MATEMATICA Vestibular UFU 2ª Fase 17 de Janeiro de 2011

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1 Vesibular UFU ª Fase 17 de Janeiro de 011 PRIMEIRA QUESTÃO A realidade mosra que as favelas já fazem pare do cenário urbano de muias cidades brasileiras. Suponha que se deseja realizar uma esimaiva quano à área ocupada pela favela da figura abaixo. Para isso, considera-se um sisema de coordenadas caresianas x0y e, a parir dele, é consruída uma espécie de rede formada por quadrados se ajusando e mapeando oda a área ocupada pela favela. Dessa forma, a esimaiva desejada pode ser obida somandose as áreas dos quadrados presene na rede. Sabendo que no quadrado ABCD, represenado na figura acima, há os vérices A=(0,) e B=(40,0): A) Esplicie e execue um plano de resolução que conduza à obenção da área do quadrado ABCD. B) Esabeleça e descreva relações maemáicas capazes de ober as coordenadas caresianas do pono C. Deermine esas coodenadas. A) Do Δ OAD reângulo em O obemos o lado do quadrado e por Piágoras emos: AD = OA + OD AD = () + (40) AD = + AD 500 = Como a área do Δ é (lado) emos: A= AD = 500m

2 Vesibular UFU ª Fase 17 de Janeiro de 011 B) Os Δ s AOD e DEC são congruenes. Enão : Logo, as coordenadas de C são: xc = OD + DE = 70m yc = OD = 40m C (70,40) OA DE OD CE SEGUNDA QUESTÃO Na elaboração de políicas públicas que esejam em conformidade com a legislação urbanísica de uso e ocupação do solo em regiões meropolianas, é fundamenal o conhecimeno de leis descriivas do crescimeno populacional urbano. Suponha que a lei dada pela função p() = 0,5.( k ) expresse um modelo represenaivo da população de uma cidade (em milhões de habianes) ao longo do empo (em anos), conados a parir de 1970, iso é, +0 corresponde ao ano de 1970, sendo k uma consane real. Sabendo que a população dessa cidade em 000 era de 1 milhão de habianes: A) Exraia do exo dado uma relação de forma a ober o valor de k. B) Segundo o modelo de evolução populacional dado, descreva e execue um plano de resolução que possibilie esimar em qual ano a população desa cidade aingirá 16 milhões de habianes. A) = = k P () = 0,5 k () 1= 0,5 1 k = 0,5 1 k = k = 1 1 k =

3 Vesibular UFU ª Fase 17 de Janeiro de 011 B) P()=0,5 16 = 0,5 4 = 0,5 5 = 5 = = 5 = 150anos Logo = 10 TERCEIRA QUESTÃO A prefeiura de uma cidade, preocupada com o meio ambiene e com o problema da fala de espaço físico adequado desinado a depósios de lixo, criou uma cooperaiva de reciclagem em parceria com os moradores de baixa renda. A Tabela 1 fornece os preços de venda (em reais) de cada kg de papel, vidro e plásico referene à primeira semana dos meses de seembro de 009 e seembro de 010; a Tabela expressa a quanidade oal (em kg) vendida desses rês maeriais na primeira semana dos meses mencionados acima e o rendimeno (em reais) referenes à venda dos maeriais reciclados, obidos nas referidas semanas. Sabe-se que, na primeira semana de seembro de 010, foram vendidos 50% a mais de papel do que o vendido na primeira semana de 009 e iguais quanidades, que aquelas comercializadas na primeira semana de 009, de vidro e plásico. Inerpree e analise o exo dado, descrevendo expressões maemáicas que conduzem ao valor de R. Deermine-o.

4 Vesibular UFU ª Fase 17 de Janeiro de 011 1ª Sem / 09 1ª Sem / 10 Sejam : x é a quanidade, em kg, de papel x 3 x + = x ( kg de papel) y é a quanidade, em kg, devidro z é a quanidade, em kg, de plásico 3 x+ y+ z = 9000 x+ y+ z = ,3x+ 0, y+ 0,5z = x 0, 4 + 0,3y+ z = R 3 x+ y+ z = x+ y+ z = x+ y+ 5z = x+ 3y+ 10z = 10R em 4 1 x = (000) = 10R x = 000kg R = 480 em 1 emos y + z = 6000 em emos y + 5z = z = 6000 y z = z = 600kg y+ 5(6000 y) = = 3y 3y = 1000 y = 3400 kg

5 Vesibular UFU ª Fase 17 de Janeiro de 011 QUARTA QUESTÃO Ao assisir a uma reporagem na TV sobre o impaco do crescimeno demográfico nos recursos hídricos, o Sr. José decidiu adoar medidas que auxiliam na preservação de recursos naurais. Ele consruiu um reservaório para capação de água da chuva e ambém insalou um aquecedor solar em sua residência. O sisema de aquecimeno solar é composo de coleores solares (placas) e um reservaório érmico chamado boiler, o qual em o formao de um cilindro circular reo, como mosra figura abaixo. Por sua vez, foi escolhido e consruído um reservaório para a capação de água da chuva na forma de um prisma reo cuja base é um quadrado. Sabe-se que: 1. - o lado da base do prisma (que corresponde ao reservaório) mede meros e o raio da base do cilindro ( que corresponde boiler) mede ½ mero;. - a área laeral do prisma (reservaório) é igual ao dobro da área laeral do cilindro (boiler). A parir das considerações acima, redija um exo que relacione o volume do reservaório e o volume do boiler. Uilizando-o esabeleça o valor da razão ( volume do reservaório) / (volume do boiler).

6 Vesibular UFU ª Fase 17 de Janeiro de 011 Prisma (reservaório) Cilindro (Boiler) A L do prisma =.A L do cilindro 1 4..h =.. π.h 8h = π H H 4h = π V reservaório =..h = 4h 1 1 4h V boiler = π. H = π.. = 4 π h V reservaório = 4. V boiler V V reservaório boiler = 4