Experimento. Guia do professor. O método de Monte Carlo. Governo Federal. Ministério da Educação. Secretaria de Educação a Distância

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1 Análise de dados e probabilidade Guia do professor Experimeno O méodo de Mone Carlo Objeivos da unidade 1. Apresenar um méodo ineressane e simples que permie esimar a área de uma figura plana qualquer;. Abordar probabilidade geomérica. licença Esa obra esá licenciada sob uma licença Creaive Commons Secrearia de Educação a Disância Minisério da Ciência e Tecnologia Minisério da Educação Governo Federal

2 O méodo de Mone Carlo Guia do professor Sinopse Nese experimeno, será apresenado aos alunos um processo ineres sane que serve para esimar a área de uma figura plana qualquer, conhecido por ser uma das aplicações do Méodo de Mone Carlo. Para isso, na primeira eapa, enaremos mosrar aos alunos que o méodo funciona e, na segunda eapa, pediremos para que calculem a área real do erriório brasileiro a parir de um mapa cuja área será esimada pelo méodo aprendido. Coneúdos Probabilidade: Probabilidade Geomérica; Razão e Proporção: Proporcionalidade Direa. Objeivos 1. Apresenar um méodo ineressane e simples que permie esimar a área de uma figura plana qualquer;. Abordar probabilidade geomérica. Duração Uma aula simples. Maerial relacionado Experimeno: Aposas no relógio, Quanos peixes há no lago?

3 Inrodução O experimeno Podemos dizer que os méodos do ipo Mone Carlo usam a sore ou o azar a favor de quem precisa fazer algumas esimaivas de áreas, por exemplo. Exploradores de peróleo e de minerais ambém usam méodos semelhanes para esimar a quanidade do maerial precioso em uma jazida recém descobera. Há muios cálculos em Física Nuclear e de Alas Energias que precisam deerminar quanidades equivalenes a áreas (inegrais) que são impossíveis de se calcular de maneira exaa e muio demoradas para o compuador calcular com ala precisão. Neses casos, as esimaivas fornecidas pelos méodos de Mone Carlo são cruciais para ober resposas razoáveis em empos aceiáveis pelos cienisas. O cálculo da área dos objeos desa aividade poderia ser feio de várias ouras maneiras. O principal objeivo do experimeno não é a obenção da área e sim a percepção de como podemos responder pergunas de cálculo uilizando ferramenas probabilísicas. Moivação Esa aividade é simples, lúdica, muio práica e lida com esaísica e probabilidade, relacionando-as a conceios geoméricos. Eapa 1 Será que o méodo funciona? Esa eapa preende dar alguma confiança aos alunos de que o méodo funciona no conexo de medida e de experimeno, iso é, raa-se de esimaivas esaísicas com erros devido a fluuação na amosra, além dos erros de limiações das medidas direas. Foi declarado sem demonsração que a relação quanidade média de grãos denro da figura plana área da figura plana quanidade oal de grãos denro da caixa área do fundo da caixa ( ) vale para qualquer figura plana que eseja colada no fundo da caixa de sapao. O principal argumeno para a demonsração desa proposição esá no Fechameno dese guia e os dealhes podem ser enconrados na referência. Podemos dizer que a caracerísica aleaória do procedimeno esá no fao de que os grãos não disinguem um pono de ouro, de forma que, ao final da misura, os grãos ficam disribuídos de forma homogênea, em média. No experimeno, a disribuição uniforme de 160 grãos em uma área de 374 cm² implica a associação, em média, de um grão para cada ,34cm. É claro que o aumeno da quanidade de grãos vai aumenar a acurácia da medida da área, desde que a disribuição seja manida, em média, homogênea na caixa. Sugira aos alunos experimenarem com ouras figuras planas de áreas conhecidas, como o riângulo e o reângulo. Enreano, observe que as conas feias no experimeno e nese guia não darão resulados similares para ouras caixas e ouras quanidades de grãos. O méodo de Mone Carlo Guia do professor / 5

4 Eapa Uma boa aplicação do méodo uma figura plana. Com hipóese randômica, podemos dizer que a probabilidade de que o grão esacione sobre a figura é A aplicação para a medida da área de um mapa do Brasil é ineressane por dois moivos: o primeiro por ser uma figura plana não regular e o segundo, A f A p q= 1 p N A por usar o princípio da semelhança das figuras para relacionar com a área onde A f é a área A da pfigura p = q= A f real do Brasil. No enano, ano as medidas quano as esimaivas êm considerada 1 Ap e N n Np n = Np n A N = A é a área p oal q= do 1 fundo p da N n N A A erros e é ineressane discui-los. caixa em consideração. Assim, emos um sisema de dois evenos para cada grão. Ele pode esar sobre a p figura = A f com Aprobabilidade f A p; ou q= não, 1 p N A Acom probabilidade f A p q= 1 p N n Np n = Np n A N = Erros nas medidas A. f Se repeirmos A p o procedimeno q= 1 p N vezes, n Np n A A A figura copiada apresena disorções, ano na planificação de pare podemos A calcular a probabilidade de que em f A p q= 1 p N n vezes Npo grão n vai = Np parar n A N = p = A A do globo erresre em um mapa plano, quano na cópia em uma impressora. sobre a área da figura plana. Ese cálculo é feio pela disribuição binomial. Para os p = nossos A f As medidas obidas das disâncias enre as cidades propósios, A f Abasa-nos p saber q= 1que pa média N q de n será Np dada n = Np A p = A mencionadas e a área f A por f A p q= 1 p N n Np n = Np n A N = ER = δ A n = p real do Brasil são as melhores possíveis no globo e não necessariamene, em ermos simbólicos manêm a proporcionalidade no mapa uilizado. Finalmene, N q p = A a medida f A f A p q= 1 p N n Np n = Np n A N = ER = δ A n = p omada com o uso de uma régua milimerada em a limiação da precisão. N da ordem de um milímero. Assim, a medida do comprimeno de 8,6 cm cona com apenas dois algarismos significaivos, o que implica resulados com apenas dois algarismos significaivos. Erros esaísicos No caso dese experimeno, é de se esperar que a disribuição de grãos seja aproximadamene homogênea, sendo que as possíveis fluuações da disribuição homogênea implicam erros nas esimaivas feias. Fechameno O méodo empregado usa ese resulado e, ao invés de usarmos A f um Aúnico grão p por q= vez, 1 usamos p N n Np n = Np n A N = grãos ao mesmo empo. Como o número ER = A de grãos é grande e a proporção da figura não é exremamene pequena (nem exremamene grande), um resulado imporane em probabilidade nos garane que a proporção de grão denro da figura é uma boa esimaiva da área da figura em relação à da caixa. Ese resulado é chamado Teorema Cenral do Limie. Mais precisamene, ese resulado afirma que o erro da previsão feia é igual a: q p. N A A f A p q= 1 p N n Np n = Np n N = A ER = δ n = Vamos jusificar em ermos de probabilidade geomérica por que o méodo proposo funciona. Considere um único grão que, ao ser agiado de maneira compleamene aleaória, ermina seus movimenos em um local da caixa que enha Por causa desa relação, enendemos que, quano maior for a quani dade de grãos, melhor será a esimaiva da área, uma vez que ese erro relaivo p é = inversamene A f A f proporcional A pà raiz q= quadrada 1 p de N A. n Np n = Np n N = O méodo de Mone Carlo Guia do professor 3 / 5

5 Variações Em seguida, cona-se os palios que cruzam as linhas. Ese procedimeno foi repeido cinco vezes e obivemos a média de π h 10,5 palios 11/18 que = cruzavam 0,61 /π 0,64 a linha. Arredondando para dois algarismos significaivos, emos a razão π h 10,5 11/18 = 0,61e o valor /π esperado 0,64 é π, que implica 36/11 um 3,3erro relaivo 3,1 de 5%. Considere a mesma caixa, mas agora divida em faixas paralelas Para a urma de alunos perceber que esa é uma medida esaísica do valor de π h de mesma largura (um palio de denes ou de fósforos), como na FIGURA 1. 10,5 11/18 = 0,61 /π 0,64 π, é possível 36/11 considerar 3,3 3,1a razão do dobro do oal de palios dividido pela quanidade de palios que cruzavam a linha, em média. Iso é, no caso do experimeno feio π h 10,5 11/18 = 0,61 /π 0,64 π 36/11 3,3, quando 3,1 o valor aproximado com dois algarismos significaivos para π h 10,5 11/18 = 0,61 /π 0,64 π é 36/11 3,3 3,1 π h 10,5 11/18 = 0,61 /π 0,64 π 36/11 3,3 3,1, que por sua vez em um erro relaivo de 6%. Novamene, se a quanidade oal de palios aumenar, eremos melhores aproximações para o valor esperado. Veja as referências para a jusificaiva desa esimaiva. Ese experimeno é conhecido por agulhas de Buffon e a erceira referência bibliográfica raz mais informações sobre ele. Bibliografia fig. 1 W. Feller (1976). Inrodução à Teoria das Probabilidades e suas Aplicações, vol I. Ediora Edgard Blücher. A razão enre a quanidade de palios que cai sobre as linhas e o oal de palios uilizados é uma aproximação esaísica para a razão /π. h Se a divisão da caixa em faixas não for de mesmo amanho, podemos considerar faixas maiores que o amanho do palio. Digamos que o palio enha comprimeno /π e a h faixa enha /π largura h. Nese caso, o valor esperado é a razão Solomon, H (1978). Buffon Needle Problem, Exensions, and Esimaion of pi. Ch. 1 in Geomeric Probabiliy. Philadelphia, pa: siam, pp π h. 10,5 11/18 = 0,61 /π 0,64 π 36/11 3,3 3,1 Wagner, E. Probabilidade geomérica. Revisa do professor de maemáica, vol. 34. No experimeno, feio com apenas 18 palios, a caixa fechada foi chacoalhada de maneira a ornar a direção e a disribuição dos palios o mais homogênea e isorópica possível, iso é, nenhuma posição nem direção devem ser privilegiadas. P. Meyer (000). Probabilidade: Aplicações à Esaísica. Ediora LTC. Nrich mahs, The Mone Carlo Mehod, Disponível em hp://nrich.mahs. org/6079. Acesso em 1º de seembro de 010. O méodo de Mone Carlo Guia do professor 4 / 5

6 Ficha écnica Auora Samuel Rocha de Oliveira Revisores Maemáica Laura L. R. Rifo Língua Poruguesa Carolina Bonuri Pedagogia Ângela Soligo Projeo gráfico Preface Design Universidade Esadual de Campinas Reior Fernando Ferreira da Cosa Vice-Reior e Pró-Reior de Pós-Graduação Edgar Salvadori De Decca Maemáica Mulimídia Coordenador Geral Samuel Rocha de Oliveira Coordenador de Experimenos Leonardo Barichello Insiuo de Maemáica, Esaísica e Compuação Cienífica (imecc unicamp) Direor Jayme Vaz Jr. Vice-Direor Edmundo Capelas de Oliveira licença Esa obra esá licenciada sob uma licença Creaive Commons Secrearia de Educação a Disância Minisério da Ciência e Tecnologia Minisério da Educação Governo Federal

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