Eletromagnetismo e Ótica (MEAer/LEAN) Equação de Poisson, Corrente Elétrica

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1 letromagnetismo e Ótica (Mer/LN) quação de Poisson, orrente létrica 6ª Semana Probl. 1) ois tubos cilindricos de metal, coaxiais e muito compridos, são ligados a uma bateria de forma que o cilindro interior, de raio a, está ao potencial zero, e o exterior, de raios b e c, está ao potencial V. Usando a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas, determine : a) O potencial ϕ(r) entre os cilindros. b) O campo elétrico nessa região. c) densidade de carga nas superfícies dos cilindros, assumindo que estão separados por ar. d) O que é que mudava nas respostas às alíneas anteriores se se enchesse o espaço entre os cilindros com um dielétrico LHI com constante dielétrica ε r = 4? m coordenadas cilíndricas: 2 f (r, θ, z) = 1 r r r f r + 1 r 2 2 f θ f z 2 Probl. 2) través de uma fina folha de cobre, com 5 cm de comprimento, 1 cm de largura, e 0.05 cm de espessura, passa uma corrente I = 5 (no sentido longitudinal ou do comprimento). Sabendo que o obre tem densidade kg m3, massa molar g, e que cada átomo de obre dá um electrão para a condução de corrente mol eléctrica (a carga do electrão é q e = ), a) Mostre que a corrente se pode obter da expressão I = n q e v d, em que é a área da secção transversal, q e é a carga do electrão, n é o número de electrões de condução por unidade de volume, e v d é a velocidade de deriva dos electrões de condução. b) alcule a velocidade de deriva v d dos electrões dentro da folha. Resposta: R. 2-a) d Q = n q e v d d t I = dq dt R. 2-b) v d = m s = n q e v d Probl. 3) Um condensador plano é constituído por três camadas de igual espessura, de resistividades ρ e1 e ρ e2, distribuídas como indicado na figura entre duas armaduras condutoras de área, separadas duma distância L e mantidas a uma tensão V. etermine, justificando: a) corrente I que atravessa o condensador. b) Os campos elétricos 1 e 2 nos dois tipos de material dielétrico, com permitividades ε 1 e ε 2. c) s densidades de carga verdadeira σ v em cada superfície a, b, c, d das três camadas dielétricas. (ssuma que a condutividade das armaduras é muito grande para poder desprezar o campo elétrico aí) 1º Semestre RS

2 a b c d ρ e1 ρ e2 ρ e1 ε 1 ε 2 ε 1 L V R. 3-a) I = R. 3-b) 1 = 3 V 2 ρ e1 +ρ e2 L 3 ρ e1 V 2 ρ e1 +ρ e2 L n ± ; 2 = 3 ρ e2 V 2 ρ e1 +ρ e2 L n + R. 3-c) σ v (a) = -σ v (d) = - 3 ε 1 V ρ e1 2 ρ e1 +ρ e2 L ; σ v (b) = -σ v (c) = 3 ε 1 ρ e 1 -ε 2 ρ e2 V 2 ρ e1 +ρ e2 L Probl. 4) onsidere um cilindro ôco de comprimento L, raio interior e raio exterior, feito de um material condutor de resistividade ρ e. a) Se se aplicar uma tensão V o entre as extremidades do cilindro de forma que a densidade de corrente seja paralela ao seu eixo, qual deve ser a resistência medida? b) Qual é então a densidade de corrente J (r )? c) Se a mesma tensão for aplicada entre as superfícies interna e externa do cilindro de forma que a densidade de corrente seja radial, qual é a resistência apresentada pelo condutor? d) etermine a densidade de corrente J (r ) nestas condições. R. 4-a) R = ρ e L π 2-2 R. 4-b) J (r) = 1 ρ e V o L e z com r. R. 4-c) R = ρ e 2 π L log R. 4-d) J (r ) = V o ρ e log r e r(θ) Probl. 5) Para uma bateria com força electromotriz e resistência interna r i, qual o valor da resistência externa R, ligada aos terminais desta bateria, que maximiza o valor da potência dissipada nessa resistência externa? (Problemas ) Resposta: R. 5-a) R = r i Probl. 6) Um aquecedor elétrico tem uma potência nominal de 1500 W, uma grelha elétrica 1000 W e uma torradeira 750 W. Se se ligarem simultâneamente os três aparelhos a um mesmo circuito doméstico de 220 V : a) Qual é a corrente que passa em cada aparelho? RS -2-1º Semestre

3 b) Sabendo que o custo da eletricidade é de 0.16 por kwh, quanto gasta por dia se o aquecedor estiver 3 h ligado, a grelha 20 min e a torradeira 5 min? c) Se o circuito estiver protegido por um disjuntor de 15, ele dispara nesta situação? d) Qual é a resistência em cada aparelho? a resistência total no circuito? R. 6-a) m corrente alterna I rms = I max 2 : max = 9.6 ; max = 6.4 ; max = 4.8 R. 6-b) usto 0.78 /dia R. 6-c) Sim. R. 6-d) = 32.2 Ω ; = 48.4 Ω ; = 64.5 Ω; R tot = 14.9 Ω Probl. 7) onsidere o circuito da seguinte figura, em que a resistência entre e tem o valor R = 10 Ω. 2 Ω R 3 Ω 8 Ω 5 V 5 Ω a) etermine a potência dissipada na resistência R. b) Se se ligarem os pontos e com uma resistência R, qual é a potência dissipada em R quando R = 2 Ω ou R = 20 M Ω. c) Se em vez disso se ligarem os pontos e com um condensador de capacidade = 1 μf, qual é a carga máxima acumulada nesse condensador? d) Nas condições da alínea anterior, qual deve ser o valor da resistência R entre e para que a carga no condensador seja nula? R. 7-a) d = 0.496W R. 7-b) d = 0.456W ou d = 0.496W R. 7-c) Q max = 0.283μ R. 7-d) R = 5.3 Ω R. 7-a) resistência entre e é um paralelo de resistências R1 + = 12 Ω e + = 11 Ω, pelo que a resistência equivalente é R eq = = 5.74 Ω. corrente que atravessa o circuito é = R eq + = omo = + e a queda de potencial entre e verifica 12 = 11 obtemos: = = ; = = I 2 1d = 2 = W R. 7-b) figura seguinte mostra uma identificação esquemática do circuito com R = R 5. 1º Semestre RS

4 2 Ω R = 10 Ω R = 3 Ω 8 Ω 5 V 5 Ω Identificação de 3 malhas e 3 nós, juntamente com a respectiva lei de Kirchhoff: = + + = + + 0= + - = -I 5 = +I 5 = + 3 resolução do sistema de equações permite obter a corrente e a potência dissipada 1d = 2. Para R = 2 Ω, 1d = W e para R = 20 M Ω, 1d = W. e facto, para R = 20 M Ω o circuito é práticamente equivalente ao da alínea anterior porque a corrente I vai ser desprezável. Para R = 2 Ω o sistema de equações das malhas pode ser reduzido a três = 5 ( + ) ( - I 5 ) = 5 ( + ) ( + I 5 ) 0 = I 5-8 = = I 5 = ; 1d = 2 = W Note-se o valor negativo de I 5 que indica que I de facto é no sentido. R. 7-c) inserção de um condensador entre e tem como consequência inicial o aparecimento de uma corrente I entre e, corrente que irá carregar as armaduras do condensador com carga Q (t) = V (t), onde V (t) é a tensão entre e em cada instante. ste processo ocorre até que deixe de existir corrente nesse ramo do circuito, o que é equivalente a dizer que o circuito passa a funcionar como o da alínea a) (o condensador funciona como um circuito em aberto). ssim a tensão final entre e será RS -4-1º Semestre

5 V = - = V Q max = R. 7-d) Se V = 0 então a carga no condensador também será nula. No estado final em que não há corrente a passar no condensador 0 = - ( + ) = ( + ) = + ( + ) = + = = = 16 3 Ω Probl. 8) Um condutor cilíndrico de cobre, de raio R e resistividade ρ e, é percorrido por uma corrente elétrica estacionária I de densidade J (r) = (α + β r) e x, onde r é a distância ao seu eixo. onsiderando que o condutor tem uma carga λ por unidade de comprimento e que e a sua permitividade elétrica é ε, determine: a) corrente I que atravessa o condutor. b) O campo elétrico i (r) dentro do condutor. c) O campo elétrico e (r ) na superfície exterior do condutor, assumindo que o meio que o envolve é o ar. R. 8-a) I = π α β R R. 8-b) i (r) = ρ e J (r) = ρ e (α + β r) e x R. 8-c) e (R) = ρ e (α + β R) e x + λ 2 π ε o R n Probl. 9) No circuito da figura, os condensadores de capacidades 1 30 p F e 2 = 60 pf estão inicialmente descarregados, quando se liga o circuito com as resistências = 15 Ω, = 10 Ω e = 5 Ω e as baterias cornecendo uma f.e.m. de V 1 = 25 V com resistência interna desprezável: a) calcule as correntes em todos os ramos do circuito no instante inicial e quando os condensadores estiverem "totalmente" carregados. b) calcule a potência dissipada no circuito no instante inicial. c) calcule a carga máxima atingida pelos condensadores neste circuito. V V 1 R. 9-a) = 1 ; = 6 ; = 5 No instante inicial a linha de condensadores funciona como um curto circuito, sem resistência. esignando por a corrente no ramo superior no sentido da força eletromotriz 1 = V 1, a corrente no ramo dos condensadores da esquerda para a direita e a corrente no ramo inferior no sentido da força eletromotriz 2 = V 1, devemos ter 1º Semestre RS

6 1 = ( + ) = 1 + = 1 2 = = 2 = 5 = + = 6 Quando os condensadores estão completamente carregados, não há corrente no ramo dos condensadores, que funciona como um circuito aberto. Mas então a soma de forças eletromotrizes no circuito exterior é 1-2 = 0 = I( + + ) o que significa que não há corrente, I = 0. R. 9-b) d = u = 150 W potência total dissipada no instante inicial pelas resistências é d = ( + ) = 150 W potência fornecida pelas baterias é u = = 150 W R. 9-c) Q max = 0.5 n Quando os condensadores ficam totalmente carregados deixa de haver corrente nesse ramo, o que significa que a tensão entre a primeira e última armadura (da direita para a esquerda) da série de condensadores é igual a 1 = 25 V = 2. ssim a carga máxima em ambos condensadores é Q max = 0.5 n RS -6-1º Semestre

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