ABORDAGEM ANALÍTICA E CARACTERIZAÇÃO DE CONTATO ENTRE SUPERFÍCIES

Transcrição

1 ABORDAGEM ANALÍTICA E CARACTERIZAÇÃO DE CONTATO ENTRE SUPERFÍCIES Paulo Eduardo Nunes Bruel Disseração apresenada à escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo como pare dos requisios para obenção do íulo de Mesre em Engenharia Mecânica ORIENTADOR: Prof. Dr.Luiz Carlos Felicio São Carlos 6

2 ii RESUMO BRUEL P. E. N. 5. Análise e Caracerização de Conao enre Superfícies. Disseração Mesrado Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo São Carlos 5. Pode-se definir o ao aravés da capacidade de um corpo senir o conao localizá-lo reconhecer a forma e a rugosidade da superfície impacane. Normalmene não se enconram esruuras analíicas adequadas para descrever o fenômeno. Nese rabalho preende-se deerminar a localização dos ponos de conao enre dois corpos aravés da análise dos sinais resulanes das vibrações causadas pelo conao além de esimar a geomeria da superfície do objeo impacane. A descrição qualiaiva do impaco é obida aravés da análise de uma série de funções maemáicas que geram uma base orogonal adequada para ese ipo de eveno. Assim o conao não é considerado aravés de uma modelagem física radicional mas pela descrição das ondas geradas pelas ensões e deformações superficiais incorporando a ineração de múliplos ponos vinculados e procedimenos de conagem esaísica. Com a meodologia para esudo de impaco eperimenal é efeuada a consrução qualiaiva do especro de deslocameno de uma placa simplesmene apoiada sujeia à aplicação de esforços disribuídos. Palavras Chave :impaco conao esforços disribuídos

3 iii ABSTRACT BRUEL P. E. N. 5. Analsis and Characerizaion of he Conac Beween Surfaces Disseraion Masering Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo São Carlos 5. The ac ma be defined as he capaci of a bod o locae he conac on is surface o recognize shape of he conacing surface as well as he superficial rugosi. Usuall analical models are no able o describe he phenomenon properl. This work proposes an approach for he conac form locaion beween wo bodies using he resulan signals analsis of he vibraions caused for he conac. In his wa i is deermined he arge surface geomer. The qualiaive descripion of he impac is obained hrough he analsis of mahemaical series ha generae orhogonal basis for his sor of even. Thus he conac is no considered hrough a radiional phsical modeling bu b he descripion of he waves generaed for he superficial sress and srain incorporaing he ineracion of muliple enailed poins and procedures of couning saisics. Wih a mehodolog for sud of heoreical impac he quaniaive consrucion of he specer of displacemen of a subjec plae o he applicaion of disribued srains is effeced. Ke words: impac conac disribued srains

4 iv AGRADECIMENTO Agradeço a minha avó Alda Facchina Nunes in memória pelo carinho e pelos anos de convivência possibiliando a realização desse rabalho. Agradeço a Msc. Renaa Nunes Bruel do Cenro Tecnológico da Marinha pela colaboração e pela revisão desa disseração. Finalmene agradeço ao Prof.Dr. Felício por er assumido a orienação desse rabalho viabilizando sua defesa.

5 v ÍNDICE DE FIGURAS FIGURA. REPRESENTAÇÃO TÍPICA DA ENTRADA δx....3 FIGURA. - RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA PARA SISTEMA COMPOSTO;...5 FIGURA 3. - TRAJETÓRIA DE UM PONTO EM UM ESPAÇO DE FASE BIDIMENSIONAL...9 FIGURA 3. - ENSEMBLE DE FUNÇÕES ALEATÓRIAS....3 FIGURA 3.3 REPRESENTAÇÃO DE CORRELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS X E Y...33 FIGURA REGRESSÃO LINEAR DE X EM Y PARA COEFICIENTES DE CORRELAÇÃO ρ XY...38 FIGURA FUNÇÃO DENSIDADE ESPECTRAL...39 FIGURA FUNÇÃO DENSIDADE ESPECTRAL COM MÉDIA NÃO NULA...4 FIGURA FUNÇÃO DENSIDADE ESPECTRAL...4 FIGURA 3.8 SINAIS DE SAÍDA TÍPICOS DE SISTEMAS FIGURA 3.9 FUNÇÕES AUTOCORRELAÇÃO IDEALIZADAS FIGURA 3. - SISTEMA LINEAR COM DUAS ENTRADAS E UMA SAÍDA...44 FIGURA 3. ESQUEMA DE UM SISTEMA DINÂMICO...48 FIGURA 4. - SISTEMAS SEPARADOS POR PAREDE ADIABÁTICA FIXA E IMPERMEÁVEL FIGURA 5. ESFORÇOS EM UM ELEMENTO DE VOLUME...7 FIGURA 6. ESQUEMA DO SISTEMA MODELADO...8 FIGURA 6. ESQUEMA DA DISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS...83 FIGURA 6.3 REPRESENTAÇÃO DOS ENSAIOS...84 FIGURA SINAL OBTIDO NO PONTO P DO ENSAIO ANSYS_OQ...88 FIGURA 6.5 CORRELAÇÃO PARA O ENSAIO ANSYS_OQ NO PONTO P...89 FIGURA 6.6 FUNÇÃO DENSIDADE ESPECTRAL PARA O ENSAIO ANSYS_OQ EM P...89 FIGURA 6.7 DESLOCAMENTO DO PONTO DE AQUISIÇÃO P EM T E T...9 FIGURA 6.8 ESPECTRO DE FREQÜÊNCIAS DO SINAL EM T E T...9 FIGURA 6.9 DESLOCAMENTOS NOS ENSAIOS ANSYS_OQ//3 EM P P P FIGURA 6. AMPLITUDE NOS ENSAIOS ANSYS_OQ//3 EM P P P FIGURA 6. DESLOCAMENTOS NOS ENSAIOS ANSYS_OC/3 EM P...95 FIGURA 6. AMPLITUDE NOS ENSAIOS ANSYS_OC/3 EM P...95 FIGURA 6.3 FUNÇÃO DENSIDADE ESPECTRAL NOS ENSAIOS ANSYS_OC/3 MEDIDO EM P...96 FIGURA 6.4 DESLOCAMENTOS NO ENSAIO ANSYS_OE EM P P P FIGURA 6.5 AMPLITUDES NO ENSAIO ANSYS_OE EM P P P FIGURA 6.6 FUNÇÃO DENSIDADE ESPECTRAL NO ENSAIO ANSYS_OE EM PPP FIGURA 6.7 AMPLITUDES NOS ENSAIOS ANSYS_OQ/OC/OE EM P...99 FIGURA 6.8 AMPLITUDES NOS ENSAIOS ANSYS_OQ3/OC3/OE EM P...99 FIGURA FORÇAS HARMÔNICAS SIMULANDO O PRISMA DE.MM DE LADO... FIGURA 6. - AMPLITUDE NOS ENSAIOS MAM_DQ//3 EM P...5 FIGURA 6. - AMPLITUDE NO ENSAIO MAM_DQ3 PARA FORÇAS DE N N E N...6 FIGURA 6. DESLOCAMENTOS DA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO HOMOGÊNEA DA PLACA...7

6 vi FIGURA 6.3 AMPLITUDES DA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO HOMOGÊNEA DA PLACA...7 FIGURA 6.4 DISCRIMINAÇÃO EM NÓS DO SINAL DO ENSAIO MAM_DQ EM P...8 FIGURA 6.5 REPRESENTAÇÃO EM 3D E VISTA EM PLANTA DO ENSAIO MAM_DQ 9HZ...9 FIGURA 6.6 REPRESENTAÇÃO EM 3D E VISTA EM PLANTA DO ENSAIO MAM_DQ - 9HZ...9 FIGURA DISCRIMINAÇÃO EM NÓS DO SINAL DO ENSAIO MAM_DQ EM P... FIGURA REPRESENTAÇÃO EM 3D E VISTA EM PLANTA DO ENSAIO MAM_DQ... FIGURA DISCRIMINAÇÃO EM NÓS DO SINAL DO ENSAIO MAM_DQ EM P... FIGURA REPRESENTAÇÃO EM 3D E VISTA EM PLANTA DO ENSAIO MAM_DQ... FIGURA DISCRIMINAÇÃO EM NÓS DO SINAL DO ENSAIO MAM_DQ3 EM P... FIGURA REPRESENTAÇÃO EM 3D E VISTA EM PLANTA DO ENSAIO MAM_DQ3... FIGURA AMPLITUDE NOS ENSAIOS MAM_DC EM P...3 FIGURA DISCRIMINAÇÃO EM NÓS DO SINAL DO ENSAIO MAM_DC EM P...4 FIGURA REPRESENTAÇÃO EM 3D E VISTA EM PLANTA DO ENSAIO MAM_DC...4 FIGURA DISCRIMINAÇÃO EM NÓS DO SINAL DO ENSAIO MAM_DP EM P...5 FIGURA REPRESENTAÇÃO EM 3D E VISTA EM PLANTA DO ENSAIO MAM_DP...5 FIGURA DISTRIBUIÇÃO DOS ESFORÇOS ALEATÓRIOS DO ENSAIO MAM_DA...6 FIGURA AMPLITUDE NOS ENSAIOS MAM_DA EM P...6 FIGURA DISCRIMINAÇÃO EM NÓS DO SINAL DO ENSAIO MAM_DA EM P...7 FIGURA REPRESENTAÇÃO EM 3D E VISTA EM PLANTA DO ENSAIO MAM_DA EM P...7 FIGURA 6.4 LEITURA DO SENSOR NO PONTO P...8 FIGURA 6.43 MODOS DE VIBRAÇÃO DA PLACA EM FUNÇÃO DA FREQÜÊNCIA...9 FIGURA 6.44 MODOS DE VIBRAÇÃO DA PLACA EM FUNÇÃO DOS NÓS NA FREQÜÊNCIA 75 HZ...9 FIGURA DISTRIBUIÇÃO DOS ESFORÇOS ALEATÓRIOS DO ENSAIO MAM_DA... FIGURA DESVIO PADRÃO DA DISTRIBUIÇÃO DO ENSAIO MAM_DA...

7 vii ÍNDICE DE TABELAS TABELA. OPERADORES LINEARES PARA DIVERSAS ESTRUTURAS... TABELA 6. - ENSAIOS...8 TABELA 6. - PONTOS DE AQUISIÇÃO DOS DESLOCAMENTOS DA PLACA...84 TABELA 6.3 ENSAIOS ANSYS_O...85 TABELA 6.4 FREQÜÊNCIAS DE RESSONÂNCIA SEGUNDO O CÁLCULO TEÓRICO...86 TABELA FREQÜÊNCIAS DE RESSONÂNCIA DA MALHA COM 9X6 ELEMENTOS...87 TABELA FREQÜÊNCIAS DE RESSONÂNCIA DA MALHA COM 8X ELEMENTOS...87

8 viii LISTA DE SÍMBOLOS a b Largura Comprimeno ak Coeficienes de aproimação amn bmn Coeficiene da série de Fourier Aw Função resposa freqüência b Coeficiene de regressão linear B Operador das condições de conorno c Consane Coeficiene de amorecimeno Velocidade de propagação da onda c mn Consane para o modo mn C Função auocovariância C Função covariância d disância D Veor coluna e si ;e ri Versor E Modulo de Elasicidade E i Energia E[] Valor esperado de [] E[ ] Soma dos quadrados dos resíduos f freqüência g k Função de aproimação G γ Função de Green G Função densidade especral > G Função densidade especral cruzada > G : Função densidade especral cruzada > h espessura h i Função resposa impulsiva uniária Hqp Função de Hamilon; operador de Hamilon H Momeno de orção por unidade H i Função resposa na freqüência H mn Componene mn da mariz resposa na freqüência H Faor de ganho do sisema I Momeno de inércia da secção ranversal i j k variáveis ineiras J Momeno de Torção J Veor densidade de momeno generalizado k rigidez k B Consane de Bolzman K mn Consane relaiva às coordenadas da placa do modo mn L Operador Surm-Lioville m massa mn indica o modo mn mr Densidade de massa em função de r m m Valor médio da variável randômica X Y do processo esacionário e M - Mariz de covariância Momeno por unidade de comprimeno M z..

9 i N N i N z.. n p ps p z P q Q Q Número de ponos Numero de parículas Esforços normais por unidade de comprimeno Variável ineira Momenum generalizado Pressão randômica esacionária Força por unidade de área Pressão Coordenada generalizada Reação na quina Reação nas bordas do conorno r Veor posição nas coordenadas r i Veor posição nas coordenadas i i R Função auocorrelação R Função correlação cruzada s Veor posição nas coordenadas s i Veor posição nas coordenadas i i S Consane no domínio da freqüência SE Enropia em função da energia inerna S Função densidade especral S Função densidade especral cruzada Variável normalmene empo i Insane de empo T Período T i T Temperaura Esforços angenciais por unidade de comprimeno u Veor deslocameno em função de v Veor deslocameno em função de v Velocidade generalizada V i V Volume Esforço corane por unidade de comprimeno z Variáveis independenes z variáveis de espaço Função espacial do empo Função esacionária randômica i Função enrada i i X X i Pono fio i na coordenada Variável aleaória Transformada de Fourier de Função espacial no empo; Função esacionária randômica Pono fio i na coordenada i Função saída i Y Transformada de Fourier de wr Função resposa da variável r Flecha; defleão α β ângulos δ δ- Função disribuição dela de Dirac zero para Função disribuição dela de Dirac zero para

10 ε zz.. ϕ γ Componenes de deformação devido às ensões normais Função caracerísica Veor numero de onda similar a ; Parâmero da função de Green γ γ z γ zz Componenes de deformação devido as ensões de cisalhameno η Função coerência enre e λ Veor comprimeno de onda λ i Auo valor devido as condições de conorno; valor caracerísico ν Coeficiene de Poisson i Consane de empo ângulo de fase ρ Densidade ρq p Densidade generalizada ρ Coeficiene de auocorrelação ρ Coeficiene de correlação para as variáveis randômicas σ Variância; desvio padrão σ σ Tensão normal σ Variância da variável aleaória X Y?? Variável emporal z zz Tensão de cisalhameno Freqüência angular mn Freqüência angular para o modo mn Ψ Função de forma Desvio do valor da amosra em relação ao valor predio Ω Número dos esados acessíveis do sisema Operador diferencial 4 Operador Laplaciano Operador

11 i ÍNDICE Resumo ii Absrac iii Agradecimeno iv Índice de Figuras v Índice de Tabelas vii Lisa de Símbolos viii Índice i CAPÍTULO - Inrodução à Teoria do Conao. Inrodução. Jusificaiva.3 Objeivos 3.4 Revisão Bibliográfica 3.5 Apresenação Da meodologia Proposa 7.5. Coneúdo da Disseração 9 CAPÍTULO - Desenvolvimeno dos Modelos Teóricos. Inrodução. Base Discrea ou Conínua.3 Méodo de Green.3. Solução da Equação de Poisson com o Méodo de Green 6.3. Propagação das Condições Iniciais 8.4 Análise Harmônica do Movimeno.4. Transformada da Função de Green em Resposa em Freqüência 3.4. Acoplameno Aravés dos Modos de Vibração 5 CAPÍTULO 3 Análise esaísca 8 3. Inrodução 8 3. Ensemble Esaísico Correlação Correlação Cruzada e Auocorrelação 33

12 ii 3.4 Função Correlação Via Especro Análise Esaísica dos Sinais de Enrada e Saída do Sisema Desenvolvimeno para Eciação Disribuída 48 CAPÍTULO 4 - Análise de Conao 5 4. Técnica para a Descrição de Conao Termodinâmica de Gibbs Análise Térmica Abordagem Misa Vínculos e Condições Iniciais Elaboração Esaísica Descrição Física do Conao 63 CAPÍTULO 5 - Modelagem do Sisema Inrodução Aproimação por Auofunções Coeficienes da Série de Fourier Modelo de placa fina Condições de Conorno da Placa Méodo Numérico Aplicado na Equação 79 CAPÍTULO 6 - Resulados e Conclusões 8 6. Descrição do Sisema 8 6. Ensaios ANSYS_O Apresenação dos Resulados Análise dos Resulados 6.3 Validação do MAM com o ANSYS 6.3. Comparação dos Ensaios ANSYS_D e MAM_D 6.3. Análise dos Resulados Méodo de Análise Modal Ensaios com o MAM Análise dos Resulados 6.5 Conclusões 6.6 Trabalhos Fuuros 8 Referência Bibliográfica 9

13 CAPÍTULO - INTRODUÇÃO À TEORIA DO CONTATO. INTRODUÇÃO A descrição qualiaiva do impaco é obida aravés da análise de uma série de funções maemáicas que geram uma base orogonal e descrevem adequadamene ese ipo de eveno possibiliando um novo enfoque das eorias de impaco e conao que considere o amorecimeno. Aravés da análise de sinais provenienes de vibrações causadas pelo conao enre uma superfície previamene conhecida e um objeo desconhecido é possível deerminar a localização ou o posicionameno dos ponos de conao na superfície conhecida esimar a geomeria da superfície do objeo desconhecido e dependendo do ipo de ineração enre os corpos ouras caracerísicas como a massa e o modulo de Young E. Com ese inuio é assumido que os modos normais de vibração as freqüências naurais a forma geomérica e as propriedades físicas da superfície conacada são previamene conhecidos. Como superfícies conacadas são uilizadas chapas planas pois são esruuras maemaicamene bem conhecidas. Como agenes impacanes são uilizadas diversas formas geoméricas como quadrados cilindros e formas ponuais que definem a disribuição de esforços sobre a chapa. As disribuições dos esforços servem em uma primeira aproimação para obenção e análise dos resulados das simulações. Assim aravés da medição dos sinais de deslocamenos e/ou velocidades dos deslocamenos em ponos quaisquer de uma chapa plana gerados ao longo do empo pela simulação do impaco com um corpo desconhecido são obidos os coeficienes de

14 uma série maemáica convenienemene escolhida de forma a descrever o espaço amosral das soluções. A série de Fourier por eemplo pode gerar uma gama muio grande de funções e seus coeficienes podem ser considerados como disribuição. Em paricular pode descrever funções desconínuas no empo e no espaço. O grau de precisão é deerminado pela sensibilidade acuracidade e pela quanidade de sensores disposos sobre a superfície alvo. O amorecimeno não é considerado qualiaivamene na análise por causa das dificuldades eperimenais para sua avaliação e não eisem modelos genéricos para sua descrição NEWLAND D. E 989. Considerando os ermos da série de Fourier como uma disribuição e aribuindolhes um caráer esaísico eses podem ser assumidos como evenos que analisados individualmene são desprezíveis mas combinados enre si aravés de uma série eses ermos são avaliados como uma forma de desvio padrão da função densidade especral. O conao enre corpos não é considerado aravés de uma modelagem física radicional mas aravés de uma descrição de ondas pulsos geradas pelas ensões e deformações superficiais. Assim uilizando as esruuras apresenadas é desenvolvida uma meodologia onde a localização e a inensidade de esforços disribuídos pode ser idenificada pela uilização de um único sensor de deslocameno por eemplo acoplado à superfície impacada. Em paralelo são esboçados modelos de abordagem para o esudo de conao. Esa forma de raameno visa a elaboração de um desenvolvimeno sisemáico que não se preocupa com o conao em si mas com as conseqüências do eveno resringindo-se a uma análise quaniaiva que permia rápidas omadas de decisões onde uma avaliação simples e direa de seu efeio é suficiene.. JUSTIFICATIVA Embora os modelos uilizados no desenvolvimeno dese rabalho para descrever os efeios do impaco sejam normalmene simulados por compuador uma abordagem analíica fornece soluções eremamene rigorosas que podem jusificar as aproimações assumidas nas simulações.

15 3 A parir de um raameno maemáico das resposas de sisemas preende-se deerminar as possíveis condições que resularão nesas resposas.3 OBJETIVOS Com a apresenação dos fundamenos maemáicos adequados para a obenção das soluções da equação de onda e aravés modelagem de esruuras mecânicas vibranes preende-se avaliar vínculos e conaos enre superfícies uilizando um formalismo esaísico na análise de sinais e principalmene avaliar esforços e formas de conaos responsáveis pela geração de onda uilizando para iso as soluções eóricas da equação de Surm-Nioville. Com ese inuio são apresenadas algumas proposas para o raameno de vínculos sob a óica de vínculos modais para o raameno de alguns ipos de conao dinâmico e para a criação de um ambiene de sensibilidade áil. Porano aravés do desenvolvimeno de uma meodologia para esudo de impaco eperimenal e esaísico será efeuada a consrução qualiaiva do especro de deslocameno de uma placa simplesmene apoiada sujeia à aplicação de esforços disribuídos além do reconhecimeno desas disribuições..4 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA No esudo do impaco ou do conao enre corpos säo necessários o desenvolvimeno dos conceios eóricos envolvidos e a uilização de écnicas aualizadas de processameno de sinais para uma avaliação segura dos resulados obidos. Teoria do Impaco e Conao Nos fundamenos da eoria de impaco elaborados por Newon em meados do século XVII foi incorporado um faor de correção para considerar a energia perdida durane o processo. Poseriormene a aplicação da eoria da elasicidade permiiu o

16 4 esudo de propagação de ondas em problemas de impaco e a avaliação da disribuição de ensão no pono de conao. Segundo GOLDSMITH W. 96 GRAFF K.F. 975 e STRONGE W.J. pode ser uilizada em esudos dinâmicos de impaco longiudinal e ransversal como por eemplo nos esudos efeuados por Sears e Timoshenko apesar da eoria de conao de deformação proposa por Herz er sido elaborada com resrições para o regime elásico e esáico Para o desenvolvimeno da eoria de impaco proposa faz-se necessária a incorporação de modelos maemáicos de esruuras vibranes e suas respecivas soluções que de acordo com CRAIG Jr. R.R. 98 e KALMAKOV I.A.S. 96 pode ser observado no modelo de uma placa plana desenvolvido por Kirchoff. Modelos mais elaborados foram inroduzidos por MINDLIN R.D.; FOX E.A. 96 por REISSNER E. 947 e por SALERNO V.L.; GOLDBERG M.A. 96 que levaram em consideração as ensões de cisalhameno ransversais. A imporância dessa incorporação é relaiva à espessura e à presença de furos na chapa onde no modelo da placa proposo por Kirchoff ocorrem concenrações de ensões inadmissíveis. A solução para ese modelo com várias condições de conorno foi apresenada por BERGMAN L.A.; HALL J.K.; LUESCHEN G.G. 993 enre ouros que adoaram o formalismo maemáico das funções de Green na solução da placa vibrane. Eses modelos são muio uilizados em programas de elemenos finios MEF como por eemplo no código ANSYS-LS DYNA. Inúmeros eperimenos êm sido conduzidos para medidas de vários parâmeros de impaco normalmene ponual freqüenemene com objeivo de verificar uma paricular eoria de colisão ou quanificar resulados. Generalizações são obidas aravés de processos compuacionais como o méodo por elemenos finios MEF que uiliza como fundameno o princípio de minimização variacional conforme pode-se observar nos rabalhos desenvolvidos por GOLDSTEIN H. 98 e LEECH J.W. 97. Segundo HUEBNER K.H.; THORNTON E.A; BYROM T.G. 994 o MEF é uma imporane ferramena de diagnósico pois apresena como caracerísica fundamenal a possibilidade de se rabalhar com sisemas mecânicos compleos. Devido à versailidade em inserir condições de conorno em geomerias compleas permie a uilização de diferenes maeriais em regimes elásico ou plásico. Esudos de

17 5 impaco em vigas placas e cascas que envolvem grandes deformações são apresenados por JONES N.L O MEF apresena basicamene dois ipos de raameno para o conao:. Méodo dos Muliplicadores de Lagrange e. Méodo da Penalização. O Méodo de Lagrange calcula de modo eao aravés de resrições imposas e é indicado quando se deseja eremizar um funcional sujeias as resrições de conao resulando em um aumeno no número de incógnias. No Méodo da Penalização as resrições de conao são calculadas de forma aproimada aravés de um faor de penalização onde se admie a peneração de um corpo no ouro. O problema principal consise em achar esse faor sem que haja o compromeimeno da mariz de rigidez ornado-a mal condicionada ou inversamene sem permiir penerações inaceiáveis. A principal desvanagem do méodo dos elemenos finios é o alo cuso compuacional envolvido nas análises além da necessidade de se conhecer previamene os parâmeros de impaco e as caracerísicas do agene impacane. Análise de Sinais Para a confirmação das eorias apresenadas ou para elaborações de novos procedimenos é necessário o desenvolvimeno de equipamenos e ferramenas capazes de quanificar e processar sinais. O processameno de sinais é concernene com a represenação ransformação e manipulação de sinais e das informações que o consiuem. Uma classe de processameno de ineresse é a que envolve o problema de inerpreação onde o objeivo não é ober um sinal de saída mas caracerizar o sinal de enrada ou erair informações dese. No século XVII foram desenvolvidos modelos para represenar fenômenos físicos em ermos de variáveis conínuas e equações diferenciais. Inúmeras écnicas numéricas foram usadas para resolver esas equações quando soluções analíicas não eram possíveis. Newon usava em seus cálculos o méodo das diferenças finias que é

18 6 um caso especial de sisemas a empo discreo. Vide por eemplo MIRSHAWKA V No século XVIII foram inroduzidos méodos para inegração numérica e inerpolação de funções de variáveis conínuas desenvolvidos por Euler Bernoulli e Lagrangeconforme: ATKISON K.E. 989; LAZARINI C.; FRANCO N.M.B. 996 e MIRSHAWKA V. 979 a mecânica racional foi desenvolvida por Euler D Alamber Lagrange e Hamilon por fim Fourier esudando o calor apresena a série harmônica esabelecendo as bases da Acúsica Fisiológica e Musical. No século seguine foi inroduzida a eoria da elasicidade por Navier Cauch Clausus e Sokes e surgiram as primeiras inovações ecnológicas como por eemplo o primeiro ransduor uilizado por Reiss em uma demonsração de comunicação elefônica os microfones a carvão e o fonógrafo iniciando o desenvolvimeno da gravação e da reprodução de sinais. No fim da primeira guerra mundial Langevin conseguiu a deecção de um submarino aravés de ransduores de crisal de quarzo que funcionavam como emissores e recepores. Enfim o processo de deecção e geração de ulra-som em evoluído significaivamene a cada dia. O campo do processameno e aquisição de sinais sempre se beneficiou de uma esreia relação enre a eoria a ecnologia de implemenação e as aplicações práicas. Na década de sessena a ecnologia de processameno de sinais era quase eclusivamene analógica a empo conínuo. A rápida evolução de compuadores e microprocessadores junamene com o desenvolvimeno de algorimos causou uma grande mudança na ecnologia elevando ao primeiro plano o processameno digial. Os aspecos fundamenais do processameno de sinais digiais são a aquisição de seqüências de dados caracerizando um espaço amosral e a naureza do sinal a empo discreo. Com a descobera de Coole and Tuke de um algorimo eficiene para o cálculo da ransformada de Fourier conhecido como ransformada rápida de Fourier FFT observa-se um aumeno significaivo na rapidez do cálculo.ver NEWLAND D.E. 993; 989; OPPENHEIM A.V.;SCHAFER R.W. 989 BENDAT J.S.; PIERSOL G.P. 993 Por fim nos anos 8 surgem as waveles que incorporam simulaneamene uma análise nos domínios do empo e da freqüência possibiliando maiores

19 7 informações sobre as caracerísicas do sinal. Deve-se salienar que na ransformada de Fourier a análise é feia no domínio da freqüência. Uma disribuição empo-freqüência muio usada é a ransformada de Fourier de cura duração que fornece uma resolução consane no empo e na freqüência pois fia uma largura no domínio do empo. A ransformada wavele apresena um período de análise de muliresolução que permie alerar a largura da janela e ober uma resolução mais adequada. Aualmene a eoria e os méodos de análise apresenados são uilizados na oimização de esruuras obendo-se perfis mais esbelos e fleíveis visando à diminuição de peso a prevenção de acidenes e assegurando um maior conrole de sisemas principalmene no campo da robóica YU W995. KAO S;CHEN S.F. LI YM.; WANG G. 3 enre ouros desenvolvem pesquisas na área de superfície de conao e uilizam uma grande quanidade de sensores que auam na região de conao e dificulam sua implemenação aumenando os cusos consideravelmene..5 APRESENTAÇÃO DA METODOLOGIA PROPOSTA O desenvolvimeno da meodologia se baseia na procura de soluções que apresenem esruuras maemáicas que faciliem a modelagem do problema e a forma de resposa. Assim devido à dificuldade de descrever fisicamene o conao propõe-se descrevê-lo a parir de funções orogonais e enão subdividir o sisema em uma série de equações desacopladas. O modelo físico é formulado aravés das funções de Green BUTKOV E. 978 desenvolvidas aravés de séries de Fourier e resolvido uilizando o modelo dos modos normais de vibração. De acordo com ATKISON K.E. 989 ouro procedimeno muio usado é discreizar o modelo principalmene quando as geomerias são compleas e dificulam a aplicação do méodo anerior.

20 8 Por consrução os modelos apresenam essencialmene as mesmas propriedades maemáicas. Os modos normais de vibração discreos são dimensionalmene finios e apresenam uma convergência mais rápida; as séries são infinias. Dependendo do conhecimeno prévio sobre o eperimeno e da necessidade de dealhameno necessária é possível escolher um méodo maemáico mais adequado para análise. Em rabalhos inroduórios e de caráer essencialmene acadêmico que visam uma generalização das aplicações opa-se por modelos conínuos que possibiliam a geração de espaços de dimensão infinia e podem ser gerados auomaicamene. Além disso as séries uilizadas convergem para uma grande variedade de funções e servem como bases para procedimenos numéricos. Assim aravés da análise dos sinais de ondas provenienes de um choque descreve-se o eveno que causou ou pode er causado esas ondas. Para a validação do procedimeno proposo ambém são apresenadas simulações compuacionais baseadas na meodologia de elemenos finios fundamenadas no princípio minimização variacional e que geram auoveores em uma análise modal. Paricularmene é invesigado o conao enre dois corpos com o inuio de reconhecer a forma geomérica do objeo que enrou em conao com uma superfície que coném o sensor e cujas propriedades geoméricas e físicas as condições de vínculo e as condições iniciais são previamene conhecidas. Nese rabalho a aplicação dos modelos eóricos é efeuada para verificar a validade da meodologia uilizando simplificações algébricas cabíveis sem perda da generalidade. Porano apenas as ensões e deformações normais são consideradas e os demais esforços são desprezados como por eemplo a ensão e deformação provocadas pelo cisalhameno. Iso não chega a ser uma resrição pois o objeivo é o reconhecimeno da forma e não o dos esforços gerados. Com esse procedimeno ornase evidene a facilidade obida em analisar apenas aspecos de ineresse e de simeria. Dependendo do sisema de coordenadas adoado as vibrações provenienes do choque de dois corpos podem ser descrias aravés das funções de Bessel das funções de Legendre ou da ransformada de Fourier. O procedimeno de cálculo proposo nesa análise consise primeiramene na modelagem física com a apresenação de dois méodos de solução e porano dois espaços disinos e mosrar de forma heurísica como passar de um espaço ao ouro. Em seguida os sinais gerados nos modelos do conao são confronados para descrever

21 9 o fenômeno. Como condições iniciais são consideradas apenas as ondas esabelecidas em regime. São considerados dois ipos de conao: Conao ipo impulso caracerizado por não haver um acoplameno de esruuras e considera a ação de uma força eerna em cada sisema. Conao ipo acoplameno caracerizado pelo acoplameno de esruuras e considera uma única esruura enquano houver vínculos. Para uma generalidade complea subsiui-se a palavra conao por vínculo e se necessário o ipo de conao é especificado e considerado como um modelo de vínculo..5. Coneúdo da Disseração A disseração é composa por capíulos esruurados de modo a fornecer uma visão clara e objeiva da eoria envolvida no impaco ou conao enre corpos. Assim após uma breve descrição hisórica sobre o fenômeno de conao é feia uma inrodução à abordagem do problema propriamene dio e da ineração mecânica enre corpos além do desenvolvimeno das ferramenas maemáicas que são uilizadas no modelo físico. Para o desenvolvimeno eórico da meodologia de análise do impaco enre dois corpos são uilizados os seguines ópicos: Criérios de convergência Conhecimeno de Série de Funções Função disribuição Modos normais de vibração Auoveores e auovalores Função de Green convolução Álgebra linear

22 Dando prosseguimeno à eplanação dos fenômenos eóricos uilizados no rabalho é feia uma apresenação dos insrumenos esaísicos usados para análise de sinais e como inegrá-los ao modelo físico. Os ópicos desenvolvidos nesa análise são: Halmioniana Princípios probabilísicos e esocásicos Termodinâmica esaísica Por fim são eibidos os resulados obidos por elemenos finios as análises efeuadas uilizando a meodologia desenvolvida e suas conclusões.

23 CAPÍTULO - DESENVOLVIMENTO DOS MODELOS TEÓRICOS. INTRODUÇÃO A descrição do conao enre duas superfícies é baseada no desenvolvimeno de formalismos físicos e maemáicos que jusificam o ipo de abordagem adoado no rabalho. O desenvolvimeno de modelos clássicos e eóricos e suas soluções fornecem resulados que são uilizados na análise do conao corroborando com as hipóeses assumidas. Na pare final dese capiulo há uma abordagem na resposa em freqüência. Os fundamenais proposos nese capíulo são apresenados por BUTKOV E. 978 e KREYSZIG E BASE DISCRETA OU CONTÍNUA A base gerada por modos normais discreizados é indicada em rabalhos mecânicos e repeiivos em casos onde a geomeria e as condições de conorno são compleas. As principais limiações podem ser definidas em relação ao ipo de dealhameno e as dimensões do objeo impacane. Por ouro lado as bases geradas por séries podem apresenar dimensões infinias sendo mais indicadas para a descrição de qualquer ipo de conao não são limiadas às

24 quesões de dealhameno e às dimensões do objeo impacane. Ouro aspeco relevane é poder uilizar os conceios de disribuição adequados para descrever o impaco. Suas limiações são condicionadas à compleidades geoméricas e de conornos..3 MÉTODO DE GREEN O Méodo de Green ou Duhamel é um modelo uilizado na resolução de equações diferenciais não homogêneas condições de conorno e condições iniciais e normalmene obem-se a solução de uma inegral do ipo convolução. Sineizando consise na subsiuição de uma enrada disribuída f por uma enrada concenrada do ipo δγ aplicada no pono γ. Considerando a equação diferencial - de Surm-Lioville subsiuindo f por δγ e manendo as mesmas condições de conorno obém-se a função- do ipo h γ. d d dw p s w r h f d λ γ - onde: p s r funções analíicas s e r λ parâmero d d dh γ p s h γ λr h γ δ γ d - γ. A equação -3 corresponde à solução da equação- inegrada em relação a w b a h γ f γ dγ -3 onde: a b w solução da equação - e h γ solução da equação- soluções de funções de Green. Pode-se ao invés de aplicar uma enrada disribuída f considerar condições iniciais ou condições de conorno específicas.

25 3 O méodo de Green aplicado à equação - e a uilização de auoveores geram uma base na forma de séries conforme Figura.. fδ h Figura. Represenação ípica da enrada δ. Definindo o operador linear de Surm-Lioville L como: L d d p d d s -4 Preende-se resolver a equação diferencial não homogênea -5. Lw λr w f -5 onde: w saisfaz as condições de conorno da forma Bw B operador das condições de conorno no inervalo ab. d α α d B d β β d em a em b -6 com: α e α consanes não simulaneamene nulas e β e β consanes não simulaneamene nulas. Considerando λ fio pode-se relacionar equação - com o problema de auovalores sendo λ deerminado de modo a saisfazer as condições de conorno -6.

26 4 Para condições gerais imposas sobre as funções p s e r conínuas e reais no inervalo ab o problema de Surm-Lioville possui um número infinio de valores caracerísicos λ. A solução de w pode ser escria sob a forma de funções caracerísicas ϕ λ orogonais e possuem derivadas conínuas no inervalo considerado. As funções ϕ λ são ambém chamadas de funções próprias ou auofunções. As equações- e -6 podem ser escrias empregando os operadores L e B de acordo com as equações -7. Lh γ λr h γ δ γ Bh γ ab -7 Se eise o conjuno solução ϕ λ e ese é compleo enão L pode ser represenado sob a forma da equação -9 que corresponde à soma de auovalores sob odo o especro de L. Lϕ λϕ λ Bϕ λ λ -8 A solução da equação- pode enão ser escria conforme -9 onde ξ λ são coeficienes de ϕ λ. h γ ξλ γ ϕ λ λ -9 Aplicando o operador L em-se: ξ λ γ Lϕλ ξ λ γ λϕ λ δ Lh γ γ λ - Muliplicando ambos os lados por ϕ λ. e inegrando sobre obém-se o conjuno solução - usado para deerminar os coeficienes ξ λ γ. ξ λ γ λ ϕ ϕλ d λ b λ λ a ϕ γ -

27 5 Se as funções caracerísicas ϕ λ. são oronormais em-se: b λ λ δ ' λ λ ϕ ' ϕλ d δ ' λ λ λ a λ λ δ ' λ λ - Cujos coeficienes são deerminados por: ϕλ γ ξλ γ λ -3 Finalmene obém-se a equação -4 que é a solução da equação -7. h γ λ ϕλ γ ϕλ λ -4 Quando a equação diferencial for da forma Lwλw f onde λ é um parâmero arbirário os valores de L são represenados por λ n e as funções caracerísicas são da forma bilinear: h γ n ϕn γ ϕn λ λ n -5 É nesse coneo que se fala em pólos das funções de Green h λ no plano e nos casos de ressonância. No espaço das funções compleas a formula bilinear se modifica para er a forma -6: h γ λ * ϕ λ ϕ λ λ -6 E assim as funções de Green não são mais siméricas mas sim hermiianas sob a roca de e γ conforme equação h γh * γ

28 6.3. Solução da Equação de Poisson com o Méodo de Green A modelagem de uma membrana resula na equação de Poisson em duas dimensões -7 e pode ser paricularizada na forma da equação - de Surm- Lioville. As soluções são obidas aravés do desenvolvimeno de série dupla de Fourier. Assim considera-se a equação diferencial parcial -7 não homogênea com duas variáveis espaciais onde f represena uma carga eerna por unidade de área aplicada em uma membrana simplesmene engasada. As condições de conorno são dadas pelas equações Para a força uniária concenrada agindo no pono γ γ represenada por δ-γ δ-γ a equação -7 pode ser escria conforme equação -9 cuja solução é a função de Green em duas dimensões. -9 A solução da equação diferencial parcial -7 pode ser obida aravés da solução da inegral -. - Aplicado o operador diferencial Laplace nas funções caracerísicas normalizadas ϕ mn obém-se: - f w w b w w a w w ; ; γ δ γ δ γ γ γ γ h h ; γ γ γ γ γ γ d d f h w ab λ λ λϕ ϕ

29 7 Sabendo que os auoveores λ mn e as funções ϕ mn são definidos de acordo com as equações - e -3 respecivamene procura-se a equação solução da função de Green h definida pela equação -4. λ m π a n π b mn - ϕ mn mπ mπ sen sen ab a b -3 mπ mπ h γ γ ; Amn γ γ sen sen ab a b m n -4 Subsiuindo a equação -4 na EDP -9 e inegrando em relação a obém-se os coeficienes A mn : m π a n π A b mn mπγ mπγ sen sen ab a b -5 mπγ mπγ onde: sen sen são as auofunções da série de senos de Fourier ab a b Subsiuindo a equação -5 na equação -4 resula na fórmula bilinear de Green h γ ; γ ab m n mπ mπγ mπ mπγ sen sen sen sen a a b b m π n π a b -6 Porano a solução da equação de Poisson -7 pode ser escria aravés da série Fourier da função wγ equação -7 onde a mn são os coeficienes da série conforme equação -8. w m n a m π a mπ nπ sen sen n π a b b mn -7 a mn ab f ϕ dd mn -8

30 8.3. Propagação das Condições Iniciais O méodo de Green aplicado nas condições iniciais da equação harmônica -9 resula em equações do ipo de D Alember para a propagação de onda. Sob ese aspeco pode-se considerar as funções fγ como condições iniciais de deslocameno e/ou velocidade. No caso de deslocamenos ransversais em uma corda infinia sem forças eernas aplicadas a equação -9 descreve a propagação da onda onde c é a velocidade de propagação. w c w -9 Impõe-se que a função solução w com condições iniciais de deslocameno w e velocidade v conforme as equações -3 se anule no infinio saisfazendo a condição de conorno -3 para odos os valores de. w w w v -3 lim w -3 A função w pode ser escria como uma superposição conínua da disribuição das condições iniciais -3 em vários ponos γ. g γ ; w γ dγ g γ ; v w γ dγ -3 Onde g γ é a função de Green para o deslocameno inicial e g γ para a velocidade inicial saisfazendo as condições -33 e -34. g g γ ; δ γ γ ; -33

31 9 g g γ ; δ γ γ ; -34 Aplicando a ransformada de Fourier em relação à na função g γ e na condição inicial do deslocameno -33 obém-se a ransformada das funções de Green -35 e -36 respecivamene. { g ; } G k γ ; I γ -35 G γ ; e ikγ π -36 Subsiuindo a função -35 na ransformada da equação harmônica -9 resula na EDO -37 cuja solução é dada pela equação -38. G ick k γ ; A e B e ick -37 G ick k γ ; A e B e ick -38 Em obêm-se as consanes A e B : G k γ A B dg k γ d A B e ikγ π e -39 Inverendo G k γ chega-se à solução da equação g γ. ik γ c ik γ c ik [ e e ] e dk [ δ γ c δ γ ] g γ ; c 4π -4 Da mesma forma aplicando a ransformada de Fourier na função de Green da velocidade g γ equação-34 obém-se a solução -4 e as consanes A e B

32 conforme equações -4 para : ick G k γ ; Ae Be ick -4 G k γ A dg k γ d B A B ick e ick π -4 Inverendo G k γ chega-se à solução da equação de onda quadrada g γ igual a no inervalo -c c e igual a zero fora dele. c i k γ c i k γ c i k [ e e ] e dk S[ γ c ] S[ γ ] g γ ; c 4πci k c -43 { } Subsiuindo as funções de Green para o deslocameno -4 e para a velocidade-43 na função -3 e inegrando o primeiro ermo obém-se: w c [ w c w c ] v c γ dγ -44 A função w pode ser represenada pela equação -45 onde o ermo f-c represena um deslocameno com velocidade c na direção posiiva de e g-c é um deslocameno na direção negaiva de. w f c g c -45 Assim para qualquer valor das funções f e g no pono e no insane esas funções de onda êm o mesmo valor em um insane poserior no pono c para f e no pono -c para g ou seja [ c c ] g[ c c ] w w f -46 A equação -46 ressala a idéia de poder descrever um eveno que enha ocorrido no pono medindo seu efeio em uma oura região num empo poserior. Nese senido pode-se por eemplo analisar o impaco enre dois corpos aravés do efeio medido em um pono qualquer do corpo impacado.

33 .4 ANÁLISE HARMÔNICA DO MOVIMENTO Como o movimeno harmônico é um fenômeno repeiivo é adequado descrevêlo subsiuindo a base formada pelo espaço e empo por uma nova base consiuída pelos modos de vibração e freqüência. Uma meodologia que pode ser uilizada para descrever o movimeno cíclico de vibração de uma esruura deve resolver a equação diferencial parcial -47. w r w r m r c r Lw r onde: m e c coeficienes da variável L operador diferencial linear p r -47 Dependendo do ipo de esruura o operador L assume diferenes formas conforme Tabela. Tabela. Operadores lineares para diversas esruuras. ESTRUTURA OPERADOR CONSTANTE Corda Viga L T 4 L EI 4 T ração E módulo de elasicidade I momeno de inércia da secção ransversal Membrana L T T T ração por unidade de comprimeno Placa L D D 4 4 D Eh3 [-ν :rigidez a fleão ] E módulo de elasicidade v coeficiene de Poisson h espessura da placa

34 Considerando válidas as hipóeses de separação de variáveis r. e que as funções Ψr formam uma base complea e oronormal subsiui-se a solução da forma -48 na equação Muliplicando a equação resulane - 49 por Ψ κ r e inegrando-a em relação r obém-se as equações E porano -5 onde: Ψ j r descreve um modo de vibração para cada j; m j massa modal ou massa generalizada; freqüência naural não amorecida; β j c j m j. A equação -53 é o resulado da inegral da equação -5. Admiindo válida a hipóese de separação de variáveis r para a enrada harmônica ponual e uniária pr da equação -5 e aplicando a convolução δr-s w r r w w r r w j j j j j j Ψ Ψ r p w r L w r r c w r r m j j j j j j j j j Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ R jk j k j R jk j k j c dr r r r c m dr r r r m δ δ w w w k j dr r p r m w w w k j j j j j j R j j j j j j j β β Ψ & && & && s r e r p i δ i j j j j j j j e s m w w w β Ψ & &&

35 3 Assim é definida a função resposa em freqüência -55 Hj aravés da subsiuição da equação de saída -54 em -53. w H Ψ s e j j j j i H j m β i j j Se r e s são ponos sobre a superfície do sisema a função -55 pode ser escria:como: H r s j Ψ j r H Ψ s j j -56 A função resposa em freqüência H j é a medida da resposa do modo j para uma eciação na freqüência..4. Transformada da Função de Green em Resposa em Freqüência As caracerísicas dinâmicas de um sisema são definidas se as funções resposa em freqüência ou resposa ao impulso são conhecidas devendo porano ser possível ransformar uma função na oura e vice versa. O méodo da ransformada de Fourier decompõe uma função aperiódica em seu especro de freqüências. Em um sisema aplicando a ransformada de Fourier na enrada impulso δ e na saída ransiória h obêm-se as equações ransformadas -57 e -58 respecivamene. i i e d δ e d X π π -57 i i e d h e d Y π π -58

36 4 onde: πf freqüência δ função impulso h função de Green A equação -59é o resulado da inegral -57 no empo. X δ cos π π -59 Em sisemas lineares para dada uma eciação harmônica a resposa do sisema em a mesma freqüência da enrada. Assim para uma eciação não harmônica com componenes na freqüência iguais a Xd a resposa do sisema deve possuir componenes que variem na mesma faia d ou banda da freqüência. Em sisemas passivos a freqüência depende eclusivamene de fone eciadora. Logo a função resposa Yw equação -6 decorre da função harmônica eciadora -6. X d e Y d e i i -6-6 Conforme equação -54 a saída pode ser escria em ermos da função resposa em freqüência H. Logo H X d e i -6 Igualando as duas epressões de -6 e -6. obém-se a ransformada de Fourier do sisema e a relação Hequação -63 enre a enrada X e saída Y. Y H X -63

37 5.4. Acoplameno Aravés dos Modos de Vibração O desenvolvimeno de sisema de subesruuração foi baseado no desenvolvimeno de NEWLAND D.E. 993 consise no acoplameno de dois sisemas aravés de vínculos e sua modelagem no domínio da freqüência. Quando os vínculos são conhecidos é possível calcular a função resposa em freqüência de sisemas composos combinando as funções resposa em freqüência de cada subsisema. Para sisemas passivos lineares e invarianes com uma enrada harmônica Xw e saída Yw a função resposa em freqüência Hw é dada pela equação -63.O veor de saída Y para o sisema da Figura. a é: Y Y H H X H H X -64 onde: H jk função resposa freqüência para a enrada no pono j e a saída no pono k. Na Figura. b observa-se uma enrada X e uma saída Y genéricas e na coneão enre os subsisemas A e B acoplados a enrada X é considerada como força e a saída Y pode ser o deslocameno do pono. Y X Y X Y X a Y X b X A Y A Y X A X B Y B B Figura. - Resposa em freqüência para sisema composo; a sisema simples com duas enradas e duas saídas; b dois subsisemas desaclopados e c sisema acoplado

38 6 X X B A B A B A B A B A B A B A B A A A A A Y Y Desacoplando os subsisemas A e B conforme Figura. c os deslocamenos Y A e Y B nos ponos de coneão de cada subsisema A e B são por compaibilidade iguais a Y e por equilíbrio a soma das forças em cada subsisema X A e X B é igual a X A sisema de equações -67 e -68 represenam os veores de saída Y para os subsisemas A e B da Figura. c respecivamene Rearranjando as equações -65 a -68 obém-se o sisema de equações -69 e consequenemene a função resposa em freqüência H de acordo com as equações -7 a A A X X A A A A Y Y [ ] [ ] [ ] B B X B Y B A B A A A A A H B A Y Y Y B A X X X

39 7 H A A B B -7 H A A B B -7 H A iw A B B -73 Ese desenvolvimeno permie concluir que a parir das resposas do sisema à ação de um agene eerno a ransformada de Fourier possibilia que os vínculos de um sisema qualquer sejam modelados no domínio da freqüência e dos modos de vibração.

40 CAPÍTULO 3 ANÁLISE ESTATÍSCA 3. INTRODUÇÃO Foram desenvolvidas poucas eorias efeivas sobre o conao e são necessários modelos eperimenais para descrever ese ipo de fenômeno. A eoria enconra pouca aplicação práica por ser limiada e esruurada para gerar impacos ponuais. O méodo dos elemenos finio MEF é uma das principais ferramenas uilizadas para a análise de impaco. Apresena formas para incorporar resulados eóricos e práicos às superfícies impacanes resringidas por criérios de compaibilidade numérica necessiando do conhecimeno prévio de esruuras ensaiadas. A proposa de uma forma alernaiva para descrever o conao enre dois corpos desenvolvida nese rabalho é baseada na aquisição dos sinais provenienes de algum pono do corpo impacado. A principal consideração assumida na geração do sinal é a validade das hipóeses ergóica e de invariância emporal ou seja os sinais obidos aravés de sensores são considerados lineares e invarianes no empo e no espaço gerando um ensemble esaísico ou espaço amosral. A parir desas hipóeses são deduzidas algumas relações maemáicas aravés das quais é possível ober caracerísicas da forma de objeos impacanes. A análise se resringe ao efeio do eveno. Os desenvolvimenos fundamenais proposos nese capíulo são baseados em SALINAS S.R.A. 997 NEWLAND D.E. 993 e de BENDAT J.S.; PIERSOL G.P. 993.

41 9 3. ENSEMBLE ESTATÍSTICO Os conceios desenvolvidos nese ópico foram baseados em SALINAS S.R.A O conjuno dos ponos no espaço de fase clássico acessíveis a um deerminado sisema ou seja compaíveis com ceros vínculos macroscópicos consiui um ensemble esaísico. A hipóese ergóica considera uma rajeória dos ponos no espaço de fase de um sisema com n graus de liberdade a parir de insane. Na formulação halmioniana H é função das variáveis independenes q p e onde q e p são paramerizadas pelo empo a rajeória no espaço de fase conforme Figura 3. é governada pelas equações 3-. H p dq d H dp q& e q d p& 3- onde: q coordenada generalizada p momeno generalizado p Hpq q Figura 3. - Trajeória de um pono em um espaço de fase bidimensional. Dadas as condições iniciais p e q as soluções são unívocas. Considerando um conjuno de ponos em cera região do espaço de fase pode-se caracerizá-lo por uma densidade generalizada ρqp no insane. Assim ρqpdqdp represena o número de ponos no insane com coordenadas q e qdq e p e pdp.

42 3 Derivando a equação 3- da evolução emporal da densidade obém-se a relação enre a derivada eplícia e a derivada implícia da densidade conforme equação A epressão 3-5 resula da aplicação do princípio da coninuidade ao sisema 3-5 onde: v J r r ρ densidade de momeno generalizado p q v & & r veor velocidade generalizada S superfície de conrole V volume de conrole Pelo eorema do Gauss a equação 3-5 é ransformada na equação onde: q p r operador e 3-7 Uilizando o hamiloniano 3- obém-se: 3-8 q H p p H q p p q q d d ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ & & { } q H p p H q H qp ρ ρ ρ { } H d d p q ρ ρ ρ v ρ.ρ r r.. S V S dv d d ds J ρ r r p p q q ρ ρ ρ & & q H p p H q p p q q & &

43 3 E porano ρ ρ q& p& q p { ρ H} q p ρ 3-9 Enão de acordo com a equação 3-4 a densidade de ponos no espaço de fase do sisema é consane e se movem como um fluido incompressível eorema de Lioville. dρ ρ ce d 3- Numa siuação de equilíbrio ou esacionária a densidade ρ não deve ser função eplicia do empo equação 3- e só depende das coordenadas generalizadas q e p. ρ q p { ρ H} 3- Considerando que o valor da média emporal de uma grandeza f em um grande inervalo de empo é dada pela equação 3- a hipóese ergóica consise em supor que no equilíbrio ese valor pode ser obido por meio de uma média no espaço de fase conforme equação 3-3 onde o ensemble é consiuído por odos esados microscópicos acessíveis ao sisema. f lim f d lab o E[ f ] 3- f q p ρ q p dqdp f E[ f ] es ρ q p dqdp 3-3 A média emporal é subsiuída por uma média sobre o ensemble esaísico. Nese caso supõe-se que os ponos no ensamble sejam copias fiéis do sisema e que no

44 3 decorrer do empo a rajeória do sisema físico no espaço de fase passa por odos os ponos do ensamble jusificando porano esa subsiuição. Esas colocações são uilizadas para definir um espaço amosral gerado por um conao. A Figura 3. mosra a represenação de um processo aleaório onde se a média de i não difere da média de i enão o processo é esacionário. Se a média de i é igual à média no empo i para odas amosras i e igual à média do conjuno enão o processo é ergóico. 3 Figura 3. - Ensemble de funções aleaórias.

45 CORRELAÇÃO Com a finalidade de descrever maemaicamene as relações enre enradas e saídas do sisema esabelece-se uma meodologia que descreve as propriedades e caracerísicas do sisema físico e do sinal gerado. O conceio de correlação consiui uma ferramena adequada para o raameno inerpreação e avaliação dos sinais de enrada e saída do sisema Correlação Cruzada e Auocorrelação A abordagem inicial para caracerizar o conceio de correlação é o esabelecimeno de uma regressão linear enre ponos amosrados de duas variáveis randômicas e. Na Figura 3.3 mosra duas siuações ípicas que caracerizam dois possíveis conjunos de ponos. O conjuno a é não correlacionado e o conjuno b é correlacionado sendo pd a probabilidade do pono esar enre e d. e não correlacionados e correlacionados a b Figura 3.3 Represenação de Correlação enre Variáveis e

46 34 Sendo f a função de probabilidade da variável aleaória X a densidade de probabilidade p é definida como p f. A média a média quadráica e a variância de X são dadas pelas equações e 3-6 respecivamene. [] E f X d 3-4 [ ] E f X d σ [ ] E[] E O desvio enre o valor da variável e o valor obido pela aproimação linear dada pela equação da rea b é: b 3-7 Derivando a média quadráica 3-8 com relação b e igualando o resulado à zero obém-se o coeficiene angular da rea b e a equação da rea 3- [ ] E[ b ] E[ ] b E[ ] be[ ] E 3-8 [ ] E[ ] [ ] E be b. E [ ] 3-9 [ ] E. E [ ] 3- Considerando a média E[] igual a zero o coeficiene de correlação é definido por E[] obido aravés das relações 3-: σ σ σ E[ ] σ σ E[ ] σ [ ] E. σ σ σ [ ] E. σ σ σ 3-