3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

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1 33 3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA No iem 3.1, apresena-se uma visão geral dos rabalhos esudados sobre a programação de horários de rens. No iem 3.2, em-se uma análise dos rabalhos que serviram como base e conribuíram para aprofundar a realização dese rabalho. 3.1.Visão Geral A seguir esão descrios alguns dos modelos de circulação ou movimenação de rens que conribuíram para a evolução da oimização na ferrovia. Peersen e Taylor (1982) apresenam um modelo de simulação para a ferrovia de uso geral, ajudando na programação de um conjuno de rens, em empo real, com velocidades e prioridades disinas. O modelo é aplicado em linha singela e linhas múliplas. Ese descreve a movimenação dos rens (LSIM). Em sua disseração de mesrado Medeiros (1989) implemenou em Pascal o modelo de Peersen/Taylor, o LSIM. Podem ser simulados n rens, com diferenes velocidades, considerando-se as resrições imposas para ulrapassagens e as prioridades de rens. O programa aualiza a localização e o horário após o cumprimeno de cada aividade dos rens e, define qual será a melhor roa. Ferreira (1992), apresena alguns procedimenos operacionais que apóiam os despachadores no gerenciameno e conrole do ráfego ferroviário. O auor descreve uma écnica para o cruzameno, em movimeno, de dois rens em via singela. Também realiza um esudo sobre os arasos dos rens, eses com uma relevância significaiva para a realização desa pesquisa. Supõe-se um quadro de horários rígidos, conendo as paridas de um número de rens nas sucessivas esações. Se um rem arasa em uma esação ou enre duas esações, ese araso poderá causar efeios nas chegadas e paridas em ouras esações. Foi esudado a exensão deses efeios iner-relacionados com a circulação de rens.

2 34 Carey e Lockwood (1994) apresenam um modelo para deerminar o movimeno de rens, onde consideram linhas múliplas e rens de diferenes velocidades. Todos os rens possuem paradas padrões. O objeivo é minimizar arasos ou cusos e enconrar as demandas de viagem. O modelo resolve conflios enre rens, sujeio a diversas resrições e é aplicado a uma rede mais geral, sem muia complexidade. É aplicado para o movimeno de rens de passageiros e, foi uilizada programação maemáica ineira.

3 Principais rabalhos Os modelos a seguir apresenam uma grande proximidade quano ao enfoque dado a esa pesquisa Modelo Szpigel (1972) O modelo de Szpigel (1972) foi desenvolvido como disseração de mesrado na Ponifícia Universidade Caólica do Rio de Janeiro, raando do sequenciameno e resolução de conflios de rens na ferrovia em rechos de linha singela. Apresena uma solução oimizada relaiva aos arasos de rens. Embora anigo, o rabalho de Szpigel é ciado em quase odos os rabalhos que raam esse assuno. (Sedrez,1983, Higgins, 1996, Leal 2003, ec) São considerados odos os rens iniciando seus movimenos a parir do insane em que esejam pronos e que sigam suas roas sem sofrer qualquer inerferência. Desa forma, parindo desa solução inicial, surgirão vários conflios na circulação dos rens, Ese modelo busca a solução dos conflios, levando em cona as prioridades dos rens e empos de viagem. A solução óima será aquela que apresenar menor valor para a soma ponderada dos empos de viagem de odos os rens, conforme a função objeivo, apresenada na fórmula 11. Os problemas de sequenciameno de rens são visos como problemas de job-shop scheduling, onde arefas consiuídas de operações devem ser execuadas por um conjuno de máquinas (Szpigel 1972). Nese modelo foram uilizados os ermos viagem de rem e rechos no lugar de arefas e máquinas. A seguir é apresenado o modelo proposo por Szpigel (1972). Sejam n os rens que deverão ser seqüenciados em uma linha singela de w rechos. A roa do rem será represenada por um veor R i com m i componenes, cujo componene r ik é o k-ésimo recho a ser percorrido pelo rem i (R i = r ik ). O insane em que o rem i enra no recho r ik será chamado de irik e o inervalo de empo que o rem i ocupa o k-ésimo recho da roa R i será chamado de a irik. Função objeivo: Min z = n i= 1 c * (11) i iri mi

4 36 Resrições: Sujeio a: ri para odo i (12) i 1 i 0 + a (k = 1, 2,...mi-1) (13) i rik i rik i rik +1 ip + bijp jp ou jp bjip ip + para odo (i, j; p) (14) 0 para odo (i, k) (15) i rik Onde: c i = medida de prioridade de rens; i ri mi = insane de chegada do rem i, na sua esação final do recho m i ; i ri1 = horário do início da viagem do rem i; i 0 = horário de parida do rem i; i ri k = insane de empo em que o rem i enra no recho r ik ; a i ri k = insane de empo que o rem i ocupa o k-ésimo recho da roa R i ; ip = insane em que o rem i enra no recho p; jp = insane em que o rem j enra no recho p; b ijp = b jip = empo de percurso dos rens em conflio no recho p. A função objeivo uilizada foi a média ponderada dos empos de viagem. A medida de prioridade dos rens represena as diferenes imporâncias econômicas dos rens. A resrição 1 (fórmula 12), significa que não é possível iniciar uma viagem, anes do horário de parida do rem. Na resrição 2 (fórmula 13), emos que o empo decorrido enre a desocupação do recho r ik e o início da ocupação do recho r ik+1 é igual a zero, se o rem i não é obrigado a parar. Dois rens não podem esar simulaneamene em um recho. Iso é definido pela resrição 3 (fórmula 14), que em por finalidade garanir a ausência de

5 37 conflios. Em ouras palavras, iso quer dizer que exisiria um conflio se um rem enra em um recho anes que ele seja desocupado pelo ouro rem. E, a resrição 4 (fórmula 15), diz que odo o insane em que o rem i enra no recho r ik deve ser maior ou igual a zero. O méodo de resolução uilizado foi o de branch-and-bound, que permie ober soluções óimas (ou evidência de que elas não exisem) aravés da pesquisa de uma pare relaivamene pequena do espaço de soluções. O espaço de soluções é represenado por um diagrama em forma de árvore. Um nó y foi considerado como o nó inicial. Ese nó corresponde ao modelo proposo sem as resrições ip + bijp jp e jp + bjip ip. Os subconjunos y 1, y 2,..., y k são obidos quando o subconjuno y é paricionado (figura 6). O processo de parição corresponde ao de ramificação do nó y. Um nó ainda não ramificado é um nó abero. Após a ramificação do nó inicial, se originarão dois ouros problemas que serão obidos pela inclusão das resrições ip + bijp jp (em um deles) e jp bjip ip + (no ouro) correspondenes ao rem i, que esá em conflio com o rem j no recho p (i, j ; p) não fixados no problema de origem. O valor da solução do nó de origem é um limie inferior (LI) para os nós que dali se originam. É uilizado para orienar a escolha dos nós a ramificar, reduzindo o número de nós pesquisados e permiindo idenificar uma solução óima. Quando odos os nós aberos iverem soluções maiores que a melhor solução viável, o processo ermina. A melhor solução viável será aquela que apresenar o menor valor. Nesse pono a solução é a mais próxima da óima. Y LI Y 1 LI Y 2 LI Y 3 LI Y 4 LI Figura 6: Méodo de oimização Branch-and-Bound

6 38 Um nó candidao à ramificação é chamado de nó aivo. A regra de ramificação uilizada por Szpigel é o da escolha do nó aivo de menor valor. Ese procedimeno permie ober a solução óima com a pesquisa do menor número de nós possível. O auor uilizou para a localização dos conflios a varredura no empo, onde é escolhido o conflio que ocorre no menor empo. Abaixo esá descrio o algorimo de solução do problema: 1) Faça z 0 = 2) Ache o valor do nó inicial resolvendo: Min z = i n i= 1 ri c * i 1 i 0 i ri mi i ri k + a i ri k i ri k +1 i rik 0 irik 3) Localize um conflio, iso é, procure i, j e p ais que apresenam as duas resrições que não são saisfeias: b ip + ijp jp e jp + jip ip 4) Inclua no problema a resrição ip + bijp jp e resolva enconrando z 1 e ik1, para odo (i, k). Localize novamene um conflio. Se houver algum, inclua o nó na lisa de nós e vá para 5, caso conrário a solução é viável. Vá para 6. 5) Inclua no problema a resrição jp + bjip ip e resolva enconrando z 2 e ik2, para odo (i, k). Localize novamene um conflio. Se houver algum, inclua o nó na lisa de nós e vá para 8, caso conrário a solução é viável. Vá para 7 6) Se z 1 < z 0 faça z 0 = z 1 ik0 = ik1 para odo (i, k). Vá para 5. 7) Se z 2 < z 0 faça z 0 = z 2 ik0 = ik2 para odo (i, k). Vá para 8. 8) Escolha um nó da lisa de nós. Se o valor dese nó for menor do que z 0 vá para 3. Se for maior, escolha ouro nó. Se nenhum ouro for menor enão a solução óima é ik0 para odo (i, k) e o valor da solução é z 0. b Modelo Sedrez (1983) O objeivo dese rabalho é a formulação de procedimenos que permiam a quanificação de um parâmero, aravés do qual seja possível avaliar os impacos provocados pela circulação de rens especiais. Eses são rens que não são

7 39 regulares e são inseridos na malha, sem que modifique os horários de parida e empos de percurso dos rens normais. Sedrez (1983) usou como base a versão do programa de Szpigel (1972) e desenvolveu um novo programa onde é possível a inserção de rens especiais. Foram previsas as seguines modificações: a criação de um horário por esações e a criação de um gráfico de rens. No horário por esações apresena-se um quadro onde aparece o horário de chegada, o empo de parada e o horário de parida de cada rem em cada esação. O gráfico de rens é um gráfico espaço x empo, no qual é represenada a circulação de rens. Ainda não sendo saisfeias para aplicação em um problema real, devido ao grande armazenameno de dados, Sedrez (1983) realizou mais rês mudanças: parcelameno do problema base, redução dos dados a armazenar e reformulação do relaório de saída. O méodo de parcelameno do problema base segue um esquema de suboimização, com o objeivo de possibiliar a solução de um problema de maiores dimensões. O méodo é composo pelos seguines passos: define-se inicialmene um inervalo de empo que será o módulo do parcelameno; a seguir idenifica-se quais rens e rechos de suas roas se enquadram no primeiro módulo de parcelameno; resolve-se ese problema, onde a solução passa a ser considerada imuável e impõe as condições iniciais para o segundo problema parcial. O segundo problema parcial será limiado pelo segundo módulo de parcelameno, cujo empo limie superior é igual ao dobro do inervalo de empo definido inicialmene; definem-se os rens e rechos que paricipam dese problema; soluciona-se o problema; e assim por diane, aé que odos os elemenos do problema enham sido analisados. Após, faz-se uma composição de odas as soluções obendo uma solução viável sub-oimizada do programa base. Visando a redução da área de memória ocupada em disco, modificou-se o criério de gravação e leiura das marizes, que originalmene armazenava odos os elemenos da mariz. Em função das alerações feias, principalmene a implanação do processo de parcelameno, aumenou-se a necessidade de alocar mais unidades de memória e não foi possível maner o gráfico de rens. Assim, criou-se um relaório de saída, apresenando as caracerísicas do problema base, a definição da hora-prono dos rens em função do parcelameno, e as informações

8 40 gerais sobre rens. Para cada solução viável são impressas uma abela de horários e um resumo dos horários e dos empos de viagem. É apresenado ambém um quadro com a relação dos horários de liberação dos rechos e uma mensagem informando que a úlima solução viável é óima e que o problema parcial esá resolvido. Após a conclusão do úlimo problema parcial, o programa imprime um quadro que coném: seu número, sua prioridade, sua hora-prono real, sua hora de chegada final e seu empo de viagem. Informa ambém o oal dos empos de viagens de odos os rens Modelo Higgins (1996) O modelo é uilizado como uma ferramena de supore à decisão para os despachadores, apresenando uma solução óima para o sequenciameno de rens em empo real. Avalia, ambém, os impacos causados pelas rocas na abela de horários dos rens, sendo desenvolvido para vias singelas. São definidas prioridades para os rens. É aplicado um procedimeno para a busca da solução óima aravés do méodo de oimização de Branch and Bound. Ese resolve os conflios e desenvolve um limie inferior, realizando uma busca em profundidade. O objeivo é minimizar cusos de operação, levando em consideração as prioridades: n Minimizar i= 1 Wi + C (16) Onde, Wi é o araso do rem no desino e C é o cuso de operação do rem. No procedimeno de solução, os araso dos rens são consideradas em duas pares. Há um araso correne de rem em algum pono no empo e um limie inferior esimado de cruzamenos e arasos para ese pono. O modelo é sujeio a várias resrições para assegurar uma operação segura. Procedimeno de solução: 1) Resolver a função objeivo, sujeia a resrições de velocidades, empos de parida e paradas programadas, ignorando as ouras resrições. Iso dará o plano do rem. 2) Para o gráfico de rens, ome o primeiro conflio no empo. Idenifique os dois rens envolvidos e o segmeno onde ele ocorre. Haverá duas alernaivas para a resolução dos conflios. A primeira é arasar o rem i e a oura é arasar o rem j. Resolve-se a função objeivo sujeia a odas as resrições.

9 41 Para cada uma das duas alernaivas obém-se um limie inferior esimado para os cruzamenos e arasos. Adiciona-se, ao cuso oal, o cuso de araso do limie inferior esimado de arasos. 3) Toma-se a alernaiva com cuso mais baixo. Se o cuso é maior que o aual limie superior enão vá para o passo 8. Senão vole para 4. 4) Para a resolução do nó, pegue o próximo conflio no gráfico de rens. Idenifique os rens envolvidos e o segmeno em que ocorre o conflio. 5) Idem ao iem 2. 6) Se não houver mais conflios vá para 7, caso conrário vá para 3. 7) Marque a melhor solução. Se o cuso desa solução é menor que o limie superior correne, enão o limie superior passa a ser a nova solução. 8) Traçar a árvore de Branch and Bound, ramifica-se aé enconrar um nó com cuso mais baixo que o limie superior. Pegue o nó com menor cuso nesa eapa. Vole para Modelo Rosseo (1997) Ese modelo consise na programação de despachos de rens em vias singelas. É um modelo compuacional que busca a oimização de solução de conflios de rens, para uilização em um caso real, sendo baseado em uma heurísica e implemenado como pare de um modelo de simulação para a esrada de ferro de Carajás. A heurísica proposa busca alocar as ocupações nos rechos disponíveis da via, levando em consideração uma ordem de prioridades, visando oimizar o empo oal de paradas. Os rens que circulam em linha singela dispuam a uilização dos mesmos rilhos, ornando-se esa a maior dificuldade referene ao planejameno operacional. A parir disso surgem os conflios. Todos os conflios devem ser previamene previsos, a parir de uma grade regular de rens. Porém, ocorre que na maioria dos casos essa grade não é cumprida, ocorrendo muias evenualidades. Desa forma, os conflios enre rens são na práica, quase aleaórios. As resoluções dos conflios enre rens podem resular em ulrapassagens, arasos ou cruzamenos. As soluções se ornam complexas, por envolverem um grande número de variáveis que dificilmene podem ser analisadas pelo raciocínio humano normal. Oura quesão imporane é a prioridade aribuída aos rens. Iso moiva o emprego de um méodo compuacional, que não seja

10 42 subjeivo, que busque uma solução próxima da óima em um espaço curo de empo e, em empo real. Rosseo (1997) afirma que as principais vanagens a serem consideradas são o aumeno da capacidade operacional; a minimização de invesimenos em infra-esruura; a minimização dos cusos; a garania da segurança operacional; a redução do número de paradas de composições, reduzindo assim, o consumo de combusível; a redução do empo de percurso, aumenando assim, a velocidade, conribuindo para a redução da froa necessária e dos cusos operacionais, enre ouras. Modelo proposo: Buscou-se definir uma esraégia de solução combinando uma simulação da operação e uma heurísica que busca a oimização. Esse modelo deve ser aplicado em empo real. A esraégia de solução adoada pelo modelo poderia, à primeira visa, resolver um conflio de ocupação de um par de rens em um recho de via de forma isolada. Nese caso, a solução implica em forçar uma parada em um páio anerior para a composição de menor prioridade, resolvendo o conflio isoladamene. Essa solução simplisa funcionaria somene para ferrovias com pouca circulação de rens. Porano, para o raameno do problema na forma mais geral, deve-se buscar a oimização simulânea da circulação de odos os rens que apresenam conflio. Os conflios são solucionados em ordem cronológica. Desa forma, de uma só vez é solucionado um conjuno de conflios. A simulação pare dos empos de percurso e horários de parida previsos. Rosseo (1997). Formulação do problema: O simulador raa dos evenos operacionais da ferrovia, como o despacho de rens, a busca e solução dos conflios, as aividades de viagem do rem e aividades de apoio. A parir da análise de uma abela de ocupações dos rens na via, enre cada par de rens i e j, busca-se o conflio. Ese ocorre quando um rem esá previso para enrar num mesmo recho que ouro rem, a princípio, já ocuparia. Todos os próximos conflios são localizados e aquele que ocorre primeiro em ermos de horário é o que será selecionado. A parir dai, segue-se o procedimeno para a solução de conflios da circulação dos rens. Rosseo (1997).

11 43 Procedimeno para solução dos conflios: Ordenar rens por prioridade Selecionar rem mais prioriário Localizar recho inicial do rem na janela Verificar disponibilidade da seção Seção compora alocação sem afear rens prioriários? Não Sim Recuar o rem com menor prioridade para a seção anerior no percurso e calcular o araso Alocar rem no recho disponível Ir para a próxima seção do percurso Fim do percurso Ir para o próximo rem prioriário Fim dos rens da janela Fim Figura 7: Procedimeno para solução de conflios. O procedimeno consise na revisão das ocupações de cada rem, na ordem de prioridade para os rechos da via que podem ser ocupados e esão disponíveis, nas seções que fazem pare do percurso do rem. Desa forma, os rens de menor prioridade ajusam-se às disponibilidades viárias deixadas pelos rens de maior prioridade.

12 44 Esa revisão das ocupações do rem consise na ocupação seção a seção, seguindo o percurso do rem. Cada ocupação somene ocorre de acordo com a disponibilidade da seção, ano em relação ao horário, quano ao recho (linha). Caso o insane de enrada na seção seja arasado, o rem deverá permanecer, pelo inervalo necessário, esperando em oura seção anerior disponível. Esa espera, deve observar as mesmas resrições consideradas no posicionameno nas demais seções. Desa forma, cada ocupação do rem ao longo do seu percurso é acomodada, denro das resrições imposas pelos rens de maior prioridade. Iso resula numa solução rapidamene obida (pouco esforço compuacional) e plenamene execuável operacionalmene. Rosseo (1997). Solução do problema: Após cada ocupação do rem ao longo do seu percurso ser acomodada, denro das resrições imposas pelos rens de maior prioridade, será gerada uma solução. Para buscar uma solução mais próxima da óima, inroduziu-se uma medida de mério que possa quanificar as avaliações enre alernaivas, ais como: araso oal dos rens, número de paradas, empo oal de percurso, enre ouras. As alernaivas esadas compreendem ordenações diferenes da lisa de rens selecionados pelo envolvimeno na janela de solução criada em orno do conflio. A busca de soluções alernaivas pare sempre de uma solução básica inicial, de acordo com as prioridades básicas dos rens. Rosseo (1997). Aplicação do modelo: O modelo foi desenvolvido para a esrada de ferro de Carajás. Traa-se de um sisema de simulação esraégico denominado Simcar, que objeiva subsidiar o processo de seleção enre possíveis soluções alernaivas para os problemas de planejameno esraégico e operacional. Rosseo (1997) Modelo Leal (2003) Leal (2003) propõe uma heurísica para resolver conflios enre rens, baseando-se nas formulações de Szpigel (1972). Pare-se inicialmene de uma

13 45 grade de horário de rens, onde consam odos os horários de parida previsos, origem e desino de cada rem. Os empos de percurso ambém são conhecidos. Segundo Leal (2003) um recho compleo é composo de vários subrechos, delimiados por esações. Cada recho possui diversas esações, denre elas, a esação inicial e a final. Abaixo serão descrias as variáveis definidas por Leal (2003), que são os dados de enrada para o procedimeno. O esudo é realizado em via singela. Desa forma, cada recho pode ser percorrido em dois senidos, sendo que somene um rem pode ocupar o recho por vez. Leal (2003) uilizou a seguine convenção: o senido de viagem será definido como posiivo quando for o da quilomeragem crescene e o senido conrário, como negaivo. Cada rem possui um índice (variável indrem i ) posiivo (+1) ou negaivo (-1), segundo o senido do percurso. A programação inicial (originada da grade de horário de rens) possui nrens circulando na linha. Eses rens apresenam diversos conflios. O objeivo da heurísica é realizar uma nova programação livre de conflios. Cada rem i em uma esação de início e uma esação de fim de percurso, expressas pelas variáveis ini e fim. Cada rem i realiza uma viagem, cujo empo que é definido pelo momeno de enrada em cada recho j (via i,j ), e pelo momeno de chegada à esação final do recho. Nese rabalho, sempre que houver referência ao recho esação, esará referindo-se ao recho à frene do rem, no senido da viagem do rem. O auor afirma que cada rem i pode er uma parada programada na esação j, para realizar uma arefa operacional. O empo desa parada esará guardada na variável par i,j. Além disso, deverá ser considerada para cada rem i uma prioridade prior i, que dá um peso relaivo para o rem indicando a sua imporância e grau de prioridade, no raameno da solução de conflios com ouros rens. Nese procedimeno, inicialmene, odos os rens erão igual prioridade para melhor compreensão do problema. O empo de ocupação do rem i no recho j (ocupa i,j,) é calculado pelo programa, a parir dos dados de enrada, que guarda o empo de ocupação do rem i, no recho a frene da esação j e é uma variável necessária para resolver os conflios. Também, durane o procedimeno, os conflios ao serem resolvidos, podem ocasionar arasos no momeno da enrada do rem i no recho a frene da esação j. Ese valor será guardado na variável araso i,j.

14 46 Leal (2003) chama a aenção com relação a mariz de empos via, pois é imporane esclarecer o ipo de dado fornecido na mariz para eviar inerpreações equivocadas, que conduzem a erros. Ele exemplifica com uma siuação conforme a figura abaixo. São dadas uma linha com quaro esações, porano com rês rechos. Há duas maneiras de se represenar a viagem dos rens na mariz via. a) Dados de momeno de enrada no recho, para cada rem. As convenções uilizadas pelo auor para represenar a mariz dos insanes de enrada (via i,j ) são: o índice i (ilin), que represena os rens, corresponde as linhas e o índice j (icol), que represena os rechos, ou as esações de enrada no recho, corresponde as colunas. Pode-se apresenar, para os rens com índices posiivos, os horários de enrada em cada um dos rês rechos, começando do recho 1, menos na úlima esação (no exemplo abaixo: esação 4). Aqui se rabalha com n_esações-1, que é o número de rechos. Os rens com índices negaivos são represenados da úlima esação aé a segunda, e não se apresena a chegada na primeira esação (no exemplo abaixo: esação 1). +Leal (2003) apresena abaixo uma mariz via i,j demonsrando um exemplo dese caso. Seja que o rem i, posiivo, em os seguines empos: 0,10 e 20. O rem j, no senido conrário, os empo 12, 17,25. A mariz via eria os seguines dados: Esação Trecho Trem Trem Para uma coluna icol de um rem i com índice posiivo, os dados de horário de um rem i no senido conrário não se referem à mesma esação, pois a esação de enrada em um recho para um rem posiivo é a esação de saída do recho para um rem negaivo em senido conrário. Ou seja, um rem ilin = 1 (rem 1), enra no recho icol = 2 (recho 2) na esação 2 e sai do recho na esação icol+indrem[ilin] = 3. O rem jlin = 2 (rem 2), no senido conrário, usa o mesmo recho 2 desde o momeno em que ele enra no recho, na esação 3 aé o momeno em que ele deixa o recho, na esação jcol+indrem[j] = 2. Os dados da coluna 2 são, para o rem posiivo o valor 10, de passagem pela esação 2 e

15 47 para o rem negaivo, o valor 17 de passagem pela esação 3, iso é, uilizam o mesmo recho, mas as esações são diferenes. A figura 8 ilusra esa siuação. TREM 2 Esação 4 Esação 3 Esação 2 Esação Trecho 3 Trecho 2 Trecho 1 TREM 1 Figura 8: Represenação das viagens dos rens com uma mariz de horários de enrada nos rechos. Fone: Leal (2003) b) Dados os horários de passagem, pela esação inicial ou de enrada em cada recho, inclusive na esação final. Nese caso são dados os horários de enrada em odas as esações, (nesações). Para os rens posiivos (rem 1), acrescena-se uma coluna para a chegada na úlima esação (demonsrado no exemplo abaixo). Para os dados dos rens negaivos (rem 2), acrescena-se um dado na primeira esação (de chegada) e deslocam-se os demais dados (demonsrado no exemplo abaixo). Assim, as esações para os rens posiivos e negaivos coincidem, em cada coluna, mas não os rechos, como na represenação anerior. Nesa forma de represenação, a mariz para ese exemplo proposo por Leal (2003) seria: Trecho Esação Trem 1 Trem

16 48 Desa forma, os dados de uma dada coluna de momeno de enrada no recho para um rem posiivo correspondem, na mesma coluna a passagem de um rem negaivo pela mesma esação, mas saindo do mesmo recho. Os dados da coluna 2, em o valor 10 de passagem do rem posiivo (rem 1), quando ese enra na esação 2 e o valor 25 de passagem do rem negaivo (rem 2), quando ese sai da mesma esação 2 (figura 9). Aqui, a esação de enrada de um rem posiivo, em uma esação, icol = 2 é a esação de saída do rem j em senido conrário. Assim o rem j usa o mesmo recho, desde o momeno em que enra no recho na esação icol+indrem[ilin], aé a sua saída na esação icol. Esação 4 Esação 3 Esação 2 Esação 1 TREM 2 TREM Trecho 3 Trecho 2 Trecho 1 Figura 9: Represenação das viagens dos rens dados os horários em odas esações. Fone: Leal (2003) Leal (2003) uilizou as duas represenações em seu rabalho. A primeira represenação, por recho, para um exemplo inicial, serviu para explicar didaicamene a forma de raar os conflios, a parir da mariz. A segunda foi, de fao, implemenada no procedimeno. Ela em a vanagem de coner odos os dados da viagem do rem e ser mais inuiiva para os écnicos das ferrovias.

17 49 Idenificação do conflio e ordem de raameno dos conflios: Para a compreensão do procedimeno implemenado, Leal (2003) faz algumas definições. Um conflio se dá quando um rem ena ocupar um recho, durane a ocupação dese mesmo recho, por ouro rem. Para rens de mesmo senido, a seguine siuação define o conflio. Uma vez que um rem de referência se enconra no recho, um ouro rem, anerior a ele que saísse do recho, ou um rem poserior a ele que enrasse no recho durane a sua ocupação esaria em conflio. Para rens de senidos oposos, a seguine siuação define o conflio. Uma vez que um rem de referência se enconra no recho, um rem no senido oposo que enre, ou saia do recho durane a sua ocupação, esaria em conflio. Porano, os conflios se dão em rechos. No enano, o dado disponível da viagem dos rens, na mariz via usando a represenação a, fornece o momeno de enrada de cada rem no recho. O auor faz uma análise de como ocorrem os conflios de acordo como o senido dos rens, baseando-se na descrição realizada no iem a. No caso de conflios de rens de mesmo senido, a conagem de rechos é direa, cada esação de enrada icol do rem i corresponde a mesma esação icol do rem j, poencial confliane. No caso de rens de senido conrário, as esações de enrada de recho não em a mesma correspondência. Para um rem i de senido posiivo, enrando em icol, a esação do rem de senido negaivo enrando no mesmo recho é icol +1. No caso de um rem i de senido negaivo, enrando em icol, o rem de senido posiivo, confliando com ele, vai enrar no recho na esação icol-1. O ipo de conflio, se os rens são de mesmo senido, ou de senido oposo pode ser deecado por: Se indrem i x indrem j = 1, se os rens são de mesmo senido, Se indrem i x indrem j = -1, se são de senido conrário. Pode ser definida a esação de enrada do rem j como jcol. Quando os rens em o mesmo senido: jcol = icol. Se, são de senido conrário, pode ser expresso por: indrem i x indrem j < 0 enão, jcol = icol - indrem j. Para rens de mesmo senido o conflio se dá enre o rem ilin e o rem jlin, quando o rem j: Pare da esação icol enre via ilin,icol e via ilin,icol +ocupa ilin,icol. Ou enra no recho icol+indrem ilin enre os mesmos momenos.

18 50 Para rens de senido conrário a esação de enrada no recho é jcol=icolindrem j. e a de saída jcol+indrem j. Resumindo em uma condição, o conflio exise: Se (via ilin,icol < via j,jcol < via ilin,icol + ocupa ilin,icol ) (18) Ou (via ilin,icol < via j,jcol + ocupa j,jcol < via ilin,icol + ocupa ilin,ico] ) (19) A solução do conflio: O conflio se resolve arasando um dos rens. Arasar um rem significa que um rem deverá parar para que o ouro possa prosseguir. O araso pode ser decidido ano para o rem ilin, como para o rem jlin. Quando os rens êm a mesma prioridade, Leal (2003) apresena dois casos: 1) Fazer o rem j enrar no recho depois da saída de ilin, porano: araso j,jcol = via ilin,icol + ocupa ilin,icol - via j,jcol (20) 2) Fazer o rem i enrar no recho depois do rem jlin sair. araso ilin,icol = via j,jcol + ocupa j,jcol - via ilin,icol (21) Cabe a discussão, sobre qual a melhor alernaiva, olhando somene um conflio isolado. Leal (2003) realiza as seguines considerações: Se os rens êm aproximadamene o mesmo empo de ocupação no recho, se rem j chega em jcol enre a chegada e a parida de ilin do recho, sempre será melhor arasar j que ilin. Porque: via ilin, icol < via j,jcol < via ilin, icol + ocupa ilin,icol < via j,jcol + ocupa j,jcol (22) E se cumpre: via ilin,icol + ocupa ilin,icol - via j,jcol < via j,jcol + ocupa j,jcol - via ilin,icol (23) Se, por ouro lado o rem j sair do recho durane a passagem de ilin, é melhor arasar ilin, pois: via j,jcol < via ilin,icol < via j,jcol + ocupa j,jcol < via ilin,icol + ocupa ilin,icol (24)

19 51 logo: via j,jcol + ocupa j,jcol - via ilin,icol < via ilin,icol + ocupa ilin,icol - via j,jcol (25) O auor conclui que com os empos aproximadamene iguais de viagem, só ocorre uma das duas siuações de conflio. Em resumo, em igualdades de prioridade, seria melhor, considerando apenas o conflio local, arasar o rem que chegou depois no recho em quesão. Leal (2003) afirma que essa discussão vale apenas para a solução do conflio presene. Na esraégia de solução global, não se pode, a priori, descarar nenhuma das duas soluções. Procedimeno de solução: O problema proposo por Leal (2003) consise em resolver os conflios enre rens, definindo uma programação para os rens. Devem ser consideradas as prioridades de cada rem de forma a minimizar uma função objeivo. A função mais usada (Szpigel, 1972) em sido a de minimizar os arasos ponderados pela prioridade dos rens. Tano se pode expressar esa função omando os arasos direamene, como omando os empos de chegada dos rens, ponderados pelas prioridades, já que esa úlima função apenas agrega uma consane à primeira. Na primeira siuação, consideram-se odas as prioridades iguais a um. Segundo Leal (2003), a função objeivo é: Min F nrem = via i prior (26) i= 1, fim * i i i O procedimeno proposo pelo auor pode ser resumido nos seguines passos: Passo 0: No início a solução aual é a solução, com a programação inicial, ignorando os conflios. Enquano não chegar a uma solução viável faça (1): Passo 1: Selecione uma solução aual.

20 52 Passo 2: Enquano houver conflios faça (2): 1. Idenifique um conflio. 2. Idenifique o rem de referência, seu senido e o recho de referência. 3. Idenifique o rem de conflio e seu senido de viagem. 4. Calcule o araso para o rem de conflio. 5. Calcule o araso para o rem de referência. 6. Escolha o menor araso. 7. Refaça os horários do rem arasado da esação aual aé a esação final da viagem. Fim faça 2. Passo 3. Calcule o valor da Função objeivo. Passo 4. Compare com ouras soluções. Fim Faça 1. A seleção do próximo conflio: O próximo conflio a ser raado pode ser enconrado fazendo uma varredura no espaço, desde uma esação inicial da linha, ou fazendo uma varredura no empo, a parir do momeno mais cedo de operação na linha. O primeiro conflio enconrado segundo um dos criérios, é o selecionado para ser raado em primeiro lugar. Diversos auores (Higgins, 1996, Szpigel, 1972, enre ouros) indicam a conveniência de selecionar o conflio pelo empo. Iso porque raar primeiro o conflio mais cedo, implica em propagar para frene, no empo os efeios da solução dese conflio. No caso do raameno pelo espaço, esa solução pode afear e criar conflios em ouros rens, em momeno mais cedo que o aual, criando um loop complexo de soluções. Leal (2003) uiliza nese rabalho, o criério de varredura no empo para a seleção do próximo conflio a ser raado. A seleção de uma boa solução: Ese é um procedimeno heurísico. Durane as soluções dos conflios, há propagações dos efeios para frene criando, evenualmene novos conflios. O espaço de soluções é imensamene grande. Porano é necessária uma

21 53 esraégia para explorar o espaço de soluções, aravés de uma mea-heurísica, ou aravés de um procedimeno de branch-and-bound. Uma esraégia de oimização sugerida é a de Higgins (1996) ou Szpigel (1972), que uilizam o méodo branch-and-bound na busca da melhor solução. Uma aplicação com o exemplo de Szpigel (1972): Pra melhor compreensão do procedimeno, Leal (2003) apresena um problema, uilizando os mesmos dados do exemplo proposo por Szpigel (1972). Ele uiliza a represenação de rens, com o momeno de enrada em cada recho represenação a desa seção. A finalidade é mosrar o conceio de análise do conflio direamene a parir de cálculos na mariz de empos de enrada no recho, que é a conribuição desa abordagem. O problema uilizando o procedimeno de Leal (2003): Para 3 rens com percursos em rês rechos, usando a represenação de mariz de empo de enrada nos rechos, dá os seguines valores: Trem 1: percurso do rem = 3,2,1 indrem = -1 Trem 2: percurso do rem = 1,2,3 indrem = +1 Trem 3: percurso do rem = 3,2,1 indrem = -1. Os empos de viagem, nos dois primeiros rechos, que serão omados como os empos de ocupação nos rechos, são: Trem 1: 3, 4 Trem 2: 3, 4 Trem 3: 3, 4 Os momenos de parida são: Trem 1: 0 Trem 2: 2 Trem 3: 3

22 54 A mariz via de empos de enrada nos rechos, resulane será: mo par + via Tvia = mo de par mo de par + via mo mo mo de de de par + par + par + via via via mo mo de mo de par par + via de par Indrem -1 Indrem +1 Indrem -1 Onde: mo_par = momeno de parida; _via = empo de viagem; indrem = índice do rem Tvia = Tvia = O objeivo do problema é de minimizar os arasos. Os horários de paridas dados são fixos. O valor de uma solução é, no caso dos rens erem o mesmo peso, iso é, a mesma prioridade, a soma dos valores de momeno de enrada no recho final de cada rem. No caso, a solução inicial é: = 26 Idenificação do conflio na mariz proposa por Leal (2003): 1) Toma-se um rem qualquer em um recho k. Na mariz, cada rem i, corresponde a uma linha e cada a esação de início de recho, a uma coluna. 2) Olha-se na coluna k + indrem i, o empo via i,k + indrem i. 3) Toma-se na coluna k, para cada rem j <>i, a diferença: via j,k - via i,k + ocupa i,k (cálculo dos arasos) (27) Quando os valores dos arasos derem negaivos, indica que rem j enrou no recho k, anes do rem i deixar o recho k. Se, além disso, o rem j saiu do recho depois que o rem i enrou no recho, exise o conflio. O maior valor negaivo, em valor absoluo, é o maior conflio.

23 55 A seleção do conflio é realizada aravés de uma varredura no empo. É uilizada a seguir a heurísica para enconrar o primeiro conflio. No caso da mariz acima, o menor valor é 0 do rem 1 na coluna 3. O senido do rem é negaivo: 1,3 = 0 Ilin = 1, icol = 3, indrem = -1. Ese rem deixa o recho no momeno via 1,3 + ocupa 1,3 = 3. Na mesma coluna em-se os valores de araso: Trem 2: araso = 9 3 = 6 Trem 3: araso = 3-3 = 0. Logo, não há conflio no primeiro recho para o rem 1. O segundo menor valor na abela é 2, para o rem 2, no recho 1: 2,1 = 2 Ilin = 2, icol = 1, indrem = +1. Trem 2 deixa o recho no momeno 2,1 + ocupa 2,1 = 5. Os arasos são: Trem 1: 7-5 = 2 Trem 1: 10-5 = 5 Não há conflio. O erceiro menor empo é 3, do rem 1, por exemplo (há empae com o rem 3). 1,2 = 3 Ilin = 1, icol = 2, indrem = -1. 1,1 = 7. Os arasos são: Trem 2: 5-7 = -2 Trem 3: 6-7 = -1. Maior conflio é com rem 2. Solução do conflio na mariz: Leal (2003) indica duas formas para a solução do conflio: 1) Arasar o rem j no valor do araso enconrado; 2) Ou arasar o rem i do valor: via j,icol + ocupa j,icol ilin,icol. (28)

24 56 Ou seja, o rem só enra no recho icol depois do rem j deixar o recho, depois da sua ocupação. No primeiro caso, o rem j enraria no recho 2 no momeno 7, e o araso é adicionado aos demais valores da linha de j aé o final do seu percurso. No segundo caso o rem i enraria no recho 2 no momeno 9, e seria arasado de 9-3 = 6 minuos. O araso seria adicionado aos demais rechos, à frene, no seu percurso. Essas duas alernaivas correspondem aos dois nós do branch-and-bound, de Szpigel (1972), conforme o iem 3.2.1: 1º caso: arasa o rem 2 (j) 2º caso: arasa o rem 1 (i) 7 Tvia = Tvia = z= = 28 z= = 32 Para o cálculo do z (valor da função objeivo), faz-se a soma de odos os empos referenes ao recho de saída do rem. Opou-se pela mariz de valor 28, por ser a que apresena menor valor, já que esamos minimizando uma função. Nese caso exise um conflio enre os rens 1 e 3, que resula em duas alernaivas: 7 Tvia = Tvia = z = 29 z = 35 No caso da segunda solução, o conflio que houve enre os rens 1 e 2 não ocorreria. Assim, a solução seria:

25 Tvia = com valor 33, mas não viável ainda, pois já enconramos um valor melhor, que é 29. Assim, a alernaiva da solução com valor 29 enconra o conflio enre os rens 2 e 3, com as seguines soluções: 7 Tvia = Tvia = z = 33 z = 33 As soluções enconradas por Leal (2003) correspondem às soluções enconradas por Szpigel (1972). A propagação, ou absorção de arasos: Figura 10: Arasos dos rens. Fone: Leal (2003)

26 58 Os arasos, sofridos por um rem em uma esação, com valores menores que arasos sofridos em uma esação a frene vão ser absorvidos pelo araso a frene. Desa forma, ao haver um araso devido a um conflio, a sua propagação para frene vai depender da comparação do valor do araso com o araso aual nas esações à frene, no percurso do rem. Na figura 10, Leal (2003) exemplifica essa siuação. Se um rem sofre um cero araso, digamos de 5 minuos na esação 2. Se no decorrer dos cálculos o mesmo rem sofrer um araso de 10 minuos na esação 1, o araso de 10 minuos vai valer para o percurso enre 1 e 2 e, a parir daí, o araso adicional é de apenas 5 minuos. Por ouro lado se o araso for menor, digamos 3 minuos na esação 1, o araso vai ser oalmene absorvido pelo araso na esação 2 e não haverá propagação para frene. A propagação de arasos vai ser calculada sucessivamene, para cada esação a frene da raada recenemene. Assim, o araso de um rem i em uma esação j, a frene da esação recenemene raada, vai ser dado por: (Leal,2003) Araso i,j = max(araso i,j ; araso i,j-1 ) (29) Foram apresenados nese capíulo diversos modelos de operação e programação de rens. Os modelos que devem ser analisados com mais cuidado são, o de Szpigel (1972), e o de Leal (2003), pois se encaixam no objeivo final desa pesquisa. O modelo de Szpigel serve como base conceiual para o modelo de Leal (2003). Ese úlimo é a base desa pesquisa.