FUNÇÕES CONVEXAS EM TEORIA DE APREÇAMENTO DE OPÇÕES POR ARBITRAGEM UTILIZANDO O MODELO BINOMIAL

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1 FUNÇÕES CONVEAS EM EORIA DE APREÇAMENO DE OPÇÕES POR ARBIRAGEM UILIZANDO O MODELO BINOMIAL Devanil Jaques de SOUZA Lucas Moneiro CHAVES RESUMO: Nese rabalho uilizam-se écnicas maemáicas elemenares, baseadas em propriedades de funções convexas, para derivar o preço de arbiragem de opções americanas de compra. Considera-se que os mercados são compleos e discreos no empo e que os preços das ações negociadas nesses mercados se comporam segundo o modelo binomial. PALAVRAS-CHAVE: Opção; modelo binomial; arbiragem; derivaivo. INRODUÇÃO Uma opção de compra (ou de venda) é um conrao que assegura ao seu deenor o direio, não a obrigação, de comprar (ou vender) um loe de alguma ação específica, por um preço deerminado, chamado preço de exercício (srike price), doravane denoado por K. Apesar de exisirem raamenos eóricos para os chamados conraos perpéuos, no mundo real as opções êm um empo de validade, ou sea, só exisem em um inervalo de empo [, ], em que é chamado de empo de Mauração. Opções que só podem ser exercidas no momeno de érmino do conrao são chamadas opções europeias. Opções que faculam o exercício a qualquer empo no conuno {,..., } são chamadas opções americanas. Apesar de exisir uma quanidade enorme de ouros ipos, o presene rabalho esará focado apenas nessas duas modalidades. Opções são usadas basicamene como garanias (hedge) conra as incerezas do mercado de ações. Opções de compra garanem um preço máximo; opções de venda, um preço mínimo. Secundariamene presam-se ambém à especulação. Opções represenam um direio e, se exercido, podem se ransformar em um lucro. Sendo assim, êm um preço. A quesão que se apresena é o esabelecimeno desse preço, de maneira a não se permiir, a priori, nem ganho cero e nem perda cera, considerando que o resulado desse exercício depende da evolução do preço do aivo subacene, que é aleaório. Esse preço é o que se convenciona chamar de preço de arbiragem (arbirage price). A consaação de que o valor de arbiragem de uma opção é uma função convexa do seu preço de exercício, permie a uilização da análise convexa como peça básica para mosrar que o valor de arbiragem de uma opção americana de compra é igual ao valor de Universidade Federal de Lavras UFLA, Deparameno de Ciências Exaas, Caixa Posal 37, CEP: Lavras, MG, Brasil. DevanilJaques@dex.ufla.br / lucas@dex.ufla.br Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.3, n.2, p ,

2 arbiragem de uma opção europeia de compra. A mesma ferramena é usada para mosrar ainda que, em se raando de opções americanas de venda, não se chega a uma fórmula fechada para o valor de arbiragem. Os resulados apresenados nesse rabalho não são novos. O enfoque é a obenção desses resulados aravés de maemáica elemenar, baseada simplesmene em propriedades de funções convexas de al maneira que o exo não pressupõe qualquer conhecimeno prévio sobre eoria maemáica de finanças. A análise convexa esá implícia em vários arigos relacionados ao assuno, em paricular no clássico Meron (973). Em geral, na lieraura, a descrição maemáica do modelo binomial em ermos de probabilidades, árvores, ec. é basane complea, o mesmo não ocorrendo em relação à análise convexa. Nesse senido, ese rabalho pode ser viso como uma inrodução a exos mais compleos, como, por exemplo, Hull (29). 2 Referencial eórico 2. Descrição do mercado Considera-se um mercado cuas negociações se dão a inervalos regulares de empo e onde se negociam rês ipos de aivos, descrios a seguir. Um aivo sem risco, cuo valor B no empo seguine é o seu valor aual acrescido de um rendimeno predeerminado, ou sea, B = B B * r = B ( r) => B = B ( r) em que r. Esses aivos são basicamene o próprio dinheiro, que pode ser aplicado ou omado a uma axa fixa, ou íulos públicos, os chamados bonds. Um aivo de risco, cuo valor S no empo seguine é aleaório, ou sea, conhecendose S, o valor de S é desconhecido. Os aivos de risco considerados aqui são loes de ações (socks) negociadas em bolsas de valores. Um aivo derivaivo, cuo valor D é função do valor de algum aivo de risco S, chamado aivo subacene, ou sea, D = f (S). Considera-se ainda que nesse mercado compram-se ou vendem-se quanidades ilimiadas e/ou fracionadas de quaisquer dos aivos, as ransações não êm cuso, compradores e vendedores são omadores de preço, ou sea, nenhum em volume suficiene para influenciar o preço praicado e enende-se por comporameno racional dos agenes a busca do melhor resulado possível. 2.2 Modelo binomial de apreçameno dos aivos de risco Nesse modelo, proposo por Cox e al. (979), o processo de preço de um aivo de risco (S) se compora segundo um caminho aleaório muliplicaivo, al que, no empo =, o valor S é uma consane esriamene posiiva e que, em um empo qualquer, o aivo só pode assumir um de dois valores: Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.3, n.2, p ,

3 us com probabilidade p S = ds com probabilidade q = p; em que as consanes u e d guardam a relação < d < r < u e r é a axa de remuneração dos aivos B livres de risco. Suponha-se que a ocorrência de u ou d sea governada pelo lançameno de uma moeda, não necessariamene honesa, associando-se ao resulado cara (H) a consane u com probabilidade p e, ao resulado coroa (), a consane d com probabilidade q = p. Com isso em-se: S ( H ) = us com probabilidade p S ( ) = ds com probabilidade q = p. 2.3 Preço de opção europeia no modelo binomial de um passo. Suponha-se que no momeno = uma deerminada ação esea sendo negociada pelo valor S e que uma opção europeia de compra dessa mesma ação, com empo de mauração = = e preço de exercício K, sea negociada por V. Sabe-se que no empo seguine essa opção valerá: V = ( S K) = max{,( S K)}. () Pode-se, por ouro lado, opar por aplicar o valor V, pare em ações, digamos S, e o resane, V S, à axa fixa r. O valor represena a quanidade de ações (ou de loes de ações, á que ações normalmene são negociadas em loes), um número não necessariamene ineiro, a ser comprado no empo = e manido aé =. Caso S sea maior que V, o valor V S é negaivo e represena, na realidade, um valor a ser omado no mercado e não um valor aplicado. Chamando do o porfólio assim consiuído, seu valor, no empo =, é: = S ( V S ) = V. No empo seguine o valor desse parimônio será dado pela soma do valor das ações, S, mais o valor aualizado da aplicação em dinheiro, ( r)( V S), ou sea, = S ( r)( V S ). Parindo-se, pois, de um mesmo valor V, o mercado considerado permie duas aplicações diferenes, com valores finais V e. O que se argumena enão é que, a única hipóese de convivência desses aivos é que exisam V e ais que V sea Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.3, n.2, p ,

4 igual a, pois, caso conrário, odos os invesimenos se concenrariam naquela aplicação de maior resulado. Deve-se enão deerminar V e, conhecidos u, d e S. êm-se duas incógnias e, como as ações se comporam, por hipóese, segundo o modelo binomial, duas equações: V ( H ) = ( us K) = ( H ) = S( H ) ( r)( V S) V ( ) = ( ds K) = ( ) = S( ) ( r)( V S); que podem ser reescrias como cua solução é dada por V ( H ) = [ S( H ) ( r) S] ( r) V V ( ) = [ S( ) ( r) S] ( r) V; Fazendo-se: * r d p = u d V ( H ) V ( ) = e S( H ) S( ) r d u ( r) V = [ V ( H ) V ( )]. r u d u d * u ( r) e q =, em-se: u d * * V = [ p V ( H ) q V ( )]. r * * Como p q = e, por hipóese, < d < r < u e r, segue que * * * * p >, q > e p e q podem ser visos como uma nova medida de probabilidade, sob a qual o valor adequado para V, chamado de valor de arbiragem, é o valor da esperança, omada sob essa nova medida, da remuneração final da opção, V = ( S K ), desconada pela axa r. Usando-se a noação E * [.] para esa esperança, pode-se enão escrever: V * * = E [ ] [ ] V = r r E V. (2) Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.3, n.2, p ,

5 Caso se raasse de uma opção europeia de venda, odo o desenvolvimeno coninuaria válido, com a única diferença que o valor da remuneração final da opção passaria a ser dado por V = ( K S) = max{,( K S)}. Vale ressalar o significado dos resulados acima: A exisência de garane, ao vendedor da opção, compor, parindo do valor V, um porfólio (uma careira composa de loes da ação subacene e de aplicações no mercado cero), capaz de reproduzir o valor de exercício da opção. Sendo assim V é o valor uso para a venda da opção no empo inicial. 2.4 Preço de opções europeias uilizando o modelo binomial. Segundo Shreve (24), sabe-se que o preço de uma opção europeia num modelo binomial de passos é dado por: V = E r V. * [( ) ] Caso a opção sea de compra, pode-se reescrever: ( r) * V = E S K [( ) ] * = ( r) ( u d S K) P [ S = u d S ] * * = ( r) ( u d S K) ( p ) ( q ). (3) Caso a opção sea de venda, seu valor de arbiragem ambém pode ser reescrio como V r E K S * = ( ) [( ) ] * = ( r) ( K u d S ) P [( K u d S ) ] * * = ( r) ( K u d S) ( p ) ( q ). (4) Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.3, n.2, p ,

6 3 Meodologia A principal ferramena de análise uilizada nese rabalho é o conceio de função convexa. Sendo assim, é conveniene uma revisão de algumas definições e propriedades dessas funções. n Um subconuno A de R é definido como convexo se, dados dois ponos quaisquer x, x2 A, para odo λ. Uma função conínua : λx ( λ) x A. 2 domínio D é um subconuno convexo de λ [,], n f D R > R é definida como convexa se o seu n R e, para odo x, x2 2 2 D e odo f ( λx ( λ) x ) λ f ( x ) ( λ) f ( x ). (5) Oura definição de função convexa, equivalene à anerior, é: uma função conínua x perencene ao f : D R > R é definida como convexa se, para odo pono c( x ), al que: seu domínio D, exise uma consane f ( x) f ( x ) c( x )( x x ), para odo x D. (6) n Geomericamene, o que as definições acima dizem é: um subconuno A de R é convexo se, omando-se dois ponos quaisquer perencenes a A, o segmeno de rea que une esses dois ponos esá odo conido em A ; uma função conínua f : R > R ( x, f ( x )) e ( x2, f ( x 2)) em seu gráfico, é convexa se, dados dois ponos quaisquer o segmeno de rea que une esses ponos esá odo acima do gráfico da função; funções convexas êm reas supore sempre abaixo de seu gráfico. Dadas duas funções f ( x) e f ( ) 2 x, convexas em um inervalo D, a f ( x) = af ( x) bf ( x), com a > e b >, é ambém convexa no mesmo função 2 inervalo. 4 Resulados e discussão 4. Valor de arbiragem de uma opção europeia O preço de arbiragem de uma opção europeia de compra (3), considerando que os * * valores de r, u, d e, consequenemene, p e q, são dados pelo mercado, é função exclusivamene do preço de exercício K e pode ser reescrio como: Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.3, n.2, p ,

7 * * V ( K) = ( r) ( u d S K) ( p ) ( q ). Nesa expressão, cada parcela da soma à direia da igualdade é dada por ( r) ( u d S K) ( p ) ( q ) * * que é nula para K u d S e, para K < u d S vale: ( =,,2,..., ) ; * * ( r) ( u d S K) ( p ) ( q ). Esa expressão, como função de K, é uma rea de coeficiene linear dado por: e coeficiene angular: α * * up dq = S > ; r r * * p q β = < ; r r resulando que cada parcela de V ( ) K é uma função convexa (Figura ). α β K u d Figura - Função convexa dada por cada parcela do valor de arbiragem V europeia de compra. S K de uma opção Sendo assim, V ( ) K é uma soma de funções convexas e, consequenemene, uma função convexa (Figura 2). Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.3, n.2, p ,

8 V ( K) S k( ) = u d S ( =,,..., ) k () k () k( ) k( ) K Figura 2 - Valor arbiral de uma opção europeia de compra como função convexa do preço de exercício K. Por desenvolvimeno semelhane, o valor de arbiragem de uma opção europeia de venda (4) é uma função convexa ilusrada da Figura 3. V( K) k( ) = u d S ( =,2,..., ) k () k () k( ) k( ) K Figura 3 - Valor arbiral de uma opção europeia de venda exercício K. como função convexa do valor de Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.3, n.2, p , 22 23

9 4.2 Valor de arbiragem de uma opção americana de compra no modelo de um passo No modelo de um passo esse valor é dado por: * = ( K ) max{ V,( r) E [ V ]} * * = max{( S K),( r) ( u d S K) ( p ) ( q ) }. O que se faz em seguida é mosrar (Figura 4) que: * * ( S K) ( r) ( u d S K) ( p ) ( q ) ; para odo K. V( K) ( S K ) * * ( r) ( u d S K) ( p ) ( q ) S ds S us K Figura 4 - Opção americana de compra no modelo de um passo. * * Considerando que f ( K) = ( r) E [ V ] = ( r) E [( S K) ] é uma função convexa e considerando a propriedade das reas supore de funções convexas, essa conclusão é imediaa, viso que: (i) Como f ( K ) = para K us, o eixo dos K s é uma rea supore de f ( K ), ( S K ) = para K S, segue que: e como f ( K) ( S K ) para K S. Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.3, n.2, p , 22 23

10 (ii) Para K [, ds] * * f ( K) = [( us K)( p ) ( ds K)( q )] r * * = ( up dq ) S K = S K. r r r Porano, ( ) é uma rea supore de f ( K ), ou sea, S r K S r K f K para odo K. ( ) ( ), Sendo assim, para K [, S], ( S K) = S K S ( r) K. * Junando (i) e (ii) conclui-se que ( r) E [ V ] ( S K ) para odo ou sea, * * ( K ) max{ V,( r) = E [ V ]} = ( r) E [ V ]. K, Conclusão: No modelo binomial de passo, independene do valor de K, o melhor empo para se exercer uma opção americana de compra é em = = e, consequenemene, udo se passa como se o porador ivesse em mãos uma opção europeia de compra. 4.3 Valor de arbiragem de uma opção americana de compra no modelo de passos Fazendo uso do resulado anerior (modelo de um passo) e caminhando-se reversamene na árvore de valores de exercício de uma opção americana de compra, mosra-se que, para odo {,,..., }, * * * max{ E [ V ], E [ V ]} [ ]. = E V ( r) ( r) ( r) Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.3, n.2, p ,

11 (i) Fazendo = max * * { [ ], [ ]} ( ) E V r ( r) E V * * = max{ E [ V ], E [ V ]} ( r) ( r) * * = max{ E [ V ], E [ V ]} ( r) ( r) * * * * = max{ E [ E [ V ]], [ [ ]]}. G E E V G ( r) ( r) * A variável aleaória E [ V G ], por analogia com o resulado obido no modelo de um passo, é sempre menor ou igual à variável aleaória * E [ V ] ( r) G e, consequenemene, * * * * E [ E [ V G ]] E [ E [ V ]] G ( r) max * * * { [ ], [ ]} [ ]. ( ) E V r ( r) E V = ( r) E V (i) Fazendo = 2 demonsra-se, por um desenvolvimeno semelhane, que: * * * max{ E [ V 2 2], [ ]} [ ]. E V = E V ( r) ( r) ( r) Junando os resulados em (i) e (ii) em-se: max * * * { [ 2 2],..., [ ]} [ ]. ( ) E V ( ) E V = r r ( r) E V Esse padrão se maném para valores decrescenes de, de maneira que se pode concluir que: * * = ( K ) max{ V,( r) E [ V ],...,( r) E [ V ]} = ( r) E [ V ]. * Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.3, n.2, p ,

12 Conclusão: uma opção americana de compra se compora da mesma maneira que uma opção europeia no senido que o melhor exercício se dá no empo final e, porano, da mesma maneira pode ser raada, ano no que diz respeio ao seu preço de arbiragem quano ao seu porfólio de hedge. 4.4 Valor de arbiragem de uma opção americana de venda no modelo de passo No modelo de passo esse valor é dado por: * = ( K ) max{ V,( r) E [ V ]} * * = max{( K S ),( r) ( K u d S ) ( p ) ( q ) }. O que se verifica é que as funções acima se inercepam para algum valor de K enre * us. No que segue adoa-se a noação ( K ) = ( r) E [ V ]. ds e Se K = S, * * Sq ( S ) = ( r) ( S ds )( q ) = ( d) > r ( K) < ( K) ( S) = ( S S) = Se K = us, * * S q S u ( r) ( us ) = ( us ds ) q = ( u d) = ( u d) r r r u d u ( us) = S( ) r ( K) > ( K) ( us) = ( us S) = ( us S) = S( u ) [, ] Exise assim algum valor de K S us em que inercepam (Figura 5). ( K ) e ( K ) se Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.3, n.2, p ,

13 ( K ) ( K ) ( K ) ds S us K Figura 5 - Opção americana de venda no modelo de passo. Dado, porano, um preço de exercício K, o valor de arbiragem de uma opção americana de venda, ( ) K, no modelo binomial de um passo, só pode ser deerminado comparando-se os valores de ( K ) e ( K ). 4.5 Valor de arbiragem de uma opção americana de venda no modelo de passos. O resulado obido no modelo de um passo pode ser um complicador na deerminação do valor de arbiragem, viso que, segundo a eoria de arbiragem, esse valor é dado pelo valor inicial capaz de esabelecer um porfólio que reproduza o valor de exercício da opção em qualquer empo. Na impossibilidade de se replicarem odos os valores possíveis, esabelece-se um super-hedge, ou sea, um porfólio capaz de replicar o maior denre odos os valores de exercício. Para opções de compra isso foi simplificado pela consaação de que o maior valor de exercício aconece no empo final. No caso presene, á se viu que, mesmo no caso simples do modelo de passo, iso não aconece. Enão, com a finalidade de verificar se iso não passa de uma siuação paricular do modelo de passo, e ainda de buscar alguma regularidade que possa simplificar a deerminação do maior valor de exercício, examina-se o valor de arbiragem de uma opção americana de venda, supondo que o exercício se dê em um empo qualquer. Com a mesma noação usada em 4.4 esse valor é dado por: * * ( r) ( K u d S) = ( p ) ( q ). O que se consaa é que, para diferenes valores de, as funções se inercepam em algum valor de K. Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.3, n.2, p ,

14 e K ( d S, d S). Para odo {,,..., } K d S q ( ). * = ( )( ) > r > = (7) Para K = u S. r u S u d S p q * * ( ) ( ) = ( ) ( ) * * * * = [ u S ( p ) ( q ) u d S ( p ) ( q ) )] ( r ) * * * * ( p ) ( q ) S ( ) ( ) r r r u S up dq = ( ) [ u = S ]. ( r) (8) Esse úlimo resulado mosra que, para K = u S, é uma função decrescene de, ou sea, ( u S) < ( u S). O que se conclui, comparando-se ese úlimo resulado com (7), é que, para diferenes valores de, as funções se inercepam. Confirma-se enão o que á se podia anever, dado o resulado do modelo de um passo: preço de arbiragem de opção americana de venda não é rivial. A complicação esá em que, para se esabelecer o valor inicial do porfólio de hedge é preciso comparar o valor de exercício da opção no empo inicial com os valores arbirais da opção no empo seguine. Aconece que nenhum desses valores arbirais esá bem esabelecido, viso que a siuação se repee, ou sea, o esabelecimeno de qualquer um deles depende do valor de exercício da opção naquele momeno e dos possíveis valores arbirais do empo seguine. A conclusão é que, em se raando de opções americanas de venda, o único caminho para se chegar ao valor de arbiragem inicial exao é pela consrução de oda a árvore de hedge a parir do empo final, viso que, ese úlimo é o único empo em que se conhece exaamene o valor de arbiragem da opção. Não se raa realmene de um grande problema endo em visa os recursos compuacionais usualmene disponíveis. O algorimo de consrução do porfólio de Hedge é dado por: Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.3, n.2, p ,

15 = ( K S ) * = G max{( K S ),( r) E [ ]}; e o melhor empo de exercício é o primeiro empo em que o valor do porfólio coincide com o valor de exercício da opção. Iso significa que, caso o porador da opção deixe passar esse empo, o vendedor (emissor) pode consumir o valor correspondene a: viso que, se: segue que: ( K S ) ( r) E [ G ]; * * = G = max{( K S ),( r) E [ ]} ( K S ) ; ( K S ) ( r) E [ G ]; * e, como o valor necessário para reproduzir os valores arbirais fuuros é dado por: a diferença: pode ser consumida. Conclusão ( r) E [ G ]; * ( K S ) ( r) E [ G ]; * O problema do esabelecimeno do preço de arbiragem de opções americanas, que usualmene é raado com argumenos financeiros (Black e Scholes, 973) ou via uma abordagem não rivial, usando o conceio de Marin Gales (Williams, 22), pode ambém ser abordado de maneira elemenar, aravés da eoria de funções convexas. Mais especificamene, parindo-se do fao de que o valor de arbiragem de uma opção americana, quando exercida em um empo fuuro qualquer, é uma função convexa do preço de exercício, é possível, de uma maneira exremamene simples, chegar-se às mesmas conclusões obidas via Marin Gales ou eoria econômica, ou sea, que opções americanas de compra se comporam como opções europeias e que o mesmo não aconece com opções americanas de venda. SOUZA, D. J.; CHAVES, L. M. Convex funcions in he opions arbirage pricing heory using binomial models. Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.3, n.2, p , 22. ABSRAC: In his work, elemenary mahemaical ools, based on convex funcions properies, are used o derive he arbirage price for American opions. Markes are considered complee and discree in ime and sock prices are supposed o behave according o binomial models. KEYWORDS: Opion; binomial model; arbirage; derivaive. Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.3, n.2, p ,

16 Referências BLACK, F.; SCHOLES, M. he pricing of opions and corporae liabiliies. J. Poli. Econ., Amserdam, v.8, n.3, p , 973. CO, J. C.; ROOS, S. A.; RUBINSEIN, M. Opion pricing: a simplified approach. J. Financ. Econ., Lausanne, v.7, n.3, p , 979. HULL, J. C. Opions, fuures and oher derivaives. 7.ed. New Jersey: Pearson Prenice Hall, p. MERON, R. C. heory of raional opion pricing. Bell J. Econ. Manage. Sci., New York, v.4, n., p.4-83, 973. SHREVE, S. E. Sochasic calculus and finance. New York: Springer, 24. v.. WILLIAMS, D. Probabiliy wih maringales. 6.ed. Cambridge: Cambridge Universiy Press, p. Recebido em Aprovado após revisão Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.3, n.2, p ,