Modelos de Previsão. 1. Introdução. 2. Séries Temporais. Modelagem e Simulação - Modelos de Previsão

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1 Modelos de Previsão Inrodução Em omada de decisão é basane comum raar problemas cujas decisões a serem omadas são funções de faos fuuros Assim, os dados descrevendo a siuação de decisão precisam ser represenaivos do que ocorre no fuuro Em conrole de esoques, por eemplo, as decisões são baseadas de acordo com a demanda para o iem conrolado durane um horizone de planejameno específico Em planejameno financeiro, faz-se necessário prever o padrão do fluo de dinheiro em relação ao empo Séries Temporais A maioria dos méodos de previsão esaísica é baseada na uilização dos dados hisóricos a parir de uma série de empo ou série emporal Uma série de empo é uma série de observações de alguma quanidade de ineresse (uma variável aleaória) em relação ao empo Assim, se X i é uma variável aleaória de ineresse no empo i, e se observações são omadas nos empos i,,,, enão os valores observados { X, X,,X } são uma série de empo O gráfico abaio mosra um eemplo das vendas (em unidades vendidas) mensais de um produo 8 Eemplo de Serie Temporal 7 6 vendas mensais (em unidades) mes Figura - Eemplo de Série Temporal Noas de Aula - Fernando Nogueira

2 Porque uma série emporal é uma descrição do passado, um procedimeno lógico para realizar previsões é fazer uso desses dados hisóricos Se os dados passados são indicaivos do que se esperar no fuuro, pode-se enão posular um modelo maemáico que é represenaivo do processo O modelo pode enão ser usado para gerar previsões Em siuações reais, geralmene não se em conhecimeno da forma eaa do modelo que gera a série emporal, com isso, faz-se necessário escolher um modelo aproimado Freqüenemene, a escolha é feia observando os padrões de uma série emporal Alguns padrões ípicos são: a Série de empo é gerada por um processo com valor consane superposo a fluuações aleaórias b Série de empo é gerada por um processo linear superposo a fluuações aleaórias c Série de empo é gerada por um processo com valor consane superposo a variações sazonais e fluuações aleaórias A figura abaio, mosra eemplos gráficos dos padrões ípicos a, b e c 3 a 3 b 3 c empo em po em po Figura - Padrões Típicos de Séries Temporais 3 Méodos de Previsão para Modelos com Valor Consane A represenação maemáica para uma série emporal com valor consane superposa a fluuações aleaórias pode ser dada por: X k + e,,, () onde: X é uma variável aleaória observada no empo ; k é o valor consane do modelo; Noas de Aula - Fernando Nogueira

3 e é o erro aleaório ocorrido no empo (geralmene assumido er valor esperado igual a zero e variância consane) Seja F + a previsão do valor da série emporal no empo +, dado os valores observados { X, X,,X } 3 Méodo de Previsão de Média Móvel Ese méodo usa os n úlimos valores da série emporal, como a previsão para o empo + Porano: F + i n+ n i () Ese méodo é conhecido como Esimador de Média Móvel Eemplo: represena o volume de vendas mensais O valor F + represena o volume previso de venda para o mês seguine baseado no volume de vendas dos n úlimos meses A seguine abela mosra o volume de vendas de uma loja nos úlimos meses e seus respecivos valores previsos para alguns valores de n Tabela - Volume de vendas e seus respecivos valores previsos F + para alguns valores de n mês F +, n F +, n F +, n 3 F +, n Noas de Aula - Fernando Nogueira 3

4 e 6 A figura abaio mosra os gráficos para os valores dados na abela para n,, 3 3 Media Movel para n 3 Media Movel para n 5 5 vendas mensais (em unidades) 5 vendas mensais (em unidades) observado esimado mes observado esimado mes 3 Media Movel para n 3 3 Media Movel para n vendas mensais (em unidades) 5 vendas mensais (em unidades) 5 5 observado esimado mes 5 observado esimado mes Figura 3 - Gráficos para os valores da abela Observação: cabe ressalar que, de posse dos valores da série para os meses aé, o valor previso de ineresse é apenas o referene ao mês 3 No enano, valores referenes aos meses aneriores foram calculados apenas para comparação com os valores reais A figura 4 mosra os pesos (nese caso ou ) que cada valor da série emporal é ponderado para esimar o valor da série emporal no insane + para os mesmos valores de n uilizados na figura 3 Noas de Aula - Fernando Nogueira 4

5 Pesos para n Pesos para n peso 5 peso mes mes Pesos para n 3 Pesos para n peso 5 peso mes mes Figura 4 - Pesos para diferenes valores de n A principal desvanagem dese méodo é que o peso dado sobre -n+ é o mesmo que para, ou seja, as observações mais anigas recebem o mesmo peso que as observações mais recenes Uma alernaiva para conornar ese problema é uilizar o méodo abaio 3 Méodo de Previsão com Suavização Eponencial Ese méodo uiliza a seguine epressão: ( α) F F + α + () ou, equivalenemene: ( F ) F + F + α (3) onde: α (<α<) é uma consane de suavização Noas de Aula - Fernando Nogueira 5

6 Assim, a previsão é simplesmene uma soma ponderada da úlima observação e da previsão F Devido a esá relação recursiva enre F + e F, F + pode ser escrio como: ( α) + α( α) F + α + α + (4) A epressão (4) deia claro que ese méodo fornece maior peso para o valor, decrescendo o peso para as observações aneriores Eemplo : o mesmo eemplo para a seção 3 A abela mosra os valores previsos para alguns valores de α Obs: F (condição de inicialização) Tabela - Volume de vendas e seus respecivos valores previsos F + para alguns valores de α mês F +, α F +, α 3 F +, α 5 F +, α A figura abaio mosra os gráficos para os valores dados na abela para α, 3, 5 e 9 Noas de Aula - Fernando Nogueira 6

7 3 Suavizaçao Eponencial para alfa 3 Suavizaçao Eponencial para alfa vendas mensais (em unidades) 5 vendas mensais (em unidades) observado esimado mes observado esimado mes 3 Suavizaçao Eponencial para alfa 5 3 Suavizaçao Eponencial para alfa vendas mensais (em unidades) 5 vendas mensais (em unidades) observado esimado mes observado esimado mes Figura 5 - Gráficos para os valores da abela A figura 6 mosra os pesos que cada valor da série emporal é ponderado para esimar o valor da série emporal no insane + para os mesmos valores de α uilizados na figura 5 Noas de Aula - Fernando Nogueira 7

8 Pesos para alfa 5 Pesos para alfa 3 peso 5 peso mes mes 5 Pesos para alfa 5 9 Pesos para alfa peso 3 5 peso mes mes Figura 6 - Pesos para diferenes valores de alfa Uma medida de eficiência dese méodo pode ser obida sob a consideração que o processo é compleamene esável, assim que X, X,, são variáveis aleaórias independenes e idenicamene disribuído (iid ) com variância σ Porano segue que (para grande ): var [ F ] + ασ α σ ( α) α (5) assim que a variância é esaisicamene equivalene para a média móvel com (-α)/α 9 Assim, em ermos de variância, o Méodo de Suavização Eponencial com ese valor de α é equivalene para o Méodo da Média-Móvel que uiliza 9 observações Enreano, se uma mudança no processo ocorre, Suavização Eponencial irá reagir mais rapidamene com melhor ajuse de que o Méodo da Média Móvel Duas variáveis aleaórias são independenes se P ( A B) P( A B )P ( B) P( A )P ( B) Duas variáveis aleaórias são idenicamene disribuídas se possuem a mesma disribuição de probabilidade Noas de Aula - Fernando Nogueira 8

9 Uma desvanagem dese Méodo esá na dificuldade em escolher um valor apropriado para α O Méodo de Suavização Eponencial pode ser viso como um processo de filragem com um filro esaísico cujas enradas são os dados "puros" a parir de um processo esocásico e a saída são esimaivas suavizadas de uma média que varia com o empo Uma maneira de iniciar o processo recursivo é uilizar F (como uilizado para gerar os valores da abela ) 4 Méodos de Previsão para Modelos com Valor Consane e Tendência A represenação maemáica para o processo (que gera a série emporal) com valor consane, endência e fluuações aleaórias pode ser dada por: X a + k + e,,, (6) onde: X é uma variável aleaória observada no empo ; a é a endência do modelo; k é o valor consane do modelo; e é o erro aleaório ocorrido no empo (geralmene assumido er valor esperado igual a zero e variância consane) 4 Méodo de Previsão com Suavização Eponencial de Hol Ese méodo uiliza a seguine epressão: L T ( α )( L T ) α + (7) + ( L L ) + ( β) T β (8) F + n L nt (9) + onde: L é a componene de nível; T é a componene de endência; Noas de Aula - Fernando Nogueira 9

10 h é o horizone de previsão; n,,,h; F +n é a previsão; α (<α<) é a consane de suavização da componene de nível (L ); β (<β<) é a consane de suavização da componene de endência (T ); Em (7), pode-se perceber que o valor de nível L é uma soma (média) ponderada do próprio valor da série e L - e T - (nível e endência previsos no empo -, respecivamene) Para uma série isena de erro aleaório, a quanidade (L - + T - ) é eaamene o valor de L, uma vez que a variação de empo enre e - é obviamene Assim, a epressão (7) pode ser enendida como: L ' ( α)( L ) α + () onde: L ' ( L, T ) f () Em (8), a parcela L L é a derivada discrea que represena, porano, a endência Para o resane, o raciocínio é análogo ao realizado para a epressão (7) Considerando que a primeira amosra da série emporal é para, os valores L e T são funções de L e T Como não eise amosra da série para, faz-se necessário inicializar L e T Eisem várias maneiras de inicializar esas variáveis, denre as quais pode-se ciar: L () T () ou T () ou Noas de Aula - Fernando Nogueira

11 T ( ) + ( ) + ( ) (3) Obs: uma vez que a componene de endência em uma série é represenada apenas por um coeficiene (coeficiene angular da rea) as formas apresenadas em (), () e (3) para inicializar T são possíveis represenações para a derivada discrea da série calculada em Eemplo: A abela 3 mosra os valores previsos para α 4 e β 4 Obs: L e T - (condição de inicialização) Uma vez que o horizone de previsão nese eemplo é n3, os parâmeros α e β óimos deve ser aqueles minimizem algum criério de oimização considerando o horizone de previsão Assim, o erro associado ao empo deve ser calculado enre +n e F +n, para n,,,h Eemplificando, o erro associado ao mês 6, deve ser calculado enre 7 e F 7, 8 e F 8 e 9 e F 9 e não somene enre 7 e F 7 (ou mesmo enre 6 e F 6 ), porém com F 7, F 8 e F 9 calculados aravés da epressão (9) em 6 (F 7, F 8 e F 9 é função apenas de L 6 e T 6 ) Os valores apresenados na abela 3 na coluna F são os valores obidos aravés da epressão (9), porém para n Os erros foram calculados uilizando-se as diferenças quadráicas, no enano, qualquer ouro criério poderia er sido usado (por eemplo, as diferenças absoluas) A abela 3 mosra na coluna Cálculo de F +n em 6 os valores de L 6 e T 6 uilizados para os cálculos de F 7, F 8 e F 9 A coluna Somaória das diferenças quadráicas mosra as diferenças quadráicas enre 7 e F 7, 8 e F 8 e 9 e F 9 e a coluna erro o erro associado ao mês 6 Noas de Aula - Fernando Nogueira

12 Tabela 3 - Volume de vendas e seus respecivos valores previsos F para valores de α 4 e β 4 mês L T F α 4 β Cálculo de F +n em L 6 93 T 6 7 F 7 4 F 8 67 F Somaória das diferenças quadráicas (5-4) (8-67) 37 (9-83) erro 548 β 4 A figura abaio mosra os gráficos para os valores dados na abela 3 para α 4 e Noas de Aula - Fernando Nogueira

13 45 Hol: alfa 4 bea 4 4 vendas mensais (em unidades) observado esimado 5 5 mes Figura 7 - Gráficos para os valores da abela 3 5 Méodos de Previsão para Séries Temporais Sujeias a Fenômenos Sazonais É basane comum eisir padrões sazonais com valores maiores em dados insanes de empo de que em ouros em uma série emporal Por eemplo, ese fenômeno ocorre para o volume de vendas de nozes, amêndoas, enre ouros produos ípicos de fesas naalinas na época do naal, assim como roupas de lã para o período de inverno, bronzeadores e bonés no período do verão, ec Ese fenômeno viola a consideração que o processo que gera a série é por uma componene de valor consane ou endência e oura componene de fluuação aleaória, cujos méodos descrios nas seções 3, 3 e 4 podem ser uilizados para previsão Uma maneira de realizar previsões com padrões sazonais é corrigir a série emporal do efeio da sazonalidade e enão uilizar os méodos descrios nas seções 3 ou 3 (para modelos de séries de valor consane e sazonalidade) ou ainda 4 (para modelos de séries com endência e sazonalidade) Noas de Aula - Fernando Nogueira 3

14 5 Méodo de Previsão com Correção à Priori Considerando que o modelo do processo que gera a série emporal é dado por: X k + S + e,,, (4) onde: X é uma variável aleaória observada no empo ; k é o valor consane do modelo; S é a componene sazonal no empo ; e é o erro aleaório ocorrido no empo (geralmene assumido er valor esperado igual a zero e variância consane) O procedimeno pode ser resumido como: Corrigir a série emporal do efeio da sazonalidade aravés da divisão (ou subração) dos valores da série emporal pelos seus respecivos faores sazonais Realizar a previsão aravés dos méodos descrios nas seções 3 ou 3 3 Muliplicar (ou adicionar) a previsão pelos faores sazonais incorporando a sazonalidade Quando o efeio da sazonalidade é reirado e incorporado à série por meio de divisão e muliplicação, respecivamene, dos valores da série emporal pelos faores sazonais o méodo é denominado muliplicaivo Quando o efeio da sazonalidade é reirado e incorporado à série por meio de subração e adição, respecivamene, dos valores da série emporal pelos faores sazonais o méodo é denominado adiivo Considerando o méodo muliplicaivo, o faor sazonal mede a relação da média dos valores da série emporal de um mesmo período com a média de odos os valores da série emporal De maneira formal fica: FS i µ µ i (5) onde: µ i é a média dos valores da série emporal para os períodos i µ é a média dos valores da série emporal Noas de Aula - Fernando Nogueira 4

15 Eemplo: o volume de vendas de um dado produo em um ano é dado pela seguine série emporal descria na abela 4 mês Tabela 4 - Volume de vendas para o eemplo da seção 3 mês quadrimesral quadrimesre Analisando cuidadosamene esa série emporal, percebe-se que eise um período de 4 meses (quadrimesre) em que os valores reornam aproimadamene aos valores do período passado, ou seja, eise cera periodicidade nos dados, que no jargão uilizado em séries emporais é denominado sazonalidade Assim, o valor da série emporal para o mês é aproimadamene o mesmo para o mês 5 e o mês 9 O valor da série emporal para o mês é aproimadamene o mesmo para o mês 6 e o mês e assim por diane A abela abaio mosra os valores médios µ i para os meses quadrimesrais (i,, 3 e 4) e os faores sazonais FS i sendo µ Noas de Aula - Fernando Nogueira 5

16 Tabela 5 - Valores de µ i e FS i mês quadrimesral µ i FS i A abela 6 mosra os valores da série emporal c corrigidos dos efeios sazonais aravés de: c FS (6) É imporane ressalar que os valores de FS são periódicos (ver abela 6) mês mês quadrimesral Tabela 6 - Valores de c FS c Noas de Aula - Fernando Nogueira 6

17 A figura 8 mosra o gráfico da série emporal original (dados "bruos") e da série emporal corrigida dos efeios sazonais 3 Vendas Originais e Corrigida da Sazonalidade vendas quadrimesrais (em unidades) original corrigido sazonal mes Figura 8 - Série Temporal Original e Corrigida dos Efeios Sazonais De posse dos valores da série emporal corrigida dos efeios sazonais, pode-se uilizar um dos méodos de previsão descrios nas seções 3 e 3 Uilizando o Méodo de Suavização Eponencial para um valor de α 3 fica: Tabela 7 - Valores de F + a parir de c para o Méodo de Suavização Eponencial com α 3 mês c F, α Noas de Aula - Fernando Nogueira 7

18 A figura 9 mosra os gráficos para os valores dados na abela 7 Venda Previsa Corrigida da Sazonalidade - Suavizaçao Eponencial para alfa 3 3 vendas quadrimesrais (em unidades) corrigido da sazonalidade esimado corrigido da sazonalidade mes Figura 9 - Série Temporal Corrigida dos Efeios Sazonais e Previsa (esimada) Muliplicando os valores da série emporal previsa F pelos seus respecivos faores sazonais FS, êm-se os valores da série emporal previsa F S acrescida dos efeios sazonais De modo formal fica: F S F + + * FS (7) A abela 7 mosra eses valores Noas de Aula - Fernando Nogueira 8

19 Tabela 8 - Valores de F S mês FS F, α 3 F S A figura mosra os valores da abela 8 Venda Previsa com Sazonalidade -Suavizaçao Eponencial para alfa vendas mensais (em unidades) 5 5 original esimado com sazonalidade mes Figura - Série Temporal Original e Previsa (esimada) Acrescida dos Efeios Sazonais Noas de Aula - Fernando Nogueira 9

20 A figura mosra as séries emporais das figuras 8, 9 e superposos 3 Venda Sazonal - Suavizaçao Eponencial para alfa 3 5 vendas mensais (em unidades) 5 5 original corrigido da sazonalidade esimado corrigido da sazonalidade esimado com sazonalidade mes Figura - Série emporal original, corrigida dos efeios da sazonalidade, previsa (esimada) corrigida dos efeios da sazonalidade e previsa (esimada) acrescida dos efeios da sazonalidade É imporane desacar que ese méodo é basane simples uma vez que considera consanes os faores sazonais (no eemplo o faor sazonal para o mês é repeido para o mês 5 e mês 9; o faor sazonal para o mês é repeido para o mês 6 e mês ; e assim por diane) Ese méodo foi descrio principalmene para fins didáicos a fim de faciliar a compreensão do méodo de Hol-Winers descrio na seção 5 Ainda, ese princípio poderia ser uilizado de maneira análoga para processos com endência, de al modo que a série inicialmene é corrigida da componene de endência, realiza-se a previsão aravés dos méodos descrios nas seções 3 ou 3 e enão incorporase a endência nos valores previsos 5 Méodo de Previsão com Suavização Eponencial de Hol-Winers Considerando que o modelo do processo que gera a série emporal seja dado por: Noas de Aula - Fernando Nogueira

21 X k + a + S + e,,, (8) onde: X é uma variável aleaória observada no empo ; a é a endência do modelo; k é o valor consane do modelo; S é a componene sazonal no empo ; e é o erro aleaório ocorrido no empo (geralmene assumido er valor esperado igual a zero e variância consane) Ese méodo uiliza a seguine epressão: L α S m + ( α)( L + T ) (9) T ( L L ) + ( β) T β () S γ L + ( γ) S m () ( L nt ) S m+ mod ( n,m ) F + n + + () onde: L é a componene de nível; T é a componene de endência; S é a componene de sazonalidade; m é o período sazonal; h é o horizone de previsão; n,,,h; mod(n,m) é o reso da divisão de n por m; F +n é a previsão; α (<α<) é a consane de suavização da componene de nível (L ); β (<β<) é a consane de suavização da componene de endência (T ); γ (<γ<) é a consane de suavização da componene de sazonalidade (S ); Noas de Aula - Fernando Nogueira

22 Em (9), pode-se perceber que os valores da série ( ) são divididos pelos faores sazonais, da mesma forma que em (6) a fim de corrigir os valores da série dos efeios da sazonalidade, as demais parcelas da epressão são análogas as da epressão (7) no méodo de Hol A epressão () é igual à epressão (8) no méodo de Hol A divisão dos valores da série ( ) pelos valores de nível (L ) na epressão () pode ser enendida como a medida de faor sazonal insanânea Em () a sazonalidade é incorporada à série aravés da muliplicação da soma dos valores previsos para as componenes de Nível (L ) e Tendência (T ) pela componene sazonal S -m+n Eisem várias maneiras de inicializar esas variáveis, denre as quais pode-se ciar: L m + m ( + + ) m (3) T m m m+ m + m+ m + + m+ m m m (4),S,,S S m L L L m m (5) Eemplo: A abela 9 mosra os valores da série emporal, e as componenes calculadas L, T, S e os valores previsos F para α, β e γ Tais parâmeros foram deerminados por enumeração eausiva (força-brua) para odas as combinações de valores de α, β e γ discreizados em inervalos de O horizone de previsão é h 7 e o período sazonal é m 4 Uma observação imporane é a respeio do parâmero γ ser zero Esse fao não significa que não eise sazonalidade na série, mas sim, que os faores sazonais foram inicializados com valores que não foram necessários serem corrigidos ao longo da previsão Como pode ser observado na coluna γ da abela 9, os faores sazonais esão quase iguais (de 4 em 4 períodos) porque γ (próimo de zero) Caso ese fosse zero, os faores sazonais seriam iguais de 4 em 4 períodos As condições de inicialização uilizadas foram as descrias nas epressões (3), (4) e (5) Noas de Aula - Fernando Nogueira

23 O méodo para deerminação dos parâmeros α, β e γ óimos é análogo ao descrio no eemplo para o méodo de Hol (iem 4) Tabela 9 - Volume de vendas e seus respecivos valores previsos F para valores de α, β e γ mês L T S F α β γ Noas de Aula - Fernando Nogueira 3

24 A figura abaio mosra os gráficos para os valores dados na abela 9 para α, β e γ Hol-Winers: alfa bea gama 9 8 vendas mensais (em unidades) observado esimado mes Figura - Gráficos para os valores da abela 9 53 Um Méodo de Deerminação do Período de Sazonalidade Uma maneira de deerminar o período do fenômeno sazonal em uma série emporal é aravés da própria inspeção visual do gráfico desa (como por eemplo, o gráfico da figura 8 ou ) Uma oura maneira de deerminar o período do fenômeno sazonal é aravés da análise da norma do resíduo oriundo da regressão linear para os valores de um gráfico do ipo Scaer (espalhar, dispensar) para vários valores de Leg (perna) Os conceios sobre regressão linear e ajusameno de funções são abordados no iem 6 O gráfico do ipo Scaer é um gráfico de ponos que pode er qualquer dimensão No caso bidimensional (D), o eio das abscissas represena os valores da série emporal X e o eio das ordenadas represena os valores da série emporal X +Leg Assim, para um valor de Leg, por eemplo, um pono dese gráfico erá coordenadas (X,X + ) O valor do Leg é o próprio período do fenômeno sazonal, porano, para uma série emporal com período do fenômeno sazonal igual a Leg, os ponos com coordenadas Noas de Aula - Fernando Nogueira 4

25 (X,X +Leg ) serão colineares se os valores da série emporal forem perfeiamene periódicos Nese caso, a norma da regressão linear será zero, indicando que o período do fenômeno sazonal é Leg Em siuações reais, dificilmene êm-se séries emporais perfeiamene periódicas, o que resula em um valor diferene de zero para a norma do resíduo da regressão linear Com isso, pode-se enão escolher como o período do fenômeno sazonal aquele que apresenar o valor mínimo para a norma do resíduo da regressão linear obido para vários valores de Leg Os gráficos abaio mosram os gráficos Scaer para vários valores de Leg para a série emporal da figura 8 6 Scaer Plo para Leg Norma Residuo Scaer Plo para Leg Norma Residuo X+Leg 8 6 X+Leg X X 6 Scaer Plo para Leg 3 Norma Residuo Scaer Plo para Leg 4 Norma Residuo X+Leg 8 6 X+Leg X X Noas de Aula - Fernando Nogueira 5

26 6 Scaer Plo para Leg 5 Norma Residuo Scaer Plo para Leg 6 Norma Residuo X+Leg 8 6 X+Leg X X Figura - Gráficos Scaer para vários valores de Leg Como era de se esperar, o menor valor da norma do resíduo ocorreu para o gráfico Scaer gerado com Leg 4, uma vez que a série emporal uilizada foi a mesma da figura 8 O gráfico da figura 3 mosra os valores das normas dos resíduos para cada valor de Leg 8 Norma do Residuo em funçao do Leg Norma do Residuo da Regressao Linear Leg - Periodo do Fenomeno Sazonal Figura 3 - Normas dos resíduos da Regressão Linear em função do Leg 6 Regressões por Mínimos Quadrados O conceio de regressão pode ser enendido como uma maneira de "ajusar" um dado modelo maemáico a um conjuno de dados (geralmene observados ou mensurados) Noas de Aula - Fernando Nogueira 6

27 Os modelos maemáicos podem ser quaisquer e não apenas lineares como é basane comum enconrar na lieraura especializada sobre o ema Alguns eemplos que podem ser ciados sobre regressões são: ) Um indivíduo mede a ensão V em um componene elerônico cuja resisência R é consane enquano varia a correne I Uma vez que V RI, é de se esperar que as observações V se relacionem de maneira direamene proporcional (linear) a correne I com R consane No enano, esá condição de linearidade não é verificada na práica devido a vários faores que podem, por eemplo, alerar a resisência R durane o eperimeno (al como variação de emperaura) violando a linearidade do eperimeno Porém, mesmo se a resisência R não variar, ainda assim a linearidade não é perfeia segundo os dados observados Ese fao se deve a ineviável imprecisão nas observações (mensurações) conduzidas pelo homem (mesmo que ese uilize equipamenos que auiliem as mensurações) Porano, um modelo maemáico mais realisa para ese eperimeno seria: V RI + e (6) onde: e é o erro enre V (observado) e RI O gráfico da figura 3 mosra os valores observados de V em função de I, e as reas ideal e ajusada (óima no senido de mínimos quadrados) Noas de Aula - Fernando Nogueira 7

28 Regressao Linear 8 ensao (Vols) 6 4 ideal observaçoes ajusado correne (Amperes) Figura 3 - Regressão Linear A rea verde (ajusada) é a rea cuja soma dos quadrados das diferenças enre os valores de ensão observados V e os valores de ensão ajusados Va para os mesmos valores de correne I é mínima Ese criério de calcular os parâmeros do modelo (no caso, o coeficiene angular e linear da rea) é denominado de Criério de Mínimos Quadrados ) Um indivíduo dispara um projéil aravés de um canhão e observa algumas posições do mesmo É bem conhecido que a rajeória descria pelo projéil é uma parábola no plano y (considerando o comprimeno e y a alura) Com isso, o modelo a ser uilizado deve ser: y a + b + c + e (7) onde: a, b e c são os parâmeros da parábola e análogo à definição para epressão (6) O gráfico da figura 4 mosra os valores observados de y em função de, e as parábolas óima e ajusada Noas de Aula - Fernando Nogueira 8

29 Regressao - Polinomio grau 8 alura (meros) 6 4 ideal observaçoes ajusado comprimeno (meros) Figura 4 - Regressão Polinômio de o grau 4 O Méodo dos Mínimos Quadrados (MMQ) O Méodo dos Mínimos Quadrados foi originalmene desenvolvido de maneira independene por Gauss e Legendre Noas de Aula - Fernando Nogueira 9

30 Johann Carl Friedrich Gauss (*777 em Brunswick (agora Alemanha); 855 em Göingen (agora Alemanha) Adrien-Marie Legendre (*75 em Paris, França; 833 em Paris, França) Considere que as medidas direas de uma grandeza X, sejam: l, l,, l n os valores obidos em uma série de n observações Uma vez que é impossível ober o verdadeiro valor de X, adoa-se, com base em cero criério, o valor e calculam-se as diferenças: l v l v li v i l i v i i,,,n (8) A ais diferenças v i dá-se o nome de resíduos, iso é, os valores, a priori desconhecidos, que somados as observações reproduzem o valor escolhido Mudando o criério, pode-se eleger um valor diferene de denominado ' Com isso, um novo conjuno de resíduos seria obido: l v l v li v i l i v i i,,,n (9) Noas de Aula - Fernando Nogueira 3

31 Dá mesma maneira, podem-se adoar ouros criérios e denominar '', ''', Assim, qual dos valores, ', '',, adoar como sendo o valor único, dado às observações l i, discrepanes enre sí, para represenar a incógnia X? O criério mais uilizado para ese ipo de problema é: "aceiar como melhor esimaiva de X o valor que orna mínima a soma dos quadrados dos resíduos": n v i i min (3) Ese criério foi elaborado, de maneira independene, por Gauss e Legendre, e a ese se denomina Criério dos Mínimos Quadrados (como já ciado no eemplo ) Quando as observações não oferecem o mesmo grau de confiança, esas são homogeneizadas aravés de pesos p i : n p v i i i min (3) Adoando-se noação maricial, o conjuno de resíduos { v i } pode ser represenado por um veor V [ v, v,, ] v n e, porano, a epressão (3), fica: V V min (3) e a epressão (3), fica: V PV min (33) onde: P é uma mariz quadrada, denominada mariz dos pesos, caracerizando a epressão 33, como uma forma quadráica Dando seqüência, designando por o valor adoado como esimaiva da grandeza sobre a qual foram eecuadas n observações repeidas em condições suposamene similares, os resíduos são: l v i,,,n (34) i i Admiindo que as observações sejam não-correlacionadas, a mariz P será diagonal e admiindo ainda que ais observações ofereçam o mesmo grau de confiança, a mariz P Noas de Aula - Fernando Nogueira 3

32 degenera-se para a mariz idenidade I Aplicando o Méodo dos Mínimos Quadrados (MMQ): ( l ) (35) i f V PV V V min Igualando a derivada de f em relação a a zero, fica: ( l ) df i d (36) A epressão (36) pode ser escria como: ( l ) + ( l ) + + ( l ) n l n i (37) A epressão (37) idenifica como a média ariméica das n observações Sem demonsrações, o MMQ fornece uma solução de variância mínima, assim, a mariz variância-covariância a ser fornecida pelo ajusameno, e cujos elemenos diagonais são represenaivos da precisão do veor dos valores ajusados, erá raço (somaória dos elemenos da diagonal de uma mariz) mínimo O MMQ pode ser dividido em rês "sub-méodos" denominados: Méodo Paramérico, Méodo dos Correlaos e Méodo Combinado No Méodo Paramérico (ou Méodo das Observações Indireas), os valores observados ajusados são epressos epliciamene como uma função dos parâmeros ajusados No méodo dos Correlaos (ou Méodo das Equações de Condição) os valores observados ajusados ligam-se aravés de equações de condição O Méodo Combinado reúne ano parâmeros ajusados como valores observados ajusados ligados por uma função não eplícia O Méodo dos Correlaos não será raado nesas noas de aula 4 Méodo Paramérico No caso de observações direas, as incógnias são os valores observados ajusados No caso de observações indireas, objeiva-se esimar grandezas que se vinculam às observadas Para disingui-las das primeiras é usual designá-las de parâmeros, o que eplica a denominação do méodo Noas de Aula - Fernando Nogueira 3

33 Em algumas aplicações o modelo maemáico adoado é não-linear Com isso, o procedimeno uilizado mais comum é linearizar o modelo mediane um desenvolvimeno em série (geralmene a série de Taylor * é a uilizada) Equações de Observação Seja n o número de equações de observação e u o número de parâmeros: L b : veor (n ) dos valores observados; V: veor (n ) dos resíduos; L a : veor (n ) dos valores ajusados: L L V (38) a b + X : veor (u ) cujos componenes são valores aproimados dos parâmeros; X: veor correção (u ) X a : veor dos parâmeros ajusados (u ): X a + X X (39) Nese méodo enão, o modelo maemáico fica: L F( ) (4) a X a Subsiuindo as epressões (38) e (39) em (4), linearizando o segundo membro da epressão (4) com a fórmula de Taylor e desprezando os ermos de mais alas ordens, fica: L b + V F F X ( X + X) F( X ) + X a X a X (4) Designando a função dos parâmeros aproimados por L : L F( ) (4) X * Série de Taylor f ( ) f() n f ( n ) ( ) ( ) n! n de f() com cenro em Obs: f (n) é a n-ésima derivada de Noas de Aula - Fernando Nogueira 33

34 e a mariz das derivadas parciais por A: F A X a X a X (43) a epressão (4) se escreve sucessivamene: L b + V L + AX V AX + L L (44) b e finalmene fazendo: L L L b (45) obém-se o modelo maemáico linearizado do Méodo dos Parâmeros: n V A X + L (46) n u u n Equações Normais Minimizando a forma quadráica fundamenal, obém-se: φ V PV ( AX + L) P( AX + L) min (47) ( X A + L ) P( AX + L) X A PAX + X A PL + L PAX + L PL min φ (48) o o e o 3 o membros da epressão (48) são iguais, enão: φ X A PAX + X A PL + L PL min (49) igualando a zero a derivada primeira de (49) em relação a X: φ A PAX + A PL X (5) A PAX + A PL (5) Noas de Aula - Fernando Nogueira 34

35 X ( A PA) A PL (5) fazendo: N A PA (53) U A PL (54) subsiuindo as epressões (53) e (54) em (5): X ( N) U (55) o veor dos parâmeros ajusados fica: X a + X X (56) Uma vez que foi realizada a linearização do modelo devem-se repeir os cálculos aé que as componenes do veor X sejam desprezíveis sob alguma consideração Quando o modelo uilizado é linear o processo ieraivo não é necessário (por moivos óbvios) podendo com isso, ser uilizado quaisquer valores para as componenes do veor X O diagrama abaio mosra o processo ieraivo: ieração L F(X ) A F'(X ) X -N - U X a X + X aualização X X a ieração L F(X ) A F'(X ) X -N - U X a X + X aualização X X a ieração n L F(X ) A F'(X ) X -N - U X a X + X X < FIM Figura 5 - Processo Ieraivo para o MMQ sob o Méodo Paramérico para modelos não-lineares Noas de Aula - Fernando Nogueira 35

36 Assim, a cada ieração faz-se necessário calcular A, L, L, N, U e X As observações L b e os pesos P permanecem consanes durane o processo ieraivo É imporane ressalar que ese processo de minimização é o Méodo do Gradiene (como já viso em Programação Não-Liner) e, porano, é eremamene dependene das condições iniciais, que nese caso, é o veor X (veor dos parâmeros aproimados) Com isso, uma boa esimaiva a priori dos parâmeros aproimados pode ser fundamenal para a convergência da solução para a solução óima (mínimo global ao invés de mínimos locais) Mariz Variância-Covariância Anes do ajusameno, necessia-se esimar a precisão das medidas efeuadas para compor a mariz variância-covariância dos valores observados ( L b ) e a parir desa e da variância da unidade de peso a priori σ, ober a mariz dos pesos: P σ L (57) b Após o ajusameno, pode-se esimar a variância da unidade de peso (variância a poseriori) e a mariz variância-covariância das variáveis aleaórias envolvidas no processo: X, X a, V, L a A mariz variância-covariância das correções X pode ser deduzida a parir de: X ( N) U N A PL N A P( L L b ) N A PL + N A PL (58) b Aplicando a lei de propagação das covariâncias: X G L b G (59) onde: G N A P (6) e por serem P e N - marizes siméricas: G ( ) PAN P A N (6) subsiuindo (6) em (59), fica: Noas de Aula - Fernando Nogueira 36

37 X N A P L PAN (6) b considerando ainda que: L σ P (63) b e: X σ N A PP PAN σ N A PAN σ N NN (64) Uma vez que ˆσ é uma esimaiva de σ, resula: X σ ˆ (65) N onde: ˆσ de acordo com a epressão (7) A mariz variância-covariância dos parâmeros X a pode ser deduzida a parir de: X a + X X (66) sendo o veor X consane: X a X (67) A mariz variância-covariância dos valores observados ajusados L a deduzida a parir de: pode ser L L + V L + AX + L L + AX + L L L AX + L (68) a b b b b a Aplicando a lei de propagação de covariâncias: L A XA (69) a A mariz variância-covariância dos resíduos V pode ser deduzida a parir de: V L a L b (7) V L a L (7) b Noas de Aula - Fernando Nogueira 37

38 Variância da Unidade de Peso A Variância da Unidade de Peso a priori, independene do seu valor, não influencia o veor das incógnias X, porano, seu valor pode ser escolhido arbirariamene, desde que diferene de zero A Variância da Unidade de Peso a poseriori, aqui represenada por ˆσ é esimada por: σ ˆ V PV V PV S n u (7) Comparação enre σ e ˆσ Uma vez que o valor de σ não influencia X, pode-se adoar, sem perda de generalidade, σ, por eemplo A discrepância enre o valor de σ e ˆσ (obido após o ajusameno) pode ser uilizada como um indicador da qualidade do ajusameno Se houver discrepância enre σ e ˆσ, aplica-se um ese de hipóese baseado na disribuição de Qui-Quadrado χ a fim de consaar se a discrepância é significaiva a cero nível de significância Uma resposa posiiva indica que eisem problemas no ajusameno A forma quadráica V L b V em disribuição de χ com S ν graus de liberdade, iso é: V L V χ ( ν) (73) b ou, de forma análoga: σ ˆ S χ ( ν) (74) σ esa-se a hipóese básica (hipóese nula): H : ˆ σ σ (75) nível de significância ( rejeiar H H verdadeira ) α é a probabilidade máima admiida para P correr o risco de um erro Tipo I A probabilidade de comeer um erro do Tipo II é aceiar H H falsa β P rejeiar H H falsa é conhecido como a Poência β ( ) e ( ) P ou Poder do Tese A grosso modo pode-se dizer que quano menor o nível de significância, maior o inervalo de confiança e, porano, maior dispersão em orno do valor esimado O nível de significância deve ser fiado a priori Noas de Aula - Fernando Nogueira 38

39 conra a hipóese alernaiva: H : ˆ σ > σ (76) compara-se o valor calculado: χ * σˆ σ V PV ν σ (77) com o valor eórico (abelado): χ (78) ν, α A hipóese básica (H ) é aceia, ao nível de significância α, se: χ * < χ ν (79), α No caso conrário, deve-se proceder a uma análise cuidadosa do ajusameno: pode haver erro na mariz variância-covariância dos valores observados, ou podem os resíduos esar ecessivamene grandes em decorrência de uma fala grosseira ou de erros sisemáicos, pode o modelo maemáico não ser consisene com as observações, ou o sisema ser mal condicionado, ec Eemplo: ajusar uma rea em relação a um conjuno de observações Ese eemplo é o caso clássico de regressão, denominado Regressão Linear: O modelo maemáico é dado por: y a + b (8) onde: a e b são os parâmeros do modelo maemáico (coeficiene angular e linear, respecivamene); e e y formam as coordenadas de um pono no plano caresiano L a X a, ou seja, as observações ajusadas são dadas epliciamene em função dos parâmeros No enano, o modelo na epressão (8) não esá nesa forma O procedimeno, nese caso, mais adequado seria uilizar o Méodo Combinado, porém, considerando iseno de erros, esa variável pode ser considerada consane (do pono de visa esaísico) e enão, pode-se uilizar o Méodo Paramérico O modelo maemáico empregado no méodo paramérico assume que F( ) Noas de Aula - Fernando Nogueira 39

40 Noas de Aula - Fernando Nogueira 4 Cada pono observado fornece uma equação (y a + b, y a + b,, y n a n + b) O número de parâmeros é u e o número de observações, manendo ainda a generalidade nese aspeco, é n A mariz A fica: b y b y b y a y b y a y A n n n n (8) Devido ao modelo ser linear, pode-se escolher qualquer valor para os componenes do veor X A maneira mais simples é adoar odas as componenes dese veor iguais a zero e, porano, resulando em um veor ambém nulo para L O veor L enão fica: n n b n y y y y y y L L L (8) Assumindo que odas as observações possuem a mesma precisão, a mariz de pesos P degenera-se na mariz idenidade Assim, a mariz N, fica: n i n i i n i i n i i n n n A A N (83) O veor U fica: n i i n i i i n n y y y y y L A U (84) O veor X fica:

41 X ( N) U (85) E o veor X a é: X a + X X (86) A abela abaio mosra um conjuno de dados observados Tabela - Valores observados Pono y Para os valores dados na abela, a mariz N, N - e o veor U ficam: N N 494 U (87) X a L a O veor X a fica: 86 5 O veor L a (valores ajusados) fica: (88) (89) Eses são os parâmeros que deerminam a rea cuja somaória dos quadrados dos resíduos é mínimo A rea ajusada fica: y (9) Para gerar os dados da abela, consideraram-se os parâmeros da rea a e b e acrescenou-se ruído branco uniforme A eses valores denominou-se de observações A figura 6 mosra os valores observados, a rea ajusada e a rea ideal (isena de ruídos) Noas de Aula - Fernando Nogueira 4

42 3 Regressao Linear y ideal observaçoes ajusado Figura 6 - Regressão Linear para o eemplo A mariz variância-covariância das correções X e dos parâmeros X a é: 4 X X a 66 (9) A mariz variância-covariância dos valores observados ajusados L a fica: L (9) a A mariz variância-covariância dos resíduos V fica: V (93) A grandeza V PV resula em: V PV 37 (94) Noas de Aula - Fernando Nogueira 4

43 O Qui-Quadrado calculado fica: χ V PV 37 * σ 37 (95) Os valores eóricos (abelados) para n-u 4- graus de liberdades e nível de significância de 5% é: χ 599 (96),95 A hipóese básica é aceia, ao nível de significância 5%, se: χ < χ (97) *,95 < Como a epressão (97) é verdadeira, a hipóese básica é aceia ao nível de significância 5%, e, porano, o ajusameno não "apresena problemas" e pode ser considerado aceio 4 Méodo Combinado O Méodo Combinado pode ser enendido como um méodo de aplicações gerais, pois reúne ano parâmeros ajusados como valores observados ajusados, porém ligados por uma função não eplícia Em noação formal: F ( X, L ) a a (98) Fazendo: V L a L b (99) e X X a X () F A X a X () F B L a L b () Noas de Aula - Fernando Nogueira 43

44 ( X, ) L b Modelagem e Simulação - Modelos de Previsão W F (3) A linearização do modelo é: F F X ( X, L ) F( X + X,L + V) F( X,L ) + ( X X ) + ( L L ) a a b b a X a F L a L b a b (4) porano: AX BV + W + (5) Considerando que eisam n valores observados e u parâmeros ligados por r equações, resulam as seguines dimensões para as marizes: r A u u X r Bn nv + rw r + (6) Tem-se, porano, S r - u graus de liberdade, sendo necessário n > r - u Equações Normais Além de minimizar a forma quadráica fundamenal, deve-se proceder de maneira que os resíduos (dos valores observados) e as correções X (dos parâmeros aproimados) aendam à injunção represenada por (5) Uilizando muliplicadores de Lagrange (como em Programação Não Linear), define-se a função: φ V PV K ( AX + BV + W) min (7) onde: K é o veor cujas componenes são os muliplicadores de Lagrange (ou dos correlaos) Anulando as derivadas parciais em relação a V, K e X: φ PV B K PV B K V φ K ( AX + BV + W) AX + BV + W φ A K A K X (8) (9) () Noas de Aula - Fernando Nogueira 44

45 As equações mariciais (8), (9) e () represenam um conjuno de n + r + u equações algébricas envolvendo n + r + u incógnias: n resíduos (v), r correlaos (k) e u parâmeros () Ou, mais concisamene, as rês equações mariciais mencionadas envolvem rês incógnias, os veores V, K e X, e podem ser reunidas em uma hipermariz: P B V () B A K + W A X Resolvendo o sisema acima (não demonsrado), resula: ( A M A) A M W X () onde: M B (3) BP Obida as componenes i do veor das correções X aravés de () a seqüência pode ser: X a + X X (4) K M ( AX + W) (5) V P B K (6) L L V (7) a b + Para modelos não-lineares, faz-se necessário uilizar um processo ieraivo de minimização O diagrama abaio mosra o processo ieraivo (análogo ao do Méodo Paramérico): Noas de Aula - Fernando Nogueira 45

46 ieração WF(L b,x ) A F'(X ) B F'(L b ) X -(A M - A) - A M - W X a X + X aualização X X a ieração WF(L b,x ) A F'(X ) B F'(L b ) X -(A M - A) - A M - W X a X + X aualização X X a ieração n WF(L b,x ) A F'(X ) B F'(L b ) X -(A M - A) - A M - W X a X + X X < FIM Figura 7 - Processo Ieraivo para o MMQ sob o Méodo Combinado para modelos não-lineares Mariz Variância-Covariância As marizes Variância-Covariâncias serão dadas sem demonsração A mariz variância-covariância dos parâmeros X a é dada por: a ( A M A) X X σˆ (8) onde: ˆσ de acordo com a epressão () L a A mariz variância-covariância dos valores observados ajusados L a σˆ P + P ( M A) A M BP P B M BP B M A A é dada por: (9) A mariz variância-covariância dos resíduos V é dada por: V σˆ P () La A mariz variância-covariância do erro de fechameno W é dada por: σˆ M () W Noas de Aula - Fernando Nogueira 46

47 Variância da Unidade de Peso por: A Variância da Unidade de Peso a poseriori, aqui represenada por ˆσ é esimada σ ˆ V PV V PV S r u () Comparação enre σ e ˆσ Idênico ao realizado para o Méodo Paramérico Noas de Aula - Fernando Nogueira 47

48 Apêndice Tabela A - Percenis da Disribuição de Qui-Quadrado χ P,5,,5,5,,5,75,9,95,975,99,995 ν,,,,,,,3,7 3,84 5, 6,63 7,88,,,5,,,58,77 4,6 5,99 7,38 9,,6 3,7,,,35,58, 4, 6,5 7,8 9,35,34,84 4,,3,48,7,6,9 5,39 7,78 9,49,4 3,8 4,86 5,4,55,83,5,6,67 6,63 9,4,7,83 5,9 6,75 6,68,87,4,64, 3,45 7,84,64,59 4,45 6,8 8,55 7,99,4,69,7,83 4,5 9,4, 4,7 6, 8,48,8 8,34,65,8,73 3,49 5,7, 3,36 5,5 7,53,9,95 9,73,9,7 3,33 4,7 5,9,39 4,68 6,9 9,,67 3,59,6,56 3,5 3,94 4,87 6,74,55 5,99 8,3,48 3, 5,9,6 3,5 3,8 4,57 5,58 7,58 3,7 7,8 9,68,9 4,73 6,76 3,7 3,57 4,4 5,3 6,3 8,44 4,85 8,55,3 3,34 6, 8,3 3 3,57 4, 5, 5,89 7,4 9,3 5,98 9,8,36 4,74 7,69 9,8 4 4,7 4,66 5,63 6,57 7,79,7 7,,6 3,68 6, 9,4 3,3 5 4,6 5,3 6,6 7,6 8,55,4 8,5,3 5, 7,49 3,58 3,8 6 5,4 5,8 6,9 7,96 9,3,9 9,37 3,54 6,3 8,85 3, 34,7 7 5,7 6,4 7,56 8,67,9,79,49 4,77 7,59 3,9 33,4 35,7 8 6,6 7, 8,3 9,39,86 3,68,6 5,99 8,87 3,53 34,8 37,6 9 6,84 7,63 8,9,,65 4,56,7 7, 3,4 3,85 36,9 38,58 7,43 8,6 9,59,85,44 5,45 3,83 8,4 3,4 34,7 37,57 4, 8,3 8,9,8,59 3,4 6,34 4,93 9,6 3,67 35,48 38,93 4,4 8,64 9,54,98,34 4,4 7,4 6,4 3,8 33,9 36,78 4,9 4,8 3 9,6,,69 3,9 4,85 8,4 7,4 3, 35,7 38,8 4,64 44,8 4 9,89,86,4 3,85 5,66 9,4 8,4 33, 36,4 39,36 4,98 45,56 5,5,5 3, 4,6 6,47 9,94 9,34 34,38 37,65 4,65 44,3 46,93 6,6, 3,84 5,38 7,9,84 3,43 35,56 38,89 4,9 45,64 48,9 7,8,88 4,57 6,5 8,,75 3,53 36,74 4, 43,9 46,96 49,65 8,46 3,56 5,3 6,93 8,94,66 3,6 37,9 4,34 44,46 48,8 5,99 9 3, 4,6 6,5 7,7 9,77 3,57 33,7 39,9 4,56 45,7 49,59 5,34 3 3,79 4,95 6,79 8,49,6 4,48 34,8 4,6 43,77 46,98 5,89 53, ,9 8,5,57,47 4,8 9,5 4, 46,6 49,8 53, 57,34 6,7 4,7,6 4,43 6,5 9,5 33,66 45,6 5,8 55,76 59,34 63,69 66, ,3 5,9 8,37 3,6 33,35 38,9 5,98 57,5 6,66 65,4 69,96 73,7 5 7,99 9,7 3,36 34,76 37,69 4,94 56,33 63,7 67,5 7,4 76,5 79, ,73 33,57 36,4 38,96 4,6 47,6 6,67 68,8 73,3 77,38 8,9 85, ,53 37,48 4,48 43,9 46,46 5,9 66,98 74,4 79,8 83,3 88,38 9, ,38 4,44 44,6 47,45 5,88 56,99 7,8 79,97 84,8 89,8 94,4 98, 7 43,8 45,44 48,76 5,74 55,33 6,7 77,58 85,53 9,53 95,,43 4, 75 47, 49,48 5,94 56,5 59,79 66,4 8,86 9,6 96,,84 6,39,9 8 5,7 53,54 57,5 6,39 64,8 7,4 88,3 96,58,88 6,63,33 6, ,7 57,63 6,39 64,75 68,78 75,88 93,39,8 7,5,39 8,4,3 9 59, 6,75 65,65 69,3 73,9 8,6 98,65 7,57 3,5 8,4 4, 8, ,5 65,9 69,9 73,5 77,8 85,38 3,9 3,4 8,75 3,86 9,97 34,5 67,33 7,6 74, 77,93 8,36 9,3 9,4 8,5 4,34 9,56 35,8 4,7 75,55 78,46 8,87 86,79 9,47 99,67 9,6 9,39 35,48 4,9 47,4 5,95 83,85 86,9 9,57 95,7,6 9, 3,5 4,3 46,57 5, 58,95 63,65 3 9, 95,45,33 4,66 9,8 8,79 4,48 5,5 57,6 63,45 7,4 75,8 4,65 4,3 9,4 3,66 9,3 8,38 5,89 6,83 68,6 74,65 8,84 86,85 ν, α Noas de Aula - Fernando Nogueira 48

49 5 9,4,67 7,98,69 8,8 37,98 6,9 7,58 79,58 85,8 93, 98,36 6 7,68,35 6,87 3,76 37,55 47,6 7,68 83,3 9,5 96,9 4,53 9,8 7 6,6 3,6 35,79 4,85 46,84 57,3 8,5 94,,4 8, 5,8,4 8 34,88 38,8 44,74 49,97 56,5 66,87 9,4 4,7,3 9,4 7,6 3,6 9 43,55 47,6 53,7 59, 65,49 76,5,76 5,37 3,6 3,6 38,7 43,96 5,4 56,43 6,73 68,8 74,84 86,7 3, 6, 33,99 4,6 49,45 55,6 3 4,66 45,97 53,9 6,88 69,7 83,4 36,4 33,79 34,4 349,87 359,9 366, ,9 337,6 346,48 354,64 364, 38,58 48,7 436,65 447,63 457,3 468,7 476,6 5 4,3 49,39 439,94 449,5 459,93 478,3 5,95 54,93 553,3 563,85 576,49 585, 6 54,53 5,37 534, 544,8 556,6 576,9 6,99 644,8 658,9 669,77 683,5 69, ,38 65,9 68,58 639,6 65,5 674,4 74,86 748,36 76,66 775, 789,97 8,3 8 7,73 79,9 73,5 735,36 749,9 77,67 86,6 85,67 866,9 88,8 895,98 96, ,48 84,5 88,76 83,37 846,7 87,3 98,4 954,78 97,9 985,3,63 3,4 FONTE: Seções, e 3: Hiller & Lieberman, CAP Seção 4: Camil Gemael Inrodução ao Ajusameno de Observações, Ediora UFPR, 994 Noas de Aula - Fernando Nogueira 49

50 Eercícios - Modelos de Previsão qualquer erro, favor enviar para ) Uma companhia em as seguines vendas durane os cinco úlimos meses: 5, 7, 9, 4 O gerene de vendas agora quer uma previsão das vendas no próimo mês a) Qual o valor esimado para o Méodo da Média Móvel com os 3 meses mais recenes? b) Qual o valor esimado para o Méodo da Média Móvel com o úlimo mês mais recene? c) Qual o valor esimado para o Méodo de Suavização Eponencial com α 3? ) Uma loja possui os seguines valores de lucros nos úlimos dias:,,3,78,5,,43,65, 33,,,,4,8,9,,7,43,43,4 Qual o lucro previso para o próimo dia considerando: a) O Méodo da Média Móvel com os úlimos 3 dias? b) O Méodo de Suavização Eponencial com α 3? c) O mesmo que b), porém considerando sazonalidade 3) Quais os parâmeros óimos (segundo o criério de Mínimos Quadrados) de um polinômio de o grau para os seguines valores observados: y ) Faça um programa que calcule a previsão dos índices de inflação, poupança, IGPM, IPC e coação do dólar Uilize o méodo de média móvel e suavização eponencial Deermine ambém criérios para definir os parâmeros óimos uilizados nos méodos implemenados Resposas a) 9 b) 4 Noas de Aula - Fernando Nogueira 5

51 c) 64 a) b) 3745 d) 3 3) a -659 b 938 c 9785 Noas de Aula - Fernando Nogueira 5

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