Teoremas Básicos de Equações a Diferenças Lineares

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1 Teoremas Básicos de Equações a Diferenças Lineares (Chiang e Wainwrigh Capíulos 17 e 18) Caracerização Geral de Equações a diferenças Lineares: Seja a seguine especificação geral de uma equação a diferença linear de ordem k: a y a y... a y c() k k onde a 0, a 1,.., a k são parâmeros consanes e c() uma dada e conhecida função na variável empo. Se c() é uma função consane, ou seja, não depende de empo (c() = c), dizemos que a equação a diferença é do ipo Auônoma: a y a y... a y c k k 1

2 Se c() = 0, dizemos que a equação a diferença é Homogênea: a y a y... a y k k Por ouro lado, dada uma equação a diferença linear qualquer: a x a x... a x g() k k Podemos associar a ela o que se denomina de a sua equação homogênea correspondene, obida impondo-se que g() = 0: a x a x... a x k k Dada uma equação a diferença linear qualquer: a y a y... a y c() k k diz-se que a sua equação homogênea correspondene é dada por: (impondo-se que c() = 0) a y a y... a y k k 2

3 Teoremas Básicos: Teorema 1: Considere uma equação a diferença linear de ordem k, homogênea: a y a y... a y k k Se a função y() é uma solução dessa equação, enão y () = A.y() ambém é uma solução da mesma equação, para qualquer escalar consane não nulo A. Teorema 2: Considere uma equação a diferença linear de ordem k, homogênea: a y a y... a y k k Se as funções y 1 () e y 2 () são duas soluções disinas (ou seja, linearmene independenes) dessa equação, enão y () = A 1 y 1 () + A 2 y 2 () ambém é uma solução da mesma equação, onde A 1 e A 2 são duas consanes arbirárias. 3

4 Teorema 3: A solução geral de qualquer equação a diferenças linear e homogênea de ordem k é dada por: y,a,a,...,a A y () A y ()... A y () 1 2 k k k onde as funções y 1 (), y 2 (),..., y 2 () são k soluções disinas ou linearmene independenes daquela equação, e A 1, A 2,..., A k são consanes arbirárias. Teorema 4: Considere qualquer equação a diferenças linear de ordem k: a y a y... a y c() (1) k k Seja y p() uma solução paricular qualquer dessa equação e y c (, A 1,..., A k ) a solução geral da equação homogênea correspondene, ou a função complemenar. Enão a solução geral da equação (1) acima é dada por: y() y,a,...,a y () c 1 k p 4

5 Méodo Geral de Solução de Equações a diferenças Lineares: Dada qualquer equação a diferenças linear de ordem k: Pode-se resolve-la aravés dos seguines passos: 1º Passo: Impondo-se c() = 0, obém-se a solução geral da sua equação homogênea correspondene y () y(,a,...,a ), a parir das k soluções que podem ser enconradas para o parâmero λ, propondo-se a especificação genérica para y(). Obs.: A solução a y a y... a y c() (1) k k y () c c 1 k é ambém conhecida por Função Complemenar 2º Passo: Enconrar uma solução paricular da equação analisada (1), aravés do seguine procedimeno geral: Propõe-se como especificação de especificação da pare da equação (1) c(). Se c() = c propõe-se Se c() = a + b propõe-se Se c() = ae propõe-se y p() y c() y (), a mesma Por exemplo: Obs.: Se devido aos valores dos parâmeros, a função proposa não funcionar, simplesmene modifica-se a especificação da função proposa, muliplicando-a por p y c() y c() e 5

6 3º Passo: Soma-se as duas soluções enconradas nos dois passos aneriores para ober a solução geral da equação analisada (1): y() y () y () c p 4º Passo: Se as k condições iniciais y(0) = v 0, y(1) = v 0,..., y(k-1) = v k-1 forem conhecidas, calcula-se a solução específica da equação analisada (1), obendo-se os valores dos k parâmeros arbirários envolvidos em y c(). Isso é feio calculandose os valores de A 1,..., A k, aravés do sisema de k equações definidos por: v o = y(=0) ; v 1 = y(=1) ;...; v k-1 = y(=k-1) Exemplo de Equação a Diferença Linear de Primeira Ordem Modelo da Teia de Aranha (Cobweb) 6

7 Modelo de Mercado Teia de Aranha (Cobweb) Hipóeses: Mercado de um produo cujo período de produção é relaivamene longo, sendo que o resulado desse processo só ocorre no período seguine ao da decisão de quano produzi-lo; Suponha que esse mercado pode ser represenado pelas seguines funções de demanda e ofera: Q a bp d o 1 d o Q Q c dp Q onde a, b, c, d são parâmeros posiivos (É suposo que odas as demais variáveis que ambém afeam a demanda e a ofera do produo esão fixadas e agregadas, respecivamene, nos parâmeros a e c). Equilíbrio de curo prazo nesse mercado: ou P a b.p c d.p 1.P com 1 c a d e b b Quesão: Qual o comporameno do preço de mercado desse produo ao longo do empo? Em paricular, na medida em que o empo passa, esse preço ende a esacionar em algum nível, ou seja, exise algum preço de equilíbrio de longo prazo nesse mercado? 7

8 Solução pelo Méodo de Resolução de Equações a Diferenças: Dada a equação a diferença P.P, em-se que a equação 1 homogênea correspondene é dada por P.P 0 1 Vamos propor como solução dessa equação P() Subsiuindo na expressão acima emos: 1 0 ou 1 ( ) 0 ou Porano, a solução geral da homogênea correspondene é: d b P() A. A. Solução paricular para a equação P.P 1 : Dado que g(), ou seja, uma consane, podemos omar como uma solução paricular dessa equação a expressão P() para odo Subsiuindo-se essa solução na equação a diferença, em-se que:. ou seja ou 1 c a b d 8

9 Porano, em-se que uma solução paricular da equação analisada é dada por c a P() para odo b d OBS.: Noe que essa solução em um inerpreação muio clara: é a solução esacionária da equação, ou seja, o preço de equilíbrio de longo prazo do mercado analisado. Vamos enão denominá-lo de * c a P() P b d Solução Geral da Equação: d P() P() P() A. P b Dada a condição inicial de que o preço em = 0 é conhecido e igual a P, em-se que o valor da consane arbirária A é dado por: 0 * d P0 P( 0) A. P b 0 * ou A P P 0 * Porano, em-se que a solução paricular da equação analisada é dada por: * * d P() P P0 P. b 9

10 Esboço Gráfico das Possibilidades: Possibilidade 1 : d < b Q o P 0 P 0 P 2 P 2 P 1 Q d P 1 Q 2 Q 1 Q Possibilidade 2 : d > b Q o P 2 P 2 P 0 P 0 P 1 Q d P 1 Q 2 Q 1 Q

11 Possibilidade 3 : d = b Q o P 0 P 0 P 2 P 1 Q d P 1 Q 2 Q 1 Q Exemplo de Equação a Diferença Linear de Segunda Ordem Modelo Macroeconômico Keynesiano com Acelerador 11

12 Exemplo 1: Modelo Keynesiano com Acelerador Considere o seguine modelo keynesiano simplificado de uma economia fechada: C a by 1 I v. Y v. Y Y G G para odo Y C I G Equação reduzida desse modelo: Y b v Y vy G a 1 2 Hipóeses sobre os Valores dos Parâmeros: Parâmeros: a = 50; b = 0,75; v = 2,5; e G = 100. Condições Iniciais: Y0 200; Y1 230 Nesse caso, emos que: Y 3, 25Y 2,5.Y

13 a) Solução Paricular dessa Equação: Dado que c() = consane, propomos Y p() * Y, para odo : ou * * * Y 3,25Y 2,5.Y 150 * 150 Y ,25 2,50 Logo, a solução paricular é dada por p * Y () Y 600 para odo b) Solução Geral da Homogenea Correspondene: Y 3, 25Y 2,5.Y Propondo-se que Y c(), devemos deerminar o valor do parâmero desconhecido al que: ou 1 2 3, 25. 2,5. 0 para odo 2 2 3,25. 2,5 0 para odo Ou seja, necessia ser a raiz da equação do segundo grau: 2 3, 25. 2,5 0 13

14 Resolvendo essa equação enconramos as raízes: 1 1,25 e 2 2,00 Logo, a solução geral da equação homogênea correspondene à equação analisada é dada por: Y () A 1,25 A 2 c 1 2 Temos finalmene que a solução geral da equação analisada é enão dada por: Y() Y () Y () A 1,25 A c p 1 2 c) Uma Solução Específica da Equação Analisada: Dadas as duas condições iniciais, emos que: e Y( 0) A 1,25 A Y( 1) A 1,25 A Resolvendo-se esse sisema linear de duas equações a duas incógnias, emos que A 1 = -573,33 e A 2 = 173,33 Assim sendo, emos enão a seguine equação que descreve o comporameno do nível de produo da economia analisada: Y ,33 1,25 173,

15 Nivel de Produo Y 05/10/2017 Gráfico empo Ilusração com ouros valores dos parâmeros Gráfico 2 Caso 2: Y , ,

16 Y 05/10/2017 Gráfico 3 Caso 3: Y ,8 200, Exemplo 2: Equação a Diferenças com Raízes Complexas Considere a seguine equação a diferenças de 2ª ordem: y 3.y y a) Solução Paricular dessa Equação: Propondo y p(), para odo, emos que: ou , 21 Logo, a solução paricular é y () 373, 21, para odo p 16

17 b) Solução Geral da Homogenea Correspondene: Propondo-se a forma y 3.y y c y (), em-se que: ou seja, a seguine equação caracerísica: Que resula nas seguines duas raízes complexas: i Como raar casos de Equações a Diferenças que apresenam raízes complexas Para analisar os casos de Equações a Diferenças (e ambém de Equações Diferenciais) cujas soluções apresenam raízes complexas, vamos fazer um breve resumo sobre represenação gráfica e Polar de números complexos e ambém o uso de alguns resulados exisenes na maemáica sobre esses números 17

18 Represenação Gráfica e Polar de um Nº Complexo Pare imaginária z i r Pare Real Represenação Polar: z r.cos r.sen.i rcos sen.i Porano, as duas raízes da equação caracerísica para obenção da solução complemenar podem ser represenadas por e = r cos +i.sen = r cos i.sen 1 2 Assim, a solução geral da equação homogênea correspondene ou seja, a solução complemenar pode ser escria como: c 1 2 Y () = A r cos +i.sen +A r cos -i.sen ou Y () = r A cos +i.sen + A cos -i.sen c

19 Por ouro lado, na maemáica dos números complexos exise o chamado Teorema de Moivre, que esabelece que: cos i.sen = cos(.) i.sen(.) Considerando isso, podemos reescrever a solução complemenar como: Y () = r c A1 cos +i.sen + A2 cos -i.sen Para realizar o úlimo passo que envolve a eliminação do número imaginário i desse função complemenar, ornando-a uma função de números reais, vamos lembrar que A 1 e A 2 são duas consanes arbirárias, podendo enão ser quaisquer números. Vamos enão omar para elas, os seguines dois números complexos conjugados arbirários: a bi Subsiuindo-as na solução complemenar emos enão que: Y () = c Fazendo as muliplicações denro de cada colchee na expressão acima em-se que: Y () = c Ou, finalmene que: a bi a bi cos -i.sen r cos +i.sen a i a i b b acos i asen i b cos bsen r cos sen cos sen Y () = r B cos +B sen 2 2 c 1 2 onde B1 a e B2 b 19

20 Volando para o nosso exemplo que esávamos analisando, as duas raízes obidas foram: Raizes: i Nessas duas raizes complexas conjugadas i emos que: r r.sen ou sen 2 3 r.cos ou cos 2 30 Subsiuindo-as na solução complemenar emos enão que: Y () = 1 B cos 30. +B sen 30. o o c 1 2 c) Solução Geral e Específica da Equação Analisada Y() = Y c() + Y p() o o Y() = B cos 30. +B sen , Dadas as condições iniciais Y(=0) = 0 e Y(=1) = 100, emse que: 20

21 e o o 100 Y(0) = B1cos0 +B2sen o o 100 Y(1) = B1cos30 +B2sen Sabendo-se que: o o o 3 o 1 cos0 1; sen 0 0; cos30 e sen em-se que: 100 B B1 B Porano, B1 2 3 e B ou B

22 y 05/10/2017 Porano, emos finalmene que: y() 100.sen 30º. 373,211 cos 30. Para visualizar o comporameno dessa função, considere a sua simulação numérica e gráfico, aravés da planilha Excel: Graus Radianos 0 0, , , , , , , , , , , , Coseno 1 0, ,5 0-0,5-0, , ,5 0 0,5 0, Seno 0 0,5 0, , ,5 0-0,5-0, , ,5 0 y() 0,0 100,0 273,2 473,2 646,4 746,4 746,4 646,4 473,2 273,2 100,0 0,0 0,

23 Se supormos que no exemplo analisado, apenas o valor de r ivesse sido diferene e igual a 0,92, a solução eria sido: o o Y() = 0,92-373,21cos sen , 21 E o gráfico da rajeória do PIB Y() seria: Trajeória do PIB supondo que r=0, Y() Tempo Fim 23