A dinâmica de transição e o crescimento econômico em um modelo neoclássico com capital humano

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1 A dinâmica de ransição e o crescimeno econômico em um modelo neoclássico com capial humano Jorge Cláudio Cavalcane de Oliveira Lima* Resumo O modelo neoclássico de crescimeno proposo por Solow (956) ganhou grande aceiação por sua facilidade de compreensão e por permiir algumas prescrições de políica econômica para a promoção do crescimeno. King e Rebelo (993) reomam a abordagem de Solow por meio de um modelo ampliado em que a dinâmica de ransição gerada por esse modelo se mosra incompaível com as axas de juros reais observadas nos períodos iniciais para alavancar o crescimeno. * Economisa do BNDES e professor da Universidade do Esado do Rio de Janeiro. Correspondência para: Jorge Cavalcane, BNDES, Av. República do Chile, Caselo Rio de Janeiro RJ CEP: Ese arigo é de exclusiva responsabilidade do auor, não refleindo, necessariamene, a opinião do BNDES. p

2 O arigo reoma essa problemáica e mosra que, com a inrodução do capial humano no modelo, é possível gerar axas de juros reais compaíveis com as fases iniciais do crescimeno observado em diversas economias, manendo o crescimeno exógeno. Absrac The neo-classical growh model proposed by Solow (956) gained a lo of ineres because of is easy comprehensiveness of he growh process and also because of some of is prescripions in erms of promoing growh wihin an Economic Policy framework. King and Rebelo (993) ook his approach and exended i and hey conclude ha he ransiional dynamics generaed schedules for he marginal produciviy of capial ha were no observed in he beginning of he growh process. This paper revisis King and Rebelo and show ha wih he inroducion of human capial i is possible o generae schedules for he marginal produciviy of capial much more reasonable. 274 Revisa do BNDES 36, dezembro 20

3 Inrodução A eoria do crescimeno econômico procura explicar o comporameno de longo prazo da economia. O longo prazo significa que a aenção se prende à dinâmica da acumulação (da riqueza e dos faores de produção) e negligencia as fluuações de curo prazo da economia (ineração enre ofera e demanda), que é o objeo da análise macroeconômica. Em ouros ermos, a eoria do crescimeno procura fornecer uma explicação rigorosa e formalizada para vários faos observados no decorrer de um período muio longo. Em um arigo que desde a sua publicação se revelou um clássico do esudo da eoria do crescimeno, Solow (956) expôs um modelo fundamenal de acumulação de capial no longo prazo. O sucesso de seu modelo deve-se ao fao de que ele forneceu um quadro empírico que esimulou a pesquisa sobre as fones e a naureza do crescimeno econômico, o que permiiu a publicação de vários rabalhos de naureza quaniaiva e oda espécie de simulação. O crescimeno em um modelo neoclássico pode ocorrer por duas razões: a primeira delas diz que exise um crescimeno de longo prazo associado ao crescimeno da produividade em razão do progresso ecnológico. A segunda razão é a exisência de um crescimeno de ransição associado com o deslocameno de um esoque de capial inicial em direção ao esado esacionário. Para um esoque inicial de capial, digamos k 0, converge-se de maneira monoônica para um valor esacionário único, como demonsrado por Solow. Mas, apesar do papel fundamenal desempenhado pelo modelo de Solow, nada é dio sobre a velocidade de convergência do processo em direção ao equilíbrio esacionário. A convergência monoônica do modelo de Solow deixa abera a quesão da velocidade dessa dinâmica de ransição. Chama-se de dinâmica de ransição o efeio do crescimeno do capial inicial em direção ao crescimeno no esado esacionário. A dinâmica de ransição e o crescimeno econômico em um modelo neoclássico com capial humano 275

4 No modelo de Solow, a poupança exerce um papel fundamenal para alicerçar o crescimeno econômico com o invesimeno em capial físico. Vários países, incluindo o Brasil, seguiram essa prescrição e enraram em uma fase de crescimeno acelerado (que no Brasil culminou com o chamado milagre econômico ). Em rabalho seminal, King e Rebelo (993) concluíram que, geralmene, quando se ena explicar o crescimeno econômico com o modelo de Solow, a dinâmica de ransição [Sao (964)] gera implicações que não se susenam com base nos faos observados hisoricamene. Especificamene, noa-se que os produos marginais implícios para o capial físico são exremamene elevados nos eságios iniciais do processo de crescimeno e sem regisro hisórico que susene essa visão. Uma alernaiva que poderia ser usada levaria a pensar na possibilidade de uilização dos modelos de crescimeno endógeno como um caminho a ser explorado, mas com maior grau de complexidade. Nese arigo, consruiu-se uma pequena variane do modelo de base de King e Rebelo e mosrou-se que, com a inrodução do capial humano, se pode gerar um comporameno para a axa de juros real muio mais razoável, mas sem renunciar à modelagem do crescimeno exógeno. King e Rebelo argumenam que a rajeória descria durane a dinâmica de ransição permanece pouco conhecida do pono de visa quaniaivo. Reoma-se a abordagem de King e Rebelo e esudam-se os resulados por eles apurados, com a ajuda do sofware GAMS/MINOS. Mosra-se que a inrodução do capial humano é uma alernaiva engenhosa e pouco cusosa para resolver alguns problemas por eles aponados. O arigo esá organizado em cinco seções, além da inrodução. A primeira seção faz uma rápida revisão de lieraura, mosrando como o modelo de Solow se ornou conhecido nos meios acadêmicos, além de discuir o modelo de Sao (964) e o modelo de Ramsey-Cass-Koopmans (956). A erceira seção descreve o modelo de base usado por King e MINOS é uma roina que lida com programação não linear (NLP) e usa um algorimo reduzido combinado com o méodo de Newon-Raphson (na realidade, quase-newon). 276 Revisa do BNDES 36, dezembro 20

5 Rebelo. A quara seção modifica o modelo de base de King e Rebelo com a inrodução do capial humano segundo a hipóese dese arigo, repora os resulados da simulação, o procedimeno de calibração dos parâmeros e algumas comparações enre os resulados dese rabalho e os obidos por King e Rebelo. A quina seção conclui com um resumo do rabalho e algumas ouras observações sobre desenvolvimenos fuuros possíveis. Breve revisão de lieraura sobre crescimeno exógeno O modelo de Solow Solow rabalha com um modelo simples de crescimeno, que King e Rebelo usam como referência para consruir seu modelo de base e que depois é usado para desenvolver novas varianes mais ricas. Solow supõe uma função de produção do ipo Cobb-Douglas com dois insumos agregados, o capial físico K que pode ser acumulado e o rabalho N que não pode ser acumulado. Y K N () Os parâmeros α e β são posiivos. O crescimeno do esoque de capial ao longo do empo, dk/d, é o invesimeno agregado líquido que considera o efeio da depreciação do capial. Em uma economia fechada, o invesimeno líquido é igual à poupança. Solow supõe que a poupança é uma proporção fixa da renda nacional.. K sk N K (2) Caso se defina a razão capial-rabalho ou, ainda, o esoque de capial por rabalhador como k = K/N e derivando-se k em relação A dinâmica de ransição e o crescimeno econômico em um modelo neoclássico com capial humano 277

6 ao empo, pode-se reescrever (2) como sendo, depois de algumas manipulações algébricas: 2. k sk N ( ) k (3) Dividindo-se ambos os lados da relação (3) por k e definindo-se a axa de crescimeno do esoque de capial por rabalhador como ζ k e chamando-se de esado esacionário a siuação em que as variáveis crescem a uma axa consane, ou seja, ζ k é consane:. k sk N ( ) k k sk N ( ) (4) k k k Tomando-se o logarimo de ambos os lados da expressão e derivando com relação ao empo: ln lns ( ) lnk ( ) lnn ln( ) k ln K lns lnk lnn ln( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) (5) K No arigo original de Solow (956), a função de produção mosra rendimenos consanes de escala nos faores capial e rabalho 2... K sk N K K. N N N N K sk N K sk N k..... K k k k k sk. N k k sk. N ( ) k N K N 278 Revisa do BNDES 36, dezembro 20

7 (α + β = ), mas mosra rendimenos decrescenes no faor k (β < ). Por essa razão, em-se: 0 ( ) K (6) Mas, como β <, a igualdade (6) implica que a única axa de crescimeno susenável no equilíbrio esacionário é ζ k = 0. Porano, Solow supõe que a economia cresce por causa de faores exógenos, ou seja, em-se uma função de produção: Y AK N onde A reflee o nível de ecnologia que se supõe crescer a uma axa g, ou seja, A = A 0 e g. O parâmero g é chamado de axa de crescimeno exógena da produividade. Porano, com α + β =, em-se a dinâmica descria pelo Gráfico e sineizada pela relação:. k k sak ( ) (7) ( ) A função (δ + n) é independene de k e, porano, é uma rea paralela ao eixo das abscissas. A função sak -(-β), por sua vez, decresce de forma monoônica com relação a k e se aproxima assinoicamene de 0. 3 As duas curvas se cruzam no pono k *, a razão capial-rabalho no esado esacionário. Se for considerada uma economia com um pequeno esoque de capial k 0 menor que k *, a axa de crescimeno será muio elevada (a disância enre as duas curvas), mas decrescene no passar do empo. sa F F sak sa( ) k 0 3 ( ) 2 k k 2 F k 2 lim F 0 3 sa( )( 2) k 0 A dinâmica de ransição e o crescimeno econômico em um modelo neoclássico com capial humano 279

8 Gráfico Dinâmica do modelo de Solow Fone: Solow (956). O experimeno de Sao (964) Da relação (7), supondo que se eseja no esado esacionário e que de repene a axa de poupança s aumene, o Gráfico sugere que a curva sak -(-β) se deslocará para a direia e nada ocorrerá com a curva (δ + n). É o que pode ser viso no Gráfico 2. No Gráfico 2, pode-se observar que a axa de crescimeno da economia aumena imediaamene, mas será decrescene aé que reorne ao valor zero (esado esacionário), com a relação capial por rabalhador mais elevada. O arigo de Sao descreve esse experimeno (aumeno de s) e se ineressa em esudar a velocidade de convergência do processo. Segundo ele, há as seguines hipóeses: n Y AK N com A A e N N e e 0 (8) g Revisa do BNDES 36, dezembro 20

9 Gráfico 2 Experimeno de Sao (aumeno da axa de poupança) Fone: Sao (964). Aplicando-se o logarimo naural e derivando-se (8) com relação ao empo, em-se: Y A K N K N K Y g g. Y Y A K N K N Y K. K Y. K sy e k g s Y k Tomando-se a relação K = k Y e derivando-a com relação ao empo, em-se:.... K k Y k s. g. s. n K k Y k k k A dinâmica de ransição e o crescimeno econômico em um modelo neoclássico com capial humano 28

10 da qual se pode ober, caso se muliplique udo por k :.. s k gk. s nk k s. sgk nk s( ) ( g ) k Mas, lembrando-se que α= β:. k s ( g ) k (9) Resolvendo-se essa equação diferencial, obém-se: k s Ce ( g ) ( g) (0) onde C é uma consane. Caso se queira exprimir essa relação em função da relação capial-produo, v = Y/K ou /k, em-se: v g ( g ) ( s Be ) () Assim, caso se designe s 0 e s e como sendo a axa de poupança anes e depois do seu aumeno, respecivamene, e v * 0 e v * como as respecivas relações capial-produo associadas a s 0 e s, pode-se escrever que B = s 0 s e assim pode-se reescrever () como sendo: g v ( g ) (2) ( s( s s ) e ) 0 Supondo-se que o insane k mosra o percenual k de ajusameno em relação ao ajusameno oal já alcançado aé esse insane, em-se: e log( / ( )) sk sk s k ( g ) k 0 0 k s ( k) g (3) 282 Revisa do BNDES 36, dezembro 20

11 Dessa expressão, se a axa de poupança aumena de,55 para 2,54, para aingir 0% do ajusameno oal, são necessários quaro anos, para aingir 50% de ajusameno, 30 anos, para 70% de ajusameno, novena anos, e para 90% de ajusameno, cem anos, ou seja, o ajusameno seria realmene basane leno. O experimeno de Sao pode ser viso no Gráfico 3. Mosra-se ambém que se pode inerprear o experimeno de Sao como um choque no qual o esoque de capial é reduzido em relação ao esado esacionário (Gráfico 2), exceo que nesse caso não haveria uma mudança no esoque do capial esacionário, ao passo que uma mudança de s implica um novo valor de k *. Esse é o ipo de experimeno que fazem King e Rebelo (993). Gráfico 3 Dinâmica do esoque de capial baseado no experimeno de Sao Fone: Sao (964). A dinâmica de ransição e o crescimeno econômico em um modelo neoclássico com capial humano 283

12 O modelo de Ramsey-Cass-Koopmans Nos modelos precedenes, não havia hipóese de oimização, e é isso que disingue esses modelos do modelo de Ramsey-Cass-Koopmans examinado nesa seção. Os consumidores escolhem uma sequência de consumos fuuros de forma a maximizar a soma desconada da uilidade fuura de cada um dos períodos: 4 C ( ) 0 0 e U C N d e N d (4) Também exise uma resrição que deve ser respeiada e que mosra que a quanidade de recursos exisenes na sociedade deve ser saisfeia, ou seja:. K F( K, N ) C K onde F(.) é uma função homogênea de grau e saisfaz as propriedades de uma função de produção neoclássica padrão (F (.) > 0 e F (.) < 0). Pode-se reescrever a resrição do PIB em ermos per capia como sendo:. k f( k ) c k k onde se supõe que a função f(k) respeia as condições de Inada. 5 Porano, o problema de maximização consise em: 4 Nesses modelos, não há incereza, e as previsões são perfeias e sinônimo de expecaivas racionais. 5 f(0) = 0 ; f (0) = ; f ( ) = Revisa do BNDES 36, dezembro 20

13 ( n ) Max e U ( c ) d 0. sujeio a k f ( k ) c k k k o dado Por meio da eoria do conrole óimo e de écnicas de oimização, pode-se escrever o sisema hamiloniano e derivar as condições de primeira ordem do problema: c H e f k c k k ( ) (.) ( ) ( ) onde λ é o muliplicador da resrição e o shadow price do invesimeno. As condições de primeira ordem podem ser obidas: ( ) HC 0 e c (5).. H ( f ( k) ) (6) K limk 0 (7) De (5) e (6), pode-se escrever que: 6 6 Se for calculado o logarimo naural de (5), em-se que: ( ) ln( c ) log derivando em relação ao empo :.... c c c c ( ) ( ).., c c f k de f k c c ( '( ) ) (6) ( '( ) ) A dinâmica de ransição e o crescimeno econômico em um modelo neoclássico com capial humano 285

14 . c ( f ( k) ) c Pode-se visualizar a dinâmica de ransição oriunda desse modelo no Gráfico 4. Caso a economia se enconre no pono (c 0, k o ), converge-se em direção a k *. Durane essa rajeória, o capial per capia cresce, mas a axas decrescenes e será zero no equilíbrio esacionário. À medida que a relação capial-rabalho cresce, a produividade marginal do capial decresce e cai a axa de juros real. Mas resa ainda o problema da dinâmica de ransição, que é absurdamene longa. Gráfico 4 Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans Fone: Elaboração própria. O modelo de base Além dos modelos subjacenes à análise do problema já visos aqui, mosra-se ambém o modelo que King e Rebelo uilizam e que é a 286 Revisa do BNDES 36, dezembro 20

15 referência principal dese arigo. O modelo considerado é um modelo oalmene padrão, de inspiração neoclássica e com um único seor. Descrição da economia A função de produção Exise somene um bem na economia que pode ser consumido ou invesido. Esse bem é produzido por meio de uma função de produção que mosra rendimenos consanes de escala e que é dada por: Y AF( K, X N ) (8) Nessa relação, Y é o produo, K o capial físico e N o insumo rabalho. Pode haver variações emporárias no faor de produividade oal A, mas as variações ecnológicas permanenes são resrias à produividade do rabalho N. 7 Denro do arcabouço do modelo neoclássico, o bem pode ser consumido ou invesido. Porano, a dinâmica do esoque de capial pode ser escria em ermos discreos como: K ( ) K I (9) onde I é o invesimeno bruo e δ é a axa de depreciação do capial físico. Também exise a resrição dada pelo PIB, que diz que os usos oais dos bens devem ser iguais ao PIB: 7 A inrodução de um progresso ecnológico como (8) é expressa como um progresso écnico aumenaivo no rabalho labor augmening. Na realidade, Y = F(K,N,) = G(b(),a()N ), onde G é homogênea de grau. Por definição, o progresso écnico é puramene aumenaivo no rabalho se b() = 0 e a() > 0. Pode ser mosrado que, para que um equilíbrio esacionário seja possível, é necessário que o progresso écnico permanene seja expresso como aumenaivo no rabalho, o que jusifica essa especificação. Mais especificamene, uma condição necessária e suficiene para que exisa um esado esacionário de equilíbrio é que o progresso écnico seja neuro no senido de Harrod, ou aumenaivo de rabalho. Chama-se b()k o esoque de capial medido em unidades de eficiência (efeivo no capial), enquano a()n se chama de rabalho medido em unidades de eficiência. A dinâmica de ransição e o crescimeno econômico em um modelo neoclássico com capial humano 287

16 C I Y (20) Também se pode definir a axa de crescimeno do rabalho e da produividade do capial físico como sendo respecivamene: ( N N ) N NN onde N (2) N K K onde ( K K ) K K (22) K Para a poupança, exisem duas especificações possíveis: a) seguindo a linha de Solow-Sao, em que a poupança é uma fração da renda e fixada de forma exógena e s é a axa de poupança; I sy Y (23) b) seguindo a especificação de Ramsey-Cass-Koopmans, em que a axa de poupança é deerminada por um comporameno óimo de um consumidor represenaivo que escolhe uma sequência de consumos fuuros óimos. King e Rebelo rabalham com a especificação seguine para a função de uilidade: C j j U M ju j0 M (24) j Nessa especificação, β é a axa de descono ineremporal das uilidades fuuras e esá compreendida enre 0 e, M é o número de membros da família e ν é um parâmero que reflee a avaliação dos membros fuuros da família 8 e: 8 King e Rebello (993) jusificam a escolha dessa forma funcional dizendo que se deve impor uma resrição sobre as preferências porque a elasicidade ineremporal de subsiuição do consumo deve ser invariane em relação à escala de consumo. Isso decorre do fao de que o produo marginal do capial PMG K = + r no equilíbrio e deve ser consane no equilíbrio esacionário. Como o consumo cresce a uma axa consane e a razão das uilidades marginais desconadas = + r, a elasicidade ineremporal de subsiuição deve ser consane e independene do consumo. 288 Revisa do BNDES 36, dezembro 20

17 C U ( C ), para 0 ou log( C ), para Com relação à ofera de rabalho, considera-se que cada membro da população oferece um número fixo de horas al que N = n.m. Esimação do modelo de Solow-Sao procedimeno usado Supõe-se inicialmene uma função de produção do ipo Cobb- -Douglas: 9 Y AK ( N X ) (25) onde N X é o rabalho medido em ermos de unidades de eficiência. Como a variação em A é emporária, pode-se, sem perda de generalidade, normalizá-lo a. Isso leva em consideração o fao de que o que ineressa é o esado esacionário, iso é, o longo prazo. Uiliza-se o sofware GAMS (General Algebraic Modelling Sysem) com o solver MINOS para simular o modelo de Solow-Sao. Para ano, o procedimeno compreende rês passos: ) resolução analíica do problema; 2) calibração dos parâmeros do modelo; e 3) resolução numérica do modelo com GAMS. 9 Pode-se noar que, quando se rabalha com uma função de produção do ipo Cobb-Douglas, os dois ipos de progresso écnico (neuro no senido de Harrod e neuro no senido de Hicks) são idênicos. A dinâmica de ransição e o crescimeno econômico em um modelo neoclássico com capial humano 289

18 No experimeno de Solow-Sao, a resolução do modelo é basane simples e consise em combinar as relações (8), (9), (20), (2), (22) e (23), de onde se pode irar: K K sk N X K ( ) Caso se esude uma economia ransformada em que cada variável é dividida por M X de al forma que k = K /M X,y = Y /M X ec..., obém-se: 0 K M X K K N X K s M X MX MX MX MX MX k XN k sk n k (26) O procedimeno adoado para a calibração dos parâmeros do modelo segue uma lógica simples. Com base em dados reirados de King e Rebelo, o equilíbrio esacionário inicial pode ser derivado de (26). * * * * * X N / * * * sn N sk n k XN ( ) ( ( )) X k k sk n k k (27) Com base nos valores dos parâmeros de King e Rebelo (baseados no rabalho de Sao), s = 0,2, α = 2/3, ζ X =,4% e ζ N =,024% e δ = 0,0, esses valores implicam um valor para k * de 0,67. A convergência de (26) pode ser facilmene visa por meio de uma ligeira ransformação (desconsiderando-se ζ X e ζ N, que são consanes): k sk n ( ) (26 ) k 0 Noe-se que N =nm e assim N X / M X = e M +/ M = nn +/ nn = N +/ N = ζ N. Na realidade, Sao não rabalha com a depreciação em seu esudo e King e Rebello nada dizem sobre o valor de η. 290 Revisa do BNDES 36, dezembro 20

19 Se k 0 < k *, k + > k, o que implica que no insane seguine k vai aumenar. 2 De forma conrária, se k 0 > k *, k + < k, o que implica que no insane seguine k vai diminuir. A convergência pode ser visualizada no Gráfico 5. Gráfico 5 Convergência do modelo de Solow/Sao Fone: Elaboração própria. Nesse momeno, é possível realizar o experimeno desejado. Supõe-se, inicialmene, que a economia eseja no esado esacionário dado por (27). Perurba-se esse equilíbrio com um choque em = 0 e o resulado é que a economia não esará mais em equilíbrio e o esoque 2 Podem-se calcular as derivadas primeira e segunda: k s( ) k 0 k N X k s( ) k 2 2 k NX 0 A dinâmica de ransição e o crescimeno econômico em um modelo neoclássico com capial humano 29

20 de capial deve se ajusar de forma que o equilíbrio seja aingido novamene. Mas, em vez de se concenrar sobre um choque sobre a axa de poupança (o que muda o equilíbrio esacionário), King e Rebelo supõem que o choque é dado sobre o esoque de capial inicial k 0 (o que não alera o equilíbrio esacionário). O esoque de capial inicial é um dado fundamenal para o problema e foi fixado de al forma que o produo no insane inicial seja equivalene a 50% do nível do esado esacionário. 3 Porano, o modelo foi calibrado para as variáveis no esado esacionário e em seguida fixou-se k 0 a um nível equivalene a 2,5% do nível do esado esacionário. Ora, a relação (26) deve ser válida para odos os insanes, ou seja, para =, 2,3,... Isso leva a um sisema de equações a diferenças e, porano, uiliza-se GAMS para resolvê-lo. Os resulados dese rabalho não são iguais aos obidos por King e Rebelo, como pode ser viso no Gráfico 6, e se parecem mais com o resulado obido por Sala-i-Marin (990), em que o modelo previa que a diferença enre k 0 e k * desapareceria em pouco mais do que seis anos. Trabalha-se ambém com a hipóese de não haver depreciação, o que orna a convergência mais lena e aumena a duração da dinâmica de ransição, conforme observado por Sao. 3 -α α Como Y = A K N, onde A = por efeio de normalização, pode-se ransformar a função de produção: Y K ( N X ) y F( k, n) k n MX MX X De onde se pode achar que y* = 0,88. Porano 0,50 y* = 0,094, que é o valor de y 0 e isso permie enconrar o valor de k 0, pois k 0 /3 nα = 0,094 e de lá irar que k 0 = 2,5% k*. 292 Revisa do BNDES 36, dezembro 20

21 Gráfico 6 Modelo de Solow-Sao resulados do arigo x King e Rebelo Fone: Elaboração própria. Esimação do modelo de Ramsey-Cass-Koopmans procedimeno usado Como sublinhado aneriormene, oura possibilidade é que a axa de poupança seja endógena e decorra das escolhas óimas dos consumidores ao longo de um horizone de empo. Como é a rajeória de consumo que decorre da oimização ineremporal, deve-se considerar que o esoque de capial e seu shadow price evoluem no empo, como é padrão nesse ipo de modelo. Mas, como se rabalha nese arigo com um modelo em empo discreo, chega-se a um sisema de equações a diferenças no esoque de capial e no shadow price do capial. King e Rebelo escolheram o méodo de resolução numérica chamada de shooing para resolver esse sisema. 4 4 Esse ipo de problema é chamado de wo boundary value problems e é caracerizado pelo fao de que as equações diferenciais devem saisfazer as condições exremas para mais que um valor A dinâmica de ransição e o crescimeno econômico em um modelo neoclássico com capial humano 293

22 O méodo-padrão para analisar esse ipo de modelo com crescimeno no esado esacionário consise em ransformar a economia de al forma que a dinâmica seja mais fácil de ser esudada. No conexo desse modelo aqui considerado, a ransformação consise em dividir odas as variáveis do sisema por M X de al forma que odas as variáveis são ransformadas, assim k = K /M X,y = Y /M X ec. Essa economia ransformada é idênica a uma economia simples sem crescimeno, exceo pela equação de acumulação de capial, que mudará assim como a axa de preferência efeiva (por causa da ransformação no consumo e, por conseguine, na poupança). Segundo o méodo uilizado, resolve-se analiicamene o problema e enconram-se as condições de primeira ordem. Trabalha-se com as relações (8), (9), (20), (2), (22) e (24), de onde se pode irar: j C j C U MU M j0 M j0 M C C M M 0 0 o M0 M 2 C 2 3 C 3 M2 M3 M2 M3 M C M 4... da variável independene. Escolhem-se os valores para odas as variáveis dependenes em um exremo. Inegra-se a equação diferencial em direção ao ouro exremo aé que esse seja aingido. Observa-se a diferença em relação ao valor desejado. Uiliza-se essa informação para aualizar o valor de parida e se procede novamene de forma ieraiva. Porano, em-se um problema mulidimensional de onde se podem achar as raízes. O procedimeno é repeido diversas vezes e se uiliza cada iro (shooing) para melhorar a enaiva anerior. As preferências são côncavas, a ecnologia é convexa e, porano, há um só equilíbrio e uma só rajeória óima. 294 Revisa do BNDES 36, dezembro 20

23 295 A dinâmica de ransição e o crescimeno econômico em um modelo neoclássico com capial humano v v v C M X M X C M X M X C M X M X v v v v M X c M X c M X c M X c c M X c M X X M M X c M X M X c M X N X N X N X c c X M c c

24 e 0 X * c0 * c 0 M * c2 * N X c3... M X c 0 ou j 0 0 * j0 onde j o * j j j0 U M logc log X, * N X Essa condição é para assegurar que a uilidade não seja infinia. O problema consise em maximizar as uilidades aneriormene ciadas, dependendo do valor assumido por σ, respeiando-se a seguine resrição do PIB: k NX k c k n k Pode-se enão escrever o lagrangeano do problema como sendo: 5 * U( C j) j j0 j0 L F( k, n) c ( ) k k j j j N X j É conveniene definir o muliplicador de lagrange desconado λ como sendo λ = Λ / (β*) e assim reescrever a relação como sendo: 5 K K K C K ( NX) K M X K K K ( N X ). M X MX MX MX MX k k k c k n F( k, n) n x 296 Revisa do BNDES 36, dezembro 20

25 LU( c ) U( c ) U( c )... 2 * * 2 F( k, n) c ( ) k k N X j F ( k, n) c ( ) k NXk 2... Dessa relação, podem-se ober as condições de primeira ordem do problema: L U ( c ) 0 c (28) L F( k, n) c ( ) k NXk 0 (29) L k F ( k, n) ( ) 0 N X * k (30) Essas condições permiem ober as equações dinâmicas para o capial e seu shadow price. 6 c (3) F( k, n) c ( ) k NXk (32) F NX * ( k, n) ( ) k (33) 6 Como a função de uilidade é do ipo CRRA, em-se que: c U'( c) ( ) c A dinâmica de ransição e o crescimeno econômico em um modelo neoclássico com capial humano 297

26 As equações (3), (32) e (33) mais a condição erminal expressa pela condição de ransversalidade seguine: lim ( ) 0 * k devem ser verificadas para = 0,,...,. O esoque de capial inicial, k 0, é predeerminado e a condição de ransversalidade deve ser saisfeia. Tem-se assim um sisema de equações com variando de 0 a e pode-se usar GAMS para resolver o modelo. A calibragem do modelo O procedimeno seguido para a calibração dos parâmeros do modelo segue uma lógica relaivamene simples. A calibração é a descrição de como foram aribuídos os valores para os parâmeros que descrevem a ecnologia, as preferências ec. Os dados irados do esudo de King e Rebelo são os seguines: a paricipação da mão de obra no valor adicionado, α = 2/3; o número de horas que cada membro da população consagra à produção, n = 0.2; a axa de depreciação, δ = 0,0; a axa de crescimeno da mão de obra, ζ N =,024%; e a axa de juros real no esado esacionário que se supõe igual a 6,5% a.a. como King e Rebelo. Sabe-se que no esado esacionário a produividade marginal do capial deve saisfazer a condição seguine: PMG k δ = r *, onde r * é a axa de juros real no esado esacionário. De lá, pode-se ober o esoque de capial no esado esacionário k *, pois: *2/3 2/3 * ( )k n r e assim k * 3/2 * r 0,574 2/3 ( ) n 298 Revisa do BNDES 36, dezembro 20

27 Da mesma forma, pode-se ober o valor de β * que vem da relação aneriormene exposa: * N X 0,9629 Da equação (29) reescria, obém-se o valor do consumo no esado esacionário c * : F( k, n) c ( ) k k * * * * N X Finalmene, da equação (28), obém-se o shadow price λ : c * 4,73 Também se pode achar o valor do produo no esado esacionário y *, pois y * = k */3 = 0,284. O capial inicial foi escolhido de forma que F(k 0,)/(F(k *,)ζ 00 X = /7 e achou-se y 0 = 0,26, o que implica que k 0 = 0, O valor de ζ X =,4% é a solução para ζ X = 4, que é o crescimeno da produividade durane cem anos. Suponha-se que a economia se enconre no insane inicial no equilíbrio esacionário descrio e de repene no insane = 0 o esoque de capial seja reduzido. O resulado é que a posição daí derivada não é mais um equilíbrio, e o sofware GAMS vai procurar a solução maximizando a função uilidade ineremporal objeivo, respeiando as resrições anes apresenadas. Já foi resolvido o sisema de forma analíica e, como se em as condições de primeira ordem sendo um sisema de equações, GAMS vai resolver o problema para um período de 00 anos que saisfaz essas resrições para cada período e mais a condição de ransversalidade. Os gráficos 7, 8, 9 e 0 mosram a dinâmica de ransição do modelo neoclássico quando se rabalha como uma função de uilidade logarímica. Mosra-se o consumo (Gráfico 7), o esoque de capial per capia (Gráfico 8), o produo (Gráfico 9) e a axa de juros real (Gráfico 0). Todas as variáveis foram deflacionadas por X e os valores no equilíbrio esacionário foram normalizados à unidade. O consumo cresce de forma monoônica, mas a uma axa decrescene. Esse resulado é esperado do pono de A dinâmica de ransição e o crescimeno econômico em um modelo neoclássico com capial humano 299

28 visa analíico quando se rabalha com uma função do ipo CRRA (consan relaive risk aversion) com elasicidade consane (não há incereza no modelo). A velocidade de convergência é basane rápida, conradizendo o que se esperava. No início, a axa de crescimeno do produo (Gráfico 9) é elevada, mas depois se reduz. Finalmene, o valor implicado para a axa de juros real (Gráfico 0) é basane elevado, por vola de 40% a.a. Esse fao raduz o rendimeno decrescene em relação ao faor que se acumula (capial físico) e diz que, para financiar o crescimeno, a axa de juros real deveria ser de 40% a.a. no início do processo. Esse fao é um elemeno-chave no modelo neoclássico. Como uma axa de juros real de 40% a.a. parece desmesurada, em relação à experiência inernacional, foram enadas algumas variações dos parâmeros do modelo. Gráfico 7 Modelo de base consumo Fone: Elaboração própria. 300 Revisa do BNDES 36, dezembro 20

29 A velocidade de convergência da dinâmica de ransição pode ser reduzida de maneira considerável se for diminuída a elasicidade de subsiuição ineremporal do consumo (/σ). Os mesmos gráficos 7, 8, 9 e 0 descrevem a dinâmica de ransição para o caso em que a elasicidade de subsiuição é σ = 5, com a escala devendo ser lida no lado direio do gráfico. Essa diminuição do grau de subsiuição orna o processo mais leno, mas a axa de juros real permanece ainda muio ala: em vez de 38% a.a. (σ = ), passa a ser de 28% a.a. (σ =5). Gráfico 8 Modelo de base esoque de capial Fone: Elaboração própria. Também se considerou uma elevação na paricipação do capial físico aumenando α de /3 para 0,5, mas al mudança não alerou as conclusões qualiaivas do modelo com a axa de juros real ainda muio elevada, embora essa seja ligeiramene mais baixa do que o caso em que σ é igual a 5. Chegou-se, pois, à conclusão de que a axa de juros real é muio elevada no início dos anos 900 se for A dinâmica de ransição e o crescimeno econômico em um modelo neoclássico com capial humano 30

30 considerado o modelo neoclássico. King e Rebelo uilizam esse fao para dizer que o crescimeno exógeno é de pouca uilidade para a explicação do crescimeno econômico observado. Considerou-se ainda a possibilidade de rabalhar com uma função de produção mais geral como a função do ipo ESC (elasicidade de subsiuição consane) com ρ = 0,5 (parâmero de subsiuição). Nesse caso, a axa de juros real ainda permanece elevada, sendo aé mais elevada do que o modelo de base original. Porano, a conclusão inicial é que, ainda que se alerem os parâmeros do modelo, as axas de juros reais permanecem absurdamene alas nos períodos iniciais do crescimeno econômico. 7 Gráfico 9 Modelo de base produção Fone: Elaboração própria. 7 A axa de juros elevada é uma decorrência naural do modelo neoclássico. Para ver isso, recorre-se a um pequeno exemplo. Para al, usa-se a função Cobb-Douglas, f(k) = k α, em que a condição do equilíbrio esacionário, sf(k * )=δk *, se ornaria sk α = δk, que resula em: k * = (s/δ) (/(-α)). O nível de produo do equilíbrio esacionário seria: y * = f(k * ) = (s/δ) (α/(-α)). Noe-se que, caso se considere α = /3 e δ = 0,05 (5%) e s = 0,2 (20%), o esoque de capial seria,5 vezes o número de rabalhadores e a axa de juros real seria r = f (k) δ, ou r = αk α- - δ = 0,45 ou 45%, uma axa exremamene elevada. 302 Revisa do BNDES 36, dezembro 20

31 Deve-se olhar com cauela os resulados de King e Rebelo, pois exise ainda uma possibilidade promissora não explorada por eles, que é a inrodução do capial humano. Essa possibilidade poderia fornecer resulados mais razoáveis, pois se inroduziria uma variável de escolha a mais para os agenes, a parcela de seu empo que eles irão dedicar à sua formação, o que vai influenciar o produo e, porano, a produividade marginal do capial. Pode-se fazer isso manendo o modelo de crescimeno exógeno e guardando as propriedades assinóicas do modelo neoclássico. Isso será explorado no resane do rabalho. Gráfico 0 Modelo de base axa de juros real Fone: Elaboração própria. A acumulação de capial humano e o modelo de Lucas (988) Os modelos de capial humano êm uma hisória muio longa, mas ganharam definiivamene projeção quando esse ema foi reomado por A dinâmica de ransição e o crescimeno econômico em um modelo neoclássico com capial humano 303

32 Lucas (988). O auor aribui grande imporância ao capial humano e desaca o papel primordial da educação no processo de acumulação. Lucas argumena que se pode er rendimeno de escalas consanes nos insumos que são acumulados, acrescenando que odos os insumos podem ser acumulados, incluindo o que esá relacionado ao faor rabalho. Porano, ele inclui o capial humano na função de produção, em vez do rabalho em si (horas de rabalho ou simplesmene mão de obra não qualificada). O capial humano pode mudar com invesimeno em educação (os indivíduos podem escolher quano de seu empo irão dedicar aos esudos) e assim exise acumulação nos dois insumos da função de produção e não somene no capial físico, como no modelo de Solow-Sao e na versão de Ramsey-Cass-Koopmans. Tudo o que é necessário para gerar o crescimeno é er algum ipo de incenivo a invesir no capial humano, o que orna esse faor não decrescene. Dio de oura forma, o auor posula uma função de produção que em rendimenos consanes de escala, de forma que seja consane o seu produo marginal (que represena o incenivo para despender seu empo esudando). Lucas considera uma economia fechada com mercados compeiivos e uma população N no insane, em que os agenes são odos idênicos e racionais. A população cresce a uma axa consane ζ N. Seja c um fluxo de consumo per capia de um único bem, que pode ser consumido ou invesido. As preferências são descrias pela função: C j j U M ju j0 M (34) j j0 N j * c j j (35) 304 Revisa do BNDES 36, dezembro 20

33 Seja h o nível individual de capial humano de um rabalhador ípico. Ele represena um índice de eficiência do rabalho direamene relacionado à educação e, por conseguine, ao empo consagrado ao esudo. Para um número N de rabalhadores empregados na produção de bens físicos, corresponde uma quanidade H = h N de capial humano. É essa quanidade que enra como insumo na função de produção. Considere-se agora a produção de capial humano. Caso se desconsidere a exisência de exernalidades advindas do capial físico, pode-se escrever a acumulação de capial humano como sendo: h h G( u) h (36) O indivíduo consagra uma pare de seu empo, a parcela u de seu empo de rabalho, às aividades de produção de bens e uma pare u à sua educação, que acabará se converendo em melhor qualificação e aumeno do indicador de eficiência h. A axa de crescimeno do capial humano depende do empo dedicado à formação, segundo uma função de produção de capial humano G que em rendimenos de escala consanes, iso é, a axa de crescimeno do esoque de conhecimeno é proporcional ao empo que ele passou esudando, u. Se nenhum esforço for dedicado ao capial humano, ou seja, u = 0 e não se acumula capial humano. Se odo o empo do rabalhador for consagrado ao capial humano, u cresce a uma axa máxima. O produo Y dessa economia (definido como produo nacional líquido) em a seguine especificação: Y AK u hn ( ) (37) onde Y denoa o produo, K denoa o capial físico, N é o insumo rabalho (em homens-hora), u é o esforço devoado à acumulação de capial físico, h é o nível de écnica (um índice de eficácia), α é a paricipação do capial físico na função de produção ( 0 < α < ) e A é o nível do parâmero ecnológico consubsanciado em um faor de escala (neura à la Harris). Essa é uma função de produção A dinâmica de ransição e o crescimeno econômico em um modelo neoclássico com capial humano 305

34 agregada com reornos consanes de escala, em que o ermo u h N é frequenemene chamado de capial humano. Pode-se considerar que o modelo de King e Rebelo rabalha com um caso paricular do modelo mais geral, ou seja: Y AK u h X M ( ) (38) exceo pelo fao de que, no modelo de Lucas, u e h são endógenos, enquano no modelo de King e Rebelo esses faores são suposos de serem exógenos e fixados como sendo iguais à unidade. A acumulação de capial em a formulação radicional por meio de uma equação a diferenças para a acumulação de capial que mosra que a evolução do invesimeno pode ser descria como segue: K K I KK (39) onde δ K é a axa de depreciação do capial. Especificou-se a equação em diferenças para a acumulação de capial humano à la Lucas (988) com uma ligeira, mas fundamenal, diferença: h h h ( u) hh (40) onde δ h é a axa de depreciação do capial humano. Essa equação posula uma ecnologia relacionando o crescimeno do capial humano ao nível já aingido e o esforço devoado à aquisição de mais capial humano. 8 h h 8 ( u) h h 0 h à medida que h cresce, a axa de crescimeno do capial humano se aproxima de zero e, porano, essa formulação guarda as propriedades assinóicas do modelo de crescimeno exógeno sem capial humano. No esado esacionário, como h é um índice que mede a eficiência, esse pode ser normalizado à unidade (h * = ), e ambém como o consumo não cresce mais no esado esacionário, u * =, ou seja, os indivíduos não dedicam mais empo à sua formação e enão o modelo se orna equivalene ao de King e Rebello. É simples noar que, se h ende para um, em-se: 306 Revisa do BNDES 36, dezembro 20

35 Na formulação dese arigo, exisem reornos decrescenes na acumulação de capial. Como u 0, a relação (40) implica que a axa de crescimeno de capial humano deverá evenualmene ender a uma consane quando h cresce, independenemene de quano esforço é devoado à sua acumulação. Essa formulação simplesmene complica o modelo original de Solow, mas preserva as mesmas propriedades do modelo neoclássico de crescimeno exógeno. Porano, nese rabalho supõe-se que exisem rendimenos decrescenes de escala, enquano Lucas rabalha com rendimenos consanes de escala para o capial humano. A axa de depreciação de capial δ h foi fixada em 0,08, sendo u a variável de escolha que mede o esforço dedicado à produção de capial físico. O parâmero ε se siua enre 0 e, o que quer dizer que, à medida que h cresce no decorrer do empo, o modelo se aproxima do modelo de crescimeno neoclássico (crescimeno exógeno). A equação adicional do modelo é a resrição de recursos sobre o consumo e o invesimeno: Y C I (4) Da mesma forma que os modelos aneriores, aqui supõe-se que há um crescimeno consane na produividade, com a produividade fixada de forma exógena e com uma axa de crescimeno da mão de obra consane e exógena: N N (42) N X XX (43) A poupança é deerminada por uma função de uilidade em que as preferências são: C (44) j j U N ju j0 N j A dinâmica de ransição e o crescimeno econômico em um modelo neoclássico com capial humano 307

36 onde β é o faor de descono, N é a população e ν é um parâmero que reflee a avaliação da população fuura. A uilidade per capia, U(c ), em a forma de uma função com elasicidade consane: c Uc ( ), 0 ou (45) Transformou-se a economia em uma economia esacionária na qual a dinâmica é mais fácil de analisar dividindo odas as variáveis no sisema pelos componenes de crescimeno N X, al que c = C / N X, k = K / N X ec. Essa economia se orna idênica a uma economia sem crescimeno com duas exceções. Primeiro, a equação da equação de acumulação (39) se orna : x Nk ( K) k i (46) Segundo, a ransformação do consumo na especificação da forma funcional das preferências alera a axa efeiva de preferência ineremporal, ou seja: 0 0 * 0 c U N X, para (47) onde * NX e β * < é requerido ao longo de odo o processo para garanir que a uilidade enha empo de vida finio. Pode-se ransformar a função objeivo (47) por meio de uma escolha apropriada de X 0 e N 0. Combinando odas essas equações e a função objeivo, forma-se o lagrangeano e pode-se escrever as condições de primeira ordem para a economia ransformada: Max U sujeio às condições: 0 * c, (48) x Nk ( K) k i 308 Revisa do BNDES 36, dezembro 20

37 o que permie escrever : h h h u h ( ) h LU( c ) U( c ) U( c ) U( c ) * * 2 * 3 y c ( ) k k * K N X 2 y c ( ) k k... 2 * 2 2 K 2 N X 3 h ( u) ( h) h h h ( u ) ( h) h h Pode-se daí derivar as condições de primeira ordem: 9 L U ( c ) 0 c c (49) L k NX * k ( uh) ( k) 0 (50) L h * ( ) k u h * ( ) h ( u ) ( h) 0 L y c ( K) k NXk 0 L u h h h ( ) ( h) 0 L k h u u h u ( ) ( ) 0 (5) (52) (53) (54) y k ( u h) ; y k ( u h ) 9 A dinâmica de ransição e o crescimeno econômico em um modelo neoclássico com capial humano 309

38 Esse sisema de equações a diferenças permie ober as equações dinâmicas para o capial físico (k ) e para o capial humano (h ) e os seus shadow prices λ e θ, respecivamene: c (50 ) ( ) k u h * * ( ) h ( u ) ( h) N X * k ( uh) ( k) ( ) ( k) NX (5 ) (52 ) k u h c k k (53 ) Noe-se que nesse caso, diferenemene de King e Rebelo, há duas variáveis de escolha (c e u ). King e Rebelo omaram u como fixo e igual à unidade, enquano nese arigo supõe-se que, em vez disso, u é definido de forma endógena. A equação (50 ) dá a evolução do consumo ao longo do empo, a equação (52 ) dá a evolução do shadow price do capial físico (λ ), a equação (5 ) dá a evolução do shadow price do capial humano (θ ) e a equação (53 ) dá a evolução do capial humano (h ). Deve-se levar em cona ambém as condições erminais expressas pelas condições de ransversalidade para o capial físico e o capial humano: * k (54 ) lim 0 * k (55 ) lim 0 onde λ é o valor presene do muliplicador de lagrange associado ao capial físico e θ é o valor presene do muliplicador de lagrange associado com o capial humano. As relações (50 )-(53 ) devem valer para odo =, 2,..., e (54)-(55) são as condições erminais. O esoque inicial de capial da economia k 0 e h 0 são dados. Como 30 Revisa do BNDES 36, dezembro 20

39 se consideram rajeórias de equilíbrio que emergem da oimização ineremporal, ou seja, depois de resolver analiicamene o modelo chega-se a um sisema de equações a diferenças no esoque de capial físico, no esoque de capial humano, no shadow price do esoque de capial físico e no shadow price do preço do capial humano. Sob nossas suposições sobre as preferências e do conjuno de possibilidades de produção, as condições (50)-(55) são necessárias e suficienes para um óimo. Para resolver esse sisema de equações, usa-se o sofware GAMS. A calibração do modelo Ao esudar a dinâmica de ransição sob previsão perfeia, o procedimeno dese rabalho segue o modelo proposo por King e Rebelo (993). Normaliza-se o nível do parâmero A de ecnologia à unidade e escolhe-se o parâmero de paricipação do capial físico no valor adicionado, α, como sendo igual a 2/3, o que esá de acordo com esimaivas inernacionais. Escolhe-se a axa de depreciação para o capial físico como sendo igual a 0, e a axa de depreciação para o capial humano como sendo igual a 0,08. Exige-se durane a simulação que a axa de juro real do equilíbrio esacionário seja igual a 6,5% a.a. A axa de crescimeno populacional foi fixada em,024% ao ano. Para escolher k 0 e h 0, fixou-se o capial per capia no insane zero como sendo igual a /7 do seu nível de equilíbrio esacionário. Como King e Rebelo, supõe-se que, se a dinâmica de ransição é oalmene compleada, será responsável por meade do crescimeno do produo per capia que se ornou see vezes maior nos úlimos cem anos. Isso implica fazer com que F(k *,u * h * )/ F(k 0,u 0 h 0 ) = 7. Assim sendo, a dinâmica de ransição e o progresso écnico junos geram um nível de produo que é, no equilíbrio esacionário, see vezes maior que no insane zero. Fixou-se o valor de u * em 0,99, o que significa que no esado esacionário o esforço dedicado à produção de capial A dinâmica de ransição e o crescimeno econômico em um modelo neoclássico com capial humano 3

40 físico é de 99% e que os indivíduos devoam % do seu empo para a acumulação de capial humano (só o suficiene para compensar pela depreciação do capial humano). Na realidade, caso u * fosse fixado em, haveria uma solução de cano, o que criaria problemas adicionais para a resolução numérica do problema sem acrescenar nada de novo à inuição do modelo. Pode-se calcular o par (k 0,h 0 ) que saisfaz esse crescimeno do produo especificado aneriormene. A condição fixada sobre a axa de juros real deermina o esoque de capial físico no equilíbrio esacionário e enão se pode calcular o par (k 0,h 0 ) como uma função de seus próprios valores no equilíbrio esacionário. O parâmero que mede o reorno consane de escala na função de produção (ε) é fixado em 0,5. Não se enconrou qualquer esimaiva para esse parâmero na lieraura. O parâmero Ф foi fixado em 0,6 e para ambos os parâmeros foram escolhidos ouros valores, com as conclusões gerais manidas. Para resolver numericamene esse problema, usou-se a roina MINOS disponível no programa GAMS desenhado para resolver esse ipo de problema. Resulados da simulação Supõe-se inicialmene que a economia se enconra em um equilíbrio esacionário e de repene em = 0 o esoque de capial (físico e humano) é reduzido (pelas condições anes ciadas). O resulado é que a posição em que se enconra a economia não represena mais um equilíbrio. Uma vez que já se resolveu analiicamene o problema, usam-se as condições de primeira ordem (50)-(55) como sendo o sisema de equações que permiirá reconsruir a evolução aé que se ainja novamene o equilíbrio esacionário. GAMS vai resolver numericamene o problema enconrando os valores que saisfaçam as resrições para cada insane. Os gráficos, 2, 3,4 e 5 fornecem as informações de base sobre a dinâmica da ransição do modelo neoclássico com a inrodução 32 Revisa do BNDES 36, dezembro 20

41 do capial humano. Mosram-se a evolução do consumo (Gráfico ), o esoque de capial físico (Gráfico 2), o produo (Gráfico 3), a evolução do esoque de capial humano (Gráfico 4) e a axa de juros real (Gráfico 5), resumindo os resulados enconrados. Todas as variáveis foram deflacionadas por X e seus valores no equilíbrio esacionário foram normalizados à unidade. Gráfico Evolução do consumo modelo com capial humano Fone: Elaboração própria. O consumo sobe de maneira monoônica, mas a axas decrescenes, o que era esperado em decorrência da função de uilidade do ipo CRRA, que em elasicidade de subsiuição consane. A axa de crescimeno do produo é, no início, elevada, mas depois se reduz. O mesmo fao pode ser observado para o esoque de capial A dinâmica de ransição e o crescimeno econômico em um modelo neoclássico com capial humano 33

42 físico. Há, porano, a mesma dinâmica observada aneriormene, ou seja, no caso sem capial humano. A convergência é assegurada, esável e única. A evolução do esoque de capial humano ambém é convergene em direção ao equilíbrio esacionário, equilíbrio esse esável e único. Gráfico 2 Evolução do capial físico modelo com capial humano Fone: Elaboração própria. 34 Revisa do BNDES 36, dezembro 20

43 Gráfico 3 Evolução do produo modelo com capial humano Fone: Elaboração própria. Enreano, a maior diferença enre os resulados pode ser observada no Gráfico 5, que mosra a evolução da axa de juros real. Aqui, conrariamene ao modelo de King e Rebelo, que obiveram axas de juros reais absurdamene elevadas e incompaíveis com a hisória do início do século XIX, as axas de juros reais obidas são basane razoáveis (da ordem de 5% a.a.) enquano no rabalho de King e Rebelo obinham-se axas de 05% a.a., e em nossa replicação dos resulados deles obivemos axas da ordem de 38% a.a. Porano, a inrodução do capial humano resolveu o problema de uma axa de juros real ão elevada no início do processo de crescimeno, o que era a inenção inicial dese rabalho. A dinâmica de ransição e o crescimeno econômico em um modelo neoclássico com capial humano 35

44 Gráfico 4 Evolução do capial humano modelo com capial humano Fone: Elaboração própria. Mas qual seria a explicação para esse resulado? Anes da inrodução do capial humano, deve-se lembrar que a função de produção era somene dependene do esoque de capial físico e da mão de obra não qualificada: Y F( K, N X ) (56) Manendo-se X e N fixos, a função de produção é ipicamene côncava, mosrando rendimenos marginais posiivos, mas decrescenes 36 Revisa do BNDES 36, dezembro 20

45 em relação ao faor K que se acumula. 20 Isso resula em um formao de curva de produo marginal conhecido. Como a axa de juros real é definida como o produo marginal do capial, em-se que: FK (, NX ) r K (57) ou seja, a axa de juros real em o mesmo comporameno. Mas, como o esoque de capial no início do processo de crescimeno é basane raro (na realidade, em função da hipóese de King e Rebelo, no insane inicial equivale a /7 do nível de equilíbrio esacionário), vê-se que a produividade marginal do capial físico é, porano, muio elevada (Gráfico 6). Assim, a axa de juros real é elevada, como reflexo da raridade do capial físico, do que decorre sua elevada produividade marginal. À medida que o processo de acumulação de capial aconece, o esoque de capial aumena e a sua produividade marginal cai. Por ouro lado, se for inroduzido ouro ipo de capial o capial humano, a relação se modifica. A curva do produo marginal do capial ainda mosra rendimenos decrescenes, mas a axa de juros real no início, que é a produividade marginal do capial físico, se orna mais baixa. Ora, se essa é muio elevada em relação à produividade marginal do capial humano, os indivíduos vão aumenar u (empo que os indivíduos dedicam à produção e à acumulação física de capial) e, com isso, a acumulação e a produção de capial humano caem (menos empo consagrado para o esudo, por exemplo, e mais empo para a produção de bens). 20 O produo marginal do capial em as condições usuais: FKNX ( ) K 2 FKNX ( ) 0 K 2 0 A dinâmica de ransição e o crescimeno econômico em um modelo neoclássico com capial humano 37

CAPÍTULO 9. y(t). y Medidor. Figura 9.1: Controlador Analógico

CAPÍTULO 9. y(t). y Medidor. Figura 9.1: Controlador Analógico 146 CAPÍULO 9 Inrodução ao Conrole Discreo 9.1 Inrodução Os sisemas de conrole esudados aé ese pono envolvem conroladores analógicos, que produzem sinais de conrole conínuos no empo a parir de sinais da

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