SISTEMAS DE FILAS DE ESPERA COM INFINITOS SERVIDORES UMA APLICAÇÃO EM LOGÍSTICA

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1 SISTEMAS DE FILAS DE ESPERA COM INFINITOS SERVIDORES UMA APLICAÇÃO EM LOGÍSTICA. INTRODUÇÃO Nese rabalho consideram-se sisemas de filas de espera com infinios servidores. Traamos quer nós isolados quer em rede. Mas consideramos apenas redes aberas e processo de chegadas Poisson de axa consane. Mosramos que eses sisemas se podem aplicar em logísica. Assim, na secção. apresenamos uma súmula de resulados para sisemas de filas de espera com infinios servidores. Consideramos o processo populacional e a disribuição do período de ocupação. Mosramos ambém que uma rede de filas de espera, em que cada nó em infinios servidores, abera, se pode considerar como uma única fila de espera isolada, considerando-se como empo de serviço de um cliene o seu empo de permanência oal na rede. Na secção 3. apresenamos uma aplicação dese sisema na modelação de um sisema de reparações de uma froa de móveis: camiões, barcos ou aviões. Ese modelo já foi apresenado em (Carrillo, 99). Mas aquele auor não considerava a possibilidade de ranspore enre os posos de reparações nem o período de ocupação. Terminamos com uma secção de conclusões e uma lisa de referências bibliográficas sobre ese assuno.. SISTEMAS DE FILAS DE ESPERA COM INFINITOS SERVIDORES No sisema de fila de espera M G - Os clienes chegam ao cenro de serviço, ambém designado por nó, de acordo com um processo de Poisson de axa, - Cada cliene recebe um serviço cuja duração é uma variável aleaória posiiva com função de disribuição G( ). O empo médio de serviço designa-se por α e em-se α [ G ( ) ] d (.) - Há infinios servidores. Iso é: cada cliene, ao chegar, enconra sempre um servidor disponível, - O serviço de cada cliene é independene dos dos ouros clienes e do processo de chegadas. Para ese sisema designaremos por inensidade de ráfego a quanidade

2 ρ α (.) Seja N( ) o número de clienes a serem servidos (ou o número de servidores ocupados) no insane. Pondo p ( ) ( ( ) ( ) on P N n N ), n,,,..., de acordo com (Carrillo, 99), em-se que - p ( ) on, n,,,... segue uma disribuição de Poisson de média [ ] m( ) G ( v) dv (.3) - A sua disribuição esacionária é a disribuição limie que é ambém uma disribuição de Poisson, de média ( ) m ρ (.4) Num sisema de fila de espera cosuma-se designar por período de ocupação um período que se inicia quando um cliene chega ao sisema esando ele vazio, ermina quando um cliene o abandona deixando-o vazio, e em que há sempre pelo menos um cliene no sisema. Porando, num sisema de fila de espera, há uma sucessão de períodos de desocupação e de períodos de ocupação. Para o sisema M G os períodos de desocupação êm uma duração exponencial de média. á a disribuição da duração dos períodos de ocupação é mais complexa mas é possível apresenar alguns resulados como vamos ver. Seja B a variável aleaória duração de um período de ocupação de uma fila de espera M G. Tem-se enão que - E[ B] ρ e (.5) qualquer que seja a disribuição da duração do empo de serviço (Takács, 96), - á VAR[ B ] depende de oda a esruura probabilísica da disribuição do empo de serviço. No enano (Sahe, 985) demonsrou que ( s ) ρ ρ ρ ρ ρ ρ [ + ] [ ] ( + ) ( ) ( ) máxe e ρ γ ρe ; VAR B e γ e ρ e (.6) s em que γ s é o coeficiene de variação do empo de serviço, - Se a função de disribuição do empo de serviço for dada por ρ e G( ), a função de disribuição de B é ρ e e + ρ e ( )

3 [ver (Ferreira, 99)], ρ ( ) ( ) - Se o empo de serviço for al que G( ) e B e e ρ, (.7) ρ e + e ρ+ ρ e, em-se ρ ( ) ( e ) B e, (.8) [ver (Ferreira, 995)], - Se α grande e ρ grande (condições de ráfego muio inenso) desde que G( ) seja al que para α suficienemene grande G( ),, B e e ( ) ρ, (.9) [ver (Ferreira e Ramalhoo, 994)]. Em relação a ese úlimo resulado comecemos por noar que muias disribuições de probabilidade verificam a condição G( ) para α suficienemene grande (um exemplo é a exponencial). Quano ao que se enende por α e ρ grandes, cálculos apresenados em (Ferreira e Ramalhoo, 994), mosram que para a parir de ρ é razoável admiir (.9) para muias disribuições de serviço. Recorrendo à eoria dos processos de renovameno (Çinlar, 975), designando R( ) o número médio de períodos de ocupação que se iniciam em [, ] (sendo o insane o do início de um período de ocupação) em-se que [ver (Ferreira, 995)] e, em consequência, R( ) p ( ) + p ( u) du (.) ρ e ( + ) R( ) + (.) Tem-se ainda [ver ambém (Ferreira, 995)], ρ e. G( ) ( e ) e + e ρ ρ, R( ) + e ρ (.). G( ) ρ + ρ e e + e ρ, R( ) e ρ + ( e ρ ) + e ρ + e ρ ( e ρ ) e e ρ (.3)

4 3. G( ), < α, α (empo de serviço consane de valor α ), < α R( ) ρ (.4) + e ( α ), α 4. Se o empo de serviço iver disribuição exponencial ρ ( e α ) ρ ρ ( e α ) e + e R( ) e + (.5) Designa-se por rede de filas de espera uma colecção de nós ligados arbirariamene por arcos que são percorridos insananeamene por clienes, em que - A cada nó esá associado um processo de chegadas, - Exise um processo de comuação que comanda os rajecos dos diversos clienes. Designa-se por o número de nós da rede. Se <, os nós são numerados,, U,,...,...., e põe-se { } Os processos de chegadas podem ser composos por chegadas exógenas, do exerior da colecção, e de chegadas endógenas, dos ouros nós da colecção. Uma rede é abera se qualquer cliene puder enrar ou sair dela. Uma rede é fechada se iver um número fixo de clienes que se deslocam de nó para nó, não havendo chegadas do exerior nem paridas. As redes aberas para uns clienes e fechadas para ouros dizem-se misas. Vamos considerar, enão, redes de filas de espera aberas, com infinios servidores em cada nó, e processo de chegadas exógenas de Poisson de axa. Assim, Λ. (.6) é o vecor de axas de chegadas exógenas à rede. j é a axa de chegadas exógenas ao nó j, j,,..., e j j. p p... p p p p P p p... p (.7)

5 é a mariz do processo de comuação, sendo p jl a probabilidade de um cliene, após erminar o seu serviço no nó j, se dirigir para o nó l, j,,...,, l,,..., q p é a probabilidade de um cliene abandonar a j l jl rede a parir do nó j, j,,...,. Supõe-se que P não varia com e é independene de udo o que se passa na rede. Uma rede dese ipo é equivalene a um sisema M G, com processo de chegadas Poisson de axa, em que o empo de serviço de cada cliene é o seu empo de permanência na rede. Noe-se que, para esas redes de filas de espera, - Os empos de permanência de um cliene em cada nó são os empos de serviço, viso que não há espera, - Os empos de permanência de um cliene nos diversos nós são independenes. Enão o empo de permanência de um cliene na rede, se conhecermos o seu rajeco, em uma disribuição que é a convolução das disribuições dos empos de serviço nos nós por que passa. Assim, a disribuição do empo de permanência será dada pela misura das convoluções, relaivas a cada rajeco possível, sendo o peso de cada uma dado pela probabilidade do respecivo rajeco. Esas probabilidades são conhecidas e não dependem do empo viso que se conhecem e não dependam do empo as axas de chegadas exógenas aos diversos nós, as probabilidades de comuação e as probabilidades de parida da rede. Será, geralmene, difícil conseguir uma fórmula eficiene para a função de disribuição do empo de permanência, baseada na enumeração direca de odos os rajecos possíveis porque - o número de rajecos pode ser infinio ou proibiivamene grande, mesmo no caso de redes com poucos nós, - as convoluções podem conduzir a expressões analiicamene inraáveis. Recorrendo a marizes cuja forma é sugerida por (.6) e (.7) consegue-se uma fórmula simples para a ranformada de Laplace-Sieljes do empo de permanência, em função das ransformadas de Laplace-Sieljes dos empos de serviço em cada nó (Ferreira e Ramalhoo, 99). Sendo T o empo de permanência de um cliene na rede, seja S j o seu empo de serviço no nó j, j,,...,. Designemos por G( ) e G ( ) j, j,,..., as funções disribuição de T e de S j, j,,...,, respecivamene, sendo G( s ) e G ( s) j,,..., as ransformadas de Laplace-Sieljes de T e de S j, j,,...,, respecivamene, e definindo j,

6 e G ( s) G ( s) Λ( s). G ( s) (.8) p G ( s) p G ( s) p ( ) G s... p G ( s) p G ( s) p G ( s) P( s) p G ( s) p G ( s)... p G ( s) (.9) em-se G( s) T n Λ ( s) P ( s)( I P) A (.) n sendo A uma coluna com s. Noe-se que - Λ( ) Λ - P( ) P - Em (.) consideram-se odos os rajecos e as respecivas probabilidades, associando-se-lhes simulaneamene o produo das ransformadas de Laplace- Sieljes dos empos de serviço dos seus nós. Cada rajeco começa num nó j com probabilidade j e erminará num nó k com probabilidade j,,...,, k,,...,. A fórmula que preendemos obém-se noando que (.) pode omar a forma p kj, j ( ) ( ) T G( s) Λ ( s) I P( s) I P A (.) desde que I P( s). 3. APLICAÇÃO A UM SISTEMA DE REPARAÇÕES DE DOIS ESCALÕES Os resulados apresenados êm aplicação em logísica. Suponhamos uma froa de camiões, de barcos ou de aviões cujas reparações ocorrem numa base ou num poso remoo. Todas as avarias deecadas na base são aí reparadas. Das avarias deecadas no poso, algumas serão reparadas na base, com probabilidade p, endo que se

7 proceder ao seu ranspore e as ouras no próprio poso. O empo de serviço aqui é o empo que o móvel em causa esá imobilizado no local em que é reparado, aé esar de novo operacional. Quando for necessário proceder ao ranspore de um móvel avariado do poso remoo para a base supõe-se que ele é imediaamene possível, sendo o empo de serviço, agora, o empo que demora o ranspore. Supomos ainda que as avarias ocorrem de acordo com um processo de Poisson de axa, sendo algumas deecadas no poso remoo com probabilidade q e as resanes na base. Teremos, em consequência, uma rede de filas de espera com rês nós 3 3 em que -. represena a base, -. represena o poso remoo, - 3. em em cona os ranspores necessários enre o poso remoo e a base. Tal como fizemos com os s as variáveis que respeiam a cada nó serão designadas pela mesma lera que na secção, afecada do índice correspondene ao nó. Como é evidene, 3 ( q) ( ) p q pq (3.) Recorrendo a (.) concluímos que o sisema na sua globalidade é modelado por uma fila de espera M G em que [recordar (.3)] ( ) ( ) [ ( )] + ( ) [ ( )] + [ ( )] m q G v dv p q. G v dv pq G v dv (3.) 3 sendo G 3 ( ) a função de disribuição da convolução das disribuições de serviço dos nós e 3. Obviamene ambém podemos considerar rês filas de espera M G. - Uma relacionada com os móveis reparados na base, cujas avarias foram aí deecadas, em que ( ) ( ) [ ( )] (3.3) mb q G v dv - Oura relacionada com os móveis reparados no poso remoo em que

8 em que ( ) ( ) [ ( )] (3.4) mpr p q G v dv - E ainda oura relacionada com os móveis que êm que ser ransporados para a base para aí serem reparados, em que m ( ) pq [ G ( v) b 3 ] dv (3.5) De (3.), (3.3), (3.4) e (3.5) obém-se, fazendo, ρ ρb + ρpr + ρ (3.6) b ρ ρ b pr ( q) α ( ) p qα ( ) ρ pq α + α b 3 (3.7) Relaivamene à aplicação da fórmula (.6), sendo σ, σ e σ 3 as variâncias correspondenes a G ( ), G ( ) e G 3 ( ), respecivamene, em-se que γ γ sb spr γ γ s s γ γ sb s σ α + σ + α 3 3 ( ) ( q)( σ + α ) + ( p) q( σ + α ) + pq σ + σ 3 + ( α + α 3) (( q) α + ( p) qα + pq( α + α 3) ) (3.8) 4. CONCLUSÕES Para que ese modelo se possa aplicar é necessário que as avarias ocorram segundo um processo de Poisson de axa consane. É uma hipóese que em que ser esada. De enre os resulados apresenados salienamos (.5), (.6), e (.9) pela sua simplicidade e por apenas requererem para a sua uilização o conhecimeno de p, q,, α i, i,, 3, e σ j, j,, 3. Os resanes resulados são de aplicação mais problemáica e requerem que se ese o ajusameno das disribuições indicadas aos empos de reparação e de ranspore.

9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CARRILLO, M.. (99), Exensions of Palm s Theorem: A Review, Managemen Science, vol. 37, nº 6, ÇINLAR, E. (975), Inroducion o Sochasic Processes, New ersey, Prenice-Hall, Inc. FERREIRA, M.A.M. (99), Um sisema M G com período de ocupação exponencial. Acas das XV ornadas Luso-Espanholas de Maemáica, Vol. IV, Universidade de Évora. Évora. FERREIRA, M.A.M. (995), Comporameno ranseune e período de ocupação de sisemas de filas de espera sem espera. Tese de douorameno apresenada a discussão no I.S.C.T.E.. Orienador: Prof. Auguso A. Albuquerque. FERREIRA, M.A.M. e RAMALHOTO, M.F. (99), Algorimo para o cálculo da ransformada de Laplace-Sieljes do empo de permanência de um cliene em redes de filas de espera aberas, com disribuições de equilíbrio da forma produo, com empos de permanência independenes em cada nó. Acas da ª Conferência em Esaísica e Opimização. C.E.A. (I.N.I.C.) e D.E.I.O.C.. Universidade de Lisboa. FERREIRA, M.A.M. e RAMALHOTO, M.F. (994), Esudo dos parâmeros básicos do período de ocupação da fila de espera M G. A Esaísica e o Fuuro e o Fuuro da Esaísica. Acas do I Congresso Anual da Sociedade Poruguesa de Esaísica. Edições Salamandra. Lisboa. SATHE, Y.S. (7(985)), Improved bounds for he variance of he busy period of he M G queue, A.A.P., TAKÁCS, L. (96), An inroducion o queueing heory. Oxford Universiy Press, New York. 96.