Resumo. Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas. Sinal em Tempo Contínuo. Sinal Acústico

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1 Resumo Sinais e Sisemas Sinais e Sisemas Sinais de empo conínuo e discreo Transformações da variável independene Sinais básicos: impulso, escalão e exponencial. Sisemas conínuos e discreos Propriedades básicas dos sisemas Insiuo Superior Técnico Sinais e Sisemas p./5 Sinais e Sisemas p.2/5 Sinal Acúsico Sinal em Tempo Conínuo Se s for um sinal acúsico: s : Tempo Pressão Podemos represená-lo na forma de uma função:, s()= s : Um sinal x() em empo conínuo é uma função de uma variável conínua., x()= x : Passaremos a denominar eses sinais pela forma abreviada de sinais conínuos. Pressão Tempo Sinais e Sisemas p.3/5 Sinais e Sisemas p.4/5

2 Valor de Fecho do PSI-2 Sinal em Tempo Discreo O valor inicial (base) do PSI-2 é de 3 ponos e é calculado por referência aos preços de fecho da sessão de bolsa de 3 de Dezembro de 992. Exemplo: {,739, 732, 735, 7327, 7325,} Um sinal x(n) em empo discreo é uma função de uma variável discrea: n, x(n)= x : Passaremos a denominar eses sinais pela forma abreviada de sinais discreos. Sinais e Sisemas p.5/5 Sinais e Sisemas p.6/5 Amosragem de Sinais Conínuos Problema Muios dos sinais em empo discreo resulam da amosragem de sinais em empo conínuo (x c ()): x(n)= x c (nt), n Deerminar axa de compressão de uma faixa de música de um disco compaco ao ser codificada em mpeg-3 a 28 Kb/s. em que x c () é uma função da variável et é o período de amosragem. T Sinais e Sisemas p.7/5 Sinais e Sisemas p.8/5

3 Codificação da ampliude Energia Para além da amosragem emporal, a ampliude do sinal pode ambém ser codificada usando um número finio de bis. No caso de uma codificação linear de 6 bis em complemeno para 2: s : { 32768,,32767} No caso de uma imagem quadrada com 52x52 pixeis de com 8 bis por cada componene RGB (24 bis): i :{,,5} 2 {,,255} 3 Convencionou-se definir a energia de um sinal como sendo: E = + x() 2 d. De forma análoga para o caso discreo: E = + n= x(n) 2. Podem exisir sinais com energia infinia! Sinais e Sisemas p.9/5 Sinais e Sisemas p./5 Poência Deslocameno Temporal Com base na definição de energia, podemos ambém definir a poência média de um sinal: x() +T P = lim x() 2 d. T 2T T De forma análoga para o caso discreo: y()= x( ) y() P = lim N 2N+ +N n= N x(n) 2. Sinais e Sisemas p./5 Sinais e Sisemas p.2/5

4 Problema Inversão Temporal x(n) x() n y(n)= x(n n ) y(n) Qual o valor de n? y()= x( ) y() n Sinais e Sisemas p.3/5 Sinais e Sisemas p.4/5 Escalameno Temporal Problema y()= x(a), a x() y() x(n) n Deermine a sequência definida por: y(n)= x(3 n) Sinais e Sisemas p.5/5 Sinais e Sisemas p.6/5

5 Sinal Periódico Conínuo Um sinal conínuo diz-se periódico se se maniver inalerado por um deslocameno emporal de valor T: x()= x(+t), T Ao menor valor posiivo de T dá-se o nome de período fundamenal (T ). Sinal Periódico Discreo Idenicamene ao caso conínuo, um sinal discreo diz-se periódico se se maniver inalerado por um deslocameno emporal de N amosras: x(n)= x(n+ N), N Ao menor valor ineiro posiivo de N dá-se o nome de período fundamenal (N ). A amosragem de um sinal periódico conínuo nem sempre resula num sinal periódico discreo. Sinais e Sisemas p.7/5 Sinais e Sisemas p.8/5 Sinais Pares e Ímpares Componene Par e Ímpar Um sinal é par se for igual à sua inversão emporal x() Qualquer sinal pode ser decomposo na soma de um sinal par com um sinal ímpar: x()= x e ()+ x o () x()= x ( ) Um sinal é ímpar se: x()= x ( ) y() x e () x o () = 2 [x()+ x ( )] = 2 [x() x ( )] Sinais e Sisemas p.9/5 Sinais e Sisemas p.2/5

6 Exemplo Impulso Uniário Discreo Deerminar a componene par e ímpar do sinal: x() δ(n)= {, n., n=. δ(n) Qualquer sequência pode ser expressa em ermos de uma soma de impulsos uniários escalados e deslocados no empo: x(n)= + k= x(k)δ(n k) n Sinais e Sisemas p.2/5 Sinais e Sisemas p.22/5 Escalão Uniário Discreo Impulso e Escalão Discreos u(n)= {, n<., n. u(n)= + k= u(n) δ(n k) n O escalão uniário pode-se relacionar com o impulso uniário: n u(n)= δ(k) k= Inversamene: δ(n)=u(n) u(n ) Sinais e Sisemas p.23/5 Sinais e Sisemas p.24/5

7 Impulso Uniário Conínuo Inerpreação do Impulso O impulso uniário, ambém designado por função dela ou disribuição de Dirac, define-se por: δ () / +ǫ δ()=, ǫ δ(τ)dτ=, ǫ + /2 /2 A funçãoδ() não se enconra definida para = δ()= lim δ () Sinais e Sisemas p.25/5 Sinais e Sisemas p.26/5 Represenação do Impulso δ() () A ampliude da sea indica a área do impulso e não o valor para =. Propriedade de Amosragem do Impulso x()δ () lim x()δ () x()δ() x()δ () = lim x()δ () = x()δ() O produo de uma função por um impulso produz um impulso com área igual ao valor da função no insane do impulso. Sinais e Sisemas p.27/5 Sinais e Sisemas p.28/5

8 u()= Escalão Uniário Conínuo {, <., >. u() Para resolver a ambiguidade em usa-se por vezes:, <. u a ()= a, =., >. Impulso e Escalão Conínuos O escalão uniário pode-se relacionar com o impulso uniário: u()= Inversamene: δ(τ)dτ. δ()= d d u() u()= + δ( τ)dτ. Sinais e Sisemas p.29/5 Sinais e Sisemas p.3/5 Exponencial Conínua Exponencial Real Discrea x()=ce a em que C e a podem ser números complexos: C= Ae jφ, A,φ a= α+ jω, α,ω x()=ae α e j(ω +φ) decompondo em pare real e imaginária: R{x()} = Ae α cos(ω +φ) I{x()} = Ae α sin(ω +φ) SendoαeAnúmeros reais: x(n)=aα n α > a sequência x(n) é crescene; α < a sequência x(n) é decrescene; α> as amosras da sequência x(n) êm odas o mesmo sinal de A; α < as amosras da sequência x(n) são alernadamene posiivas e negaivas. Sinais e Sisemas p.3/5 Sinais e Sisemas p.32/5

9 Exponencial Complexa Discrea Periodicidade Temporal Seα=e jω e A= A e jφ : x(n) = A e j(ω n+φ) = A cos(ω n+φ)+ j A sen(ω n+φ) Por analogia com a correpondene função conínua, aω chama-se frequência da sinusoide complexa eφéasua fase. No caso discreo, a sequência exponencial complexa nem sempre é periódica. Só é periódica se: A e j(ωn+φ) x(n) = x(n+ N) = A e j(ω(n+n)+φ) = A e j(ω n+φ) e jω N ω N= 2πk N= 2πk/ω Mas N em de ser ineiro! Sinais e Sisemas p.33/5 Sinais e Sisemas p.34/5 Periodicidade em Frequência Sisemas No caso discreo, as exponenciais complexas com frequência (ω + 2πr) são indisinguíveis enre si: Os sisemas são funções que ransformam sinais. Algumas operações relizadas por sisemas: A e j[(ω +2πr)n+φ] = A e j(ω n+φ) e j2πrn = A e j(ωn+φ) armazenameno de sinais; codificação e descodificação; encripação e desencripação; realçar pare da informação do sinal; deecção de informação; conrole de processos físicos; conversão de formaos; Sinais e Sisemas p.35/5 Sinais e Sisemas p.36/5

10 Espaço de Funções Sisemas como Funções Sendo x um sinal cujo domínio é D e o conradomínio C: x : D C Se o sisema S aceiar à sua enrada sinais do ipo x podemos dizer que o seu domínio é um espaço de funções ou espaço de sinais X a que x perence. Represenaremos o espaço de funções envolvendo em pareneses recos o domínio e conradomínio dos sinais que ele represena: X= [D C] Um sisema faz o mapeameno de um espaço de sinais para ouro espaço de sinais. Por exemplo, um microfone é um sisema que convere sinais acúsicos em sinais elécricos: S : [Tempo Pressão] [Tempo Tensão] Pressão Tempo S Tensão Tempo Sinais e Sisemas p.37/5 Sinais e Sisemas p.38/5 Sisemas Conínuos e Discreos Associação em cascaa Um sisema de empo conínuo é um sisema que em como domínio e conra-domínio sinais em empo conínuo: C : [ ] [ ] Enrada Sisema Sisema 2 Saída Um sisema de empo discreo é um sisema que em como domínio e conra-domínio sinais em empo discreo: D : [ ] [ ] Sinais e Sisemas p.39/5 Sinais e Sisemas p.4/5

11 Associação em paralelo Reroacção Sisema Enrada Sisema Saída Enrada Saída Sisema 2 Sisema 2 Sinais e Sisemas p.4/5 Sinais e Sisemas p.42/5 Sisemas Com e Sem Memória Um sisema diz-se sem memória se a sua saída num dado insane só depender da enrada nesse insane. y()= x 2 () sem memória y(n)= x(n)+ x(n ) com memória y(n)= x(n) y(n ) com memória y()= x(τ)dτ com memória Sisema Inverso Um sisema é inverível se enradas disinas produzirem saídas disinas. Se um sisema é inverível pode-se enconrar um sisema inverso que ligado em cascaa com o primeiro produza na sua saída a enrada original x(n) Sisema w(n) Inverso x(n) Sinais e Sisemas p.43/5 Sinais e Sisemas p.44/5

12 Causalidade Um sisema é causal se a saída num insane de empo só depender de enradas presenes e passadas. y()= x( /2) causal y(n)= x(n+)+ x(n ) não causal Esabilidade Um sisema é esável se odos os sinais de enrada limiados produzirem sinais de saída limiados: x(n) B x < n esabilidade y(n) B y < n Todos os sisemas sem memória são causais. Sinais e Sisemas p.45/5 Sinais e Sisemas p.46/5 Sisema Acumulador Invariância Temporal n y(n)= x(k) k= Se a enrada for o escalão uniário (x(n)=u(n) a saída será: n y(n)= x(k)=(n+)u(n) k= O sisema acumulador é insável: para uma enrada limiada produz uma saída que cresce indefinidamene. T{x(n)} = y(n) invariane no empo T{x(n n )}=y(n n ) Exemplos:. y()= x( 2) invariane 2. y() = x(2) variane 3. y(n) = sen(x(n)) invariane 4. y(n) = nx(n) variane Sinais e Sisemas p.47/5 Sinais e Sisemas p.48/5

13 Linearidade Problema Propriedade da adiividade { T{x (n)}=y (n) T{x 2 (n)}=y 2 (n) adiividade Propriedade da homogeneidade T{x(n)} = y(n) homogeneidade T{x (n)+ x 2 (n)}=y (n)+y 2 (n) T{ax(n)}=ay(n) Quais dos seguines sisemas são lineares?. y()=x() linear 2. y()= x 2 () não linear 3. y(n)=r{x(n)} linear 4. y(n)=2x(n)+3 não linear em que a é uma consane arbirária. Um sisema linear em de verificar as propriedades da adiividade e da homogeneidade. Sinais e Sisemas p.49/5 Sinais e Sisemas p.5/5

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