APLICAÇÃO DOS MODELOS ARMA NA PREVISÃO DE VENDAS

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1 RESUMO APLICAÇÃO DOS MODELOS ARMA NA PREVISÃO DE VENDAS Auoria: Mara Olivia Rovedder de Oliveira, Felipe Tavares Milach, Vior Francisco Dalla Core A arefa de previsão de vendas pode ser complexa, porém é exremamene relevane para as empresas, requerendo, assim, aenção do meio acadêmico. Dada a complexidade de alguns modelos de previsão, muias companhias acabam uilizando écnicas subjeivas de previsão; dada a sua relevância (base para o plano de markeing, orçameno empresarial e planejameno esraégico) (Sanon & Spiro, 2000; Pilinkienė 2008), muios gesores e pesquisadores escolhem méodos esaísicos mais elaborados, conudo, nem sempre realizam uma devida verificação da adequação do méodo aos dados disponíveis para realizar as esimaivas. Conseqüenemene, as previsões podem apresenar falhas. Uma das causas de falha no uso de méodos quaniaivos diz respeio a não verificação de alguns pressuposos esaísicos necessários ao bom funcionameno dos modelos. No caso da uilização de séries emporais orna-se necessária a verificação da presença de correlação serial ou auocorrelação nos dados para a realização de uma previsão (Maddala, 2003; Gujarai, 2006). Se presene, a auocorrelação cria um viés de previsão, compromeendo o processo de omada de decisão. O raameno da auocorrelação pode ser feio aravés de modelos auo-regressivos de média móvel, ambém conhecidos como modelos ARMA (Box & Jenkins, 1978). Cabe desacar que os modelos ARMA são amplamene uilizados para realizar previsões em ouros campos do conhecimeno, como economia, finanças, engenharia e meereologia, no enano sua aplicação em esudos na área de markeing ainda é escassa. Dessa forma, ese esudo objeivou esar a adequação dos modelos ARMA na previsão de vendas de uma empresa que fabrica refrescos. Foram, enão, analisadas 12 séries de dados diários sobre as vendas de refrescos, em um período de 11 meses. Foi idenificada a presença de não esacionariedade das séries de vendas, indicando que a suas médias e as suas variâncias não foram consanes ao longo do período analisado. Dessa forma, ornou-se necessário diferenciar as séries, passando-se a rabalhar com as variações nas vendas ou invés dos valores bruos de vendas. Aravés da aplicação do Tese de Box-Pierce nas 12 séries analisadas foi possível idenificar a presença de auocorrelação nas mesmas. Dessa forma, ornou-se necessário o ajuse desas aravés dos modelos ARMA. Das 12 séries analisadas, nove foram ajusadas aravés de um ARMA (2, 1). As demais foram modeladas por um AR (1), um AR (2) e um ARMA (1, 1). Desaca-se que al fao acabou corroborando com a suspeia que havia sido levanada inicialmene na consrução da mariz de correlações, onde as séries de variações nas vendas apresenavam, em sua maioria, correlações posiivamene fores, um possível indicaivo que as mesmas seguiam processos semelhanes. De uma forma geral, pode-se afirmar que os modelos ARMA foram adequados para modelar as 12 séries analisadas, uma vez que, após o ajuse, não foram enconradas evidências de auocorrelação nos resíduos das mesmas. 1

2 1. Inrodução A previsão de vendas é uma pare exremamene imporane do plano de markeing (Roggeveen & Johar, 2004), assim com do orçameno empresarial, sendo essencial para as empresas. Além disso, a previsão de vendas represena uma informação fundamenal para o planejameno empresarial, pois é usada para o dimensionameno dos recursos necessários à operação da empresa (Makridakis, Wheelwrigh & Hyndman, 1998). Previsões acuradas das vendas auxiliam na obenção de lucros e na sobrevivência das companhias (Decker & Gnibba- Yukawa, 2010). Por conseguine, as previsões de vendas embasam o processo de omada de decisões dos gesores. Cada decisão exige uma esimaiva dos seus efeios, logo envolve uma previsão. Uma previsão é uma lisagem de informações que ajuda o gerene a chegar a uma decisão (Baersby, 1976, p. 13). Conseqüenemene, cada vez mais os gesores requerem modelos que forneçam previsões de vendas confiáveis (Neelamegham & Chinaguna, 2004), principalmene porque, a efeiva seleção e uilização de um modelo de predição podem reduzir a incereza dos gesores (Pilinkienė, 2008). Conudo, a arefa da previsão de vendas é árdua e complexa se os dados são escassos e a meodologia inadequada. (Cobra, 1994, p. 97). Dada a complexidade de alguns modelos de previsão, muias companhias acabam uilizando écnicas subjeivas de previsão, principalmene as pequenas e médias empresas. Em conraparida, dada a relevância das previsões de vendas para a companhia - como servir de base para o orçameno e planejameno esraégico -, muios gesores e pesquisadores escolhem méodos esaísicos mais elaborados. Conudo, esses modelos nem sempre condizem com a naureza dos dados disponíveis para realizar as esimaivas. Conseqüenemene, as previsões de vendas podem apresenar falhas. Uma das causas de falha no uso de méodos quaniaivos diz respeio a não verificação de alguns pressuposos esaísicos necessários para o bom funcionameno dos modelos. No caso da uilização de séries emporais, por exemplo, o número de vendas diárias de um produo durane um deerminado horizone de empo, orna-se necessária a verificação da presença de correlação serial ou auocorrelação nos dados. Se presene, a auocorrelação cria um viés de previsão, compromeendo o processo de omada de decisão. O raameno da auocorrelação pode ser feio aravés de modelos auo-regressivos de média móvel, ambém conhecidos como modelos ARMA. Cabe desacar que os modelos ARMA são amplamene uilizados para realizar previsões em ouros campos do conhecimeno, como economia, finanças, engenharia da produção e meereologia, no enano sua aplicação na área de markeing ainda é escassa. Ao realizar um levanameno nos Anais do Enconro de Markeing da ANPAD (EMA) e no Enconro de Adminisração (ENANPAD), principais congressos na área de markeing no Brasil, foram enconrados poucos arigos que raam sobre previsão de vendas. Nos rês Enconros de Markeing realizados foi publicado um arigo sobre previsão de vendas. No período enre 1998 e 2009, foram enconrados 3 arigos relaivos a previsão de vendas nos anais do ENANPAD, sendo um sobre orçameno de vendas e um sobre previsão de fidelização dos clienes. Cabe desacar que apenas um deses arigos foi publicado na área de markeing. Dois foram publicados na área de Adminisração de TI nas Organizações e uma na área de Conabilidade e Conrole Gerencial. Via ese levanameno, pode-se observar que ao longo de 11 anos foram publicados 5 arigos referenes a previsão de vendas nas conferencias analisadas, sendo que somene 2 arigos foram submeidos a área de Markeing. Desaca-se ambém, que nenhum deles rabalhou com os modelos ARMA. Dada a pouca quanidade de aplicações de ais modelos na lieraura brasileira de markeing e a imporância do ema de previsão de vendas para os gesores e práicos de markeing, pode-se afirmar que al assuno represena um campo a ser explorado. Dessa 2

3 forma, preende-se esar a adequação dos modelos ARMA na previsão de vendas de uma empresa que fabrica refrescos. Para ano, foram analisadas as séries de vendas diárias de 12 sabores comercializados pela fabricane. Primeiramene foi realizada uma revisão da lieraura sobre méodos de previsão de vendas, desacando-se os modelos de série emporais, enre os quais esão os modelo ARMA, apresenados no iem 2, dese arigo. Os procedimenos meodológicos esão descrios no iem 3, enquano os resulados esão no iem 4. Por fim, são exposas as considerações finais dese esudo, junamene com as sugesões de fuuras pesquisas. 2. Méodos de Previsão de Vendas O principal objeivo de um méodo de previsão é ransferir a informação aual para o fuuro e mover-se do processameno da informação para a previsão (Pilinkienė, 2008). A previsão de vendas é uma esimaiva de vendas (em dinheiro ou em unidades) que uma empresa espera alcançar durane um período de empo especificado, num deerminado mercado e segundo um plano de markeing proposo (Sanon & Spiro, 2000, p.331). Ou seja, a previsão de vendas é a projeção numérica das expecaivas da organização, sobre o que poderá ocorrer no fuuro denro do mercado alvo de auação (Moreira, Gobe, Fische & Pasquale, 2004). De acordo com a lieraura acadêmica de economia, exisem mais de 200 méodos de previsão (Pilinkienė, 2008). Eles variam dos méodos mais ingênuos, ais como o uso das mais recenes observações, aé as abordagens alamene complexas, como as redes neurais e sisemas economéricos de equações simulâneas (Makridakis, Wheelwrigh & Hyndman, 1998). Além disso, há uma grande variedade de méodos para a previsão de vendas, em específico (Cobra, 1994; Moreira e al., 2004). Devido à grande quanidade de méodos exisenes, pesquisadores enam classificá-los em grandes caegorias. Conudo, diferenes auores aponam disinas classificações. Segundo Pilinkiené (2008), dependendo da área de pesquisa e de seu objeivo, a classificação dos méodos de previsão é baseada nos seguines criérios: - ipo de informação (quaniaiva e qualiaiva); - empo de previsão (curo prazo, médio prazo e longo prazo); - objeo da previsão (méodos de previsão para indicadores econômicos micro ou macro); - objeivo da previsão. Cobra (1994), por sua vez, julga que exisam quaro caegorias gerais de méodos para a previsão: méodos não-cieníficos, méodos maemáicos, méodos de levanameno (pesquisas), méodos de zona-piloo (área-ese de mercado). Já Moreira e al. (2004) e Las Casas (2002) classificam os méodos de previsão de vendas apenas em: méodos cieníficos e méodos não-cieníficos. Segundo Moreira (2004), alguns dos méodos para previsão de vendas são baseados em processos cieníficos apurados, refleindo a preocupação das empresas em possuir garanias para a previsão fuura: são os méodos cieníficos. No ouro exremo, esão os méodos pouco conceiuados cienificamene, mas que são usados em função dos recursos disponíveis: são os méodos não-cieníficos (Moreira e al., 2004, p. 88). Para Las Casas (2002), os méodos cieníficos são bem mais sofisicados, alvez, por essa razão, menciona o auor, a maioria das empresas, principalmene as pequenas e médias, uilizam méodos não cieníficos. Muias vezes, os méodos mais écnicos, por serem mais caros e exigirem mais empo e qualificação, acabam sendo subsiuídos por alernaivas baseadas na percepção ou feeling (Moreira e al., 2004, p. 88). Denre os méodos não cienífico de previsão de vendas enconram-se a lisagem de faores, consrução de cenários e exrapolação (Cobra, 1994; Moreira e al., 2004). Las Casas 3

4 (2004) ambém apona a opinião da força de vendas e o julgameno dos execuivos denre os méodos não cieníficos. O méodo cienífico, por sua vez, é aquele no qual se uilizam dados do passado para que, combinados com écnicas diversas e o uso da maemáica, sejam enconrados números mais confiáveis (Moreira e al., 2004). Para o exercício da previsão de vendas é imporane observar o passado para fazer inerferências acerca do fuuro (Cobra, 1994). Com esse inuio, segundo o auor, exisem diversas écnicas com o uso da maemáica que são muio úeis na análise da série hisórica de vendas. Conudo, é imporane observar que não exise um modelo único, válido para odas e quaisquer circunsâncias; em função do rigor e precisão desejada há um modelo maemáico mais adequado para cada caso (Cobra, 1994, p. 105). Ou seja, esa meodologia não pode ser aplicada de forma indiscriminada para odos os seores; exisem siuações em que uma forma maemáica é mais úil do que em oura, assim deve-se conhecer a mecânica dos méodos maemáicos e aplicar de forma coerene a cada caso (Moreira e al., 2004). Denre os méodos maemáicos, desacam-se os modelos das médias móveis, os modelos da média ponderada, os modelos da suavização (aplicação paricular da média ponderada), os modelos de ajusameno exponencial, os modelos de regressão, modelos economéricos, modelos de simulações. Já os méodos de levanameno raam-se da inenção de compra dos clienes, análise do rendimeno da ação comercial, avaliação da concorrência, júri de opiniões de execuivos, o méodo de opinião da força de vendas. Já os méodos de zona-piloo apresenam como exemplo o modelo para a esimaiva das mudanças econômicas. Conudo, Roggeveen e Johar (2004) apresenam oura caegorização. Eles mencionam que os méodos de previsão normalmene são caegorizados apenas em duas caegorias: aquelas baseadas principalmene no julgameno e (2) aquelas baseadas em fones esaísicas. Na realidade, a forma mais popular universal, a mais comumene aplicada nos arigos de pesquisa é a classificação baseada em méodos de previsão qualiaivos e quaniaivos, porque suas caracerísicas envolvem os méodos classificados em ouros grupos (Pilinkienė, 2008, p. 20). Wanke e Julianelli (2006) e Makridakis, Wheelwrigh e Hyndman (1998), denre ouros auores, uilizam essa classificação. Cabe desacar, que ambém podem ser realizadas pesquisas com a combinação de modelos qualiaivos e quaniaivos. Os méodos qualiaivos ou subjeivos são baseados em informações inuiivas (opiniões, inenções e senimenos) que podem ser obidas por vários ipos de enrevisas (consumidores, pessoal de vendas, pessoal da companhia), levando em cona a análise do pono de visa de especialisas (Pilinkienė 2008). Ou seja, os méodos qualiaivos baseiam-se na opinião de ceras pessoas consideradas apas a formular previsões sobre um deerminado fenômeno. São freqüenemene uilizados quando se verificam alerações significaivas nas circunsâncias exisenes, quando não exise informação hisórica (série hisórica) disponível, limiada ou inexisene informação quaniaiva (Wanke & Julianelli, 2006; Makridakis, Wheelwrigh & Hyndman, 1998). Esas écnicas dependem exclusivamene do experise do(s) previsor(es), sendo que geralmene são mais caras e rabalhosas que os méodos quaniaivos de previsão (Wanke & Julianelli, 2006, p. 31). Os méodos qualiaivos englobam: opiniões dos vendedores, dos execuivos, ec.; a consrução de cenários; e o méodo Delphi, processo ineraivo baseado em quesionários e enrevisas realizados a um deerminado grupo previamene escolhido. Segundo Makridakis, Wheelwrigh e Hyndman (1998), os méodos de previsão qualiaivos dividem-se em exploraórios e normaivos. Os méodos quaniaivos analisam objeivamene os dados passados, fazendo suposições que seus valores não vão mudar, enquano as regularidades auais permanecerem a mesma (Peerson & Lewis, 1999 apud Pilinkiené, 2008). Ou seja, o méodo quaniaivo 4

5 baseia-se na análise dos dados hisóricos e demanda rês condições para a sua aplicação (Makridakis, Wheelwrigh & Hyndman, 1998): -disponibilidade de informações sobre o passado; -possibilidade de essas informações serem quanificada em forma de dados numéricos; - pressupor que alguns aspecos de padrões passados permanecerão no fuuro. Esa úlima condição é conhecida como a pressuposição da coninuidade; que é uma premissa de odos os méodos de previsão quaniaivos e de muios qualiaivos, independene do seu grau de sofisicação (Makridakis, Wheelwrigh & Hyndman, 1998, p. 9). Os méodos quaniaivos dividem-se me dois sub-grupos principais: modelos causais e séries emporais. As écnicas causais procuram relacionar as vendas (variável dependene) com ouros faores (Wanke & Julianelli, 2006), geralmene de cunho econômico. Um exemplo são os modelos economéricos. O segundo sub-grupo, as écnicas de série emporais, uilizam dados hisóricos de vendas como base para a deerminação de padrões que podem se repeir no fuuro (Wanke & Julianelli, 2006). Ou seja, os valores passados das vendas são usados para esimar o seu comporameno fuuro, por meio de modelos de séries emporais (Makridakis, Wheelwrigh & Hyndman, 1998). Esses modelos serão raados dealhadamene na próxima sessão do arigo. 2.1 Séries emporais De acordo com Maddala (2003, p. 273),...uma série emporal é uma seqüência de dados numéricos na qual cada iem é associado a um insane paricular de empo. Se represena o valor de uma variável aleaória no insane, a série emporal é denoada por 1, 2,..., n, onde n é o corresponde ao amanho da série ou número de observações seriais da variável. Souza e Camargo (2004) ainda aponam quaro objeivos principais para a análise de séries emporais: descrição, explicação, previsão e conrole. No enano, para que se ainjam esses objeivos, é preciso considerar alguns pressuposos exisenes para a análise de séries emporais, como a auocorrelação dos dados. Em relação à auocorrelação, Maddala (2003) explica que, há siuações em que os ermos de erro a do modelo de regressão podem ser correlacionados, nesse caso, a em um período de empo, é correlacionado com os ermos de erro a + 1, a + 2,...e a 1, a 2, e assim por diane, violando, dessa forma um das premissas necessárias para a escolha do melhor esimador não-viesado, realizada pelo Méodo dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO). Em séries emporais, diz-se que o ermo de erro deve ser ruído branco, represenado 2 por a ~ IIDN(0, σ ), ou seja, a é o ermo de erro, disribuído de modo independene e idênico, não necessariamene, mas usualmene, a uma disribuição normal com μ = 0 (média 2 zero) e σ (variância consane). Uma das écnicas amplamene ciadas para o raameno dos dados auocorrelacionados são os ajuses realizados pela família de modelos ARMA (auoregressivo de médias móveis), desenvolvidos por Box e Jenkins (1978), cujo principal objeivo é remover a auocorrelação dos dados. A família de modelos ARMA é composa, basicamene, por modelos auo-regressivos [AR (p)], modelos de média móvel [MA (q)], modelos auo-regressivos de média móvel [ARMA (p, q)] e modelos auo-regressivos inegrados de média móvel [ARIMA (p, d, q)]. Os modelos AR (p) podem ser definidos de forma geral pela equação 1: + = φ φ φ p p a [1] 5

6 Onde a é um ermo de erro ruído branco e p corresponde ao número de ermos auoregressivos. Nos modelos AR (1), o valor de no período depende do seu valor no período -1 e um ermo de erro aleaório, sendo os valores de expressos como desvios da sua média, ou seja, o valor previso para é simplesmene uma proporção ( φ 1 ) do valor de -1 (Gujarai, 2006). Ouro modelo perencene à família ARMA é o MA (q) que pode ser expresso conforme a equação 2: = μ + β... β 0 a + β1a 1 + β 2a qa q [2] Onde μ é uma consane e q é o número médias móveis exisenes. Gujarai (2006) desaca que nos modelos MA(q) o valor de no período é uma consane (μ) mais uma média móvel dos ermos de erro presenes (β 0 ) e passados (β q ). O processo de MA (q) é simplesmene uma combinação linear de ermos de erro de um ruído branco (a ). Um modelo ainda pode apresenar caracerísicas de um processo AR (p) e de um processo MA (q). Os Modelos ARMA (p, q) podem ser represenados da seguine forma: = θ + φ... β β0a + β1a 1 + φ2 2 + β 2a φ p p + qa q [3] Onde θ é um ermo consane. É ineressane noar que os modelos AR (p), MA (q) e ARMA (p, q) pressupõe que a série analisada seja esacionária (média e variância consanes ao longo do empo). No enano nem sempre essa premissa se verifica empiricamene. Caso a série seja não esacionária, uma alernaiva é a uilização do modelo ARIMA (p, d, q). Onde d corresponde ao número de diferenciações necessárias para que a série se orne esacionária. Apresenados os modelos, deve-se escolher o mais adequado. Assim, para que o modelo seja correamene escolhido, sugere-se um processo de cinco passos, chamado de meodologia Box-Jenkins, que segundo Maddala (2003) e Gujarai (2006) podem ser definidos de acordo com a Figura 1. 6

7 A série é esacionária? Idenificação do modelo Escolha provisória de (p,d,q) Esimação dos parâmeros do modelo Verificação do diagnósico os resíduos são ruídos brancos? Sim Não Usar o modelo para previsão e conrole Figura 1 - Cinco passos para o desenvolvimeno da meodologia Box-Jenkins Fone: Adapado de Maddala, G. S. (2003). Inrodução à economeria. (3a ed.). Rio de Janeiro: Ediora LTC. De acordo com o exposo na Figura 1, o primeiro passo é verificar a esacionariedade da série analisada, para ano pode se uilizar um ese de raiz uniária, como os eses ADF e KPSS. Se a série for esacionária, é necessário diferenciá-la. Nesse caso, modelo ARIMA (p, d, q) escolhido deve apresenar d = I(d), ou seja, d deve ser igual ao número de diferenciações necessárias para que a série seja esacionária. O segundo passo é idenificar o modelo aravés da escolha de valores adequados para p, d e q. A seleção dos valores é realizada a parir da análise de écnicas como a função de auocorrelação (ACF) e a função de auocorrelação parcial (PACF). A ACF mede o comporameno da correlação enre as observações em relação às suas defasagens, onde o primeiro valor é a correlação enre e -1, o segundo é a correlação enre e -2, e assim por diane. A ACF é definida pela equação 4: γ ρ = k k γ [4] 0 Onde = cov(, ) γ, ou seja, a covariância de na defasagem k e var( ) k + k γ. 0 = 7

8 A PACF, por sua vez, mensura o comporameno da correlação enre as observações em relação às suas defasagens, removendo o efeio das observações inermediárias. Por exemplo, ao mensurar a relação enre e -2, a PACF remove a influência de -1. O PACF se vale da uilização de regressões múliplas, enquano o ACF usa regressões simples, e é definida pela equação 5: = φ... φ k1 1 + φk kk k [5] O próximo passo, após a escolha do modelo é a esimação do mesmo. Em seguida deve-se verificar se o modelo é adequado aos dados aravés de um diagnósico. Para ano, deve-se examinar o ACF dos resíduos, cujos valores não podem ser esaisicamene significaivos e verificar os valores para a esaísica Q de Box-Pierce, que devem aponar os resíduos como ruído branco. Ainda, deve-se esar a normalidade dos resíduos. Terminada essa eapa, caso seja verificada a ausência de auocorrelação e uma normalidade na disribuição dos resíduos (desejável, mas não necessária), o modelo é julgado como adequado para a previsão, caso conrário deve-se esar ouro modelo ARMA. Para a previsão de n passos a frene de um modelo AR (p), com observações aé o empo T, em-se a equação 6: T + φ + + ( n) 1 T ( n 1) 2 T ( n 2) p T ( n ) = φ... φ p, [6] Onde T ( n p) represena o valor esimado de T ( n p) aé a ordem p. Com base nesa revisão da lieraura sobre modelos ARMA, elaboraram-se as esraégias para a operacionalização do objeivo dese esudo, descrias no próximo iem (procedimenos meodológicos). 3. Procedimenos Meodológicos Para aplicar e avaliar a adequação dos modelos ARMA na previsão de vendas do refresco YZ, a amosra uilizada na pesquisa correspondeu ao oal de vendas diárias do refresco YZ durane o período de onze meses, oalizando 209 observações. O YZ possui quaorze sabores disinos. Conudo, devido aos problemas acarreados por informações ausenes em séries de dados organizadas ao longo do empo, foram selecionados os doze sabores que apresenaram vendas ao longo de odos os dias da amosra: laranja, abacaxi, maracujá, angerina, guaraná, uva, manga, limão, morango, acerola, pêra e pêssego. Nauralmene, na amosra não esavam presenes os dias correspondenes a sábados, domingos e feriados. Ainda, em relação às vendas, cabe desacar que as mesmas são realizadas em caixas, assim, os valores analisados correspondem ao número de caixas vendidas. Cada caixa coném quinze saches do refresco. Como o objeivo do esudo é realizar e avaliar uma previsão para as vendas do refresco YZ, rabalhou-se, durane a esimação dos modelos ARMA, com uma amosra de esimação e oura de avaliação dos modelos. A primeira correspondeu ao período de fevereiro a novembro, enquano a segunda abarcou nove dias perencenes ao mês de dezembro. O sofware uilizado para a análise dos dados foi o OxMerics, no seu módulo G@RCH 5.0. Para a análise dos dados, primeiramene foram verificadas as esaísicas descriivas para as séries de vendas dos doze sabores de refrigeranes, objeivando realizar comparações direas enre os diferenes ipos de refrigeranes da empresa YZ. Dessa forma, 8

9 foram averiguadas as médias, medianas, valor máximo e mínimo, desvio padrão, assimeria, curose e o ese de Jarque-Bera. Para a aplicação do modelo ARMA, primeiramene foi verificado se as séries de dados eram esacionárias. Para aender al pressuposo, foram calculados os eses ADF e KPSS. O primeiro é um ese paramérico, cuja hipóese nula (H 0 ) indica a presença de raiz sobre o círculo uniário, aponando para a presença de não esacionariedade. O KPSS, por sua vez, é um ese não paramérico, que em como H 0 a ausência de raízes uniárias, indicando a esacionariedade da série analisada. Os eses ADF e KPSS foram esimados em suas versões com consane e com consane e endência, uma vez que não se sabia de anemão qual processo que melhor descreveria o comporameno das séries de dados. No caso das séries não serem esacionárias, pode ser realizada a ransformação dos dados. A ransformação dos valores em nível para os valores em suas primeiras diferenças é realizada segundo a seguine equação 7: i, i, 1 Δ i, =, [7] i, 1 Onde, corresponde ao oal de vendas do sabor i no dia e 1 corresponde ao i dia imediaamene anerior a.esa ransformação pode ser realizada direamene aravés do sofware uilizado, no momeno da esimação dos modelos ARMA, no enano, julgou-se mais ineressane a realização de al procedimeno anes da esimação dos mesmos, o que permie que se possam analisar alguns faos esilizados sobre as caracerísicas das séries em ermos de suas primeiras diferenças, como vem a ser o caso das esaísicas descriivas. O próximo passo consisiu na verificação da presença de auocorrelação nas séries aravés do ese de Box-Pierce, dado pela equação 8: Q = n m k = 1 2 k ρ, [8] 2 Onde n corresponde ao oal de observações e ρ k aos valores para as k primeiras auocorrelações esimadas elevadas ao quadrado. A esaísica Q desses eses é 2 aproximadamene disribuída como uma χ com k graus de liberdade. A hipóese nula (H 0 ) afirma que não há dependência serial enre os dados aé a defasagem k. Seguido o proposo pela meodologia de Box e Jenkins (1976), foram esimados os modelos de ajuse perencenes à família ARMA para que o problema da auocorrelação pudesse ser corrigido. Aplicou-se o ese de Box-Pierce aplicado aos resíduos dos modelos ARMA para ober a esaísica Q. Assim, foram aplicados os modelos ARMA para as 199 observações, correspondenes ao período enre fevereiro e novembro de 2007, para prever as vendas de nove dias do mês de dezembro do mesmo ano. A acurácia de previsão foi avaliada com aplicação de rês funções de perda: o erro médio (EM), o erro quadráico médio (EQM) e o erro absoluo médio (EAM), que são apresenadas, respecivamene, nas equações 9, 10 e 11: EM = 1 n n n 0 = n0 + 1, [9] 9

10 1 EQM = n n 1 EAM = n n n 0 = n0 + 1 n 0 = n , [10], [11] Onde n indica o número oal de observações e n 0 corresponde ao número de observações uilizadas para esimar o modelo, e represenam o valor esimado para as vendas no dia e o valor observado de vendas no mesmo período, respecivamene. 4. Análise dos resulados Inicialmene foram compuadas as esaísicas descriivas para as doze séries analisadas. Os resulados para as séries em nível esão exposos na Tabela 01. Tabela 01 Esaísicas descriivas para as doze séries analisadas (valores em nível) Média Mediana Máximo Mínimo Desvio Padrão Assimeria Curose Jarque-Bera a Obs. Laranja ,833 5,057 61,017 ** 209 Abacaxi ,265 2,530 4,364 * 209 Maracujá ,348 2,823 4,494 * 209 Tangerina ,424 3,210 6,639 ** 209 Guaraná ,916 5,440 81,083 ** 209 Uva ,989 5,694 97,251 ** 209 Manga ,122 6, ,832 ** 209 Limão ,448 3,221 7,411 ** 209 Morango ,801 4,754 49,116 ** 209 Acerola ,567 3,286 11,897 ** 209 Pêra ,257 2,423 5,205 * 209 Pêssego ,473 3,182 8,069 ** 209 Noa. Fone: elaboração própria. a 2 Segundo o indicado em abelas esaísicas χ, ao nível de 5% e para 2 g.l., o valor críico para o ese de Jarque-Bera é 5,99. *valores significaivos p <.05; **valores muio significaivos p <.01. De acordo com a Tabela 01, pode-se verificar que o sabor que apresenou o maior número de vendas média no período foi o sabor laranja, seguido do abacaxi e do maracujá. Cabe desacar que o sabor laranja, em relação aos demais, ambém apresenou o valor máximo de vendas em um único dia (26262), além do valor mais elevado enre os mínimos, indicando que esse sabor é realmene aquele que apresena uma maior demanda. Por ouro lado, o refresco de pêra foi aquele com a menor média de vendas, menor valor máximo e maior quanidade mínima vendida enre os doze sabores. Por conseguine, o sabor laranja acabou revelando o maior desvio padrão (3659), enquano o de pêra apresenou o menor (813). Todas as séries indicaram valores posiivos para a assimeria, o que significa que suas disribuições possuem uma cauda maior à direia, gerando, conseqüenemene, um desvio à 10

11 esquerda das mesmas. Os valores obidos para a curose dos sabores abacaxi, maracujá e pêra indicaram a presença de disribuições plaicúricas, com grau de achaameno maior do que uma disribuição normal, enquano os valores enconrados para os demais sabores revelaram disribuições lepocúricas, com grau de afilameno superior ao de uma curva normal. Por sua vez, o ese de Jarque-Bera aponou para a rejeição da hipóese nula de normalidade para odas as séries, indicando que as mesmas não seguem uma disribuição normal. Conforme já foi desacado, a verificação da esacionariedade das séries emporais é um imporane pressuposo esaísico para que possa ser dado o correo raameno às mesmas. Os resulados para os eses ADF e KPSS são apresenados na Tabela 02. Tabela 02 Tese ADF e KPSS para as doze séries analisadas (valores em nível) ADF a ADF b KPSS c KPSS d Laranja -2,088-2,556 0,652 * 0,369 ** Abacaxi -1,338-1,754 0,551 * 0,359 ** Maracujá -1,447-1,781 0,533 * 0,395 ** Tangerina -0,973-1,371 0,557 * 0,412 ** Guarana -0,365-0,745 0,589 * 0,411 ** Uva -1,467-1,886 0,584 * 0,382 ** Manga -2,214-2,581 0,586 * 0,384 ** Limão -0,515-0,950 0,518 * 0,393 ** Morango -0,800-1,248 0,603 * 0,391 ** Acerola -1,494-1,773 0,511 * 0,398 ** Pêra -1,718-1,910 0,490 * 0,414 ** Pêssego -1,242-1,664 0,539 * 0,372 ** Noa. Fone: elaboração própria. a ADF realizado apenas com a consane. Segundo o indicado em abelas esaísicas τ, ao nível de 5% e 1%, os valor críicos são de -2,875 e -3,462, respecivamene. b ADF realizado com consane e endência. Segundo o indicado em abelas esaísicas τ, ao nível de 5% e 1%, os valor críicos são de -3,432 e -4,003, respecivamene. c KPSS realizado com consane. Valores críicos para a esaísica M.L. de 0,739 e 0,463, ao níveis de 5% e 1%, respecivamene. d KPSS realizado com consane e endência. Valores críicos para a esaísica M.L. de 0,216 e 0,146, ao níveis de 5% e 1%, respecivamene. *valores significaivos p <.05; **valores muio significaivos p <.01. Na Tabela 02, pode-se observar que ano o ese paramérico ADF, quano o não paramérico KPSS, realizados nas suas versões com consane e com consane e endência, aponaram para a presença de raízes uniárias nas doze séries analisadas, indicando a não esacionariedade das mesmas. Tal fao apona para a necessidade de ransformação dos dados, uma vez que é desejável, do pono de visa esaísico, que as séries em quesão sejam esacionárias. As esaísicas descriivas, após a ransformação dos dados, são apresenadas na Tabela

12 Tabela 03 Esaísicas descriivas para as doze séries analisadas (valores em primeira diferença) Média Mediana Máximo Mínimo Desvio Padrão Assimeria Curose Jarque-Bera a Obs. Laranja 0,057-0,013 1,955-0,681 0,359 1,551 8, ,247 ** 208 Abacaxi 0,047-0,010 1,217-0,557 0,310 0,835 4,007 32,982 ** 208 Maracujá 0,072 0,012 1,200-0,680 0,390 0,666 3,100 15,485 ** 208 Tangerina 0,068 0,008 1,650-0,622 0,384 0,872 3,898 33,357 ** 208 Guaraná 0,102-0,020 1,765-0,735 0,480 0,965 3,715 36,685 ** 208 Uva 0,070 0,009 2,236-0,706 0,396 1,472 8, ,794 ** 208 Manga 0,075 0,011 2,218-0,717 0,409 1,387 7, ,954 ** 208 Limão 0,063 0,017 2,046-0,609 0,380 1,388 6, ,485 ** 208 Morango 0,075-0,007 1,799-0,659 0,401 0,954 4,338 47,047 ** 208 Acerola 0,073-0,001 1,256-0,647 0,393 0,721 3,146 18,208 ** 208 Pêra 0,067-0,001 3,614-0,652 0,423 3,098 25, ,502 ** 208 Pêssego 0,054 0,007 1,543-0,604 0,333 0,762 4,080 30,262 ** 208 Noa. Fone: elaboração própria. a 2 Segundo o indicado em abelas esaísicas χ, ao nível de 5% e para 2 g.l., o valor críico para o ese de Jarque-Bera é 5,99. **valores muio significaivos p <.01. O emprego de valores em suas primeiras diferenças, ao conrário do que ocorre quando se uilizam valores em nível, permie uma comparação mais direa enre séries que possuem magniudes disinas. Por exemplo, de acordo com o indicado na Tabela 03, podemse comparar direamene os valores obidos para o desvio padrão das séries. O guaraná foi o sabor com maior variabilidade de vendas (0,480), seguido dos sabores pêra (0,423), manga (0,409) e morango (0,401). Em comparação com os resulados obidos na Tabela 01, percebe-se na Tabela 03 um aumeno na magniude da curose das séries, pois odas revelaram disribuições lepocúricas. O ese de normalidade de Jarque-Bera ambém revelou um aumeno nos seus valores, passando a rejeiar a H 0 de normalidade para odas as séries a um nível de, pelo menos, 1%. Buscando confirmar a esacionariedade das séries disposas em suas primeiras diferenças, foram aplicados novamene os eses ADF e KPSS. Os resulados esão exposos na Tabela 04, onde o ese ADF revela a ausência de raízes uniárias, aponando para a esacionariedade das doze séries. O ese KPSS indica, por sua vez, a esacionariedade de apenas nove desas. Os resulados foram conradiórios para as séries dos sabores manga, limão e pêssego. Tal fao pode indicar uma possível presença de inegração fracionária nas mesmas (BAILLIE, 1996), ornando-se necessário a verificação da presença de memória longa nessas séries, para que possam ser esimados modelos perencenes a classe ARFIMA (p, d, q), gerando previsões mais correas para as séries. Dado o escopo do presene esudo, não foram esimados os modelos ARFIMA (p, d, q). 12

13 Tabela 04 Tese ADF e KPSS para as doze séries analisadas (valores em primeira diferença) Laranja -8,295 ** 0,147 Abacaxi -8,261 ** 0,286 Maracujá -6,851 ** 0,077 Tangerina -7,343 ** 0,082 Guarana -4,035 ** 0,079 Uva -8,022 ** 0,213 Manga -7,846 ** 0,500 * Limão -7,708 ** 0,474 * Morango -7,869 ** 0,133 Acerola -7,661 ** 0,106 Pêra -23,222 ** 0,096 Pêssego -25,402 ** 0,463 * Noa. Fone: elaboração própria. a ADF realizado sem consane e sem endência. Segundo o indicado em abelas esaísicas τ, ao nível de 5% e 1%, os valor críicos são de -2,576 e -1,942, respecivamene. b KPSS realizado com consane. Valores críicos para a esaísica M.L. de 0,739 e 0,463, ao níveis de 5% e 1%, respecivamene. *valores significaivos p <.05; **valores muio significaivos p <.01. ADF a KPSS b A análise da mariz de correlações enre as séries de dados pode ser um primeiro indicaivo de que esas seguem processos semelhanes. Assim, buscou-se esimar a mesma. Os resulados esão exposos na Tabela 05. Tabela 05 Mariz de correlação para as doze séries analisadas (valores em primeira diferença) Laranja Abacaxi Maracujá Tangerina Guaraná Uva Manga Limão Morango Acerola Pêra Pêssego Laranja 1,000 Abacaxi 0,901 1,000 Maracujá 0,766 0,856 1,000 Tangerina 0,767 0,860 0,919 1,000 Guarana 0,668 0,741 0,856 0,837 1,000 Uva 0,863 0,854 0,878 0,895 0,790 1,000 Manga 0,876 0,831 0,807 0,779 0,721 0,862 1,000 Limão 0,751 0,798 0,849 0,901 0,811 0,871 0,735 1,000 Morango 0,838 0,843 0,890 0,912 0,810 0,920 0,835 0,904 1,000 Acerola 0,745 0,816 0,858 0,883 0,810 0,830 0,728 0,851 0,870 1,000 Pêra 0,682 0,758 0,748 0,832 0,648 0,807 0,659 0,842 0,813 0,767 1,000 Pêssego 0,742 0,822 0,825 0,872 0,751 0,856 0,743 Noa. Fone: elaboração própria. 0,852 0,838 0,811 0,867 1,000 Conforme o apresenado na Tabela 05, as séries revelaram correlações foremene posiivas enre si, sendo al fao um indicaivo de que as mesmas possam seguir processos semelhanes. Após, foi verificada a presença de auocorrelação nas séries com a uilização do 13

14 ese de Box-Pierce para as doze séries analisadas. Os valores obidos para a esaísica Q do ese de Box-Pierce esão indicados na Tabela 06. Tabela 06 Tese de Box e Pierce para as doze séries analisadas (valores em primeira diferença) Q (05) Q (10) Q (20) Q (50) Laranja 61,647 ** 80,052 ** 92,070 ** 156,318 ** Abacaxi 80,110 ** 92,836 ** 111,782 ** 188,650 ** Maracujá 130,471 ** 156,354 ** 167,008 ** 221,245 ** Tangerina 109,717 ** 137,324 ** 155,479 ** 222,353 ** Guarana 133,932 ** 156,615 ** 164,792 ** 234,697 ** Uva 82,115 ** 101,331 ** 107,205 ** 151,148 ** Manga 72,730 ** 84,987 ** 94,674 ** 164,217 ** Limão 88,636 ** 117,187 ** 127,210 ** 166,841 ** Morango 87,187 ** 103,744 ** 113,517 ** 192,741 ** Acerola 105,486 ** 131,927 ** 147,267 ** 208,782 ** Pêra 62,986 ** 68,756 ** 79,330 ** 146,946 ** Pêssego 78,425 ** 89,729 ** 117,135 ** Noa. Fone: elaboração própria. 166,312 ** **valores muio significaivos p <.01. A Tabela 06 apona para a rejeição da H 0 de ausência de auocorrelação para odas as séries, ao nível de, pelo menos, 1%. Surge assim a necessidade de se raar al problema. Dessa forma, os modelos ARMA foram selecionados a parir da verificação da significância dos coeficienes AR (p) e MA (q) e ambém aravés da análise dos valores da esaísica Q do ese de Box-Pierce aplicado aos resíduos dos modelos. Ao final, chegaram-se aos seguines modelos, exposos na Tabela 07. Tabela 07 Modelos de ajuse para as doze séries analisadas (valores em primeira diferença) AR(1) AR(2) MA(1) Laranja -1,102 ** -0,437 ** 0,608 ** Abacaxi -1,210 ** -0,510 ** 0,633 ** Maracujá -1,289 ** -0,580 ** 0,664 ** Tangerina -1,230 ** -0,524 ** 0,610 ** Guaraná -1,240 ** -0,581 ** 0,680 ** Uva -1,195 ** -0,478 ** 0,635 ** Manga -1,224 ** -0,475 ** 0,722 ** Limão -1,139 ** -0,451 ** 0,545 ** Morango -0,598 ** -0,159 ** Acerola -1,193 ** -0,499 ** 0,564 ** Pêra -0,446 ** Pêssego -0,415 ** Noa.*valores significaivos p <.05; **valores muio significaivos p < ,159 * A Tabela 07 revela que grande pare das séries foram modeladas por um ARMA (2, 1), nove no oal. As séries do refresco de morango, pêra e pêssego foram modeladas por um AR (2), um AR (1) e um ARMA (1, 1), respecivamene. Tal fao acabou corroborando com a suspeia, levanada inicialmene na consrução da mariz de correlações, de que as séries, em 14

15 sua maioria, seguiam processos semelhanes. A Tabela 08 mosra os valores obidos para a esaísica Q do ese de Box-Pierce aplicado aos resíduos dos modelos ARMA exposos na Tabela 07. Tabela 08 Tese de Box e Pierce para os resíduos dos modelos esimados Q (05) Q (10) Q (20) Q (50) Laranja 3,468 10,961 19,824 51,307 Abacaxi 7,876 10,294 21,920 56,626 Maracujá 4,312 7,252 20,788 56,722 Tangerina 1,528 6,765 15,936 45,184 Guarana 2,976 5,087 10,403 48,864 Uva 1,541 7,293 10,864 43,482 Manga 1,641 3,891 15,166 46,829 Limão 1,519 10,754 17,025 47,872 Morango 7,682 15,390 26,387 61,705 Acerola 2,626 8,973 15,961 51,945 Pêra 6,817 9,048 15,400 44,768 Pêssego 6,317 10,159 26,391 Noa. Fone: elaboração própria. 49,520 Os resulados para o Tese Box-Pierce nos resíduos aponam para a ausência de auocorrelação, indicando um bom ajuse dos modelos ARMA, apresenados na Tabela 08, às séries analisadas. Por fim, a úlima eapa do esudo consisiu na aplicação de ais modelos, uilizados para prever as vendas de nove dias do mês de dezembro. A acurácia de previsão foi verificada aravés de rês funções de perda: o erro médio (EM), o erro quadráico médio (EQM) e o erro absoluo médio (EAM). Os resulados para os erros de previsão esão exposos na Tabela 09. Tabela 09 Funções de perda calculadas para a média das previsões dos modelos esimados para as doze séries analisadas EM EQM EAM Laranja 0,123 0,096 0,254 Abacaxi 0,126 0,104 0,243 Maracujá 0,158 0,154 0,313 Tangerina 0,145 0,099 0,268 Guaraná 0,283 0,454 0,500 Uva 0,156 0,115 0,297 Manga 0,153 0,135 0,319 Limão 0,139 0,090 0,261 Morango 0,164 0,122 0,317 Acerola 0,137 0,099 0,255 Pêra 0,152 0,147 0,321 Pêssego 0,134 0,095 Noa. Fone: elaboração própria. 0,281 Analisando o exposo na Tabela 09, pode-se afirmar que os melhores resulados (menores erros de previsão) ocorreram para as séries dos sabores laranja, abacaxi, limão, 15

16 acerola e pêssego. Enre as séries supraciadas, apenas aquela referene ao pêssego não foi modelada por um ARMA (2, 1). Por ouro lado o modelo ARMA (2, 1) ambém apresenou resulados menos expressivos, como para as séries dos sabores manga, maracujá e guaraná, sendo essa úlima aquela que revelou o pior desempenho enre as doze séries. De uma forma geral, pode-se afirmar que os modelos ARMA foram adequados para modelar as 12 séries analisadas, uma vez que, após o ajuse, não foram enconradas evidências de auocorrelação nos resíduos das mesmas. O não raameno de al problema acarrearia em previsões com erros maiores, compromeendo assim o processo de omada de decisão dos gesores. 5. Considerações finais O presene esudo eve como objeivo verificar a adequação de modelos perencene à família ARMA na previsão de vendas do refresco YZ. Inicialmene foram observadas algumas caracerísicas esaísicas das séries analisadas. Desaca-se a presença de não esacionariedade das séries de vendas, indicando que a suas médias e as suas variâncias não foram consanes ao longo do período analisado. Dessa forma, ornou-se necessário diferenciar as séries, passando-se a rabalhar com as variações nas vendas ou invés dos valores bruos de vendas. Aravés da aplicação do Tese de Box-Pierce nas 12 séries analisadas foi possível idenificar a presença de auocorrelação nas mesmas. Dessa forma, ornou-se necessário o ajuse desas aravés dos modelos ARMA. Das 12 séries analisadas, nove foram ajusadas aravés de um ARMA (2, 1). As demais foram modeladas por um AR (1), um AR (2) e um ARMA (1, 1). Desaca-se que al fao acabou corroborando com a suspeia que havia sido levanada na inicialmene na consrução da mariz de correlações, onde as séries de variações nas vendas apresenavam, em sua maioria, correlações posiivamene fores, um possível indicaivo que as mesmas seguiam processos semelhanes. Em relação ao desempenho dos modelos ARMA nas previsões realizadas, pode-se afirmar que, segundo as rês funções de perda uilizadas na análise, os modelos correspondenes às séries dos sabores laranja, abacaxi, limão, acerola e pêssego foram aqueles que revelaram um melhor desempenho, apresenando os menores erros. Assim, desaca-se que com a aplicação dos modelos perencenes à família ARMA foi possível realizar previsões esaisicamene adequadas para as vendas diárias (e ambém para as variações nas mesmas) do refresco YZ. Tal fao foi confirmado após a verificação da ausência de auocorrelação nos resíduos das séries, indicando a adequação dos modelos ARMA para a resolução de al problema. A quesão demonsra a relevância que o modelo pode represenar para as empresas e seus gesores. Uilizando simplesmene uma série de dados hisóricos, pôde ser realizada uma adequada previsão de vendas para a companhia, sem o dispêndio com a uilização de ouras écnicas, eviando, ainda, a uilização de modelos subjeivos de predição. Com essa apropriada previsão de vendas, o processo orçamenário e de planejameno podem ser realizados com mais acurácia, minimizando incerezas na omada de decisões, melhor suporando a empresa no mercado. Apesar de a previsão er sido realizada para um período curo de empo, desaca-se que a previsão deve ser um processo conínuo na empresa, que ene absorver as alerações que venham ocorrer inernamene e no mercado. Apesar dos modelos ARMA erem demonsrado um desempenho posiivo, não se pode dizer que ese é o melhor méodo para a realização de previsões para ese ipo de produo. Para averiguar essa quesão, faz-se necessária a aplicação de ouros méodos, que possibiliem uma comparação de resulados. Assim, sugere-se que sejam realizados fuuros esudos com a aplicação de ouros méodos quaniaivos, como, por exemplo, écnicas de médias móveis, 16

17 amorecimeno exponencial e redes neurais. Poderiam ainda ser esados modelos Bayesianos, combinado assim as informações conidas exclusivamene nos dados coleados com aquelas informações que já são de conhecimeno da empresa a priori. Nauralmene ainda há a possibilidade de se uilizarem écnicas qualiaivas no apoio dos modelos ARMA. Uma das limiações da pesquisa é o curo prazo de empo analisado: dados de fevereiro de 2007 aé novembro de 2007, oalizando 200 observações, fazendo com que, dessa forma, não seja possível verificar a influência de uma possível sazonalidade nas vendas. Assim, sugere-se que esudos fuuros uilizem séries de dados maiores, de preferência com informações referenes a mais de cinco anos, para que assim possam ser verificas as possíveis influências de sazonalidades. Referências Baillie, R., Chung, C.-F., & Tieslau, M. A. (1996). Analyzing inflaion by he fracionally inegraed ARFIMA-GARCH model. Journal of Applied Economerics, 11(1), Baersby, A. (1976). Previsão de Vendas. Zahar Ediores, Rio de Janeiro. Box, G. E. P., & Jenkins, G. M. (1978). Times Series Analysis: Forecasing and Conrol. Edição revisa. San Francisco: Holden Day. Cobra, M. (1994). Adminisração de vendas. (4a ed.). São Paulo: Alas. Decker, R., & Gnibba-Yukawa, K. (2010). Sales forecasing in high-echnology markes: a uiliy-based approach. Journal of Produc Innovaion, 27(1), Gujarai, D. (2006). Economeria básica. (4a ed.). Rio de Janeiro: Elsevier. Las Casas, A. L. (2002). Adminisração de vendas. (6a ed.). São Paulo, Alas. Maddala, G. S. (2003). Inrodução à economeria. (3a ed.). Rio de Janeiro: Ediora LTC. Makridaki, S., Wheelwrigh, S. C., & Hyndman, R. J. (1998). Forecasing: Mehods and Applicaions. (3a ed.). New York: John Wiley & Sons. Moreira, J. C. T. (org.), Gobe, A. C., Fischer, C. H., Sousa, J. J., & Pasquale, P. P. (2004). Adminisração de vendas. São Paulo: Saraiva. Neelamegham, R., & Chinaguna, P. K. (2004). Modeling and forecasing he sales of echnology producs. Quaniaive Markeing and Economics, 2(3), Pilinkienė, Vaida. (2008). Selecion of marke demand forecas mehods: crieria and applicaion. Engineering Economics, 58(3), Roggeveen, A. L., & Johar, V. J. (2004). Inegraion of discrepan sales forecass: he influence of plausibiliy inferences based on an evoked range. Journal of Markeing Research, LI (February), Sanon, W. J., & Spiro, R. L. (2000). Adminisração de vendas. (7a ed.). Rio de Janeiro: LTC Ediora. Souza, R. C., & Camargo, M. E. (2004) Análise e previsão de séries emporais: os modelos ARIMA. (2a ed.). Rio de Janeiro. Thomakos, D. D., & Guerard, J. B. (2004). Naïve, ARIMA, nonparameric, ransfer funcion and VAR models: a comparison of forecasing performance. Inernaional Journal of Forecasing, 20(1), Wanke, P., & Julianelli, L. (Orgs.). (2006). Previsão de vendas: processos organizacionais e méodos quaniaivos e qualiaivos. São Paulo: Alas. 17