Problemas das Aulas Práticas

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1 Mesrado Inegrado em Engenharia Elecroécnica e de Compuadores Conrolo em Espaço de Esados Problemas das Aulas Práicas J. Miranda Lemos Fevereiro de 3 J. M. Lemos, IST

2 P. Consrução do modelo de esado a parir de equações fundamenais da Física, Química, ec. Obenha as equações de um modelo de esado linear do circuio da fig.. Tome como variáveis de esado as ensões nos dois condensadores em relação ao nó de referência e como variável de saída a ensão aos erminais da resisência da direia. R u C C R Fig. problema P. Obenha um ouro qualquer modelo de esado que corresponda à mesma função de ransferência. P. Consrução do modelo de esado a parir de equações fundamenais da Física, Química, ec. Considere o sisema mecânico da fig., em que u represena uma força que é o remanescene em relação ao peso da massa e para z a mola em uma elongação que compensa o peso. K z u m Fig. Problema P. a Com base na leide Newon, obenha as equações de um modelo de esado linear do sisema. Tome como enrada a força u e como saída a posição z. b Aplicando ransformada de Laplace com condições iniciais nulas, deermine a função de ransferência. Suponha que K / m. Considere a J. M. Lemos, IST

3 siuação e a siuação. Para cada um dos casos deermine a posição dos pólos e marque-a no plano compleo. Discua a posição dos pólos face à sua inuição sobre o funcionameno do sisema. c Considere agora que é u sisema auónomo. Tendo em cona os sinais das derivadas das variáveis de esado, marque, para cada um dos ponos do plano de esado indicados na figura 3, uma sea que indique a direcção e senido em que o esado se vai deslocar parindo desse pono. Compare com a sua inuição sobre o funcionameno do sisema. H A B G F E C D Fig. 3 Problema P3. P3. Conversão enre modelos Considere o sisema descrio pelas equações de esado: 5 3 y u Obenha a função de ransferência do sisema. P4. Conversão enre modelos Obenha uma descrição de esado de ordem mínima do sisema cuja função de ransferência é: G s s s Modifique esa realização para ober um modelo de esado para J. M. Lemos, IST 3

4 J. M. Lemos, IST 4 3 s s s s G P5. Resolução da equação de esado de sisemas auónomos. Considere de novo o sisema massa-mola-ario do problema P. Deermine os valores próprios da mariz da dinâmica do modelo de esado. Resolva em seguida as equações de esado aravés do méodo de decomposição modal. Compare com a sua inuição sobre o funcionameno do sisema. P6. Cálculo da mariz de ransição Considere os modelo de esado homogéneos, cujas marizes da dinâmica são dadas por 4 A 3 A A Deermine as marizes de ransição respecivas A e por cada um dos seguines méodos a Transformação de semelhança diagonalização ; b Transformada de Laplace; P7. Conrolabilidade e observabilidade Considere o sisema descrio pelo modelo de esado u y Diga para que valores dos parâmeros, e é que esa realização de esado é a Conrolável; b Observável. Dê uma inerpreação em ermos da função de ransferência.

5 P8. Realimenação Linear de variáveis de esado Considere o sisema com a função de ransferência s a G s a consane em cada caso s s a Obenha uma represenação de esado de ª ordem do sisema, Designe por e as variáveis de esado que uilizar. b Diga para que valores do parâmero a, omando como variáveis de esado e, é possível dimensionar os ganhos de uma realimenação linear de odas as variáveis de esado RLVE por forma a posicionar arbirariamene os pólos do sisema em cadeia fechada. Não calcule epliciamene o polinómio caracerísico da cadeia fechada. c Para a, dimensione os ganhos bda RLVE por forma a que os pólos da cadeia fechada se siuem em 4 acesso à medida direca de e. j. Suponha, nesa alínea, que em d Suponha agora que não em acesso à medida direca de e. Diga para que valores de a é que o sisema é al que saisfaz a condição de ser possível dimensionar um observador assimpóico do esado por forma a que o erro na esimaiva do esado enda para zero ão depressa quano se queira. e Para a escreva as equações e projece os ganhos de um observador por forma a que o erro na esimaiva do esado enda para zero, com valores próprios em j da equação de erro. J. M. Lemos, IST 5

6 P9. Realimenação Linear de variáveis de esado Preende-se projecar um conrolador para um moor de íman permanene com função de ransferência dada por G s s s em que a enrada é a ensão elécrica aplicada aoróor e a saída é a posição angular do veio do moor. a Escreva a equação de esado uilizando como esado a posição angular e a velocidade do veio do moor. b Dimensione os ganhos de uma lei de realimenação de variáveis de esado que coloque coloque os pólos do sisema em malha fechada nos pólos de um sisema de ª ordem com n =3, =.5. c Dimensione os ganhos de um esimador de esado de modo a que a equação caracerísica do erro de esimação do esado enha n =5, =.5. d Qual a função de ransferência do conrolador obida na sequência das alíneas b e c? P. Realimenação Linear de variáveis de esado; inclusão do efeio inegral para o seguimeno preciso de referências Considere o sisema descrio pelo seguine modelo de esado d A Bu, A, y C B, C 3 a Enconre o vecor K al que, sendo u K Nr, o sisema em malha fechada em valores próprios em -±j. b Dimensione N al que sendo r=r consane, enão y=y =r, iso é, o erro esáico de posição é nulo. Mosre que esa propriedade erro esáico de posição nulo não é robusa a alerações na mariz A. c Junar ao sisema um inegrador J. M. Lemos, IST 6

7 d e y r e escolher os ganhos K e k i, ais que sendo u=-[k, k i ][, ], os valores próprios da malha fechada esejam em, -±3 /. Mosre que nese caso o sisema em erro esáico de posição nulo, e que esa propriedade é robusa em relações a alerações na mariz A, desde que o sisema em malha fechada permaneça esável. P. Sisemas não lineares. Relação enre a dinâmica de um sisema não linear e a sua linearização em orno de um pono de equilíbrio Foi recenemene descobera na Melanésia uma ilha habiada apenas por duas novas espécies de herbívoros, a que foram dados os lindos nomes de Necs e Plaks. Após aurados esudos de uma compeende equipa de biólogos concluiu-se que esas duas espécies compeem enre si pelo alimeno disponível, podendo o número médio dos seus efecivos ser modelado pelo sisema de equações diferenciais não lineares: dn N N P dp 3 P P N 4 4 em que N é o número de Necs e P é o número de Plaks. Eses números são normalizados pelo que, para ober os valores das populações é necessário muliplicá-los por. Deermine se é possível as duas espécies coeisirem a longo prazo. Sugesão: Comece por mosrar que N, P é um pono de equilíbrio do sisema não linear e esude o que aconece às populações se ese equilíbrio fôr ligeiramene perurbado. P. Considere o sisema auónomo iso é, sem enrada, de ª ordem, descrio pelo sisema de equações não lineares J. M. Lemos, IST 7

8 d d a Mosre que a origem é um pono de equilíbrio do sisema. Obenha as equações do sisema linearizado em orno da origem. Classifique a origem em ermos dos valores próprios do sisema linearizado. Diga o que pode concluir daqui sobre o comporameno em orno da origem do sisema não linear. b Recorrendo ao º Méodo de Lyapunov, e omando como candidaa a função de Lyapunov a função V, do sisema não linear?, o que pode dizer sobre a origem P3. Considere o sisema não linear de ª ordem, sem enrada, descrio pelas equações de esado: d d a Recorrendo ao º Méodo de Lyapunov e usando a candidaa a função de Lyapunov dada por 3 V, mosre que a origem, é um pono de equilíbrio esável pelo menos, no senido de Lyapunov. Diga se pode garanir que o pono é assimpoicamene esável. c Recorrendo ao Teorema do Conjuno Invariane, mosre que, de faco, a origem é um pono de equilíbrio assimpoicamene esável. J. M. Lemos, IST 8

9 P4. Considere o sisema da fig. 4 em que se preende acuar no caudal u à enrada do anque, por forma a regular o nível h para um valor de referência r consane e conhecido. Admie-se que a área da secção reca do anque em o valor A consane e conhecido. Admia A. A área da aberura de saída do anque em um valor desconhecido, que é designado por a. A dinâmica do nível do anque é pois descria por dh A em que é um parâmero a esimar. u h Fig. 4 Problema P4. Preende-se: a Deermine uma reroacção esáica da saída al que, admiindo um conhecimeno perfeio de, o sisema anque+realimenação se compore como um inegrador. b Deermine uma lei de conrolo linear a aplicar ao inegrador assim resulane, que leve a que, supondo conhecimeno perfeio de, o erro de seguimeno e h r do sisema conrolado enda para zero com uma consane de empo de segundos. c Recorrendo ao Segundo Méodo de Lyapunov, obenha uma lei de ajuse do parâmero que garana que o sisema global é esável. Diga jusificadamene se pode ou não garanir que o erro de seguimeno e h r ende para zero quando ende para infinio. P5. A Confeiaria Rainha Regional, conhecida empresa que desde 89 fabrica a deliciosa e bem conhecida Farinha Inegral 33 a quem os alunos do IST com J. M. Lemos, IST 9

10 aulas às 8h devem anos e ão nuriivos pequenos almoços, esá a esudar a políica ópima de invesimeno numa das suas linhas de produção. Após aurados esudos dos seus compeenes gesores, concluiu-se que a aa de produção, P, esá relacionada com a aa de invesimeno I função do empo aravés do modelo: dp sendo a unidade de empo ano..p.5i P A linha de produção deverá operar 5 anos, sendo enão vendida por um preço proporcional à sua aa de produção nesse insane. O valor oal da linha de produção é porano: 5 J P 5 P I A aa de invesimeno é suposa posiiva, não podendo eceder o valor máimo I ma, ou seja: I I Recorrendo ao Princípio do Máimo, deermine a políica de invesimeno I ópima, que maimiza J para 5. ma Uma ajuda úil: d f, u J u T d ' ' f ' T L, u, u L, u T H,, u ' f, u L, u T Oura uilidade domésica à venda no Core Francês: A solução da equação diferencial: J. M. Lemos, IST

11 com a e b consanes é dada por a b b a ce em que c é uma consane que depende das condições iniciais. a P6. Considere o sisema represenado na figura que visa equilibrar a bola numa calha, acuando na ensão aplicada a um moor. Fig. Problem P. Equilíbrio da bola numa calha. Fazendo hipóeses simplificaivas, o modelo dese sisema pode ser aproimado pela função de ransferência com dois pólos na origem: G s s J. M. Lemos, IST

12 Recorrendo ao Teorema de Chang-Leov, deermine a posição dos pólos do sisema em cadeia fechada que opimiza J y u 6 J. M. Lemos, IST