Curso de Controle Avançado (ELE-1815) Pe. Pedro M. Guimarães Ferreira S.J.

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1 Curso de Conrole Avançado (ELE-85) Pe. Pedro M. Guimarães Ferreira S.J. (Ese exo esá disponível em hp://www.fplf.org.br/pedro_varios/) Capíulo : Análise de Sisemas não lineares (Seguiremos nese capíulo principalmene o excelene exo de D. Luenberger, Inroducion o Dynamic Sysems, que eve várias edições. Alguns problemas são omados de M. Vidyasagar, Nonlinear Sysems Analysis e de Jean-Jacques Sloine e Weiping Li, Applied Nonlinear Conrol).. Inrodução Consideraremos sisemas não lineares seja em empo discreo, seja em empo conínuo. Se x i (k), i =,,...n, represenarem as variáveis de esado do sisema em empo discreo, emos as seguines equações de esado: x (k+) = f (x (k), x (k),..., x n (k), k), x (k+) = f (x (k), x (k),..., x n (k), k), (.a) x n (k+) = f n (x (k), x (k),..., x n (k), k), omando arbirariamene o início da conagem do empo em k =. Esas equações podem ser escrias em forma compaca, veorial, a saber, x(k+) = f(x(k), k) (.b), onde x(k) n R. No caso de sisemas de empo conínuo, emos dx = f (x (), x (),...x n (),), dx = f (x (), x (),...x n (),), (.a) dx n = f n (x (), x (),...x n (),), com. Ou em forma compaca, veorial,

2 dx() = f(x(),), (.b) onde x() n R. Das equações (.) e (.) verifica-se que se raa de sisemas de dimensão finia (equações diferenciais ordinárias) varianes no empo, iso é, sisemas em que as equações de diferenças e diferenciais dependem expliciamene do empo (k no caso de sisemas de empo discreo e no caso de sisemas de empo conínuo). Na realidade, nese curso nos ocuparemos principalmene (mas não exclusivamene) de sisemas invarianes no empo, iso é, as equações não dependem expliciamene do empo. Ou seja, ao invés de (b) e de (b), emos, respecivamene, x(k+) = f(x(k)) e (.3) dx() = f(x()). (.4) Observe-se que nese capíulo, nosso objeivo não será resolver equações diferenciais (no caso de empo conínuo) ou equações de diferença (no caso de empo discreo). raar-se-á de análise dos sisemas correspondenes, iso é, deerminação dos ponos de equilíbrio e da esabilidade (ou não) dos sisemas. Vejamos um exemplo escalar, iso é, com n = : Exemplo : A curva logísica (.5) Seja o sisema definido por dx() = a( x()/c) x() = ax() ax ()/c, com a >, c >, x() >, c > x() (.6) Noe-se que quando se considera somene a primeira parcela do lado direio da equação diferencial, emos uma exponencial crescene. Sabemos que odo crescimeno vial é exponencial, iso é, o acréscimo é proporcional ao amanho do ser vivo, ou seja, dx() = ax(), que corresponde à primeira parcela da equação diferencial acima, cuja solução é x() = e a. Enreano a segunda parcela modera o crescimeno da função e de fao é iso que aconece em odos os sisemas vivos, há uma sauração no crescimeno. (Ver fig. na próxima página). Vamos provar que a solução da equação (.6) é c c x() x() = + be a, onde b =. (.7) x() Com efeio, diferenciando x(), emos dx() c( ba) e a = (.8) ( + be a )

3 Do lado direio de (.6), em visa de (.7), emos Applied Mahemaics Populaion Dynamics INDEX Algebra Applied Mahemaics Calculus and Analysis Discree Mahemaics Foundaions of Mahemaics Geomery Hisory and erminology Number heory Probabiliy and Saisics Recreaional Mahemaics opology Logisic Equaion he logisic equaion (someimes called he Verhuls model or logisic growh curve) by Pierre Verhuls (845, 847). he model is coninuous in ime, bu a modifica quadraic recurrence equaion known as he logisic map is also widely used. Alphabeical Index DESINAIONS Abou MahWorld Abou he Auhor New in MahWorld MahWorld Classroom Ineracive Enries Random Enry CONAC Conribue an Enry Send a Message o he eam 4 he coninuous version of he logisic model is described by he differenial equaion MAHWORLD - IN PRIN Order book from Amazon 3

4 Figura c abce a(-x()/c)x() =a - +be -a +be -a =, que é idênico a (.8). a ( + be ) Observe-se que de de x() em (.7), emos x() = c/(+b), donde b é efeivamene dado em (.7). a Como foi dio anes, nosso objeivo nese curso não será, em geral, resolver equações diferenciais. Esa foi resolvida para mosrar como pode ser ineressane inroduzir elemenos não lineares numa equação diferencial para modelar ceros fenômenos. De (.7) vemos que a solução saura, endendo exponencialmene para c. Exemplo: empo de escape finio (.9) Considere-se agora a equação diferencial, em que rocamos o sinal denro do parêneses, a saber dx() = a( + x( ) / c) x( ),com a, c >. (.) Se x() >, a solução para > é c x () =, onde b= ( c+ x())/ x(). be a (Observe-se que desa expressão, juno com x() > e c >, conclui-se b > ). A demonsração dese fao é em udo análoga à do exemplo anerior e será omiida. A curva se parece com o ramo direio da parábola x() = x() + mas cresce abrupamene a aingindo valor em e al que be e / a =, ou seja, e = ln b,onde ln é o logarimo neperiano. Claro que se pudéssemos resolver qualquer equação diferencial, seria muio melhor, não precisaríamos esudar a maior pare das coisas que serão dadas nese curso. Mas, como sabemos, as eqs. diferenciais não lineares são, em geral, de difícil solução, muias, inclusive, não endo solução conhecida. Enão, o que vamos fazer é comer o mingau pela beirada, ou seja, vamos aacar os problemas não lineares usando ouras écnicas, que não a solução de eqs. diferenciais.. Ponos de equilíbrio Definição: (.) Um veor x e R n é um pono de equilíbrio de um sisema se for al que se o esado do sisema chegar a x e, aí fica. No caso de sisemas de empo discreo dados por (b), iso é, x(k+) = f(x(k), k) (.b, bis) emos no pono de equilíbrio 4

5 x e = f(x e, k), para odo k. (.) E no caso de sisemas de conínuo, dados por (.b), iso é, dx() = f(x(), ), (.b, bis) emos no pono de equilíbrio f(x e, ) = para odo. (.3) Como já foi observado, raaremos precipuamene - mas não exclusivamene de sisemas invarianes no empo. Para ais sisemas, emos, ao invés de (.) e (.3), x e = f(x e ), (.4) f(x e ) =, (.5) respecivamene. O senido desas eqs. é claro. Com efeio, (.) e (.4) indicam auologicamene a definição de esabilidade, ou seja, se o esado chega a x e, ele aí fica. E por sua vez (.3) e dx() (.5) indicam que o veor velocidade é nulo no pono de equilíbrio, obendo o mesmo resulado: se o esado do sisema ali chegar, ali fica. Falamos de pono de equilíbrio. Na realidade um sisema pode er mais de um pono de equilíbrio e, em geral, os sisemas não lineares os êm. Numa aplicação simples do conceio acima aos sisemas lineares, emos, para sisemas de empo conínuo invarianes no empo, em lugar de (.5) f(x e ) = Ax e =, ou seja, os ponos de equilíbrio esão no núcleo (kernel) de A. Se esa mariz iver poso cheio, o que ocorre com freqüência, o único pono de equilíbrio do sisema será x e =. E é claro que x e = sempre será um pono de equilíbrio do sisema, mesmo que não seja único. Para o caso de sisemas lineares de empo discreo invarianes no empo, de (.4) os ponos de equilíbrio obedecerão à equação (I A) x e =, e, porano x e esará no Núcleo de I A. sendo claro, de novo, que x e = sempre será um pono de equilíbrio do sisema, mesmo que não seja único. Exemplo: (.6) Consideremos de novo a equação da curva logísica 5

6 dx() = a( x()/c) x() (.5 bis) Os ponos de equilíbrio devem saisfazer, de acordo com (.5), a a( x e / c) x e =. Porano há dois ponos de equilíbrio, a saber, x e = e x e = c, que é confirmado pelas figura. Exemplo: (.7) Considere o seguine sisema de empo discreo: x( k+ ) = α x( k) + x( k), x( k+ ) = x( k) + β x( k). De acordo com (.4), os ponos e equilíbrio devem saisfazer a xe = α xe + xe, xe = xe + β xe. Resolvendo ese sisema de eqs., obemos dois ponos de equilíbrio: x =,] e x = ( α)( β), ( α)( β) ]. 3. Esabilidade O conceio de esabilidade perence à linguagem comum. Aqui esaremos falando da esabilidade do esado do sisema e, se o sisema só iver um pono de equilíbrio, eremos a esabilidade do sisema. Falando informalmene, diremos que se um pono de equilíbrio é esável, se o esado inicial esiver próximo a ele, coninuará próximo. Assim, o pono de equilíbrio (em baixo) de um pêndulo é um pono de equilíbrio esável. É preciso chamar a aenção que num sisema mecânico o esado em duas componenes, posição e velocidade; enão um pono de uma mesa onde se coloque uma bola parada, supondo que a superfície seja com ario é um pono de equilíbrio esável, como veremos mais claramene na definição formal de esabilidade. A definição de esabilidade que se segue vale ano para sisemas de empo discreo como para sisemas de empo conínuo, respecivamene: x(k+) = f(x(k)), (3.) dx() = f(x()), (3.) onde x R n. Definições: (3.3) ) Um pono de equilíbrio x e é esável se exisir R o > al que para odo R < R o exisa r com < r < R sendo que para odo x() denro da bola S(x e, r), x() permaneça denro da bola S(x e, R) para odo >. ) Um pono de equilíbrio x e é assinoicamene esável se ele for esável e, alem disso, exisir R > al que se x() esiver denro da bola S(x e, R ), o esado x() enderá a x e com o empo. 6

7 3) Um pono de equilíbrio x e é marginalmene esável se for esável, mas não assinoicamene esável. 4) Um pono de equilíbrio x e é insável se ele não for esável. Ou por ouras palavras, x e é insável se para algum R e para qualquer r exisir um esado inicial x() na bola S(x e, r) al que o esado do sisema em algum momeno sairá da bola S(x e, R). Figura Cabem alguns esclarecimenos: Conforme se pode ver da definição de insabilidade, não é necessário, ao conrário do uso na linguagem comum, que o esado exploda iso é, enda a - para que o pono de equilíbrio seja insável. O pono de equilíbrio é insável se exisir uma bola al que o esado do sisema sairá dela, para algum esado inicial x() ão próximo do pono de equilíbrio quano desejarmos. Precisada dese modo a definição de pono de equilíbrio insável, podemos alvez enender melhor a definição precisa de pono de equilíbrio esável: é aquele que não é insável! A definição acima de pono de equilíbrio esável pode parecer difícil de enender com a inrodução da bola de raio R o. Como veremos, esa bola é inroduzida por causa dos sisemas de empo discreo. No caso de sisemas de empo conínuo podemos fazer R = R o Para sisemas de empo conínuo, a definição de esabilidade pode ser simplificada, a saber, 7

8 ) Um pono de equilíbrio x e é esável se exisirem R, r > ais que se x() S(x e, r), enão x() S(x e, R) para odo > Exemplo: (3.4) Considere o sisema linear invariane no empo dx() = ax(). O único pono de equilíbrio é a origem, iso é, x = Ese sisema é esável se a, assinoicamene esável se a <, insável se a > e marginalmene esável se a =. raando-se de sisema linear, insabilidade é equivalene ao esado endendo para. É um exercício simples verificar as definições acima nese caso. Exemplo: A equação logísica (de novo) (3.5) dx() = a( x()/c) x(), com a e c maiores que zero. Já vimos que os ponos de equilíbrio são (zero) e c. É fácil verificar que o primeiro é insável, enquano que o ouro é assinoicamene esável. Novamene ese as definições nese caso. Exemplo: (3.6) O seguine modelo maemáico em aplicação em genéica: x( k) xk ( + ) =. + x( k) Os ponos de equilíbrio devem saisfazer a xe xe = + xe, cuja única solução é x e =, ou seja, só há um pono de equilíbrio. Vamos demonsrar por indução maemáica que a solução da equação é x() xk ( ) =. + kx() Inicialmene verificamos (enha-se em visa a equação de esado) que a expressão é correa para k =. Suponha que seja verdadeira para k; demonsraremos que é verdadeira para k +. Ora, subsiuindo x(k) na equação de esado, emos x() kx() x() x() xk ( ) + = = x() + kx() + x() + ( k + ) x() + + kx () Conseqüenemene, x( ) para odo x() >, ou seja, o sisema é assinoicamene esável se nos limiarmos a valores posiivos de x(k), que são os que êm significação na genéica. Observe-se que se x(k) puder assumir valores negaivos e para algum k ivermos x(k) -, eremos xk+ ( ). 4. Linearização e Esabilidade A esabilidade de sisemas não lineares é, em geral, uma propriedade local, ao conrário dos sisemas lineares, em que, caso o pono de equilíbrio seja único, ela é uma propriedade 8

9 global. Por local queremos dizer que ela vale numa vizinhança suficienemene pequena do pono de equilíbrio e por global enendemos que a propriedade vale em odo o espaço de esado. Sendo local a esabilidade, faz senido examiná-la linearizando o sisema no pono de equilíbrio, que é o que faremos nesa seção. A análise da esabilidade de um sisema não linear a parir da sua linearização em orno do pono de equilíbrio é chamado primeiro méodo de Lyapunov. Considere-se a função escalar f(x), onde x R n, ou seja, f ( x) = f ( x, x,... x n ). Suponha que ese f(x) seja o segundo membro da equação de um sisema (eq. (3.) ou (3.)). Seja x e um pono de equilíbrio do sisema e sejam x, x,... x suas componenes. e e en Vamos deslocar o esado do sisema de seu pono de equilíbrio, aravés de perurbação arbirariamene pequena (arbirariamene pequena significa ão pequena quano queiramos ). Seja y esa perurbação, ou seja, x e x e + y, onde as componenes de y são y, y,... y n. 9

10 Figura 3 Suponhamos que f(x) R n e sejam f i (x) as componenes de f(x), i =,,...,n. Enão, podemos escrever a proximação de primeira ordem: fi ( xe + y, xe + y,..., xen + yn) fi ( xe, xe,..., x en) + fi ( xe, xe,..., xen) y x + x f ( x, x,..., x ) y i e e en fi ( xe, xe,..., xen) yn. (4.) x n Na expressão acima, abusando a noação, fi ( xe, xe,..., xen) significa a derivada parcial x da função i f calculada no pono de equilíbrio, o mesmo para as ouras derivadas. Enão podemos escrever n equações como (4.). Definamos a mariz n x n : f x = f f f... x x x n f f f... x x x n fn fn fn... x x x n (4.a) A mariz acima calculada em x e será denoada por A, ou seja, A = f x x = x e (4.b) A mariz f x é chamada mariz jacobiana de f. Em visa de (4.) e (4.), podemos escrever compacamene f(x e + y) f(x e ) + Ay (4.3) Vamos aplicar eses resulados aos sisemas (3.) e (3.). Repeindo (3.): x(k+) = f(x(k)). (4.4) Ora, x(k) = x e + y(k), x(k+) = x e + y(k + ).

11 Disso, de (4.3) e de (4.4), emos x e + y(k+) f(x e ) +Ay(k). Mas x e = f(x e ) (pono de equilíbrio em sisema de empo discreo). Donde, y(k+) = Ay(k). (4.5) No caso de sisemas de empo conínuo, emos (3.), que repeimos dx() = f(x() (4.6) Fazendo x() = x e + y(), emos, dx() dy() =. Ora, no pono de equilíbrio, emos f(x e ) =, iso é, como vimos, o veor velocidade é nulo no pono de equilíbrio. E em visa de (4.3), emos dy() = Ay() (4.7) Porano de (4.5) e (4.7), concluímos que ano nos sisemas de empo discreo como nos sisemas de empo conínuo a aproximação linear de um sisema não linear em A como sua mariz do sisema. Ora, como sabemos, a esabilidade de um sisema linear depende da localização de seus auo-valores no plano complexo Seja C o plano complexo. Denoemos por círculo uniário e denoemos por D := {s C : s < }, iso é, o inerior do C := { s C : Re [s] < }, iso é, o semi-plano abero da esquerda. Sabemos que num sisema linear de empo discreo odo pono de equilíbrio é assinoicamene esável se só se odos os auovalores da mariz do sisema esiverem em D, enquano que num sisema linear de empo conínuo odo pono de equilíbrio é assinoicamene esável se só se odos os auo-valores da mariz do sisema esiverem em C. Por ouro lado, no caso de sisemas lineares de empo discreo, se algum auo-valor da mariz do sisema iver valor absoluo maior que, enão odo pono de equilíbrio será insável, enquano que nos sisemas de empo conínuo, se algum auo-valor iver pare real posiiva, odo pono de equilíbrio será insável. Finalmene, no caso de sisemas de empo discreo, se um ou mais auo-valores esiverem na circunferência de raio uniário e odos os ouros auo-valores esiverem no inerior dela, cada pono de equilíbrio será marginalmene esável ou insável, conforme os blocos de Jordan correspondenes aos auo-valores sobre a circunferência de raio uniário sejam de ordem ou não, iso é, se odos os blocos de Jordan referidos iverem ordem, os ponos de equilíbrio serão marginalmene esáveis; se algum auo-valor na dia circunferência iver

12 bloco de Jordan com ordem maior que, os ponos de equilíbrio serão insáveis. Para sisemas de empo conínuo, os resulados são os mesmos, subsiuindo-se a circunferência de raio uniário pelo eixo imaginário. Enão emos: eorema: (4.8). No caso de sisemas não-lineares de empo discreo, se odos os auo-valores de A esiverem em D, enão x e será um pono de equilíbrio assinoicamene esável do sisema não linear. No caso de sisemas de empo conínuo, subsiua-se D por C.. No caso de sisemas não-lineares de empo discreo, se algum auo-valor de A iver valor absoluo maior que, x e é pono de equilíbrio insável. No caso de sisemas de empo conínuo, a conclusão é a mesma, com a devida modificação, ou seja, algum auo-valor com pare real posiiva. 3. No caso de sisemas não-lineares de empo discreo, se algum auo-valor de A esiver sobre a circunferência de raio uniário e odos os ouros esiverem no inerior da mesma, nada se pode concluir, pois o pono de equilíbrio x e do sisema não linear poderia ser ano assinoicamene esável, como marginalmene insável, ou insável. No caso de sisemas não-lineares de empo conínuo, se algum auo-valor de A esiver no eixo imaginário e os ouros auo-valores esiverem no semi-plano abero da esquerda, ambém nada podemos concluir a respeio da esabilidade ou insabilidade do sisema. Prova (esboço): A aproximação linear é boa se y() for suficienemene pequeno ano no primeiro caso, como no segundo. Enreano, se algum auo-valor esiver na froneira, por menor que seja o acréscimo y(), o sisema linearizado não caraceriza o sisema não-linear. Efeivamene, a linearização é uma aproximação de primeira ordem, desprezando-se os ermos de ordem maior. Ora, quando algum auo-valor esá na froneira, a esabilidade ou não do pono de equilíbrio vai depender dos ermos de ordem maior que um na expansão da série de aylor. Exemplo: (4.9) Considere o sisema discreo do Exemplo (3.6) da seção anerior, a saber, x( k) xk ( + ) =. Vimos que o único pono de equilíbrio dese sisema é x e =. + x( k) x Para linearizar ese sisema, denoando f (x) =, emos + x df =. No pono de equilíbrio emos A =, e porano a equação do sisema dx ( + x) linearizado é y(k+) = y(k). Enão o auo-valor do sisema linearizado é igual a, esando na froneira, iso é, sobre a circunferência de raio. Porano de acordo com o eorema acima (4.8), nada podemos concluir a respeio da esabilidade do sisema não linear.

13 Exemplo: (4.) Consideremos agora o sisema de empo conínuo dx ax() cx() = +. Verificamos que x e = é um pono de equilíbrio, quaisquer que sejam os valores de a e c. Esudemos a esabilidade dese pono de equilíbrio. f(x) = ax() + cx(). Donde, df df = a + cx, e porano, A = calculado em x =, ou dx dx seja, A = a. Concluímos porano que o pono de equilíbrio esudado do sisema não linear é insável se a >, assinoicamene esável se a <, e nada podemos concluir se a =. Exemplo: (4.) Consideremos mais uma vez a equação logísica: dx() ax() = ax(), com a e c maiores que zero. Os ponos de equilíbrio, são, como c já vimos, (zero) e c. Linearizando a equação, obemos facilmene dy ax = a. Enão, com o primeiro pono de equilíbrio, obemos A = a >, ou seja, o c pono de equilíbrio é insável. Com o segundo pono de equilíbrio, obemos A = a a = - a <, pono de equilíbrio assinoicamene esável, conclusão a que havíamos chegado por simples inspeção da curva. Exemplo: (4.) Consideremos novamene o exemplo (.7): x( k+ ) = α x( k) + x( k), x( k+ ) = x( k) + β x( k). Vimos que os ponos de equilíbrio dese sisema são x =,] e ( )( ), ( )( ) ] x = α β α β. Suponhamos α, β (,). A mariz jacobiana é f α x = x β Para o primeiro pono de equilíbrio acha-se, enão, α λα - A = β, e porano, λi A =, os dois auo-valores esando porano - λ-β denro do círculo uniário, o pono de equilíbrio sendo enão assinoicamene esável. Para o segundo pono de equilíbrio, achamos, com a subsiuição respeciva da segunda componene do pono de equilíbrio, A = α ( α)( β) β ; e porano, λi A = λ α ( α)( β). λ β 3

14 A equação caracerísica correspondene a esa mariz é ( λ α)( λ β) = ( α )( β ). Ora, o lado esquerdo desa equação cresce com λ e é menor que o lado direio se λ =. Conseqüenemene, exise uma raiz desa equação maior que. E porano ese pono de equilíbrio é insável. Exercícios, 7 e 9 ao final do capíulo 5. Méodo direo de Lyapunov Nesa seção esudaremos o assim chamado segundo méodo de Lyapunov, ambém chamado méodo direo de Lyapunov. Direo por oposição ao anerior, indireo, em que se esuda a esabilidade da função linearizada, concluindo-se, ou não, a respeio da esabilidade / insabilidade da função não linear. Uma diferença imporaníssima enre o méodo que esudaremos nesa seção e o da anerior é que, na linearização, só podemos concluir a respeio de esabilidade / insabilidade do sisema não linear numa vizinhança arbirariamene pequena do pono de equilíbrio. No segundo méodo que esudaremos agora, poderemos concluir, em muios casos, a respeio do amanho da vizinhança do pono de equilíbrio. O méodo foi proposo e desenvolvido pelo cienisa russo M. Lyapunov ao final do século XIX, em ese douoral defendida na Universidade de Paris. É ceramene uma das eses mais imporanes da hisória das ciências exaas. A inuição de Lyapunov foi um ovo de Colombo, uma exensão / generalização do conceio de energia em sisemas mecânicos. Sabemos que num sisema mecânico com ario, a energia vai decrescendo aé que o sisema chegue ao pono de equilíbrio: imagine um pêndulo, por exemplo, ou um objeo arremessado horizonalmene sobre uma mesa com ario, ou uma pedra arremessada para cima, ec. Definição: (5.) Seja x e um pono de equilíbrio de um sisema dinâmico. Uma função de Lyapunov para ese pono de equilíbrio do sisema é uma função V, definida em uma região Ω do espaço de esado, x e Ω e al que: () V é uma função conínua de x, () V(x) em um único mínimo em x e, (3) O valor de V nunca aumena ao longo de qualquer rajeória do esado x() em Ω. (Nesa úlima propriedade, enendemos por rajeória a evolução do esado ao longo do empo, iso é, no senido de crescene). Um parabolóide de revolução hp://mahworld.wolfram.com/paraboloid.hml é um simples exemplo de uma candidaa a função de Lyapunov num espaço de esado de duas dimensões. Uma parábola é um exemplo de candidaa num espaço de esado de uma dimensão. Será ou não função de Lyappunov se o valor de V associado ao esado efeivamene não aumenar ao longo do empo. Ese pono deve ser frisado: uma função de Lyapunov é uma função de um esado que evolui no empo segundo uma equação 4

15 diferencial (no caso de sisemas de empo conínuo) ou de diferença (no caso de sisema de empo discreo). Exemplo: (5.) Considere o sisema definido por x( k) x ( k + ) = + x( k) x ( k) x ( k+ ) = + x( k) É fácil verificar que [, ] é um pono de equilíbrio dese sisema. Definamos a função V( x, x) = x + x Esa função é conínua nos seus argumenos e em um único mínimo, que é o pono de equilíbrio do sisema. Vejamos se ela saisfaz à erceira propriedade das funções de Lyapunov: V( x( k+ )) = x( k+ ) + x( k+ ). Subsiuindo as parcelas do lado direio nas equações do sisema, emos x( k) x( k) V( x( k)) V( x( k+ )) = + = V( x( k)). ( + x( k) ) ( + x( k) ) ( + x ( k) ) Conseqüenemene a função proposa é uma função de Lyapunov. Vamos agora enunciar e provar o eorema de Lyapunov, primeiramene para sisemas de empo discreo e depois para sisemas de empo conínuo. Consideremos porano os sisemas de empo discreo x( k + ) = f( x( k)), onde x R n. Suporemos que a função f seja conínua. Se V(x) for uma função de Lyapunov para ese sisema, definamos V(x) = V(f(x)) V(x), (5.3) ou seja, o acréscimo do valor da função quando se passa do insane k para o insane k+. Para que V seja função de Lyapunov, devemos er V(x) para odo x na região Ω. Esamos agora em condições de enunciar e demonsrar o eorema de Lyapunov de esabilidade em sisemas de empo discreo (5.4) Se exisir uma função de Lyapunov V(x) em uma região esférica S(x e, R o ), iso é, cenrada em x e e com raio R o, enão x e é um pono de equilibro esável. Se, além disso, V(x), definida em (5.3) for esriamene negaiva em odos os ponos (exceo x e ), enão a esabilidade é assinóica. Prova: A demonsração do eorema será feia de olho da fig. 4 abaixo. Suponha que V(x) exisa conforme o enunciado do eorema. Seja R arbirário, mas al que < R < R o. Seja R < R al que se x S(x e, R ), enão f(x) S(x e, R o ). A exisência 5

16 de R é garanida pela coninuidade de f(x). Com esa escolha, se o esado esiver denro da esfera de raio R, ele não pulará para fora da esfera de raio R o em um único passo. Seja m o mínimo valor de V(x) na região definida por R x xe R. É claro que m > V(x e ), porque V(x) assume o valor mínimo em x e. Seja r, com < r < R al que V(x) < m x S(x e, r). De novo, al r exise em visa da coninuidade da função V(x). Agora suponha que x() eseja denro de S(x e, r). Enão V(x()) < m. Mas como V(x), enão V não pode crescer com o empo e conseqüenemene a rajeória do esado não pode sair da esfera S(x e, R ), e, com mais fore razão, não pode sair da esfera S(x e, R). Enão, para ese R arbirário, enconramos r que corresponde à definição de esabilidade. Se, adicionalmene, V(x) < para odo x x e, enão V(x) diminuirá sempre aé chegar ao valor mínimo, que corresponde ao pono de equilíbrio, ou seja, eremos esabilidade assinóica. Figura 4 Exemplo (conclusão do exemplo (5.) acima): (5.5) Vimos que exise uma função de Lyapunov para o sisema dado e, porano, o sisema é esável. 6

17 A íulo de comparação com o primeiro méodo de Lyapunov, vamos ver o que se poderia concluir usando ese úlimo méodo. x f ( + x ) = ; no pono de equilíbrio considerado no exemplo, iso é, [,], x xx + x ( + x) f emos A = = x [,], cujo polinômio caracerísico é ( λ )( λ + ), ou seja, os auo-valores esão na froneira, iso é, sobre a circunferência de raio uniário: porano nada podemos concluir sobre a esabilidade do sisema. (Mas concluímos acima que o sisema é esável usando o segundo méodo de Lyapunov). Passemos agora ao esudo do segundo méodo para sisemas de empo conínuo, iso, é, dx() = f(x()). Seja V(x) uma função de Laypunov para eses sisema; a 3ª. condição na definição de dv ( x( )) funções de Lyapunov implica que. Sejam f i (x()), i =,,...,n as componenes de f(x(). Enão, emos ( chain rule ): dv ( x( )) V V V = f( x ( )) + f( x ( )) x x xn fn( x ( )). (5.6) Definindo o veor gradiene V( x) V( x) V( x) V( x) V( x) = =,,...,, x x x xn (5.7) emos, compacamene, dv ( x( )) V( x) = f(x()) = V( x) f(x()). x (5.6 bis) Podemos agora enunciar e provar o eorema de Lyapunov de esabilidade em sisemas de empo conínuo (5.8) Se exisir uma função de Lyapunov V(x) em uma região esférica S(x e, R o ), iso é, cenrada em x e e com raio R o, enão x e é um pono de equilibro esável. Se, além disso, dv ( x( )), definida em (5.6) for esriamene negaiva em odos os ponos (exceo x e ), enão a esabilidade é assinóica. Prova: a demonsração é como a do eorema para sisemas discreo e é aé mais simples. Com efeio, sendo por hipóese f(x()) conínua, enão x() ambém o será e, porano, não exise a possibilidade de o esado salar, ou seja, a esfera de raio R o não é necessária nese caso. 7

18 Exemplo: (5.9) Considere o sisema dx () dx() = x(), = x() x(), o qual em um pono de equilíbrio em x = x =. Observe-se que ese sisema é linear, com A = e porano λi A = λ + λ +, ou seja, o pono de equilíbrio é assinoicamene esável. Definamos a função candidaa a função de Lyapnuov. (É candidaa, porque saisfaz às duas primeiras condições da definição): V( x, x ) = x + x. Vamos à erceira condição: dv ( x, x) dx dx = x + x = xx+ x( x x) = x, concluindo que o pono de equilíbrio é esável. (Não podemos concluir que seja dv ( x, x) assinoicamene esável, porque podemos er = com x ). Mas enão vamos enar provar a esabilidade assinóica usando o segundo méodo, escolhendo uma oura função candidaa. (A escolha de função candidaa é muias vezes o resulado de enaiva e erro). Seja V( x, x) = x + x + ( x+ x), que saisfaz às duas primeiras propriedades das funções de Lyapunov e, porano, é candidaa. Ora, dv ( x, x ) = x dx + x dx + ( x+ x)( dx + dx ) = xx + x( x x) + ( x+ x)( x x x) = x x xx = x xx x x x = ( x+ x) x x < ( x, x ) (,). Ou seja, o sisema é assinoicamene esável. Exensão da esabilidade: O segundo méodo nos garane, caso o sisema seja esável, que exise uma região Ω, não necessariamene pequena em que a esabilidade é garanida. Um caso paricular imporane é quando a região de esabilidade é odo o espaço de esado. É claro que neses casos o pono de equilíbrio é único. emos o: eorema de Lyapunov: esabilidade assinóica global (5.) Suponha que V seja uma função de Lyapunov para um sisema dinâmico, que só em um pono de equilíbrio, x e. Suponha, além disso que i) V é definida em odo o espaço de esado; 8

19 ii) V(x()) <, se o sisema for de empo discreo, dv ( x( )) <, se o sisema for de empo conínuo x x e. iii) V(x) ende a infinio quando qualquer componene de x ende para infinio. Enão o pono de equilíbrio x e é globalmene assinoicamene esável. A prova dese eorema é imediaa, em visa do que já foi explicado. Seja observado, que quando o pono de equilíbrio é único, é comum dizermos que o sisema é globalmene assinoicamene esável. Doravane, usaremos as seguines abreviações: E = Esável I = Insável ME = Marginalmene esável (5.) AE = Assinoicamene esável GAE = Globalmene assinoicamene esável L = Lyapunov Exemplo (5.9) (coninuação): Podemos concluir, usando a segunda função (acima), de L, a saber, V( x, x) = x + x + ( x+ x), que ese sisema é GAE, uma conclusão que confirma o que já sabíamos, endo em visa que o sisema é linear. Exemplo: Pêndulo (5.) O problema do pêndulo erá sido uma das moivações de L para propor sua eoria. Seja M a massa do pêndulo, R o amanho do seu braço (ver Figura 5 abaixo) e θ o ângulo que o pêndulo faz com a verical. O pêndulo esá sujeio a ario (resisência do ar e/ou fricção no eixo de roação) proporcional à sua velocidade angular. Seja g a aceleração da gravidade. Enão de acordo com a ª. lei de Newon, emos d θ () dθ () MR = Mgsenθ () Mk, onde k > é um coeficiene de proporcionalidade. Esa equação diferencial de ª. ordem é equivalene a duas equações de ª. ordem, que são as equações de esado, a primeira sendo de definição de velocidade angular. Dividindo a equação acima por MR, obemos as equações de esado: dθ () dω() g k = ω(), = senθ () ω() (5.3) R R Definamos a candidaa a função de L: V ( θ, ω) = MR ω + MgR( cosθ). Observe-se que esa função ainge seu valor mínimo no pono de equilíbrio [θ, ω] = [, ]. Esa função é a expressão maemáica da soma das energias cinéica e poencial. Diferenciando, emos, omiindo o argumeno () dv ( θ, ω) dω dθ = MR ω + MgR senθ = g k MR ω ( senθ ω ) + MgRωsenθ R R 9

20 = = MgRωsenθ kmrω + MgRωsenθ kmrω. Figura 5 dv ( θ, ω ) Observe-se que podemos er =, mesmo que θ. Ou seja, podemos concluir que o pono de equilíbrio esudado é E, mas não podemos concluir pela análise acima que seja um pono de equilíbrio AE. Mas pela física sabemos que se raa, efeivamene de um pono de equilíbrio AE. Enão a análise acima é decepcionane, pois usamos a energia como função de L e não chegamos à AE. É ineressane anes de procurarmos uma oura função candidaa, verificarmos o que nos diz o primeiro méodo de L a respeio dese problema. Da equação (5.9) emos g k f = ω, sen R θ R ω. E, porano, f x = g k. E enão, cosθ R R

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