Uso da Simulação de Monte Carlo e da Curva de Gatilho na Avaliação de Opções de Venda Americanas

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1 J.G. Casro e al. / Invesigação Operacional, 27 (2007) Uso da imulação de Mone Carlo e da Curva de Gailho na Avaliação de Opções de Venda Americanas Javier Guiérrez Casro Tara K. Nanda Baidya Fernando A. Lucena Aiube Deparameno de Engenharia Indusrial (DEI) Ponifícia Universidade Caólica do Rio de Janeiro (PUC-Rio) Rua Marquês de ão Vicene 225, C.E.P Gávea, Rio de Janeiro, Brasil. Absrac In 1973 Black and choles [2] published heir aricle on he valuaion of European opion. ince hen, here have been many works exending his work in many direcions. One such direcion is he valuaion of American opions. On he maer, no exac analyical formula has been developed ye. In sead, numerical mehods have been used in heir valuaions. Mone Carlo simulaion has been he mehod which has become more and more popular among researchers in his field. The hreshold curve mehod, used by Gran, Vora and Weeks [7] o value American opions, is calculaed hrough Mone Carlo simulaion. This is he radiional mehod used in finance. We propose o modify he mehodology of Ibáñez and Zapaero [9], which also uses he hreshold curve, o obain a more efficien and more accurae mehod han ha of Gran, Vora and Weeks [7]. In his work, he described procedures and numerical ess are focused in American Pu Opions. Resumo Em 1973 Black e holes [2] publicaram um seminal arigo no qual, pela primeira vez, se avaliava analiicamene uma opção do ipo européia. Desde enão, em surgido uma grande quanidade de rabalhos esendendo esse arigo para diversas áreas e aplicações. O apreçameno de opções americanas é uma das verenes. obre isso, não exise aé o momeno uma fórmula analíica que permia calcular de maneira exaa o preço de uma opção americana. Porano, méodos numéricos vêm sendo uilizados nesa arefa. Enre eles, o méodo da simulação de Mone Carlo em se ornado o de maior popularidade enre os pesquisadores dessa área. A curva de gailho, méodo uilizado por Gran, Vora e Weeks [7] para avaliar opções americanas, é calculada aravés da simulação de Mone Carlo. Ese é o méodo radicional uilizado em Finanças. Nossa proposa consise em modificar a meodologia desenvolvida por Ibáñez e Zapaero [9], que ambém calcula a curva de gailho, para ober um méodo mais eficiene e mais preciso do que o apresenado por Gran, Vora e Weeks [7]. Nese rabalho, os procedimenos descrios e os eses numéricos realizados, foram orienados para opções de venda americanas. Keywords: American Pu Opions, Mone Carlo imulaion, Threshold Curve. Tile: Uilizaion of Mone Carlo imulaion and Threshold Curve o Value American Pu Opions Associação Poruguesa de Invesigação Operacional

2 68 J.G. Casro e al. / Invesigação Operacional, 27 (2007) Inrodução Em 1973 Black e choles [2] apresenaram um arigo seminal em que foi apreçada analiicamene uma opção financeira do ipo européia. Aé enão, ese era um grande desafio para os pesquisadores nessa área. Mas, no caso de opções americanas, não exise nenhum procedimeno analíico que permie avaliá-las com exaidão. Inicialmene a lieraura propôs méodos que aproximam analiicamene o valor da opção americana, como é o caso de Barone-Adesi e Whaley [1]. Por ouro lado, o méodo binomial, uilizado por Cox, Ross e Rubinsein [5] para avaliar opções européias, resula ambém úil no apreçameno de opções americanas Mas odos esses procedimenos êm a desvanagem de ficarem resringidos a uma série de condições, ais como er no máximo uma variável esocásica e o aivo subjacene ser modelado por um processo esocásico de Movimeno Geomérico Browniano. Esas resrições inviabilizam sua aplicação em problemas complexos. Em relação à écnica de simulação de Mone Carlo, exise um hisórico relaivamene recene no que diz respeio à sua uilização no apreçameno de opções americanas. As primeiras abordagens proposas foram realizadas por Boyle e al. [3] e Broadie e Glasserman [4], ornando-se referências para os rabalhos que poseriormene desenvolveram-se nessa área de pesquisa. Esas meodologias enam aproximar o preço da opção usando os conceios da programação dinâmica, iso é, uilizando procedimenos recursivos de cálculo (de rás para frene) a parir de simulações dos valores do aivo subjacene ao longo do empo. Nese conexo, um méodo que em ido uma ampla difusão devido a sua facilidade de aplicação é o desenvolvido por Gran, Vora e Weeks [7]. Ese méodo em a paricularidade de calcular previamene a curva de gailho (hreshold curve) ou curva de preços críicos de exercício, sendo uma das primeiras meodologias que inroduziram ese conceio no apreçameno de opções americanas por simulação. A deerminação dos insanes óimos de exercício da opção (ou preços críicos de exercício), ao longo de odo o período de mauração, define o que na lieraura se conhece como curva de gailho. A curva de gailho é um conceio basane úil, sobreudo quando são analisadas opções reais. O raameno de opções reais é análogo ao de opções financeiras, em que o aivo subjacene passa a ser um aivo real, por exemplo, o valor de um projeo. Assim, é possível por meio desa curva idenificar o período adequado para realizar um invesimeno de valor K (preço de exercício). Ese invesimeno ocorrerá quando o valor do projeo ainja um nível igual ou superior àquele definido na curva. Caso exisa a possibilidade de abandonar o projeo (obendo um valor de recuperação K), a opção de abandono deverá ser exercida assim que o valor do projeo seja igual ou inferior àquele definido na curva. Eses são alguns exemplos da uilidade práica da curva de gailho. As opções financeiras ou reais do ipo americana podem ser exercidas ao longo do inervalo de empo que vai de 0 = 0, aé N =T (empo de mauridade). O prazo aé a mauridade ou vencimeno é dividido em N inervalos, sendo que a opção pode ser exercida em qualquer um desses inervalos. Ao uilizar a simulação de Mone Carlo, a modelagem da opção americana assemelha-se a uma opção bermuda, a qual se caraceriza por er mais de uma daa de exercício aé o vencimeno. Quano mais inervalos discreos forem considerados no inervalo [ 0 ;T], melhor será o modelo que descreve o comporameno real de uma opção americana (que se exerce em empo conínuo e não discreo). Uma meodologia alernaiva é a desenvolvida por Ibáñez e Zapaero [9]. Como feio por Gran, Vora e Weeks [7], eles ambém deerminam primeiramene a curva de gailho.

3 J.G. Casro e al. / Invesigação Operacional, 27 (2007) A novidade que razem os auores é uma maneira diferene de calcular os preços críicos de exercício, o que se mosra muio eficiene. Nese arigo é analisado com especial ênfase o algorimo de Ibáñez e Zapaero [9]. Por ouro lado, foram feias modificações nesse algorimo que aprimoram a consrução da curva de gailho. Iso permiiu melhorar a precisão dos resulados usando os eses originais proposos pelos auores. O enfoque dado no rabalho esá na avaliação de opções de venda americanas considerando que o aivo subjacene é a única variável esocásica. ão comparadas rês meodologias: o algorimo de Gran, Vora e Weeks [7], Ibáñez e Zapaero [9] e Ibáñez e Zapaero modificado (aqui proposo). O arigo esá assim organizado: a seção 2 descreve o algorimo desenvolvido por Gran, Vora e Weeks [7] aplicando-o a uma série de eses numéricos; a seção 3 apresena o algorimo de Ibáñez e Zapaero [9]; a seção 4 aplica o algorimo descrio na seção 3 aos mesmos eses numéricos da seção 1, dealhando as modificações que serão realizadas na implemenação do algorimo; a seção 5 compara os resulados obidos com as diferenes meodologias; e a seção 6 apresena as conclusões e considerações finais. 2 O Méodo de Gran, Vora e Weeks 2.1 Definição de Curva de Gailho O algorimo de Gran, Vora e Weeks [7] deermina primeiramene a curva de gailho ou froneira de exercício óima. Esa é formada pelo conjuno de ponos nos quais o valor de maner viva a opção (esperar) é igual ao valor inrínseco (exercer), onde é o valor do aivo subjacene, que é uma variável esocásica, e o sobrescrio indica que é o preço críico de exercício no insane. Denoe-se por P (,K) o preço da opção de venda, e I(,K) = K- é o valor inrínseco ou valor da opção de venda quando é exercida, sendo K o preço de exercício. Porano, na curva de gailho se dá que P (, K) I(, K). Dado um insane inicial 0, e um insane T (mauridade da opção ou prazo máximo de exercício), pode-se subdividir o horizone de empo T- 0 em N inervalos, com daas de exercício discreas em { 1, 2,..., N =T}. Em algum insane de empo n, assume-se que o exercício da opção é óimo se n n eja r a axa livre de risco de curo prazo, e Q a medida de probabilidade maringale. Logo, em alguma daa n (n {N-1, N-2,...,1}), o preço da opção é calculado por: r d Q n s s P (, K) E [e I(, K)] n n n (1) Onde { n+1, n+2,...,t} é o chamado empo óimo de parada, definido como o n i n i primeiro n+i no qual ; nouro caso =. Em ouras palavras, é o primeiro insane em que o preço do aivo fica abaixo da curva de gailho. Assumindo que segue um Movimeno Geomérico Browniano (MGB), sob a medida maringale, escreve-se: d / = d + dz, onde = r-q é o drif ou endência neura ao risco, q é a axa de dividendos, é a volailidade do preço do aivo, e, dz = (d) 1/2 é o incremeno do processo padrão de Wiener com ~ NID(0,1). Dado que n é uma variável esocásica a ser gerada por simulação de Mone Carlo, é conveniene uilizar um MGB discreizado, da seguine forma:

4 70 J.G. Casro e al. / Invesigação Operacional, 27 (2007) n + = n exp [( 2 /2) + () 1/2 n + ] (2) Onde é o inervalo de empo enre n e n+1. Desa maneira, é possível discreizar a equação (1) sob a mesma medida de probabilidade, resulando na seguine equação: A 1 ( n P (, K) e )r a (K ) n n a M a1 (3) Onde A é o número oal de caminhos Brownianos, denre os M simulados a parir de um insane de empo n, nos quais num insane de empo (o primeiro) n+i em-se n i n i (podem exisir caminhos que em nenhum n+i aconeça al siuação). Por conseqüência exisem A períodos, idenificados por um deerminado a em que a mencionada resrição é saisfeia. a (a=1,...,a) correspondenes a 2.2 Descrição do algorimo de Gran, Vora e Weeks O méodo de Gran, Vora e Weeks [7] foi um dos primeiros em uilizar o conceio de curva de gailho, e serviu de base para o algorimo de Ibáñez e Zapaero [9], que será abordado poseriormene. Nascimeno [10] apresena de forma basane ampla esa meodologia, inclusive com diversas experimenações numéricas. Para calcular os preços críicos de exercício, o algorimo uiliza a condição de valor óimo (value maching condiion). A condição é ilusrada a seguir para uma opção de venda americana P sobre um aivo base e com preço de exercício K: P (, K) K - (4) Onde represena o preço críico de exercício do aivo base no insane. Na mauridade da opção, o valor críico é dado pelo preço de exercício K: P ( T, K) = máx(k- T,0 ) T =K (5) No insane de empo =T, o preço críico de exercício é igual ao preço de exercício da opção, represenado pela lera K. Por definição, o preço da opção de compra é a diferença enre o preço do aivo e o preço de exercício K (ou seja -K). Para a opção de venda emos K-. e no empo =T (úlimo período para decidir o exercício) é igual a K, o valor da opção seria zero, porano, exercer ou não a opção forneceria o mesmo resulado (zero para essa daa). Assim, o preço críico de exercício é igual a K. Na equação (5), T é a daa de vencimeno da opção. Já para um insane qualquer anes do vencimeno, a decisão óima depende do conhecimeno prévio do preço críico imediaamene poserior no fuuro, T, como pode ser viso a seguir: P (, K) = máx(k-, e-r E [ P + (, K) ] ) (6)

5 J.G. Casro e al. / Invesigação Operacional, 27 (2007) Onde o úlimo ermo à direia consiui o valor de coninuação, ou o valor de maner a opção viva. E é o valor esperado condicional à informação disponível no insane e é o amanho de uma discreização do empo. A dificuldade surge quando são calculados os preços críicos que dependem de preços fuuros. Como a informação fuura é desconhecida no insane aual, uiliza-se a simulação de Mone Carlo como auxílio no cálculo deses valores. Para ilusrar o processo de cálculo do preço críico de exercício, supõe-se que o valor a ser deerminado é T-, ou seja, o preço críico de exercício do insane imediaamene anerior ao vencimeno da opção. Primeiramene, adoa-se como condição inicial A parir de T-, simula-se valores para T e P T. Obém-se enão o valor de P T, uilizandose a média das simulações execuadas. A seguir, verifica-se se valor óimo dada pela equação (6), o que significaria escrever: T- T-= T. saisfaz a condição de K- = e-r E T- [P T (, K) ] (7) T- T Caso a condição acima não seja saisfeia, incremena-se T- de um valor - (um valor pequeno) e simula-se novamene valores para T e P T, repeindo-se o procedimeno aé que o valor críico T- seja enconrado. A curva de gailho é obida repeindo-se o procedimeno acima, recursivamene, aé o insane inicial. 2.3 Resumo do Algorimo de Gran, Vora e Weeks O algorimo Gran, Vora e Weeks [7], para o cálculo do preço de uma opção de venda americana, pode ser resumido nos seguines passos: 1. Discreiza-se a vida úil da opção em N=T/ pares, onde é o amanho de cada inervalo, e adoa-se a condição erminal T T =K. 2. No insane T-, adoa-se como aproximação de T- um valor igual ou próximo de. Em seguida, uiliza-se a simulação de Mone Carlo para se ober diferenes valores de T e, conseqüenemene, de P T. O valor de P T é calculado aravés da média das simulações execuadas. 3. Verifica-se se a condição de valor óimo, expressa pela equação (7), é saisfeia. Caso afirmaivo, inicia-se o próximo passo. Caso conrário, incremena-se T- de um valor - e repee-se o passo anerior. 4. Repee-se o segundo e o erceiro passos para os insanes aneriores, aé chegar a 0. Para calcular o preço da opção de venda devem-se simular caminhos em odos os insanes poseriores ao momeno avaliado, e aplicando a equação (3), obém-se esse valor. 5. Uma vez obida a curva de gailho, o preço da opção de venda é obido aravés da aplicação da equação (3), a parir de simulações do preço do aivo subjacene. Dealhando passo a passo, faz-se: (i) imular uma grande quanidade de caminhos (M) a parir do valor inicial do aivo subjacene 0 = 0. As simulações são feias em inervalos de empos discreos { 1, 2,..., N =T}.

6 72 J.G. Casro e al. / Invesigação Operacional, 27 (2007) (ii) Para cada caminho simulado, no primeiro insane de empo n (n = 1,2,...,N) em que o valor do aivo n seja menor ou igual ao pono críico da curva de gailho () n, será exercida a opção, sendo o preço da opção de venda em n o valor inrínseco: K- n. A seguir, descona-se ese preço com a axa livre de risco: P m = e -(n-0)r.(k- n ), onde P m (m {1,2,...,M}) represena o preço da opção de venda em 0 para um caminho simulado denre as M realizações. É provável que exisam caminhos nos quais, em odo momeno, os preços fiquem acima da curva de gailho; para eses casos P m = 0, nauralmene. (iii) O preço da opção de venda será a média ariméica de odos os P m s: P 0 (, K) 1/M 0 M m1 P m A Figura 1 apresena um exemplo ilusraivo que calcula o preço de uma opção de venda com rês caminhos simulados a parir de um preço inicial do aivo 0 = 35, em um horizone de empo dividido em seis períodos. (8) Caminho 1: Não se exerce a opção. P 1 =0 K=50 Curva de Gailho Caminho 1 Caminho 2 40 Caminho Caminho 2: Exercer opção em 5. P 2 = e -5r (50-32) 10 Caminho 3: Exercer opção em 4. P 3 = e -4r (50-20) T= 6 empo Figura 1: Exemplo de Cálculo do Preço da Opção de Venda. Faz-se a média ariméica dos rês -5r -4r Pm s. P ( 35, K 50) 0 e (50-32) e (50-20) / Teses Numéricos com o algorimo de Gran, Vora e Weeks Para esar a meodologia de Gran, Vora e Weeks [7] consideraram-se eses numéricos com os mesmos parâmeros dos realizados por Huang, ubrahmanyam e Yu [6], que uilizaram o méodo binomial, e cujos resulados são usados como benchmark. Dado que esse algorimo não especifica claramene o valor que os incremenos - devem er, esipulou-se um valor muio pequeno igual a 0,01 (na seção 3 será viso ese valor se fez igual ao erro uilizado no passo 5 do algorimo de Ibáñez e Zapaero [9], só para uniformizar o erro de convergência). Foram empregadas simulações para o cálculo da curva de gailho a cada enaiva de enconrar os preços críicos de exercício e ouras para o preço do aivo subjacene que permie calcular o preço da opção de

7 J.G. Casro e al. / Invesigação Operacional, 27 (2007) venda endo já racejada a curva de gailho. Repee-se esa úlima eapa 50 vezes, com o fim de ober um preço médio da opção e um desvio padrão. Na Tabela 1 exibem-se os resulados. A seguir são apresenadas as explicações referenes à Tabela 1: O número de daas de exercício refere-se à quanidade de inervalos discreos em que o espaço de empo compreendido enre 0 =0 e N = T foi subdividido. Foram consideradas 5 e 25 daas de exercício para efeios de comparar com os resulados obidos por Ibáñez e Zapaero [9], os quais fizeram os eses somene com essas daas. Para exemplificar, o primeiro ese numérico em como parâmeros K=35, =20% ao ano, T=1 mês (0,0833 anos). O preço médio da opção de venda calculado pelo algorimo de Gran, Vora e Weeks modificado (com 5 daas de exercício) resulou no mesmo valor do benchmark, com um desvio padrão de 0,0002. A coluna % diferença mede a porcenagem, em valor absoluo, em que o preço da opção de venda calculado por meio das simulações se disancia do valor verdadeiro. ua fórmula é: Preço Opção de Venda Opção de Venda Verdadeira /(Opção de Venda Verdadeira). Tabela 1: Resulados do Preço da Opção de Venda aplicando o algorimo Gran, Vora e Weeks (0 = 40; r = 0,0488; q = 0) K T (anos) Opção de Venda Verdadeira 5 daas de exercício 25 daas de exercício Preço Desvio % Desvio Opção de Padrão diferença Padrão Venda Preço Opção de Venda % diferença 35 0,2 0,0833 0,0062 0,0062 0,0002 0,00% 0,0061 0,0002 1,61% 35 0,2 0,5833 0,4328 0,4270 0,0031 1,34% 0,4300 0,0032 0,65% 40 0,2 0,0833 0,8522 0,8485 0,0024 0,43% 0,8499 0,0022 0,27% 40 0,2 0,5833 1,9904 1,9643 0,0056 1,31% 1,9841 0,0040 0,32% 45 0,2 0,0833 5,0000 4,9654 0,0009 0,69% 4,9927 0,0001 0,15% 45 0,2 0,5833 5,2670 5,2077 0,0066 1,13% 5,2559 0,0063 0,21% 35 0,4 0,0833 0,2466 0,2463 0,0026 0,12% 0,2457 0,0026 0,36% 35 0,4 0,5833 2,1549 2,1382 0,0084 0,77% 2,1496 0,0091 0,25% 40 0,4 0,0833 1,7681 1,7645 0,0049 0,20% 1,7651 0,0038 0,17% 40 0,4 0,5833 4,3526 4,3240 0,0066 0,66% 4,3457 0,0086 0,16% 45 0,4 0,0833 5,2868 5,2781 0,0055 0,16% 5,2781 0,0055 0,16% 45 0,4 0,5833 7,3830 7,3415 0,0089 0,56% 7,3733 0,0079 0,13% MAPE 0,6156% MAPE 0,3698% RME 2,6379% RME 0,6355% Os preços verdadeiros da opção de venda americana em cada ese numérico (12 em oal) são os obidos por Huang, ubrahmanyam e Yu [8] usando um modelo binomial com passos. Eses resulados servem como benchmark para o cálculo das medidas de erro: MAPE e RME. O MAPE é uma medida esaísica do erro para um conjuno de eses. No oal foram realizados 12 eses numéricos (um em cada linha da Tabela 1). Em cada ese a % de diferença varia. Porano, uma maneira de consolidar uma medida de erro para um conjuno de eses realizados sob ceros parâmeros comuns e um deerminado número de daas de exercício, é por meio desa medida. Numericamene, o MAPE é a média ariméica da coluna % diferença (explicada no parágrafo anerior). O RME é oura medida esaísica do erro de um conjuno de eses, que para o caso de 12 eses sua fórmula seria: 2 RME (Preço Pu Pu Verdadeira ) 12. Em ouras palavras, é a raiz quadrada do erro médio quadráico. 12 i1 i i

8 74 J.G. Casro e al. / Invesigação Operacional, 27 (2007) Chame-se de experimeno ao conjuno de eses numéricos realizados sob uma cera quanidade de daas de exercício. Por exemplo, a Tabela 1 exibe dois experimenos, os quais agrupam 12 diferenes eses numéricos. Em cada experimeno o conjuno de eses numéricos são os mesmos, só varia o valor do parâmero número de daas de exercício. Quano menor for a porcenagem nesas medidas de erro, melhor será a aproximação para os valores de referência ou benchmarks. Nos experimenos apresenados na Tabela 1 noa-se que um maior número de daas de exercício (esa é a variável que muda de um experimeno para ouro) faz que os valores do MAPE e do RME sejam reduzidos. 3 O algorimo de Ibáñez e Zapaero A seguir será descria a meodologia de Ibáñez e Zapaero [9] para o cálculo do preço de opções americanas via imulação de Mone Carlo, e que ambém uiliza o conceio de curva de gailho. 3.1 Deerminar a froneira de exercício óima um período anes da mauridade Dado que o preço críico de exercício no insane de empo N =T ( N ) é igual a K (como explicado na seção 2.2), o rabalho enão, concenra-se em calcular recursivamene os ouros ponos da curva de gailho. Inicia-se enão pelo preço críico de exercício no período. (1) Passo 1: Deseja-se achar o pono. Começa-se com um pono inicial escolhido arbirariamene. Normalmene oma-se ese valor igual ao preço de exercício K. Passo 2: Depois, calcula-se o preço da opção: P ( (1), K) em N-1, aplicando para isso a simulação de Mone Carlo conforme a equação (3). Por ouro lado, e só no insane, seria ambém possível empregar a conhecida fórmula de Black e choles [2], viso que (1) enre e N exise um só período. Assim, omando como valor inicial do aivo e o preço de exercício K em N, calcula-se o preço da opção de venda com a exaidão que fornece esa fórmula, sem ser necessário (nese paricular caso) realizar as simulações. (2) Passo 3: Para enconrar um novo preço que se aproxime mais do, é necessário enconrar uma regra eficiene para ir de um pono de aproximação a ouro. Uma forma basane rápida para convergir ao preço críico de exercício é uilizar o méodo de aproximações sucessivas de Newon. A convexidade da função preço da opção garane a convergência aé o pono fixado. Assim: Para s = 1,2,3,..,, usa-se a aproximação: P (s1) (s (, K) P ( ).( - ) I( N- N- N- N- N- 1), K) (9) onde P ( P(, K) N-1 ). Reorganizando a equação (9) enconra-se o valor (s+1) N-1 : K - P (, K) P ( ) P ( ) (s1) 1 N-1 N- 1 (10)

9 J.G. Casro e al. / Invesigação Operacional, 27 (2007) Para resolver a equação (10) deve-se calcular anes dificuldade na aplicação do méodo de Newon. P ( ), que é a principal O cálculo analíico de P ( ) para uma opção de venda americana, a cada ieração s, não é possível (só em opções européias exise expressão analíica para P ( )). É um fao amplamene conhecido na lieraura de Finanças que à medida que n (n {N-1, N- 2,...,1})se aproxima mais do preço críico de exercício, a derivada se inclina mais endendo a -1. Por esa razão, Ibáñez e Zapaero [9] sugerem inicializar as ierações com (1) um valor P ( ) =-0.60, e gradaivamene realizar incremenos (negaivos) a cada ieração () aé um máximo de P ( ) = (2) (2) Passo 4: Achado calcula-se o preço da opção P (, K), aplicando a equação N -1 (3), ou a equação de Black e choles (lembrado que esa só serve no período (3) N- 1 n calcula-se uma nova aproximação usando a equação (10). que N-1). Após, () Passo 5: Repee-se o procedimeno s vezes aé convergir ao valor =, sendo (s-1), para algum número muio pequeno. A convergência para o pono fixado N- 1 se realiza de maneira monoônica, iso é, para (1) (2) () uma opção de venda em-se que: > >...>. As ierações finalizam quando se enconra (s-1) N-1 (s-1) N-1 N-1 ou quando exisa uma mudança no sinal da convergência:. Em qualquer dos dois casos esima-se o pono médio das duas úlimas () (s-1) () ierações: Ŝ ( )/2, sendo esa a esimaiva do valor de. () N Deerminar a froneira de exercício óima um período anes da mauridade eguidamene, repee-se o mesmo procedimeno para os ponos N-2,,..., 0 (de maneira recursiva). A cada pono, sugere-se reiniciar o algorimo omando como preço inicial do (1) () aivo (o pono fixado do período à frene, calculado previamene). n n1 Assim, no final enconra-se um conjuno de ponos () () () () () ={,,...,, }, que formam a froneira de exercício óima ou curva de gailho:. Uma maneira eficiene de achar a função é fazendo uma regressão quadráica ou cúbica do conjuno Fˆ n () com os empos { 0, 1,...,T}, embora resule ambém aceiável fazer uma simples inerpolação enre dois períodos discreos. A uilidade da curva de gailho esá no fao que, no primeiro insane de empo em que o valor do aivo subjacene fique abaixo desa curva, dever-se-á opar pelo exercício, sendo o preço da opção de venda em algum insane n o valor inrínseco: K- n. 0 () n 1 Fˆ n n N-1 N T

10 76 J.G. Casro e al. / Invesigação Operacional, 27 (2007) Deerminar a froneira de exercício óima um período anes da mauridade Uma vez raçada a curva de gailho, para calcular o preço da opção de venda, ao igual que em Gran, Vora e Weeks [7] (seção 2.3), aplica-se a equação (3) a parir de simulações do aivo subjacene. 4 O algorimo de Ibáñez e Zapaero modificado Nesa seção apresenamos uma proposa de aprimorameno do algorimo de Ibáñez e Zapaero [9]. Poseriormene realizamos os experimenos numéricos. 4.1 Aprimorameno no cálculo da curva de gailho A primeira melhoria que se pode efeuar no cálculo do pono é empregar a fórmula de Black e choles [2] para calcular o preço exao da opção de venda nos passos 2 e 4 do algorimo, dado que exise um único período aé a mauridade da opção. Ibáñez e Zapaero [9] ambém fazem esa sugesão. A novidade esaria no passo 3, onde deve ser esimado P ( ). Quando exise só um período aé a mauridade da opção, o valor da derivada do preço da opção com relação ao preço do aivo subjacene é calculado por uma expressão analíica fechada proveniene da fórmula de Black e choles [2] dada por: () N-1 onde: P ( d 1 q(t- N-1 ) ) e [N(d 1 ) 1] ln K N1 r q T N1 1 T N1 (11) N(.) = função disribuição normal padrão acumulada. q = axa de dividendos. r = axa de descono livre de risco. K = preço de exercício. = volailidade do preço do aivo subjacene. Porano, no passo 3 do algorimo, referene ao período é conveniene usar a expressão analíica exaa de P ( ). Iso permiirá uma melhor convergência para o () pono. Ibáñez e Zapaero [9] sugerem aplicar o algorimo em duas eapas para ober um melhor cálculo da curva de gailho nos períodos, N-2,..., 0. eguindo esa sugesão, no algorimo de Ibáñez e Zapaero modificado ambém se aplicam as duas eapas nos mesmos períodos com exceção do pono fixado no período, que já foi calculado empregando valores analíicos exaos do preço da opção de venda e da sua derivada. A seguir se explica cada eapa. (i) Primeira eapa Deerminar uma curva de gailho simulando uma quanidade não muio grande de caminhos Brownianos aleaórios, por exemplo, 5.000, a cada vez que se uilize a equação (3) nos passos 2 e 4. Para efeios de redução de variância, as simulações devem esar consiuídas por simulações mais seus respecivos valores aniéicos.

11 J.G. Casro e al. / Invesigação Operacional, 27 (2007) Variável aniéica é uma das principais e mais simples écnicas para reduzir variância. Consise em gerar uma variável esocásica negaivamene correlacionada à variável de esado do aivo objeo. Assim, cada rajeória deve ser associada a um par de seqüências, iso é, duas rajeórias negaivamene correlacionadas. Para maior informação sugere-se consular Froa [6]. Melhoria proposa: No passo 3 do algorimo, Ibáñez e Zapaero [9] não fornecem maiores dealhes de como fazer os acréscimos de P ( ) a cada ieração. Eles sugerem começar com um valor ieração aé um valor máximo de incremenos? P ( (1) n ) =-0.60, e depois fazer incremenos (negaivos) a cada P ( () ) = Mas, que valores devem er ais A curva de gailho a ser calculada nesa eapa é uma primeira enaiva de aproximar () () () () os preços críicos {,,...,, }, assim, observou-se aravés de diversos 0 1 N-3 N- 2 experimenos numéricos, que uma maneira rápida de achar a convergência é realizando acréscimos de -0,05 (-=-0,05) começando com um valor de P ( (1) ) = -0,60. De acordo com as experimenações realizadas, na erceira ou quara ieração já enconra-se o preço críico de exercício, com um erro =0,01 (erro de convergência descrio no passo 5 do algorimo, que é do mesmo valor considerado por Ibáñez e Zapaero [9] nos eses que realizaram). (ii) egunda eapa Os preços críicos de exercício achados na primeira eapa, servirão de pono de parida a cada n (n={0,1,...,n-2}) em um novo cálculo da curva de gailho. Assim, (1) n (1) n da eapa 2 é igual a () n da eapa 1. Eses ponos iniciais esão muio mais próximos do () verdadeiro valor, e conseqüenemene P ( ) se aproxima mais de -1. Porano, ao n aplicar novamene o algorimo espera-se ober uma melhor aproximação da curva de gailho. Para melhorar ainda mais a precisão, foram simulados caminhos Brownianos aleaórios ( mais seus respecivos valores aniéicos) a cada vez que se uilize a equação (3) nos passos 2 e 4. Melhoria proposa: Nesa eapa, Ibáñez e Zapaero [9] não falam como fazer os acréscimos em P ( ). Enão, viso que os ponos iniciais enconram-se muio próximos n dos preços críicos de exercício, diversos eses práicos efeuados indicam que, começando as ierações com um P ( (1) ) =-0,85 e fazendo poseriormene incremenos (-) n pequenos de -0,01, consegue-se uma boa aproximação. No máximo em 10 ierações enconrar-se-á o novo preço críico de exercício, considerando um erro =0,01. n n 4.2 Experimenos uilizando o algorimo de Ibáñez e Zapaero modificado Ibáñez e Zapaero [9] fizeram eses numéricos com os mesmos parâmeros dos realizados por Huang, ubrahmanyam e Yu [6], que uilizaram o méodo binomial, e cujos resulados são usados como benchmark. O algorimo de Ibáñez e Zapaero modificado ambém replica esses eses e logo ambas as meodologias são comparadas.

12 78 J.G. Casro e al. / Invesigação Operacional, 27 (2007) Na Tabela 2 são exibidos doze eses numéricos nos quais é calculado o preço da opção de venda americana. Os parâmeros comuns são os seguines: r = 0,0488 anual; q=0. Aplicam-se as duas eapas (como foram descrias) na deerminação da curva de gailho. Uma vez obida a curva, para calcular o preço da opção de venda simulam-se caminhos Brownianos ( com seus valores aniéicos) a parir do preço inicial do aivo 0 = 40. imulam-se eses caminhos 50 vezes (sob a mesma curva de gailho calculada previamene), e o preço da opção de venda provém da média ariméica do preço da opção obido a cada vez em que se realizaram as simulações de caminhos. K T (anos) Tabela 2: Resulados do algorimo de Ibáñez e Zapaero modificado (0 = 40; r = 0,0488; q = 0) Opção de Venda Verdadeira 5 daas de exercício 25 daas de exercício Preço Desvio % Desvio Opção de Padrão diferença Padrão Venda Preço Opção de Venda % diferença 35 0,2 0,0833 0,0062 0,0062 0,0003 0,00% 0,0062 0,0002 0,00% 35 0,2 0,5833 0,4328 0,4263 0,0035 1,50% 0,4315 0,0038 0,30% 40 0,2 0,0833 0,8522 0,8487 0,0023 0,41% 0,8512 0,0019 0,12% 40 0,2 0,5833 1,9904 1,9654 0,0046 1,26% 1,9851 0,0050 0,27% 45 0,2 0,0833 5,0000 4,9659 0,0011 0,68% 4,9927 0,0002 0,15% 45 0,2 0,5833 5,2670 5,2076 0,0053 1,13% 5,2562 0,0058 0,21% 35 0,4 0,0833 0,2466 0,2465 0,0027 0,04% 0,2467 0,0026 0,04% 35 0,4 0,5833 2,1549 2,1408 0,0075 0,65% 2,1528 0,0089 0,10% 40 0,4 0,0833 1,7681 1,7654 0,0040 0,15% 1,7676 0,0046 0,03% 40 0,4 0,5833 4,3526 4,3243 0,0093 0,65% 4,3477 0,0084 0,11% 45 0,4 0,0833 5,2868 5,2791 0,0054 0,15% 5,2853 0,0045 0,03% 45 0,4 0,5833 7,3830 7,3406 0,0090 0,57% 7,3748 0,0094 0,11% MAPE 0,5997% MAPE 0,1211% RME 2,6196% RME 0,4991% Os preços verdadeiros da opção de venda americana em cada ese numérico (12 em oal) são os obidos por Huang, ubrahmanyam e Yu [8] usando um modelo binomial com passos. Eses resulados servem como benchmark para o cálculo das medidas de erro: MAPE e RME. 4.3 Comparação dos resulados em Ibáñez e Zapaero (I&Z) e I&Z modificado Nesa seção se realiza uma comparação baseada nos resulados das medidas de erro enre os algorimos de Ibáñez e Zapaero [9] e Ibáñez e Zapaero modificado, sendo que em ambos os casos são considerados os eses numéricos da Tabela 2. Na Tabela 3, são exibidos ais resulados. Tabela 3: Medidas de erro: Ibáñez e Zapaero (I&Z) versus I & Z Modificado 5 daas de exercício 25 daas de exercício Algorimo uilizado MAPE RME MAPE RME Ibáñez e Zapaero (I & Z) 1,0818% 2,7295% 0,6151% 0,9567% I & Z Modificado 0,5997% 2,6196% 0,1211% 0,4991% Fone: Elaboração própria a parir dos resulados obidos por I&Z. Resulados provenienes da Tabela 2.

13 J.G. Casro e al. / Invesigação Operacional, 27 (2007) Observa-se na Tabela 3, que o algorimo I&Z modificado gera menores erros em ambas as daas de exercício. Desa maneira, verifica-se que as modificações realizadas no algorimo de Ibáñez e Zapaero [9] foram apropriadas. Esa melhora na precisão dos resulados é devido ao aprimorameno realizado na deerminação da curva de gailho. Na esimação do pono críico de exercício do penúlimo período, por exemplo, ao invés de simular caminhos enre uma ieração e oura aé aingir o preço críico de exercício, emprega-se a fórmula de Black e choles [2], e, além disso, ao uilizar as aproximações sucessivas de Newon usou-se a fórmula analíica da derivada da opção. Por ouro lado, na esimação dos ouros ponos críicos de exercício, o fao de que em cada uma das duas eapas de aplicação do algorimo er sido uilizado diferenes valores inicias da derivada e dos acréscimos (passo 3 do algorimo), conribuiu ambém para ober uma melhor aproximação. 4.4 Análise de sensibilidade do algorimo de I&Z modificado Nesa seção são realizadas análises de sensibilidade de ceros parâmeros, como o número de daas de exercício, o número de simulações para ober o preço da opção e o cálculo de uma curva de gailho média. A seguir dealham-se esas experimenações Número de Daas de Exercício Na Tabela 3, observa-se que o número de daas de exercício melhora a precisão dos resulados, obendo menores valores para os erros. Foram realizados experimenos adicionais alerando-se o valor desa variável. Os eses numéricos são sempre os exibidos na Tabela 2, manendo os mesmos parâmeros para o cálculo da curva de gailho e para o cálculo do preço da opção de venda. Os resulados dessas experimenações são exibidos a seguir na Figura 2. De acordo com a Figura 2, noa-se que exise uma significaiva redução das medidas de erro à medida que o número de daas de exercício vai crescendo aé um valor aproximado de 25. A parir daí a redução das medidas de erro coninua, mas já não é ão significaivo o ganho obido pelo acréscimo de maior quanidade de daas. O empo de processameno compuacional cresce à medida que se incremena o número de daas de exercício. A Figura 3 exibe os empos médios despendidos no cálculo do preço da opção de venda americana num ese numérico, em função do número de daas de exercício. Em relação ao empo de processameno compuacional noa-se uma significaiva elevação à medida que o número de daas de exercício aumena. Observa-se que, o empo médio que se leva em compuar um ese numérico com 25 daas de exercício é de 65,16 segundos (1 minuo aprox.), mas ao se dobrar o número de daas de exercício (50 daas) o empo de processameno sobe para 185,40 segundos (3 minuos aproximadamene). O ganho na melhora do erro de passar de 25 para 50 daas alvez não jusifique o cuso compuacional. O programa que compuou os diferenes eses numéricos foi desenvolvido em MaLab, rodado em um compuador Penium IV de 2,8 GHz e 480 MB de RAM.

14 80 J.G. Casro e al. / Invesigação Operacional, 27 (2007) ,00% 2,50% 2,62% MAPE RME 2,00% 1,50% 1,27% 1,00% 0,60% 0,50% 0,41% 0,50% 0,31% 0,25% 0,12% 0,10% 0,07% 0,00% Número de Daas de Exercício Figura 2: Valor das medidas de erro em função do número de daas de exercício ,40 egundos ,16 82, ,83 7, Nro. Daas de Exercício Figura 3: Tempo compuacional em função do número de daas de exercício Ouras Análises de ensibilidade Foram realizados experimenos numéricos para analisar o comporameno de algumas variáveis, por exemplo, o número de simulações de caminhos Brownianos do preço do aivo subjacene, que permie calcular o preço da opção de venda americana uma vez que se enha deerminado a curva de gailho. Dividindo o empo aé a mauridade em 25 daas de exercício, consaou-se que a parir de simulações consegue-se uma esabilidade nas medidas de erro MAPE e RME, e, em relação ao empo de processameno compuacional, exise uma diferença de poucos segundos enre o que se consome com e simulações. No enano, opou-se por fazer os eses com

15 J.G. Casro e al. / Invesigação Operacional, 27 (2007) simulações, pois Ibáñez e Zapaero [9] uilizaram essa quanidade de simulações. Desa forma, e para efeios de comparação, maneve-se o mesmo valor do parâmero. Adicionalmene realizou-se um experimeno para analisar se a média de várias curvas de gailho melhoraria a precisão dos resulados. Os resulados mosraram que o fao de calcular várias curvas de gailho e com esas se ober uma curva média (irando a média dos valores dos preços críicos de exercício em cada insane de empo), não implicou em uma melhora nas medidas de erro. Conclui-se enão que basa calcular uma única curva aplicando sempre as duas eapas descrias. A média de várias curvas de gailho resulou ser desnecessária aumenando exponencialmene o empo de processameno compuacional. 5 Análise dos resulados e comparações das meodologias esadas Apresena-se na Figura 4 um resumo das medidas de erro para os rês algorimos esados, sendo que o empo aé a mauridade foi dividido em 25 daas de exercício, o que mosrou ser uma quanidade razoável para conseguir uma boa precisão nos resulados. Noa-se que o algorimo I&Z modificado ofereceu as menores medidas de erro. No que diz respeio ao empo de processameno compuacional (ver Figura 5) os algorimos de Ibáñez e Zapaero [9] e Ibáñez e Zapaero modificado empregam empos basane similares, mas o algorimo de Gran, Vora e Weeks [7] demanda um empo muio maior, iso porque não exise uma regra específica que acelere a convergência para os ponos críicos de exercício. empre uiliza-se o mesmo valor - e conseqüenemene em deerminados períodos são requeridas muias ierações aé aproximar o pono críico. 1,20% Medidas de Erro para os Algorimos Esudados 1,00% 0,96% 0,80% 0,60% 0,62% 0,50% 0,64% MAPE RME 0,40% 0,37% 0,20% 0,12% 0,00% Ibáñez e Zapaero (I & Z) I & Z Modificado Gran Vora e Weeks Figura 4: Medidas de Erro nos rês algorimos abordados

16 82 J.G. Casro e al. / Invesigação Operacional, 27 (2007) Tempo Compuacional GVW I & Z I & Z Modificado 120 egundos Nro. Daas de Exercício Figura 5: Tempo compuacional em função do número de daas de exercício 6 Conclusões e Considerações Finais O grande apelo na uilização do algorimo de Gran, Vora e Weeks [7], deve-se ao fao de que esa meodologia permie o cálculo prévio de uma curva de gailho, a qual é muio relevane, especialmene quando são avaliadas opções reais. A curva de gailho permie idenificar o momeno óimo de exercer a opção, ano em opções financeiras bem como em opções de projeos de invesimeno, por exemplo, invesir ou abandonar o projeo. No presene rabalho foram avaliados os algorimos de Gran, Vora e Weeks [7] e Ibáñez e Zapaero [9]. Ese úlimo ambém deermina uma curva de gailho, e porano, ambos os algorimos são possíveis de serem comparados em quano à eficiência na deerminação da curva de gailho e na exaidão dos resulados. Adicionalmene foram proposas modificações no algorimo de Ibáñez e Zapaero [9], de forma a ober uma melhor precisão no cálculo dos preços das opções de venda americanas. O resulado final dos eses é exibido na Figura 4. Por ouro lado, observou-se que o número de daas de exercício é um parâmero que influencia de maneira relevane na precisão dos resulados (ver Figura 2). É lógico que ao aumenar as daas de exercício os resulados fiquem mais próximos dos verdadeiros, já que represena melhor o comporameno real de uma opção americana, na qual o exercício dá-se em empo conínuo e não por inervalos de empo discreos (opção bermuda). A proposa feia para melhorar a convergência para os preços críicos de exercício, esabelecendo valores iniciais das derivadas do preço da opção e dos incremenos a cada ieração (passo 3 do algorimo Ibáñez e Zapaero [9]), mosrou ser basane eficiene, permiindo melhorar os resulados obidos por Ibáñez e Zapaero [9]. Da mesma forma, o algorimo de Ibáñez e Zapaero modificado obeve erros bem menores do que Gran, Vora e Weeks [7]. Todos eses algorimos êm em comum a necessidade de deerminar previamene a curva de gailho. O que varia é como as aproximações para os preços críicos de exercício são realizadas.

17 J.G. Casro e al. / Invesigação Operacional, 27 (2007) Com relação ao empo compuacional, o algorimo de Ibáñez e Zapaero modificado consome um empo muio menor do que a meodologia de Gran, Vora e Weeks [7], sendo esa úlima não práica em problemas complexos. 7 Referências [1] Barone-Adesi, G. & Whaley, R.E. Efficien Analiic Approximaion of American Opion Value. Journal of Finance, v.42, 1987, pp [2] Black, F. & choles, M. The Pricing of Opions and Corporae Liabiliies. Journal of Poliical Economy, v.81, 1973, pp [3] Boyle, P. & Broadie, M. & Glasserman, P. Mone Carlo Mehods for ecuriy Pricing. Journal of Economic Dynamics and Conrol, v.21, 1997, pp [4] Broadie, M. & Glasserman, P. Pricing American-yle ecuriies Using imulaion. Journal of Economic Dynamics and Conrol, v.21, 1997, pp [5] Cox, J.C. & Ross,.A. & Rubinsein, M. Opion Pricing: A implified Approach. Journal of Financial Economics, n.7, 1979, pp [6] Froa, A.E.F. Avaliação de Opções Americanas Tradicionais e Complexas. Disseração de Mesrado, Deparameno de Engenharia Indusrial, PUC-Rio, Rio de Janeiro, [7] Gran, D. & Vora, G. & Weeks, D.E. Pah-Dependen Opions: Exending he Mone Carlo imulaion Approach. Managemen cience, v.43, 1997, pp [8] Huang, J. & ubrahmanyam, M.G. & Yu, G.G. Pricing and Hedging American Opions; A Recursive Inegraion Mehod. Review of Financial udies, v.9, 1996, pp [9] Ibáñez, A. & Zapaero, F. Mone Carlo Valuaion of American Opions Through Compuaion of he Opimal Exercise Fronier. Journal of Financial and Quaniaive Analysis, v.39, 2004, pp [10] Nascimeno, A. F. Avaliação de Invesimenos em Tecnologia da Informação: uma Perspeciva de Opções Reais. Disseração de Mesrado, Deparameno de Engenharia Indusrial, PUC-Rio, Rio de Janeiro, 2005.

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