Funções vetoriais. I) Funções vetoriais a valores reais:

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1 Funções veoriais I) Funções veoriais a valores reais: f: I R f() R (f 1 n (), f (),..., f n ()) I = inervalo da rea real denominada domínio da função veorial f = {conjuno de odos os valores possíveis de, para os quais odas as componenes esão definidas}. Imagem f : conjuno de veores f ( ) ( f ( ),..., f ( )) 1 n 3 Casso paricular: f: I R R f() (f (), f (), f ()) 1 3 Dom ( f ) Dom ( f ) Dom ( f ) Dom ( f ) 1 3 Exemplo 1: defina o domínio e a imagem da função veorial a seguir: f: I R 3 R f() (sin( ), ln(4 ),- 1 - )

2 Exemplo.- Defina o domínio da função veorial a Seguir f: I R R f() ( 3 1 1, 4 -,- sin() ) Resposa: Dom(f)={...,[-4pi,-3pi],[-pi,-pi],[0,pi]}. Exemplo 3.- Defina o domínio e a imagem da função veorial a Seguir f: I R R 3 f() ( 1, - 4, (cos( 3)) ) f Resposa : Dom( ) = <-,-] U [, > Ima( f ) = curva espacial, pode-se visualizar unicamene com algum programa maemáico.

3 Curva plana: dada uma função veorial f: I R R f() (x(), y()) Tal que f 1 ()=x(), f ()=y(),são funções reais coninuas no domínio da função veorial f. Enão o conjuno C de ponos do espaço R ais que x = f 1 (), y = f (),...(*) é chamado de curva plana. é o parâmero da curva, variando no domínio de f As equações (*) são denominadas equações paraméricas de C. Uma curva é a imagem de uma função veorial a valores reais. Obs: alguns auores, denominam curva a função f, e a imagem de f de raço da curva

4 Uma curva plana é um conjuno r de pares ordenados ( f(), g() ), em que f() e g() são funções reais conínuas em um inervalo I. r() =(x(),y()) é uma curva no plano R x = f() equação y = g() paramérica Y P g y C I f 0 x X r : I R : função veorial associada a curva C

5 Funções veoriais: represenação gráfica

6 Paramerização de curvas no R e R 3 Considere uma curva plana definida pela função real de variável real: y = y(x) Paramerização naural: x = y = f() : f ( ) (, y( )) Iso define nauralmene uma função veorial f f ε D(f) Observação 1: A paramerização define uma orienação na curva!!! Observação : Exise infinias formas de paramerizar uma mesma curva

7 Exemplo 1. Consideremos a parábola definida pela função real y = x +. Paramerize esa curva. Paramerização 1 x = y = + Paramerização x = y = + =16 y = x + =0

8 Mais exemplos... Exemplo 3. Sejam as funções veoriais a) r() = (,3,0), b) r() = (+,4-1), c) f() = (4, ), d) r() = (sin(), -cos() ), e) f()=(, cos()); idenifique no plano xy as curvas associadas a cada função veorial. ( w Exemplo 4: a função veorial f ) ( v r sin( w ), r r cos( define uma curva plana denominada de ciclóide, v,r, w são consanes. ))

9 > resar; #cicloide # no programa Maple > wih(plos): > v:=:w:=1:r:=: > plo( [v*-r*sin(w*), R-R*cos(w*), =0..5*Pi], scaling=consrained, hickness=, color=blue,labels=[x,y]); hp:// cloide.hm

10 Curva espacial: dada uma função veorial f: I R R n f() (f 1 (), f (),..., f n ()) Tal que f 1 (), f (),...fn() são funções reais coninuas no domínio da função veorial f. Enão o conjuno C de ponos do espaço R 3 ais que x 1 = f 1 (), x = f (),x 3 = f 3 (),...xn = fn()...(*) ; e variando no domínio de f é chamado de curva espacial. As equações (*) são denominadas equações paraméricas de C

11 Curvas no espaço ri-dimensional R 3 Quando uma parícula se movimena no espaço R 3, ela descreve uma curva r() denominada rajeória. r: I [ a, b] R 3 r() (r 1 (), r (), r 3 ()) ( x( ), y( ), z( )) Exemplo 1: Uma parícula realiza um movimeno mecânico no espaço R 3 de acordo a seguine lei de movimeno : f ( ) (4 4, 1,4) Qual é a forma da rajeória no espaço R 3?

12 Exemplo.- seja as funções veoriais seguines a) r() = (0, 3 -, ), b) r()= (-1+, 4, +), c) r() =(cos(), -sin(),3), d) r()=(sin(),, 4), Idenifique o ipo de curva no plano xy para cada uma das funções veoriais dadas aneriormene. Exemplo 3: seja a função veorial definida no espaço R 3 f ( ) ( a cos( ), a sin( ), v) Esa função define uma curva no espaço R 3, denominada de hélice. Esa rajeória é realizada por uma parícula ponual carregada denro de um campo magnéico consane

13 usando Maple > resar; #helice > wih(plos): > a:=3: v:=: # dados para ajusar a curva > spacecurve( [a*cos(), a*sin(), v*], =0..5*Pi, axes=box, labels=[x,y,z], hickness=); hp:// hp://

14 Ciclóide Seja O : origem de coordenadas, logo as coordenadas do pono P =(x,y) no insane arbirário é OB OP x R y R R R sin( ), cos( ). ( x, y) ( R R sin( ), R R cos( )) Equação paramérica

15 Limie de funções veoriais Definição: Seja r ( ) uma função veorial que define uma curva no espaço R 3, al que r()=(x(),y(),z()) = x() i+ y() j + z() k, Logo, dizemos que r em limie L a medida que se aproxima a o e escrevemos assim: lim 0 r() L (l 1, l, l lim x() l, lim y() l, lim z() Desde que os limies das funções componenes exisam. 3 ), l 3 Definição formal : O lim o r ( ) 0, L, exise se al que r ( ) L somene se

16 Exemplo 1, Seja a função que : lim 0 r ( ) L Exemplo Seja a função r ( ) (, e,6 ), demonsra que : Coninuidade de funções veoriais, demonsrar Uma função veorial r() será conínua em um pono = 0, do seu domínio se a ) lim b) r ( c) r ( ) exise ) r ( ) ( r() (x ( (1,0) lim 0 r ( ) L 0 L exise ), 1, ) y( 0 (0,1,) ), z( 0 )) L,

17 Coninuidade de funções veoriais. Exemplo 1. Verifique se r ( ) sin( ) i cos( ) j r ( ) é conínua em 0 Exemplo. Verifique se a função veorial abaixo é conínua para. = 0 k

18 Derivada de uma função veorial Definição: Seja r ( ) uma função veorial, ela é derivável ou em derivada, se as derivadas das componenes x(),y(),z() esão bem definidas para odo do domínio de r ( ) r ( ) r ' ( ) dr d dx ( d, dy d h) - r() Inerpreação geomérica da derivada de uma função veorial. Seja r() o veor posição de uma parícula em movimeno no espaço R 3. A função r ( ) é a velocidade da parícula e é um veor angene à rajeória espacial descria pela parícula (para cada insane do empo )., dz d ) lim h 0 r( h,

19 C R n Q F ( h) P L F P 0 F ( ) F () h I R

20 Exemplo 1: Deermine a derivada da função veorial a) f() = (, cos(),5 ) b) f() = ( - 8, e - ) usando a definição Equação veorial de uma rea L Seja P=(x,y,z) ϵ L, P 0 =(x 0,y 0, z 0 ) ϵ L, P 0 Z P L V é um veor paralelo a L. Logo: L : { P P V 0 } X V 0 Y Forma paramérica da equação da rea L. x= x 0 + v x Y= y o + v y z= z 0 + v z, sendo v = (v x,v y,v z ) // rea L

21 Diferencial de uma função veorial. Seja a função real de variável real f: RR / y=f(). Caso a função f seja diferençiavel no inervalo I R do seu domínio, enão emos: Seja F ( ) uma função veorial df df d d Se F ( ) é diferenciavel no seu domínio, enão:

22 C F F ( ) d F I R

23 df ( dx, dy ) dy y d F C d F ( ) I R dx x

24 Regras de derivação Seja u,v funções veoriais de variável real ; a e b são números reais, e f(),g() são funções reais de variável real. d [ u ( ) v ( )] du ( ) dv ( ) 1., d d d d [ au ( )] du ( ). a, d d d [ f ( ) v ( )] df ( ) dv ( ) 3. v ( ) f ( ), d d d d [ u ( ) v ( )] du ( ) dv ( ) 4. v ( ) u ( ), d d d d [ u ( ) v ( )] du ( ) dv ( ) 5. v ( ) u ( ), d d d d [ u ( f ( ))] du ( f ) df ( ) 6., d df d produo escalar produo veorial

25 Exercícios Exercício 1.- Deermine a velocidade v() e a aceleração a() de uma parícula que descreva a seguine curva (rajeória) r()=(, 8-3,3+)m, deermine o ângulo enre eles no insane =s. Exercício.- Seja uma parícula ponual que segue uma rajeória dada pela curva, definida assim: α: α() (v -Rsin(w), : I R R -Rcos(w)), R, w, V são consanes. R =,w = 1, v = R.w =. a) Deermine a posição, velocidade e aceleração no insane =0s, e =π/. b) Deermine a equação da rea angene a curva α no insane =π/. Exercício 3.-Demonsre a propriedade 4 e 6 da regra de derivação.

26 Exercício 4.- Deermine o limie da função veorial quando se aproxima a 0 =0. f ( ) e ( 1, 1 1, 4 ) Exercício 5.- esude a coninuidade da função veorial (, 1), 0, f ( ) (0,1), 0. Exercício 6.-Seja f()=(+3, + 4) deermine f () para odo ϵ R. Qual é o ângulo que forma o veor f () como o veor f() no insane =1.? Exercício 7.- Sejam as funções veoriais v()=(, cos(), ), w()=(5,, sin()). Deermine a primeira derivada dos veores A() = V(). W(), e B() = v() X w(); produo escalar e produo veorial respecivamene.

27 Inegral de uma função veorial Seja r() =(x(),y(),z()) uma função veorial, definição: se as componenes de f são inegráveis sobre I=[a,b],enão b a a b r ( ) d lim b r ( ) d ( x( )) i ( y ( )) j ( a n i n i 1 r ( Exemplo 1.- Calcular a inegral f ( ) z ( )) k a) b) ( cos( ), b a i *), 1 ) da função Exemplo.- Deermine a inegral da função veorial f()= ( e - +, cosh(), sinh() ) enre =0 e =1. b b a n f ( ) a d, i * pariçãode f ( ) ( sin( ), ln( )) I

28 r ( ) R n 0 a 1 i 1 i n b I R

29 Comprimeno de arco para curvas lisas Dado uma superfície arbiraria, o comprimeno de arco é o comprimeno da curva enre dois ponos da superfície. Por exemplo, quando uma parícula percorre uma deerminada rajeória no espaço, ela descreve uma curva, o comprimeno desa curva enre dois insanes dado 0 e 1 se denomina comprimeno de arco. Comprimeno de arco D dl dx dy L b a ( dx ) ( dy ) b a 1 ( dy dx ) dx

30 Comprimeno de arco no espaço R 3 Definição: O comprimeno L de uma curva lisa e paramerizada 3D : r() = x() i + y() j + z() k, al que ϵ [a,b] é L L b a b a ds b a dx ( d ) dx dy ( d dy ) dz dz ( d ) d b a dr d d v dr d dr ( ) ( v, v, v ) v( ) r ( ) x y z d : velocidade Algumas noações usuais L b a v ( ) d v( ) d b a b a r ' ( ) d v() é o modulo ou norma do veor v()

31 Exemplo 1.- Seja a função veorial r()=(+, 4+, -+), deermine o comprimeno de arco enre os valores =1 a =4. Exemplo.- Deermine o perímero de uma circunferência cenrada no pono (1,) e radio R=3 Exemplo 3.- Deermine o comprimeno de arco da ciclóide r() = ( - sin(), - cos()) enre =0 e = π y 0 4 x

32 S: FUNÇÃO COMPRIMENTO DE ARCO s( ) 0 d r d d 0 v( ) d s() é o comprimeno da curva r() desde o insane =0 ae o insane. Sendo v() o módulo da velocidade, ou chamada ambém como velocidade escalar. Usando um pouco de cálculo ds d v( ) Imporane: O comprimeno de arco de uma curva arbirária não depende da paramerização.

33 L 1 0 dr ( ) d d w1 w 0 d r dw dw O comprimeno de arco de uma curva enre dois ponos é invariane pela re-paramerização Exercícios 1.-Deermine a função comprimeno de arco s() para a ciclóide do exemplo 3..-Deermine a função comprimeno de arco da curva paramerizada r()=( 3 cos(), 3sin()) 3.-Deermine a função comprimeno de arco da curva Paramerizada r()=( 3cos(), 3sin(), ), 4,- Deermine o domínio, imagem e o a função comprimeno de arco para a função r()=(cos(),sin(),3).

34 TRAJETÓRIA DE UMA PARTÍCULA EM CAMPOS ELÉTRICOS E MAGNÉTICOS hp://

35 Movimeno de uma parícula no espaço R 3 Uma parícula no espaço R 3 descreve uma rajeória de acordo a uma cera lei de movimeno que define a posição dela para cada insane do empo. Esa lei de movimeno esá definida por uma função veorial: r ( ) x( ) i y( ) j z( ) k r(): veor posição da parícula em relação a cero sisema de referencia. Obs: A lei de movimeno é deduzida a parir das leis de movimeno da mecânica clássica= leis de Newon

36 Sabemos que T V V V v, T.T 1, derivando A ulima relação. d T d. T 0 Analisemos a velocidade de uma parícula V ( ) T. v Derivando esa equação emos d T a a T v Definamos : ds K Lembre que s=s(), s é função comprimeno de arco. d T ds

37 K de d T dt, ds ds T.T dt Finalmene 1, Curvaura K T T (s), logo definimos a curvaura K dt Sendo N veor uniário emos ds d T ds N. T, considerando o radio de curvaura Logo deve ser orogonal a T, seu veor uniário ambém T Considere : ds N 0 a a T v N 1 k

38 a Aceleração insanânea a T dv d a T a T T Aceleração angencial a cpa v N Suponhamos que : r r (s) ( dx ds Aceleração cenrípea ou radial sempre orienada á pare côncava da rajeória., dy ds, dz ds, definamos ) dr ds s: função comprimeno de arco.

39 1 ) ( ) ( ) ( ds dz ds dy ds dx Logo Como : T ds r d ) ( ds dr ds d ds d T K ) ( ) ( ) ( ds z d ds y d ds x d K enão, em forma explicia

40 Triedro de Frene-Serre B T N Veor binormal Exercícios 1.- Provar que B 1.- Provar que a. V a. V a T V v 3.- Provar que K V v 3 a

41 Exemplo 1.- considere uma parícula descrevendo uma rajeória em forma de hélice de acordo a equação r ( ) (8 cos( ),8 sin( ), 6) a) Deermine a Velocidade e a aceleração para odo valor de. b) Deermine os veores uniários T e N. c) Deermine a aceleração angencial e cenrípea. d) calcular a curvaura para odo valor de. e) Deerminar o veor binormal B Solução. V ( ) a ( ) ( 8 sin( ( 8 cos( ),8 cos( ), 6), ), 8 sin( ), 0) 4 4 T ( ) ( sin( ), cos( ), 5 5 N ( ) ( cos( ), sin( ), 0) 3 ), 5 a a T N ( ) ( ) (0,0,0), ( 8 cos( ), 8 sin( ), 0) 3 3 B ( ) ( sin( ), cos( ), ) 5 k=/5

42

43 r() = (cos(), sin(), ) -> r() é uma curva sobre uma superfície cônica z x y Referencia: Adriano P Caai-ufba

44 Exemplo.- considere uma parícula descrevendo uma rajeória definida pela função veorial r ( ) ( 3, 4, 8) a) Deermine a função comprimeno de arco. b) Deermine a curvaura k(). Resposa k() =0 Exemplo 3.- considere uma parícula descrevendo uma rajeória definida pela função veorial r ( ) ( R cos( ), R sin( )) a) Deermine a função comprimeno de arco s() b) Deermine a curvaura k(). c) Deermine os veores uniários T, N B Resposa k() =1/R

45 . Exemplo 4.- Considere uma parícula descrevendo uma rajeória definida pela função r()=(, ) Deermine a curvaura para odo insane. Deermine o raio de curvaura nos insanes =0 e =1/ respecivamene. ρ =1/ ρ 1 =0

46 Torção de curvas espaciais Consideremos uma parícula descrevendo uma curva, como se compora o veor bi-normal B em relação a função comprimeno de arco s? B T N Como : podemos derivar em relação a s db dn dt T N, como dt dt N // N 0 logo ds ds ds ds ds db dn db T, B. B 1,. B 0 enão ds ds ds db db db db T, B // N N finalmene ds ds ds ds db N. ds

47 Exemplo 1.- Deermine a orção a) De uma linha rea b) De uma circunferência c) De uma cicloide d) de uma hélice. d1) r ( ) (8 cos( ),8 sin( ), 6) (roação ani-horária) d) r ( ) (8 cos( ), 8 sin( ), 6) (roação horária)

48 Equações de Frene Conforme uma parícula se move no espaço, os veores T,N,B se movem juno com a parícula ao longo da rajeória (curva). Enão vale pergunar qual é a rapidez da mudança deses veores em relação ao parâmero comprimeno de arco s dt ds db ds dn ds k N...( 1) N...( ) k T B...( 3) provar!

49 Exercícios variados Exercício 1.- Seja uma parícula que descreve uma circunferência de radio R=, cenralizada na origem de coordenadas de acordo a lei de movimeno r() = (Rcos( ), R sin( ) ). Para o insane: a) Deermine o veor T,N. b) Deermine a curvaura, a aceleração cenrípea, acerelação angencial. c) Deermine o veor binormal B Obs: iso é um exemplo do MCUV. Exercício : Deermine a curvaura e a orção de uma helicóide : Para odo insane, sendo R, w e V consanes arbirarias. r ( ) ( R cos( w ), Rsen ( w ), V )

50 Exercícios Exercício 3.- Em relação á ciclóide esudada aneriormene sendo α: α() (v -Rsin(w), R -Rcos(w)), R, w, V são consanes. R =,w = 1, v = R.w =. a) Deermine o veor T, N,B para a ciclóide no insane =π/. b) Deermine a aceleração angencial e a aceleração cenrípea para odo insane. Paricularize para =π/ c) Deermine a curvaura K() para odo insane de empo. d) Seja uma parícula sinalizada na borda da roda que realiza rolameno sem deslizameno.sabemos que esa parícula descreve uma rajeória em forma de cicloide. Provar que no insane, a velocidade V da parícula é sempre orogonal ao radio veor que une a parícula ao pono mais baixo da roda.

51 Referencias adicionais. hp://demonsraions.wolfram.com/freneframe/ hp:// hp://