Processos de Markov. Processos de Markov com tempo discreto Processos de Markov com tempo contínuo. com tempo discreto. com tempo contínuo

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1 Processos de Markov Processos sem memória : probabilidade de X assumir um valor fuuro depende apenas do esado aual (desconsidera esados passados). P(X n =x n X =x,x 2 =x 2,...,X n- =x n- ) = P(X n =x n X n- =x n- ) para n = 0,, 2,... Seja X um processo de Markov, i e j esados, e empos: p ij = P[X ( + ) = j X () = i] 0 e 0 Se p ij independe do empo enão o processo de Markov é dio ESTACIONÁRIO ou homogêneo.

2 Processos de Markov Parâmeros Esados Discreos Conínuos Discreos Cadeias de Markov com empo discreo Cadeias de Markov com empo conínuo Conínuos Processos de Markov com empo discreo Processos de Markov com empo conínuo 2

3 Cadeias de Markov a empo discreo Esados discreos, parâmeros discreos. Probabilidade de esado p i [n] = P(X = a i ) i=,2,... Probabilidades de ransição: p ij [n,n 2 ] = P(X n2 = a j X n = a i ) j p ij n,n p k p k,n p [n] p ii 2 i p il i p ij j n 2 n p ik k i l ij j 3

4 Mariz de ransição O conjuno P(X n2 X n ) para n =, 2,... consiui as probabilidades de ransição de um passo. Mariz N+ por N+ de elemenos p ij que saisfaz: p ij 0 ij = 0,, 2,..., N p ij = para j=,...,n e i. P p ij p p... p 00 0 N0 p p p 0... N p p p 0N N... NN Se p ij independenes do empo: processo HOMOGÊNEO. 4

5 Cadeias de Markov a empo conínuo Esados discreos, parâmeros conínuos. Probabilidade de esado p i [] = P(X () = a i ) i=,2,... Probabilidades de ransição: p ij [, 2 ] = P(X ( 2 )= a j X ( )= a i ) j, p p, p [ ] pij 2 i ij 2 j 2 i 5

6 Processos de Nascimeno e More Modelam as alerações em uma população : caso paricular de cadeias de Markov a empo conínuo. Esado do processo no insane (X ) represena o amanho da população no insane. Filas e sisemas de elecomunicações. Assume-se que nascimenos e/ou mores múliplos ocorrem ao mesmo empo com probabilidade zero. As ransições ocorrem apenas enre esados vizinhos. 6

7 Processos de Nascimeno e More nascimeno nascimeno K - K K + more more 7

8 Processos de Nascimeno e More Taxas de nascimeno λ i para i = 0,..., Taxas de more μ i para i = 0,..., Processo de nascimeno puro: μ i = 0 para i 0 Divisão de bacérias Processo de more puro: λ i = 0 para i 0 8

9 Processo de Poisson Processo de nascimeno puro pois a axa de nascimeno é consane:. P k () = [() k e - ]/k! Para k 0 e 0. Probabilidade de haver k nascimenos no inervalo (0,). Número médio de nascimenos no inervalo (0,) =. Processo de Parâmeros Conínuos e Esados Discreos. 9

10 Processo de Poisson Eveno: nenhuma chegada nos primeiros minuos P ( ) e 0! 0 0() e Equivalene à primeira chegada após o empo. Seja uma variável aleaória que represene o empo de 0 aé a ª chegada: P(T > ) = e - P(T ) = - e - = F(T) f(t) = F(T)/ = e - T em disribuição exponencial: E(T)=/ V(T)=/ 2 0

11 Modelagem de falhas Confiabilidade de sisemas Necessário modelar o comporameno do sisema, idenificando os seus esados. Imporância do esado fora de operação, que é causado por uma falha. Ober alguma medida da frequência com que o sisema falha: Taxa de falha (ransição, risco Hazard Rae) Considerar a possibilidade de reparo.

12 Taxa de falha em um momeno Z() f () F() f () R() Prob.de falha enre e Prob.de sobrevivência de 0 a Z(): axa de falha no momeno f(): função densidade de probabilidades de falha F(): função disribuição acumulada de falha. R(): confiabilidade do sisema Raciocínio análogo para a axa de reparo (). 2

13 Dados para os modelos de falha Teses de empo de vida. Dados operacionais do sisema (campo). Em = 0, N componenes são colocados em operação, e no empo exisem apenas n() sobrevivenes Deduzir as expressões da função densidade de falha e da axa de falha propriamene dia. 3

14 Principais modelos de falha ) Taxa de falha crescene: úil no período de envelhecimeno dos componenes. Z() = K K K e f() f () Ke K 2 2 e R() R() e 2 K 2 K K 4

15 Principais modelos de falha 2) Taxa de falha linearmene decrescene: úil quando as falhas vão diminuindo ao longo do empo (fase inicial de vida do equipameno). K0 K Z() 0 K( 0) 0 K K 0 / K 0 0 / K 0 K 0 Z() K 0 /K 5

16 Principais modelos de falha 3) Curva usual para risco de falha: curva da banheira Z() Vida úil Queima Envelhecimeno 6

17 Principais modelos de falha 4) Taxa de falha consane: Z() =. f() = e - R() = e - = F() Disribuição independe do passado : vida resane não depende de quano empo o componene esá em funcionameno Z() e f() e F() e R() 7

18 Tempo Médio Para Falha Caracerização do modelo de falha por um único parâmero. Do ese de vida feio em uma população de N elemenos com n empos de falhas, 2,..., n : TMPF i Usando um modelo de risco: N i 0 TMPF E() TMPF E() f()d Para a exponencial: R(0) =, R( ) = 0. R() TMPF 0 R() d 0 0 R()d 8

19 Tempo Médio Enre Falha Somene em senido se houver renovação: reparo ou roca do componene falhado. TMPR TMPR 2 3 TMPF TMPF TMPF TMEF = TMPF + TMPR = axa de falha = axa de reparo Exponencial: TMPF=/ 9

20 Exemplo Seja z uma axa de ransição qualquer: se falha =, se reparo =, se é uma ransição do esado para o 2 = 2. TMPF = /, TMPR = / 2 5 Esado Esado 2 TMPF / T = n i i no. falhas 3 2 P empooperação 8 = 8/ 20