Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo

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1 Teoria dos ircuios e Fundamenos de Elecrónica Análise de ircuios Dinâmicos no Domínio do Tempo Teresa Mendes de Almeida DEE Área ienífica de Elecrónica T.M.Almeida IST-DEE- AElecrónica Maéria Sinais e medidas no domínio do empo sinais A e D - noação valor médio e valor eficaz Tipos de circuios elécricos lineares Resisivo e Dinâmico ondensador caracerísicas associação em série e em paralelo Bobine caracerísicas associação em série e em paralelo ransformador Exemplos de aplicação Resposa no empo de circuios R e R análise de ransiórios em circuios de ª ordem solução da equação diferencial de ª ordem méodo de cálculo do ransiório circuios R circuios R propriedades da solução geral da equação diferencial função escalão aplicação em circuios Exemplos de aplicação

2 oação para Sinais no Domínio do Tempo 3 D componene consane (não varia com o empo) grandeza maiúscula índice maiúscula A componene variável no empo grandeza minúscula índice minúscula D+A componenes fixa e variável no empo VA grandeza minúscula índice maiúscula = + vi VI vin = + iout IOUT iou D A D+A v ( ) = +,5sin ( π 8 ) V = V vb ( ) = sin ( π 5 ) V = =,5sin ( π 8 ) c D D A A V V v V Medidas no Domínio do Tempo 4 Valor Médio e Valor Eficaz X Medio A T T + T Medição experimenal com Volímero modo D valor médio modo A valor eficaz = x( ) d ef rms T cos( ω θ ) ω = π f f = T Visualização das formas de onda no osciloscópio + T X = X = x d T x = A + X = modo A apenas se visualiza componene variável (A) do sinal modo D visualiza-se componene D e A do sinal uilizar habiualmene modo D X med ef A =,77A

3 Tipos de ircuios Elécricos 5 ircuio Resisivo inear consiuído por elemenos resisivos componenes resisivos resisência, fone de ensão, fone de correne relação v()-i() descria por equação algébrica linear descrio por conjuno de equações algébricas lineares odos os circuios que foram considerados e esudados em TFE aé agora são do ipo resisivo linear ircuio Dinâmico inear coném elemenos que podem armazenar energia absorvem energia do circuio, armazenam-na emporariamene, mais arde podem devolver essa energia ao circuio componenes dinâmicos condensador e bobine relação v()-i() descria por equação diferencial descrio por um conjuno de equações diferenciais lineares geralmene ambém coném componenes resisivos condensador R = v R i dv R i = d ( ) ondensador 6 onsiuição placas de maerial conduor (armaduras) separadas por maerial isolane o dielécrico p. ex.: ar, silício, papel impregnado, cerâmico, mica,... apacidade () depende de parâmeros definidos no processo de fabrico geomeria e dielécrico uilizado medida experimenalmene para um condensador plano pode calcular-se eoricamene A área de cada armadura A d disância enre armaduras = ε ε consane dielécrica (permiividade) do dielécrico d ( ε = ε r ε vazio: ε =8,85E- F/m ar(puro, seco): ε r ) é a medida da quanidade de carga (Q) armazenada em cada armadura para uma dada diferença de poencial (V) enre as armaduras Q [ ] [ oulomb] = Q = V [ F ] = [ Farad ] = V V Vol [ ] =F é uma capacidade muio elevada (F = / V) capacidades são geralmene de valor baixo expressas em microfarad (µf), nanofarad (nf), picofarad (pf) [ ] qe =, 6 9

4 ondensador 7 arregar um condensador impor uma diferença de poencial v() enre as armaduras por inermédio de uma fone de energia elécrica carga armazenada no condensador é q() a carga é direcamene proporcional à ensão surge campo elécrico no dielécrico enre as armaduras energia elécrica armazenada nessa região do espaço devido à exisência do campo elécrico condensador armazena energia elécrica quando esá a ser carregado energia elécrica é ransferida da fone para o condensador Descarregar um condensador condensador libera para o circuio a energia elécrica que esava armazenada ondensador componene com capacidade de armazenar energia elécrica ideal maneria indefinidamene essa energia q( ) = v( ) real em perdas vai muio lenamene perdendo a energia armazenada V e - e - +Q E -Q ondensador 8 Relação enre v () e i () correne elécrica i dq ( ) carga armazenada no condensador a correne é direcamene proporcional à axa de variação da ensão D ensão consane correne nula = d q( ) = v( ) em D condensador compora-se como um circuio abero condensador bloqueia componene conínua v () não pode variar insananeamene (er desconinuidades) ober-se-ía correne infinia! energia elécrica armazenada (associada ao campo elécrico exisene) não pode ser desconínua! v () num insane x qualquer + v = v = v dv i = d x x x ( ) x

5 ondensador 9 ondição inicial = = + = + v i x dx i x dx i x dx v i x dx ao analisar o funcionameno do circuio é preciso conhecer (ou assumir) uma condição inicial para a ensão(carga) no condensador Energia armazenada no condensador = p v i ( x) dv w = p x dx = v x dx = v v dx em cada insane, a energia no condensador apenas depende da ensão aos seus erminais nesse insane v ( ) = w ( ) = v ( ) [ J ] [ Joule] dv i = d ( ) Exemplo de aplicação Deerminar i () e w (6ms) de um condensador com =5µF a parir do gráfico da ensão v ( ), 3 4, 6ms = 3 96, 6ms 8ms, 8ms dv i = d ( ) i ( ), < ma, < < 6ms = 6 ma, 6ms < < 8ms, 8ms < w ms v ms w 6ms =, 44 mj 6 ( 6 ) = ( 6 ) = 5 ( 4)

6 Associação de ondensadores ondensadores em série KV v( ) = v ( ) + v ( ) + v ( ) v = i x dx k =,,, k k = v i x dx condensadores em série ondensadores em paralelo K i ( ) = i ( ) + i ( ) + i ( ) dv dv dv i ( ) = d d d dv( ) i ( ) = ( ) d = S = + = < S S S, + = P Exemplos de aplicação Deerminar a correne/ensão no condensador =4µF =5µF T =? =µf =µf =µf q()= =5µF q()= T =µf =? T =? =5µF

7 Bobine 3 onsiuição fio conduor enrolado em forma de espiral núcleo de maerial não magnéico ar magnéico ferro, ferrie (concenram linhas de fluxo) onduor onde passa correne - cria um campo magnéico campo magnéico e correne esão relacionados de forma linear coeficiene de auo-indução (induância) v φ = i é a consane de proporcionalidade λ fluxo de ligação magnéica φ fluxo magnéico n. espiras da bobine variação na correne que aravessa a bobine dλ = d induz aos seus erminais uma ensão é a consane de proporcionalidade λ = φ λ = i [H] [Henry] Bobine 4 Relação enre v () e i () a ensão é direcamene proporcional à axa de variação da correne v dλ d = λ = i D correne consane ensão nula em D bobine compora-se como um curo-circuio bobine deixa passar componene conínua i () não pode variar insananeamene (er desconinuidades) ober-se-ía ensão infinia! energia armazenada (associada ao campo magnéico exisene) não pode ser desconínua! num insane x qualquer di v = d ( ) + = = i i i x x x i () x

8 Bobine ondição inicial di v = d 5 ( ) = + = + i v x dx v x dx v x dx i v x dx ao analisar o funcionameno do circuio é preciso conhecer (ou assumir) uma condição inicial para a correne na bobine Energia armazenada na bobine = p v i ( x) di w ( ) = p ( x) dx = i x dx = i i dx i ( ) = w ( ) = i ( ) [ J ] [ Joule] em cada insane, a energia na bobine apenas depende da correne aos seus erminais nesse insane Exemplo de aplicação 6 Deerminar v (), w (ms) e w (4ms) de uma bobine com =mh a parir do gráfico da correne,, ms i = A 3 4, ms 4ms, 4ms [ ] di v = d ( ), <, < < ms v = mv, ms < < 4ms, 4ms < [ ] 3 3 w ( ms) = ( )( ) = µ J w 4ms = J

9 Exemplo de aplicação 7 alcular energia oal armazenada no circuio circuio só em fones D admiindo que foram ligadas há muio empo odas grandezas consanes condensadores circuio abero bobines curo-circuio D analisar circuio resisivo resulane (K nó A, KV malha exerior) I + 3 = I I =, A 9 + 6I + ( 3 + 6) I = I =,8 A V = 6I =,8 V V = 6I + 9 = 6, V W =, 6 mj W =,9 mj W =,44 mj W = 6,48 mj W = W + W + W + W = 3,46 mj T Associação de Bobines 8 Bobines em série v( ) = v ( ) + v ( ) + v ( ) KV Bobines em paralelo K i ( ) = i ( ) + i ( ) + i ( ) bobines em paralelo di di di v ( ) = d d d di ( ) v ( ) = ( ) d ik ( ) = v( x) dx k =,,, k = i v x dx = S = P = + = < P P P, +

10 Exemplos de aplicação 9 Deerminar a ensão/correne na bobine =mh =5mH =4mH =4mH =H AB =? =4mH v()=v, < =4mH v()=v, < T =mh =? Exemplos de aplicação Se energia oal armazenada no circuio é 8mJ, quano vale? alcular sabendo que energia armazenada no condensador é igual à energia armazenada na bobine alcular a poência dissipada na R=3Ω e a energia armazenada no condensador

11 Transformador onsiuição bobines adjacenes primário e secundário exise ligação magnéica φ não exise ligação elécrica isolameno elécrico Transformador ideal resisência dos fios é desprezada fluxo φ no núcleo liga odas as espiras das bobines v = d dφ dφ v = d Hdl = i + i = i i v v = = Transformador íveis de Tensão, orrene e Resisência são aleradas v = v i = ível de Poência não se alera i + i = v i + v i = v i + v i = i v = R = = i v v i i Análise de circuios com ransformadores ideais reflecir grandezas do primário/secundário no secundário/primário usando as relações do quociene do número de espiras necessário er aenção à marcação polaridade das ensões senido das correnes senido acoplameno magnéico p = p R = R

12 Análise de Transiórios em ircuios 3 ircuios de ª ordem conêm apenas um elemeno armazenador de energia circuios R circuios R descrios por equação diferencial de ª ordem Análise do circuio comporameno do circuio quando exisem alerações no circuio inerrupor abre/fecha fone ligada/desligada ou com valor alerado num insane de empo ensões e correnes vão-se alerar ransioriamene análise do circuio permie deerminar qual a forma dos ransiórios ao fim de algum empo ensões e correnes ficam com valores consanes regime esacionário dv i = d ( ) E D D E D Solução da eq. diferencial de ª ordem 4 Solução da eq. diferencial de ª ordem genérica x p () solução paricular (forçada) é uma solução da eq. diferencial genérica depende da função f() x c () solução complemenar (naural) é uma solução da eq. homogénea só depende da opologia do circuio solução oal da eq. diferencial de parida dx d dx d f ( ) + ax = + ax = = + x x x p c Para uma função consane f()=a dx p + a xp ( ) = A xp ( ) = K A = d a dx c d ( ) c c + a x = x = K e a τ = a / = + x K K e τ ( ) x + = K x = K + K

13 Análise de Transiório em circuio R 5 omo varia a ensão no condensador? Anes do inerrupor fechar em = regime esacionário grandezas consanes fone já esava ligada há muio empo condensador esava descarregado ogo após o inerrupor fechar =+ ensão no condensador não pode variar insananeamene Deixando passar muio empo =+ regime esacionário grandezas consanes condensador compora-se como circuio abero Durane o ransiório K v v = + v = v = v = + = V a=/ τ A VS v ( ) dv ( ) dv ( ) = + v ( ) = VS R d d R S Análise de Transiório em circuio R (con.) 6 Assumir a solução da eq. diferencial = + / v K Ke τ Deerminar as consanes (K, K, τ) a parir do circuio v = v = K + K K + K = A solução é: v + = V v + = K K = V S S τ = R v VS VSe VS e R R = = e x e -x -e -x -e -x

14 Méodo de cálculo de Transiório em R 7 Assumir que a solução para a ensão no condensador é v = K + K e τ insane em que ocorre aleração no circuio (inerrupor abre/fecha) alcular consane K =+ regime esacionário (grandezas consanes) fazer análise do circuio e deerminar v (+ ) v ( + ) = K alcular consane K = regime esacionário (grandezas consanes) fazer análise do circuio e deerminar v ( ) coninuidade na ensão no condensador calcular K alcular consane de empo τ + ( ) = ( ) = ( ) v v v calcular R Th resisência equivalene de Thévenin visa pelo condensador calcular τ τ = RTh v = K + K Exemplo de aplicação 8 alcular i() admiindo que inerrupor esá em há muio empo e muda para em = relacionar i() com v () i = v ( ) R deerminar v = K + K e τ = calcular K =+ regime esacionário calcular K = - v ( + ) = = K regime esacionário 3k v ( ) = 4V 3k + 6k = v + = v = 4V = K + K K = 4V + v (+ ) -

15 Exemplo de aplicação (coninuação) 9 alcular i() admiindo que inerrupor esá em há muio empo e muda para em = calcular τ inerrupor em R Th visa pelo condensador R = R // R = kω Th τ = R =, s ober v () 4, v = V, 4 e, ober i() Th [ ] 4 3, [ ma] i = 4, e 3, R Th Méodo de cálculo de Transiório em R 3 Assumir que a solução para a correne na bobine é i = K + K e τ insane em que ocorre aleração no circuio (inerrupor abre/fecha) alcular consane K =+ regime esacionário (grandezas consanes) fazer análise do circuio e deerminar i (+ ) i ( + ) = K alcular consane K = regime esacionário (grandezas consanes) fazer análise do circuio e deerminar i ( ) coninuidade na correne na bobine calcular K alcular consane de empo τ + ( ) = ( ) = ( ) i i i i = K + K calcular R Th resisência equivalene de Thévenin visa pela bobine τ = calcular τ R Th

16 Propriedades da solução x()=k +K e -(-)/τ 3 onsane de empo τ indica rapidez da variação da curva τ menor mais rápida τ maior mais lena K K + K τ τ τ > τ Ao fim de uma consane de empo = τ variação de 63,% ( e ) % = 63, % Ao fim de 5 consanes de empo = 5 τ variação de 99,3% ( e 5 ) % = 99,3% % considera-se que foi aingido valor final K K + K +τ τ 63,% 5τ +5τ % Função escalão 3 Função escalão (uniário) permie a descrição maemáica de mudança brusca u, < =, >, u ( ) =, < > igar fone de ensão em = + v() - + v() - igar Fone de correne i() i() em =

17 Função escalão 33 Descrição maemáica de impulso <<T, < v( ) = A, < < T, T < Subraindo escalões de alura A v( ) = Au ( ) Au ( T ) Descrição maemáica de impulso << +T insane de início do impulso T largura do impulso { ( )} = ( ) ( + ) v A u u T = 9 (,3) [ ] v u u V Exemplos de aplicação 34 alcular v o () alcular i () alcular i()

18 Exemplos de aplicação 35 alcular v o () - calcular v o () para <<,3s como se não ocorresse a ª ransição em v() - calcular v o () para >,3s como se não ocorresse a ª ransição mas sabendo que v o (=,3s) é o pono de parida alcular v o (), ( 3/ ) vo ( ) = 4( e ), s V ( 3/ )( ) 3, e, s [ ] úmeros complexos 36 PRÓXIMA AUA Vai ser necessário fazer cálculos com números complexos Relembrar cálculo com números complexos represenação no plano complexo forma caresiana e forma polar equação de Euler soma e subracção muliplicação e divisão complexo conjugado...

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