Estimação em Modelos de Volatilidade Estocástica com Memória Longa

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA Esimação em Modelos de Volailidade Esocásica com Memória Longa Auor: Gusavo Correa Leie Orienador: Professor Dr. Cleber Bisognin Poro Alegre, de Junho de 011.

2 Universidade Federal do Rio Grande do Sul Insiuo de Maemáica Deparameno de Esaísica Esimação em Modelos de Volailidade Esocásica com Memória Longa Auor: Gusavo Correa Leie Monografia apresenada para obenção do grau de Bacharel em Esaísica. Banca Examinadora: Professor Cleber Bisognin Professora Liane Werner Poro Alegre, de Junho de 011.

3 Dedico ese rabalho ao meu grande Amor... ii

4 Resumo O objeivo dese rabalho é a esimação dos parâmeros em modelos de volailidade esocásica com memória longa e em processos de memória longa com adição de ruído. Para represenar o comporameno da memória longa fizemos uso de séries simuladas seguindo um modelo ARFIMA e na esimação dos parâmeros uilizamos os esimadores GPH (1983), FT (1986) e Beran (1985). Realizamos simulações de Mone Carlo para analisar o comporameno dos esimadores e os comparamos aravés do valor médio para o parâmero esimado, vício, erro quadráico médio e variância. De forma geral, o esimador que obeve os melhores resulados nas simulações realizadas foi o FT, esimador esse proposo por Fox e Taqqu. iii

5 Coneúdo 1 Inrodução...1 Modelos com Memória Longa Modelos ARIMA Modelo ARMA(p,q) Modelo ARIMA(p,d,q)...6. Modelos ARFIMA Propriedade de Memória Longa Modelo ARFIMA(0,d,0) Modelo ARFIMA(p,d,q) Modelos de Volailidade Esocásica Reornos Modelos de Volailidade Esocásica Modelos de Volailidade Esocásica com Memória Longa Função de Densidade Especral dos Processos VE-ARFIMA Processo de Memória Longa com Adição de Ruído Méodos de Esimação Méodos Semiparaméricos Esimador GPH Esimador BA Méodos Paraméricos Esimador FT Esimador FTmod Esimador Beran Simulação Modelos ARFIMA(0,d,0) Modelos ARFIMA(p,d,q) Modelos ARFIMA(1,d,0) e ARFIMA(0,d,1) Conclusões...65 Referências Bibliográficas...67 Anexo A...69 A.1 Função Periodograma...69 iv

6 Anexo B...71 B.1 Convergência do Valor Esimado Quano ao Número de Replicações...71 v

7 Capíulo 1 Inrodução Ao se esudar séries financeiras é muio comum o ineresse no comporameno dos reornos, mais do que a própria série. Afinal são os reornos que indicam se houve perda ou ganho por pare dos invesidores. Durane muio empo esudou-se o comporameno desses reornos com base na suposição que a variabilidade neles exisenes era consane. Em esudos mais recenes foi observado que a variabilidade condicional (condicionada a valores passados) dos reornos, conhecida como volailidade, era variane ao longo do empo, surgindo enão o ineresse de modelar essa série. Nessa arefa os modelos que obiveram maior desaque foram os da família ARCH, proposo por Engle (198) e os de volailidade esocásica, proposos por Taylor (1994). Processos de volailidade esocásica onde a volailidade segue um processo AR(1) foram muio uilizados aé er sido verificado que em algumas séries a volailidade apresenava a propriedade de memória longa, iso é, mesmo observações disanes apresenavam correlação significaiva. Essa propriedade de memória longa foi primeiramene verificada por Harold Edwin Hurs, em 1951, durane os seus esudos sobre a ferilidade às margens do Rio Nilo. Moivados pelos esudos de Hurs, ouros pesquisadores começaram a esudar o comporameno de memória longa em séries emporais. A memória longa pode ser facilmene observada aravés do comporameno da função de auocorrelação, a qual decai lenamene de forma hiperbólica. Os processos mais uilizados para capurar essa caracerísica são os modelos ARFIMA, os quais são uma exensão naural dos modelos ARIMA onde o parâmero da diferenciação é um número real. Assim, ese comporameno nas séries financeiras passou a ser esudado uilizando-se os modelos de volailidade esocásica com memória longa, ais processos foram denominados de VE-ARFIMA (Harvey, 1993 e Taylor, 000). 1

8 Poso isso, o objeivo desse rabalho é esimar os parâmeros dos modelos de volailidade esocásica com memória longa e ambém dos modelos ARFIMA conaminados com um processo de perurbação, dos quais os processos VE-ARFIMA são um caso paricular. Para isso uilizamos os esimadores proposos por Geweke e Porer-Hudak (1983) uilizando a função periodograma e a função periodograma suavizado de covariâncias, Fox e Taqqu (1986) e Beran (1995). Ese rabalho enconra-se organizado da seguine forma. No Capíulo apresenamos os modelos de memória longa. Em seguida, no Capíulo 3, inroduzimos os modelos de volailidade esocásica. No Capíulo 4 apresenamos os méodos de esimação que uilizamos. No Capíulo 5, emos as simulações dos processos de volailidade esocásica com memória longa e dos processos de memória longa com adição de ruído e a comparação enre os esimadores uilizados. Por fim, no Capíulo 6 emos as conclusões do rabalho.

9 Capíulo Modelos com Memória Longa Os modelos de longa memória êm desperado o ineresse de muios pesquisadores de variadas áreas do conhecimeno. Tais modelos são de ineresse, por exemplo, na análise de esudos climáicos, como no esudo da endência do aumeno das emperauras globais, denominado de efeio esufa, e ambém em muios esudos de Economia e Física. Mandelbro e Taqqu (1979), moivados pelos rabalhos de Hurs, passaram a esudar o comporameno da longa memória em séries financeiras. Foi enão verificado a parir desses esudos iniciais que os processos de memória longa descrevem de modo saisfaório dados econômicos e financeiros, ais como axas de juros e de inflação. Os modelos de memória longa são caracerizados na série por uma dependência significaiva mesmo enre observações disanes no empo. Essa dependência pode ser visualizada, no domínio do empo, aravés da função de auocorrelação, a qual apresena decaimeno hiperbólico. Já no domínio da frequência, o fenômeno da longa memória pode ser verificado aravés da função especral, a qual é ilimiada em alguma frequência no inervalo [0, π ]. Um processo de memória longa é um processo esacionário em que a função de auocorrelação apresena decaimeno leno. Temos enão um comporameno diferene do que o verificado nos processos ARMA(p,q), pois esses são denominados processos de memória cura, uma vez que a sua função de auocorrelação decresce rapidamene para zero, de forma exponencial. Após ser verificado que a caracerísica de memória longa não podia ser capurada pelos modelos da classe ARIMA, Granger e Joyeux (1980) e Hosking (1981) propõem os modelos ARFIMA (auorregressivos fracionariamene inegrados e de médias móveis). O modelo ARFIMA é uma generalização do modelo ARIMA, o qual o parâmero de diferença assume valores fracionários. 3

10 Dada a imporância desses modelos em séries emporais, apresenamos na próxima seção os modelos ARIMA. E após, na seção., inroduzimos os modelos ARFIMA..1 Modelos ARIMA Uma meodologia muio uilizada para a análise de séries emporais foi a desenvolvida por Box e Jenkins (1976). Essa meodologia consise em ajusar modelos auorregressivos inegrados de médias móveis, ARIMA(p,d,q), a um conjuno de dados e abrange modelos que precisam de diferenciação ineira para ser esacionários. Esse méodo sugere a descrição de uma série emporal na forma de polinômios, sendo os parâmeros p e q, respecivamene, o número de ermos auorregressivos e de médias móveis que o polinômio erá e d o número de diferenças ineiras necessárias para ornar a série esacionária. Um caso paricular dos modelos ARIMA são os modelos esacionários ARMA(p,q), iso é, quando d=0, o qual apresenamos a seguir..1.1 Modelo ARMA(p,q) Nessa seção definimos o processo auorregressivo média móvel para séries emporais esacionárias. Para melhor enendimeno da definição dos processos ARMA, primeiramene emos a definição de um processo ruído branco. Definição.1. O processo { ε } é um processo ruído branco com média 0 e variância Z σ ε finia, ou seja, RB(0, ε ) σ se, e somene se, { ε } Z em função de auocovariância dada por,k 0, 0,k 0 σ ε = γ ε ( k ) = Cov( ε, ε k ) = iso é, { ε } Z são não-correlacionados. Quando saisfeia a condição de normalidade, emos o ruído branco gaussiano. 4

11 Propriedade: A densidade especral do processo ruído branco { ε } Z é dada por 1 iωk σ ε f ε ( ω ) = γ ( k )e =, 0 ω π. π π k = Definição.. O processo { Y } Z é um processo auorregressivo e de médias móveis de ordens p e q, denoado ARMA(p,q), se saisfaz a equação Y µ = φ (Y µ ) φ (Y µ ) + ε + θ ε θ ε, 1 1 p p 1 1 q q em que { ε } Z é um processo ruído branco. De forma similar, o processo ARMA(p,q) é dado por φ ( B )(Y µ ) = θ( B ) ε Z, (.1) onde B é o operador defasagem, iso é, j B Y = Y, { } j ε Z é um processo ruído branco, φ ( ) e θ( ) são polinômios de ordem p e q (ineiros), respecivamene, dados por p q j i ( B ) = jb e ( B ) = ib j= 0 i= 0, (.) φ φ θ θ onde φ = 1 = θ. 0 0 Algumas resrições sobre os parâmeros do processo ARMA são necessárias para garanir as propriedades de esacionariedade e inveribilidade. O eorema a seguir apresena a função densidade especral dos processos ARMA(p,q), cuja demonsração pode ser enconrada em Brockwell e Davis (1991). 5

12 Teorema.1. Seja { Y } Z um processo ARMA(p,q) com média µ = 0 (sem perda de generalidade), saisfazendo a equação (.1). Suponha que os polinômios φ ( B ) = 0 e θ ( B ) = 0, não possuem raízes em comum. Enão são verdadeiras as seguines afirmações. i) Se as raízes da equação φ ( B ) = 0 esão fora do círculo uniário, enão o processo { Y } Z é esacionário. ii) Se as raízes da equação θ ( B ) = 0 esão fora do círculo uniário, enão o processo { Y } Z é inverível. iii) Se o processo { Y } Z é esacionário, sua função densidade especral é dada por iω σ ε θ( e ) f Y ( ω ) =, 0 < ω π. iω π φ( e ) A seguir, apresenamos o modelo ARIMA(p,d,q)..1. Modelo ARIMA(p,d,q) Nesa seção definimos o processo auorregressivo inegrado média móvel uilizado em séries emporais não esacionárias. Ese modelo é uma generalização do processo ARMA(p,q). Definição.3. Um processo { Y } Z é denominado processo auorregressivo inegrado e de médias móveis, denoado por ARIMA(p,d,q), onde o parâmero d N {0}, se saisfaz a equação φ = θ ε Z, (.3) d ( B )(1 B ) Y ( B ), onde φ ( B ) e θ( B ) são polinômios auorregressivos e de médias móveis definidos na expressão (.). 6

13 Na próxima seção apresenamos os modelos ARFIMA.. Modelos ARFIMA Nesa seção, esenderemos a classe de processos ARIMA para incorporar o comporameno de memória longa. Dessa forma, propõe-se que o parâmero de diferenciação d dos processos ARIMA ambém assuma valores fracionários. Esses processos são denominados de ARFIMA auorregressivos fracionariamene inegrados e de médias móveis e foram inroduzidos por Granger e Joyeux (1980) e Hosking (1981, 1983) e servem para modelar séries com caracerísicas de memória longa. Essa nova classe na realidade é uma generalização do processo ARIMA onde agora d R. Definição.4. Um processo { Y } Z segue um modelo ARFIMA(p,d,q), auorregressivo fracionariamene inegrado e de médias móveis de ordens p, d e q, se saisfaz a equação φ = θ ε Z, (.4) d ( B )(1 B ) Y ( B ), onde φ ( B ) e θ ( B ) são polinômios auorregressivos e de médias móveis definidos na expressão (.). O operador de diferença fracionária seguine expansão binomial d (1 B ) quando d < 0.5 pode ser escrio como a d d( d 1) d( d 1)( d ) (.5) k = 0 k! 3! d k 3 (1 B ) = ( B ) = 1 db + B B +... onde, d Γ ( d + 1) = k Γ ( k + 1) Γ ( d k + 1) com Γ ( ) sendo a função Gama definida por k 1 x Γ ( k ) x e dx =, k 0 0 >. 7

14 Na próxima seção abordamos o conceio de memória longa e a idenificação desse comporameno...1 Propriedade de Memória Longa A idenificação de processos de memória longa, ou cura, pode ser feia com a análise do comporameno da função de auocorrelação e da função de densidade especral. De forma geral, um processo fracamene esacionário é dio ser de memória longa se iver função de auocorrelação com decaimeno hiperbólico, iso é, d 1 ρ( k ) C1k, quando k, para algum C1 0 e d 0. k Ainda é possível verificar que no caso da memória longa, ou longa dependência, ρ( k ) diverge, ou seja, é infinia. O parâmero d conrola a axa de decaimeno das auocorrelações, as quais não são absoluamene somáveis para d > 0. Os processos com memória cura, como os ARMA, em auocorrelações apresenando um decaimeno exponencial. De oura maneira pode-se dizer que um processo em memória longa se iver função de densidade especral com comporameno da seguine forma d f ( ω ) C ω, quando ω 0, onde C > 0 e d 0. Para d > 0 o especro diverge em zero, ou seja, f ( ω ) quando ω 0 e assim a função de densidade especral é limiada para frequências próximas a zero. 8

15 As figuras 1 e apresenam o gráfico das funções de auocorrelação de um processo ARMA(1,1) e de um processo ARFIMA(0,d,0), respecivamene, onde fica evidene o leno decaimeno da função de auocorrelação no processo ARFIMA. Figura 1: Função de auocorrelação amosral de um processo ARMA(1,1), onde φ 1 =0,9 e θ 1 =0,5. Figura : Função de auocorrelação amosral de um processo ARFIMA(0,d,0), onde d=0,4. 9

16 Os processos da classe ARFIMA êm comporameno de memória longa, ou persisência, quando o parâmero d ( 0,0.5 ) e comporameno de memória inermediária, ou ani-persisência, para d ( 0.5,0 ). Como a caracerísica da memória cura ou longa é definida pelo parâmero d, ese recebe o nome de parâmero de memória. Nas próximas seções apresenamos os modelos ARFIMA(0,d,0) e o modelo generalizado ARFIMA(p,d,q), bem como suas principais propriedades... Modelo ARFIMA(0,d,0) Na definição.4 quando p = 0 = q o processo { Y } Z é chamado de ruído branco fracionário, denoado ARFIMA(0,d,0), sendo esacionário e inverível quando d ( 0.5,0.5 ), saisfazendo a equação d (1 B ) Y = ε, Z, (.6) onde { ε } Z é um processo ruído branco. Teorema.. Seja { Y } Z o processo ARFIMA(0,d,0) definido por (.6). Enão, valem as seguines afirmações. (i) O processo { Y } Z é esacionário quando d < 0.5 e possui represenação média móvel infinia, MA( ), dada por onde Y ψ ( B ) ε ψ ε = =, k k k 0 Γ ( k + d ) ψ ( k ) =. Γ ( k + 1) Γ ( d ) Quando d 1 k k, ψ k. Γ ( d ) 10

17 (ii) O processo{ Y } Z é inverível quando d > 0.5 e possui represenação auoregressiva infinia, AR( ), dada por onde π( B )Y = π Y = ε, k k k 0 Γ ( k d ) π( k ) =. Γ ( k + 1) Γ ( d ) Quando k, d 1 k π k. Γ ( d ) Assumindo d ( 0.5,0.5 ) no processo ARFIMA(0,d,0), valem a seguines propriedades. (iii) A função de densidade especral do processo { Y } Z é dada por d σ ε ω f Y ( ω ) = sen, 0 < ω π. π Quando ω 0, senω ω e σ ε d f Y ( ω ) ω. π (iv) A função de auocovariância do processo { Y } Z é dada por γ k ( 1) Γ (1 d ) y( k ) σ ε, para odo k = N. Γ ( k d + 1) Γ (1 k d ) (v) A função de auocorrelação do processo { Y } Z é dada por Γ ( k + d ) Γ (1 d ) ρy ( k ) =, para odo k N. Γ ( k d + 1) Γ ( d ) 11

18 Quando Γ (1 d ) k, ρy ( k ) k Γ ( d ) d 1. (vi) A função de auocorrelação parcial do processo { Y } Z é dada por d k d φ + Y ( k,k ) =, para odo k N. k Γ ( j d ) Γ ( k d j + 1) φy ( k, j ) = j Γ ( d ) Γ ( k d + 1). Observação: Quando d ( 0,0.5 ), a função de auocorrelação ρ ( k ) Y em um decaimeno hiperbólico e a função densidade especral f ( ) é ilimiada na frequência zero, o que Y significa que quando d ( 0,0.5 ) o processo ARFIMA possui a propriedade de memória longa...3 Modelo ARFIMA(p,d,q) O Teorema.3, descrio a seguir, apresena as propriedades dos modelos ARFIMA(p,d,q). Teorema.3. Seja { Y } Z o processo ARFIMA(p,d,q) definido por (.4). Suponha que as equações φ ( B ) = 0 e θ ( B ) = 0 não possuem raízes em comum e que as suas raízes esão fora do círculo uniário. Enão valem as seguines afirmações. (i) O processo { Y } Z é esacionário e inverível, iso é, quando d ( 0.5,0.5 ), com as represenações MA( ) e AR( ) dadas, respecivamene, por = Y ψ ε e π Y = ε, k k k 0 k k k 0 onde ψ k e π k são os coeficienes de k B na expansão de 1

19 θ( B ) ψ ( B ) (1 B ) φ( B ) d = e φ( B ) π( B ) (1 B ) θ( B ) d =. ii) a função de densidade especral do processo { Y } Z, denoada por f ( ), quando Y d ( 0.5,0.5 ), é dada por iω d σ ε θ( e ) ω f Y ( ω ) = sen, 0 i < ω π. (.8) ω π φ( e ) d Quando ω 0, lim f ( ω ) ω. Y iii) Seja ρ ( ) a função de auocorrelação do processo { } Y Y Z k, lim ρ ( k ) k d 1 Y.. Enão, quando 13

20 Capíulo 3 Modelos de Volailidade Esocásica As séries financeiras, em especial, apresenam variâncias condicionais que mudam ao longo do empo. A variância condicional dos reornos, mais conhecida como volailidade, em sido um pono fundamenal dos auais esudos. Dessa forma uma variedade de modelos dessa naureza em sido proposos. Engle (198) para abordar al siuação sugeriu o modelo ARCH, ou modelo auorregressivo com heerocedasicidade condicional. A idéia básica aqui é que o reorno é não-correlacionado serialmene, mas a volailidade (variância condicional) depende de reornos passados por meio de uma função quadráica. O modelo ARCH(r) é definido por X X = h ε, h = α + α X α X, r r ε Z onde { } é independene e idenicamene disribuído com média 0 e variância 1. A parir do modelo ARCH muios ouros modelos surgiram gerando uma família de modelos (ARCH, GARCH, IGARCH, FIGARCH, FIEGARCH, ec.). Uma alernaiva aos modelos ARCH são os modelos de volailidade esocásica. Nos processos de volailidade esocásica, a volailidade segue um processo esocásico laene, pois é ela é uma variável não-observável, sendo quase sempre uilizado um processo ARMA(p,q). No enano, a uilização do processo ARMA(p,q) não é saisfaória no caso da volailidade er comporameno de memória longa, uma sugesão para essa siuação é que para o processo esocásico laene seja uilizado processos ARFIMA, sendo essa a abordagem principal desse rabalho. 14

21 3.1 Reornos Em finanças, um dos objeivos é a avaliação dos riscos de uma careira de aivos. O risco é medido em ermos de variações de preços dos aivos. Denoamos por P o preço de um aivo no insane de empo. Dessa forma, definimos o reorno líquido simples dese aivo, ambém chamado de axa de reorno, pela seguine expressão R P P P 1 =. 1 Denoando p = ln P definimos o reorno composo coninuamene ou simplesmene log-reorno como P r = ln = ln( 1+ R ) = p p. 1 P 1 Essa definição é a mais comumene uilizada. Normalmene r será simplesmene chamado de reorno. Na práica é preferível rabalhar com reornos, que são livres de escala, do que com preços, pois os primeiros em propriedades esaísicas mais ineressanes (como esacionariedade e ergodicidade). Não é nosso ineresse nesse rabalho aprofundar a discussão sobre os reornos. Nessa seção o objeivo foi apenas mosrar que na arefa de modelar esses reornos é que surgem os modelos de volailidade esocásica. Apresenamos os modelos de volailidade esocásica na Seção Modelos de Volailidade Esocásica Os modelos de volailidade esocásica, conhecidos como SV (Sochasic Volailiy), primeiramene proposos por Taylor (1980, 1986) não supõem que a volailidade condicional dependa dos reornos passados como nos modelos da família ARCH. Ese modelo supõe que a volailidade presene dependa dos valores passados da série, mas é independene dos reornos passados. 15

22 Uma forma de modelar a volailidade é considerar que o reorno pode ser escrio como o produo de um processo ruído branco { ξ } Z por um processo independene { σ } Z, conforme a seguir Y = σ ξ, (3.1) onde { ξ } Z é um processo RB(0, ξ ) σ. Como a variância do processo { Y } Z condicionada a σ é igual a σ, σ é a volailidade (condicional) dos reornos. Em geral, assume-se que o processo { ξ } Z é um ruído branco gaussiano. No modelo de volailidade esocásica, σ pode ser escrio da seguine forma σ = σ exp( υ / ) (3.) onde { υ } Z é um processo independene de { ξ } Z, sendo que { ξ } Z é um ruído branco gaussiano com σ = 1. Muios auores definem { υ } Z um processo ARMA(p,q). ξ A análise do modelo de volailidade esocásica orna-se mais simples quando elevamos ambos os membros da equação (3.1) ao quadrado. Dessa forma, emos enão Y = σ ξ, onde σ = σ exp( υ ), ou seja, Y = σ exp( υ ) ξ. Aplicando a função logarímica na expressão anerior, emos lny = lnσ + υ + lnξ 16

23 Fazendo X = lny emos X = lnσ + υ + ln ξ, X = lnσ + υ + lnξ + E[ln ξ ] E[ln ξ ], X = lnσ + E[ln ξ ] + υ + lnξ E[ln ξ ]. Porano X = µ + υ + ε (3.3) onde X = lny, µ = ln σ + E[ln ξ ] e ε = ln ξ E[ln ξ ]. Para { ξ } Z um processo ruído branco gaussiano, o processo { } Z lnξ possui disribuição Log-qui-quadrado com E[ln ξ ] = 1,7 e σ ε = π / (ver Wishar, 1947). Como os processos { υ } Z e { ε } Z são independenes, a função de auocovariância de { X } Z é dada por γ ( k) = Cov( X,X ) = γ ( k) + σ I{ k = 0}, X + k υ υ onde 1,k = 0 I{ k = 0} = 0,k 0. Temos ainda que E[ X ] = µ. 3.3 Modelos de Volailidade Esocásica com Memória Longa Em muios casos a volailidade apresena a propriedade de memória longa, ornandose enão mais adequado uilizar { υ } Z assumindo um processo que capure al comporameno. Dessa forma emos enão os processos de volailidade esocásica com memória longa (LMSVP Long Memory Sochasic Volailiy Processes) primeiramene 17

24 definidos por Breid, Crao e de Lima (1998). O modelo de volailidade esocásica que rabalharemos considera { υ } Z, na expressão (3.), um processo ARFIMA(p,d,q), conforme a Definição.4. Alguns auores denominam eses processos como VE-ARFIMA, a qual será a denominação que uilizaremos ao longo desse rabalho Função de Densidade Especral dos Processos VE-ARFIMA Considere { υ } Z um processo ARFIMA(p,d,q) na equação (3.), onde d ( 0.5,0.5 ), definido como φ υ = θ η Z. d ( B )(1 B ) ( ) ( B ), Como { υ } Z e { ε } Z na equação (3.3) são independenes, a função de densidade especral do processo { X } Z é dada por iω σ η θ( e ) σ ε X iω d iω f ( ω ) = +, 0 < ω π. π 1 e ( φe ) π 3.4 Processo de Memória Longa com Adição de Ruído Nesa seção definimos os processos de memória longa com adição de um processo de perurbação ou ruído. Tal processo é definido como segue. Seja { X um processo que saisfaz a equação } Z X = µ + υ + ε, (3.4) onde { υ } Z é um processo ARFIMA(p,d,q) (ver Definição.4), o qual pode ser escrio como e { ε } Z d φ( B )(1 B ) υ = θ( B ) η, Z é qualquer ruído (perurbação) conaminane. 18

25 Enão { X é um processo ARFIMA(p,d,q) com adição de um processo de } Z perurbação, sendo µ a sua média, a qual aribuímos o valor 0, sem perda da generalidade, a parir desse momeno. Nese rabalho uilizamos o processo { ε } Z seguindo uma disribuição Normal com média 0 e variância σ ε e ambém seguindo uma disribuição Log-qui-quadrado com 1 grau de liberdade. Nese úlimo caso emos que { X é um VE-ARFIMA(p,d,q) definido na } Z Seção 3.3. Desa forma emos que os processos VE-ARFIMA são um caso paricular dos processos ARFIMA com adição de um processo de perurbação. Nosso ineresse é verificar o comporameno dos esimadores quando σ ε cresce. Para al uilizamos a razão ns ( σ ε / ση ) =, onde ns {1,,...,10 }. Nos resulados das simulações apresenadas no Capíulo 5, uilizamos σ = 1. η 19

26 Capíulo 4 Méodos de Esimação Os méodos de esimação dos modelos ARFIMA são classificados em rês grandes grupos: méodos paraméricos, semiparaméricos e não paraméricos. Nesa seção apresenamos alguns méodos semiparaméricos e paraméricos de esimação. Enre os méodos semiparaméricos, um dos mais uilizados é o méodo GPH, proposo por Geweke e Porer-Hudak (1983), o qual uiliza a função periodograma que é um esimador não viciado, mas não consisene para a função densidade especral. Uilizaremos ainda o méodo BA, que é uma adapação do méodo GPH, uilizando a função periodograma suavizado de covariâncias com a Janela de Barle que é um esimador não viciado e consisene para a função densidade especral. Os méodos paraméricos uilizados são o esimador FT, proposo por Fox e Taqqu (1986), o esimador FTmod, o qual é o esimador FT com a uilização da função periodograma modificado, e o esimador proposo por Beran (1995). 4.1 Méodos Semiparaméricos Méodos semiparaméricos são uma boa alernaiva para esimação dos parâmeros, pois eses procedimenos precisam da definição de um modelo específico na esimação do veor de parâmeros. A esimação consise em duas eapas, em uma primeira eapa é feia a esimação do parâmero de inegração fracionária e na segunda eapa é feia a esimação dos ouros parâmeros do modelo. Iso é, no caso dos processos ARFIMA(p,d,q), esima-se o parâmero d aravés dos méodos semiparaméricos e em seguida os parâmeros referenes a cura dependência aravés de méodos paraméricos. Os esimadores que abordamos nessa seção uilizam procedimenos de esimação aravés de regressão linear simples. Inicialmene definimos um modelo de regressão linear geral com m variáveis independenes independene, a qual possui a seguine forma X k, 1 k m e uma variável aleaória Y 0

27 Y = β + β X B X + ε, m m Assumimos enão g( n ) independenes observações de Y associadas a valores X k para k {1,...,m }. Os erros ε j saisfazem as seguines suposições, para odo j {1,...,g( n )} : i) E[ ε j ] = 0, ii) Var[ ε ] = σ ε, j iii) Cov( εi, ε k ) = 0, se i k. Em noação maricial, o sisema apresenado é dado por Y1 1 X 11 X 1m β0 ε1 Y 1 X 1 X m β ε 1 = +, Y 1 X X β ε g( n ) g( n )1 g( n )m m g( n ) ou seja, Y = X β + ε, onde Y é uma mariz g( n ) 1, X é uma mariz g( n ) ( m + 1), β é uma mariz ( m + 1) 1 e ε é uma mariz g( n ) 1. Meodologia dos Mínimos Quadrados O esimador de β = ( β0, β1,..., β m ) pelo méodo de mínimos quadrados, denoado nese rabalho por MQ, é o valor ˆ ˆ ˆ ˆ m+ 1 β = ( β0, β1,..., βm ) R que minimiza a função perda = g( n ) 1( g( n )) rj j= 1 l, onde os resíduos r j são dados por r = y ˆ β ˆ β x... ˆ β x j j 0 1 j1 m jm 1

28 Pela eoria de regressão linear, se a mariz X possui poso compleo, iso é, quando ( m + 1) g( n ), o esimador dos mínimos quadrados de β é dado por ˆ β = ( X X ) 1 X Y, cuja esperança e variância são dadas por E( ˆ 1 β ) = β e Var( ˆ β ) = ( X X ). σ ε Porano ˆβ é um esimador não viciado. Meodologia MQP Um procedimeno de esimação robusa é dos mínimos quadrados podados, denoados aqui por MQP, proposo por Rousseeuw (1984). Tais esimadores de β consisem nos valores ˆβ que minimizam a função perda m* ( g( n )) = ( r ) j:m j= 1 l, onde ( r )... ( r ) são os resíduos ao quadrado ordenados e m* é o número de ponos 1:m m*:m usados no procedimeno de oimização. Meodologia MM Yohai (1987) inroduziu oura classe de esimadores robusos baseados na regressão proposa aqui. Tais esimadores de β consisem nos valores ˆβ que minimizam a função perda g( n ) rj 3( g( n )) = ρ j= 1 k l,

29 sujeia à resrição g( n ) 1 rj ρ1 b, n j= 1 k onde ρ 1 e ρ são funções siméricas, limiadas e não decrescenes em [ 0, ), com ρ (0 ) = 0, v lim u ρv( u ) = 1, para v = 1,, k é um parâmero de escala, b é definido por E = ( ρ ( u )) = b, onde φ denoa a função de disribuição acumulada da normal padrão. φ Esimador GPH O méodo denominado GPH foi primeiramene esudado por Geweke e Porer-Hudak (1983) e vem sendo amplamene uilizado por muios esudiosos do assuno. Consideramos { X } Z um processo ARFIMA(p,d,q) com d ( 0.5,0.5 ) conforme a expressão (.4). A função densidade especral de { X } Z é dado pela expressão (.8) e omando o logarimo de al expressão emos ω ln f X ( ω ) = ln f U ( ω ) d ln sen, onde f ( ) U ω é a função densidade especral dos processos ARMA(p,q), conforme iem (iii) do Teorema.1. Somando a ambos os lados da expressão acima o ermo alguma álgebra emos a equação ln f U (0 ) e com ω f U ( ω ) ln f X ( ω ) = ln f U (0 ) d ln sen + ln. (4.1) f U (0 ) π j Subsiuindo ω por ω j =, sendo ω j as frequências de Fourier, onde n j = 1,...,g( n ) = n α, e adicionando ln I( ω j ) em ambos os lados da expressão (4.1), onde I( ) é a função periodograma descria no Anexo A, conforme a definição A., emos 3

30 ω j f U ( ω j ) I( ω j ) ln I( ω j ) = ln f U (0 ) d ln sen + ln + ln. f U (0 ) f X ( ω j ) f U ( ω j ) O ermo ln é considerado desprezível em comparação com os ouros f U (0 ) ermos (ver Geweke e Porer-Hudak, 1983). Assim, a equação obida é aproximada por ω j I( ω j ) ln I( ω j ) ln f U (0 ) d ln sen + ln, (4.) f X ( ω j ) a qual pode ser expressa como uma equação de regressão da seguine forma y j = a + bx j + e j, para odo j = 1,,...,g( n ), onde y = ln I( ω ), j j ω j x j = ln sen, I( ω j ) e j = ln, b = d, a = ln f U (0 ), f X ( ω j ) sendo o esimador de d a consane mínimos quadrados é dado por b da equação. O esimador de d pelo méodo de GPH = g( n ) j= 1 g( n ) j= 1 ( x x )y j ( x x ) j j. (4.3) π Temos que E( GPH ) = d e Var( GPH ) = g( n ) 6 ( x x ) j= 1 j, com g( n ) 1 x = x j. g( n ) j= 1 4

31 4.1. Esimador BA O esimador BA é baseado no uso da função periodograma suavizado de covariância (ver a Definição A.3 no Anexo A), ao invés da função periodograma, na equação (4.), no esimador proposo por Geweke e Porer-Hudak (1983). Essa aleração decorre do fao de que a função periodograma é um esimador não viciado, porém não consisene para a função densidade especral de um processo. No enano, a função periodograma suavizado de covariância é um esimador não viciado e consisene. Nese rabalho uilizamos a janela de Barle. 4. Méodos Paraméricos Os méodos de esimação paraméricos precisam da especificação prévia de um modelo paramérico para os dados, implicando enão na especificação de oda a esruura de auocorrelação ou da função de densidade especral do modelo. Esses méodos esão baseados na maximização da função de verossimilhança ou de alguma aproximação dela Esimador FT Esse esimador foi proposo por Fox e Taqqu (1986) e raa-se de uma aplicação do méodo da máxima verossimilhança, com uma aproximação sugerida por While (1951). O esimador FT envolve a função π I( ω ) Q( δ ) = dω, π f ( ω, δ ) X onde f X (, δ ) é a função densidade especral de { X } Z e δ denoa o veor de parâmeros desconhecidos, ou seja, δ = σ σ φ φ θ θ. ( η, ε,d, 1,..., p, 1,..., q ) O esimador FT é o valor de δ que minimiza a função Q( ). 5

32 Compuacionalmene o esimador FT é obido minimizando a seguine função n 1 1 I( ω j ) FT( δ ) = ln f X ( ω j, δ ) +, (4.4) n j= 1 f X ( ω j, ) δ onde n denoa o amanho da série. 4.. Esimador FTmod O esimador FTmod uilizado nas simulações consise no esimador FT definido na Seção 4..1 com a uilização da função periodograma modificado na equação (4.4). A função periodograma modificado é apresenada no Anexo A desse rabalho aravés da Definição A Esimador Beran Proposo por Beran (1994) ese esimador baseia-se na represenação auorregressiva infinia do processo para esimação dos parâmeros. Considere a expressão a seguir 1 U Y π ( )Y = δ, j j j= 1 para =,...,n. Faça r ( δ ) = U ( δ ) / ση, sendo δ o veor desconhecido de parâmeros, iso (,,...,,,...,,d ). Minimizando a equação é, δ = ση φ1 φp θ1 θq n = σ η + = B( δ ) nln( ) r ( δ ) (4.5) em relação a δ, obemos o valor esimado de δ aravés do méodo proposo por Beran (1995). 6

33 Capíulo 5 Simulação Nesa seção apresenamos os resulados das simulações de Mone Carlo para os processos de volailidade esocásica com memória longa VE-ARFIMA(p,d,q) e dos processos ARFIMA(p,d,q) com adição de ruído. Os méodos de esimação aplicados são os descrios no Capíulo 4. Consideramos o amanho amosral das séries n = Quando p=0=q uilizamos re=1000, onde re denoa o número de replicações, e para o parâmero consideramos d { 0,1;0,;0,3;0,4 }. Já quando p 0 e ou q 0, uilizamos re=500 e para os parâmeros consideramos φ { 0,7; 0,7 }, θ { 0,4;0,; 0,4, 0, } e d {0,;0,3 }. Nos processos ARFIMA(1,d,0) e ARFIMA(0,d,1), ambos com adição de ruído, uilizamos φ = 0,7 e θ = 0,7, conforme o caso, e d {0,;0,3 }. Para maiores informações sobre o número de replicações sugerimos a leiura do Anexo B desse rabalho onde discuimos brevemene a convergência do valor médio esimado quano ao número de replicações. Com relação aos esimadores GPH e BA consideramos g( n ) = n α com α { 0,4;0,5;0,6;0,7;0,8 } e os méodos de regressão descrios na Seção 4.1, ou seja, os méodos MQ, MQP e MM. Para comparar os méodos de esimação, calculamos a média das esimaivas geradas nas replicações, assim como os valores obidos para o vício, erro quadráico médio (eqm) e variância. As eapas da simulação são expliciadas a seguir: - Eapa I: Geramos uma série seguindo um processo ARFIMA(0,d,0) ou ARFIMA(p,d,q), conforme o caso. 7

34 - Eapa II: Geramos a perurbação, ou seja, o processo { ε } Z consane na equação (3.4). Tal processo vai seguir uma disribuição N(0, σ ) ou uma Log( χ ). ε - Eapa III: Somamos as séries geradas nas eapas I e II e emos enão o modelo de volailidade esocásica com memória longa, denoado VE-ARFIMA, ou ARFIMA com adição de ruído, conforme a disribuição do processo { } ε Z - Eapa IV: A úlima eapa é a esimação dos parâmeros do processo gerado. 1. Maiores dealhes ver Capíulo 3. O capíulo esá organizado da seguine forma: na Seção 5.1 apresenamos os resulados obidos com as séries simuladas dos processos VE-ARFIMA(0,d,0) e ARFIMA(0,d,0) com adição de ruído. Na Seção 5. emos os resulados das simulações aplicadas aos processos ARFIMA(p,d,q) com adição de ruído. Por úlimo, na Seção 5.3, mosramos os resulados das simulações aplicadas aos processos ARFIMA(1,d,0) e ARFIMA(0,d,1). 5.1 Modelos ARFIMA(0,d,0) Na esimação do parâmero d no processo ARFIMA(0,d,0) uilizamos os esimadores paraméricos e semiparaméricos descrios no Capíulo 4. O parâmero considerado foi d { 0,1;0,;0,3;0,4 }. As Tabelas 1 a 1, apresenadas a seguir, dealham os resulados obidos para as simulações do processo ARFIMA(0,d,0) com { ε } seguindo uma disribuição Z N(0, σ ). ε 8

35 Tabela 1. Esimação no processo ARFIMA(p,d,q) com adição de ruído, quando p=0=q, d=0,1, re=1000, α { 0,4;0,5 } e ns {1,,...,10 }. α=0,40 α=0,50 d=0,10 GPH BA GPH BA MQ MM MQP MQ MM MQP MQ MM MQP MQ MM MQP média 0,0167 0,0664 0,0537 0,085 0,0384 0,041 0,0650 0,0596 0,0473 0,0416 0,0433 0,0446 vício -0,0833-0,0336-0,0463-0,0715-0,0616-0,0579-0,0350-0,0404-0,057-0,0584-0,0567-0,0554 ns=1 eqm 0,1016 0,0838 0,096 0,079 0,0537 0,0461 0,094 0,0341 0,09 0,0140 0,008 0,003 variância 0,0947 0,087 0,0941 0,08 0,0500 0,048 0,08 0,035 0,001 0,0106 0,0176 0,017 média 0,0118 0,0457 0,0518 0,0071 0,0085 0,0199 0,0486 0,04 0,0315 0,015 0,091 0,06 vício -0,088-0,0543-0,048-0,099-0,0915-0,0801-0,0514-0,0578-0,0685-0,0785-0,0709-0,0738 ns= eqm 0,0943 0,091 0,0984 0,0333 0,0590 0,049 0,030 0,0346 0,03 0,0169 0,063 0,043 variância 0,0867 0,089 0,0961 0,047 0,0507 0,049 0,075 0,0313 0,0176 0,0108 0,013 0,0188 média -0,0073 0,0366 0,07-0,004 0,0076 0,0098 0,0318 0,0330 0,0149 0,0109 0,0143 0,0160 vício -0,1073-0,0634-0,0773-0,104-0,094-0,090-0,068-0,0670-0,0851-0,0891-0,0857-0,0840 ns=3 eqm 0,1049 0,0878 0,0938 0,0335 0,0518 0,0489 0,0314 0,0333 0,063 0,0180 0,049 0,040 variância 0,0935 0,0838 0,0879 0,030 0,0433 0,0408 0,068 0,089 0,0190 0,0101 0,0176 0,0169 média -0,0081 0,0305 0,055 0,0017 0,0195 0,0148 0,036 0,0330 0,0107 0,010 0,019 0,0143 vício -0,1081-0,0695-0,0745-0,0983-0,0805-0,085-0,0638-0,0670-0,0893-0,0880-0,0871-0,0857 ns=4 eqm 0,0935 0,0883 0,0964 0,0336 0,0567 0,0473 0,094 0,033 0,043 0,0177 0,074 0,035 variância 0,0819 0,0836 0,0910 0,040 0,050 0,0401 0,054 0,088 0,0163 0,0100 0,0198 0,016 média -0,0349-0,0006-0,0040-0,0164 0,0047 0,0003 0,0189 0,0170 0,0058 0,0043 0,0091 0,0164 vício -0,1349-0,1006-0,1040-0,1164-0,0953-0,0997-0,0811-0,0830-0,094-0,0957-0,0909-0,0836 ns=5 eqm 0,103 0,0953 0,107 0,0376 0,0604 0,050 0,0340 0,0380 0,075 0,0196 0,079 0,053 variância 0,084 0,0853 0,090 0,040 0,0513 0,041 0,075 0,0311 0,0187 0,0105 0,0197 0,0183 média -0,031 0,0010 0,001-0,0110-0,0039-0,0031 0,0061 0,0060-0,003-0,0017-0,004 0,0009 vício -0,131-0,0990-0,0988-0,1110-0,1039-0,1031-0,0939-0,0940-0,103-0,1017-0,104-0,0991 ns=6 eqm 0,1030 0,0979 0,0918 0,0356 0,0535 0,0474 0,0395 0,0395 0,085 0,011 0,097 0,063 variância 0,0856 0,088 0,081 0,033 0,048 0,0368 0,0307 0,0307 0,0178 0,0108 0,0189 0,0165 média -0,0431-0,0097-0,0064-0,0187-0,0003-0,003 0,0083 0,0063-0,0009-0,0033 0,006 0,0056 vício -0,1431-0,1097-0,1064-0,1187-0,1003-0,103-0,0917-0,0937-0,1009-0,1033-0,0938-0,0944 ns=7 eqm 0,10 0,105 0,0996 0,0361 0,064 0,0513 0,0357 0,0405 0,091 0,008 0,069 0,079 variância 0,0818 0,0905 0,0884 0,00 0,054 0,0407 0,073 0,0317 0,0189 0,0101 0,0181 0,0190 média -0,0039-0,0001 0,0060-0,0077-0,0014 0,0069 0,010 0,0093 0,003-0,00 0,0015 0,0015 vício -0,1039-0,1001-0,0940-0,1077-0,1014-0,0931-0,0880-0,0907-0,0977-0,10-0,0985-0,0985 ns=8 eqm 0,0903 0,1073 0,0975 0,0361 0,0650 0,0495 0,033 0,0379 0,064 0,009 0,095 0,070 variância 0,0796 0,0974 0,0887 0,045 0,0547 0,0408 0,055 0,097 0,0168 0,0105 0,0199 0,0173 média -0,0394 0,0134 0,0035-0,044-0,0144-0,0150 0,0144 0,0084-0,0070-0,0055 0,0017 0,006 vício -0,1394-0,0866-0,0965-0,144-0,1144-0,1150-0,0856-0,0916-0,1070-0,1055-0,0983-0,0974 ns=9 eqm 0,1137 0,0956 0,0947 0,0384 0,0597 0,059 0,0335 0,038 0,0301 0,014 0,073 0,064 variância 0,0944 0,088 0,0854 0,09 0,0467 0,0397 0,061 0,098 0,0187 0,0103 0,0176 0,0169 média -0,0639-0,044-0,033-0,095-0,0118-0,01-0,008-0,0081-0,0089-0,0103-0,007-0,0044 vício -0,1639-0,144-0,133-0,195-0,1118-0,11-0,108-0,1081-0,1089-0,1103-0,107-0,1044 ns=10 eqm 0,1098 0,1011 0,1088 0,0401 0,0610 0,0535 0,0387 0,0451 0,0300 0,07 0,089 0,08 variância 0,0831 0,0857 0,0914 0,033 0,0485 0,0410 0,08 0,0334 0,018 0,0105 0,0184 0,0173 9

36 Tabela. Esimação no processo ARFIMA(p,d,q) com adição de ruído, quando p=0=q, d=0,1, re=1000, α { 0,6;0,7 } e ns {1,,...,10 }. α=0,60 α=0,70 d=0,10 GPH BA GPH BA MQ MM MQP MQ MM MQP MQ MM MQP MQ MM MQP média 0,0497 0,069 0,0619 0,047 0,0495 0,0485 0,0554 0,0567 0,067 0,055 0,0515 0,0533 vício -0,0503-0,0371-0,0381-0,058-0,0505-0,0515-0,0446-0,0433-0,0373-0,0475-0,0485-0,0467 ns=1 eqm 0,0148 0,014 0,014 0,0075 0,0106 0,0097 0,0071 0,009 0,0059 0,0046 0,0061 0,0054 variância 0,013 0,018 0,0110 0,0047 0,0080 0,0070 0,0051 0,0073 0,0045 0,003 0,0038 0,003 média 0,0367 0,0466 0,0474 0,0304 0,034 0,0331 0,0391 0,0407 0,0463 0,0358 0,0375 0,0381 vício -0,0633-0,0534-0,056-0,0696-0,0676-0,0669-0,0609-0,0593-0,0537-0,064-0,065-0,0619 ns= eqm 0,015 0,0143 0,013 0,0099 0,016 0,0118 0,0085 0,0104 0,0073 0,0065 0,0079 0,0074 variância 0,011 0,0115 0,0104 0,0050 0,0080 0,0074 0,0048 0,0069 0,0044 0,004 0,0040 0,0035 média 0,0186 0,088 0,030 0,0175 0,016 0,004 0,0 0,034 0,0314 0,030 0,036 0,047 vício -0,0814-0,071-0,0698-0,085-0,0784-0,0796-0,0778-0,0766-0,0686-0,0770-0,0764-0,0753 ns=3 eqm 0,0188 0,0178 0,0165 0,010 0,0157 0,0141 0,0109 0,0135 0,0095 0,008 0,0098 0,0089 variância 0,01 0,018 0,0117 0,005 0,0096 0,0077 0,0048 0,0076 0,0048 0,003 0,0040 0,003 média 0,0146 0,083 0,083 0,015 0,0168 0,0167 0,0185 0,058 0,078 0,0195 0,005 0,011 vício -0,0854-0,0717-0,0717-0,0848-0,083-0,0833-0,0815-0,074-0,07-0,0805-0,0795-0,0789 ns=4 eqm 0,0180 0,0174 0,0159 0,010 0,0144 0,0141 0,0113 0,014 0,0098 0,0088 0,0100 0,0095 variância 0,0107 0,013 0,0108 0,0048 0,0075 0,007 0,0046 0,0069 0,0046 0,003 0,0037 0,0033 média 0,0133 0,067 0,036 0,014 0,0174 0,0189 0,0171 0,011 0,034 0,0177 0,0190 0,0199 vício -0,0867-0,0733-0,0764-0,0858-0,086-0,0811-0,089-0,0789-0,0766-0,083-0,0810-0,0801 ns=5 eqm 0,0188 0,0176 0,0176 0,015 0,0155 0,014 0,0117 0,019 0,0107 0,009 0,0105 0,0099 variância 0,0113 0,013 0,0117 0,0051 0,0086 0,0076 0,0048 0,0066 0,0048 0,004 0,0040 0,0035 média 0,007 0,0143 0,0189 0,0104 0,0119 0,0104 0,0137 0,0133 0,0184 0,014 0,0149 0,0147 vício -0,098-0,0857-0,0811-0,0896-0,0881-0,0896-0,0863-0,0867-0,0816-0,0858-0,0851-0,0853 ns=6 eqm 0,0198 0,0193 0,0183 0,0131 0,0155 0,015 0,011 0,0143 0,0113 0,0097 0,0110 0,0106 variância 0,011 0,010 0,0117 0,0051 0,0078 0,007 0,0047 0,0068 0,0046 0,004 0,0037 0,0033 média 0,0010 0,0096 0,0130 0,0041 0,0068 0,0074 0,0059 0,0093 0,0141 0,0075 0,007 0,0088 vício -0,0990-0,0904-0,0870-0,0959-0,093-0,096-0,0941-0,0907-0,0859-0,095-0,098-0,091 ns=7 eqm 0,019 0,011 0,0198 0,014 0,016 0,016 0,0140 0,0156 0,013 0,0110 0,017 0,0116 variância 0,011 0,019 0,013 0,0050 0,0075 0,0077 0,0051 0,0073 0,0049 0,004 0,0041 0,0033 média 0,0051 0,0091 0,0108 0,0046 0,001 0,0057 0,0105 0,0087 0,0169 0,0103 0,0107 0,0111 vício -0,0949-0,0909-0,089-0,0954-0,0979-0,0943-0,0895-0,0913-0,0831-0,0897-0,0893-0,0889 ns=8 eqm 0,001 0,010 0,000 0,0144 0,0196 0,0169 0,018 0,0161 0,0118 0,0105 0,0118 0,0114 variância 0,0111 0,017 0,010 0,0053 0,0100 0,0080 0,0048 0,0078 0,0049 0,005 0,0038 0,0035 média -0,003 0,010 0,0147 0,000 0,0036 0,0070 0,0048 0,0134 0,0144 0,006 0,0060 0,0085 vício -0,103-0,0880-0,0853-0,0980-0,0964-0,0930-0,095-0,0866-0,0856-0,0938-0,0940-0,0915 ns=9 eqm 0,0 0,0194 0,0188 0,0144 0,0174 0,0160 0,0138 0,0145 0,01 0,0111 0,015 0,0117 variância 0,0117 0,0117 0,0115 0,0048 0,0081 0,0074 0,0048 0,0070 0,0049 0,003 0,0036 0,0033 média -0,005 0,0105 0,0097 0,0033 0,0090 0,0091 0,0038 0,007 0,0107 0,0060 0,0069 0,0077 vício -0,105-0,0895-0,0903-0,0967-0,0910-0,0909-0,096-0,098-0,0893-0,0940-0,0931-0,093 ns=10 eqm 0,015 0,0194 0,0193 0,0140 0,0159 0,0157 0,0143 0,0154 0,018 0,0113 0,013 0,010 variância 0,0110 0,0114 0,0111 0,0047 0,0076 0,0075 0,0050 0,0068 0,0048 0,004 0,0036 0,

37 Tabela 3. Esimação no processo ARFIMA(p,d,q) com adição de ruído, quando p=0=q, d=0,1, re=1000, α = 0,8 e ns {1,,...,10 }. α=0,80 d=0,10 GPH BA BERAN FT FTmod MQ MM MQP MQ MM MQP média 0,0548 0,0565 0,0585 0,056 0,0508 0,0537 0,0494 0,10 0,06 vício -0,045-0,0435-0,0415-0,0474-0,049-0,0463-0,0506 0,00 0,106 ns=1 eqm 0,004 0,0061 0,0039 0,0033 0,0044 0,0037 0,003 0,0019 0,0157 variância 0,001 0,004 0,001 0,0011 0,000 0,0016 0,0006 0,0019 0,005 média 0,0383 0,039 0,0418 0,0359 0,0360 0,0373 0,0330 0,104 0,1541 vício -0,0617-0,0608-0,058-0,0641-0,0640-0,067-0,0670 0,004 0,0541 ns= eqm 0,0059 0,0075 0,0054 0,0053 0,0060 0,0055 0,0051 0,0033 0,0095 variância 0,001 0,0038 0,000 0,0011 0,0018 0,0016 0,0007 0,0033 0,0066 média 0,067 0,045 0,099 0,063 0,084 0,077 0,036 0,099 0,146 vício -0,0733-0,0755-0,0701-0,0737-0,0716-0,073-0,0764-0,0008 0,046 ns=3 eqm 0,0076 0,0099 0,0070 0,0066 0,0070 0,0069 0,0064 0,004 0,0069 variância 0,00 0,004 0,001 0,0011 0,0019 0,0017 0,0006 0,004 0,0063 média 0,0176 0,0186 0,050 0,019 0,0178 0,0184 0,0181 0,1000 0,108 vício -0,084-0,0814-0,0750-0,0808-0,08-0,0816-0,0819 0,0000 0,008 ns=4 eqm 0,0089 0,0109 0,0077 0,0077 0,0086 0,008 0,0074 0,0057 0,0066 variância 0,001 0,0043 0,001 0,001 0,0018 0,0016 0,0007 0,0057 0,0066 média 0,0188 0,0174 0,01 0,0184 0,0191 0,0195 0,0155 0,1019 0,1010 vício -0,081-0,086-0,0779-0,0816-0,0809-0,0805-0,0845 0,0019 0,0010 ns=5 eqm 0,0087 0,0110 0,0083 0,0079 0,0085 0,0081 0,0078 0,0067 0,0065 variância 0,001 0,0041 0,00 0,001 0,000 0,0016 0,0007 0,0067 0,0065 média 0,0139 0,0148 0,0177 0,015 0,0147 0,0149 0,013 0,1035 0,091 vício -0,0861-0,085-0,083-0,0848-0,0853-0,0851-0,0877 0,0035-0,0079 ns=6 eqm 0,0096 0,0116 0,0089 0,0084 0,009 0,0089 0,0083 0,0073 0,0060 variância 0,00 0,0043 0,001 0,001 0,0019 0,0016 0,0006 0,0073 0,0059 média 0,0096 0,0115 0,0140 0,0107 0,0116 0,011 0,0096 0,1030 0,0833 vício -0,0904-0,0885-0,0860-0,0893-0,0884-0,0888-0,0904 0,0030-0,0167 ns=7 eqm 0,0104 0,013 0,0097 0,009 0,0098 0,0095 0,0088 0,0087 0,0061 variância 0,00 0,0044 0,003 0,001 0,000 0,0016 0,0007 0,0087 0,0058 média 0,0116 0,0095 0,0155 0,0117 0,01 0,015 0,0074 0,1054 0,0786 vício -0,0884-0,0905-0,0845-0,0883-0,0878-0,0875-0,096 0,0054-0,014 ns=8 eqm 0,0100 0,01 0,0093 0,0090 0,0097 0,0093 0,009 0,0096 0,006 variância 0,00 0,0040 0,001 0,001 0,000 0,0016 0,0007 0,0096 0,0057 média 0,0083 0,0109 0,015 0,0091 0,007 0,009 0,0070 0,1071 0,0750 vício -0,0917-0,0891-0,0848-0,0909-0,098-0,0908-0,0930 0,0071-0,050 ns=9 eqm 0,0106 0,014 0,0094 0,0094 0,0107 0,0100 0,0093 0,0101 0,0061 variância 0,00 0,0044 0,00 0,0011 0,001 0,0017 0,0006 0,0100 0,0055 média 0,0058 0,0088 0,0114 0,0080 0,0089 0,0094 0,0056 0,1068 0,0711 vício -0,094-0,091-0,0886-0,090-0,0911-0,0906-0,0944 0,0068-0,089 ns=10 eqm 0,0109 0,015 0,0099 0,0096 0,0100 0,0098 0,0095 0,0108 0,006 variância 0,001 0,004 0,001 0,0011 0,0017 0,0016 0,0006 0,0108 0,

38 Tabela 4. Esimação no processo ARFIMA(p,d,q) com adição de ruído, quando p=0=q, d=0,, re=1000, α { 0,4;0,5 } e ns {1,,...,10 }. α=0,40 α=0,50 d=0,0 GPH BA GPH BA MQ MM MQP MQ MM MQP MQ MM MQP MQ MM MQP média 0,1767 0,011 0,1967 0,1057 0,101 0,133 0,1681 0,1893 0,1836 0,136 0,191 0,1331 vício -0,033 0,0011-0,0033-0,0943-0,0799-0,0767-0,0319-0,0107-0,0164-0,0764-0,0709-0,0669 ns=1 eqm 0,0935 0,0943 0,0973 0,0319 0,0546 0,0461 0,0316 0,078 0,0314 0,0167 0,036 0,016 variância 0,0930 0,0944 0,0974 0,030 0,048 0,0403 0,0306 0,077 0,031 0,0109 0,0186 0,0171 média 0,1384 0,1639 0,163 0,0779 0,0871 0,0954 0,133 0,1437 0,1445 0,0944 0,098 0,1056 vício -0,0616-0,0361-0,0377-0,11-0,119-0,1046-0,0668-0,0563-0,0555-0,1056-0,1018-0,0944 ns= eqm 0,0939 0,0979 0,0916 0,0394 0,0641 0,058 0,0348 0,0355 0,0357 0,01 0,094 0,059 variância 0,090 0,0967 0,0903 0,046 0,0514 0,0419 0,0303 0,033 0,036 0,0109 0,0190 0,0170 média 0,148 0,1467 0,1353 0,0706 0,0834 0,0895 0,118 0,178 0,11 0,081 0,083 0,0877 vício -0,075-0,0533-0,0647-0,194-0,1166-0,1105-0,0818-0,07-0,0788-0,1188-0,1177-0,113 ns=3 eqm 0,083 0,0973 0,1043 0,044 0,0696 0,0577 0,033 0,0333 0,0407 0,050 0,0360 0,0304 variância 0,0776 0,0946 0,100 0,057 0,0561 0,0455 0,065 0,081 0,0345 0,0109 0,01 0,0178 média 0,0769 0,105 0,1090 0,0508 0,0677 0,0654 0,0857 0,1110 0,1041 0,0667 0,070 0,0739 vício -0,131-0,0948-0,0910-0,149-0,133-0,1346-0,1143-0,0890-0,0959-0,1333-0,180-0,161 ns=4 eqm 0,1141 0,0984 0,1031 0,0461 0,0614 0,0586 0,0465 0,0351 0,0438 0,09 0,0388 0,0348 variância 0,0990 0,0895 0,0949 0,039 0,0439 0,0405 0,0335 0,07 0,0346 0,0115 0,04 0,0189 média 0,0873 0,1105 0,109 0,0370 0,0456 0,0505 0,0809 0,094 0,0911 0,0499 0,0534 0,0564 vício -0,117-0,0895-0,0908-0,1630-0,1544-0,1495-0,1191-0,1058-0,1089-0,1501-0,1466-0,1436 ns=5 eqm 0,105 0,090 0,0974 0,050 0,0675 0,0615 0,0438 0,0409 0,0434 0,0330 0,043 0,0383 variância 0,0899 0,0841 0,0893 0,036 0,0437 0,039 0,097 0,097 0,0316 0,0105 0,018 0,0177 média 0,0735 0,1157 0,1037 0,0361 0,047 0,0480 0,0748 0,0965 0,0931 0,0465 0,0533 0,0544 vício -0,165-0,0843-0,0963-0,1639-0,158-0,150-0,15-0,1035-0,1069-0,1535-0,1467-0,1456 ns=6 eqm 0,1101 0,0976 0,106 0,054 0,0749 0,0646 0,0470 0,0403 0,0436 0,035 0,046 0,0411 variância 0,094 0,0906 0,0934 0,056 0,0516 0,0415 0,0313 0,096 0,03 0,0116 0,011 0,0199 média 0,0793 0,1089 0,1007 0,0437 0,0509 0,0583 0,0716 0,0854 0,0793 0,0474 0,0506 0,0536 vício -0,107-0,0911-0,0993-0,1563-0,1491-0,1417-0,184-0,1146-0,107-0,156-0,1494-0,1464 ns=7 eqm 0,0977 0,0897 0,0990 0,0483 0,0778 0,0616 0,0450 0,039 0,0461 0,0341 0,0440 0,0396 variância 0,083 0,0815 0,089 0,039 0,0556 0,0416 0,085 0,061 0,0316 0,0109 0,016 0,018 média 0,0579 0,0774 0,0833 0,034 0,054 0,0316 0,0508 0,0653 0,063 0,0308 0,091 0,0316 vício -0,141-0,16-0,1167-0,1766-0,1746-0,1684-0,149-0,1347-0,1377-0,169-0,1709-0,1684 ns=8 eqm 0,1045 0,10 0,0987 0,0549 0,0789 0,067 0,054 0,0460 0,059 0,0399 0,0510 0,0471 variância 0,0844 0,0873 0,085 0,038 0,0485 0,0389 0,0301 0,079 0,0340 0,0113 0,018 0,0188 média 0,061 0,0967 0,0907 0,031 0,0447 0,0407 0,0591 0,0719 0,0697 0,0419 0,046 0,0447 vício -0,1379-0,1033-0,1093-0,1679-0,1553-0,1593-0,1409-0,181-0,1303-0,1581-0,1538-0,1553 ns=9 eqm 0,1069 0,0976 0,1000 0,0516 0,0711 0,0654 0,0498 0,0453 0,0488 0,0356 0,048 0,04 variância 0,0880 0,0870 0,088 0,034 0,0471 0,0401 0,0300 0,089 0,0319 0,0106 0,019 0,0181 média 0,039 0,0613 0,0568 0,0157 0,004 0,089 0,048 0,0585 0,051 0,077 0,0353 0,0343 vício -0,1671-0,1387-0,143-0,1843-0,1796-0,1711-0,157-0,1415-0,1488-0,173-0,1647-0,1657 ns=10 eqm 0,118 0,0989 0,1101 0,0584 0,0789 0,0701 0,0544 0,0439 0,050 0,0407 0,0465 0,0444 variância 0,0850 0,0798 0,0896 0,045 0,0467 0,0409 0,097 0,039 0,080 0,0110 0,0193 0,0169 3

39 Tabela 5. Esimação no processo ARFIMA(p,d,q) com adição de ruído, quando p=0=q, d=0,, re=1000, α { 0,6;0,7 } e ns {1,,...,10 }. α=0,60 α=0,70 d=0,0 GPH BA GPH BA MQ MM MQP MQ MM MQP MQ MM MQP MQ MM MQP média 0,1556 0,160 0,164 0,175 0,171 0,1313 0,1433 0,1408 0,1479 0,160 0,161 0,177 vício -0,0444-0,0380-0,0358-0,075-0,079-0,0687-0,0567-0,059-0,051-0,0740-0,0739-0,073 ns=1 eqm 0,013 0,014 0,01 0,0101 0,013 0,0116 0,0081 0,0110 0,0075 0,0079 0,0096 0,0087 variância 0,011 0,018 0,0110 0,0048 0,0079 0,0068 0,0049 0,0075 0,0048 0,004 0,0041 0,0035 média 0,1187 0,143 0,151 0,095 0,0990 0,097 0,1088 0,1085 0,1139 0,093 0,090 0,0939 vício -0,0813-0,0757-0,0749-0,1048-0,1010-0,108-0,091-0,0915-0,0861-0,1068-0,1080-0,1061 ns= eqm 0,0184 0,0179 0,0174 0,0161 0,0184 0,0185 0,0135 0,0164 0,015 0,0140 0,0163 0,0151 variância 0,0118 0,01 0,0118 0,0051 0,008 0,0079 0,005 0,0081 0,0051 0,006 0,0046 0,0038 média 0,1059 0,100 0,1081 0,0817 0,0808 0,08 0,09 0,0861 0,0931 0,0777 0,0760 0,0799 vício -0,0941-0,0980-0,0919-0,1183-0,119-0,1178-0,1078-0,1139-0,1069-0,13-0,140-0,101 ns=3 eqm 0,019 0,045 0,009 0,019 0,036 0,01 0,0163 0,017 0,0167 0,0175 0,0196 0,0180 variância 0,0104 0,0149 0,015 0,005 0,0094 0,0083 0,0047 0,0088 0,0053 0,005 0,004 0,0036 média 0,0780 0,0845 0,0849 0,0645 0,065 0,066 0,0698 0,0649 0,079 0,0607 0,0591 0,064 vício -0,10-0,1155-0,1151-0,1355-0,1348-0,1338-0,130-0,1351-0,171-0,1393-0,1409-0,1376 ns=4 eqm 0,076 0,081 0,066 0,035 0,067 0,061 0,0 0,067 0,013 0,017 0,04 0,0 variância 0,017 0,0147 0,0134 0,005 0,0086 0,008 0,005 0,0084 0,0051 0,003 0,0043 0,0033 média 0,0731 0,0735 0,0751 0,0533 0,0565 0,0569 0,063 0,0594 0,0658 0,0519 0,050 0,0538 vício -0,169-0,165-0,149-0,1467-0,1435-0,1431-0,1368-0,1406-0,134-0,1481-0,1480-0,146 ns=5 eqm 0,076 0,098 0,071 0,065 0,085 0,078 0,036 0,075 0,031 0,043 0,061 0,048 variância 0,0115 0,0138 0,0115 0,0050 0,0079 0,0073 0,0049 0,0078 0,0051 0,004 0,004 0,0034 média 0,0685 0,0797 0,083 0,054 0,0503 0,0548 0,0563 0,0574 0,06 0,047 0,0468 0,048 vício -0,1315-0,103-0,1177-0,1476-0,1497-0,145-0,1437-0,146-0,1378-0,158-0,153-0,1518 ns=6 eqm 0,085 0,057 0,049 0,067 0,0305 0,080 0,055 0,071 0,038 0,057 0,077 0,066 variância 0,011 0,0113 0,0111 0,0049 0,0081 0,0070 0,0048 0,0068 0,0048 0,004 0,004 0,0036 média 0,0601 0,065 0,0658 0,0461 0,0468 0,0469 0,0507 0,0476 0,0543 0,0416 0,037 0,0403 vício -0,1399-0,1375-0,134-0,1539-0,153-0,1531-0,1493-0,154-0,1457-0,1584-0,168-0,1597 ns=7 eqm 0,097 0,0318 0,097 0,084 0,0314 0,0307 0,070 0,0310 0,061 0,075 0,0307 0,088 variância 0,0101 0,019 0,0117 0,0047 0,0079 0,0073 0,0047 0,0078 0,0049 0,004 0,004 0,0033 média 0,048 0,0601 0,056 0,0385 0,0404 0,039 0,0461 0,0455 0,0509 0,0381 0,0378 0,0390 vício -0,1518-0,1399-0,1438-0,1615-0,1596-0,1608-0,1539-0,1545-0,1491-0,1619-0,16-0,1610 ns=8 eqm 0,0341 0,0309 0,037 0,0311 0,0333 0,0333 0,086 0,0319 0,073 0,086 0,0305 0,09 variância 0,0111 0,0113 0,010 0,0050 0,0078 0,0074 0,0049 0,0080 0,0051 0,004 0,004 0,0033 média 0,0515 0,0536 0,058 0,0375 0,036 0,0383 0,040 0,0390 0,0445 0,0344 0,0339 0,0345 vício -0,1485-0,1464-0,147-0,165-0,1638-0,1617-0,1580-0,1610-0,1555-0,1656-0,1661-0,1655 ns=9 eqm 0,0331 0,0339 0,0338 0,0313 0,0354 0,0338 0,098 0,0339 0,096 0,099 0,0319 0,0309 variância 0,0111 0,015 0,011 0,0049 0,0085 0,0076 0,0048 0,0080 0,0054 0,004 0,0043 0,0036 média 0,0448 0,054 0,0535 0,0334 0,0347 0,0370 0,0394 0,0344 0,0413 0,0315 0,033 0,0319 vício -0,155-0,1458-0,1465-0,1666-0,1653-0,1630-0,1606-0,1656-0,1587-0,1685-0,1677-0,1681 ns=10 eqm 0,0346 0,0330 0,0319 0,034 0,0350 0,0337 0,030 0,0343 0,099 0,0307 0,0319 0,0315 variância 0,0105 0,0118 0,0105 0,0046 0,0076 0,0071 0,0044 0,0069 0,0047 0,003 0,0037 0,003 33