A Produtividade do Capital no Brasil de 1950 a 2002

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1 UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA Insiuo de Ciências Humanas Deparameno de Economia DOUTORADO EM ECONOMIA A Produividade do Capial no Brasil de 1950 a 2002 Aumara Feu Orienador: Prof. Maurício Baraa de Paula Pino Brasília 2003

2 2 Universidade de Brasília Insiuo de Ciências Humanas Deparameno de Economia Douorado em Economia A Produividade do Capial no Brasil de 1950 a 2002 Aumara Feu Tese apresenada ao Deparameno de Economia da Universidade de Brasília como requisio parcial para a conclusão do Curso de Douorado em Economia Orienador: Prof. Maurício Baraa de Paula Pino Brasília Dezembro de 2003

3 3 Universidade de Brasília Insiuo de Ciências Humanas Deparameno de Economia Douorado em Economia A Produividade do Capial no Brasil de 1950 a 2002 Aumara Feu Prof. Maurício Baraa de Paula Pino (Orienador) Prof. Joaquim P. de Andrade Prof. José Robero Novaes de Almeida Prof. Carlos Eugênio Ellery da Cosa Prof. Tio Belchior Silva Moreira Brasília Dezembro de 2003

4 à minha mãe, Semar ao meu pai, Carlos Feu ao meu marido, Marcos 4

5 5 Agradecimenos Ao Professor Maurício Baraa de Paula Pino pela orienação e apoio recebidos ao longo do curso e da elaboração da ese. Seus comenários sobre a ese e sobre os caminhos a serem percorridos aé sua defesa não só me encorajaram a prosseguir nesa pesquisa mas ambém foram de exrema valia para o encaminhameno da mesma. Ao Professor Joaquim P. de Andrade que acompanhou de pero a elaboração da ese por ocasião das inúmeras disciplinas que cursei com ele. Seu incenivo, comenários e sugesões foram mais que oporunos. Ao Professor Novaes pela sua disposição em ler os meus rabalhos ano por ocasião do qualify, como na época da defesa da ese. Ao Professor Carlos Eugênio Ellery da Cosa por suas sugesões bibliográficas, pelas discussões sobre o ema e pela amizade. Ao Professor Tio, colega de douorado e membro da banca de defesa, por sua aenção e comenários em ambas as ocasiões. À Secrearia do Tesouro Nacional que, por meio de licença para capaciação, me incenivou e me proporcionou as condições necessárias para cursar e desenvolver ese rabalho. Especialmene, aos meus superiores Luiz Tacca, Carrano, Eduardo Couinho, Anderson Capuo, Oávio Ladeira e Jonahas Delduque, que me apoiaram nesa empreiada. A odos os amigos do Mesrado e Douorado de Economia da UnB, em especial à Kay Maia, Parícia Massa e Rodrigo Silveira. A odas as pessoas que, denro de suas especialidades, de alguma forma me auxiliaram nesa empreiada, em especial a Gilbero Tadeu Lima, a Eusáquio Reis, Jorge Saba, Maurício Bugarim, Regis Bonelli e Lucillene Morandi Gosaria de erminar agradecendo às pessoas que me são mais caras, ou seja, a minha família. A ela devo o supore afeivo no decorrer deses seis anos, dois de mesrado e quaro de douorado. Quero mencionar, especialmene, meu pai, menor de diversos momenos de minha vida, dese inclusive; minha mãe e minha ia Ucha, ambas professoras de áreas disinas, mas que se dispuseram a rever odo o exo; ao Marco Anônio, que, mesmo disane do ambiene acadêmico, me proporcionou as condições para ingressar e permanecer nese ambiene e, finalmene, a meu marido Marcos Aurélio, amigo de douorado e companheiro, que em se revelado na mais graa surpresa de odo ese processo, me auxiliando em odas as áreas, afeiva e profissional. Imporane mencionar que as imperfeições do rabalho final são de minha ineira e exclusiva responsabilidade.

6 6 Resumo Ese esudo em como objeivo analisar a produividade do capial no Brasil, seu comporameno hisórico e seu reflexo no fuuro crescimeno do país. O Capíulo 1 insere, no modelo básico de Solow-Swan, a possibilidade da depreciação variar no empo, de acordo com a composição e o comporameno dos invesimenos passados. Com esa aleração, a dinâmica do capial se aproxima mais da realidade, ou seja, a depreciação passa a depender da idade do capial, ornando possível avaliar como choques no empo de vida do capial afeam o comporameno do esoque de capial e, conseqüenemene, do produo. Ese raameno é coerene com a meodologia méodo do esoque perpéuo, usada no Capíulo 2, onde se calcula as séries do esoque de capial para os países membros da OCDE e para alguns países da América Laina. Observa-se que a produividade do capial caiu para a maioria dos países analisados na úlima meade do século passado, sendo resulane ano da maior inensidade do capial na média das aividades, como da realocação do produo em aividades mais inensivas em capial. Quano ao Brasil, a produividade do capial caiu consideravelmene, alcançando o nível médio observado para os países membros da OCDE, apesar do país apresenar produo por rabalhador correspondene a um erço da renda média daqueles países. Por fim, no Capíulo 3, após reirar da série da razão capial/produo (inversa da produividade de capial) do Brasil a influência de variações na uilização da capacidade insalada, verificou-se que, com o menor paamar de produividade de capial, o Brasil em limiada a sua capacidade de convergir para o mesmo nível de renda dos países desenvolvidos, bem como a remuneração do capial, a qual pode esar causando o aual baixo nível do invesimeno no país. Porano, o esudo mosra que elevar a produividade do capial pode ser o caminho para aumenar o nível de crescimeno susenado do país. Absrac This sudy aims a analyzing he capial produciviy in Brazil, is hisorical behavior and influence on he fuure developmen of he counry. Chaper 1 insers in he Solow-Swan basic model he possibiliy of varying depreciaion wih ime according o he composiion and behavior of invesmens in he pas. Wih his modificaion, he capial dynamics is closer o realiy, ha is, depreciaion becomes dependen on he capial age, making i possible o evaluae how shocks in he capial lifeime affec he behavior of he capial sock and consequenly ha of he produc. This reamen is coheren wih he mehodology - mehod of perpeual sock, used in Chaper 2, where he capial sock series of he OECD counries and of some Lain American ones are calculaed. I is observed ha in he second half of he las cenury he capial produciviy decreased in mos of he analyzed counries resuls from boh he more capial-inensive characer of he aciviies on he average and he re-allocaion of he produc o capial-inensive aciviies. In wha concerns Brazil, he capial produciviy has decreased considerably, reaching he average level observed in he OECD counries, in spie of he fac ha he average oupu per worker in Brazil is one hird of he value in hose counries. Finally, in Chaper 3, afer removing from he Brazilian capial/produc raio series (inverse of he capial produciviy) he influence of variaions on he insalled capaciy, i was verified ha, wih a smaller capial produciviy plaeau, Brazil has a limied capaciy of convergence o he same income level of he developed counries as well as of remuneraing he capial, which migh cause he presen low invesmen level in he counry. Therefore, he sudy shows ha increasing he capial produciviy could be he pah o increase he susainable growh of he counry.

7 7 SUMÁRIO Capíulo 1 - Influência da Idade do Capial na Taxa de Depreciação e na Dinâmica do Crescimeno 1 Inrodução 1 Seção I - O modelo básico de Solow-Swan e a aleração proposa 4 I. 1- Modelo de Solow-Swan 5 I. 2 - Aleração Proposa 6 I. 3 - Considerações sobre o Procedimeno que Deerminará a Depreciação do Capial em Função do Tempo 6 Seção II - Modelo de Solow-Swan com Taxa de Depreciação Variando com a Idade do Capial 10 II. 1 Equação de Movimeno do Capial no Modelo Proposo 10 II. 2 - Analisando a exisência de esado esacionário 14 Seção III Análise de Esáica Comparaiva 18 Conclusões 22 Capíulo 2 - Evolução da Razão Capial/Produo 25 Inrodução 25 Seção I Evolução da Razão Capial/Produo no Brasil e em Ouros Países da América Laina 27 I. 1 Descrição da Meodologia 27 I. 2 Razão Capial/Produo no Brasil 34 I.2. 1 Razão Capial/Produo no Brasil: uma resenha 34 I.2. 2 Resulado do Cálculo da Razão Capial/Produo 41 I.2. 3 Comparando os Resulados 44 I. 3 - Efeio Preço Relaivo Capial/Produo 48 I. 4 A Depreciação, a Composição e a Idade do Capial 53 I. 5 Razões Capial/Produo em Países da América Laina 62 Seção II - Evolução da Razão K/Y Agregada e por Aividade para os Países Membros da OCDE 65 II. 1 Descrição da Meodologia 65

8 8 II Cálculo da Razão Capial/Produo Agregada e por Aividade 65 II Cálculo do Efeio Inensidade e Esruura 69 II. 2 Razão Capial/Produo nos Países da OCDE 70 II. 3 Razão Capial/Produo por Aividade 75 II. 4 Efeio Esruura e Inensidade 79 Análise Comparaiva dos Resulados 84 Conclusões 90 Anexo 2. 1 Preços Correnes ou Preços Consanes 92 Capíulo 3 O Comporameno da Razão K/Y pela Teoria Econômica e sua Influência na Conabilidade do Crescimeno 98 Inrodução 98 Seção I - Comporameno da Razão K/Y na Teoria Econômica 101 I. 1 - Modelo de Solow 102 I.1. 1) função de produção Cobb-Douglas 103 I.1. 2) função de produção CES 105 I. 2 Modelos com Faores Múliplos 107 Seção II Comporameno da Razão K/Y no Brasil segundo a Teoria Econômica 108 II. 1 - Definindo o Ano Base 108 II. 2 Divisão por Período 109 II. 3 Comporameno da Razão K/Y no Brasil 111 II. 4 Possível Causa para a Subesimação pela Teoria da Razão K/Y no Brasil 119 Seção III Razão Capial/Produo Esperada 125 Seção IV A Conabilidade do Crescimeno e seus Limies no Brasil 131 IV. 1 A Conabilidade do Crescimeno 131 IV. 2 Limie para o Crescimeno do Brasil 134 Conclusões 138 Anexo 3. 1 Capial Humano 143 Anexo 3. 2 Razão K/Y Poencial Ajusada pela Logísica 145 Referência Bibliográfica 146

9 9 LISTA DE TABELAS Tabela 2.1 Produo Inerno Bruo e Paricipação do Invesimeno no PIB do Brasil 32 Tabela 2.2 Variação da razão K/Y por década no Brasil 42 Tabela 2.3 Taxa de Invesimeno Líquido e Crescimeno do Produo, segundo Diferenes Taxas de Depreciação 55 Tabela 2.4 Resulado do Tese ADF para Raiz Uniária 60 Tabela 2.5 A Razão Capial/Produo nos Países da América Laina 64 Tabela 2.6 A axa de invesimeno(s)na América Laina 65 Tabela 2.7 Tempo de Vida (v) por Aividade e por Tipo de Bem 67 Tabela 2.8 Razão K/Y, inicial e final, e sua Variação por Década nos países da OCDE 74 Tabela 2.9 Médias das Razões Capial/Produo por Aividade 77 Tabela 2.10 Média Ariméica da Razão K/Y e da Paricipação no PIB por Aividade e Peso de Cada Aividade na Razão K/Y 81 Tabela 2.11 Efeios Esruura e Inensidade por Período dos Países Membros da OCDE 83 Tabela Efeios Esruura e Inensidade no Brasil de 1985 a Tabela 3. 1 Razão Capial/Produo (ano base=2000) no Brasil de 1950 a Tabela 3.2 Taxa de Invesimeno Média e Taxa de Crescimeno Anual Média da Razão K/Y por Período no Brasil 110 Tabela 3. 3 População Ocupada no Brasil de 1950 a Tabela 3. 4 Parâmeros e Razão K/Y de Equilíbrio por Período no Brasil 116 Tabela 3.5 Taxa de Crescimeno Anual por Período da Razão K/Y no Brasil, Realizada e Previsa segundo o Modelo de Solow(1957), função Cobb-Douglas 116 Tabela 3. 6 Decomposição da Variação da Razão Capial/Produo 117 Tabela 3. 7 Causas da Variação no Crescimeno da razão K/Y no Brasil segundo o Modelo de Solow (equação 3. 19) 117 Tabela 3.8 Taxa de Crescimeno Anual por Período da Razão K/Y no Brasil, Realizada e Previsa segundo o Modelo de Solow(1957), função CES 119 Tabela 3. 9 Razão Capial/Produo Esperada (2000) no Brasil de 1950 a Tabela Conabilidade do Crescimeno no Brasil de 1950 a 2001 Modelo de Solow(1957) função de produção CES 132 Tabela 3.11 Paricipação do Capial e do Trabalho Efeivo no Produo do Brasil de 1950 a Tabela 3.12 Capial Humano no Brasil de 1981 a Tabela 3.13 Razão K/Y Poencial (K/Y p ) no Brasil de 1950 a

10 10 LITA DE GRÁFICOS Gráfico 1 1 Funções de Depreciação. 7 Gráfico 1.2 Função de Sobrevivência. 8 Gráfico 1.3 Função de Depreciação Acumulada e Função de Sobrevivência. 9 Gráfico 1.4 Invesimeno por Trabalhador e Desgase Efeivo 16 Gráfico 1.5 Paricipação do Invesimeno por Trabalhador no Capial e Taxa de Desgase Efeivo 18 Gráfico 1.6 Choque Posiivo na Taxa de Invesimeno 19 Gráfico 1.7 Choque Posiivo no Tempo de Depreciação 21 Gráfico 2.1 Cálculo da Razão K/Y para os anos aneriores a 1970,Supondo a axa de depreciação igual à axa média (4,32%) calculada por Carvalho(1996) e a razão K/Y para 1975 igual a 2, Gráfico 2.2 Funções de sobrevivência: exponencial ( δ =14% ) de Fonseca e Mendes e linear com defasagem para máquinas e equipamenos (v=19 e m=2) e para bens de consrução (v=48 e m=5), uilizadas por nós. 41 Gráfico 2.3 Razões K/Y para o Brasil, com o invesimeno correne, consane em moeda nacional e em moeda inernacional 41 Gráfico 2.4 Razões capial produo para o Brasil, segundo nossos cálculos, com a paricipação do invesimeno no PIB a preços consanes de 1980 e Gráfico 2.5 Índices do Produo Inerno Bruo, Esoque de capial e Razão K/Y no Brasil (1980=100) 43 Gráfico 2.6 Razões K/Y moeda inernacional(1980) para o Brasil nos anos de 1950, 1960, 1970, 1980, 1990 e Gráfico 2.7 Razões K/Y - moeda nacional (1990), calculadas por nós e por Morandi. 47 Gráfico 2.8 Razões K/Y, calculadas por Fonseca e Mendes (2002) para o PIB Poencial 1 e 2, e as calculadas com axa de depreciação igual a Penn World Table (d=9,1%). 48 Gráfico 2.9 Mosra a razão enre o deflaor da FBKF e o do PIB (quando 1980=1), ambos fornecidos pelo IBGE. 49 Gráfico 2.10 Efeio Preço Relaivo K/Y para a série com ano base em 1980 e Gráfico 2.11 Taxa de Depreciação no Brasil, segundo nossos cálculos. 54 Gráfico 2.12 Taxa de Invesimeno Toal e por Tipo de Bem (ano base=1980) 55 Gráfico 2.13 Esoque de Máquinas e Equipameno e de Bens de Consrução em Relação ao Esoque Toal 56 Gráfico 2.14 Idade Média do Capial no Brasil 57 Gráfico 2.15 Taxa de Depreciação (δ ), paricipação do invesimeno em depreciação no invesimeno q Gráfico 2.16 Razão K/Y Toal e por Tipo de Bem para o Brasil 61

11 11 Gráfico 2.17 Razões Capial/Produo nos Países da América Laina 63 Gráfico 2.18 Razão K/Y do Toal para Alguns Países da OCDE 72 Gráfico 2.19 Razão K/Y do Toal para a OCDE 73 Gráfico Relação enre a variação da razão K/Y e a razão K/Y inicial 75 Gráfico 2.21 Razões K/Y por aividade na OCDE 78 Gráfico Efeios Esruura e Inensidade, Resíduo (dados acumulados) e Variação de K/Y 79 Gráfico 2.23 Produividade do Capial (US$ 1990) e do rabalho Brasil e OCDE 85 Gráfico Produividade do Capial (US$ 1990) e do Renda Por Trabalhador (Y/L) Brasil, Chile e México 86 Gráfico Relação enre a variação da razão K/Y e a razão K/Y inicial 87 Gráfico 2.26 Aividades de Maior Paricipação no PIB do Brasil 89 Gráfico Razões K/Y - moeda nacional (1999), calculadas por nós e por Morandi. 95 Gráfico 3.1 Produividade do Trabalho, Produividade do Capial e Inensidade do Capial 112 Gráfico 3.2 Produividade Marginal Líquida do Capial 123 Gráfico 3.3 Razão Capial/Produo Observada, seu Ajuse pela Logísica, e as Séries Esimadas Segundo um Choque na Produividade dos Invesimenos em 1968 ou Gráfico 3.4 Séries da razão K/Y, original a preços de 2000, ajusada pela logísica, KYe, pela uilização da capacidade insalada, K/Y(UCI), e pelo filro de Hodrick-Presco, K/Ye(HP). 129 LISTA DE QUADROS Quadro 2. 1 Séries da Paricipação do Invesimeno no PIB do Brasil 31 Quadro 2. 2 Analisando o Esoque de Capial Inicial de Carvalho (1996) 38 Quadro 2. 3 Cálculos da Razão Capial/Produo para o Brasil 45 Quadro 2. 4 Desagregação de Bens de Consrução em Bens Residenciais e Não Residenciais 46 Quadro 2. 5 Efeio da Mudança na Taxa de Depreciação 55

12 12 LISTA DE SIGLAS ADF - Dickey-Fuller Aumenado 59 AGR - agriculura, caça, silviculura e pesca 66 BEA - Bureau of Economic Analysis 1 CES -Consan-Elasiciy-of-Subsiuion 102 CONST - consrução 28 CRH - Comércio de aacado e varejo, resauranes e hoéis 66 CST - consrução 66 DIMAC/IPEA - Direoria de Esudos Macroeconômicos 33 EGA - elericidade, gás e água 66 EUA - Esados Unidos da América 35 FBKF - formação brua do capial físico 1 %FBKF/PIB - paricipação do invesimeno no PIB 29, 31 FMI - Fundo Moneário Inernacional 67 HP - Hodrick-Presco 126 IFNI - insiuições financeiras e de seguro, negócios imobiliários e serviços presados às empresas 66 IBGE - Insiuo Brasileiro de Geografia e Esaísica 1 IPEA - Insiuo de Pesquisa Econômica Aplicada 33 ISDB/OCDE - Inernaional Secoral Daa Base 65 K/Y - capial/produo 25 MAN - manufaura 66 MEP - méodo de esoque perpéuo 2 M&EQP - máquinas e equipamenos 28 MERCOSUL - Mercado Comum do Conesul 85 MIN - indúsria exraiva mineral 66 NSCN - Novo Sisema das Conas Nacionais 31 OCDE - Organização de Cooperação e Desenvolvimeno Econômico 1 OUT - ouros serviços não-mercanis 66 PBM - Polynomial-Benchmark Mehod 40 PIB - produo inerno bruo 3 PPC - paridade do poder de compra 29 PTF - produividade oal dos faores 132

13 13 SAP - serviços da adminisração pública não-mercanis 66 SCN - Sisema das Conas Nacionais 31 SSO - serviços fornecidos à coleividade, serviços sociais e serviços presados às pessoas 66 TAC - ranspore, armazenameno e comunicação 66 TOT - Toal 66 UCI - uilização da capacidade insalada 40, 125 VAR - Veor Auoregressivo 60

14 Capíulo 1 - Influência da Idade do Capial na Taxa de Depreciação e na Dinâmica do Crescimeno Inrodução A capacidade de um país gerar riqueza depende da quanidade dos faores de produção disponíveis: capial, rabalho e ecnologia, ese úlimo geralmene considerado como modificador da produividade dos dois primeiros faores. Especificamene, no que se refere ao capial, a avaliação do seu esoque depende dos pressuposos adoados sobre o comporameno do invesimeno no empo e sobre a forma de cálculo de sua depreciação. Na grande maioria dos modelos básicos da eoria de crescimeno econômico, em suas duas verenes neoclássica e endógena, considera-se a axa de depreciação como fração consane do esoque de capial; assim, a avaliação do esoque de capial é independene da sua disribuição eária, sem refleir o passado da economia. Esa forma desconsidera porando os efeios da idade do capial sobre a axa de depreciação e, conseqüenemene, sobre a dinâmica do crescimeno econômico. A ausência de relação enre o empo de vida do capial e a sua depreciação nos modelos de crescimeno difere, não somene do comporameno físico esperado para o esoque de bens de capial (menor desgase nos anos iniciais e finais e aceleração da depreciação no meio da vida), como ambém da maneira pela qual a maioria das esaísicas nacionais e das bases de dados inernacionais avalia o esoque deses bens. Do pono de visa físico, os bens de capial perdem sua capacidade de agregar valor e se depreciam em função da idade, o que orna a axa global de depreciação do capial dependene do hisórico do invesimeno. Ese fao é levado em cona pela conabilidade das empresas e a dos países - expressa em suas conas nacionais. A conabilidade das empresas obedece mais a considerações fiscais e, muias vezes, não guarda relação exaa enre a capacidade de agregar valor de seus bens e a depreciação considerada. Por ouro lado, a conabilidade dos países - conforme o Inernaional Secoral Daa Base da Organização de Cooperação e Desenvolvimeno Econômico (OCDE (1999)) e o Bureau of Economic Analysis (BEA) do Deparameno do Comércio dos Esados Unidos da América - usa expliciamene essa relação no cômpuo do seu esoque de capial, uma vez que uiliza uma função de sobrevivência da formação brua do capial físico (FBKF). Cabe ressalar

15 2 que o Insiuo Brasileiro de Geografia e Esaísica (IBGE) não publica, aualmene, uma série do esoque de bens de capial no Brasil. Especificamene quano à OCDE, esa usa o méodo de esoque perpéuo (MEP) 1 que consise na soma dos invesimenos passados desconada da depreciação correspondene à função de sobrevivência adoada. Com ese méodo, países com esoque de capial anigo apresenam maior depreciação do que aqueles com esoque mais recene. Ressalamos que a axa de depreciação vinculada à idade do capial é considerada em Solow (1959), em um modelo de geração para o capial 2, precursor da eoria econômica da obsolescência. Esa eoria desagrega a depreciação em dois componenes: a depreciação física e a obsolescência. Admie, ambém, apesar de muias vezes considerá-la como nula, a exisência de um erceiro componene ligado a ouros ganhos e perdas de capial. A modelagem da obsolescência disingue os bens de capial pela daa de seu invesimeno. Classifica, porano, o invesimeno por geração, com sua depreciação crescene com o empo de vida de cada geração. A obsolescência é inserida aumenando a axa de depreciação à medida que novas ecnologias (embuidas em equipamenos subsiuos) surgem. Com o crescene desenvolvimeno ecnológico, a imporância do componene obsolescência aumenou. Pode-se supor, ainda, que políicas de globalização, ao colocar ecnologias incorporadas em países mais adianados em concorrência com as locais, conribuam para uma brusca aceleração da obsolescência. Gor e Wall (1998) comprovam a relevância da obsolescência, ao mosrarem que o Resíduo de Solow, o crescimeno da produividade ecnológica calculado por diferença, aproxima-se de zero em simulações que consideram o efeio da obsolescência 3. Conudo os próprios auores aleram que, dada a dificuldade da mensuração, não esão esabelecendo uma nova forma de cálculo da depreciação. Na práica - nas esaísicas inernacionais, BEA e OCDE - admie-se que as axas de depreciação do capial incorporam os dois efeios: o da depreciação física e o da 1 O Méodo de Esoque Perpéuo, ambém denominado Méodo de Esoque Permanene ou Méodo de Invenário Perpéuo, foi uilizado pela primeira vez por Raymond Goldsmih (1951) e é comumene uilizado no cálculo do esoque de capial, como em Hofman (1992, 2000), Morandi (1998,2000), Alvim e alii (1996), Heson e Summers (1998), Gomes, Lisboa e Pessôa (2002) e Ferreira, Issler e Pessôa (2002). 2 Alguns auores que pesquisam o esoque de capial como Jorgenson and Griliches (1967) e Jorgenson, Gollop e Fraumeni (1987) ambém disinguem o capial por geração. 3 Ese resulado advém do fao de que as simulações consideram o desenvolvimeno ecnológico, gerando a obsolescência dos bens de capial e, com iso, diminuindo o empo de vida do capial e aumenando o valor do bem novo.

16 3 obsolescência. Esa hipóese advém do fao de considerar-se a ecnologia como uma variável de endência bem comporada, gerando uma obsolescência com evolução regular, a qual agrupada a depreciação física resula numa curva de depreciação com formao regular. No próximo capíulo, no cálculo do esoque de capial, pariremos dessa hipóese. No momeno, procuramos verificar como a meodologia a ser adoada no cálculo do esoque afea um modelo básico de crescimeno. Pelo exposo, julgamos imporane analisar um modelo cujas equações incorporem o méodo de esoque perpéuo, o qual espelha melhor o comporameno do desgase físico do capial na avaliação do esoque e é uilizado pela OCDE, pelo BEA, por diversos auores e por nós mesmos nos próximos capíulos. Cabe salienar que a evolução do esoque de capial depende ambém da função de depreciação do bem de capial adoada. Nese capíulo, apresenaremos as comumene uilizadas, jusificando a nossa escolha pela linear com defasagem 4. A aleração proposa será inserida no modelo neoclássico de Solow-Swan (1956), considerado um modelo básico de crescimeno. A escolha levou em cona a simplicidade do modelo, sua esabilidade e, segundo avaliação de Islam (1995), referendada por Jorgenson e Yip (2001), a sua boa performance frene a dados empíricos, quando se considera diferenes níveis ecnológicos enre países. Islam (1995) mosra que para se deerminar a variação na renda por rabalhador e uma velocidade de convergência consisene, não é necessário endogenizar o invesimeno em capial humano e uilizar o modelo de Solow aumenado, como em Mankiw, Romer e Weil (1992). Ese primeiro capíulo visa, porano, subsidiar eoricamene os próximos, verificando como o MEP a ser uilizado no cômpuo do esoque de capial, orna a axa de depreciação e a dinâmica do crescimeno função da idade do capial. Esa análise auxiliará o enendimeno do comporameno da razão capial/produo - considerada como a razão enre o esoque de capial calculado e o produo inerno bruo (PIB) e como o inverso da produividade do capial. Será observado, nese capíulo, que o modelo proposo possui nova dinâmica, por raar a axa de depreciação como função do hisórico dos invesimenos, e novo parâmero, a idade do capial. Pudemos, enão, analisar a influência, na rajeória para o esado esacionário ou no próprio equilíbrio, de choques no empo de vida do capial e, em conseqüência, na depreciação. O efeio causado na economia dependerá da magniude, da 4 Esa função é uilizada pela OCDE (1999) com uma defasagem de cinco anos.

17 4 naureza e da permanência do choque, que poderá ser, por exemplo, decorrene da aberura econômica, do desenvolvimeno ecnológico e/ou de políicas recessivas que diminuam emporariamene o invesimeno. Um choque, no modelo proposo, afea, se emporário, a velocidade de convergência para o equilíbrio, e se permanene, não só a velocidade, mas ambém o nível de equilíbrio. Observamos, por exemplo, que um choque negaivo e permanene na idade média do capial leva a economia para um capial por rabalhador de equilíbrio menor e eleva a produividade do capial (inverso da razão capial/produo) necessária para alcançá-lo. O modelo proposo permiiu analisar, ambém, choques na axa de invesimeno ou no nível ecnológico, que afeam agora a quanidade invesida e a depreciação, diferenemene do modelo original, onde só aleravam o invesimeno. Se o choque for permanene e posiivo, a conversão para o esado esacionário, nesse modelo, será mais rápida e os equilíbrios dos dois modelos só se igualariam se a axa de depreciação do modelo original for fixada no nível de equilíbrio da axa no modelo proposo. Se o choque for emporário e negaivo, a velocidade de convergência para o equilíbrio é agora mais lena, ou seja, uma economia em recessão, invesindo menos, erá um novo faor limiane do seu crescimeno: o aumeno da depreciação, causado pelo envelhecimeno do capial. Economias com esruuras semelhanes e com mesma axa de invesimeno, de crescimeno da população e de capial por rabalhador poderão er, enão, rajeórias diferenes conforme seu passado, se recessivo ou expansivo, pois esarão sujeias a depreciações diferenes. Ese capíulo esá organizado em rês seções além desa inrodução e da conclusão. A Seção I discrimina a mudança proposa no modelo de Solow-Swan. A Seção II soluciona o modelo proposo e esuda a sua esacionaridade e, finalmene, a Seção III faz uma análise de esáica comparaiva, verificando a diferença dos resulados em relação aos do modelo original. Os resulados e os choques são ilusrados, inclusive, por meio de uma simulação numérica. Seção I - O modelo básico de Solow-Swan e a aleração proposa Nesa seção, mosraremos as equações básicas do modelo (Subseção I. 1), a aleração proposa (Subseção I. 2) e, finalmene, descreveremos como ela será implemenada (Subseção I. 3).

18 5 I. 1- Modelo de Solow-Swan A função de produção no modelo de Solow-Swan (1956), uilizando a Cobb- Douglas, é represenada por: Y = F, 1. 1 α 1 α ( K, L ) = AK L onde o produo (Y) é função do capial físico (K) e do rabalho (L), sendo A >0 o nível de ecnologia, suposo consane no empo, e α uma consane, 0<α<1, que represena a paricipação do capial no produo. Ressalamos que a Cobb-Douglas é habiualmene uilizada por saisfazer as rês propriedades básicas dos modelos neoclássicos ciadas por Barro-Sala-i-Marin (1995): i) produividade marginal dos faores, capial e rabalho, posiiva e decrescene; ii) rendimenos consanes de escala e iii) condições de Inada respeiadas 5, excluindo soluções de cano. Os rendimenos consanes de escala permiem que, dividindo ambos os lados da equação 1. 1 por L, possamos represenar as variáveis em unidades por rabalhador, produo por rabalhador (y = Y / L) e capial por rabalhador (k = K / L). Desa forma, escrevendo a função de produção em sua forma implícia, emos: y = f k ) = Ak ( α Por sua vez, sendo K a variação do esoque de capial, a dinâmica do capial 6 +1 K no modelo de Solow-Swan é represenada por: K K = I δk +1, 1. 3 onde a variação líquida do capial físico dese ano (+1) em relação ao anerior () é dada pela diferença enre o invesimeno bruo, I, e a depreciação, δk. A axa de depreciação, δ> 0, é omada como uma fração consane e posiiva. Porano, o capial não morre em um empo deerminado (depreciação geomérica) e sua idade não influencia a avaliação do esoque. Ou seja, supondo dois países com o mesmo esoque de capial em, composo do mesmo bem com vida média de v anos, o primeiro endo realizado odo o seu invesimeno a v anos arás (-v) e o segundo no ano anerior (-1), os dois erão a mesma depreciação incidindo sobre o seu esoque independenemene da idade média dese esoque em. 5 Produividade marginal do capial (do rabalho) aproximando-se do infinio, quando o capial (o rabalho) ende a zero, e aproximando-se de zero, quando capial (ou rabalho) ende para o infinio. 6 Supondo que o capial inicial é dado.

19 6 I. 2 - Aleração Proposa Ressalamos que não modificaremos a esruura do modelo de Solow-Swan, pois uilizaremos suas hipóeses básicas, as quais serão ciadas, conforme se faça necessário. A inovação a ser inroduzida consise em fazer variar a axa de depreciação conforme a idade média do capial no empo. A dinâmica do modelo proposo fica represenada por: K K = I δ K +1, 1. 4 onde a depreciação ( δ ), diferenemene da equação 1. 3, varia com o empo de acordo com a composição do esoque que deixa de ser homogêneo, sendo composo por invesimenos de idades diferenes. I. 3 - Considerações sobre o Procedimeno que Deerminará a Depreciação do Capial em Função do Tempo Nesa subseção, descreveremos o procedimeno a ser adoado para calcularmos, na próxima seção, a axa de depreciação sobre o capial a cada período do empo. Para iso, faremos um parênese para ecer comenários sobre a função de depreciação a ser uilizada nese e no próximo capíulo, quando calcularmos o esoque de capial, e, depois, comenaremos os passos a serem seguidos na Seção II para desenvolver o modelo. Quano à função, uilizaremos a função de depreciação linear com defasagem, seguindo a meodologia da OCDE, a qual, por sua vez, segue de pero as funções oficiais de seus países membros. Desacamos que Hofman (1992) e Morandi (2001) uilizam funções lineares (sem defasagem), enquano Alvim e alii (1996) usam uma função em forma de sino. Nos Gráfico 1. 1 e Gráfico 1. 2 a seguir, apresenamos as quaro formas mais usualmene enconradas na lieraura 7 linear, linear com defasagem, forma de sino e more súbia - e suas correspondenes funções de sobrevivência para um invesimeno com empo de vida (v) de 19 anos 8. 7 Cabe ainda salienar que alguns auores, como Gomes, Lisboa e Pessôa (2002) e Ferreira, Issler e Pessôa (2002), uilizam o MEP com axa de depreciação geomérica sobre o invesimeno. A respeio desa opção observamos que a axa de depreciação geomérica pressupõe alo desgase no início do empo de vida do bem de capial e que ese enha vida ilimiada. Porano, esa opção é de fácil implemenação mas não aproxima o modelo da real dinâmica do desgase do capial, objeivo dese rabalho. 8 O empo de vida de 19 anos corresponde ao empo de vida para máquinas e equipamenos, fornecido pela OCDE, que considera o empo de vida médio calculado para deerminado conjuno de bens. Na práica, o empo de vida pode ser único ou pode variar por grupo de bens ou por país, refleindo as caracerísicas de cada bem e o nível ecnológico de cada país.

20 7 a) Linear Simples b) Linear com defasagem d 0.07 d c) Forma de Sino d) More Súbia d 0.07 d Gráfico 1. 1 Funções de Depreciação. Mosra a axa de depreciação (d) que incide sobre o bem de capial invesido de acordo com a sua idade. É uma função de densidade probabilísica com área igual à unidade. Esclarecemos que a axa d incide sobre o bem de capial, enquano a axa δ incide sobre o esoque de capial. Esa úlima é, porano, resulado da agregação da depreciação sobre odos os bens de capial exisenes no esoque, considerando a idade de cada bem.

21 8 a) Linear Simples b) Linear com defasagem c) Forma de Sino d) More Súbia Gráfico 1. 2 Funções de Sobrevivência. Indica qual a proporção do capial que coninua agregando valor durane seu empo de vida. Dessas quaro formas, segundo o manual da OCDE (1993), duas não refleem a realidade, a linear e a more-súbia. Na verdade, não parece plausível que odos os bens de deerminado grupo sejam descarados ao mesmo empo (função more súbia), nem que, em odo o período, eses bens se desgasem à mesma axa (função linear), principalmene nos primeiros anos de vida, quando se espera, por definição, que o bem enha plena capacidade de agregar valor. As duas formas resanes, linear com defasagem e forma de sino, pressupõem menor depreciação nos primeiros anos (linear com defasagem depreciação zero nos anos de defasagem - e forma de sino depreciação aumena gradualmene nos primeiros anos). Apesar da função em forma de sino ser a que mais se assemelha à realidade, com menor descare nos primeiros e nos úlimos anos, a nossa escolha pela depreciação linear com

22 9 defasagem se jusifica por sua simplicidade e pelo menor número de parâmeros a esimar, fugindo assim de suposições Ad Hoc. Na função linear com defasagem, necessia-se apenas do empo de vida e da defasagem, enquano na função em forma de sino, do empo de vida e dos parâmeros que visam deerminar a curose e a assimeria. Para calcularmos a axa de depreciação do capial no ano, δ, uilizaremos, porano, a função de depreciação linear com defasagem, e seguiremos o procedimeno descrio abaixo: i) 1º passo - calcular a axa de depreciação sobre o bem de capial (d): dados o empo de vida do capial (v) e o período de defasagem (m), exógenos ao modelo, calcularemos o empo de depreciação (h= v - m) e oberemos d 9 como o inverso de h (1/h), onde h é maior do que um e menor que O Gráfico 1. 3 represena a função de depreciação acumulada (dx) do bem de capial no empo, onde x é a quanidade de anos em que a depreciação incide (-m-r), ou seja, é a diferença enre o ano anerior (), a defasagem e o ano em que o invesimeno foi realizado (r) 11. Esa função mosra a depreciação acumulada ano a ano e a sua imagem (1-dx), a função de sobrevivência, mosra o capial ainda não sucaado. Para exemplificar, esamos supondo que m = 2, v = 19, e, conseqüenemene, h = 17; dx dx r m v Gráfico 1. 3 Função de Depreciação Acumulada (dx) e Função de Sobrevivência (1-dx). 9 A axa de depreciação sobre o bem de capial (d), na função linear com defasagem, é consane a parir de m+1, sendo que a axa cumulaiva aplicada ao bem aumena de d anualmene aé alcançar a unidade. 10 Na realidade, o maior empo de depreciação, uilizado, no próximo capíulo, será de 53 anos. 11 Ese bem foi invesido em (=r=0) e passou a inegrar o esoque em (+1=1).

23 10 ii) 2º passo deerminar a axa depreciação acumulada: a depreciação acumulada sobre um bem de capial é, porano, igual a zero no ano m, igual a d no ano m+1, igual a 2d no ano m+2, e assim por diane, aé que no ano (h+m) 12 ela seja igual a hd e, conseqüenemene, igual a um; iii) 3º passo esimar o esoque de capial: dados, enão, o invesimeno e a axa de depreciação acumulada, calcularemos o esoque no ano aual, subraindo da soma dos bens de capial invesidos, ainda em processo de sucaameno, a depreciação correspondene a sua idade, ou seja, somaremos os invesimenos sobrevivenes e iv) 4º passo - ober a axa de depreciação relaiva ao esoque de capial no ano, δ : calculado o esoque de capial em, bem como a depreciação incidene sobre cada bem de capial em, basa dividir a soma desas úlimas pelo esoque. Seção II - Modelo de Solow-Swan com Taxa de Depreciação Variando com a Idade do Capial Na Subseção II. 1, desenvolvemos o modelo proposo enconrando a equação de movimeno do capial por rabalhador que inclui a possibilidade da depreciação variar com a idade do capial. Na Subseção II. 2, examinaremos a exisência da esacionaridade, calcularemos o capial por rabalhador de equilíbrio e enconraremos a axa de depreciação do capial em função de sua idade. II. 1 Equação de Movimeno do Capial no Modelo Proposo Para chegarmos a equação de movimeno do capial, cabe enfaizar que o invesimeno de um ano só é considerado compleo no ano seguine. Porano, um invesimeno em -1 só passa a inegrar o capial em. Para simplificar a represenação algébrica do procedimeno descrio na seção anerior, assumimos, inicialmene, que não exise defasagem m = 0, ou seja, que o bem começa a se depreciar no ano poserior à efeivação do invesimeno. Iso é, logo, no seu primeiro ano de vida como bem de capial. 12 Somando h + m obemos o período final da vida do bem, v, ou seja, após os m períodos, onde a depreciação do bem é zero, e os h períodos, nos quais o capial se deprecia à axa d. No ano v, a capacidade de agregar valor ao bem é zero.

24 11 Seguindo esa hipóese, assim como as rês primeiras eapas do procedimeno, emos: + 1 = Ir [ d( r Ir r= h r= h K )] O capial em +1 é dado pela soma dos capiais invesidos aneriormene, ainda em processo de sucaameno, menos a depreciação deses bens, conforme o seu empo de vida. A quanidade de anos em que a depreciação deve incidir (-r) é dada pela diferença enre o ano anerior () e a daa em que foi realizado o invesimeno (r), enquano a axa de depreciação acumulada, variando para cada bem de capial de acordo com seu empo de vida, é calculada muliplicando d por -r. Fazendo o mesmo para o capial em, obemos: 1 1 K = I [ d( 1 r)] I r r= ( h+ 1) r= ( h+ 1) r A simplificação adoada possibilia rabalharmos com h ermos nos dois somaórios, pois, como m=0, não é necessário reardar a depreciação, e como v = h, o período em que a depreciação ocorre é igual ao período de vida do capial. Calculando a diferença enre as equações 1. 5 e 1. 6, obemos: + 1 K = I 1 Ir r= h K d, onde a variação do capial no período +1 é dependene do invesimeno no período, da axa de depreciação (d) e dos bens de capial invesidos aneriormene a, ainda não oalmene depreciados. Como de acordo com o primeiro passo do procedimeno, d=1/h, podemos reescrever a equação anerior da seguine forma: + 1 K = I 1 1 r= h K h I r É curioso observar que, nesa nova formulação, a variação do capial em um ano é deerminada pela diferença enre o invesimeno do ano anerior e a média dos bens de capial invesidos ainda em processo de sucaameno. Noa-se, desde já, que inserimos no modelo nova dinâmica, relacionada à evolução do invesimeno no empo, bem como novo parâmero: o empo de depreciação, ou seja, o período no qual a depreciação ocorre, h. Anes de analisarmos o comporameno da variação do capial em ermos por rabalhador, cabe desacar que, aé agora, uilizamos função de sobrevivência linear e

25 12 decrescene em função do empo, começando no primeiro ano de vida do capial, conforme Gráfico 1. 2a). Vale noar aqui dois ouros casos: a) o primeiro, quando a função de sobrevivência coninua a ser linear e decrescene com o empo, mas exise uma defasagem (m>0) no início da depreciação (conforme mosrado no Gráfico 1. 2b). Esa é a forma adoada pela OCDE e uilizada por nós no Capíulo 2 para calcular o esoque de capial líquido. Assim sendo, as equações 1. 5 e 1. 7 passam a ser: m = Ir h ( m r Ir, r= v r= v K ) + 1 K = m 1 1 r= v K I h I. r A diferença incorporada na variação do capial, com a demora de início da depreciação, é que agora a média dos invesimenos, subraída do invesimeno em, se refere a período menor e mais disane. No caso de um bem com empo de vida de 19 anos e defasagem de 2 anos, por exemplo, a média é calculada: i) somando-se os invesimenos de - m - 1 a - v, correspondene a um período de 17 anos (h = v - m ) e ii) depreciando-se a uma axa maior (d = 1/17 e não mais d=1/19, como no caso da linear sem defasagem). Porano, o empo em que o capial é depreciado, h, anes assumido como igual a v, é agora menor que v, o que resula na maior inclinação da função de depreciação acumulada. b) o segundo, no qual o invesimeno em more súbia na meia vida (v/2), quando odo o capial se deprecia (Gráfico 1. 2d) 13. Nese caso, d=h=1 e m= v/2-1, logo, podemos represenar as equações 1. 5 e 1. 7 como: = + r= ( v / 2 1) + 1 K = I I v / 2 K I r K A variação do capial é, agora, igual à diferença enre o invesimeno do período anerior e o invesimeno v/2 anos arás, que é oalmene depreciado no período +1. Esa hipóese não supõe nenhum desgase do maerial e do funcionameno do bem durane sua exisência, sendo ese sempre capaz de agregar o mesmo valor ao produo. Analisando as rês possibilidades apresenadas, noamos que quano maior for m, maior é a disância emporal enre o invesimeno em e a média dos bens de capial 13 A OCDE calcula o esoque de capial líquido e o esoque de capial bruo. Ese úlimo é deerminado subraindo do esoque o bem de capial ao final de seu empo de vida médio.

26 invesidos e ainda em processo de sucaameno. Logo, se os invesimenos forem crescenes no empo, quano mais ardar o início do desgase do capial considerado, maior será a variação do capial na economia fora do esado esacionário e, conseqüenemene, maior será o capial de equilíbrio. Para represenar a dinâmica do capial em ermos por rabalhador, dividimos 1. 7 por L e obivemos: k + = ( + ) k 1 n sf ( k ) nk h L sf( K r, Lr ) r= h, 1. 8 onde o invesimeno por rabalhador I L 1 é dado pela axa de invesimeno 14 (s) vezes o produo por rabalhador f ( k ) ( K <1) e k k = + n K L nk., a consane n é a axa de crescimeno do rabalho (0< n ( ) [ ] ) Em relação à equação 1. 7, acrescenamos, na equação 1. 8, o aumeno do capial necessário para garanir o mesmo nível de capial para o rabalhador no período seguine, nk. Como L k + 1 k 1 1 = L (1 + n) = (1 + n) 1 sf ( k, podemos escrever 1. 8 como: ) nk + h 1 1 sf ( k )(1 + n) r= h r ( r ) onde 1. 9 é a equação de movimeno do capial por rabalhador após inroduzirmos a axa de depreciação dependene da idade do capial. A variação do capial por rabalhador de +1 para consise, enão, na diferença enre o invesimeno no ano e o monane do capial necessário para fazer frene ao crescimeno da população e à depreciação. Noamos que o úlimo ermo da equação 1. 9, expresso em ermos por rabalhador, ransforma a média simples dos invesimenos, verificada na equação 1. 7, ainda exisenes em ponderada, de forma a refleir o crescimeno populacional. Como nese caso (-r) represena a idade do invesimeno e n é menor que 1, o crescimeno da população, enão, o 1+ n ( r) peso de cada invesimeno represenado por ( ) é sempre menor ou igual a um, sendo ano menor quano mais anigo for o bem de capial a que se refere., Lembramos que, como no modelo de Solow-Swan, a economia é fechada e a axa de poupança é igual a de invesimeno.

27 14 II. 2 - Analisando a exisência de esado esacionário A seguir verificaremos se as alerações no modelo Solow-Swan (1956) afeam a exisência do esado esacionário 15, caracerísica do modelo básico com função de produção Cobb-Douglas. Para ano, analisaremos a equação 1. 9, visando averiguar se a equação de movimeno do modelo proposo gera um esado esacionário. Observaremos, o movimeno dos rês ermos da equação: o primeiro, sf ( k ), o segundo, nk, e o erceiro, h 1 1 r= h ( r) ( + ) sf ( k r ) 1 n. O primeiro ermo represena o invesimeno por rabalhador, sendo sua curva por nós denominada de curva do invesimeno por rabalhador. Já, o segundo e o erceiro ermo represenam a necessidade de reposição de capial, ou seja, o invesimeno requerido para repor o desgase do capial e o crescimeno da população, sendo a curva resulane do agrupameno deses dois ermos denominada de curva do desgase efeivo. Preliminarmene, cabe mencionar que da equação 1. 2, irando o logarimo e derivando em função do empo, a axa de crescimeno do produo por rabalhador é: y & y k& = α, k sendo função somene do capial por rabalhador. Tendo em visa o reorno marginal decrescene do capial e a condição de Inada, lim f = 0 16, podemos noar que a variação do produo por rabalhador, assim como do invesimeno por rabalhador (fração do produo por rabalhador), ende a zero quando k vai para o infinio. Logo, se a variação ende a zero, os invesimenos por rabalhador se igualam no limie e a diferença enre o 1 invesimeno em, sf k ), e a média de invesimenos aneriores, h sf ( ), ende a ( desaparecer 17. Porano, analisando separadamene o primeiro e o erceiro ermo, noamos que ao ransformarmos a média simples em ponderada, fazemos com que a diferença enre as duas k k 1 r= h k r 15 Define-se esado esacionário como a siuação onde as variáveis quaniaivas crescem à axa consane. 16 Ou seja, no limie, um acréscimo em k não alera y, pois = 0 e a economia só invese o necessário para repor o crescimeno populacional, o qual é consane por hipóese. 17 Se x é consane, logo sua média é igual a x. f k

28 15 curvas enda a um valor consane posiivo. Ambas as curvas, quando represenadas em relação à k, são crescenes, a axas decrescenes. A seguir, incorporamos o segundo ermo na análise, agrupando-o ao erceiro ermo, endo em visa que os dois ermos auam no mesmo senindo, resringindo o crescimeno do capial. Com iso, acrescenamos à curva do desgase efeivo a rea nk, provocando um deslocameno desa para cima, bem como seu inercepo, em algum k, com a curva do invesimeno por rabalhador. Cabe desacar ambém que a curva do desgase efeivo, que inha o comporameno crescene a axas decrescenes, passa a er o comporameno das axas decrescenes abrandado, já que à medida que k cresce, o crescimeno consane de nk passa a dominar o crescimeno decrescene da média dos invesimenos. No limie, quando o crescimeno da média do invesimeno é nulo, a curva passa a crescer a axa consane, n, e se ransforma em uma rea. Ficamos, enão, com duas curvas, a do invesimeno por rabalhador e a do desgase efeivo, sendo que esa úlima, dado o comporameno crescene de nk, cruza a primeira em algum k, deerminando o capial por rabalhador de equilíbrio, k*. Como no modelo original de Solow, para valores menores que k * emos variação posiiva do capial por rabalhador e, a parir dese pono, negaiva. Logo, obemos um esado esacionário esável 18, onde o crescimeno do capial ocorre para fazer frene ao crescimeno da população. Quano ao erceiro ermo, represenando o desgase do capial, cabe observar ainda que, como o invesimeno é crescene a axas decrescenes, anes de se aingir o esado esacionário, a cada ano a variação posiiva do invesimeno é menor, diminuindo o valor de capial adicional novo acrescenado e aumenando a idade média do capial exisene na economia. Porano, parindo de um k menor que o de equilíbrio, a depreciação aumena e ainge, assim como a idade média dos bens, valor máximo no esado esacionário. Como exemplo, do comporameno exposo acima e de choques nos parâmeros (analisados na próxima seção), realizamos simulação numérica onde consideramos crescimeno da população, n, de 1%, paricipação do capial, α, de 0,3, axa de invesimeno de 18% e empo de depreciação, h, de 40 anos. Cabe esclarecer que os valores do invesimeno para anos aneriores ao ano zero necessários para calcular a depreciação do 18 O pono, em que o capial é igual a zero, é um equilíbrio insável; nele o sisema não em início, uma vez que, nese modelo, sem capial não se em produo.

29 16 capial, foram obidos mediane ajuses ieraivos 19 em relação aos anos poseriores. O Gráfico 1. 4 e os seguines, represenam os resulados desa simulação. 22% 20% 18% 16% 14% 12% 10% k* invesimeno bruo desgase efeivo Gráfico 1. 4 Invesimeno por Trabalhador e Desgase Efeivo A curva do invesimeno por rabalhador inercepa a curva do desgase efeivo do capial, deerminando o nível de k no esado esacionário. É imporane salienar que, na simulação, as curvas chegam apenas a se angenciar 20 pois, como parimos de um capial menor que o de equilíbrio, o crescimeno do capial orna-se zero em k*, permanecendo a economia sempre com ese mesmo capial por rabalhador, a não ser que um choque provoque um deslocameno. Lembramos que o esado esacionário do modelo original de Solow-Swan é dado pela inercessão da curva sf( k ) com a rea ( n + δ )k. O caminho para se chegar ao equilíbrio nos dois modelos difere, endo em visa que, em vez da rea do modelo original, em-se agora a curva do desgase efeivo do capial. Esa diferença reflee a inserção, com a axa de depreciação do capial variando segundo o hisórico dos invesimenos, de uma dinâmica a mais no modelo, que deerminará, como veremos a seguir, rajeórias diferenes para o equilíbrio dados choques nos parâmeros. 19 Suposos valores iniciais do produo e da população calcula-se o esoque de capial inicial e as variáveis fuuras, inclusive os invesimenos fuuros, de acordo com razão capial/produo de 2.35 e com a função de produção inensiva (equação 1. 2) e a dinâmica do capial (equação 1. 9). Depois, ajusa-se uma endência aos invesimenos fuuros e obêm-se, por meio da curva ajusada, os invesimenos passados. De posse dos invesimenos aneriores, calcula-se, novamene, os invesimenos poseriores ao ano inicial, ajusa-se oura curva, corrige-se o valor dos invesimenos aneriores, e assim sucessivamene, aé que a série dos invesimenos aneriores e poseriores enha comporameno suave, sem quebra. 20 Diferenemene dos livros exos onde elas se cruzam e, ambém, represenam o esado no qual a variação do capial por rabalhador é negaiva.

30 17 De forma a represenar algebricamene o esado esacionário, igualamos na equação 1. 9, obendo: k + 1 k = 0 1 * * 1 ( r) sf ( k ) = nk + h sf ( kr )( 1+ n). r= h Subsiuindo f(k) na equação acima, pela expressão dada na equação 1. 2, emos: sak * α nk * = h 1 1 r= h sak α r ( 1+ n) ( r) Como, no esado esacionário, os invesimenos são iguais,,, para qualquer r, o segundo ermo da equação acima orna-se uma progressão geomérica finia e o capial de equilíbrio é dado por: k 1. 9 por k : ( h+ 1) 1 1 { san [ 1+ ( hn) (1 + n) ( hn) (1 + n) ]} α * = 1 Como h e n são consanes posiivas, * k será posiivo.. * α sak = α sak r Para rabalhar com a axa de crescimeno do capial, dividimos ambos os ermos de k + 1 k k = sf ( k ) k ( 1+ n) n+ h k sf ( k )( 1+ n) r= h onde o primeiro ermo, na direia da equação acima, r sf ( 1 k) k ( r) hipérbole a qual denominaremos de paricipação do invesimeno no capial., 1. 11, é represenado por uma Quano ao segundo ermo à direia, ese gera uma curva que denominaremos de axa de desgase efeivo. Na simulação, represenada no Gráfico 1. 5, observamos que a economia ainge o capial de equilíbrio na porção crescene da curva da axa de desgase efeivo, quando o esoque de capial alcança, a parir de um k inicial menor que o de equilíbrio, sua maior idade média.

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