2 Revisão Bibliográfica

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1 Revisão Bibliográfica Ese capíulo apresena os principais conceios, abordagens e a formulação básica das meodologias que esão incluídas no modelo HPA. Conceios maemáicos e esaísicos mais dealhados podem ser enconrados nas referências bibliográficas ciadas... Séries Temporais Uma série emporal é uma coleção de observações de uma variável ordenadas no empo (Souza e Camargo, 004. Há, basicamene, dois enfoques usados na análise de séries emporais. Em ambos, o objeivo é consruir modelos para as séries, com propósios deerminados. o primeiro enfoque, a análise é feia no domínio emporal e os modelos proposos são modelos paraméricos. o segundo, a análise é conduzida no domínio de frequências e os modelos proposos são modelos não-paraméricos. Segundo Morein (006, a naureza de uma série emporal e a esruura de seu mecanismo gerador esão relacionadas ao inervalo de ocorrência das observações no empo. Caso o levanameno das observações da série possa ser feio a qualquer momeno do empo, a série emporal é dia conínua. Enreano, na maioria das séries, as observações são omadas em inervalos de empo discreos e equidisanes. Uma série emporal discrea pode ser represenada por (,..., ( n, sendo que cada observação esá associada a um insane de empo disino, exisindo uma relação de dependência serial enre essas observações.

2 Revisão Bibliográfica 8 O objeivo inicial da análise de séries emporais é a realização de inferências sobre as propriedades ou caracerísicas básicas do mecanismo gerador das observações da série. Assim, aravés da absração de regularidades conidas nos fenômenos observáveis de uma série emporal, pode-se consruir um modelo maemáico como uma represenação simplificada da realidade. Quando o enfoque é feio no domínio do empo considera-se a evolução emporal do processo, ou seja, o ineresse esá na dimensão do eveno em cada insane de empo. Para ese ipo de avaliação, são usadas as funções de auocovariância e auocorrelação. A auocovariância de lag é a covariância enre duas observações defasadas de inervalos de empo enre si e pode ser definida por: γ [ ] E[ ( µ ( µ ] Cov, + + (. onde µ é a média do processo. A auocovariância de uma série emporal pode ser esimada por: γˆ ( ( + (. sendo a média de descria por: (.3 A auocorrelação é a auocovariância padronizada e em a função de medir a exensão para o qual um valor omado no insane depende daquele omado no insane - (Casella, 00.

3 Revisão Bibliográfica 9 γ ρ γ 0 Var [, + ] ( Var( Cov + (.4 sendo: γ 0 Var( Var(+ a variância do processo, ρ 0 e ρ ρ. A auocorrelação de uma série pode ser esimada pela fórmula: ˆ ρ ˆ γ ˆ0 γ ( ( + ( (.5 Oura função imporane é a Auocorrelação Parcial, que mede a correlação enre duas observações seriais e inermediários +, +,..., +, e é represenada por: + eliminando a dependência dos ermos Cor ( /,, + + +,..., + (.6 a análise no domínio da frequência, o ineresse esá em verificar a frequência com que os evenos ocorrem em deerminado período de empo. A ferramena uilizada para isso é a Análise Especral, onde são esabelecidas as caracerísicas de um processo esocásico em ermos de frequências podendo, no caso das séries emporais, deerminar as periodicidades exisenes nas mesmas (Morein, 006. Como o especro de um processo não é conhecido, ese precisa ser esimado, em geral, por meio do Periodograma de janelas especrais, que possui boas propriedades esaísicas.

4 Revisão Bibliográfica 0.. Processo Esocásico Um processo esocásico pode ser definido como um conjuno de variáveis aleaórias definidas segundo uma lei de probabilidades (Barros, 004. Uma série emporal é uma realização de um processo esocásico. Assim, uma série y pode ser definida como uma função y da variável independene, que é gerada por um processo esocásico desconhecido (Souza e Camargo, 004. Tendo em visa que o processo esocásico gerador de dados não é descrio por funções deerminísicas, seu comporameno fuuro deve ser descrio probabilisicamene. O processo somene pode ser esaisicamene deerminado quando odas as suas funções de disribuição de probabilidade são conhecidas aé a T-ésima ordem (Barros, 004. a práica, as funções de probabilidade aé a T-ésima ordem não são conhecidas e em-se acesso a uma única realização do processo esocásico, a parir do qual se deseja inferir sobre o mecanismo gerador da série. Devido a iso, consideram-se duas resrições: esacionariedade e ergodicidade. Um processo é dio esacionário se não exisem mudanças sisemáicas em suas caracerísicas. A esacionariedade pode ser do ipo fore ou fraca. a esacionariedade fore ou esria, a forma da disribuição conjuna do processo permanece invariane mediane uma ranslação emporal. Como na práica é difícil especificar a disribuição conjuna de um processo esocásico, há a versão mais fraca, na qual somene alguns momenos do processo permanecem inalerados no empo (Medeiros, 005. Assim, um processo é dio fracamene esacionário ou esacionário de segunda ordem se sua média é consane e sua auocovariância depende apenas do lag, iso é:

5 Revisão Bibliográfica E E [ ] µ [ ] σ [( µ ( µ ] γ Var (.7 Um processo é dio ergódigo se apenas uma realização é suficiene para ober odas as suas propriedades esaísicas. Por definição, odo processo ergódigo é ambém esacionário. A série emporal e o processo esocásico relacionam-se de maneira semelhane a uma amosra e sua população de origem. Enão, o objeivo da análise de uma série emporal é reirar uma amosra finia de dados equidisanes no empo (série emporal de uma realidade (processo esocásico e idenificar um modelo que seja capaz de inferir sobre o comporameno da realidade..3. Previsão de Séries Temporais Uma previsão é uma esimaiva quaniaiva de evenos fuuros, baseada na informação aual e passada (Souza, 983. O horizone de previsão é o inervalo de empo, conado a parir da origem de previsão, para o qual as previsões devem ser realizadas. Além disso, denominase número de passos à frene da previsão o número de inervalos previsos a parir da origem (Souza, 989. Assim, a previsão denoada por ˆ ( é definida como a esperança condicional de + dados os valores passados: ˆ ( (,,... E + (.8 onde + são os valores a serem previsos para,,...

6 Revisão Bibliográfica A maioria dos méodos de previsão de séries emporais se baseia na suposição de que observações passadas conêm odas as informações sobre o padrão de comporameno da série emporal e de que esse padrão é recorrene no empo. Os méodos de previsão, classificados como méodos quaniaivos, baseiam-se na exrapolação de caracerísicas de observações passadas e no inerrelacionameno enre essas observações, fornecendo previsões acuradas se o fuuro apresenar comporameno similar ao passado. Segundo Souza (989, uma previsão quaniaiva elaborada a parir de méodos esaísicos é caracerizada por: sua origem, o número de passos à frene, seu valor ponual e por uma medida de incereza a ela associada (a variância, por exemplo. O propósio dos méodos de previsão consise em disinguir o padrão de qualquer ruído que possa esar conido nas observações e, enão, usar esse padrão para prever os valores fuuros da série emporal. Assim, pela idenificação dessa componene, a previsão para períodos de empo subsequenes ao insane observado pode ser desenvolvida. Apesar de a quase oalidade dos méodos de previsão de séries emporais esar fundamenada apenas na análise das observações da série de ineresse para a especificação de algum modelo que descreva essas observações (modelos univariados, alguns procedimenos de previsão buscam explicar o comporameno de uma série emporal pela evolução dos fenômenos observacionais de ouras séries (modelos mulivariados.

7 Revisão Bibliográfica 3.4. Méodo Ingênuo (aíve O Méodo Ingênuo, ambém conhecido como Random Wal (Passeio Aleaório, é o mais simples para realizar a previsão de uma variável (Souza, 004. Sob esa perspeciva, o valor previso é igual ao úlimo valor observado, independene do número de passos à frene. O méodo pode ser represenado pela equação: + ε (.9 A previsão τ passos à frene a parir do insane é denoada por ˆ ( τ. Pode-se escrever a equação de previsão da seguine forma: ˆ [( + ε ] E( ( τ E + τ + τ + τ (.0 Por sua simplicidade, o Méodo Ingênuo é usado como criério de comparação (benchmar, iso é, o modelo a ser esado em que ser sempre melhor do que ese. Para al, pode-se fazer uso de alguns criérios de comparação. A mérica MAPE, Mean Absolue Percenage Error, indica o valor médio do erro percenual das previsões e é definido pela seguine fórmula: MAPE a y a x 00 (. onde é o número de previsões realizadas e a e y os valores observado e previso para o índice, respecivamene. O coeficiene U de Theil é oura mérica uilizada para avaliar o desempenho da previsão em relação ao Méodo Ingênuo. Ese coeficiene analisa a qualidade da previsão baseado na equação:

8 Revisão Bibliográfica 4 U i ( a y ( a a i (. O coeficiene pode ser inerpreado da seguine forma: U U > < O erro do modelo esimado é maior que o erro da previsão ingênua O erro do modelo esimado é menor que o erro da previsão ingênua Quano mais próximo de zero for o coeficiene U, melhor é a previsão do modelo esimado..5. Meodologia de Box & Jenins A meodologia proposa por Box & Jenins surgiu na década de 70 e provocou uma revolução na área de análise e previsão de séries emporais. Esa classe de modelos é largamene uilizada na práica e se firmou como uma das écnicas disponíveis mais eficienes. Uma das caracerísicas fundamenais desa meodologia é inerprear a série emporal como uma realização de um veor aleaório mulivariado cuja dimensão é a série disponível (Box & Jenins, 970. A parir de uma única realização do processo e com argumenos de esacionariedade e ergodicidade, procura-se deecar o sisema gerador, aravés das informações conidas na série. Os modelos de Box & Jenins são didaicamene divididos em: Modelos auorregressivos (AR, onde a série é explicada em função de suas próprias observações passadas;

9 Revisão Bibliográfica 5 Modelos médias móveis (MA, que expliciam os valores fuuros da série em função dos resíduos passados; Modelos auorregressivos de médias móveis (ARMA, que são uma combinação dos dois modelos aneriores; Modelos (ARIMA, que diferem dos ARMA pela aplicação de diferenças sucessivas na série emporal quando esa não respeia as condições de esacionariedade e ergodicidade, e Modelos SARIMA, para séries sazonais. O modelo de Box & Jenins em como base a Teoria Geral de Sisemas Lineares, a qual supõe que a passagem de um ruído branco por um filro linear de memória infinia gera um processo esacionário de segunda ordem (Souza e Camargo, 004. Ese mecanismo esá represenado na Figura.. Ruído Branco a Filro Linear Ψ w Processo Esacionário Figura. Mecanismo de geração de uma série emporal O objeivo do modelo de Box & Jenins é, enão, enconrar o sisema inverso que, a parir de uma série emporal, seja capaz de gerar um ruído branco, como mosrado na Figura.. Quando o ruído branco é obido, pode-se dizer que a esruura de dependência da série emporal foi capurada. Série Temporal x Filro Linear Ψ - a Ruído Branco Figura. Análise de uma série emporal

10 Revisão Bibliográfica 6 A meodologia pode ser aplicada a séries esacionárias ou não, e a condição necessária para a aplicação do modelo a séries não esacionárias, é que a esacionariedade possa ser obida aravés de diferenças e/ou ransformações não lineares da série original. A filosofia de al modelagem é o princípio da parcimônia e a consrução de modelos aravés de um ciclo ieraivo. Os operadores uilizados para a manipulação dos modelos são: por: Operador de ranslação para o passado, denoado por B e definido B B m m (.3 Operador de ranslação para o fuuro, denoado por F e definido por: F + m F + m (.4 Operador de diferença, denoado por e definido por: B (.5 ( sendo B. Operador da soma, denoado por S e definido por: j + j 0 S ( + B + B +... (.6 sendo S.

11 Revisão Bibliográfica 7 O modelo de Box & Jenins segue a formulação: w Ψ( B a 0 ψ a (.7 O polinômio Ψ(B possui infinios parâmeros. Box e al. (994 argumenam que, sob algumas resrições, odo polinômio infinio pode ser expresso pelo quociene de dois polinômios finios. Enão segue que: onde: θ ( B Ψ ( B (.8 φ( B θ ( B θ B θ B... θqb q é o polinômio de médias móveis MA(q e φ( B φ B φ B... φ pb p é o polinômio auorregressivo AR(p. Generalizando, êm-se os modelos ARIMA(p,d,q: φ ( θ a (.9 d B ( B O melhor modelo deve ser parcimonioso, ou seja, deve coner o menor número de parâmeros possível para ajusar-se à série de dados observados..5.. Processo de modelagem dos modelos ARIMA Pode-se afirmar que a meodologia de Box & Jenins segue quaro eságios principais:

12 Revisão Bibliográfica 8 Eapa Idenificação Considerada como a fase críica da meodologia, as principais ferramenas da idenificação são a FAC (Função de Auocorrelação, a FACP (Função de Auocorrelação Parcial e os correlogramas resulanes, que são as represenações gráficas das FAC s e FACP s conra o amanho da defasagem. De acordo com o conceio, a auocorrelação parcial é análoga ao conceio de coeficiene de regressão parcial; assim, esa mede a correlação enre observações (séries emporais que sejam períodos afasados. a idenificação, o objeivo é deerminar as ordens (p,d,q para a componene não sazonal e/ou as ordens (P,D,Q, para a componene sazonal, além de esimaivas preliminares dos parâmeros a serem usadas na fase seguine. Eapa Esimação Esa eapa consise em esimar os parâmeros dos ermos auorregressivo e de média móvel incluídos no modelo, aravés da maximização da função de verossimilhança condicional, equivalene à esimação de Mínimos Quadrados, supondo-se normalidade de a. a esimação dos parâmeros desconhecidos, procura-se minimizar a soma do quadrado dos erros, ou seja, no caso do modelo ARIMA(p,d,q, busca-se minimizar: T a d S(ξ, onde a θ ( B. φ( B. (.0 Com a suposição da normalidade dos erros pode-se escrever a função de verossimilhança e proceder à esimação dos parâmeros por Máxima Verossimilhança.

13 Revisão Bibliográfica 9 Eapa 3 Verificação esa fase é necessário verificar se o modelo represena adequadamene os dados. Exisem diversos eses para al procedimeno e a grande maioria se baseia na análise dos resíduos dos modelos, ou seja, se os resíduos seguem um comporameno ruído branco. Desa forma, o processo é ieraivo e se o modelo selecionado não é adequado, reorna-se à eapa de idenificação para a escolha de ouro modelo. Um procedimeno muias vezes uilizado é o de idenificar não só um único modelo, mas alguns modelos que serão enão esimados e verificados. Se o propósio é realizar previsões, escolhe-se enre os modelos ajusados o melhor no senido de, por exemplo, fornecer o menor Erro Quadráico Médio de previsão. É possível que vários pesquisadores idenifiquem modelos diferenes para uma mesma série emporal (Morein, 006. Eapa 4 Previsão O objeivo nesa fase é prever um valor +τ, com horizone de previsão τ, supondo que emos observações...,,,, aé o insane, que é chamado origem das previsões. Esa previsão é de origem e horizone τ, ^ denoada por ( τ. A expressão de previsão pode ser escria da seguine maneira, uilizando a equação de diferenças (sendo τ : ^ E[ + τ ] φ [ + τ ] φ p[ + τ p ] θ[ a + τ ]... θ q[ a + τ q ] + [ a + τ ] (.

14 Revisão Bibliográfica 30 Porém, os seguines conceios devem ser seguidos: [ [ [ a [ a ^ ] ] ] 0 > 0 ] a + ( > Teses de adequação do modelo Exisem diversos eses para verificar a adequação do modelo esimado. Box & Jenins (970 sugerem, enre ouros, o Criério de Sobrefixação, o Tese dos Resíduos Gerados, que pode ser realizado aravés da verificação do Tese de Pormaneau e do Tese de Periodograma Acumulado. O Criério de Sobrefixação consise, basicamene, na elaboração de um modelo com um número de parâmeros superior ao do modelo fixado, que cubra as suposas direções de discrepâncias (Souza, 004. Caso sejam enconrados parâmeros significaivos, há um indicaivo de que o modelo foi subidenificado. Para esar os resíduos, o Tese de Pormaneau esima a auocorrelação residual e aravés da esaísica: Q n j ( r j â (. A hipóese nula é a de que os resíduos são aleaórios e, para que isso ocorra, o valor de Q deve ser menor do que o valor da abscissa da disribuição Qui-Quadrado com (-p-q graus de liberdade. o ese do Periodograma acumulado, compara-se o Periodograma acumulado da série dos resíduos com o de um ruído branco, com o inuio de se

15 Revisão Bibliográfica 3 enconrarem componenes periódicos (Mongomery, 976. A aplicação desse ese é feia, geralmene, em séries de carga semanal ou mensal, viso que o modelo compora apenas a sazonalidade, não incluindo a modelagem dos ciclos..6. Regressão Harmônica A Análise Harmônica ou Análise de Fourier é, radicionalmene, uilizada para resolver equações diferencias parciais presenes na Física. a análise de séries emporais, o objeivo básico é aproximar uma função do empo por uma soma de componenes senoidais, cujos coeficienes são as ransformadas de Fourier da série (Morein, 006. A essência da análise de Fourier é a represenação de um conjuno de dados em ermos de funções senoidais. ese pono, iso parece apropriado para jusificar a escolha desas funções, viso que muias ouras famílias de funções periódicas possuem as mesmas propriedades das senóides. Qualquer desas famílias poderia ser uilizada de forma similar (Aris e al., 007. As oscilações nas séries podem ser descrias em ermos senoidais pela Análise Especral. Ese é um méodo que descreve a endência para as oscilações de uma dada frequência que aparece nos dados, em vez das próprias oscilações. Segundo Bloomfield (976, a propriedade mais básica das senóides que as orna geralmene adequadas à análise de séries emporais é o seu comporameno sob uma simples mudança de escala de empo. Uma senóide de frequência ω (em radianos por unidade de empo ou período ω escria como: π pode ser f ( R cos( ω + φ (.3 onde R é a ampliude e φ é a fase.

16 Revisão Bibliográfica 3 Oura caracerísica úil das senóides é o seu comporameno sob amosragem (iso é, observando uma função da variável conínua em um conjuno de valores igualmene espaçados,..., se seu inervalo amosral é, as senóides: 0, R cos( ω + φ e R cos( ω + φ (.4 são impercepíveis quando ω ω é um múliplo de π / Ese fenômeno é conhecido como aliasing. (Bujosa e al., 007. Muias vezes o ineresse da Análise Harmônica esá em buscar periodicidades nos dados observados (Amaral, 975. Há duas siuações frequenes que podem ocorrer: As frequências são conhecidas e o objeivo é esimar ampliudes e fases; Há necessidade de esimar ampliudes, frequências e fases. Quando o modelo possui uma única periodicidade, que é conhecida, pode-se represenar os dados segundo a equação (Morein, 006: ( ω + φ ε µ + R cos + (.5 ou, de forma equivalene, ( ω + Bsen( ω ε µ + Acos + (.6 em que A R cosφ, B Rsenφ, R é a ampliude, φ é o ângulo de fase, ω é a frequência e ε é a componene aleaória.

17 Revisão Bibliográfica 33 De (.5 e (.6 em-se que R + A B, enão: arcan arcan arcan φ π, π, arbirário ( B, A ( B A ( B π, + π, A A > 0, A < A < A 0, B > 0, A 0, B < 0, A 0, B 0, B 0, B > 0, < 0, 0. (.7 O problema é, enão, esimar A, B e µ para um ω fixado, o que é feio uilizando o Méodo de Mínimos Quadrados. Os esimadores µˆ,  e Bˆ são obidos pela minimização da soma do quadrado dos erros dada pela equação: S ( µ, A, B ( µ Acos( ω Bsen( ω (.8 A esimação segundo a equação acima resula em um sisema de equações cuja solução não é rivial. Assim, uma maneira alernaiva para enconrar os esimadores é usar a noação maricial para reescrever a equação (.6 (Bloomfield, 976. Wθ +ε (.9 em que: (,...,, θ ( µ, A, B W M cos( ω cos(ω M cos( ω sen( ω sen(ω M sen( ω

18 Revisão Bibliográfica 34 que fornece o esimador: θˆ ( W W W (.30 cuja solução é: ˆµ R ˆ + ˆ  B (.3 Bˆ ˆ φ arcg  Se ω π :  Bˆ cos( ω sen( ω (.3 Se ω π :  ( Bˆ 0 (.33 Quando ω π e não muio próximo de zero, uma solução aproximada é dada por (Morein, 006:

19 Revisão Bibliográfica 35 ~ µ ˆ µ à ( ( ~ B ~ ~ R à + B ~ ~ B φ arcg à cos( ω sen( ω (.34 Quando um modelo em periodicidades múliplas ( periodicidades, a equação (.6 pode ser reescria da forma: ( ω + Bsen( ω A ( ω + B sen( ω ε µ + A cos cos + (.35 onde ω,...,ω são frequências conhecidas. O modelo (.35 é uma regressão linear, conhecida como Regressão Harmônica, que segue a equação (.9 onde as marizes que a compõem são agora: θ ( µ A,..., A, B,..., B, W M cos( ω cos(ω M cos( ω sen( ω sen(ω M sen( ω K K O K cos( ω cos(ω M cos( ω sen( ω sen(ω M sen( ω πi πj πm Quando ω, ω,..., ω, iso é, são frequências de Fourier, a solução exaa é dada por: µˆ (.36

20 Revisão Bibliográfica 36 Â Bˆ sen cos ( ω ( ω,,...,,... (.37 Para ω π : Â Bˆ 0 ( ( Regressão Harmônica com Tendência Polinomial Quando a série a ser modelada possui alguma endência, o modelo (.35 pode ser esendido para (Al-Madfai e al., 00: µ + a + + A cos p b c + A cos( ω + Bsen( ω ( ω + B sen( ω + ε (.39 o que significa que o modelo segue a equação (.9 cuja mariz permanece a mesma considerada para a Regressão Harmônica com múliplas periodicidades e a mariz W é da forma: W M M M K K O K p M p p cos( ω cos(ω M cos( ω sen( ω sen(ω M sen( ω K K O K cos( ω cos(ω M cos( ω sen( ω sen(ω M sen( ω onde p é o grau do polinômio que modela a endência.

21 Revisão Bibliográfica 37 O veor θ é agora: θ ( µ a, b,..., c, A,..., A, B,..., B, (.30. A esimação via Mínimos Quadrados Ordinários é dada pela equação.6.. Periodograma Quando os ω são frequências desconhecidas é necessário esender o méodo anerior de forma a incluir a esimação desas frequências. Assim, os esimadores ~ ~ de µ, A e B dependem de ω e são, porano, denoados por ˆ µ ( ω, A ( ω, B( ω, respecivamene (Young e al.,999. O melhor valor para ω é o que maximiza a quanidade: ~ ~ ~ R ( ω A ( ω + B ( ω (.40 o que é equivalene a maximizar a quanidade abaixo, denominada Periodograma: ~ I( ω R ( ω 8π π ( cos( ω + ( sen( ω (.4 O Periodograma é uma écnica uilizada para deerminar as componenes de frequência conidas na série (Taylor e al., 007.

22 Revisão Bibliográfica 38 Uma noação mais compaca para o Periodograma é: iω I( ω e (.4 Apesar de as equações (.4 e (.4 serem definidas para qualquer frequência ω [- π, π ], o cálculo das ordenadas do Periodograma faz-se apenas para um conjuno finio de abscissas (Morein, 006. Espera-se que o Periodograma apresene um pico quando calculado para uma frequência que coincida exaamene com uma das frequências verdadeiras Tese de Fisher Pode-se recorrer a eses de hipóeses para analisar a significância esaísica dos máximos do Periodograma. Os principais são o Tese de Fisher e sua exensão, o Tese de While, que são apresenados a seguir. Segundo Morein (983, o Tese de Fisher é uilizado para esar o valor do maior pico no Periodograma. Considera-se o modelo: X Y + (.43 onde X,,,..., são observações discreas de um processo esacionário com média zero e especro miso. Y e a pare conínua do especro e são processos descorrelacionados, onde Y é, um ruído banco. A hipóese nula é: H 0 : A j 0 para odo j, sob a condição de que X seja ormal, onde A j é o coeficiene de ordem j da Regressão Harmônica. A Esaísica de Fisher é:

23 Revisão Bibliográfica 39 g max m j [ I ( ω ] I j j ( ω (.44 em que m. Fisher (99 mosrou que, sob H 0, a disribuição exaa de g (equação.44 é: onde. z m m m m P ( g > z m( z ( z ( ( z (.45 Podem-se enconrar abelas para a disribuição acima dada por Fisher (99 e Shimshoni (97. Se H 0 é rejeiada, pode-se concluir que há uma periodicidade em frequência corresponde ao max[ ( ω ] frequência é ω πj ˆ0. j X cuja I. Se iso ocorre para j j, enão esa While (95 sugere a possibilidade de esar o pico de ª ordem pela omissão do ermo I (ω em (.44 e ajusando-se o valor de m para m-. j Se é conhecido que H 0 é falsa, enão o ese baseado em: X em exaamene r componenes periódicas, quando g ( r I m j ( r I ( ω j ( ω (.46 (r pode ser usado, onde ( ω I é a r-ésima maior coordenada.

24 Revisão Bibliográfica Ajuse polinomial de curvas Um ajuse de curvas é um mecanismo ou arifício que fornece uma relação funcional quando há uma relação esaísica (Anon, 00. Quando algum fenômeno ou siuação é analisado aravés de dados numéricos, há a necessidade de saber qual a relação funcional correspondene y f (x. Uma das formas de se rabalhar com uma função definida por uma abela de valores é a inerpolação polinomial. Porém esa écnica não é adequada quando se quer exrapolar ou quando há erros inerenes ao experimeno em quesão, viso que eses são imprevisíveis. O ajuse por Mínimos Quadrados é uma boa solução para ese problema. Considerando um ajuse polinomial, ou seja, y a + bx + cx +..., pode-se proceder ao ajuse de Mínimos Quadrados para descobrir a função que define a curva uilizando a equação (Anon, 00: ( X X X y S (.47 onde: a b S c M X M x x x x M M x n x n K K O K y y y M y n Enconrada a equação que deermina a dinâmica dos dados, pode-se uilizar alguns criérios para verificar qualidade do ajuse. O coeficiene de Correlação de Pearson é calculado como segue:

25 Revisão Bibliográfica 4 r ( y yaj y ( y (.48 onde y são os dados observados e y aj são os valores ajusados pelo polinômio. Quano mais próximo de for o r, melhor é o ajuse da curva. Oura forma de validar o ajuse é o MAPE (equação.: quano menor for ese valor, mais adequada é a curva ajusada.