qualquer série emporal Z discrea poderia ser represenada por modelos AR (auo-regressivos) e MA (médias móveis). Porém, só foi 4

5 possível a implemenação deses méodos na década de 60 com o adveno dos compuadores de ª geração (ransisor). O resulado de Wold faz pare de uma abordagem mais geral de processos esocásicos desenvolvida enre ouros por Kolmogorov, Wiener e While. B) Méodos Auomáicos ou caixa-prea (década de 60) São as meodologias que podem ser programadas no compuador e que requerem pouquíssima inervenção do analisa. Correspondem a méodos de ajusameno de curvas com parâmeros seqüencialmene aualizados no empo. São exemplos dessas meodologias: Regressão (linear simples, múlipla); Modelos de médias móveis; Méodos de amorecimeno (alisameno) exponencial. Os méodos de amorecimeno exponencial consiuem a formulação mais popular desa caegoria, e podemos ciar os seguines: Méodo de Brown (para série emporal não sazonal) Méodo de Winers (para série emporal sazonal) Méodo de Souza & Epprech (para série emporal sazonal ou não). Maridais fez em 979 uma compeição com 0 séries emporais e depois em 98 repeiu a compeição com 00 séries emporais. Os méodos auomáicos iveram, na média, o melhor desempenho denre odos os méodos. C) Modelos Box & Jenins (970) A meodologia Box & Jenins é, sem dúvida, o mais imporane rabalho na área de Previsão de Séries Temporais. Foi esse esudo o responsável pelo grande desenvolvimeno e a correspondene formalização da área de esudo de Séries Temporais. O rabalho dos pesquisadores Box & Jenins foi baseado no imporane resulado de Wold (938) qualquer série emporal pode ser represenada por uma esruura de médias móveis infinia ou melhor qualquer processo esocásico esacionário Y pode ser represenado como a soma de dois processos muuamene iner-relacionados, Y = D + A, onde D é linearmene deerminísico (sisemáico) e A é um processo Médias Móveis infinio (MA( )). A pare deerminísica pode ser uma função exaa do empo, como por exemplo, D = Acos(ω ) que descreve uma oscilação senoidal ao longo do empo. O caso mais simples para D é quando se em D = µ. Box & Jenins em 970 propuseram uma classe geral de modelos lineares conhecida como ARIMA (auoregressive inegraed moving average) para a série emporal {Z, =,,3,...,n}. D) Era pós Box & Jenins (970) Surgiram várias ouras écnicas, ais como: Filro adapaivo; Méodo Forsys; 5

6 Méodo Ararma; Combinações de previsões; ec.. METODOLOGIA BOX & JENKINS. Conceios Iniciais VARIÁVEL ALEATÓRIA (def.):- uma v.a. X em um espaço de probabilidade (Ω, A, P) é uma função real definida no espaço amosral Ω al que o eveno ω = [X < x] é um eveno aleaório x R, iso é X: Ω R é uma v.a. se ω = [X < x] A x R. Ω ω X(ω) ω... R x Exercício : Suponha uma família com duas crianças e o possível sexo de cada criança. a) Escreva o espaço amosral, conjuno de odos os resulados possíveis das duas crianças quano ao sexo; Ω = {(, ), (, ), (, ), (, )} b) Escreva os números possíveis de meninas na família; X(ω) = x {,, } c) Calcule a probabilidade de cada um desses números ocorrer; P(X = 0) = ; P(X = ) = ; P(X = ) = d) Mone uma abela conendo o conradomínio da v.a. que cona o número de meninas na família e a probabilidade associada a cada valor do conradomínio; X(ω) = x P(X = x) F(x) = P(X < x) Toal e) Como se chamam, em conjuno, os números do conradomínio e as probabilidades associadas a ele? R. Disribuição de Probabilidades. PROCESSO ESTOCÁSTICO (def.):- um processo esocásico Z(ω,) (função de duas variáveis ω e ) é uma família Z = {Z, =,,3,..., n} al que, para cada, Z é uma v.a. Exercício : Faça um esboço onde apareçam algumas das possíveis realizações de um processo esocásico. Desa forma processo esocásico é inerpreado como uma família de rajeórias ou realizações para cada eveno ω fixado, ou melhor, para cada ω Ω fixado, oberemos 6

7 uma função de, ou seja, uma rajeória ou realização do processo. O conjuno {Z, T} é chamado ESPAÇO DOS ESTADOS e os valores Z são chamados ESTADOS. Dado o espaço de esados {Z, T} com T sendo um conjuno finio ou enumerável, o processo é chamado de processo com parâmero discreo. Se T for infinio não enumerável (um inervalo de R) em-se um processo com parâmero conínuo. Enão, o espaço de esados pode ser discreo ou conínuo. No primeiro caso Z pode ser uma conagem, por exemplo, venda mensal de auomóveis por uma empresa e no segundo caso pode represenar uma medida que varia coninuamene como, por exemplo, a emperaura da cidade de Curiiba. O esudo de Processos Esocásicos é uma das pares mais imporanes da Ciência Esaísica. Esa pare da Ciência Esaísica foi desenvolvida, ao longo da hisória, por Poisson (Processo de Poisson), Kolmogorov (resulados das Cadeias de Marov), Marov (Cadeias de Marov), Doob (Maringales) e ouras pessoas que dedicaram muio do seu empo ao esudo desses problemas. SÉRIE TEMPORAL (def.):- uma série emporal Z é uma realização do processo esocásico Z(ω,), onde T = {,, 3..., n } com i - j = h i j, é o empo. Exercício 3: Faça um esboço onde apareça uma série emporal. OBS. Fica claro na figura do exercício anerior que se em apenas uma observação de cada v.a. Z. PROCESSO ESTOCÁSTICO ERGÓDICO A caracerização complea de um P.E. exige o conhecimeno de odas as suas funções amosras (realizações, rajeórias). Iso permie deerminar a função média, µ(), e a função de auocorrelação, ρ() do processo. Mas para alguns P. E s. eses parâmeros podem ser deerminados a parir de apenas uma realização (função amosra) ípica do processo. Ese é um processo ergódico. PROCESSO ESTOCÁSTICO ESTACIONÁRIO NO SENTIDO AMPLO (fraco) Seja um P.E. Z(ω,) e considere os n insanes,,..., n, perencenes ao conjuno de insanes T, se para qualquer número n de v.a s Z, Z,...,Z n a função média µ() = E[Z ] = µ T, E[ Z ] < (implicando em variância finia) e a função de auocovariância γ(, ) = E[(Z + -µ)(z -µ)] = γ é uma função somene do inervalo +, enão o P.E. é chamado de esacionário no senido amplo. SÉRIE TEMPORAL ESTACIONÁRIA (no senido amplo) Uma série emporal é dia esacionária quando em média e variância consanes e a função de auocovariância enre dois períodos disinos depende apenas da defasagem de empo enre os períodos, ou melhor: E(Z ) = µ ; E(Z - µ) = σ < e E(Z - µ)(z + - µ) = γ T (auocovariância de ordem ) 7

8 PROCESSO ESTOCÁSTICO ESTACIONÁRIO NO SENTIDO ESTRITO (fore) Seja um P.E. Z(ω,) e considere os n insanes,,..., n, perencenes ao conjuno de insanes T, se para uma defasagem no índice de valor m obém-se a f.d. conjuna F(Z, Z,...,Z n ) = F(Z +m, Z +m,...,z n+m ) enão o P.E. é esacionário no senido esrio. OBS. É imporane considerar que um processo esacionário apenas na média é chamado de esacionário de a. ordem, E(Z ) = µ T, e um processo esacionário no senido amplo é ambém chamado de esacionário de a. ordem. PROCESSO ESTOCÁSTICO GAUSSIANO Seja um P.E. Z(ω,) e considere os n insanes,,..., n, perencenes ao conjuno de insanes T, o processo Z(ω,) é chamado Gaussiano se, para qualquer conjuno,,..., n de T, as v.a s Z, Z,..., Z n êm disribuição normal n-variada. Se um processo esocásico for Gaussiano ele será deerminado pelas médias e covariâncias e se ele for esacionário de a. ordem será esriamene esacionário. Quando se preende aplicar modelos para descrever séries emporais é necessário inroduzir suposições simplificadoras e que levam à análise de deerminadas classes de processos esocásicos. Desa forma os processos esocásicos podem ser classificados em:. Processos esocásicos esacionários ou não esacionários, se ocorrer ou não independência em relação à origem dos empos;. Processos Gaussianos ou não Gaussianos conforme as f.d.p s que caracerizam os processos; 3. Processos Marovianos ou não Marovianos, se em dado insane, ocorra (ou não) independência dos valores do processo de seus valores em insanes precedenes; 4. Processos Lineares são os processos esocásicos esacionários e ergódicos, e que se caracerizam por poderem ser represenados por uma combinação linear das v.a s. Nesa classe se enconram os seguines processos: puramene aleaórios (ruído branco), auoregressivos (AR), médias móveis (MA) e misos (ARMA). Enende-se por ruído branco (ou passeio aleaório) se Z = ε ~ N(0, σ ). OBS. Um processo Z é esacionário se ele se desenvolve no empo de modo que a escolha de uma origem dos empos não é imporane, ou seja, as caracerísicas de Z são as mesmas que de Z +. Os modelos para séries emporais podem ser de dois ipos: paraméricos, ou seja, com o número de parâmeros finio e não paraméricos que envolvem um número de parâmeros infinio. Do ipo paramérico podem ser ciados: modelos de erro (regressão), os modelos auo-regressivos-médias móveis (ARMA) e os modelos ARIMA. Já do ipo não paramérico são a função de auocovariância (ou auocorrelação) e sua ransformada de Fourier (o especro). Quando se descreve a série no domínio da freqüência se elimina a problema da correlação serial, pois na análise especral os componenes são orogonais. 8

9 . Fases da Meodologia Box & Jenins A meodologia Box & Jenins é composa das seguines fases: Idenificação do modelo (eságio ) Esimação do modelo (eságio ) Verificação da adequação do modelo ou eses (eságio 3) Exercício 4: Faça um fluxograma onde apareçam os vários eságios da meodologia Box & Jenins. ESCOLHA DE UM OU MAIS MODELOS (ARIMA) CANDIDATOS (IDENTIFICAÇÃO) ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS DO MODELO CANDIDATO (MQNL : Algorimo de Marquard) TESTES DE ADEQUABILIDADE DO MODELO (feios nos resíduos e ouros) previsão Sim MODELO É ADEQUADO? Não.3 Parâmeros de um processo esocásico A MÉDIA do P.E. Z(ω,) é represenada por µ z () = E[Z()] T e se o P.E. é esacionário no senido amplo (fraco) em-se µ z () = E[Z()] = µ. O esimador dessa média µ com base na série {Z, =,,3,...,n}observada é a média da série n Z = Z =. n A FUNÇÃO DE AUTOCOVARIÂNCIA (FACV) do P.E. Z(ω,) represenada por γ (para a ordem ) é o momeno cenral conjuno das v.a s Z e Z +, iso é: γ = E[(Z - µ())(z + - µ(+))] =,,3,... e se o P.E. é esacionário no senido amplo, enão γ = E[(Z - µ)(z + - µ)] =,,3,... 9

10 e o esimador desse parâmero com base na série {Z, =,,3,...,n} observada é a esaísica: n ˆ γ = ( z z)( z+ z) n = VARIÂNCIA DO P.E. ESTACIONÁRIO: A variância do P.E. Z(ω,), esacionário, represenada por E(Z - µ) = σ z = γ 0 é obida da função de n auocovariância quando = 0 e o seu esimador é γˆ 0 = ( z z) = ˆ σ z n = FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO (FAC) DO P.E. ESTACIONÁRIO: A FAC do P.E. Z(ω,) represenada por ρ (para a ordem ) é a relação enre γ γ 0 = ρ e o seu esimador com base na série {Z, =,, 3,..., n} observada é ˆρ n ( z = = n = Exercícios 5 z)( z ( z + z) z) 5.) Dada à série emporal abaixo se pede: a) Um esboço do gráfico da série; b) A esimaiva do parâmero µ (média); c) A esimaiva do parâmero auocovariância de defasagem (lag) = ; d) A esimaiva do parâmero auocovariância de defasagem (lag) = ; e) A esimaiva da variância do processo (série) σ z ; f) A esimaiva da auocorrelação de defasagem (lag) = ; g) A esimaiva da auocorrelação de defasagem (lag) = ; T Z ) Você diria que ρ é a covariância das variáveis Z e Z + padronizadas? Mosre iso. 5.3) Defina variável aleaória, processo esocásico e série emporal. 5.4) Defina processo esocásico ergódico e processo esocásico esacionário (no senido amplo (fraco) e no senido esrio (fore)). 5.5) Qual a diferença enre correlação serial e correlação simples? Exemplifique. 5.6) Dada a série emporal Z, a seguir, pede-se: a) a esimaiva da auocovariância γ = cov(z, Z - ) quando = ; b) a esimaiva da auocorrelação ρ quando = ; 0

11 c) a esimaiva da variância σ z ; Z T ) Responda de forma clara e sucina: a) quais as resrições, quano aos dados, que você conhece na aplicação da Meodologia Box & Jenins? b) descreva cada um dos eságios da Meodologia Box & Jenins abaixo indicados: b) o eságio da idenificação; b) o eságio da esimação; b3) o eságio da verificação da adequabilidade do modelo. 5.8) Escreva a mariz de auocovariâncias e a mariz de auocorrelação de um processo esacionário {Z, =,,3,...,n}..4- Operadores OPERADOR DE RETARDO (ranslação ao passado) B é definido por B m Z = Z - m e quando m = em-se BZ = Z -. OPERADOR DE AVANÇO (ranslação ao fuuro) F é definido por F m Z = Z +m e quando m = em-se FZ = Z + OPERADOR DIFERENÇA (nabla) é definido por d Z = ( B) d Z. Exercício 6: Demonsre que a expressão do operador diferença pode ser escria na forma definida acima..5- Modelo de filro linear para séries emporais Uma série emporal {Z, =,,3,...,n} pode ser considerada como gerada por uma série de choques aleaórios independenes omados de uma disribuição fixa, usualmene assume-se a disribuição N(0,σ a ) e a seqüência de v.a s {a, a -, a -,...} é chamada processo ruído branco. O ruído branco a é suposo ransformado no processo Z (série emporal) pelo filro linear ψ(b) Filro Linear ψ(b) Ruído branco a série emporal Z A operação de filragem linear consise simplesmene de uma soma ponderada de ruídos aleaórios al que Z = µ + a + ψ a - + ψ a = µ + ψ ia i com ψ 0 = i= 0 Z = µ + (+ ψ B + ψ B +...)a e Z = µ + ψ(b)a O parâmero µ é o nível do processo e o polinômio ψ(b) = + ψ B + ψ B +...

12 é o operador linear que ransforma a em Z e é chamado de função de ransferência do filro. A seqüência de pesos ψ, ψ,... eoricamene pode ser finia ou infinia. Se a seqüência é finia ou infinia e convergene o filro é chamado de esável e o processo é esacionário (ou em equilíbrio esaísico em orno da média). Nese caso o parâmero µ é a média em orno da qual o parâmero varia. Quando o processo não é esacionário µ não em significado específico, é apenas um pono de referência para o nível do processo..6- Modelos auo-regressivos Um modelo auo-regressivo de ordem p em a forma Z = φ Z + φz φ pz p + a ou seja φ ( B ) Z = a com o p polinômio φ( B) = φ B φ B... φ Exemplos de modelos auo-regressivos: ) Gráfico de uma série emporal da esruura AR() com modelo Z = 0.8Z - + a p B GRÁFICO DE UMA S.T. GERADA DE UM MODELO AR() / 0.8 0,8 0,5 0,, Z -0, -0,4-0,7 - /9 /93 /95 /97 /99 ) Gráfico de uma série emporal da esruura AR() com modelo Z = -0.8Z - + a 0,9 GRÁFICO DE UMA S.T. DA ESTRUTURA AR()/-0.8 0,6 0,3 Z 0-0,3-0,

13 Exercícios 7: 7.) Demonsre que φ B )ω = a (. 7.) Escreva a expressão do modelo AR() para ω. 7.A) Escreva a expressão dos modelos da esruura AR() para Z com ermo consane. 7.3) Escreva a expressão do modelo AR() para ω. 7.3A) Escreva a expressão dos modelos da esruura AR() para Z com ermo consane. 7.4) Escreva a expressão do modelo AR(3) para ω. 7.5) Considere o modelo com o ermo consane δ, ou seja, Z = δ + φ Z + φz φ pz p + a. Deermine o valor da média µ do processo em função dos coeficienes do modelo. 7.6) Deermine a expressão da função de auocovariância do processo (do exercício anerior), γ, considerando o modelo em função dos desvios da média µ, ω = Z - µ. 7.7) Deermine a expressão da variância do processo σ ω, nas mesmas condições do exercício anerior. 7.8) Deermine a expressão da função de auocovariância (FACV) de um processo auoregressivo de ordem 3, AR(3). 7.9) Deermine a expressão da variância σ ω de um processo auo-regressivo de ordem 3, AR(3). 7.0) Deermine a expressão da função de auocorrelação (FAC) de um processo auoregressivo de ordem p e ambém de um de ordem 3, AR(3). 7.) Deermine as expressões da FAC e da variância das esruuras a seguir indicadas, em função dos parâmeros do modelo de cada esruura. AR() AR() AR(3) 7.) Dada a série emporal Z, a seguir, deermine: ω = Z ; ω = Z = (Z - Z - ) = Z - - Z - ; a esimaiva da auocovariância γ quando = ; a esimaiva da auocorrelação ρ quando = ; A esimaiva da variância σ z ; 3

14 Z T ) Para os dados da série A do livro do B & J (final do livro) pede-se: a) a série diferenciada uma vez; b) faça o gráfico da série original e, um ouro, da série diferenciada uma vez; c) calcule a FAC da série original e a FAC da série diferenciada (basa 0 lags). 7.4) Dada a série emporal a seguir pede-se: a) A série diferenciada uma vez (d = ); b) A média e a variância da série original; c) O valor da auocovariância de defasagem (lag) = da série original; d) O valor da auocorrelação de defasagem (lag) = da série original; Z Função de auocorrelação parcial (FACP).7. Equações de Yule-Waler A idéia da análise de auocorrelação parcial é aquela em que se deseja medir quano Z e Z + esão relacionados, mas com os efeios dos z s inermediários explicados, ou melhor, conrolados. Por exemplo, deseja-se mosrar o relacionameno enre as componenes do par (Z, Z + ) manendo-se conrolado o efeio de Z + (manido fixo) sobre Z +, em seguida deseja-se mosrar o relacionameno enre as componenes do par (Z, Z +3 ) conrolando-se os efeios de Z + e Z + (manidos fixos) sobre Z +3, e assim sucessivamene. Os coeficienes de auocorrelação parcial medem ese relacionameno enre Z e Z +. Ese coeficiene é denoado por Φ e é esimado por Φˆ da amosra. Seja Φ j o j-ésimo coeficiene em um processo auo-regressivo de ordem, al que Φ é o úlimo coeficiene, Z = φ Z φ Z φ Z + a + Especificando um AR(), ordem =, em-se Z = φ Z + a e observa-se que φ mede o relacionameno enre Z e Z -. Já que não exisem ouras variáveis no modelo φ mede ano a auocorrelação parcial como a auocorrelação. Mas, quando se em uma ordem maior, como por exemplo, um AR() Z = φ + φ Z Z + a φ mede a auocorrelação parcial enre Z e Z -. Iso é, mede a associação enre Z e Z - manendo fixo o efeio de Z -. 4

15 EXEMPLO 4 A figura a seguir mosra o correlograma das auocorrelações parciais para a S.T. das manchas solares. Auocorrelações Parciais da S.T. das Manchas Solares Aucorrelações Parciais 0,6 0, -0, -0, Defasagens Para calcular a FACP para as defasagens (lags) =,, 3,... o que se faz é ajusar sucessivamene os modelos: AR() obendo-se φ, AR() obendo-se φ e assim sucessivamene. Veja que da FAC em-se: ρ j = Φ ρ j- + Φ ρ j Φ (-) ρ j-+ + Φ ρ j- j =,, 3,..., que pode ser escria na forma das equações de Yule-Waler: ρ = Φ ρ 0 + Φ ρ Φ (-) ρ - + Φ ρ - j = ρ = Φ ρ + Φ ρ Φ (-) ρ -3 + Φ ρ - j =... ρ = Φ ρ - + Φ ρ Φ (-) ρ + Φ ρ 0 j = Resolvido o sisema de equações em-se os valores de Φ para os lags =,, 3,... Exercícios 8: 8.) Escreva as equações de Yule-Waler na forma maricial. 8.) Escreva as expressões dos coeficienes de auocorrelação parcial de defasagens =, = e = 3 para os processos da esruura AR(). 8.3) Escreva as equações de Yule-Waler na forma maricial com as esimaivas dos coeficienes de auocorrelação. 8.4) Escreva as expressões das esimaivas dos coeficienes de auocorrelação parcial de defasagens =, = e = 3 para os processos da esruura AR(). 8.5) Seja a série emporal, com as observações abaixo, que correspondem ao número médio anual de manchas solares observado de 770 a 869 (Box & Jenins pg. 530). Esime a função de auocorrelação parcial (FACP) para as defasagens =, = e = 3, sabendo que as auo-correlações esimadas para essas defasagens são ρˆ = 0,806, ρˆ = 0,48 e ρˆ 3 = 0,0696. Aplique as equações de Yule-Waler para 5

16 achar as esimaivas e ambém ajuse os modelos auo-regressivos de ordem p = para φˆ, de ordem p = para φˆ e de ordem p = 3 para φˆ 33 para confirmar. É claro que a úlima quesão deve ser feia compuacionalmene

17 .7. Méodo Recursivo Para Cálculo dos Parâmeros Auo-regressivos Em 960, J. Durbin publicou o arigo The fiing of ime series models na revisa Review of Inernaional Saisical Insiue, onde apresena um méodo recursivo para esimar os parâmeros de um processo auo-regressivo de ordem p+ (AR(p+)) quando os parâmeros de um processo AR(p), ajusado à mesma série emporal, são conhecidos. Esse procedimeno recursivo pode ser usado para esimar de modo aproximado os coeficienes de auocorrelação parcial. O inconveniene desse méodo é que devido à forma recursiva os erros de arredondameno vão se acumulando. As equações que definem o méodo são: φˆ = r j= j= ˆ φ ˆ φ, j r j r, j j e φˆ j = ˆ φ, j - φˆ ˆ φ j =,,...,-, j Exercício 9: Seja a série emporal, do iem 5 dos exercícios 8, deermine as esimaivas dos parâmeros φ, φ e φ 33 (valores da FACP para =,, 3 aplicando o procedimeno recursivo de Durbin..7.3 Variância e Erro Padrão das Esimaivas da FAC e FACP. Já se viu que a função de auocovariância, represenada por γ (para a ordem ), da série emporal Z() é o momeno cenral conjuno das v.a s Z e Z +, iso é: γ = E[(Z - µ)(z + - µ)] =,, 3,... Onde µ = E[Z()] e quando o P.E. gerador da série é esacionário no senido amplo o parâmero γ é esimado com base na série {Z, =,, 3,..., n} observada pela esaísica: ˆ γ = n ( z z)( z+ z) n = onde z é esimador de µ. De modo que se em µˆ = z como o esimador de µ e ˆ γ = como o esimador de γ. A variância da série emporal Z(), n ( z z)( z+ z) n = represenada por E(Z - µ) = σ z = γ 0, é obida da função de auocovariância quando = 0 e o seu esimador é: n γˆ 0 = ˆ σ z = ( z z) n = 7

18 γ Enão, o parâmero (FAC) ρ = γ 0 ˆρ n ( z = = n pode ser esimado pela esaísica cuja expressão é = z)( z ( z + z) z) Os valores de ρˆ para =,, 3,... consiuem o correlograma esimado da FAC. EXEMPLO 5 O gráfico adiane corresponde ao correlograma da série emporal do iem 5 dos exercícios 8, que é a série emporal do número médio anual de manchas solares. A u o c o r r e l a ç õ e s FAC ESTIM ADA DA S.T. DAS M ANCHAS SOLARES 0,6 0, -0, -0, Defasagem Geralmene quando se em um esimador exise um ineresse especial na disribuição de probabilidade dessa esaísica para que se possa fazer inferências sobre o parâmero que a esaísica esima. No caso de ρˆ, Anderson no seu arigo de 94 Disribuion of he serial correlaion coefficien publicado na revisa The Annals of Mahemaical Saisics, provou que supondo que ρ seja igual a zero (ρ = 0) a esperança de ρˆ é assinoicamene igual a zero ou seja E( ρˆ ) = 0. Em seguida, M. S. Barle no seu arigo de 946 On he heoreical specificaion of sampling properies of auocorrelaed ime series publicado na revisa Journal of he Royal Saisical Sociey, demonsrou que a variância e as covariâncias das esaísicas ρˆ são, aproximadamene, dadas pelas expressões: V( ρˆ ) [ ρ j + ρ j+ ρ j 4ρ ρ j ρ j + ρ J ρ K ] n j= [ ρ ρ j j = cov( ρˆ, ρˆ ) n + s j+ s + ρ j+ + s ρ j ρ + s ρ j ρ j s ρ + s ρ j ρ j + ρ ρ + s ρ ] onde n é o amanho da série, ou seja, o número de observações regisradas. E, enão, para um processo em que as auo-correlações ρ são nulas para j > q a expressão de V( ρˆ ) orna-se q V( ρˆ ) [ + n ρ j ] para > q j= j 8

19 Mas, como se desconhece os valores de ρ eles são subsiuídos por suas esimaivas q ρˆ. Enão em-se a variância esimada Vˆ ( ρˆ ) = ˆ σ ˆ ρ = [ + n ˆρ j ] > q (q = ) e para n suficienemene grande, a esaísica ρˆ em disribuição aproximadamene Gaussiana sob a hipóese de que ρ = 0. Ese resulado se deve ao rabalho de Jenins & Was publicado no livro ediado em 968 com íulo Specral Analysis and Is Applicaions da ediora Holden Day. De forma que em-se o pivô aproximado, dado a seguir, para se fazer inferências sobre o parâmero ρ, j= ˆ ρ ρ ˆ σ ˆ ρ σ ˆ ρ ˆ ρ = ˆ ~ N(0, ) Conseqüenemene, o inervalo de confiança de nível 95% é dado por: [-,96 ˆ σ ˆ,,96 ˆ σ ˆ ] ρ e finalmene rejeia-se a hipóese de que ρ = 0 se ρˆ siuar-se fora do inervalo acima. Já para a FACP Φ, quando o processo é AR(p), M. H. Quenoüille no seu rabalho publicado em 949 na revisa Journal of he Royal Saisical Sociey e iniulado Approximae es of correlaion ime series provou que a esaísica φˆ em disribuição aproximadamene Gaussiana com média 0 e variância dada pela expressão: ρ V( φˆ ) n para > p Logo, φˆ ~ N(0, ) e porano o desvio padrão esimado de φˆ é dado pela expressão n aproximada ˆ σ ˆ φ n > p. Finalmene, o inervalo de 95% para Φ = 0 é: [-,96,,96 ] n n e rejeia-se a hipóese de que Φ = 0 se φˆ siuar-se fora do inervalo anerior, > p. Exercícios 0: 0.) Escreva a expressão da variância do esimador ρˆ de ρ. 0.) Escreva a expressão da variância do esimador φˆ de Φ. 0.3) Dada a série emporal a seguir, calcule: a) ˆρ A esimaiva da auocorrelação de defasagem = ; b) ˆρ A esimaiva da auocorrelação de defasagem = ; c) ˆρ 3 A esimaiva da auocorrelação de defasagem = 3; d) Tese as hipóeses de que ρ = 0, ρ = 0 e ρ 3 = 0. 9

20 Z ) Dado o processo esocásico Z = φ Z - + φ Z - + a, a auocorrelação parcial de defasagem =, φ = 0,9 e a auocorrelação de defasagem, ρ = 0,8. Esime φ. 0.5) Suponha que os dados a seguir correspondem a uma S.T. com n = 60 e ρ 0. Esime a variância e o desvio padrão das esimaivas de ρ para =, e 3. K ρˆ -0,6 0,35-0,0-0, ) Verifique se as auocorrelações cujas esimaivas esão na abela anerior são odas nulas. 0.7) Dada a S.T. abaixo, calcule: a) ˆρ, ˆρ e ˆρ 3 ; b) O inervalo de confiança de 95% para ρ, ρ e ρ 3 ; c) ˆ φ, ˆ φ e ˆ φ 33 a parir das equações de Yule-Waler; d) O inervalo de confiança de nível 95% para ˆ φ, ˆ φ e ˆ φ 33 ; e) Verifique se os valores da FAC cujas esimaivas você obeve no iem a são significaivamene diferenes de 0; f) Verifique se os valores da FACP cujas esimaivas você obeve no iem c são significaivamene diferenes de Z ) Uma série emporal com n = 00 forneceu os resulados dados na abela a seguir. Calcule: a) ˆ φ, ˆ φ e ˆ φ 33 usando o méodo recursivo de Durbin; b) Verifique se os valores da FACP que você esimou no iem a são significaivamene diferenes de 0. Defasagem ρˆ -0,90 0,86-0,74 0,67-0, ) Seja o modelo auo-regressivo de ordem, AR(), da forma Y = φ Y - + ε. Coloque-o na forma do operador de reardo B. 0.0) Sabe-se que um processo auo-regressivo é esacionário quando as raízes do polinômio caracerísico φ(b) jazem fora do círculo uniário. Deermine a condição para que o processo do exercício anerior seja esacionário. 0.) Seja o processo AR() da forma Y = δ + φ Y - + ε (com ermo consane). Considerando o processo esacionário deermine a média µ do processo. 0

21 0.) Seja o processo AR() da forma Y = δ + φ Y - + ε (com ermo consane). Considerando o processo esacionário deermine a variância γ 0 = σ y do processo em função da variância do ruído branco σ ε = V(ε ) = E(ε )..8 Modelos Médias Móveis (MA(q)) Um modelo médias móveis de ordem q em a forma Z = δ + a - θ a - - θ a θ q a - q =,,..n, resulando em Z = δ +θ ( B) a, onde θ (B) é o polinômio caracerísico no operador de reardo B, θ (B) = - θ B - θ B θ q B q. EXEMPLO 6 A figura a seguir mosra o gráfico de uma S.T. gerada por P.E. de esruura MA(). 0,8 0,5 Gráfico de uma S.T. com processo gerador MA() Z 0, 9,9 9,6 9,3 9 /90 /9 /94 /96 /98 Exercícios :.) Expresse o processo MA(q) como função dos desvios ω da média µ = E(Z ) e mosre que µ = δ..) Deermine a função de auocovariância (FACV) dos modelos MA(q)..3) Deermine a variância dos modelos MA(q)..4) Deermine a função de auocorrelação dos modelos MA(q)..5) Escreva as expressões dos esimadores da função de auocovariância, da função de auocorrelação e da variância de um processo MA(q)..6) Deermine a FACV (função de auocovariância), função de auocorrelação (FAC), função de auocorrelação parcial (FACP) e variância σ ω dos processos MA() e MA()..7) Escreva um modelo MA() com isolameno do ruído branco em função dos demais ermos. Faça subsiuições sucessivas do ermo defasado do ruído branco e verifique o que aconece. O modelo MA() orna-se um AR( ) com os pesos

22 decrescenes no empo sob qual condição? Iso se chama INVERTIBILIDADE? Qual a condição para que os processos MA() sejam inveríveis?.9- Processos Misos (ARMA(p,q)) Muias vezes a inclusão de ambos os ermos auo-regressivo e médias móveis conduz a um modelo mais parcimonioso do que se poderia alcançar com as formas AR puro e MA puro. Enão, um modelo que incorpora esses dois ermos é o ARMA(p,q), que é da forma Z = δ + φ Z φ p Z -p -θ a θ q a -q + a φ ( B ) Z = δ + θ ( B) a onde os polinômios são: φ(b) = - φ B - φ B φ p B p e θ(b) = - θ B - θ B θ q B q. Exercícios :.) Escreva o modelo especificado para Z pela esruura ARMA(,0)..) Escreva o modelo especificado para Z pela esruura ARMA(0,)..3) Deermine a média do processo ARMA(p,q)..4) Expresse o modelo ARMA(p,q) em função dos desvios da média ω = Z - µ..5) Deermine a variância σ ω, função de auocovariância γ e função de auocorrelação ρ dos processos de esruura ARMA(p,q)..6) Deermine a variância σ ω, a FAC e a FACP dos processos com esruura ARMA(,)..7) Escreva o modelo especificado para Z pela esruura ARMA(,)..0- Condições de Esacionariedade e Inveribilidade.0.- Esacionariedade e Inveribilidade de um Processo Linear Uma classe muio imporane de P.E S, Z, é aquela obida pela passagem de um P.E. ipo ruído branco a (P.E. cujas v.a s êm média nula e são muuamene independenes) aravés de um filro linear, iso é, Z = µ + ψ = 0 apresenada, é o modelo de um filro linear a. A figura abaixo, que já foi Filro Linear ψ(b) Ruído branco a série emporal Z

23 O filro linear (ou sisema linear) em a como enrada, Z como saída e ψ(b) é a função de ransferência. De modo que se em Z = µ + a + ψ a - + ψ a - + ψ 3 a ou ainda Z = µ + ψ(b)a com a função de ransferência do filro ψ(b) = + ψ B + ψ B + ψ 3 B É claro que o parâmero µ é o nível da série e considerando-se que o ruído a em média 0 e variância σ a e ainda que são variáveis aleaórias independenes e idenicamene disribuídas, logo E(a a - ) = E(a ).E(a - ) = 0.0 = 0. Enão, considerando-se agora por simplicidade, os desvios da média ω = Z - µ em-se que ω = ψ(b)a E a convergência do processo e ambém a esacionariedade do mesmo, podem ser analisadas a parir dos pesos ψ, ψ,... Enão, se a seqüência dos pesos {ψ j, j > } é finia ou infinia e convergene, o filro é esável, o que significa que se em um valor definido para a soma dos ermos da seqüência e a série Z é esacionária e µ é a média do processo. Quando a seqüência dos pesos é infinia e não convergene, não se em um valor definido para a soma dos pesos (resulado infinio) e nese caso o parâmero µ é apenas uma referência para o nível da série e não é a média. Enão, omando-se a esperança da expressão Z = µ + a + ψ a - + ψ a - + ψ 3 a em-se E(Z )= µ + E(a + ψ a - + ψ a - + ψ 3 a -3...) quando a série ψ j j= E(Z )= µ + E(a + ψ j a ) = µ + E(a j ) + ψ j= j= E(Z )= µ E( j a j converge. Da mesma forma a variância é deerminada por: V(Z ) = V(µ + a + ψ a - + ψ a - + ψ 3 a -3...) V(Z ) = V(µ) + V(a ) + ψ V(a - ) + ψ V(a - ) +... V(Z ) = 0 + σ a + ψ σ a + ψ σ a +... ) e ainda a função de auocovariância V(Z ) = σ a ( + ψ j ) = σ a ψ j com ψ 0 = e com ψ j < = =0 =0 j cov(z,z - ) = γ = σ a ψ jψ j + se a série ψ jψ j + exise j = ±0, ±, ±, j= 0 j= 0... E, escrevendo ω = Z - µ como uma função ponderada das observações passadas em-se Z - µ = ω = π ω - + π ω a = π jω = j j j + a j 3

24 e escrevendo na forma do polinômio caracerísico ( - π j j B )ω = a resula j= π(b)ω = a com π(b) = - π B - π B - π 3 B Finalmene, como ω = ψ(b)a, em-se π(b)ψ(b)a = a, π(b)ψ(b) = e π(b) = ψ - (B), logo esa inveribilidade garane que os pesos dos valores passados possam ser obidos dos pesos dos ruídos passados. Exise uma razão para que se enha esa condição de inveribilidade, além da de esacionariedade nos modelos de séries emporais. Um modelo não inverível implica em que pesos, π j, colocados no passado de ω não decaem à medida que se desloca a série no passado. Mas, é claro, que os maiores pesos devem ser colocados nas observações mais recenes. A inveribilidade garane iso. Para ilusrar ese argumeno suponha a série hisórica da inflação brasileira. É evidene que a inflação de Agoso/999 em muio a ver com a inflação de Julho/999, depende um pouco menos da inflação de Junho/999 e praicamene não em nada a ver com a inflação de Agoso/994. EXEMPLO 7 Seja o P.E. correspondene a saída do filro linear, desconada a média, ω = ψ(b)a com os pesos ψ j = φ j j =,,3,... e ψ 0 =. Se o espaço paramérico for φ < a série =0 j ψ j converge, pois em-se ψ j = j=0 j=0 j φ = + φ + φ +... que é uma P.G. com razão q = φ, logo ψ j = e porano o P.E. ω = ψ(b)a é φ j=0 esacionário na média. Considerando, agora, a variância em-se V(ω ) = σ a ψ j = σ a j=0 j=0 que é uma P.G. com razão q = φ, logo j φ = a γ 0 = V(Z ) = σ a σ a ψ j = j=0 φ Finalmene, em-se para a covariância cov(ω,ω + ) σ ( + φ + φ ) γ = σ a ψ jψ j + = σ a j j+ φ φ = σ a ( φ + φ + + φ ) j= 0 j= 0 que é uma P.G. com razão q = φ, logo cov(ω,ω + ) = γ = σ a φ E, porano o P.E. ω = ψ(b)a em covariância dependendo somene da diferença de defasagens. Resumindo, o P.E. é esacionário no senido amplo já que é esacionário na média, na variância e a covariância depende somene da diferença de defasagens. φ 4

25 EXEMPLO 8 Seja o P.E. correspondene a saída do filro linear, com média zero, Z = ψ(b)a com os pesos ψ j = φ j j =,,3,... e ψ 0 =. Se o parâmero for φ = e com ψ 0 = a série =0 j ψ j não converge, pois em-se j=0 ψ j = , e o processo será não esacionário. Observe que Z Z - será um P.E. conhecido como passeio aleaório, pois Z = µ + a + ψ a - + ψ a - + ψ 3 a Z = µ + a + a - + a - + a e ainda, omando Z - = µ + a - + a - + a em-se que Z Z - = a que é um P.E. conhecido como ruído branco. EXEMPLO 9 Considere ainda dos exemplos aneriores o P.E. correspondene a saída do filro linear, desconada a média, ω = ψ(b)a com os pesos ψ j = φ j j =,,3,... e ψ 0 = e com o espaço paramérico para φ sendo φ <. Analisando as condições para que haja convergência. A função de ransferência do filro é ψ(b) = + ψ B + ψ B + ψ 3 B ψ(b) = + φb + φ B + φ 3 B (PG com q = φb) ψ(b) = ( φ B =0 ψ(b) = j φb e a série resulane convergirá se B < e assim o processo será esacionário. Observe que iso significa que B esará denro do círculo uniário e sobre a circunferência do círculo. EXEMPLO 0 Seja agora a siuação para um modelo do ipo médias móveis com q =, ou seja, um caso paricular de ω = ψ(b)a. Assim, em-se ω = a - θa -, e os pesos são ψ 0 =, ψ = -θ e ψ j = 0 para j >. Deve-se enar provar que a série j=0 ) j ψ (soma dos pesos) converge enão ψ j = - θ, que é finia (convergene) para qualquer valor de θ. j=0 EXEMPLO Seja agora a mesma siuação do exemplo anerior com o modelo do ipo médias móveis com q =, ou seja, um caso paricular de ω = ψ(b)a. Assim, em-se ω = a - θa -, e os j 5

26 pesos são ψ 0 =, ψ = -θ e ψ j = 0 para j >. Deve-se enar provar que a série j=0 ψ j (soma dos pesos) converge e em ψ j j=0 = - θ, que é finia (convergene) para qualquer valor de θ, logo o modelo é esacionário na média. E, como ψ j = + θ = =0 + θ a série ambém é esacionária na variância e finalmene ψ jψ j + = (-θ) + (-θ)0 j= 0 = -θ, convergene para qualquer valor de θ. Assim, o processo é esacionário no senido amplo. EXEMPLO Seja agora a mesma siuação do exemplo anerior com o modelo do ipo médias móveis com q =, ou seja, um caso paricular de ω = ψ(b)a. Assim, em-se ω = a - θa -, e os pesos são ψ 0 =, ψ = -θ e ψ j = 0 para j >. Examinando-se, agora, os pesos para os valores passados do processo ou seja em π(b)ω = a, e isolando-se do modelo ω = a - ω θa - = ( - θb)a o ruído a, resula a = = ( + θb + θ B +...)ω, que igualado θb com π(b)ω = a em ( + θb + θ B +...)ω = a = π(b)ω = a produz π(b) = + θb + θ B +... = =0 j j θ j B j = θb E os pesos π j são π j = -θ j j > (da comparação com o modelo π(b) definido na pg. 5) e a seqüência formada com os pesos convergirá se θ <. Enão, dada a convergência dos pesos dos valores passados o processo é chamado de inverível. E, ainda, o processo é inverível se o operador π(b) converge para B <. Na modelagem proposa por Box & Jenins os modelos são dados por φ p ( B ) ω = θ q ( B) a onde os polinômios de ordem p e q foram definidos aneriormene. Sendo a enrada um P.E. do ipo ruído branco, a saída Z só poderia ser nãoesacionária se exisisse alguma insabilidade no comporameno do filro. Desa forma, pelo que se abordou, em-se as condições para que um P.E. gerado seja esacionário, inverível ou equivalenemene o filro seja esável, inverível. Especificamene, em-se que um processo esocásico linear será esacionário se a série ψ(b) convergir para B <. Da mesma forma ele será inverível se π(b) convergir para B <..0.- Esacionariedade dos Modelos AR(p) e Inveribilidade dos Modelos MA(q) Modelo AR() Os modelos da esruura AR() êm a forma ω = φ ω - + a ou com a como função do operador B, ( - φ B)ω = a. Observa-se, nas expressões, que pela independência dos ruídos a, ω depende apenas de ω - e de a, ou seja, da realização no insane anerior e do ruído no insane. De forma que pela fala de memória para os ouros 6

27 insanes o AR() se caraceriza como um processo de Marov. Ainda, como π(b) = φ(b) = - φ B. A condição de esacionariedade é que a série ψ(b) seja convergene para B < e em-se ω = φ ω - + a = ψ(b)a Enão, para se deixar na forma ω = ψ(b)a há necessidade de enrar com ω -j j =,,... sucessivamene ω = φ (φ ω - + a - ) + a = φ ω - + φ a - + a ω = φ [φ (φ ω -3 + a - ) + a - ] + a = φ 3 ω -3 + φ a - + φ a - + a ω = ( + φ B + φ B + φ 3 B )a ω = ( =0 j φ j B j e ψ(b) = + φ B + φ B + φ 3 B = converge para B <, enão φb como a raiz da equação - φ B = 0 é B = /φ e é condição se er φ < implica em se er a raiz de φ(b) = 0 maior do que ou seja fora do círculo uniário, pois B = = e dado que φ < em-se que B >. φ φ )a Exercícios 3: 3.) Deermine a condição de esacionariedade para os modelos da esruura AR(). 3.) Verifique se o processo modelado por ω = 0,75ω - + a é esacionário, achando as raízes do polinômio caracerísico e ambém analisando o espaço paramérico. 3.3) Escreva as condições de esacionariedade para os modelos AR(p). 3.4) Deermine a condição de inveribilidade para os modelos da esruura MA(). 3.5) Verifique se o processo modelado por ω = 0,8a - + a é inverível, achando as raízes do polinômio caracerísico e ambém analisando o espaço paramérico. 3.6) Escreva a condição de inveribilidade para os modelos da esruura MA(q). 3.7) Escreva as condições de esacionariedade e inveribilidade para os modelos da esruura ARMA(, ). 3.8) Escreva as condições de esacionariedade e inveribilidade para os modelos da esruura ARMA(p,q). 3.9) Verifique se o processo modelado por ω = -0,75ω - + 0,8a - + a é esacionário, achando as raízes dos polinômios caracerísicos e ambém analisando o espaço paramérico. 7

28 3.0) Verifique se o processo modelado por ω = ω - - 0,8a - + a é esacionário e inverível, achando as raízes dos polinômios caracerísicos e ambém analisando o espaço paramérico. 3.) Deermine a condição de esacionariedade para os modelos da esruura AR(). 3.) Verifique se o processo modelado por ω =,05ω - 0,4ω - + a é esacionário, achando as raízes do polinômio caracerísico e ambém analisando o espaço paramérico. 3.3) Deermine a condição de inveribilidade para os modelos da esruura MA(). 3.4) Verifique se o processo modelado por ω = 0,7a - 0,5a - + a é esacionário, achando as raízes do polinômio caracerísico e ambém analisando o espaço paramérico. 3.5) Escreva um resumo com as condições de esacionariedade e inveribilidade dos modelos das esruuras AR(p), MA(q) e ARMA(p,q). 3.6) Escreva um resumo com as condições de esacionariedade e inveribilidade dos modelos imporanes das esruuras AR(p) e MA(q), ou seja, para p =, e q =,. 3.7) Escreva as caracerísicas da FAC e FACP dos modelos da esruura ARMA(p,q) para p =, (puro), q =, (puro) e p = q = (miso). 3.8) Prove o resulado cov(z,z - ) = γ = σ a = j = ±0, ±, ±,... ψ jψ j se a série j 0 j= 0 ψ jψ j exise 3.9) Deermine o resulado V(Z ) = σ a ψ j = γ 0 com ψ 0 = e com ψ j <, a j=0 j=0 parir da expressão da cov(z,z - ). 3.0) Verifique se o modelo ( + 0,6B)ω = ( 0,4B)a é inverível.- Modelos ARIMA(p,d,q)..- Série Não Esacionária Homogênea Uma série emporal não-esacionária homogênea é aquela que se orna esacionária após rocarmos o nível médio (por diferenciação) ou inclinação. Assim, se Z é uma série emporal não-esacionária homogênea significa que ω = d Z é esacionária. Exercícios 4 4.) Faça um esboço de uma série não esacionária na média. 4.) Faça um esboço de uma série não esacionária na média e na variância. 8

29 ..- Esruura dos Modelos ARIMA(p,d,q) Uma forma geral de represenar uma classe de séries emporais não esacionárias é o MODELO AUTO-REGRESSIVO INTEGRADO MÉDIAS-MÓVEIS de ordem (p,d,q) ou seja ARIMA(p,d,q), onde p é o grau do polinômio φ (B), q o grau do polinômio θ (B) e d o grau de diferenciação d d ou seja φ ( B ) Z = θ ( B) a, onde d Z = ω e desse modo em-se φ ( B ) ω = θ ( B) a que é um modelo ARMA. d d Considere φ ( B ) = φ ( B)( B) um polinômio que em d raízes iguais a ou seja em cima da circunferência do círculo uniário. Assim, reirando-se esas raízes ficamos com p raízes ou seja ficamos com as raízes do polinômio φ (B) e raamos enão como se fosse ARMA. Exercícios 5 5.) O mais comum ipo de não-esacionariedade é aquele em que a média da série emporal não é consane e que se chama não-esacionariedade na média. Nese caso o procedimeno indicado anes de aplicar a meodologia Box & Jenins é diferenciar a série na enaiva de orná-la esacionária. Caso se consiga iso, qual o nome que se dá à série não diferenciada? 5.) Imagine uma série que é não esacionária na variância. Iso significa que a variância não é a mesma aravés do empo. Freqüenemene ocorre que nãoesacionariedade na variância implica em não-esacionariedade na média. Como você faz para enar ornar esacionária uma série desse ipo? 5.3) Quais os ipos de ransformações que você conhece? Conhece alguma família de ransformações? Descreva o algorimo dessa ransformação. Uma boa fone de informações sobre esa ransformação é o livro do Johnson de Análise Mulivariada. 5.4) A ransformação logarímica (naural) é apropriada para séries cuja variância é proporcional à média, al que a porcenagem da fluuação é consane no empo. Conudo, embora essa ransformação possa ornar a série esacionária na variância, pode ocorrer da série ransformada não ser esacionária na média. O que você faz, enão? 5.5) Como você faz para verificar se uma série é esacionária? Sabendo que a FAC de séries esacionárias vão rapidamene para zero, ou melhor rapidamene significa que os valores da variável padronizada z das auocorrelações esimadas caiam grosseiramene abaixo de,645 após a defasagem 5 ou 6 e ainda é sabido que os coeficienes de alguns modelos êm que obedecer à ceras condições para esacionariedade. 5.6) O que você em a dizer sobre a FAC e a FACP dos processos da esruura AR? 5.7) O que você em a dizer sobre a FAC e a FACP dos processos da esruura MA? 5.8) O que você em a dizer sobre a FAC e a FACP dos processos da esruura ARMA? 9

30 5.9) Quais as condições que um processo AR() ou ARMA(,0) deve saisfazer para ser esacionário? 5.0) A condição de esacionariedade garane que se pode ober esimaivas realmene aproveiáveis para a média, variância, FAC e FACP da amosra, pois se um processo pode ser diferene a cada insane de empo (não-esacionário) não se pode ober esimaivas úeis, por quê? 5.) Qual a condição para que um processo da esruura MA() ou ARMA(0,) seja inverível? 5.) Qual a condição para que um processo da esruura MA() ou ARMA(0,) seja inverível? 5.3) Escreva a expressão do esimador da variância de ρˆ auocorrelação amosral de defasagem, amosral. 5.4) Escreva a expressão do esimador da variância de Φˆ amosral de defasagem, amosral. auocorrelação parcial 5.5) Gere 00 observações (usando o programa GERADOR) do processo AR() Z = 5 + 0,8Z - + a, use uma variância de 0,. Obenha o gráfico da série, os correlogramas da FAC e da FACP, o correlograma da FAC dos resíduos e hisograma dos resíduos e esime os parâmeros e o nível médio da série. Exercícios 6: 6.) Verifique se os processos abaixo são ESTACIONÁRIOS e INVERSÍVEIS e indique se os mesmos podem ser colocados na forma ARIMA e para quais valores dos parâmeros φ s, θ s e d s. a) Z 0,5Z - = a 0,5Z - b) (Z -a ) 0,5Z - =0,5(Z - - a - ) c) (Z -a +Z - ) = (Z - -a - ) d) Z -a +0,5a - +Z - = a - + Z - e) Z + 0,5 Z - = Z - + a 6.) Gere 80 observações do processo AR() com média µ = 50, parâmero 0,8 e uma variância de 0,08. Faça um gráfico da série, correlograma da FAC, correlograma da FACP e esime a variância do processo e os parâmeros que você esabeleceu na simulação. 6.3) Gere 0 observações do processo AR() com média µ = 50, parâmero -0,8 e uma variância de 0,05. Faça um gráfico da série, correlograma da FAC, correlograma da FACP e esime a variância do processo e os parâmeros que você esabeleceu na simulação. 6.4) Gere 80 observações do processo AR() com média µ = 5, parâmeros 0,75 e 0.50 e uma variância de 0,07. Faça um esboço do espaço paramérico eórico do processo e ambém um gráfico da série, correlograma da FAC, correlograma da 30