3 Metodologias Analisadas

Transcrição

1 3 Meodologias Analisadas Nese capíulo, são apresenados alguns modelos de previsão de séries emporais analisados nesa disseração. Anes de passar para os modelos propriamene, são inroduzidos alguns conceios relaivos a séries emporais e as méricas uilizadas na avaliação dos modelos. 3.1 Séries Temporais Uma série emporal é um conjuno de observações de uma dada variável, ordenadas segundo o parâmero do empo, geralmene em inervalos eqüidisanes. Se Z represena o valor da variável aleaória Z no insane, denoa-se a série emporal por Z 1, Z 2,..., Z N onde N é o amanho da série ou número de observações seriais da variável. Para séries emporais discreas as periodizações de colea de dados usuais são: dados diários, semanais, rimesrais e anuais. As séries emporais podem ser classificadas em: a) Discrea: quando o conjuno de observações for finio ou infinio numerável, iso é, N Z = {1, 2,..., }. Denoa-se por Z. b) Conínuas: quando o conjuno for infinio não-numerável, iso é, N={:0<<N}. Denoa-se por Z(). c) Deerminísicas: quando uma função maemáica pode ser usada para esabelecer exaamene os valores fuuros da série. d) Esocásicas: quando os valores fuuros da série só podem ser esabelecidos em ermos probabilísicos, pois o modelo compõe-se ambém de um faor aleaório. e) Mulivariadas (discreas ou conínuas): quando a série emporal é represenada por um veor { Z (), N} de ordem rx1. ~ f) Mulidimensional: quando se em { Z (), N} e é um veor de ordem px1. ~ A previsão de uma série emporal é o esabelecimeno dos valores fuuros da série. Uma previsão é uma esimaiva quaniaiva (ou conjuno de esimaivas) acerca da verossimilhança, ou aparência, ou similaridade, de evenos fuuros, baseados na informação aual e passada. Desa forma, a previsão quaniaiva, elaborada com o uso

2 29 de méodos quaniaivos, é uma projeção dos modelos para além do período que eles foram esimados. Maiores dealhes sobre séries emporais e conceios inrínsecos podem ser consulados na referência [25] Conceios Imporanes Seguem, de forma resumida, alguns conceios imporanes usados ao longo dese rabalho [25]: Horizone de Previsão: é o comprimeno de empo conado a parir de uma origem especificada, chamada origem das previsões, no senido do fuuro, para o qual as previsões devem ser deerminadas. Passos-à-frene de uma previsão: é o número de inervalos de empo (períodos) para frene, a parir da origem das previsões. Processo Esacionário: é um processo esocásico gerado por uma série esocásica de observações invariane com respeio ao empo. Correlação: em eoria da probabilidade e esaísica, correlação, ambém pode ser chamada de coeficiene de correlação, e indica a força e a direção do relacionameno linear enre duas variáveis aleaórias. 3.2 Méricas de Avaliação dos Modelos Os resulados foram avaliados aravés das méricas a seguir: MAPE (mean absolue percen error), RMSE (roo mean square error) e U de Theil [7]. MAPE: indica o valor médio do erro percenual absoluo das previsões sobre um conjuno de dados. MAPE = N k = 1 a k N y a k k 100 %

3 30 onde: N = número de previsões realizadas a k = saída desejada para o índice k. yk = saída previsa para o índice k. RMSE: esa mérica penaliza muio mais os erros maiores. Desa forma, uma écnica que apresene óimos resulados na maioria das previsões, porém enha erros elevados em uma previsão específica, irá fornecer um alo RMSE. RMSE = N k = 1 ( a y ) k N k 2 Coeficiene U de Theil: esa mérica mede o quano os resulados esão melhores que uma previsão ingênua ou rivial (i.e.: a melhor esimaiva do próximo valor é o valor aual ). U = k = 1 N N k = 1 ( a ( a k k y ) a k 2 ) 2 k Méodo de Amorecimeno Exponencial Nesses modelos supõe-se que o nível médio das observações pode ser descrio, a cada insane de empo, por uma função conhecida do empo. O objeivo deses modelos é esimar os parâmeros que caracerizam a função f(). Para a série Z será considerado um modelo esocásico da forma: Z = μ ( ) + ε onde ε é o ruído do sisema no insane de média nula e variância consane para odo. O modelo passa a ser represenado enão por:

4 31 Z = f ( ) + ε Para séries não-sazonais, a função normalmene adoada para f() é do ipo i polinomial f ( ) = a i + 1, e a esruura do modelo orna-se: i Z i ai 1 + ε = + i Pelo méodo, os esimadores dos parâmeros são obidos em função de médias móveis de amanho N. De acordo com o número de parâmeros, são efeuadas médias da média anerior para compor as equações desses parâmeros. Essas médias são calculadas pelas expressões: M M T = α ZT + ( 1 α) M T 1 [ i] [ i 1] T = M T + (1 α) α M, i>1 [ i] T 1 onde: M M 1 1 N T = Z T j N j = 0 1 [ i] 1 N T = N j= 0 M [ i 1] T j α - consane de amorecimeno As expressões dos esimadores para polinômios de ordem 0, 1 e 2 podem ser conseguidas nas referências [15], [24], [3, págs.3-5]. O procedimeno de deerminação desses parâmeros consiui o Méodo de Brown. Para séries sazonais aplicam-se dois modelos: Adiivo: Z = μ ( ) + ρ + ε Muliplicaivo: Z = μ ). ρ. ε ( ou + ε ) (

5 32 Os esimadores são calculados seqüencialmene seguindo a mesma idéia de amorecimeno exponencial inroduzida aneriormene. A diferença é que agora, as expressões de aualização dos parâmeros assumem a exisência de duas consanes de amorecimeno α e γ que aualizam, respecivamene, o parâmero α e os faores sazonais ρ. O caso em que o nível médio segue um modelo linear é conhecido como Méodo de Winers ou Hol & Winers, sendo basane uilizado na práica por sua simplicidade e facilidade de implemenação compuacional. 3.4 Modelos Box & Jenkins Tendo como base a eoria geral de sisemas lineares, esa meodologia supõe que uma série emporal é o resulado da passagem de um processo aleaório (ruído branco) por um filro ou sisema linear [25] e [3, págs ]. A figura 7 ilusra ese processo: Figura 7 Geração de uma série emporal Modelos Auo-Regressivos (AR) O modelo Auo-Regressivo (AR) de ordem p é descrio pela seguine equação: Z = μ + φ 1 Z φ 2 Z φ p Z - p + ε onde μ é uma consane, os ermos φ i são coeficienes reais do modelo auo-regressivo e ε é um ruído branco conforme definido aneriormene.

6 33 Definindo-se o operador de reardo B, al que: B k Z = Z - k o modelo pode ser reescrio da seguine maneira: (1 - φ 1 B + φ 2 B φ p B p ) Z = μ + ε O polinômio Φ (B) = (1 - φ 1 B + φ 2 B φ p B p ) é chamado de operador auo-regressivo e o modelo pode ser resumido, assumindo a forma: Φ (B) Z = μ + ε Modelos Médias-Móveis (MA) O modelo Médias-Móveis (MA) de ordem q é descrio pela seguine equação: Z = μ + ε - θ 1 ε θ 2 ε θ q ε - q onde μ é uma consane e os ermos θ i são coeficienes reais do modelo de médiasmóveis. O operador médias-móveis de ordem q é definido por: Θ(B) = 1 - θ 1 B - θ 2 B θ q B q Assim a equação do modelo pode ser reescria da seguine forma: Z = μ + Θ(B) ε

7 Modelos ARMA Os modelos ARMA possuem ermos AR e MA simulaneamene. A equação que define um modelo ARMA(p,q) é: Z = μ + φ 1 Z -1 + φ 2 Z φ p Z -p + ε - θ 1 ε -1 - θ 2 ε θ q ε -q ou de maneira reduzida: Φ (B) Z = μ + Θ(B) ε Modelos SARIMA Os processos enconrados na práica, além de raramene serem esacionários [25, págs ], ou seja, se aleram no empo, apresenam muias vezes componenes sazonais. Assim, Box & Jenkins formularam seus modelos para séries emporais com componenes sazonais dando origem aos modelos SARIMA. Nesse caso, o modelo segue a equação: φ ( Θ S D d S B ) Φ( B ) S Z = θ ( B) ( B ) a onde: φ(b): operador não sazonal auo-regressivo φ i : parâmeros auo-regressivo não-sazonais d = (1-B) d : operador diferença não sazonal de ordem d Φ(B s ): operador sazonal auo-regressivo Φi: parâmeros auo-regressivo sazonais D S = (1-B s ) D : operador diferença sazonal de ordem D θ(b): operador não sazonal de médias móveis

8 35 θ i : parâmeros de médias móveis não sazonais Θ(B s ): operador sazonal de médias móveis Θ i : parâmeros de médias móveis sazonais Um modelo com esa esruura é denominado: SARIMA (p, d, q)x(p, D, Q). 3.5 Modelos de Regressão Dinâmica Os modelos de regressão dinâmica combinam a dinâmica de séries emporais e o efeio de variáveis explicaivas. O ermo regressão dinâmica não indica que os parâmeros do modelo evoluem no empo. Ao invés disso, a palavra dinâmica significa aqui um modelo de regressão no qual se inclui a esruura de dependência de uma série emporal. Modelos de regressão dinâmica devem ser usados quando exise uma esruura de dependência enre a variável de ineresse e possíveis variáveis causais, e, ao mesmo empo, quando a esruura de correlação da série dependene indicar que não se pode supor a independência dos erros. A esimação de parâmeros num modelo de regressão dinâmica é feia aravés de mínimos quadrados ordinários, a exemplo de modelos de regressão usuais. Nos modelos de regressão dinâmica, a variável dependene é explicada por seus valores defasados e pelos valores auais e passados de variáveis causais ou exógenas. Enreano, a esimação nese ipo de modelo envolve um procedimeno ineraivo com vários eságios Esruura dos Modelos Os modelos de regressão dinâmica podem ser descrios pela equação: Caso dos modelos de espaço de esados que uilizam o Filro de Kalman [X]

9 36 ϕ(b)y = βx + ε onde: y, variável dependene (endógena) no insane ; β, veor de coeficienes das variáveis causais, que vai ser esimado por mínimos quadrados; x, veor de variáveis causais (exógenas) no insane ; ε, ruído aleaório associado ao modelo, onde supõe-se que os ε são independenes e idenicamene disribuídos com densidade N(0,σ 2 ); ϕ(b), polinômio auo-regressivo de ordem p, iso é: ϕ(b) = 1 - ϕ 1 B - ϕ 2 B ϕ p B p,, sendo B o operador de reardo. A esruura do modelo de regressão dinâmica permie considerar como elemenos de x variáveis causais e ambém suas defasagens. A presença do polinômio ϕ(b) no modelo raz uma grande flexibilidade desa classe de modelos, mas, ao mesmo empo, dificula a procura por um modelo adequado. Observa-se que, se ϕ(b) = 1, não exisem defasagens da variável dependene, e a inerpreação do modelo é muio simples, pois as variáveis causais influenciam direamene a variável endógena. Ao conrário, quando ϕ(b) 1, o modelo pode ser usado para represenar relações basane complicadas. O modelo de regressão dinâmica pode ser considerado um caso paricular do que é conhecido na lieraura como modelos de Cochrane e Orcu generalizados. Maiores dealhes do modelo e do procedimeno de esimação podem ser enconrados em [1] Esraégia de modelagem Aqui será apresenada a esraégia de modelagem de forma bem resumida, e maiores dealhes podem ser obidos nas referências [1] e [34, capíulo 4]. A esraégia usualmene empregada para consruir um modelo de regressão dinâmica considera, inicialmene, um modelo simples para depois melhorá-lo e incluir novas variáveis aé enconrar um modelo apropriado. A elaboração de um modelo de

10 37 regressão dinâmica é muias vezes um procedimeno difícil, pois é preciso não apenas escolher as variáveis a serem incluídas no modelo, mas ambém as defasagens desas variáveis. Na definição do modelo adequado, é necessário levar em cona não só a significância dos parâmeros, mas ambém cera esruura lógica do modelo. Em sínese, na escolha de um modelo de regressão, não é necessário apenas enconrar um ajuse de parâmeros adequado, mas fundamenalmene verificar se os coeficienes esimados são coerenes. A figura 8 apresena o fluxo para consrução do modelo. Modelo Inicial M(1) Modelo Correne M(n) Parâmeros são Significanes? sim Diagnósicos OK? sim Modelo Selecionado não não Reduzir Modelo Selecionar Modelo Figura 8 Fluxograma sobre a Consrução de um Modelo de Regressão Dinâmica As previsões geradas por um modelo de regressão dinâmica dependem não só de valores passados da série, mas ambém dos valores previsos para as variáveis causais. Logo, para se ober as previsões da série y para T+1, T+2, T+3, ec, é necessário fornecer ao modelo os valores fuuros do veor de variáveis causais x. Se as previsões desas variáveis exógenas não forem apropriadas, o modelo de regressão dinâmica irá ambém gerar previsões inadequadas. Nos modelos de regressão dinâmica, podem ser usadas variáveis de inervenção com o objeivo considerar siuações aípicas, como, por exemplo, para o caso do preço

11 38 spo de energia elérica no Brasil, o racionameno ocorrido de Julho de 2001 a Janeiro de Os modelos de regressão dinâmica incorporam direamene a sazonalidade da série ao modelo, ao invés de supor que a série será previamene dessazonalizada. Para isso, exisem duas maneiras de raar a sazonalidade: via variáveis de inervenção sazonais ou direamene, aravés de defasagens na variável dependene ou nos erros esruurados. 3.6 Rede Neural Uma Rede Neural Arificial (RNA) é um sisema compuacional baseado no funcionameno do cérebro humano. A RNA é, na verdade, um modelo maemáico, inspirado em uma simplificação do sisema neural biológico, com capacidade de aprendizado, generalização, associação e absração. Figura 9 Represenação de um Neurônio Biológico O neurônio biológico represenado na figura 9 é uma célula que, esimulada por uma ou mais enradas, gera uma saída que é enviada a ouros neurônios. Esa saída depende da força de cada uma das enradas e da magniude da conexão associada a cada enrada (sinapse). Uma sinapse pode exciar um neurônio, aumenando sua saída, ou inibi-lo, diminuindo sua saída.

12 39 A RNA é formada por elemenos processadores (neurônios arificiais) alamene inerconecados. O neurônio arificial, como se pode observar na figura 10, é uma represenação maemáica simplificada do neurônio biológico. Figura 10 Represenação de um Neurônio Arificial Ese neurônio arificial é composo por dois módulos de processameno. O primeiro módulo, denominado regra de propagação, execua uma soma ponderada das enradas X i muliplicadas pelos pesos sinápicos associados a cada enrada, W i. O segundo módulo de processameno, denominado função de aivação, aplica uma função F ao resulado da regra de propagação. A poencialidade das redes neurais deriva jusamene da escolha desa função F. Normalmene, são escolhidas funções não-lineares, o que ransforma as redes neurais em um sisema compuacional não-linear, capaz de represenar problemas mais complexos. O resulado da função de aivação é a saída do neurônio arificial. Das funções de aivação possíveis, a mais uilizada é a função sigmóide, cujo gráfico em a forma de um s. Esa função é definida como uma função esriamene crescene que exibe um balanceameno adequado enre o comporameno linear e nãolinear. Um exemplo de função sigmóide é função logísica, definida por: ϕ 1 1+ e ( v) = ( av) O parâmero de inclinação da função sigmóide acima é o a. Variando-se ese parâmero obêm-se funções sigmóides com diferenes inclinações, conforme ilusrado na figura 11. Na verdade, sua inclinação na origem é igual a/4. A função sigmóide assume um inervalo conínuo de valores enre 0 e 1, e é diferenciável [10, cap. 4].

13 40 1,2 1,0 0,8 ϕ(v) 0,6 0,4 Aumenando a 0,2 0, v Figura 11 Gráfico da Função de Aivação Sigmoidal Oura função de aivação uilizada é a angene hiperbólica, cuja forma é similar à função sigmóide. Porém, a angene hiperbólica fornece como resulados ano valores posiivos como valores negaivos. Esa função é definida da seguine forma: e ϕ ( v) = anh( v) = e v v e + e v v O fao de se permiir que a função ipo sigmóide assuma valores negaivos como descrio pela equação acima raz benefícios analíicos, o que pode ser observado em [10, cap. 4]. A arquieura ou opologia da rede neural é organizada em camadas, como pode ser viso na figura 12. Normalmene, elas são composas por uma camada de enrada, uma camada de saída e uma ou mais camadas escondidas. A escolha do número de camadas escondidas e da quanidade de elemenos processadores na camada escondida é dependene do ipo de problema ao qual vai se aplicar a rede neural.

14 41 Figura 12 Arquieura de uma Rede Neural Arificial Ao se apresenar um conjuno de padrões à enrada de uma rede neural, a informação segue aravés das camadas aé a saída, onde é gerada uma resposa. Normalmene a informação passa somene em um senido ( forward ), no enano exisem redes onde a informação de saída é realimenada para a enrada, formando as redes dinâmicas. As redes neurais êm enre suas caracerísicas a capacidade de aprendizado e generalização. Assim como o ser humano, uma rede neural possui a capacidade de aprender aravés de exemplos, sendo ese processo denominado reinameno da rede. Uma vez reinada, a rede é capaz de generalizar, ou seja, de responder de maneira adequada a enradas semelhanes, mas não necessariamene idênicas, àquelas com as quais foi reinada. Uma rede neural pode ser reinada de maneira que se faça um mapeameno enre um conjuno de veores de enrada e um conjuno de veores de saída. Durane o reinameno, os pesos sinápicos são aualizados de modo que a rede possa convergir para uma siuação onde cada veor de enrada produza na saída o veor desejado. Dois modos de reinameno são uilizados para as redes neurais: supervisionado e nãosupervisionado. O reinameno supervisionado exige a apresenação de um conjuno de reinameno formado pelos veores de enrada e pelos veores de saída desejados. No reinameno não-supervisionado não exise o veor de saída desejado, o algorimo de reinameno modifica os pesos da rede procurando formar classes composas por veores de enrada semelhanes.

15 Maiores dealhes sobre redes neurais pode ser consulado nas seguines referências: [10], [21] e [22] Lógica Nebulosa A lógica é a ciência que em por objeivo esudar as leis do raciocínio. A Lógica nebulosa (ou fuzzy, em inglês) é a ciência que se preocupa com os princípios formais do raciocínio aproximado, procurando modelar o modo impreciso do raciocínio humano, e permiindo o desenvolvimeno de sisemas que imiem a habilidade do homem em omar decisões em um ambiene de incerezas e imprecisões. Dese modo, a lógica nebulosa é uma ferramena capaz de capurar informações imprecisas, em linguagem naural, e converê-las em uma forma numérica. Lógica nebulosa raa, porano, das formas de imprecisão que é uma necessidade quando a informação disponível é muio imprecisa para jusificar o uso de números, e quando há uma olerância por imprecisão que pode ser explorada para alcançar raabilidade, robusez, solução de baixo cuso, e concordância melhor com a realidade [33]. A figura 13 mosra o diagrama de um sisema nebuloso, que é composo por quaro módulos: 1. Fuzzificador - ese módulo mapeia valores numéricos em conjunos nebulosos. Sua função é aivar as regras que esão relacionadas às variáveis lingüísicas, as quais possuem conjunos nebulosos associados; 2. Banco de Regras - é formado por um grupo de regras do ipo SE - ENTÃO, que podem ser criadas a parir do conhecimeno de especialisas ou exraídas dos dados numéricos; 3. Módulo de inferência - mapeia conjunos nebulosos de enrada em um conjuno nebuloso de saída. Ele deermina como as regras são aivadas e combinadas para gerar a saída nebulosa; 4. Defuzificador - faz o mapeameno do conjuno nebuloso de saída em um valor numérico preciso.

16 43 Fornecidas por especialisas ou exraídas dos dados. Aiva Regras Regras Fornece as Saídas Precisas X Fuzzificador Defuzzificador y Enradas Precisas Saída Precisa Conjuno Nebuloso de Enrada Inferência Conjuno Nebuloso de Saída Mapeia conjunos nebulosos em conjunos nebulosos. Deermina como as regras são combinadas e aivadas. Figura 13 Diagrama de um Sisema Nebuloso Os sisemas nebulosos rabalham com a eoria dos conjunos nebulosos [33] e [32], onde um elemeno x de um universo de discurso U perence a um conjuno nebuloso com um grau de perinência no inervalo [0,1]. Por exemplo, o universo de discurso U de uma variável alura pode esar no inervalo [1,00 2,50]m. Nese universo U, podem esar represenados dois conjunos nebulosos, o baixo e o alo. Conforme pode ser viso na figura 14, em-se que um indivíduo x, com 1,60 m de alura, perence ao conjuno dos alos com grau de perinência, μ(x) = 0,6 e perence ambém ao conjuno dos baixos com μ(x) = 0,8. Figura 14 Exemplo de Conjuno Nebuloso A figura 14 apresenou como conjunos nebulosos são capazes de aribuir a cada elemeno no universo um valor que represena o seu grau de perinência em cada conjuno. Iso é a pone que liga o conceio impreciso à sua modelagem numérica. Dessa

17 forma, em-se que o conjuno A de elemenos no universo de discurso U pode ser definido aravés da lisa de TODOS os seus membros com a respeciva perinência. 44 U = conjuno dos valores possíveis para a variável x A = [x, μ(x)] As regras de um sisema nebuloso, definidas aravés da implicação SE-ENTÃO, envolvem variáveis lingüísicas, às quais são aribuídos conjunos nebulosos. As diversas variáveis lingüísicas de uma regra são agregadas uilizando conecores lógicos (E\OU). Um exemplo de regra pode ser: Implicação Conecores Lógicos Se u1 é quene E u2 é muio baixo Enão v gira um pouco para direia Variáveis Lingüísicas Anecedene Conseqüene Figura 15 Esruura de Composição das Regras de Inferência Várias regras podem ser aivadas ao mesmo empo, e o módulo de inferência é responsável pela combinação desas regras para compor uma saída nebulosa como resposa às enradas. A saída do módulo de inferência é, porano, um conjuno nebuloso. Enreano, quando o objeivo do sisema é fornecer uma saída precisa, faz-se necessário o uso do defuzificador, que aravés de écnicas como, por exemplo, cálculo do cenróide, deermina o valor preciso resulane do conjuno nebuloso de saída. Para maiores dealhes sobre os conjunos nebulosos, os operadores uilizados, como e quando aplicar a lógica nebulosa vide às referências [33], [32] e [30].