LUCAS KEN TAMURA SÉRIES TEMPORAIS COM VARIÁVEIS EXÓGENAS E GRÁFICOS DE CONTROLE COMO FERRAMENTAS DE DECISÃO NO MERCADO FINANCEIRO

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1 LUCAS KEN TAMURA SÉRIES TEMPORAIS COM VARIÁVEIS EXÓGENAS E GRÁFICOS DE CONTROLE COMO FERRAMENTAS DE DECISÃO NO MERCADO FINANCEIRO Trabalho de Formaura apresenado à Escola Poliécnica da Universidade de São Paulo para obenção do Diploma de Engenheiro de Produção. São Paulo 2013

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3 LUCAS KEN TAMURA SÉRIES TEMPORAIS COM VARIÁVEIS EXÓGENAS E GRÁFICOS DE CONTROLE COMO FERRAMENTAS DE DECISÃO NO MERCADO FINANCEIRO Trabalho de Formaura apresenado à Escola Poliécnica da Universidade de São Paulo para obenção do Diploma de Engenheiro de Produção. Orienadora: Profa. Dra. Linda Lee Ho São Paulo 2013

4 FICHA CATALOGRÁFICA Tamura, Lucas Ken Séries emporais com variáveis exógenas e gráficos de conrole como ferramenas de decisão no mercado financeiro / L.K. Tamura. -- São Paulo, p. Trabalho de Formaura - Escola Poliécnica da Universidade de São Paulo. Deparameno de Engenharia de Produção. 1.Análise de séries emporais 2.Análise de regressão e correlação 3.Conrole esaísico de processos I.Universidade de São Paulo. Escola Poliécnica. Deparameno de Engenharia de Produção II..

5 À minha família

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7 AGRADECIMENTOS À Professora Linda Lee Ho, que paricipou direamene da elaboração dese rabalho, por oda a paciência e dedicação durane a orienação, sempre direcionando e faciliando o aprendizado ano eórico quano práico. Aos meus pais, Edison e Kumi, e meu irmão Marcel, pelo apoio e supore incondicionais dados durane a minha vida, e pela oporunidade de esudar na Escola Poliécnica. À minha namorada Sephanie, pelo incenivo e companhia em odos os momenos. Aos colegas da faculdade, pelas experiências vividas e comparilhadas durane eses anos na Escola Poliécnica. Aos colegas de rabalho na EOS Invesimenos, por odo o aprendizado proporcionado ao longo do eságio, além do apoio para compreensão do ema e elaboração do rabalho. Aos amigos José Henrique e André Hassin, por odo o apoio múuo, especialmene durane ese úlimo ano.

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9 RESUMO O preço ceramene é um dos principais faores considerados no processo decisório de invesimeno no mercado financeiro. Aualmene, muias decisões são baseadas em fundamenos econômicos, porém exisem poucas ferramenas quaniaivas para apoiá-las. Ese rabalho propõe um méodo de moniorameno da média de preços aravés de gráficos de conrole. Inicialmene, ajusam-se modelos regressivos para séries emporais de preços de aivos. Três ipos de gráficos de conrole são proposos para iso: Shewhar, CUSUM e EWMA. Os limies de conrole deses gráficos são deerminados por simulações que saisfazem um valor fixo de ARL 0. Em seguida, os ARL fora de conrole ( ARL 1 ) dos gráficos de conrole são obidos (ambém por simulação) para diferenes níveis de desvios da média, para comparar o desempenho dos rês gráficos de conrole. Como esperado, gráficos EWMA e CUSUM são melhores para deecar pequenos desvios, enquano o gráfico radicional Shewhar é melhor para desvios maiores. Palavras- chave: preço, séries emporais, modelos regressivos, gráficos de conrole.

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11 ABSTRACT The price is cerainly one of he main facors o be considered in he decision process in he financial markes. Currenly many decisions are based on economic fundamenals, bu here are few quaniaive ools o suppor hem. This paper proposes a mehod o monior he asse price mean using conrol chars. Iniially, regression models are adjused o ime series of asse prices. Three ypes of conrols chars are proposed: Shewhar, CUSUM and EWMA. The conrol limis of he conrol chars are deermined by simulaions such ha saisfy a fixed value of ARL 0. Then he average run lenghs ou of conrol ( ARL 1 ) of he conrol chars are obained (also by simulaion) for differen levels of shifs o compare he performance of he hree conrol chars. As expeced, EWMA and CUSUM are beer o deec small shifs and he radiional Shewhar is beer for larger shifs. Keywords: price, ime series, regression models, conrol chars.

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13 LISTAS DE FIGURAS Figura 2-1: Gráfico QxQ exemplo práico Figura 2-2: Ruído branco Figura 4-1: Exemplo de processo em conrole Figura 4-2: Exemplo de processo fora de conrole Figura 4-3: Uso do gráfico de conrole no processo Figura 5-1: Exemplo Gráfico de Série de Preços Figura 5-2: Exemplo Gráfico de Série de Reornos Figura 5-3: Exemplo de f.a.c. de um modelo AR Puro Figura 5-4: Exemplo de f.a.c.p. de um modelo AR Puro Figura 5-5: Fluxograma Limies de Conrole Shewhar Figura 5-6: Fluxograma ARL fora de conrole Shewhar Figura 5-7: Fluxograma Limies de Conrole CUSUM Figura 5-8: Fluxograma ARL fora de conrole CUSUM Figura 5-9: Fluxograma Limies de Conrole EWMA Figura 5-10: Fluxograma ARL fora de conrole EWMA Figura 6-1: Série de Preços S&P 500 Index Figura 6-2: Hisograma da Série de Preços Figura 6-3: Série de Reornos S&P 500 Index Figura 6-4: Hisograma da Série de Reornos Figura 6-5: Gráfico Quanil x Quanil Figura 6-6: Função de Auocorrelação dos Reornos Figura 6-7: Função de Auocorrelação Parcial dos Reornos Figura 6-8: Primeiro Modelo: Função de auocorrelação dos resíduos Figura 6-9: Primeiro Modelo: Função de auocorrelação parcial dos resíduos Figura 6-10: Segundo Modelo: Função de auocorrelação dos resíduos Figura 6-11: Segundo Modelo: Função de auocorrelação parcial dos resíduos Figura 6-12: Terceiro Modelo: Função de auocorrelação dos resíduos Figura 6-13: Terceiro Modelo: Função de auocorrelação parcial dos resíduos Figura 6-14: Série Real x Esimada Figura 6-15: Resíduos do Modelo Figura 6-16: Gráfico de Conrole Shewhar Figura 6-17: Gráfico de Conrole EWMA

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15 Figura 6-18: Gráfico de Conrole CUSUM Figura 9-1: Primeiro Modelo: Resíduos Padronizados Figura 9-2: Segundo Modelo: Resíduos Padronizados Figura 9-3: Terceiro Modelo: Resíduos Padronizados

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17 LISTA DE TABELAS Tabela 1-1: Esruura do Trabalho Tabela 4-1: Resulados do ese de hipóese (probabilidades enre parêneses) Tabela 6-1: Esaísicas Descriivas da Série de Preços Tabela 6-2: Tese de Raiz Uniária (Série de Preços) Tabela 6-3: Esaísicas Descriivas da Série de Reornos Tabela 6-4: Tese ADF Tabela 6-5: Tese PP Tabela 6-6: Correlograma dos Reornos Tabela 6-7: Primeiro Modelo: AR(18) dos Reornos Tabela 6-8: Primeiro Modelo: AR(18) dos Reornos Somene coeficienes significaivos.. 94 Tabela 6-9: Primeiro Modelo: Regressão linear dos resíduos Tabela 6-10: Primeiro Modelo: Correlograma dos Resíduos Tabela 6-11: Segundo Modelo: Regressão linear dos reornos Tabela 6-12: Segundo Modelo: Auo-regressão dos resíduos Tabela 6-13: Segundo Modelo: Auo-regressão dos resíduos somene coeficienes significaivos Tabela 6-14: Segundo Modelo: Correlograma dos resíduos Tabela 6-15: Terceiro Modelo: Regressão Misa Tabela 6-16: Terceiro Modelo: Regressão Misa somene coeficienes significaivos Tabela 6-17: Terceiro Modelo: Correlograma dos resíduos Tabela 6-18: Limies de Conrole - CUSUM Tabela 6-19: Limies de Conrole - EWMA Tabela 6-20: ARL fora de conrole Gráfico Shewhar Tabela 6-21: ARL fora de conrole Gráfico CUSUM Tabela 6-22: ARL fora de conrole Gráfico EWMA Tabela 9-1: Maiores Desvios: ARL fora de conrole Gráfico Shewhar Tabela 9-2: Maiores Desvios: ARL fora de conrole Gráfico CUSUM Tabela 9-3: Maiores Desvios: ARL fora de conrole Gráfico EWMA

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19 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS VBA BOVESPA RB AR MA ARMA ARIMA ARFIMA DF ADF PP EMQ MQ EMV CEP LSC LIC LM ARL CUSUM EWMA Visual Baisc for Applicaions Bolsa de Valores de São Paulo Ruído Branco Modelo Auo-Regressivo Modelo de Médias Móveis Modelo Auo-Regressivo e de Médias Móveis Modelo Auo-Regressivo Inegrado de Médias Móveis Modelo Auo-Regressivo Fracionário Inegrado de Médias Móveis Dickey-Fuller Augmened Dickey-Fuller Phillips-Perron Esimador de Mínimos Quadrados Mínimos Quadrados Esimador de Máxima Verossimilhança Conrole Esaísico de Processos Limie Superior de Conrole Limie Inferior de Conrole Linha Média Average Run Lengh Cumulaive Sum Exponenially Weighed Moving Average

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21 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO Empresa O Problema O Tema Esruura do Trabalho Sofwares Uilizados Terminal Bloomberg Microsof Excel Eviews REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Inrodução Séries Temporais Reornos Processos Esocásicos Normalidade Disribuição Normal Assimeria e Curose Tese de Jarque-Bera Gráfico Quanil-Quanil Esacionariedade Independência Ruído Branco MODELOS PARA SÉRIES TEMPORAIS Modelos ARIMA Modelos Auo-Regressivos... 36

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23 Modelos de Médias Móveis Modelos Auo-Regressivos e de Médias Móveis Modelos Auo-Regressivos Inegrados de Médias Móveis Teses de Raiz Uniária Idenificação de Modelos ARIMA Esimação de Modelos ARIMA Diagnósico de Modelos ARIMA Tese de Box-Pierce-Ljung Tese de Auocorrelação Residual CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS (CEP) Conrole Esaísico de Processos (CEP) Variabilidade e Causas Gráficos de Conrole Gráficos de Conrole para Variáveis Gráficos X e R Análise de Desempenho de Gráficos de Conrole Gráficos de Conrole CUSUM e EWMA CUSUM EWMA METODOLOGIA Série Temporal de Preços Série Temporal de Reornos Normalidade Hisograma e Esaísicas Descriivas Gráfico Quanil x Quanil Tese de Jarque-Bera... 64

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25 5.4. Esacionariedade Independência Idenificação, Esimação e Diagnósico do Modelo para a Média Deerminação dos Limies de Conrole Reornos CUSUM EWMA Cálculo do ARL Fora de Conrole Reornos CUSUM EWMA Resulados e Comparação CASO REAL Série Temporal de Preços Série Temporal de Reornos Normalidade Hisograma e Esaísicas Descriivas Gráfico Quanil x Quanil Tese de Jarque-Bera Esacionariedade Independência Idenificação, Esimação e Diagnósico do Modelo para a Média Primeiro Modelo Regressão em Duas Eapas Segundo Modelo Regressão em Duas Eapas Terceiro Modelo Regressão em Uma Eapa Deerminação dos Limies de Conrole

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27 Reornos CUSUM EWMA Cálculo de ARL fora de conrole Reornos CUSUM EWMA Resulados e Comparação CONCLUSÕES Resulados Obidos Análise Críica das Eapas do Trabalho Sugesões REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICES Apêndice A: Códigos dos Algorimos VBA Obenção dos Limies de Conrole do Gráfico Tipo Shewhar Obenção do ARL Fora de Conrole do Gráfico Tipo Shewhar Obenção dos Limies de Conrole do Gráfico Tipo EWMA Obenção do ARL Fora de Conrole do Gráfico Tipo EWMA Obenção dos Limies de Conrole do Gráfico Tipo CUSUM Obenção do ARL Fora de Conrole do Gráfico Tipo CUSUM Apêndice B: Simulações para Maiores Desvios na Média Apêndice C: Resíduos Padronizados ANEXOS Anexo A: Séries de Preço

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29 15 1. INTRODUÇÃO 1.1. Empresa O rabalho de formaura foi desenvolvido na EOS Invesimenos Lda., empresa onde o aluno realiza as aividades de eságio. Traa-se de uma gesora de recursos, fundada em 2008 e focada na assessoria financeira de pessoas físicas e jurídicas, famílias e family offices, em seus invesimenos financeiros (Wealh Managemen). O público alvo da empresa é composo por clienes High e Ulra High Ne Worh. Em sua maioria, os veículos de invesimeno para cada cliene ou família são fundos exclusivos, aravés dos quais as demandas de cada cliene são execuadas. A empresa em como pono de parida a compreensão das necessidades de seus invesidores, buscando idenificar os objeivos pessoais e olerância a risco de cada um. Também faz pare do perfil do invesidor seu horizone de invesimeno, podendo ser de curo, médio ou longo prazo. Após esa eapa, promove-se a consrução do porfólio, na qual são selecionados os produos financeiros mais adequados ao perfil dese invesidor. A seleção envolve esforços significaivos em esudos de conjunura econômica, ambiene políico, cenários fuuros, expecaiva de reorno, enre ouros faores. São uilizados modelos ano qualiaivos quano quaniaivos para omada de decisão. Vale ressalar que pare desas decisões de invesimeno são omadas conforme o mandao do cliene, e o resane cabe exclusivamene à equipe de gesão da empresa. Com o porfólio devidamene consruído, é realizado o moniorameno permanene dos invesimenos, com a consolidação das posições diárias, aribuição de desempenho, grau de invesimeno, risco e liquidez. O dinamismo do mercado de capiais faz com que revisões dos porfólios sejam necessárias diariamene, e, muias vezes, no decorrer de um dia. Desa forma, a eficiência e consisência na alocação dos recursos é aingida apenas quando os esforços são correamene disribuídos, proporcionando maior profundidade na análise dos aivos de invesimeno e maximizando o reorno para um dado nível de risco

30 16 olerado pelo invesidor. Cada classe de aivo represena uma relação de Risco x Reorno x Liquidez que deve ser esudada a parir da conjunura econômica aual e do perfil do invesidor. Recenemene, a empresa passou a auar ambém no mercado de Asse Managemen, plaaforma na qual oferece fundos de invesimenos aberos, ampliando e poencializando seu público alvo. Para iso, esruurou dois fundos próprios, um fundo de ações e um mulimercado: i. Fundo de Ações: ese ipo de fundo é caracerizado por uma resrição regulaória na composição de careira, na qual 67% do valor oal do parimônio líquido deverão esar invesidos em ações. A composição da careira e as esraégias de invesimeno do fundo são decididas pela equipe de gesão da empresa, levando-se em cona diversos faores, como cenários macro e microeconômicos, concorrência seorial, ambiene regulaório e idiossincrasias de cada empresa. Devido à resrição de composição da careira ciada acima, espera-se que o fundo obenha alas renabilidades em períodos oimisas da Bolsa de Valores e resulados menos posiivos em períodos pessimisas. ii. Fundo Mulimercado: ese fundo possui menos resrições de invesimeno em relação a um fundo de ações. Desa forma, ele combina diversas classes de aivos na elaboração de suas esraégias, buscando um reorno absoluo, independenemene das condições de mercado. Um exemplo de esraégia é a combinação de um íulo público de juro real com um conrao de juros fuuros nominais, resulando na inflação implícia, que represena a inflação fuura (projeada) aé uma deerminada daa. Grande pare das esraégias de invesimeno geradas pela empresa são implemenadas neses dois fundos. No que se refere aos fundos exclusivos de clienes, a implemenação depende basicamene de seus respecivos perfis de invesimeno. A principal aividade exercida pelo aluno durane seu eságio é o auxílio à equipe de análise macroeconômica da empresa, o que se raduz, indireamene, em colaboração na gesão da careira do fundo mulimercado. Iso envolve o esudo dos seguines ipos de aivos:

31 17 Índices de Bolsas de Valores: consisem em indicadores de desempenho de um conjuno de ações, ou seja, refleem o desempenho ponderado de um grupo de papéis negociados nas Bolsas; Juros Fuuros: são conraos que refleem as axas fuuras de juros para diversos vencimenos; Câmbio: represenam a axa de conversão enre duas moedas; Tíulos Públicos: são aivos de renda fixa emiidos pelo Tesouro Nacional com o inuio de financiar a dívida pública brasileira, sendo, por ese moivo, considerados aivos de baixo risco. Seus reornos podem ser esimados no insane do invesimeno; Opções: são insrumenos derivaivos, que conferem o direio de compra ou venda de um deerminado aivo por um deerminado valor numa deerminada daa O Problema O objeivo dese rabalho é a proposição de um méodo quaniaivo para omada de decisão de invesimeno em índices de Bolsas de Valores. Inicialmene, cabe uma breve inrodução sobre os índices de Bolsas de Valores. Tais índices em sua coação deerminada por uma média ponderada de um grupo de ações negociados numa deerminada Bolsa de Valores. Os criérios de ponderação são diferenes em cada Bolsa. Invesidores que não sabem exaamene em quais ações invesir podem compor seu porfólio com as ponderações dos índices, visando refleir sua renabilidade. No enano, em muios casos eses índices são composos por um grande número de papéis, de modo que, para invesidores individuais, a operacionalização da compra e venda deses papéis de acordo com as ponderações se orna complexa. Os fundos indexados surgiram com o inuio de realizar esas operações e faciliar o rabalho do invesidor individual. Sendo assim, odo o processo de composição de porfólio e envio de ordens de compra e venda é realizado por eses fundos e a arefa do invesidor se resume a comprar ou vender suas coas. No conexo aual, exisem conraos fuuros de índices de Bolsas de Valores, os quais são uilizados basicamene com o mesmo propósio, ou seja, suas coações reproduzem a variação do preço do índice em si.

32 18 A empresa opera os conraos fuuros de índices com o objeivo de aumenar ou reduzir a exposição em ações dos porfólios exclusivos e dos fundos próprios. Cabe ressalar que os fundamenos macroeconômicos em maior influência nos preços deses aivos que as especificidades de cada seor ou empresa, dado que o índice reraa a média enre muios seores e várias empresas de cada seor. Aualmene, as decisões de compra ou venda dos conraos fuuros de índices são muio fundamenalisas, sem que haja um méodo numérico para apoiar ais operações. A análise macroeconômica esuda indicadores de aividade, emprego, inflação, enre ouros para avaliar ese ipo de invesimeno. Com relação ao nível de preço dos aivos, observa-se o gráfico da série hisórica de coações para diferenes inervalos de empo, por exemplo de 5 anos, que compreende o período da crise financeira de 2008, de 1 ano, ou aé o gráfico inradiário, o qual mosra as coações desde a aberura das negociações no dia. Especificamene ese ano (2013), muios analisas financeiros se mosram preocupados com os níveis de preço dos índices de Bolsas mundiais, em especial as americanas. Há diversos argumenos por rás desas eses, ais como o aumeno arificial dos preços dos aivos financeiros devido ao excesso de liquidez fornecido pelo Federal Reserve, Banco Cenral americano (Fed), com sua políica moneária não-convencional. A parir das ferramenas aualmene uilizadas pela empresa, só se pode dizer que eses preços esão elevados em comparação com seu hisórico, além dos argumenos fundamenalisas. Sendo assim, idenificou-se a necessidade de uma ferramena quaniaiva, além da análise da própria série hisórica de preços, para apoiar a omada de decisão de invesimeno nos índices de Bolsas de Valores O Tema Uma das ferramenas de conrole esaísico de processos esudada durane o curso de Engenharia de Produção consise no gráfico de conrole. Ele será discuido com maior profundidade no capíulo 4. Basicamene, moniora-se um processo aravés de uma esaísica e caso ela seja considerada fora de conrole, não aendendo os criérios pré-definidos, deve-se inervir no processo. Cabe aqui o paralelo do aivo financeiro como um processo, que pode ser moniorado a parir da média de preços. Uma aleração na média de preços significa a necessidade de uma ação, que pode ser uma operação de compra ou venda do aivo.

33 19 Para a consrução dos gráficos de conrole, deve-se escolher a esaísica de moniorameno. Nese conexo, um modelo para a média é necessário, sendo que ese modelo deve ser o mais próximo possível da realidade. Sua obenção envolve a eoria de modelos economéricos, os quais serão explicados no capíulo 3. A modelagem economérica envolve o uso de uma série de conceios sobre séries emporais, os quais serão dealhados no capíulo 2. Desa forma, o ema do rabalho é: Análise de séries emporais financeiras a parir de modelos de regressão e uso de gráficos de conrole como ferramena de decisão de invesimeno Esruura do Trabalho A esruura sobre a qual foi elaborado o rabalho esá na Tabela 1-1. Tabela 1-1: Esruura do Trabalho Capíulo 1: Inrodução Empresa, Problema e Tema Capíulo 2: Revisão Bibliográfica Séries Temporais, Reornos Capíulo 3: Modelos para Séries Temporais Modelos ARIMA Capíulo 4: Fundamenos do Conrole Esaísico de Processos Gráficos de Conrole (Shewhar, CUSUM, EWMA) Capíulo 5: Meodologia Meodologia Proposa Passo a Passo

34 20 Capíulo 6: Caso Real Aplicação da Meodologia a Série Hisórica Real Capíulo 7: Conclusões Resumo e Principais Consaações Fone: Elaborado pelo auor (2013) 1.5. Sofwares Uilizados Esa seção é desinada a lisar os sofwares uilizados ao longo do rabalho. Tano a modelagem economérica como as ferramenas de conrole esaísico de processos são emas que exigem capacidade de simulação e cálculo. A complexidade dos méodos quaniaivos aplicados no rabalho orna menos viável sua execução sem o auxílio de uma ferramena compuacional Terminal Bloomberg O erminal Bloomberg é uma base de dados online muio uilizada no mercado financeiro. A obenção das séries hisóricas uilizadas no rabalho ocorreu aravés desa ferramena e do Microsof Excel 2010, a ser descrio no ópico seguine Microsof Excel 2010 As séries hisóricas foram obidas já em forma de planilhas Excel, pois ambos os sofwares são conecados a parir de um add-in. Além disso, o Excel auxiliou a elaboração de muios gráficos e abelas mosradas nas seções seguines. Por úlimo, vale desacar o Visual Basic for Applicaions (VBA), ferramena inegrada ao Excel que foi fundamenal para a obenção dos limies de conrole e dos ARL (Average Run Lengh, a ser definido ao longo do rabalho) fora de conrole.

35 Eviews 7.1 O sofware Eviews 7.1 foi uilizado na eapa de modelagem do rabalho. Traa-se de uma ferramena de modelagem e esudos esaísicos, o que explica o seu consane uso na economeria. Esa ferramena foi uilizada na análise dos dados coleados (hisograma, esaísicas descriivas, gráficos, correlogramas, eses de esacionariedade) e nas eapas de esimação e diagnósico dos modelos ajusados (esimação de coeficienes, análise residual). Todos os méodos ciados serão definidos e explicados no decorrer do rabalho.

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37 23 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1. Inrodução A Revisão Bibliográfica em por objeivo expliciar a base eórica do rabalho. Ela foi seccionada em rês capíulos (2, 3 e 4). Ese capíulo é composo por definições e propriedades de séries emporais. O capíulo 3 coném a definição e dealhameno de modelos para séries emporais. Finalmene, o capíulo 4 inroduz os gráficos de conrole e suas medidas de eficiência Séries Temporais Segundo Morein e Toloi (2006), uma série emporal é qualquer conjuno de observações ordenadas no empo. Segundo Ehlers (2009), a caracerísica mais imporane dese ipo de dados é que as observações vizinhas são dependenes, e a análise e modelagem desa dependência são ineressanes. Enquano em modelos de regressão, por exemplo, a ordem das observações é irrelevane para a análise, em séries emporais a ordem dos dados é crucial. Alguns exemplos são: Valores diários de poluição na cidade de São Paulo; Valores mensais de emperaura na cidade de Cananéia-SP; Preços diários de índices da BOVESPA (Bolsa de Valores de São Paulo); Regisros de marés no poro de Sanos. Percebe-se que os primeiros rês exemplos consiuem séries emporais discreas, enquano o úlimo é uma série conínua. Ehlers (2009) sugere que algumas caracerísicas são peculiares a ese ipo de dados: Observações correlacionadas são mais difíceis de analisar e requerem écnicas específicas; É necessário levar em cona a ordem emporal das observações; Faores complicadores como presença de endências e variação sazonal ou cíclica podem ser difíceis de esimar ou remover;

38 24 A seleção de modelos pode ser basane complicada, e as ferramenas podem ser de difícil inerpreação; É mais difícil lidar com observações perdidas e dadas discrepanes devido à naureza sequencial. Podem ser consruídos modelos para séries emporais a parir de dois diferenes enfoques. Quando a análise é feia no domínio emporal, uilizam-se modelos paraméricos (com um número finio de parâmeros). Já no caso em que a análise ocorre no domínio de frequências, são proposos modelos não-paraméricos. O modelo Auo-Regressivo e de Médias Móveis, definido e dealhado na seção (3.1.3), é um exemplo de modelo paramérico e será uilizado no rabalho. De acordo com Morein e Toloi (2006), dada a série emporal X( 1 ),, X( n ) observada nos insanes 1,, n, consideram-se os seguines objeivos na análise de séries emporais: i. Invesigar o mecanismo gerador da série emporal; ii. Fazer previsões de valores fuuros da série; iii. Descrever apenas o comporameno da série, o que envolve a consrução do gráfico, verificação da exisência de endências, ciclos e variações sazonais, consrução de hisogramas e diagramas de dispersão; iv. Procurar periodicidades relevanes nos dados. Segundo os mesmos auores, modelos probabilísicos ou modelos esocásicos são consruídos para odos eses casos, seja no domínio emporal ou de frequências. Tais modelos devem ser simples e parcimoniosos (o número de parâmeros deve ser o menor possível), e sua manipulação não deve apresenar dificuldades Reornos Morein (2011) sugere que um dos objeivos em finanças é a avaliação de riscos de uma careira de aivos financeiros. Ese dado é medido em ermos de variações de preços dos aivos. Denoa-se por P o preço de um aivo no insane. (2.1): Define-se o reorno líquido simples de um aivo enre os insanes 1 e na equação

39 25 R P P P P P 1 = = (2.1) 1 1 sendo que a variação de preços enre eses insanes é dada por P = P P 1. Já o reorno bruo simples, ou axa de reorno, é definido por: P + =. 1 R P 1 A parir das relações acima, Morein (2011) define log-reorno na equação (2.2). P r = ln(1 + R ) = ln = ln( P) ln( P ) (2.2) 1 P 1 Na práica, segundo Morein e Toloi (2006), é preferível rabalhar com reornos, que são livres de escala, do que com preços, pois os primeiros êm propriedades esaísicas mais ineressanes, como esacionariedade e ergodicidade. A escolha por log-reorno ambém se jusifica à medida que para u pequeno, ln(1 + u) u. Logo, nese caso, os valores de reornos R e log-reornos r serão em geral próximos. De acordo com Morein e Toloi (2006), séries econômicas e financeiras apresenam algumas caracerísicas que são comuns a ouras séries emporais, como: a) Tendências; b) Sazonalidades, que são, em geral, muio influenciadas pelas endências, e viceversa; c) Ponos influenes (aípicos); d) Heeroscedasicidade condicional, ou seja, a variância condicional evolui no empo; e) Não-linearidade, que pode ser associada a uma resposa diferene a choques grandes ou pequenos. Por exemplo, uma queda do índice Ibovespa pode causar maior volailidade que uma ala. Por ouro lado, reornos financeiros apresenam ouras caracerísicas peculiares que muias séries não apresenam. Reornos raramene apresenam endências ou sazonalidades, com exceção de reornos inra-diários, os quais não serão objeo de esudo nese rabalho. Já as séries de preços, de axas de câmbio e de axas de juros podem apresenar endências que variam no empo.

40 26 Segundo os mesmos auores, os principais faos esilizados relaivos a reornos financeiros podem ser resumidos como: 1. Reornos são em geral não-auo-correlacionados; 2. Os quadrados dos reornos são auo-correlacionados, apresenando uma correlação de defasagem um pequena e depois uma queda lena das demais; 3. Séries de reornos apresenam agrupamenos de volailidades ao longo do empo; 4. A disribuição (incondicional) dos reornos apresena caudas mais pesadas do que uma disribuição normal; além disso, a disribuição, embora aproximadamene simérica, é em geral lepocúrica (a definição de curose esá na seção 2.5.2); 5. Algumas séries de reornos são não-lineares, no senido explicado acima. Segundo Cosa (2001), a não normalidade das séries de reornos é muias vezes explicada pelo fao de os reornos não serem independenes e idenicamene disribuídos (i.i.d.), o que leva nauralmene ao esudo da independência. Por esa razão, será esudada a normalidade dos reornos, anes de sua modelagem Processos Esocásicos Morein e Toloi (2006) afirmam que os modelos uilizados para descrever séries emporais são processos esocásicos, ou seja, processos conrolados por leis probabilísicas. Exise um número muio grande de modelos diferenes para descrever o comporameno de uma deerminada série. A consrução deses modelos depende de vários faores, como o comporameno do fenômeno ou o conhecimeno a priori que se em sobre sua naureza e o objeivo da análise. A definição formal de processo esocásico é: Definição: Seja T um conjuno arbirário. Um processo esocásico é uma família {X(), ϵ T}, al que, para cada ϵ T, X() é uma variável aleaória. A função média de X() é dada por: µ () = E{ X()} = xdf( x;) (2.3) A função de auocovariância (f.a.c.v.) de X() é definida por:

41 27 γ (, ) = µ (, ) µ ( ) µ ( ) = EX { ( ) X ( )} EX { ( )} EX { ( )},, T (2.4) A função variância de X(), que corresponde à função de auocovariância no caso paricular de 1 = 2 =, é dada por: 2 2 γ (, ) = VarX { ( )} = EX { ( )} E{ X ( )} (2.5) 2.5. Normalidade Nesa seção, serão dealhadas algumas ferramenas uilizadas para esudar a disribuição de uma série. Mais especificamene, ese rabalho deve analisar a disribuição de uma série de reornos, verificando se ela de fao apresena excesso de curose e não adere à disribuição normal, como sugere a lieraura Disribuição Normal Anes de descrever os eses de normalidade, será feia uma breve inrodução à disribuição normal (gaussiana). Definição: Um processo esocásico {X(), ϵ T} diz-se Gaussiano se, para qualquer conjuno 1, 2,..., n de T, as variáveis aleaórias X ( 1),..., X ( n) êm disribuição normal n- variada. Morein e Toloi (2006) afirmam que se um processo for normal, ele será deerminado pelas médias e covariâncias. Os esimadores de média e desvio-padrão da disribuição normal são dados por X e s, calculados nas equações (2.6) e (2.7): X 1 X = = ( X + X X ) n i 1 2 n (2.6) i= 1 n n s = n i= 1 ( X X) i n 1 2 (2.7)

42 28 Segundo Cosa Neo (2002), o Teorema do Limie Cenral afirma que, sob condições basane gerais, uma variável aleaória, resulane de uma soma de n variáveis aleaórias independenes, no limie, quando n ende ao infinio, em disribuição normal. De acordo com o mesmo auor, a disribuição normal reduzida ou padronizada é a paricular disribuição normal com média 0 e desvio-padrão 1. Nese caso, a variável normal é denoada pela lera Z. x µ z = (2.8) σ Dada esa inrodução à disribuição normal, serão definidos dois imporanes conceios para os eses relacionados à normalidade das séries Assimeria e Curose Morein (2011) sugere que uma suposição muias vezes uilizada é que os reornos r sejam independenes, idenicamene disribuídos e normais (gaussianos). Conudo há argumenos conrários a essa suposição. Se supusermos que os log-reornos r são normais, os 2 reornos bruos serão log-normais, o que parece ser mais razoável. De fao, se r Ν( µσ, ), enão, como r = log(1 + R ), segue-se que 1+R será log-normal, com: 2 σ µ + 2 ( ) e 1 ER = (2.9) 2 2 2µ + σ σ ( ) ( 1) Var R = e e (2.10) Seja X uma variável aleaória qualquer, com média µ e variância σ 2. Enão, a assimeria de X é definida por: 3 ( X µ ) AX ( ) = E 3 σ (2.11) Já a curose de X é definida por:

43 29 4 ( X µ ) K( X) = E 4 σ (2.12) Para uma disribuição normal, A = 0 e K = 3. Ainda segundo Morein (2011), com uma amosra de T elemenos X1, X2,..., X T de X 2 e esimando-se µ e σ por ˆ µ = X 1 ˆ σ ( ) T 2 2 = X X T = 1 enão a assimeria e curose da amosra serão esimadas pelas equações (2.13) e (2.14). 3 T 1 X X ÂX ( ) = T = 1 ˆ σ (2.13) 4 T ˆ 1 X ( ) X K X = T = 1 ˆ σ (2.14) Pode-se provar que, em caso de disribuição normal da amosra e alo valor de T, 6 ˆ 24 Â N(0; ), K N(3; ) T T (2.15) Tese de Jarque-Bera Inicialmene, cabe definir momeno amosral. Segundo Morein (2011), o r-ésimo momeno amosral é dado por T 1 r mr = ( X X) (2.16) T = 1 Segundo Morein e Toloi (2006), uma propriedade da disribuição normal é que odos os momenos ímpares maiores do que dois são nulos. Desa forma, pode-se esar a hipóese H : 0 0 A=, considerando a esaísica N /6 Â, que erá disribuição limie N(0,1). Também

44 30 é possível esar a curose, pois de acordo com a seção 2.5.2, K=3 em disribuições normais. Nese caso, H : K = 3. 0 O ese de Jarque-Bera, largamene uilizado em economeria, combina os dois eses ciados acima e usa a esaísica: N N S = Â ( Kˆ + 3) (2.17) Sob a hipóese nula de normalidade da série, a esaísica S segue uma disribuição quiquadrado com dois graus de liberdade Gráfico Quanil-Quanil Uma ferramena uilizada para visualizar a disribuição de uma série emporal é o gráfico Quanil-Quanil (Q x Q), onde, de acordo com Morein e Toloi (2006), são ploados os quanis empíricos dos dados conra os quanis da normal padrão. A rea represena a disribuição eórica normal. Assim, quando os ponos sobrepõem perfeiamene a rea, pode-se considerar que a série adere à disribuição normal..03 Figura 2-1: Gráfico QxQ exemplo práico.02 Quaniles of Normal Quaniles of QUANTILE Fone: Elaborado pelo auor (2013) Percebe-se, no exemplo da Figura 2-1, que os ponos (azuis) não sobrepõem a rea (vermelha), o que sugere a não-normalidade da disribuição.

45 Esacionariedade Morein e Toloi (2006) sugerem que nas siuações em que se preende uilizar modelos para descrever séries emporais, é necessário inroduzir suposições simplificadoras, que conduzam à análise de deerminadas classes de processos esocásicos. A esacionariedade esá relacionada à independência ou não dos processos relaivamene à origem dos empos. Inuiivamene, um processo é esacionário se ele se desenvolve no empo de modo que a escolha de uma origem dos empos não é imporane. Morein (2011) afirma que uma das suposições básicas feias na análise de séries emporais é que o processo esocásico gerador dos dados seja um processo esacionário. De modo basane geral, um processo diz-se esacionário se ele oscila ao redor de uma média consane, com uma variância ambém consane. A definição do auor para um processo esocásico esriamene esacionário é: Definição: Um processo esocásico {X(), ϵ T} diz-se fracamene esacionário, ou esacionário de segunda ordem, ou simplesmene esacionário se e somene se: a) EX { ()} = µ () = µ, consane, para odo ϵ T; b) 2 E{ X ( )} < para odo ϵ T; γ (, ) = CovX { ( ) X ( )} é uma função apenas de 1 2. c) Independência Nese rabalho, em processos esacionários { X, Z} com empo discreo Z é assumida como a f.a.c.v. dese processo de defasagem T, dada por γ T + T = Cov{ X, X } Vale ressalar que γ 0 = Cov{ X, X } é a variância do processo., γ T

46 32 Seja { X, Z} um processo esacionário real com empo discreo, de média zero e f.a.c.v. = EXX { }. Segundo Morein (2011), a função de auocorrelação (f.a.c.) do γ T + T processo é definida por γ ρ =, Z (2.18) γ 0 A f.a.c. pode ser esimada por ˆ γ ˆ ρ =, = 0,1,..., T 1 (2.19) ˆ γ 0 onde T é o número da amosra e ˆ γ é a esimaiva da função de auocovariância γ, dada por T 1 ˆ γ = [( X X)( X X)], = 0,1,..., T 1 (2.20) i i+ T i= 1 e ˆ γ 0 é a esimaiva da variância do processo: 1 ˆ γ 0 = ( ) T T Xi X 2 (2.21) i= 1 Box, Jenkins e Reinsel (1994) propõem a uilização de ouro insrumeno, além da função de auocorrelação, para faciliar a idenificação do modelo a ser uilizado: a função de auocorrelação parcial (f.a.c.p.), definida por: * Pk φ kk = (2.22) P k onde * P k é a mariz de auocorrelações e P é a mariz P k com a ulima coluna subsiuída k pelo veor de auocorrelações. P k e * P k são os deerminanes desas marizes. Segundo Morein e Toloi (2006), pode-se demonsrar que φ kk é igual à correlação parcial enre as variáveis X e X X. Ou + X k ajusadas às variáveis inermediárias 1,..., k 1 seja, φ kk mede a correlação remanescene enre X,..., X de. 1 k+ 1 X e X k depois de eliminada a influência

47 Ruído Branco Morein e Toloi (2006) afirmam que a série { ε, Z} é um ruído branco discreo se as variáveis aleaórias ε são não correlacionadas, iso é, Cov{ ε, ε s} = 0, s. Tal processo 2 é esacionário se E{ ε } = µ e Var{ ε } = σ, para odo. Se as variáveis aleaórias são independenes, elas ambém serão não-correlacionadas. Pode-se definir, brevemene: ε ε ε RB σε 2 (0, ) Figura 2-2: Ruído branco Fone: Elaborado pelo auor (2013) Noa-se, aravés da Figura 2-2, que as observações parecem er sido iradas de forma aleaória, caracerizando uma disribuição normal de média zero e variância 1. Os valores passados não inerferem de forma alguma na previsão de valores fuuros.

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49 35 3. MODELOS PARA SÉRIES TEMPORAIS Morein e Toloi (2006) afirmam que há duas classes de modelos para séries emporais, de acordo com os números de parâmeros envolvidos: Modelos paraméricos: o número de parâmeros é finio; Modelos não-paraméricos: o número de parâmeros é infinio. Segundo os mesmos auores, na classe de modelos paraméricos, a análise é feia no domínio do empo. Os modelos mais frequenemene usados são os modelos de erro (ou de regressão), os modelos auo-regressivos e de médias móveis (ARMA), os modelos auoregressivos inegrados e de médias móveis (ARIMA), modelos de memória longa (ARFIMA), modelos esruurais e modelos não-lineares. Nese rabalho serão abordados somene modelos paraméricos Modelos ARIMA Morein e Toloi (2006) afirmam que uma meodologia conhecida como abordagem de Box e Jenkins (1970) é amplamene uilizada na análise de modelos paraméricos. Ela consise no ajuse de modelos auo-regressivos inegrados de médias móveis, ARIMA(p,d,q), a um conjuno de dados. A consrução dese modelo em como base um ciclo ieraivo, cujos eságios são: a) Uma classe geral de modelos é considerada para análise (especificação); b) Há idenificação de um modelo, baseando-se nas auocorrelações e auocorrelações parciais; c) Ocorre a esimação, na qual os parâmeros do modelo idenificados são esimados; d) Há o diagnósico do modelo ajusado aravés da análise de resíduos, com a finalidade de verificar sua adequação para os fins em visa (como por exemplo a previsão de valores fuuros). Traa-se de um ciclo ieraivo, pois caso o modelo não seja adequado, reorna-se à fase de idenificação. Segundo Morein e Toloi (2006), muias vezes são esimados vários modelos, com o inuio de escolher o melhor modelo ajusado, pois nem sempre a

50 36 idenificação é rivial. É possível, segundo os auores, que vários pesquisadores idenifiquem modelos diferenes para a mesma série emporal. Em geral, os modelos posulados são parcimoniosos, uma vez que conêm um número pequeno de parâmeros e as previsões são basane precisas, em relação aos demais méodos de previsão. Enre os modelos paraméricos, exise o caso paricular de um modelo de filro linear, cuja suposição é a geração da série aravés de um filro (ou sisema) linear, sendo que o ruído branco é a enrada. Morein e Toloi (2006) sugerem uma equação para o processo: X = µ + a + ψ1a 1+ ψ 2a = µ + ψ( Ba ) (3.1) onde: ψ ψ ψ 2 ( B) = 1 + 1B+ 2B +... é denominada função de ransferência do filro e µ é um parâmero deerminando o nível da série. X é um processo linear (discreo), onde: Ea ( ) = 0,, Var a 2 ( ) = σ a,, E( aa ) = 0, s. s Proposição: O processo X é esacionário se a série ψ ( B) convergir para B 1. Para uma demonsração dese fao, veja Box, Jenkins e Reinsel (1994). A seguir, serão dealhados os modelos lineares esacionários a serem abordados nese rabalho Modelos Auo-Regressivos De acordo com Morein e Toloi (2006), o modelo auo-regressivo de ordem p, a ser denoado por AR(p) é

51 37 X = + X + X + + X + a (3.2) µ φ1 1 φ φp p onde µ é a média do processo, φ é o veor de coeficienes auo-regressivos e branco no insane. a é o ruído no insane. Nese caso, o valor de X depende dos p valores aneriores da série e do ruído branco Se definirmos o operador auo-regressivo esacionário de ordem p: φ φ φ φ 2 p ( B) = 1 1B 2B... pb, enão pode-se escrever: φ ( BX ) = a O caso mais simples AR(1) ocorre quando p = 1 e a média é nula: X = φ X + a 1 1 onde há a dependência de X 1 e de a. A condição de esacionariedade de um processo AR(p) é equivalene a que a equação caracerísica φ ( B) = 0 enha raízes fora do círculo uniário. De acordo com Morein e Toloi (2006), a função de auocorrelação de um processo auo-regressivo decai de acordo com uma misura de polinômios, exponenciais e senóides amorecidas. Pode-se demonsrar (veja Box, Jenkins e Reinsel, 1994) que um processo AR(p) em f.a.c.p. φkk 0 para k p e φ = 0 para k > p Modelos de Médias Móveis kk Um processo de médias móveis de ordem q, a ser denoado por MA(q), pode ser escrio, de acordo com Morein e Toloi (2006), da seguine maneira: X = + a a a a (3.3) µ θ1 1 θ θq q

52 38 onde µ é a média e a é o ruído branco no insane. Parindo-se da equação (3.3), considerando o caso em que a média é nula, em-se o exemplo mais simples de um processo de médias móveis MA(1): X = a θ a 1 1 Não há resrições sobre os parâmeros θ para que o processo seja esacionário. j Segundo Morein e Toloi (2006), a f.a.c. de um processo MA(q) é igual a zero para defasagens maiores que q, ao conrário do que ocorre num processo AR. Segundo Box, Jenkins e Reinsel (1994), um processo MA(q) em f.a.c.p. que se compora de maneira similar à f.a.c. de um processo AR(p): é deerminada por exponenciais e/ou senóides amorecidas Modelos Auo-Regressivos e de Médias Móveis Morein e Toloi (2006) afirmam que os modelos auo-regressivos são populares em Economia, onde é naural pensar o valor de alguma variável no insane como função de valores defasados da mesma variável, com a finalidade de se elaborar um modelo de previsão. Em ciências físicas e geofísicas, o ineresse em modelos auo-regressivos reside em ouro aspeco: deseja-se esimar o especro do processo e os esimadores auo-regressivos são uilizados para ese fim. Por ouro lado, represenar um processo por um modelo de médias móveis puro parece não ser naural ou inuiivo. Os mesmos auores sugerem que para muias séries enconradas na práica, se quisermos um modelo com um numero não muio grande de parâmeros, a inclusão de ermos auo-regressivos e de médias móveis é a solução adequada. Nese conexo, os modelos ARMA (p,q) em a seguine forma: X = µ + φ X + φ X φ X + a θ a θ a... θ a (3.4) p p q q onde µ é a média do processo, o veor φ represena o veor de coeficienes auo-regressivos, θ é o veor de coeficienes de médias móveis e a é o ruído branco no insane. Um modelo frequenemene uilizado é o ARMA (1,1), com média nula:

53 39 X = φx + a θa 1 1 Como o processo ARMA consise na combinação de processos AR e MA, pode-se concluir que o processo é esacionário quando odas as raízes de φ ( B) = 0 esão fora do circulo uniário. Segundo Morein e Toloi (2006), a f.a.c. dese processo é: ρj= φρ 1 j 1+ φρ 2 j φpρj p, j > q (3.5) Sendo assim, as auocorrelações de defasagens 1, 2,, q serão afeadas direamene pelos parâmeros de médias móveis, mas para j > q, as mesmas comporam-se como nos modelos auo-regressivos. Ainda pode-se verificar, como sugerem Morein e Toloi (2006), que se q > p a f.a.c. consise numa misura de exponenciais e/ou de senóides amorecidas. No enano, se q os primeiros q p 1 valores não seguirão ese padrão. Veja Box, Jenkins e Reinsel (1994). p, A f.a.c.p. de um processo ARMA(p,q) se compora, de acordo com Box, Jenkins e Reinsel (1994), como a f.a.c.p. de um processo MA puro Modelos Auo-Regressivos Inegrados de Médias Móveis Os modelos esudados nos ópicos aneriores são apropriados para descrever séries esacionárias, iso é, séries que se desenvolvem no empo ao redor de uma média consane. Na práica, muias séries econômicas e financeiras são não-esacionárias, porém quando diferençadas podem se ornar esacionárias. Morein e Toloi (2006) apresenam um exemplo em que uma série esacionária mas W = Z Z 1 = Z é esacionária. Se W é uma diferença de uma inegral de W. O modelo ARIMA é Z não é Z, enão Z é d φ( B) Z = θ( Ba ) (3.6)

54 40 de ordem (p,d,q) e é denoado por ARIMA(p,d,q), se p e q são as ordens de φ ( B) e θ ( B), respecivamene. Ese modelo supõe que a d-ésima diferença da série modelo ARMA, esacionário e inverível. Casos ineressanes do modelo ARIMA são: ARIMA(p,0,0)=AR(p); ARIMA(0,0,q)=MA(q); ARIMA(p,0,q)=ARMA(p,q); ARIMA(1,1,1): (1 φb) Z = (1 θba ) Teses de Raiz Uniária Z pode ser represenada por um As séries emporais dese rabalho serão esadas quano à sua esacionariedade. Dois méodos serão esudados para verificar al propriedade. Ambos consisem em verificar se a equação uilizada para modelar a série é saisfeia por uma raiz uniária. Quando esa hipóese é comprovada, pode-se dizer que os choques sofridos pela série em efeio permanene, o que invalida os resulados de modelos economéricos que inham como premissas média e variância consanes. Segundo Morein (2011), o problema de raiz uniária aparece em modelos ARMA quando o polinômio auo-regressivo apresena uma raiz sobre o círculo uniário. Iso implica que se deve omar uma diferença da série original anes de ajusar o modelo. Também podem exisir raízes uniárias no polinômio de médias móveis, o que indica que os dados foram super-diferençados. O ese de Dickey-Fuller (1979), a ser denoado ese DF, consise em verificar a exisência da raiz uniária aravés de um ese de hipóese. Considerando o modelo auo-regressivo AR(1) esacionário com média zero: X = X + RB (3.7) 2 φ 1 ε, ε (0, σ ) O processo apresena raiz uniária se φ = 1 saisfaz o polinômio acima.

55 41 * Considerando φ = φ 1 e subraindo X -1 dos dois lados da equação, segue-se que: X = φ X + ε (3.8) * 1 O ese de hipóese equivale a: H : φ * = 0, 0 H : φ * < 0. 1 Uiliza-se a esaísica: * φ MQ τ = (3.9) * ep..( φ ) MQ onde φ * MQ é o esimador de mínimos quadrados (EMQ) de * φ por meio da regressão de MQ de X sobre 1 X e: * S ep..( φ MQ ) = T ( X ) = 1 1 (3.10) é um esimador para o desvio padrão de φ * MQ e: 1 S X X (3.11) T 2 * 2 = ( φ MQ 1) T 2 = 2 na qual T é o número de observações. Sendo assim, subsiuindo as equações (3.10) e (3.11) na equação (3.9), em-se a expressão para a esaísica do ese DF em ermos de T e S: 1 T X 1ε = 2 2 1/2 ST ( X 1) τ (3.12) As disribuições das esaísicas correspondenes τ são abuladas e rejeia-se H 0 se τ for menor que o valor críico apropriado. É imporane ressalar que o ese DF considera apenas a dependência de X -1 para o processo X.

56 42 Nese conexo, Dickey e Fuller ainda propõem o ese ADF (Augmened Dickey- Fuller Tes), que consise em esudar o processo X como dependene de observações aneriores a X -1. Nese caso, a esaísica em o denominador alerado em relação à equação (3.12): T X ε τ ADF = (3.13) ST ( ( X X)) /2 1 O segundo méodo a ser uilizado para esar a esacionariedade foi desenvolvido por Phillips e Perron (1988), sendo ese um ese que uiliza uma abordagem não-paramérica e permie avaliar uma ampla classe de dados auocorrelacionados e possivelmene heeroscedásicos. Considera-se o modelo: X = θ + φ X + u * onde as suposições para ese modelo são: I. Eu ( ) = 0, para odo ; II. sup E( u β ) <, para algum β > 2 ; III. λ = lim ES ( / T) exise e é finio, 2 2 T T S T T = u ; = 1 IV. u é foremene mixing. Ver Phillips e Perron (1988) e Hamilon (1994) para o conceio de mixing e discussão das implicações dessas suposições. As esaísicas são modificadas para levar em cona a auocorrelação e heeroscedasicidade, após esimar os modelos por MQ ordinários. A esaísica usada no ese Phillips e Perron (PP) é: ˆ τ PP 2 1/2 2 2 * ˆ σ 1 ˆ λ ˆ σ Te. p.( φ1 ) = ˆ τ ADF ˆ2 ˆ 2 2 λ 2 λ ˆ σ (3.14) 2 sendo ˆ σ e 2 ˆλ esimadores consisenes de 2 σ e 2 λ respecivamene, definidos por

57 43 T T uˆ = 1 ˆ σ = (3.15) no qual u ˆ é esimador de u e 2 T l T ˆ2 1 2 = T uˆ ( ) ˆˆ + ωj L uu j = 1 T j= 1 = j+ 1 λ (3.16) com ω ( L) dado por j j ω j ( L) = 1 (3.17) L + 1 Na práica, Phillips e Perron (1988) sugerem usar L 1/4 = [ T ] (3.18) * Morein (2011) afirma que sob H : φ = 0, a esaísica (3.14) em a mesma disribuição limie que ˆADF τ Idenificação de Modelos ARIMA Uma das fases mais críicas da abordagem de Box e Jenkins (1970) é a idenificação do paricular modelo ARIMA a ser ajusado ao conjuno de dados. Morein e Toloi (2006) sugerem que a idenificação é feia com base nas auocorrelações e auocorrelações parciais esimadas, que devem represenar adequadamene as respecivas quanidades eóricas, as quais são desconhecidas. Nese rabalho, será ajusado um modelo ARMA à série emporal. Vale ressalar que o modelo ARMA assume esacionariedade da série. Sendo assim, deve-se primeiramene realizar os eses que verificam a exisência de raiz uniária, para que seja obido o processo ARMA(p,q) resulane Esimação de Modelos ARIMA Idenificado o modelo para a série emporal, seus parâmeros devem ser esimados.

58 44 Morein e Toloi (2006) afirmam que em dado momeno será necessário usar um procedimeno ieraivo de esimação não-linear de mínimos quadrados para a esimação. Consideremos um modelo ARIMA(p,d,q) e coloquemos seus p+q+1 parâmeros no veor ξ φθσ a 2 = (,, ), onde 1 µ =. φ = ( φ,..., φ p ) e θ = ( θ1,..., θ q ). Quando d > 0, supõe-se 0 Para esimar ξ, um dos méodos empregados será o de máxima verossimilhança: dadas N observações, considera-se a função de verossimilhança L( ξ X1,..., X N ) dada como função de ξ. Os esimadores de máxima verossimilhança (EMV) de ξ são os valores que maximizam L ou l = log L. Para deerminar os EMV, rabalha-se com a suposição que o processo a é normal, ou 2 seja, a N(0, σ ). Nesas condições, os EMV são aproximadamene esimadores de mínimos quadrados (EMQ). a Morein e Toloi (2006) sugerem que omando-se d diferenças para alcançar d esacionariedade, são obidas n= N d observações W1, W2,..., W n, onde W = X. Resula um modelo ARMA(p,q) esacionário, onde: a = W φw... φ W + θ a θ a (3.19) 1 1 p p 1 1 q q represena a equação do ruído branco e W = W µ. Sob a suposição de normalidade dos a, a função densidade conjuna de a1, a2,..., a n é dada pela equação (3.20). n n/2 n 2 2 f( a1,..., an) = (2 π) ( σa) exp a / 2σa (3.20) = 1 Considerando as equações (3.19) e (3.20), pode ser obida a função de verossimilhança na equação (3.21). L( ξ WW, *, a*) n n/2 n 1 2 = (2 π) ( σa) exp ( 2 W φ1w 1... φpw (3.21) p+ θ1a θqa q) 2σ a = 1

59 45 É imporane ressalar que aualmene, o procedimeno de esimação é realizado por sofwares compuacionais, os quais já incorporam os valores iniciais dese procedimeno. Nese rabalho, será uilizado o sofware Eviews 7.1 para realizar al esimação Diagnósico de Modelos ARIMA Esimados os parâmeros, alguns eses podem ser realizados para diagnosicar o modelo ajusado. Dois deles serão dealhados Tese de Box-Pierce-Ljung Box e Pierce (1970) sugeriram um ese para as auocorrelações residuais esimadas, que pode indicar se eses valores são muio alos. Ljung e Box (1978) modificaram ese ese, resulando na seguine esaísica: K 2 ˆ ρk QK ( ) = nn ( + 2) (3.22) ( n k) k = 1 Tal esaísica em disribuição 2 χ com K p q graus de liberdade, sendo p e q os graus do modelo ARMA(p, q) ajusado. A hipóese de ruído branco (ausência de auocorrelação) para os resíduos é rejeiada para valores grandes de Q Tese de Auocorrelação Residual Esimados os veores φ e θ, as quanidades a = ˆ B ˆ BW são chamadas de 1 ˆ θ ( ) φ( ) resíduos esimados ou simplesmene resíduos. Se o modelo for adequado, os a ˆ deverão esar próximos dos a e, porano, deverão ser aproximadamene não-correlacionados. Se indicarmos por r ˆk as auocorrelações dos resíduos a ˆ, enão é desejável er Er ( ˆ ) 0. Em paricular, deseja-se er, aproximadamene, k auocorrelações r ˆk são calculadas por 1 rˆ k N(0, ). As esimaivas de n

60 46 rˆ k = n = k+ 1 n = 1 aa ˆˆ aˆ k 2 (3.23) Morein e Toloi (2006) sugerem a comparação dos valores das auocorrelações residuais r ˆk com os limies comporameno de ruído branco em 2 ±, que fornece uma indicação geral de possível quebra de n a, com a condição de que seja lembrado que, para pequenos valores de k, eses limies subesimarão a significância de qualquer discrepância. Desa forma, aceia-se a hipóese de dependência se os valores exrapolarem algum dos limies de conrole. Caso conrário, os resíduos são considerados não-auocorrelacionados (f.a.c. e f.a.c.p. não-significaivos) e, porano, se comporam como um ruído branco.

61 47 4. CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS (CEP) Uma vez modelada a série de empo, deve-se buscar uma ferramena para moniorar a esaísica resulane do modelo ajusado, que sirva de auxílio durane o processo de omada de decisão. Com esa finalidade serão expliciados, nese capíulo, os fundamenos do CEP a serem uilizados no rabalho, incluindo os gráficos de conrole, que consiuem uma das mais imporanes ferramenas de moniorameno de processos ou variáveis Conrole Esaísico de Processos (CEP) Segundo Mongomery (2001), o conrole esaísico de processos (CEP) é uma poderosa coleção de ferramenas para solução de problemas que são úeis para aingir esabilidade do processo e melhorar sua capacidade aravés da redução de sua variabilidade. De acordo com o mesmo auor, o principal objeivo do CEP é deecar rapidamene a ocorrência de causas especiais de forma que a invesigação e a correção sejam execuadas o mais cedo possível, anes que muias unidades sejam produzidas. O CEP pode ser uilizado em qualquer processo. Suas see principais ferramenas são: Hisograma ou diagrama de ramo e folhas; Folha de verificação; Gráfico de Pareo; Diagrama de causa-e-efeio; Diagrama de concenração de defeio; Diagrama de dispersão; Gráfico de conrole. Mongomery (2001) afirma que o CEP consrói um ambiene no qual odos os indivíduos de uma organização desejam melhorias conínuas em qualidade e produividade. Quando al ambiene é esabelecido, as see ferramenas acima são aplicadas como se fossem roinas, levando a organização a aingir seus objeivos de melhoria na qualidade.

62 Variabilidade e Causas Cosa (2008) sugere que a variabilidade de um processo pode ser compreendida como as diferenças exisenes enre as unidades produzidas. A facilidade de observação desas diferenças aumena à medida que a variabilidade cresce. O mesmo auor cia Shewhar, que esudou a variabilidade dos processos desde o início da Revolução Indusrial. Segundo ele, odo e qualquer processo, por mais bem projeado e bem conrolado que seja, possui em sua variabilidade um componene impossível de ser eliminado: a variabilidade naural do processo, que é fruo de uma série de causas aleaórias, conra as quais pouco ou nada se pode fazer. Quando o processo apresena apenas sua variabilidade naural, diz-se que ele esá em conrole. Segundo Cosa (2008), odos os processos ambém esão sujeios à ocorrência ocasional de perurbações maiores, chamadas causas especiais, que êm o efeio de deslocar a disribuição da variável aleaória X, irando sua média do valor-alvo e/ou aumenando sua dispersão. Uma causa especial significa um modo de operação anormal do processo e pode, porano, ser corrigido ou eliminado. Um processo que opera com a presença de causas especiais, segundo Mongomery (2001), é denominado fora de conrole. Exemplos de causas especiais são: máquinas mal ajusadas ou conroladas, erros do operador, maéria-prima defeiuosa. No mercado financeiro, mais especificamene nos índices de Bolsas de Valores, há diversos exemplos de causas especiais: Aleração das condições macroeconômicas globais, como a redução de programa de compra de aivos pelo Federal Reserve, o Banco Cenral Americano, que resulou em aversão a risco; Incerezas relacionadas ao eo da dívida americana e um evenual caloe; Bolhas de preços, como a Bolha da Inerne do final da década de 90; Eveno políico de grande imporância, por exemplo eleições presidenciais; Esas causas especiais não só aleram a média do processo, como ambém sua variância.

63 Gráficos de Conrole Cosa (2008) afirma que a principal ferramena uilizada para moniorar processos e sinalizar a presença de causas especiais são os gráficos de conrole. Esa ferramena pode ser uilizada para moniorar um processo aravés de uma esaísica pré-definida, como por exemplo a média amosral ou a ampliude amosral. Os principais elemenos de um gráfico de conrole são: Limie Superior de Conrole (LSC): raa-se do valor a parir do qual inerprea-se um pono como sinal de que o processo esá fora de conrole. Em ouras palavras, se um pono do gráfico se enconra acima dese limie, considera-se que alguma ação correiva é necessária; Limie Inferior de Conrole (LIC): represena a linha inferior do gráfico de conrole, ou seja, o menor valor que um pono pode aingir com o processo em conrole. Caso haja um pono abaixo dese limie, considera-se o processo fora de conrole; Linha média (LM): é o valor esperado do processo ou da esaísica (variável) que esá sendo moniorada. Enquano os ponos vão disribuindo-se aleaoriamene em orno desa linha, não se deve inervir no processo. Exemplos de gráficos de conrole com LM = 0, LSC = 1 e LIC = -1 se enconram nas figuras Figura 4-1 e Figura 4-2. Figura 4-1: Exemplo de processo em conrole Fone: Elaborado pelo auor (2013)

64 50 Figura 4-2: Exemplo de processo fora de conrole Fone: Elaborado pelo auor (2013) Segundo Mongomery (2001), o uso mais imporane de um gráfico de conrole é para melhorar o processo. Tal melhora ocorre da seguine maneira (Figura 4-3): Figura 4-3: Uso do gráfico de conrole no processo Fone: Mongomery (2001)

65 51 O mesmo auor afirma que, em geral: I. Anes do uso de ferramenas de CEP, a maioria dos processos apresena causas especiais; II. Consequenemene, o uso de gráficos de conrole resula na sinalização desas causas. Se elas forem eliminadas, a variabilidade do processo será reduzida, de forma a melhorá-lo; III. A ação a ser omada para eliminar as causas especiais é de responsabilidade das áreas de gesão e operações. No caso dese rabalho, a ação deve ser omada pelo gesor de porfólios, que deve ajusar a posição no aivo em quesão. Os gráficos de conrole podem ser classificados em dois ipos: i. Se a caracerísica de qualidade é mensurável, ela é chamada de variável. Neses casos, é comum medir a endência cenral e a variabilidade desa caracerísica, consruindo os respecivos gráficos de conrole para variáveis. Os gráficos X são comuns para esudar a endência cenral, enquano gráficos baseados na ampliude ou no desvio padrão da amosra são uilizados para esudar a variabilidade; ii. No enano, muias caracerísicas de qualidade não são passíveis de medição, pois envolvem cero grau de subjeividade. Para ese caso, são uilizados gráficos de conrole para aribuos. Nese rabalho, será aplicado o primeiro ipo: gráfico de conrole para variáveis, para que sejam deecados aumenos na média da variável moniorada Gráficos de Conrole para Variáveis Mongomery (2001) afirma que uma variável é uma caracerísica de qualidade passível de mensuração numérica. Para lidar com uma caracerísica que é variável, é comum o moniorameno de sua média e variabilidade. O conrole da média do processo é normalmene feio aravés do gráfico de conrole X, enquano o gráfico de conrole R é amplamene uilizado para moniorar a variabilidade Gráficos X e R

66 52 O uso de um gráfico de conrole para moniorameno de média equivale a esar as seguines hipóeses: H : µ = µ i. 0 0 ii. H 1: µ µ 0 Já um gráfico de conrole para a dispersão considera as hipóeses: I. II. H : σ = σ H : σ σ Supondo uma variável com disribuição normal de média µ e desvio padrão σ conhecidos. Se x1, x2, x3,..., x n é uma amosra de amanho n, enão a média desa amosra é: x x + x + + x n n = (4.1) Sabe-se que x em disribuição normal de média µ e desvio padrão σ = σ / n. Assim, pode-se usar os seguines limies de conrole: x LSC = µ + Z α /2 σ n LM = µ (4.2) LIC = µ Z α /2 σ n onde α é o nível de significância do ese para a média e Z α /2 é o valor respecivo a ser enconrado na abela da disribuição normal padrão. Segundo Mongomery (2001), é comum subsiuir Z α /2 por 3, de forma a ober os limies de conrole 3σ. No caso de uma média amosral não esar no inervalo deerminado pelos limies de conrole, considera-se que a média não é mais igual a µ.

67 53 Na práica, enreano, é mais comum não conhecermos a média e o desvio padrão da variável. Nese caso, elas devem ser esimadas de amosras ou subgrupos preliminares quando se considera o processo em conrole. Supondo m amosras, cada uma conendo n observações na caracerísica a ser mensurada, podem ser obidas as médias de cada amosra: x1, x2,..., x m. Logo, um esimador de µ pode ser: x x + x + + x m m = (4.3) Para consruir os limies de conrole, precisa ser esimado o desvio padrão σ. Mongomery (2001) afirma que ele pode ser esimado ano a parir dos desvios padrões quano das ampliudes das m amosras. No segundo caso, se x1, x2, x3,..., x n é uma amosra de amanho n, enão a ampliude R é obida pela diferença enre a maior e a menor observação: R= x x max min Nese conexo, R1, R2,..., R m serão as ampliudes das m amosras. Sua média pode ser mosrada na seguine equação: R R + R + + R m m = (4.4) Assim, Mongomery (2001) consrói os limies de conrole para o gráfico x : LSC = x + A2 R LM = x (4.5) LSC = x A2 R onde os valores de A 2 são abelados em Mongomery (2001). Também é possível esimar σ a parir da seguine equação: R ˆ σ = (4.6) d 2

68 54 onde d 2 é um valor abelado em Mongomery (2001). Desa maneira, obêm-se os seguines limies de conrole: 3 LSC = x + R d n 2 LM = x (4.7) 3 LSC = x R d n 2 Confronando as equações (4.5) e (4.7), pode-se exrair a relação enre os valores abulados A 2 e d 2 : 3 A2 = (4.8) d n 2 De acordo com Mongomery (2001), os limies de conrole para o gráfico R são: LSC = D R 4 LM = R (4.9) LSC = D R 3 onde D 3 e D 4 são consanes e abulados para vários valores de n em Mongomery (2001). Mongomery (2001) sugere a deerminação analíica dos limies de conrole para moniorameno da média, como mosra a equação (4.2). Conudo, em alguns casos a disribuição da variável moniorada não é conhecida. Nesas siuações, como é o caso dese rabalho, são uilizados algorimos de simulação para deerminar os limies de conrole Análise de Desempenho de Gráficos de Conrole Nesa seção, considera-se uma esaísica { X, Z} a ser moniorada com a finalidade de se omar uma decisão de inervenção em seu processo.

69 55 Cosa (2008) sugere que o desempenho de gráficos de conrole eseja associado à sua capacidade de deecar perurbações no processo. Ese ipo de esudo é exremamene imporane na obenção dos limies de conrole. Sabe-se que exisem duas decisões que podem ser omadas sobre um processo: inervir ou não inervir. Além disso, o processo pode esar em conrole ou fora de conrole. Sendo assim, consideram-se as decisões relacionadas a gráficos de conrole como eses de hipóese, onde: H 0 : o processo esá em conrole; H 1 : o processo esá fora de conrole. Sendo assim, H 0 pode ser verdadeira ou falsa, e pode-se aceiar ou rejeiar H 0. Eses resulados podem ser resumidos na Tabela 4-1: Resulados do ese de hipóese (probabilidades enre parêneses). Tabela 4-1: Resulados do ese de hipóese (probabilidades enre parêneses) Tese de Hipóese Não ocorre inervenção Decisão Ocorre inervenção Esado do processo H 0 : Processo em conrole Decisão correa (1-α ) Erro do ipo I (α ) H Processo fora de conrole Erro do ipo II ( β ) Decisão correa (1- β ) 1 : Fone: Elaborado pelo auor (2013) A hipóese H 0 é aceia como verdadeira odas as vezes que o valor da esaísica moniorada esiver denro dos limies de conrole. Porano, H 0 é considerada falsa sempre que ese valor esiver fora dos limies de conrole. Cosa (2008) afirma que quando a hipóese H 0 é verdadeira (o que caraceriza um processo iseno de causas especiais), é razoável que muios ponos da esaísica moniorada X esejam denro dos limies de conrole do gráfico. No enano, por raar-se de um ese esaísico, exise o risco de um deles esar fora deses limies. A probabilidade α represena o risco de erroneamene considerar-se o processo fora de conrole (alarme falso). α = P[ X < LIC ou X > LSC] (4.10)

70 56 Iso significa que ocorre inervenção no processo na hora errada, quando ele se enconra em conrole, caracerizando o Erro do ipo I. Por ouro lado, exise a possibilidade de H 0 ser aceia e o processo esar fora de conrole. A probabilidade β represena o risco de erroneamene considerar-se o processo em conrole (não-deecção). Mongomery (2001) afirma que uma maneira de avaliar decisões relaivas a amanho e frequência de amosra é aravés do Average Run Lengh (ARL) do gráfico de conrole. Traase, em ermos práicos, do número de ponos que são ploados no gráfico aé que seja considerada a condição fora de conrole. O cálculo do ARL é represenado pela seguine fórmula: 1 ARL = (4.11) p onde p é a probabilidade de qualquer pono exceder os limies de conrole. Na hipóese H 0 (processo em conrole), a probabilidade de um pono sair dos limies de conrole é α. Nese caso, pode-se calcular ARL 0 : ARL 0 1 = (4.12) α Na hipóese H 1 (processo fora de conrole), a probabilidade de um pono sair dos limies de conrole é 1 β. Assim, pode-se ober a fórmula do ARL 1 : 1 ARL = 1 1 β (4.13) Quando a disribuição da esaísica moniorada é conhecida, é possível deerminar o ARL analiicamene. No enano, em diversos casos esa deerminação é muio complexa, o que sugere o uso de simulações para a obenção dos valores ARL Gráficos de Conrole CUSUM e EWMA

71 57 Os gráficos de conrole visos aé ese pono do rabalho são baseados nos princípios desenvolvidos por Shewhar. Apesar de consiuírem méodos eficazes e amplamene uilizados de CEP, possuem uma desvanagem. Segundo Mongomery (2001), qualquer gráfico de conrole de Shewhar (por exemplo o gráfico X que moniora a média) uiliza somene a informação do processo conida no úlimo pono ploado, de forma a ignorar o resane da sequência de observações. Desa forma, ais gráficos não possuem sensibilidade a pequenos desvios no processo (por exemplo, 1, 5σ ou menos). Evidenemene, regras suplemenares podem ser uilizadas para melhorar a sensibilidade do gráfico, como os chamados warning limis (limies inermediários de alera, com valor absoluo menor que os próprios LSC e LIC), porém o auor defende que al uso pode ornar mais complexa a inerpreação do gráfico, além de possivelmene acarrear em redução do ARL observado, o que pode não ser desejável. Vale ressalar que a simplicidade da regra de decisão (verificar se o úlimo pono esá fora ou denro dos limies de conrole) é uma das razões do sucesso deses gráficos. Cosa (2008) afirma que para deecar grandes desvios de variáveis do processo, os gráficos de Shewhar são, de fao, muio eficienes. No enano, à medida que os processos ficam mais robusos (com menos causas especiais), eses gráficos perdem a eficiência. Com o inuio de resolver ese problema, foram proposos dois ipos de gráficos de conrole com memória: I. Gráfico de conrole das Somas Acumuladas (CUSUM); II. Gráfico de conrole da Média Móvel Ponderada Exponencialmene (EWMA). Quando se uiliza uma desas ferramenas, a decisão sobre o esado do processo é baseada em informações acumuladas de diversas amosras, e não apenas da úlima. A deecção de pequenas variações ocorre com maior rapidez devido ao uso de evidências presenes em cada uma das amosras usadas para calcular a esaísica do gráfico CUSUM Segundo Mongomery (2001), o gráfico de conrole CUSUM (Cumulaive Sum, em inglês) incorpora direamene oda a informação da sequência de valores amosrais aravés da

72 58 soma cumulaiva dos desvios deses valores em relação a um valor alvo. No caso dese rabalho, o valor alvo é a média do processo. Considerando µ 0 a mea para a média do processo, o gráfico de conrole CUSUM é formado com as seguines quanidades: i i ( j 0) (4.14) j= 1 C = x µ Nese caso, há um oal de i amosras e a soma cumulaiva aé a i-ésima amosra é represenada por C i. Como se combina informação de diversas amosras, gráficos CUSUM são mais efeivos que os gráficos de Shewhar para deecar pequenos desvios no processo. Nese rabalho, enreano, serão uilizados os gráficos CUSUM abular (ou algorímico), que serão explicados a seguir. Seja x i a i-ésima observação do processo. Quando o processo esiver em conrole, x i erá disribuição normal com média µ 0 e desvio padrão σ. Assume-se que σ é conhecido ou possui esimador. Monogmery (2001) afirma que o CUSUM abular acumula derivações de µ 0 que esejam acima da esaísica C + ou abaixo de oura esaísica C. O cálculo desas esaísicas é feio da seguine maneira: C = max[0, x ( µ + D) + C ] (4.15) + + i i 0 i 1 C = max[0,( µ + D) x + C ] (4.16) + i 0 i i 1 C + 0 C0 0 = = (4.17) onde x i é o valor da série moniorada no insane i e D é chamado valor de referência, represenando o desvio que se preende deecar. Mongomery (2001) propõe méodos analíicos para calcular o valor de D. Conceiualmene, D represena o desvio da média que se preende deecar com ese gráfico de conrole. Se o desvio que se deseja deecar é expresso em ermos do desvio padrão da série, o que esá represenado na equação (4.18), o cálculo analíico de D proposo pelo auor pode ser realizado segundo a equação (4.19).

73 59 µ 1 = µ 0 + δσ (4.18) D = δσ (4.19) 2 Ese rabalho propõe méodos para deecar deslocamenos da média para cima, porano será adapada a equação (4.15) para ober a esaísica a ser moniorada. Seu cálculo esá represenado na equação (4.20). C = max[0, R ( µ + Kσ) + C ] (4.20) onde R corresponde ao reorno no insane, o desvio que se preende deecar é expresso em ermos do desvio padrão σ ( D = Kσ ) e µ 0 é a média esperada dos reornos R. Os limies de conrole serão deerminados por simulação, dada a complexidade das caracerísicas da série R. Desa forma, diversos valores de K serão simulados no algorimo elaborado em VBA, visando ober os limies de conrole e ARL 1 respecivos. A regra de decisão do gráfico CUSUM é: i. O processo esá em conrole se C + LSC ; ii. O processo esá fora de conrole se C + > LSC EWMA Cosa (2008) afirma que o gráfico de conrole da Média Móvel Ponderada Exponencialmene, Exponenially Weighed Moving Average em inglês, ou EWMA, é oura alernaiva para o gráfico de conrole Shewhar, se o objeivo é deecar pequenos deslocamenos na média do processo. O gráfico EWMA apresena desempenho basane similar ao gráfico CUSUM e é geralmene uilizado com observações individuais. Nese gráfico, são ploados valores da esaísica z i : zi = λxi + (1 λ) zi 1 (4.21) onde 0< λ < 1 é a consane de suavização, x i é o valor da série emporal e o valor inicial z 0 é o valor alvo da média:

74 60 z 0 = µ 0 (4.22) Mongomery (2001) propõe méodos analíicos para calcular os limies de conrole e a consane de suavização λ. No enano, nese rabalho será uilizado um algorimo de simulação para deerminar os limies de conrole, e serão esados diversos valores da consane λ como inpus do programa compuacional. A esaísica a ser moniorada no gráfico EWMA nese rabalho é represenada pela equação (4.23). E = λr + (1 λ) E 1 (4.23) onde λ é a consane de suavização, R é o reorno no insane e E 0 = µ 0, a média esperada dos reornos R. Serão uilizados diversos valores de λ no algorimo elaborado para ober os limies de conrole e os valores de ARL 1 correspondenes. A regra de decisão do gráfico EWMA é: i. O processo esá em conrole se E ii. O processo esá fora de conrole se LSC ; E > LSC.

75 61 5. METODOLOGIA Ese capíulo em como objeivo expliciar a sequência de méodos a ser proposa pelo rabalho. Desa forma, pode-se aplicar esa meodologia em diversos casos reais, com a finalidade de ober gráficos de conrole para moniorar a média de reornos de aivos financeiros. A aplicação desa meodologia num caso real esá disponível no capíulo Série Temporal de Preços O primeiro passo é a obenção da série emporal de preços ( P ). Iso pode ser feio aravés de qualquer provedor de dados hisóricos de aivos financeiros, por exemplo Bloomberg ou Thomson Reuers. Por se raar de um aivo financeiro, é comum observar endências, sazonalidade e dependência no gráfico da série de preços. A correa inerpreação do gráfico é imporane para deerminar se há necessidade de ransformação nesa série. Um exemplo de série hisórica de preços esá na Figura 5-1. Figura 5-1: Exemplo Gráfico de Série de Preços Fone: Elaborado pelo auor (2013) A necessidade de ransformação decorre da não-esacionariedade da série, o que orna inválido o ajuse de um modelo ARMA. Na Figura 5-1, a série hisórica aparena não ser

76 62 esacionária. Caso se prefira um méodo quaniaivo para deerminar esa caracerísica, podem ser uilizados os eses proposos na seção 5.4 (Esacionariedade) Série Temporal de Reornos Caso a série de preços não seja adequada para modelagem via ARMA, propõe-se o uso da série de reornos, ou log-reornos ( R ), devido à presença de propriedades esaísicas mais ineressanes para a modelagem. Eles são livres de escala e normalmene são esacionários. Tal série pode ser obida via uma ransformação da série original de preços, realizada a parir da equação (5.1). P R = ln( ) = ln( P) ln( P ) (5.1) 1 P 1 Um exemplo da série de reornos é a Figura 5-2. Visualmene, noa-se que a série aparena er comporameno esacionário. Figura 5-2: Exemplo Gráfico de Série de Reornos Fone: Elaborado pelo auor (2013) Uma alernaiva ao uso de log-reornos, caso a modelagem se mosre inadequada, é o uso do reorno líquido simples, calculado na equação (5.2).

77 63 RLS P P P 1 = (5.2) Normalidade Nesa eapa, será esudada a disribuição de probabilidades da série de reornos. A Revisão Bibliográfica (seção 2.3) sugere que os reornos em geral não apresenam comporameno normal, devido a caudas mais pesadas. A disribuição dos reornos será analisada a parir de rês ferramenas: Hisograma, Gráfico Quanil x Quanil e Tese de Jarque-Bera Hisograma e Esaísicas Descriivas O hisograma da série de reornos deve aparenar ser aproximadamene simérico. Espera-se ambém que a curva de disribuição de frequências seja lepocúrica (ou mais fechada que a curva normal), o que pode ser visualizado no hisograma. Ese rabalho ambém propõe a visualização das principais esaísicas descriivas da série de reornos, pois são um complemeno ao hisograma. De acordo com a lieraura, a esimaiva de curose deve superar 3, caracerizando o excesso de curose. Na práica, as consaações acima significam que embora a disribuição dos reornos eseja concenrada próxima à média, os evenos de cauda são mais comuns e relevanes nesa série emporal Gráfico Quanil x Quanil A presença de caudas mais pesadas faz com que a série de reornos não siga a disribuição normal, o que pode ser visualizado aravés do Gráfico Quanil x Quanil. Um exemplo dese gráfico se enconra na Figura 2-1. Os ponos relaivos à série devem sobrepor a rea eórica da disribuição normal para comprovar a aderência.

78 Tese de Jarque-Bera O ese de Jarque-Bera pode ser uilizado para esar a disribuição de probabilidades da série. A esaísica S leva em consideração as esimaivas de assimeria ( Â ), curose ( ˆK ) e o número de amosras (N). Seu cálculo é dado por: N 2 N ˆ 2 S = Â + ( K 3) de liberdade. 2 Caso a série siga a disribuição gaussiana, S segue uma disribuição χ com dois graus 5.4. Esacionariedade Esa eapa consise em verificar uma propriedade imporane para o uso de modelos ARMA: a esacionariedade da série. Dois eses de raiz uniária são proposos para esa verificação e podem ser execuados no sofware Eviews 7.1: I. Tese Augmened Dickey-Fuller; II. Tese Phillips-Perron. Caso a série possua raiz uniária, pode-se dizer que ela não converge, ou seja, não possui média consane ao longo do empo. Os choques sofridos pelos reornos, nese caso, são permanenes Independência Esa eapa é dedicada à análise da dependência enre as amosras da série, realizada aravés das funções de auocorrelação e auocorrelação parcial. Em ouras palavras, preendese verificar a influência de valores passados da própria série em seu valor aual. Propõe-se a visualização gráfica do perfil de auocorrelações da série, juno com seus limies de conrole 2 ±, para se deecar a defasagem aé a qual as f.a.c. e f.a.c.p. são significaivas. O principal n objeivo desa análise é deerminar a ordem do modelo ARMA a ser ajusado, ou seja, os valores dos parâmeros p e q. Os valores de f.a.c. e f.a.c.p. para as diferenes defasagens são obidos aravés do sofware Eviews 7.1.

79 65 De forma complemenar, pode-se realizar o ese de Box-Pierce-Ljung, o qual deermina que valores maiores da esaísica Q (Q-sa no sofware Eviews 7.1) indicam maior dependência enre os elemenos da série. Tais valores são enconrados no correlograma, bem como seus respecivos níveis descriivos Idenificação, Esimação e Diagnósico do Modelo para a Média Para modelos AR e MA puros, as auocorrelações e auocorrelações parciais devem se comporar de acordo com o padrão descrio na Revisão Bibliográfica (seção 3.1). O modelo AR puro, por exemplo, possui f.a.c. (Figura 5-3) que decai no decorrer das defasagens, enquano a f.a.c.p. (Figura 5-4) só é diferene de zero na primeira defasagem. Sendo assim, se forem enconrados perfis de f.a.c. e f.a.c.p. semelhanes a esas figuras, pode-se concluir que o modelo adequado é o AR puro. O mesmo raciocínio é válido para modelos MA puros. Figura 5-3: Exemplo de f.a.c. de um modelo AR Puro Fone: Elaborado pelo auor (2013)

80 66 Figura 5-4: Exemplo de f.a.c.p. de um modelo AR Puro Fone: Elaborado pelo auor (2013) No enano, em muios casos al comporameno não ocorre, ou seja, apesar de se conhecer os valores de p e q, não é rivial definir se o modelo mais adequado é AR, MA ou ARMA. Além disso, os componenes AR e MA podem não er muia influência no modelo, o que orna seus resíduos maiores em ermos absoluos. Nese caso, pode-se inroduzir uma ou mais variáveis exógenas ao modelo, com o objeivo de reduzir seus resíduos e aproximá-lo da realidade. Desa forma, o méodo proposo pelo rabalho consise em ajusar rês modelos disinos, realizando seus diagnósicos com a finalidade de selecionar o melhor: i. Regressão em duas eapas. A primeira consise em ajusar um modelo de auoregressão dos reornos. A segunda consise em regressão linear dos resíduos da primeira eapa, uilizando a variável exógena como independene. O diagnósico do modelo é feio a parir dos resíduos da segunda eapa. O modelo de auo-regressão esá represenado na equação (5.3). R = R + R + + R + a (5.3) φ1 1 φ φp p onde o processo R represena a série de reornos e a é o resíduo da primeira eapa. A regressão linear dos resíduos da primeira eapa é realizada segundo a equação (5.4). a = β W + β W β W + b (5.4) 1 1, 2 2, J J,

81 67 onde b é o resíduo da segunda eapa, β j é o coeficiene de regressão linear da j-ésima variável exógena e W j, é o valor da j-ésima variável exógena no insane, sendo que são uilizadas J variáveis exógenas. ii. Regressão em duas eapas. A primeira consise em regressão linear dos reornos uilizando a variável exógena como independene. A segunda consise em auoregressão dos resíduos da primeira eapa. O diagnósico do modelo é feio a parir dos resíduos da segunda eapa. A regressão linear dos reornos é realizada segundo a equação (5.5). R = β W + β W β W + a (5.5) 1 1, 2 2, J J, onde o processo R represena a série de reornos, β j é o coeficiene de regressão linear da j- ésima variável exógena, W j, é o valor da j-ésima variável exógena no insane e a é o resíduo desa primeira eapa. Em seguida, modela-se o resíduo a da equação (5.5) aravés da equação (5.6). a = φa + φ a + + φ a + b (5.6) p p onde b é o resíduo da segunda eapa. iii. Regressão misa, uilizando auo-regressão e regressão linear ao mesmo empo (variável exógena independene). Diagnósico do modelo a parir dos resíduos obidos. Esa regressão, diferene das duas primeiras, é realizada em apenas uma eapa, mosrada na equação (5.7). R = β W + β W β W + φ R + φ R φ R + a (5.7) 1 1, 2 2, J J, p p onde o processo R represena a série de reornos, β j é o coeficiene de regressão linear da j- ésima variável exógena, W j, é o valor da j-ésima variável exógena no insane e a é o resíduo.

82 68 O Eviews 7.1 esima os veores φ e β para odas as equações de modelagem proposas pelo rabalho. Haverá valores significaivos e não-significaivos deses coeficienes. Assim deve-se sempre selecionar somene os coeficienes significaivos para ober o modelo final. Esimados os coeficienes, deve ser realizado o diagnósico do modelo. Para al, serão analisadas as f.a.c. e f.a.c.p. dos resíduos, que podem ser obidos no sofware Eviews Eses valores serão comparados aos valores-limie ± com a finalidade de verificar a n dependência dos resíduos. Caso eles sejam dependenes, a hipóese de ruído branco é rejeiada e o modelo é considerado inválido. O ese de Box-Pierce-Ljung ambém pode ser realizado com ese propósio, sendo que o correlograma dos resíduos deve apresenar valores baixos de Q para se aceiar a hipóese de eliminação de auocorrelação serial Deerminação dos Limies de Conrole Idenificado o modelo para a série, o próximo passo consise em ober os limies de conrole. Como sua deerminação analíica é complexa, em virude das peculiaridades das disribuições de reornos, serão realizados algorimos de simulação para cada ipo de gráfico de conrole, os quais levam em cona diversos parâmeros, a serem discuidos a seguir. O gráfico de conrole erá o objeivo de deecar aumenos na média. Porano, será obido somene o limie superior de conrole. Os códigos de simulação elaborados em VBA se enconram no Apêndice A: Códigos dos Algorimos VBA. A lieraura sugere o uso de rês desvios-padrões para gráficos de média, quando o processo adere à disribuição gaussiana. O erro ipo I em probabilidade α = 0, 0027 nese caso, de forma que ARLo 370. No enano, a série de reornos analisada nese rabalho já mosrou não aderir à normal, o que orna inválida esa deerminação de limie de conrole. Ainda, o valor de 370 não condiz com a realidade dese rabalho, uma vez que 370 dias úeis equivalem a aproximadamene um ano e meio, um período muio longo. Sendo assim, o alvo algorimo uilizará um valor alvo ARL 0 mais adequado ao caso real, ajusando o limie de conrole de acordo com os valores ARL 0 enconrados nas simulações. Conceiualmene, ese número represena o empo para que ocorra um alarme falso, ou seja, uma inervenção com o processo em conrole. Assim, se for escolhido um número muio baixo, eoricamene haverá

83 69 muios alarmes falsos (inervenções desnecessárias). Já se o valor for excessivamene alo, o gráfico perde eficiência, pois serão necessárias mais amosras para a sinalização do desvio da média (maiores ARL 1 ). Desa forma, foi escolhido o valor de 100 dias (úeis), que equivalem a um período enre 4 e 5 meses. O cálculo dos limies de conrole é realizado sob a hipóese H 0 (processo em conrole), ou seja, supõe-se que não há desvios na média. O funcionameno do algorimo pode ser resumido nos seguines passos: I. Gera-se um número aleaório aderene à disribuição normal para que seja possível a geração do reorno R no insane ; II. Compara-se ese valor com o limie de conrole para verificar se o limie foi ulrapassado; III. Em caso negaivo, avança-se para o insane +1 e são execuados novamene os passos I e II. Em caso posiivo, armazena-se o valor aual de, que na práica reflee o número de amosras que foram necessárias para se ulrapassar o limie de conrole; IV. Os passos I, II e III são repeidos NumSim vezes, de modo a ober o ARL 0 médio das NumSim ierações. V. Caso al valor seja menor que ARL 0 alvo, aumena-se o limie de conrole em add quanidades e o processo é reiniciado no passo I. Com o limie de conrole maior, a endência é o aumeno do ARL 0 médio enconrado nas NumSim simulações. Finalmene, será aingido ARL 0 alvo de conrole é considerado definiivo., encerrando o algorimo. O valor aual do limie Esa sequência é válida para obenção dos limies de conrole do gráfico ipo Shewhar. Nos casos CUSUM e EWMA, a diferença é a esaísica moniorada, obida no passo I. As esaísicas específicas deses gráficos devem ser calculadas a parir do reorno R. Evidenemene, elas êm suas próprias premissas, a serem definidas nos ópicos seguines. Do pono de visa práico, os passos de I a V elevam gradualmene o limie de conrole aé que o alvo de 100 amosras para inervenção no processo seja aingido. O número de simulações NumSim e a precisão do limie de conrole (valor acrescido a cada ieração) são

84 70 fundamenais para o sucesso na obenção dos limies de conrole. Quano mais simulações, mais precisa é a esimaiva de ARL 0 e quano menos se acresce o limie de conrole, maior sua precisão. Os inpus gerais, válidos para os rês gráficos de conrole, são: NumSim é o número de simulações a serem feias para se ober a média dos valores de ARL 0 ; R = EX + AR + a é o reorno simulado no insane ; EX β1 W1, β2 W2,... βj WJ, = é o componene de variáveis exógenas uilizadas na regressão, onde β 1, β 2,..., β J são os coeficienes das J variáveis exógenas a serem uilizadas; AR = φ1r 1+ φ2r φ R é o componene auo-regressivo da equação do p p modelo, sendo que φ 1, φ 2,..., φ são os coeficienes da auo-regressão de ordem p p obidos na saída da regressão realizada no sofware Eviews 7.1; Add é a precisão do limie de conrole a ser obido, ou seja, é a quanidade numérica a ser adicionada ao limie de conrole cada vez que for elevado; alvo ARL é o valor de ARL 0 0 que se deseja. Aé que ele seja aingido, os limies de conrole coninuam sendo aumenados; Sd: é a esimaiva de desvio padrão. Uiliza-se o erro-padrão da regressão, que corresponde a uma das saídas do sofware Eviews 7.1 após a esimação do modelo; Reornos O primeiro gráfico de conrole a ser analisado é o gráfico ipo Shewhar das médias dos reornos. A obenção do limie de conrole dese gráfico uiliza somene as premissas já incluídas no ópico anerior. O fluxograma que represena o algorimo criado em VBA para esa finalidade esá na Figura CUSUM A obenção do limie de conrole para o gráfico CUSUM envolve os inpus gerais (dealhados no início da seção 5.7) e algumas premissas específicas:

85 71 K: serão uilizados seis valores diferenes para K: 0.25, 0.50, 0.75, 1.00, 1.50 e 2.00; µ 0 = 0 é o parâmero para média do gráfico CUSUM. Seu fluxograma esá na Figura 5-7. O funcionameno do algorimo é semelhane ao explicado para o gráfico Shewhar, porém a esaísica a ser moniorada é C +, que é calculado com base na equação (5.8). C = max[0, R ( µ + Kσ) + C ] (5.8) Percebe-se que a esaísica C + acumula os desvios da média que são superiores a + Kσ, sendo que quando a quanidade R ( µ 0 + Kσ) + C 1 se orna negaiva, a esaísica é zerada. Quano maior o valor de K, menores são os valores de C +, o que nauralmene eleva os valores de ARL 0 para que seja aingido um mesmo limie de conrole. Em ouras palavras, alvo ARL é aingido com menos acréscimos ao limie de conrole. Sendo assim, espera-se que 0 quano maior K, menor é o limie de conrole obido. É obido um valor de limie de conrole final para cada valor de K uilizado EWMA A obenção do limie de conrole para o gráfico EWMA envolve, além dos inpus gerais já definidos, premissas específicas: λ : serão empregados seis valores diferenes para λ : 0.05, 0.10, 0.30, 0.50, 0.70 e 0.90; µ 0 = 0 é o parâmero para média do gráfico EWMA. O fluxograma da simulação do limie de conrole esá na Figura 5-9. A esaísica a ser moniorada é E, calculada aravés da equação (5.9). E = λr + (1 λ) E 1 (5.9)

86 72 Vale ressalar que quano maior o valor de λ, maior o peso do valor aual da série, em derimeno dos valores aneriores. Obém-se um valor de limie de conrole para cada λ uilizado Cálculo do ARL Fora de Conrole Nese passo, simula-se um processo fora de conrole sob a hipóese H 1. Para iso, um número de desvios padrões δ sd será incorporado ao modelo de R, deslocando o modelo da média para cima. Os inpus gerais (dealhados no início da seção 5.7) são válidos para ese algorimo. Acrescenam-se duas novas premissas: LC é o limie de conrole do gráfico, já obido aravés dos méodos da seção 5.7; δ : é o número de desvios padrões que se deseja mover a média para o cálculo do ARL fora de conrole. É denoado por addmedia no algorimo de simulação. alvo Não são considerados, evidenemene, os valores ARL nem Add, uma vez que 0 limies de conrole já esão dados. Assim, o objeivo final desas simulações é ober a média dos ARL 1. Em ouras palavras, busca-se o número médio de amosras necessários para se inervir no processo, sendo que ele esá fora de conrole. Desa forma, como o gráfico visa deecar aumenos na média, um valor menor de ARL 1 indica melhor desempenho do gráfico de conrole. Os valores de δ a serem esados são: 0.00 (processo em conrole), 0.25, 0.50, 0.75, 1.00, 1.50 e O funcionameno do algorimo possui pequenas diferenças em relação ao algorimo de obenção de limies de conrole. Ainda assim, é válido mosrar os seus principais passos: I. O reorno R no insane é gerado a parir do número aleaório que segue a disribuição gaussiana; II. Compara-se ese valor com o limie de conrole, já definido, para verificar se o limie foi ulrapassado; III. Em caso negaivo, avança-se para o insane +1 e são execuados novamene os passos I e II. Em caso posiivo, armazena-se o valor aual de, que na práica reflee

87 73 o número de amosras que foram necessárias para se ulrapassar o limie de conrole; IV. Os passos I, II e III são repeidos NumSim vezes, de modo a ober o ARL 1 médio das NumSim ierações Reornos Uilizando os inpus gerais (dealhados no início da seção 5.7), aliados às duas novas premissas, pode-se simular o desempenho do gráfico de Shewhar para um processo fora de conrole. Os deslocamenos da média serão incorporados pela equação do modelo R. O fluxograma de simulação do ARL 1 para deslocameno da média esá represenado na Figura CUSUM O fluxograma que mosra o algorimo de simulação para os ARL fora de conrole para o gráfico CUSUM esá na Figura EWMA O funcionameno do algorimo de simulação dos ARL 1 esá na Figura 5-10.

88 74 Figura 5-5: Fluxograma Limies de Conrole Shewhar Início NumSim, EX, AR, add, ARL, sd alvo 0 LC = 0 N = 0 ARL = 0 0 = 0 a = N(0, sd) R = EX + AR + a = + 1 R > LC NÃO SIM ARL0 = ARL0 + N NumSim SIM NÃO N = N + 1 ARL 0 = ARL0 NumSim LC = LC + add ARL = N = ARL ARL alvo 0 0 NÃO SIM LC final = LC Fim Fone: Elaborado pelo auor (2013)

89 75 Figura 5-6: Fluxograma ARL fora de conrole Shewhar Início NumSim, EX, AR, LC, addmedia, sd N = 0 ARL = 1 0 = 0 a = N(0, sd) R = addmedia sd + EX + AR + a = + 1 R > LC NÃO SIM ARL1 = ARL1+ N NumSim SIM NÃO N = N + 1 ARL 1 = ARL1 NumSim Fim Fone: Elaborado pelo auor (2013)

90 76 Figura 5-7: Fluxograma Limies de Conrole CUSUM Início NumSim, EX, AR, add, ARL, sd, K, µ alvo 0 0 µ 0 = 0 LC = 0 N = 0 ARL = 0 0 = 0 a0 = N(0, sd) R0 = a0 C + = 0 0 = + 1 a = N(0, sd) R = EX + AR + a C max(0, R ( K sd) C ) + + = µ C + > LC NÃO SIM ARL0 = ARL0 + N NumSim SIM NÃO N = N + 1 ARL 0 ARL0 = NumSim LC = LC + add ARL = N = ARL ARL alvo 0 0 NÃO SIM LC final = LC Fim Fone: Elaborado pelo auor (2013)

91 77 Figura 5-8: Fluxograma ARL fora de conrole CUSUM Início NumSim, EX, AR, LC, addmedia, sd, K, µ 0 µ 0 = 0 N = 0 ARL = 1 0 = 0 a0 = N(0, sd) R0 = a0 C + = 0 0 = + 1 a = N(0, sd) R = addmedia sd + EX + AR + a C + = max(0, R ( µ + K sd) + C + ) 0 1 C + > LC NÃO SIM ARL1 = ARL1+ N NumSim SIM NÃO N = N + 1 ARL 1 = ARL1 NumSim Fim Fone: Elaborado pelo auor (2013)

92 78 Figura 5-9: Fluxograma Limies de Conrole EWMA Início NumSim, EX, AR, add, ARL, sd, λµ, alvo 0 0 µ 0 = 0 LC = 0 N = 0 ARL = 0 0 = 0 a0 = N(0, sd) R0 = a0 E = µ 0 0 = + 1 a = N(0, sd) R = EX + AR + a E = λ R + (1 λ) E 1 E > LC NÃO SIM ARL0 = ARL0 + N NumSim SIM NÃO N = N + 1 ARL 0 ARL0 = NumSim LC = LC + add ARL = N = ARL ARL alvo 0 0 NÃO SIM LC final = LC Fim Fone: Elaborado pelo auor (2013)

93 79 Figura 5-10: Fluxograma ARL fora de conrole EWMA Início NumSim, EX, AR, LC, addmedia, sd, λµ, 0 µ 0 = 0 N = 0 ARL = 1 0 = 0 a0 = N(0, sd) R0 = a0 E = µ 0 0 = + 1 a = N(0, sd) R = addmedia sd + EX + AR + a E = λ R + (1 λ) E 1 E > LC NÃO SIM ARL1 = ARL1+ N NumSim SIM NÃO N = N + 1 ARL 1 = ARL1 NumSim Fim Fone: Elaborado pelo auor (2013)

94 Resulados e Comparação Ese rabalho propõe esudar a real vanagem de cada um dos rês gráficos de conrole, iso é, buscar as siuações em que cada um possui melhor desempenho. No enano, anes de comparar os gráficos enre si, selecionam-se os parâmeros a serem adoados em cada ipo de gráfico, pois eses valores afeam direamene o seu desempenho. Por exemplo, dependendo da série emporal de reornos analisada, o gráfico EWMA com λ = 0.50 pode ober valores de ARL 1 mais baixos que um gráfico do mesmo ipo com λ = Nese caso, deve-se escolher λ = 0.50 para consruir o gráfico EWMA que será comparado aos ouros dois ipos de gráfico. Sendo assim, esa seção consise em duas diferenes análises: I. Análise específica de cada gráfico: consise na obenção dos parâmeros K e λ que apresenem menores ARL 1. No caso do gráfico ipo Shewhar, ese passo é desnecessário; II. Análise comparaiva enre os rês gráficos: a parir dos parâmeros, pode-se consruir um gráfico de conrole de cada ipo, para poserior comparação enre si. Tem-se o objeivo de analisar o desempenho de cada um no caso real. Espera-se que os gráficos de conrole com memória enham maior vanagem em relação ao gráfico do ipo Shewhar quano menor for o desvio da média.

95 81 6. CASO REAL Nese capíulo, a meodologia proposa pelo rabalho e fundamenada pela revisão bibliográfica será aplicada num caso real. Foi selecionado o aivo S&P 500 Index, um índice composo por 500 ações lisadas na NYSE (New York Sock Exchange) ou na NASDAQ (Naional Associaion of Securiies Dealers Auomaed Quoaions). Ele reflee o desempenho ponderado desas 500 ações, fornecendo uma boa aproximação do mercado de ações americano e, porano, é acompanhado por muias insiuições financeiras Série Temporal de Preços A série hisórica a ser uilizada para análise é composa pelas coações de fechameno do aivo S&P 500 Index enre o final de 1992 e junho de Ela foi obida no erminal Bloomberg. O gráfico da série emporal de preços esá na Figura 6-1. Figura 6-1: Série de Preços S&P 500 Index Fone: Elaborado pelo auor (2013)

96 82 As principais esaísicas desa série foram obidas no sofware Excel 2010 e esão na Tabela 6-1. Tabela 6-1: Esaísicas Descriivas da Série de Preços Série de Preços Valor Média 1065,07 Mediana 1132,53 Máximo 1669,16 Mínimo 429,05 Ampliude 1240,11 Desvio Padrão 321,50 Variância ,53 Assimeria -0,58 Curose -0,71 Fone: Elaborado pelo auor (2013) O hisograma desa série financeira foi obido no sofware Eviews 7.1: 500 Figura 6-2: Hisograma da Série de Preços Fone: Elaborado pelo auor (2013)

97 83 A parir da Figura 6-1, percebe-se que a série de preços não converge e apresena endências que variam no empo. Para esar sua esacionariedade, foi realizado o ese de raiz uniária ADF no sofware Eviews 7.1: Tabela 6-2: Tese de Raiz Uniária (Série de Preços) Fone: Elaborado pelo auor (2013) Rejeia-se a esacionariedade para os rês níveis críicos, o que sugere a modelagem de reornos Série Temporal de Reornos A ransformação para reornos foi feia conforme a equação: r = ln( P) ln( P 1)

98 84 onde P é o preço no insane. Figura 6-3: Série de Reornos S&P 500 Index Fone: Elaborado pelo auor (2013) A parir da Figura 6-3, noa-se a maior simeria da série de reornos em relação à série de preços. Sua disribuição será esudada na seção 6.3, e sua aparene esacionariedade, na seção Normalidade O objeivo desa seção é invesigar as caracerísicas das disribuições de reornos apresenadas na seção 2.3. As ferramenas uilizadas para analisar a disribuição de probabilidades dos reornos são as descrias na seção 2.5: hisograma, abela de esaísicas descriivas, gráfico Quanil x Quanil e ese de Jarque-Bera.

99 Hisograma e Esaísicas Descriivas 2,400 Figura 6-4: Hisograma da Série de Reornos 2,000 1,600 1, Fone: Elaborado pelo auor (2013) Tabela 6-3: Esaísicas Descriivas da Série de Reornos Série de Reornos Valor Média 0,000 Mediana 0,001 Máximo 0,110 Mínimo -0,095 Ampliude 0,204 Desvio Padrão 0,012 Variância 0,000 Assimeria -0,240 Curose 8,402 Fone: Elaborado pelo auor (2013)

100 86 O hisograma, Figura 6-4, revela que a disribuição de reornos é de fao lepocúrica e a Tabela 6-3 revela o excesso de curose e a aparene simeria das amosras. Assim, noa-se que os reornos se disribuem pero da média e a os evenos de baixa probabilidade (cauda) ocorrem com mais frequência nesa série Gráfico Quanil x Quanil Foi ploado o gráfico Quanil x Quanil (Figura 6-5) no sofware Eviews Figura 6-5: Gráfico Quanil x Quanil.04 Quaniles of Normal Quaniles of SPX Fone: Elaborado pelo auor (2013) Pode-se observar que a série não adere à disribuição gaussiana, o que era esperado, levando-se em cona o hisograma e as esaísicas descriivas. Por úlimo, realiza-se o ese de Jarque-Bera, com o inuio de comprovar a não-normalidade dos reornos Tese de Jarque-Bera A esaísica de Jarque-Bera pode ser calculada segundo a fórmula (2.17). São uilizadas as seguines variáveis:

101 87 N = 5161; Â 0, ; Kˆ 8, Efeuando-se o cálculo, obém-se o valor de S: S = ( 0, 24017) (8, ) 6324 Para um nível de 1% de significância, o valor abelado da disribuição qui-quadrado com 2 graus de liberdade é 9,21. Como o valor de S supera 9,21, pode-se afirmar que a disribuição dos reornos não adere à disribuição normal, dado o nível de significância do ese. Em seguida, será esada a esacionariedade desa série Esacionariedade Dois eses de esacionariedade serão realizados nesa seção: ese ADF e ese PP. Será uilizado o sofware Eviews 7.1. O ese ADF consise no seguine ese de hipóese: H 0 : a série possui raiz uniária, ou seja, não é esacionária; H 1: a série não possui raiz uniária, ou seja, é esacionária; Seus resulados se enconram na Tabela 6-4. Comparando a esaísica ADF aos valores críicos, rejeia-se a hipóese H 0 para odos os níveis de significância, porano aceia-se a esacionariedade da série. O ese PP (Tabela 6-5) ambém apona para esacionariedade.

102 88 Tabela 6-4: Tese ADF Fone: Elaborado pelo auor (2013)

103 89 Tabela 6-5: Tese PP Fone: Elaborado pelo auor (2013) Desa forma, pode-se prosseguir para o esudo das dependências exisenes enre os reornos, o qual revela a influência de valores passados no valor aual Independência Nesa seção serão analisadas as auocorrelações e auocorrelações parciais da série de reornos. Esa eapa é fundamenal para idenificar o modelo ARMA a ser ajusado para a média. São uilizados os perfis de auocorrelação para deerminar se é adequado um modelo

104 90 AR, MA ou ARMA. A ordem aé a qual as f.a.c. e f.a.c.p. são significaivas ambém é uilizada para deerminar os parâmeros p e q do modelo ARMA(p,q). Inicialmene, o correlograma dos reornos para as vine primeiras defasagens (Tabela 6-6) mosra as f.a.c. e f.a.c.p., bem como as esaísicas Q de Box-Pierce-Ljung e seus níveis descriivos. Tabela 6-6: Correlograma dos Reornos Fone: Elaborado pelo auor (2013) O ese de Box-Pierce-Ljung apona para dependência em odas as defasagens. Os valores de f.a.c. e f.a.c.p. foram ploados com seus limies de conrole ± 2 n (Figura 6-6 e Figura 6-7), permiindo a visualização do perfil das auocorrelações nas diferenes defasagens.

105 91 Figura 6-6: Função de Auocorrelação dos Reornos Fone: Elaborado pelo auor (2013) Figura 6-7: Função de Auocorrelação Parcial dos Reornos Fone: Elaborado pelo auor (2013) A observação das f.a.c. e f.a.c.p. e o ese de Box-Pierce-Ljung permiem concluir que os valores passados influenciam o valor aual da série, o que moiva o ajuse de um modelo ARMA.

106 Idenificação, Esimação e Diagnósico do Modelo para a Média Analisando os dois gráficos de f.a.c. e f.a.c.p., percebe-se que há auocorrelações significaivas aé a décima-oiava defasagem, ou seja, os reornos de aé um mês arás podem influenciar o reorno aual. Os perfis de auocorrelação, no enano, não permiem concluir se o modelo a ser ajusado é AR, MA ou ARMA, pois não refleem as quanidades eóricas de nenhum deles. Desa forma, decidiu-se por ajusar modelos AR(18) à priori, o que resulou em resíduos relaivamene alos, ou seja, o modelo não era próximo à realidade. Em seguida, a incorporação de ermos MA foi realizada, porém sem sucesso, pois os coeficienes esimados não foram significaivos. Por ese moivo, foi adicionada uma variável exógena ao modelo AR: o Dow Jones Indusrial Average, um índice de ações composo por 30 papéis, cuja série hisórica de reornos será represenada por INDU no decorrer dese capíulo. Assim, foram ajusados rês modelos diferenes, que envolvem ano a auo-regressão quano a regressão linear Primeiro Modelo Regressão em Duas Eapas O primeiro modelo ajusado foi o AR(18) dos reornos S&P 500 Index, mosrado na Tabela 6-7. Observando os níveis descriivos dos coeficienes, pode-se inferir, com 95% de confiança, oio coeficienes esaisicamene significaivos referenes aos ermos de AR(1), AR(2), AR(5), AR(7), AR(10), AR(12), AR(16), AR(18). Dando coninuidade ao ajuse do modelo, é necessário esimá-lo novamene, somene com os coeficienes significaivos. Os resulados se enconram na Tabela 6-8. Noa-se que os oio coeficienes coninuam significaivos, obendo a seguine equação: R = 0, R 0, R 0, R , R + 0, R + 0, R , R 0, R + a (6.1) onde R represenam os reornos e a os resíduos da 1ª eapa. Na práica, o reorno aual depende do reorno de 1, 2, 5, 7, 10, 12, 16 e 18 dias úeis aneriores, sendo que um mês é composo por aproximadamene 21 dias úeis.

107 93 Tabela 6-7: Primeiro Modelo: AR(18) dos Reornos Fone: Elaborado pelo auor (2013) Em seguida, foi realizada a regressão linear dos resíduos a uilizando a variável exógena (chamada de INDU na simulação), de forma a ober os resulados mosrados na 3 Tabela 6-9. Noa-se que o coeficiene é significaivo ao nível de10. A equação (6.2) é resulane desa regressão. onde a são os resíduos do modelo (6.1), a = 1, INDU + b (6.2) INDU represena o reorno da variável exógena no insane e b é o resíduo da 2ª eapa, sobre o qual serão feios os eses de diagnósico dese primeiro modelo.

108 94 Tabela 6-8: Primeiro Modelo: AR(18) dos Reornos Somene coeficienes significaivos Fone: Elaborado pelo auor (2013) Tabela 6-9: Primeiro Modelo: Regressão linear dos resíduos Fone: Elaborado pelo auor (2013) O correlograma dos resíduos b esá represenado na Tabela 6-10 e conempla os valores de f.a.c., f.a.c.p., esaísica Q e seu nível descriivo.

109 95 A hipóese de independência, ou seja, de comporameno aleaório, é rejeiada para valores grandes de Q. Nese conexo, o ese de Box-Pierce-Ljung apona para a hipóese de dependência enre os resíduos. O gráfico das f.a.c. dos resíduos esá na Figura 6-8, enquano as f.a.c.p. esão na Figura 6-9. Noa-se a presença de dependência significaiva para diversas defasagens, o que corrobora a hipóese de dependência dos resíduos já aponada pelo ese Box-Pierce-Ljung. O primeiro modelo, porano, deve ser descarado para dar coninuidade ao rabalho, viso que não removeu a auocorrelação da série. Tabela 6-10: Primeiro Modelo: Correlograma dos Resíduos Fone: Elaborado pelo auor (2013)

110 96 Figura 6-8: Primeiro Modelo: Função de auocorrelação dos resíduos Fone: Elaborado pelo auor (2013) Figura 6-9: Primeiro Modelo: Função de auocorrelação parcial dos resíduos Fone: Elaborado pelo auor (2013) Segundo Modelo Regressão em Duas Eapas

111 97 O segundo modelo consise numa regressão em duas eapas: primeiro, uma regressão linear dos reornos em função da variável exógena, gerando uma série de resíduos. A segunda eapa consise na auo-regressão deses resíduos, a qual fornecerá uma série de resíduos finais para o modelo. Os resulados da primeira regressão esão na Tabela Noa-se que o coeficiene de regressão é significaivo ao nível onde R represena os reornos, desa 1ª eapa A equação (6.3) represena eses resulados: R = 1, INDU + a (6.3) INDU é a variável exógena no insane e a é o resíduo Tabela 6-11: Segundo Modelo: Regressão linear dos reornos Fone: Elaborado pelo auor (2013) Prosseguindo para a segunda eapa da regressão, foi realizado o ajuse de um modelo auo-regressivo AR(18) dos resíduos a, cujos resulados esão na Tabela Os coeficienes referenes a AR(1), AR(13) e AR(14) são significaivos. A regressão com eses coeficienes é realizada segundo a equação (6.4) e seus resulados esão na Tabela Todos os coeficienes coninuam significaivos. a = 0, a + 0, a 0, a + b (6.4) onde b é o resíduo da 2ª eapa.

112 98 Tabela 6-12: Segundo Modelo: Auo-regressão dos resíduos Fone: Elaborado pelo auor (2013) Tabela 6-13: Segundo Modelo: Auo-regressão dos resíduos somene coeficienes significaivos Fone: Elaborado pelo auor (2013)

113 99 O correlograma dos resíduos esá na Tabela A esaísica de Box-Pierce-Ljung (Q) sugere independência dos resíduos para diversas defasagens, o que pode ser invesigado com maior profundidade na análise das auocorrelações residuais. Tabela 6-14: Segundo Modelo: Correlograma dos resíduos Fone: Elaborado pelo auor (2013)

114 100 Figura 6-10: Segundo Modelo: Função de auocorrelação dos resíduos Fone: Elaborado pelo auor (2013) Figura 6-11: Segundo Modelo: Função de auocorrelação parcial dos resíduos Fone: Elaborado pelo auor (2013) Os gráficos de f.a.c. (Figura 6-10) e f.a.c.p. (Figura 6-11) residuais e seus respecivos limies de conrole ambém aponam para independência dos resíduos, o que permie concluir que a auocorrelação serial foi removida pelo modelo. Porano, o segundo modelo mosrou ser adequado para coninuar o rabalho, resando verificar se o erceiro modelo é melhor que ese.

115 Terceiro Modelo Regressão em Uma Eapa O erceiro modelo proposo pelo rabalho é diferene dos dois aneriores, haja visa que é realizada apenas uma eapa de regressão, na qual são ajusados simulaneamene os modelos auo-regressivo e de regressão linear. Os resulados da regressão misa esão na Tabela O coeficiene do ermo 3 exógeno é significaivo ao nível de 10. No que se refere ao veor AR, somene os coeficienes referenes a AR(1), AR(13) e AR(14) são significaivos. Removendo o grupo de coeficienes não-significaivos, pode-se ober o modelo final de regressão misa na equação (6.5). As saídas do sofware Eviews 7.1 esão na Tabela Tabela 6-15: Terceiro Modelo: Regressão Misa Fone: Elaborado pelo auor (2013)

116 102 R = 1, INDU + 0, R , R 0, R + a (6.5) onde R represena os reornos, INDU é a variável exógena e a é o resíduo do modelo. Para realizar o diagnósico dese modelo, os resíduos a foram esados quano a sua independência. O correlograma dos resíduos esá represenado na Tabela O ese de Box-Pierce-Ljung apona para independência enre os resíduos e a análise das f.a.c. (Figura 6-12) e f.a.c.p. (Figura 6-13) dos resíduos mosra que foi removida a auocorrelação serial, uma vez que ais funções não são significaivas em nenhuma defasagem. Tabela 6-16: Terceiro Modelo: Regressão Misa somene coeficienes significaivos Fone: Elaborado pelo auor (2013)

117 103 Tabela 6-17: Terceiro Modelo: Correlograma dos resíduos Fone: Elaborado pelo auor (2013) Na práica, pode-se dizer que o erceiro modelo, influenciado pela variável exógena e pelos valores de 1, 13 e 14 dias aneriores, remove as dependências da série, pois seus resíduos, ou seja, a diferença enre o modelo e a realidade, possuem comporameno de ruído branco. Sendo assim, o modelo é adequado para a coninuidade do rabalho.

118 104 Figura 6-12: Terceiro Modelo: Função de auocorrelação dos resíduos Fone: Elaborado pelo auor (2013) Figura 6-13: Terceiro Modelo: Função de auocorrelação parcial dos resíduos Fone: Elaborado pelo auor (2013) O ajuse dos rês modelos leva às seguines conclusões: No primeiro modelo, a auo-regressão da série (primeira eapa) gerou vários coeficienes significaivos, o que comprovou a auocorrelação dos reornos

119 105 deecada na seção 6.5. No enano, a regressão linear dos resíduos da 1ª eapa pela variável exógena não removeu a auocorrelação serial, o que ornou o modelo inválido para explicar a série; No segundo modelo, invereu-se a ordem das eapas. A primeira, que consisiu em ajusar a série pela variável exógena, produziu resíduos, os quais foram modelados por auo-regressão na segunda eapa. Ese ajuse eve sucesso na remoção da auocorrelação da série; O erceiro modelo, que realizou as duas regressões (linear e AR) numa única eapa, ambém eve êxio em seu diagnósico. Sendo assim, qualquer um dos dois úlimos modelos pode ser considerado adequado. Opou-se por uilizar o úlimo e seu ajuse é mosrado na Figura Os resíduos esão na Figura 6-15 e em baixos valores absoluos se comparados com a série real. Iso significa que o modelo se aproxima da série real no inervalo de empo esudado. Figura 6-14: Série Real x Esimada Fone: Elaborado pelo auor (2013)

120 106 Figura 6-15: Resíduos do Modelo Fone: Elaborado pelo auor (2013) Os resíduos padronizados dos rês modelos esão no Apêndice C: Resíduos Padronizados Deerminação dos Limies de Conrole Nesa seção serão mosrados os resulados das simulações de deerminação dos limies de conrole. O modelo ajusado é fundamenal para elaborar os gráficos de conrole proposos pelo rabalho, pois é uilizado para calcular as esaísicas dos rês gráficos proposos. Seu cálculo esá na equação (6.6). R = 1, INDU + 0, R , R 0, R + a (6.6) As propriedades das disribuições dos reornos esudadas na seção 6.3 ornam complexa a deerminação analíica dos limies de conrole. É necessário, porano, um

121 107 algorimo de simulação. Os dados de enrada gerais para simulação, válidos para os rês gráficos são: NumSim = é o número de vezes que se gera a série de reornos; R = EX + AR + a é o reorno simulado no insane ; EX β INDU = é o componene de variáveis exógenas, onde β = 1, ; AR φ1 R 1 φ13 R 13 φ14 R 14 = + + é o componene auo-regressivo, onde φ 1 = 0, , φ 13 = 0, e φ 14 = 0, são os coeficienes de regressão esimados no sofware Eviews 7.1; alvo ARL = 100. Ese valor foi discuido na seção 5.7; o 3 Sd = 3, É a esimaiva de desvio padrão. Foi uilizado o erro-padrão da regressão, obido nas saídas da regressão no sofware Eviews Reornos 6 No gráfico de Shewhar uiliza-se a precisão Add = 10 para os aumenos dos limies de conrole. Moniora-se a esaísica R = EX + AR + a, onde a é um ruído branco gerado pelo algorimo, e o resulado é o limie de conrole final LC = 0, CUSUM Para ober o limie de conrole CUSUM foi uilizado um valor diferene para a precisão: Add = 10. Moniora-se a esaísica C = max[0, R ( µ 0 + Kσ) + C 1] e os resulados das simulações para os seis diferenes valores de K e suas respecivas precisões esão na Tabela 6-18.

122 108 Tabela 6-18: Limies de Conrole - CUSUM K Limie de Conrole 0,25 0, ,50 0, ,75 0, ,00 0, ,50 0, ,00 0,01522 Fone: Elaborado pelo auor (2013) Percebe-se que os limies de conrole decrescem quando K cresce, o que é esperado, dado que a esaísica C + acumula desvios de magniude superior a Kσ da média. Assim, espera-se que se acumulem menores valores em C + à medida que K aumena. Porano, geram-se mais amosras para aingir um mesmo limie de conrole, o que eleva os ARL0 obidos, resulando em menores de limies de conrole finais EWMA Add No caso do gráfico EWMA, os limies foram deerminados com precisão de 6 =. Os limies de conrole para os diferenes valores de λ e sua respeciva precisão 10 esão na Tabela Moniora-se a esaísica E = λr + (1 λ) E 1. Assim, quano maior o faor de suavização λ, maior a ponderação dos reornos, o que aproxima o gráfico EWMA do gráfico de Shewhar. Por ouro lado, menores λ significam menor influência dos úlimos valores de reornos em virude da maior ponderação dos valores passados.

123 109 Tabela 6-19: Limies de Conrole - EWMA λ Limie de Conrole 0,05 0, ,10 0, ,30 0, ,50 0, ,70 0, ,90 0, Fone: Elaborado pelo auor (2013) 6.8. Cálculo de ARL fora de conrole Com os limies de conrole já deerminados, o objeivo desa seção é calcular os ARL 1 resulanes de deslocamenos δ σ na média dos reornos. Em ouras palavras, mede-se a rapidez com a qual cada gráfico deeca desvios de diferenes magniudes na média. Todos os resulados mosrados nesa seção serão discuidos na seção 6.9 de Resulados e Comparação. O cálculo dos ARL 1 é realizado conforme o algorimo proposo na Meodologia (capíulo 5). Os deslocamenos na média serão incorporados na equação de cálculo dos reornos R, causando diferenes resulados nos rês gráficos de conrole. Assim, eles passarão a ser calculados a parir da equação (6.7). R = δ sd + 1, INDU + 0, R , R 0, R + a (6.7) Reornos

124 110 Uilizando-se LC = 0,018588, obém-se a Tabela 6-20, que mosra os resulados ARL 1 em função dos deslocamenos da média δ, em ermos de desvios-padrões. Tabela 6-20: ARL fora de conrole Gráfico Shewhar Gráfico de Conrole Shewhar δ ARL 1 0,00 100,16 0,25 72,20 0,50 50,21 0,75 37,45 1,00 30,38 1,50 23,81 2,00 20, CUSUM Fone: Elaborado pelo auor (2013) Os resulados de ARL fora de conrole para o gráfico CUSUM esão na Tabela Tabela 6-21: ARL fora de conrole Gráfico CUSUM Gráfico de Conrole K CUSUM 0,25 0,50 0,75 1,00 1,50 2,00 0,00 99,89 100,16 100,06 100,30 99,98 100,08 0,25 29,29 28,78 30,25 34,11 43,78 56,63 0,50 23,49 23,01 23,04 23,43 25,83 32,64 δ 0,75 21,60 21,20 21,32 21,73 22,72 24,54 1,00 19,38 18,91 19,11 19,60 21,08 22,52 1,50 15,50 14,84 14,74 15,09 16,57 18,77 2,00 11,93 10,91 10,63 10,81 12,25 14,38 Fone: Elaborado pelo auor (2013)

125 EWMA Os resulados de ARL fora de conrole para o gráfico EWMA esão na Tabela Tabela 6-22: ARL fora de conrole Gráfico EWMA Gráfico de Conrole λ EWMA 0,05 0,10 0,30 0,50 0,70 0,90 0,00 100,22 99,94 100,40 100,16 100,05 100,33 0,25 26,88 26,90 36,54 48,36 56,95 68,86 0,50 22,50 22,60 24,62 29,92 34,68 44,95 δ 0,75 20,04 20,55 22,25 23,54 27,13 32,67 1,00 17,64 18,11 20,47 21,67 23,41 28,05 1,50 13,45 13,86 18,30 18,22 19,97 22,16 2,00 9,78 10,01 12,60 15,05 17,26 19,62 Fone: Elaborado pelo auor (2013)

126 Resulados e Comparação Primeiramene, cabe analisar individualmene cada ipo de gráfico para verificar sob quais circunsâncias são obidos os melhores resulados. Em seguida, os rês ipos serão comparados enre si, numa análise inegrada. A análise específica do gráfico de Shewhar, observando-se a Tabela 6-20, permie consaar que os ARL fora de conrole reduzem à medida que o deslocameno é maior, o que eoricamene faz senido, pois o gráfico deve ser mais eficiene nas siuações em que há maior aumeno na média. Já a análise individual do gráfico CUSUM é mais complexa. Inicialmene, pode-se fixar um valor de δ. Analisando-se a Tabela 6-21, percebe-se que não há relação direa que possa ser esabelecida enre os valores de K e os ARL fora de conrole. Na verdade, nos casos em que K vale 0.25, 0.50 e 0.75, pode-se considerar que para odos os deslocamenos de média esudados no rabalho, os desempenhos são muio próximos. Não há diferença maior que 2 dias (úeis) enre o melhor e pior K nesas condições. Fixando-se K, e analisando o comporameno dos ARL 1 resulanes de aumenos δ na média, percebe-se que os gráficos com alos valores de K mosram melhora significaiva de desempenho quando o deslocameno é maior (enre 0.75σ e 2.00σ ). No enano, mesmo com a melhora, não superam os gráficos nos quais K é menor. Quando se observa o maior deslocameno de média esudado nese rabalho (dois desvios padrões), o desempenho do gráfico onde K=2 é o mais fraco. Em ermos práicos, pode-se dizer que os menores valores de K apresenaram melhores resulados que os maiores para quase odos os deslocamenos esados. Iso significa que a série de empo esudada é melhor moniorada por gráficos CUSUM de parâmeros K menores que 1 (K=0.25 e K=0.50), quando se deseja deecar aumenos na média de magniude enre zero e dois desvios padrões. O desempenho individual do gráfico EWMA ambém mosra alguns resulados ineressanes. Vale ressalar, inicialmene, que quano menor o valor de λ, menor o peso do reorno R aual, e maior a influência dos valores passados. A Tabela 6-22 mosra um comporameno mais uniforme dos ARL fora de conrole com relação ao valor λ. Observa-se um padrão de maiores ARL 1 à medida que λ cresce. Iso significa que para esa série de empo, há influência negaiva do valor aual no desempenho do gráfico de conrole.

127 113 Considerando-se que λ = 1 significaria, hipoeicamene, um gráfico de conrole Shewhar (pois há impaco nulo dos elemenos passados na esaísica moniorada), os maiores valores de λ deveriam apresenar maiores ARL 1 para menores desvios da média, o que de fao ocorre. Basa analisar, por exemplo, um desvio de 0.25σ. A diferença enre os ARL1 do caso λ = 0.90 para o caso λ = 0.10 é de aproximadamene 42 dias, que são dois meses em ermos de dias úeis. Noa-se que diferenças desa magniude não ocorrem quando δ assume maiores valores. Nos dois maiores desvios simulados (1.50σ e 2.00σ ), a diferença de desempenho enre os gráficos com melhor e pior λ é de aproximadamene dez dias úeis. Ainda assim, os menores λ iveram melhor desempenho para eses desvios. Pode-se concluir que para esa série, os gráficos EWMA nos quais λ = 0.05 e λ = 0.10 são mais adequados para moniorar a média. Finalmene, uma análise comparaiva enre os rês gráficos deve ser feia. Primeiramene, consaou-se que os gráficos de conrole com memória são mais eficienes que o gráfico Shewhar para os deslocamenos de média analisados no rabalho (de 0.25σ a 2σ ). Basa visualizar o gráfico de conrole EWMA mais próximo ao gráfico Shewhar, que é aquele onde λ = Mesmo nese caso, o primeiro se mosra melhor. O gráfico CUSUM com pior desempenho foi aquele no qual K=2 (visa deecar desvios de 2σ na média), e ele ambém obeve menores ARL 1 em relação ao gráfico de conrole Shewhar. Comparando os melhores gráficos CUSUM ( K = 0.25 e K = 0.50 ) com os melhores gráficos EWMA ( λ = 0.05 e λ = 0.10 ), percebe-se que os gráficos EWMA apresenam pequena vanagem. Sua superioridade é de 1 a 3 dias, dependendo do δ para o qual é realizada a comparação. Como ese número de dias é muio pequeno comparado ao inervalo emporal da série (aproximadamene 20 anos), é possível que a superioridade dos gráficos EWMA não seja ão evidene nos gráficos de conrole da série real, a serem ploados nesa seção. No enano, quando se assume maiores valores de λ, há uma queda visível do desempenho dos gráficos EWMA, o que não ocorre em gráficos CUSUM para maiores valores de K. Sendo assim, uilizar um gráfico CUSUM com valor alo de K pode ser mais apropriado que um gráfico EWMA com valor alo de λ, caso se deseje deecar desvios de média maiores. Nese caso, no enano, vale ressalar que quano maior for K, mais o desempenho do gráfico CUSUM se aproxima ao de um gráfico Shewhar. O mesmo vale para

128 114 o gráfico EWMA, quando λ se aproxima de 1. Porano, dependendo da magniude do deslocameno da média, o gráfico Shewhar pode er melhor desempenho que ambos os gráficos com memória. Com a finalidade de verificar a uilidade dos rês gráficos no caso real, obiveram-se as séries hisóricas R, E e C +, uilizando 0.10 λ = e K = 0.50, para consruir gráficos de conrole para dados passados, os quais deveriam deecar deslocamenos de média. O gráfico de Shewhar esá represenado na Figura 6-16, enquano o EWMA se enconra na Figura 6-17 e o CUSUM, na Figura É ineressane noar que os rês gráficos deecaram a Bolha da Inerne (ou Bolha Pono Com), que foi um período de muia especulação caracerizado pela fore ala das ações relacionadas a ecnologia no final da década de 90. O ápice dese movimeno de preços ocorreu no início de No decorrer dese ano, enreano, os preços sofreram queda significaiva, que foi poencializada em 2001 com o aenado das orres gêmeas. Em 2003, iniciou-se a recuperação dos mercados, a qual ambém foi sinalizada por alarmes nos gráficos de conrole consruídos. Por úlimo, observando o período enre 2008 e 2013, noa-se que os gráficos deecaram o movimeno de fore ala decorrene do anúncio da primeira políica de afrouxameno moneário (Quaniaive Easing 1) pelo Fed após a Crise Financeira de Além disso, são deecados, principalmene pelo gráfico CUSUM, os evenos de anúncio do QE2 ( segunda políica de afrouxameno moneário pelo Fed, em meados de 2010) e da Operação Twis (venda de íulos de curo prazo e compra de íulos de longo prazo, com o objeivo de esimular a economia sem expansão do balanço) em 2011, ambém pelo Fed. Assim, a aplicação desas ferramenas na série real pode ser considerada eficaz para ese inervalo emporal. Noa-se, no enano, que o gráfico Shewhar produz mais alarmes falsos que os gráficos com memória (é considerada média deslocada quando na realidade não houve deslocameno). Comparando-se os gráficos de conrole com memória enre si, percebe-se que o gráfico EWMA em um maior número de alarmes. Pode-se argumenar que iso é reflexo de seu melhor desempenho para deecar aumenos pequenos de média, como já discuido aneriormene. Por ouro lado, percebe-se que o gráfico CUSUM, apesar de er o alarme sinalizado com menos frequência, deecou os principais deslocamenos da média no período. Assim, ese ese é inconclusivo em ermos da comparação enre os gráficos com memória.

129 115 Finalmene, é noável o valor baixo da esaísica EWMA no período da crise de Analisar deslocamenos da média para valores menores não é a proposa do rabalho, porém parece ser um ema ineressane para explorar em rabalhos fuuros. Também vale desacar o alarme do gráfico CUSUM para o mesmo período. Ele anecipa o movimeno de ala do S&P 500 já no final de 2008, que eoricamene é o período em que os invesidores esão muio cauelosos com relação à compra de ações e demais aivos de risco. Em suma, os rês gráficos de conrole se mosraram capazes de deecar os grandes aumenos na média. Os gráficos com memória iveram menos alarmes falsos, o que indica maior eficácia e, porano, parecem ser os mais adequados para moniorar esa série emporal nese período. Figura 6-16: Gráfico de Conrole Shewhar Fone: Elaborado pelo auor (2013)

130 116 Figura 6-17: Gráfico de Conrole EWMA Fone: Elaborado pelo auor (2013) Figura 6-18: Gráfico de Conrole CUSUM Fone: Elaborado pelo auor (2013)