Dinâmica de interação da praga da cana-de-açúcar com seu parasitóide Trichogramma galloi

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1 Dinâmica de ineração da praga da cana-de-açúcar com seu parasióide Trichogramma galloi Elizabeh de Holanda Limeira 1, Mara Rafikov 2 1 Universidade Federal do ABC - UFABC, Sano André, Brasil, 2 Universidade Federal do ABC - UFABC, Sano André, Brasil, Resumo: Nese rabalho foi proposo um modelo novo que considera ineração da praga Diaraea saccharalis com seu parasióide Trichogramma galloi. Foram enconrados os ponos de equilíbrio do sisema e foi invesigada a esabilidade de cada um deles. As simulações numéricas mosraram uma boa aproimação qualiaiva às inerações que aconecem em sisemas reais: nos resulados de simulações foram observadas oscilações com quaro picos durane um ano, eaamene o que aconece num sisema real. Palavra-chave: modelo maemáico, conrole de pragas, esabilidade. 1. INTRODUÇÃO O uso da cana-de-açúcar em desaque no cenário mundial como insumo energéico por raar-se de um recurso energéico renovável e por promover a diversificação da mariz energéica, reduzindo assim a dependência de derivados de peróleo. Segundo a versão preliminar do Balanço Energéico Nacional [1], a paricipação dos produos derivados da cana (enre os quais o eanol e o bagaço) chegou a 16%, ocupando a segunda posição enre os energéicos mais eplorados no ano anerior. Somado a isso, o governo decidiu aumenar de 23% para 25% a proporção de álcool anidro na gasolina (resulando na Tipo C ) e a epansão da froa de veículos fle fuel,[1]. No enano, como odo culivo em larga escala, a canade-açúcar, ambém apresena ala susceibilidade á disseminação de inimigos naurais (pragas, parasias e parasióides) que conseqüenemene podem levar ao compromeimeno da plana e a desaceleração na produção do eanol. Se, por um lado, o uso de produos químicos pode ajudar no conrole dessas infesações, por ouro, pode provocar desequilíbrio biológicos devido à eliminação de organismos benéficos presenes no compleo bióico do ecossisema, conribuindo para a seleção de populações de inseos-praga resisenes [2]. A aplicação de écnicas de conrole biológico em sido uma ferramena largamene eplorada cujo desenvolvimeno é volado para a minimização dos danos ano biológicos quano econômicos. De acordo com [3], o conrole biológico é a ação de inimigos naurais, parasióides, predadores e paógenos, que maném a densidade populacional de ouros organismos (praga) abaio do nível médio que ocorreria na ausência do conrole. O méodo do conrole biológico de pragas viabiliza caracerísicas imporanes para o seor agrícola, ais como combae de inseo pragas, redução de danos econômicos a curo e médio prazo e a redução de cusos relaivos a defensivos químicos nas lavouras. No manejo do conrole biológico os modelos maemáicos êm sido basane uilizados em problemas agrícolas, pois com o uso de ferramenas de simulação o sisema meio ambiene pragainimigos naurais pode ser melhor compreendido [4]. Denre as principais pragas que compromeem as culuras de cana-de-açúcar esá a Diaraea saccharalis (mais conhecida como broca da cana), que pode levar a prejuízos direos e indireos. Associado ao primeiro esá a aberura de galerias no caule da plana que ocasionam a perda de peso e o ombameno desa. De forma indirea, as infesações de microorganismos nas galerias aberas ocasionam uma podridão vermelha no colmo e principiam a inversão da sacarose, implicando em perdas epressivas na produção do álcool. Desde 197, as écnicas uilizando a criação e a inrodução massiva do Parasióide Coesia flavipes (vespa) vem sendo desenvolvidas para o uso do conrole biológico em laboraórios. Além desse, um ouro parasióide, conhecido como Trichogramma galloi, é uilizado em liberações inundaivas no combae a pragas em geral inclusive para o conrole da broca da cana. Ese organismo aua foremene nos eságios iniciais do desenvolvimeno da praga conrolando anes mesmo de causar danos econômicos. Nese rabalho esudou-se a dinâmica de ineração da broca da cana com o parasióide de ovos Trichogramma galloi descria pelo sisema de equações diferenciais 2. MODELO MATEMÁTICO Nese arigo foi uilizado um sisema de rês equações diferenciais que modelou a dinâmica da Diaraea saccharalis, considerando seu eságio de desenvolvimeno (mariposas-ovos-larvas), com o parasióide de ovos Trichogramma galloi. O sisema de equações que represena essa dinâmica é dado da seguine forma: 1 Serra Negra, SP - ISSN

2 Dinâmica de ineração da praga da cana-de-açúcar com seu parasióide Trichogramma galloi Elizabeh de Holanda Limeira, Mara Rafikov. dd dd dd dd dd dd ββ mm nn αα αα mm nn nn mm nn onde: são as densidades de ovos normais, de ovos parasiados e de larvas, respecivamene. n 1 é o coeficiene que caraceriza a pare dos ovos normais que se ornaram lagaras, no insane ; n 2 é o coeficiene que caraceriza que pare dos ovos parasiados que se ornaram parasióides, no insane ; n 3 é o coeficiene que caraceriza a pare de lagaras que se ornaram pupas; m 1, m 2 e m 3 são coeficienes de moralidades dos ovos normais, dos ovos parasiados e das lagaras, respecivamene; K é capacidade de supore do ambiene; α é o coeficiene de parasiismo; β é o coeficiene que caraceriza a reprodução de ovos. 3. EQUILÍBRIO DO SISTEMA Para análise de esabilidade, é necessário calcular os ponos de equilíbrio do sisema (1). Para isso é preciso solucionar o sisema algébrico ββ mm KK nn αα αα mm nn mm nn nn de forma a enconrar os seguines ponos de equilíbrio: P 1 =, P 2 = P 3 = mm nn αα αα ββ mm nn ββ ββ mm nn KKαα nn KK ββ mm nn ββ mm nn mm nn nn mm nn. αα mm nn É preciso assegurar que os ponos de equilíbrio sejam não negaivos, ou seja, a condição necessária para o caso de P 2 é (1) (2) ββ mm nn (3) Para P 3, a condição necessária é ββ mm nn ββ mm nn 4. ESTABILIDADE Para verificar a esabilidade do sisema (1) em orno dos seus ponos de equilíbrio é preciso calcular a mariz Jacobiana para cada caso e analisar, em seguida, seus (4) e auovalores. A mariz Jacobiana referene ao sisema (1) pode ser escrio da seguine forma: JJ ββ mm nn αα αα αα αα mm nn É óbvio que um auovalor da mariz (5) é: (5) λλ mm nn (6) Os ouros auovalores podem ser enconrados da seguine equação: aa λλ aa λλ aa (7) de acordo com os coeficienes epliciados a seguir: aa, aa ββ aa ββ αα. mm nn αα αα mm nn mm nn αα αα mm nn 4.1. Análise de Esabilidade para P 1 A mariz Jacobiana para o pono de equilíbrio rivial P 1, em a seguine forma: ββ mm nn mm nn de onde vem que, λλ mm nn ; λλ ββ mm nn ; λλ mm nn ; Para o pono P 1 ser esável é necessário que ββ mm nn (9) A inerpreação biológica de (9) é que a aa de reprodução de ovos menor que a soma das aas de moralidade e de ransformação de ovos em lagaras Análise de Esabilidade para P 2 A mariz Jacobiana nese caso em a seguine forma: de onde, ββ mm nn αα αα mm nn (8) (1) 2 Serra Negra, SP - ISSN

3 λλ mm nn ; λλ αα ββ ββ mm nn mm nn λλ ββ mm nn ; Para o auovalor λλ ser negaivo é necessário que seja saisfeia a seguine resrição: ββ mm nn (11) Para a negaividade do auovalor λλ a resrição é: ββ mm nn ββ mm nn (12) 4.3. Análise de Esabilidade para P 3 Já nese caso, a fim de simplificar os cálculos, a mariz Jacobiana pode ser reescria usando o fao de que no sisema (2), na segunda equação, αα mm nn, assim; ββ De onde sai que λλ mm nn. mm nn αα αα αα (13) Os ouros auovalores podem ser enconrados da seguine equação: aa λλ aa λλ aa (14) de forma que: aa aa mm nn ββ αα aa ββ ββ mm nn mm nn mm nn De acordo com o criério de Rouh-Huwiz, para que os sinais dos auovalores λ do polinômio (14) sejam menores que zero, é necessário saisfazer as seguines condições: aa e aa (15) A segunda equação (15) implica que aa. Para que aa é necessário que 5. IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS E SIMULAÇÕES NUMÉRICAS Os coeficienes do modelo foram idenificados com base nos dados enconrados na bibliografia [5], [6]. De acordo com [5], a duração da longevidade de adulos da Diaraea saccharalis é de rês a see dias, a duração do eságio larval pode variar de 5 a 9 dias e de pupal de 1 a 11 dias. Para fins de cálculo dos parâmeros n 1, n 2 e n 3, foi considerado nese rabalho, o empo de vida apresenado na Tabela 1: Tab 1. Tempo médio de vida Fase Adula Ovos Lagara Pupa Duração (dias) Fone: Adapação de [5]. Os valores dos parâmeros n 1, n 2 e n 3 foram deerminados aravés das seguines fórmulas nn nn nn (17) em que são os empos médios de vida de ovos normais, de ovos parasiados e de lagaras, respecivamene. De acordo com [6], a moralidade de ovos da Diaraea saccharalis varia em orno de 7%, de lagaras pequenas em orno de 9%, de lagaras grandes cerca de 9% e a de pupas, de 35%. Porano, para os cálculos de mm mm eemm foi considerado a Tabela 2: Tab 2. Moralidade das diversas fases (Diaraea saccharalis) Fase Ovos Lagara Pupa Moralidade (%) Fone: Adapação de [6]. Os valores dos parâmeros mm mm eemm foram deerminados aravés das seguines fórmulas: llnn mm, mm mm llnn mm llnn mm (18) mm onde mm mm ee mm diz respeio ao empo médio de vida dos ovos normais, de ovos parasiados e de lagaras, respecivamene. Os valores dos coeficienes do modelo (1) uilizados para simulações esão na Tabela 3. ββ mm nn ββ mm nn (16) 3 Serra Negra, SP - ISSN

4 Dinâmica de ineração da praga da cana-de-açúcar com seu parasióide Trichogramma galloi Elizabeh de Holanda Limeira, Mara Rafikov. Tab 3. Valores dos parâmeros do modelo o pono de equilíbrio P 2 é esável e os ouros são insáveis. Fig. 2 mosra ese caso para ββ e αα 2 Designação Valor n n n m m m K 25* Da análise de esabilidade de ponos de equilíbrio ficou claro que um dos parâmeros imporanes que deermina a esabilidade do pono é coeficiene ββ. Se ββ saisfaz a condição ββ mm nn o pono de equilíbrio P 1 é esável e os ouros são insáveis. Fig. 1 mosra ese caso para ββ e αα. Fig. 2. Evolução das populações, mosrando a esabilidade do pono de equilíbrio P 2 Se ββ saisfaz a condição ββ mm nn ββ mm nn o pono de equilíbrio P 3 é esável e os ouros são insáveis Fig. 3 mosra ese caso para ββ e αα Fig. 1. Evolução das populações, mosrando a esabilidade do pono de equilíbrio P 1 Se ββ saisfaz a condição mm nn ββ mm nn ββ mm nn Fig. 3. Evolução das populações, mosrando a esabilidade do pono de equilíbrio P 3 O valor do coeficiene β depende da magniude que é chamada razão de crescimeno R que caraceriza o nível de reprodução quando um indivíduo dá origem a R indivíduos durane o ciclo de vida da praga [7]. 4 Serra Negra, SP - ISSN

5 Por eemplo, o valor de ββ foi enconrado considerando R=36 para a praga Diaraea saccharalis (em condições de laboraório) [7], usando a seguine fórmula: ββ RR ττ mm nn (25) onde ττ é o período médio de um ciclo de vida da Diaraea saccharalis. O período médio nese caso é considerado 65 dias. Do gráfico da Fig. 3 é viso que no agro-sisema em consideração (cana de açúcar) composo nese esudo pela praga Diaraea saccharalis e o parasióide Trichogramma galloi a densidade média de pragas ficou abaio de nível 25 lagaras grandes por ha. Conforme [8] ese é limiar de danos econômicos, ou seja, uma densidade maior que ese valor, começa a ser maléfico para a produção de cana-deaçúcar. O valor de parâmero αα influi consideravelmene no valor da densidade média de pragas. Na Fig. 4 é apresenado o caso αα quando a densidade média de pragas se esabelece acima do limiar de danos econômicos Fig. 4. Evolução das populações para o valorαα 6. CONCLUSÃO Nese rabalho foi proposo um modelo novo que considera ineração da praga Diaraea saccharalis com seu parasióide Trichogramma galloi. Foram enconrados os ponos de equilíbrio do sisema e foi invesigada a esabilidade de cada um deles. As simulações numéricas confirmaram as condições que indicam a influencia do parâmero ββ na esabilidade de cada pono de equilíbrio. As simulações ambém mosraram a dependência do valor de densidade média de pragas do valor de αα que caraceriza a aa de parasiismo no sisema. Quano maior o valor de αα menor a densidade média de pragas, e vice versa. Nas Fig. 3 e Fig. 4 são observadas oscilações com quaro picos durane um ano, eaamene o que aconece num sisema real. Iso valida o modelo proposo, pelo menos, no senido qualiaivo. Para validar ese modelo quaniaivamene é necessário fazer eperimenos no campo. AGRADECIMENTOS Primeira auora agradece à UFABC pela bolsa de Mesrado. Segundo auor agradece UFABC pelo apoio nas pesquisas. REFERENCIAS [1] BEN, Balanço Energéico Nacional. Paricipação Cana-de-açúcar no Seor Energéico. Disponível em: hp://ben.epe.gov.br/downloads/resulados_pre_ben_ 29.pdf. Acessado em: abril de 29. [2] Gallo, D., Nakano, O., Silveira Neo, R. P. L, Carvalho, C. G., De Baisa, G. C., Beri Filho, E., Parra, J. R. P., Zucchi, R. A., Alves, S. B., Vendramim, J. D. Manual de enomologia agrícola. 2a ed,. São Paulo, Agronômica Ceres, 649p, [3] Debach, P. Biological conrol by naural enemies. Cambridge, Cambridge Universiy Press, 323p, [4] Ternes, S., Yang, H. M. Esudo Inroduório de Avaliação da Ineração enre Parasióide Naivo e Eóico no Conrole biológico de Pragas, Revisa de Biomaemáica., 1, Campinas, 16-34p, 2. [5] Boelho, P. S. M. Tabela de vida ecológica e simulação da fase larval de Diaraea saccharalis (Fabricius 1794)(Lepidopera: Pyralidae). Tese de Douorameno, ESALQ/USP, Piracicaba-SP, 11p, [6] Ambrosano, G. M. B., Simac, J. L., Neo, S. S., Igue, T., Nagai, V. Modelo maemáico para simulação do conrole biológico da broca-da-cana com o parasióide Trichogramma galloi: Modelos Conceiuais. XII. Meodologia e Técnicas Eperimenais, Braganina, Campinas, [7] Bassanezi, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem maemáica: uma nova esraégia. 2a ed,. São Paulo, Coneo, 24. [8] Parra, J. R. P., Boelho, P. S. M., Ferreira, B. S. C., Beno, J. M. S. Conrole Biológico no Brasil: Parasióides e Predadores, São Paulo, Ediora Manole, Serra Negra, SP - ISSN

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