PREVISÃO DE ENERGIA ELÉTRICA: MODELAGEM E USO DE COMBINAÇÕES DE PREVISÕES

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1 PREVISÃO DE ENERGIA ELÉTRICA: MODELAGEM E USO DE COMBINAÇÕES DE PREVISÕES LIANE WERNER (UFRGS) liane@producao.ufrgs.br VERA LÚCIA MILANI MARTINS (UFRGS) vlmmarins@yahoo.com.br DANILO CUZZUOL PEDRINI (UFRGS) danilo_cp1@yahoo.com.br Resumo: A FIM DE PLANEJAR A QUANTIDADE NECESSÁRIA DE ENERGIA E ATENDER A LEGISLAÇÃO VIGENTE DE COMPRA DE ENERGIA, OS AGENTES DO MERCADO DEVEM PREVER COM ELEVADA EFICÁCIA. PARA PREVER O CONSUMO DE ENERGIA, NESTE ARTIGO PROPÕE-SE A CONSTRUÇÃO DE MODEELOS UTILIZANDO MODELOS DE SUAVIZAÇÃO EXPONENCIAL E MODELOS ARIMA. ALÉM DOS MODELOS, SÃO OBTIDAS PREVISÕES POR MEIO DA COMBINAÇÃO DAS PREVISÕES DOS MODELOS ANTERIORMENTE SUPRACITADOS, SENDO AS COMBINAÇÕES REALIZADAS POR MEIO DA MÉDIA ARITMÉTICA E POR REGRESSÃO. VERIFICOU-SE ATRAVÉS DAS MEDIDAS DE ACURÁCIA MAPE E RSME E DA ESTATÍSTICA LJUNG-BOX DE QUE O MODELO MAIS ACURADO É O HOLT-WINTERS ADITIVO, E QUE ESTE TAMBÉM SE MOSTROU MAIS ACURADO QUE AS COMBINAÇÕES. Palavras-chaves: PREVISÃO DE DEMANDA; COMBINAÇÃO DE PREVISÕES; ENERGIA ELÉTRICA; CONSUMO DE ENERGIA

2 FORECAST OF ELECTRIC ENERGY: MODELING AND USE OF COMBINATIONS OF FORECASTS Absrac: IN ORDER TO PLAN THE NECESSARY AMOUNT OF ENERGY AND MEET CURRENT LEGISLATION PURCHASING POWER, MARKET PARTICIPANTS MUST PROVIDE WITH HIGH EFFICIENCY. TO PREDICT THE POWER CONSUMPTION, THIS PAPER PROPOSES THE CONSTRUCTION OF MODELS USING MODDELS OF EXPONENTIAL SMOOTHING AND ARIMA MODELS. BESIDES THE MODELS, PREDICTIONS ARE OBTAINED BY COMBINING FORECAST OF THE MODELS PREVIOUSLY MENTIONED, THE COMBINATIONS BEING MADE THROUGH THE ARITHMETIC MEAN AND REGRESSION. IT WAS FOUND BY MEASURING ACCURACY MAPE AND RSME AND THE LJUNG-BOX STATISTIC THAT THE MOST ACCURATE MODEL IS THE HOLT-WINTERS ADDITIVE, AND IT WAS ALSO MORE ACCURATE THAN THE COMBINATIONS. Keyword: DEMAND FORECASTING; COMBINATION OF FORECASTS, ELECTRIC POWER 2

3 1. Inrodução O modelo energéico aual em como premissas básicas a confiabilidade do sisema e a modicidade arifária, faores que impõem a necessidade do conhecimeno do mercado e sua evolução fuura. Assim, os agenes do mercado de energia elérica devem prever, com elevada eficácia, o comporameno fuuro do mercado de forma a planejar os invesimenos ano em infra-esruura como na compra de concessões de energia elérica. Lembrando que no Brasil, as disribuidoras devem comprar energia para sua área de concessão exclusivamene no mercado regulador, o Ambiene de Conraação Regulada (ACR), que basicamene é composo por leilões promovidos pela agência reguladora e que ajusa ano a necessidade de energia para o mercado consumidor quano os invesimenos no parque gerador nacional. Ese ambiene de conraação baseia-se em leilões realizados anualmene para início de fornecimeno em 1, 3 e 5 anos e quano mais precoce for a compra, menores são os preços. Além da imporância de necessiar-se de previsões acuradas sob o aspeco da compeição enre empresas de geração por maiores faias do mercado, ouro faor imporane é a legislação do seor elérico. No caso específico das disribuidoras nacionais, a legislação que envolve a conraação de energia prevê uma olerância ao erro de previsão de mercado, denominada de sobre conraação e passível de ser repassada ao consumidor aravés da arifa, no limie máximo 3% da carga anual. A energia conraada em quanidade maior do que esse índice não poderá ser reransmiida e consiuir-se-á em prejuízo financeiro a empresa conforme o Arigo 38 do Decreo presidencial Nº 5163/2004. Caso a energia adquirida aravés de leilões seja insuficiene para suprimeno do mercado, normalmene por um aumeno de consumo além do esimado pelas disribuidoras, ese agene poderá ser penalizado pela agência reguladora ao final do ano, conforme o Arigo 2 do Decreo presidencial Nº 5163/2004. Nesse conexo, o uso de écnicas de previsão é de suma imporância para que a compra seja realizada na quanidade necessária e no melhor momeno. De uma forma genérica, as écnicas de previsão podem ser classificadas em (MAKRIDAKIS e al., 1998; PELLEGRINI e FOGLIATTO, 2000) écnicas qualiaivas e em écnicas quaniaivas. Além dos méodos quaniaivos e qualiaivos, oura possibilidade é a combinação de écnicas de previsão (WEBBY e O CONNOR, 1996). A combinação de previsões, como seu próprio nome diz, defende a união de previsões obidas por duas ou mais écnicas, possibiliando o aumeno da acurácia da previsão (BATES e GRANGER, 1969; CLEMEN, 1989). Diversos auores defendem que a combinação de previsões sempre é mais acurada que o melhor modelo (BATES e GRANGER, 1969; CLEMEN, 1989; CHAN e al., 1999; WERNER, 2005). Viso que ober previsões acuradas no seor de energia elérica raz ganhos a companhia e ambém a sociedade, o presene rabalho em como objeivo modelar e prever o comporameno de consumo da energia de uma disribuidora de energia do sul do Brasil, uilizando modelos esaísicos e combinação das previsões obidas com eses modelos. Preende-se verificar 3

4 ambém, para o caso do consumo energéico, se a combinação das previsões é mais acurada que o melhor modelo enconrado para o consumo de energia. 2. Modelos Esaísicos 2.1. Modelos de Suavização Exponencial Denre as écnicas disponíveis de suavização exponencial desacam-se o méodo de médias móveis, o suavização exponencial simples, o modelo linear de Hol (para as séries que apresenam o componene de endência) e o modelo de Hol-Winers (quando a série apresenar ano o componene de endência quano o componene sazonal) (MORETTIN e TOLOI, 2006; MAKRIDAKIS e al., 1998). Para séries que apresenam, além da componene de endência, a componene de sazonalidade, Winers, em 1960, esendeu o méodo desenvolvido por Hol, para conemplar esa caracerísica da série. A sazonalidade pode ser represenada em dois formaos: adiivo e muliplicaivo. Os parâmeros α de nível, β de endência e o γ de sazonalidade, variam enre zero e um (MAKRIDAKIS e al., 1998). O méodo muliplicaivo considera que a componene sazonal pode ser deerminada pela relação enre o valor correne da série e o componene do nível médio no mesmo insane. O méodo adiivo é equacionado de forma mais simplificada, viso que como não varia com o valor médio aual da série, pode ser meramene adicionado ou subraído de uma previsão que depende apenas do nível e da endência. O méodo adiivo é descrio pelas equações Erro! Fone de referência não enconrada. a (4) e na equação (4) em a previsão de m passos à frene a parir do empo. Os componenes possuem as mesmas definições da represenação muliplicaiva. F +m = L + T + S -s+m (4) onde: é o componene do nível médio; é o componene de endência; é o componene sazonal; é a previsão para períodos a frene e; é a modulação da sazonalidade Modelos ARIMA Segundo Werner (2005), os modelos ARIMA são modelos maemáicos que visam capurar o comporameno da série hisórica, a correlação enre valores passados e enão gerar uma previsão. Os passos que descrevem o processo de análise do méodo são apresenados na FIGURA 1 (MAKRIDAKIS e al., 1998). Para que o méodo seja aplicado, faz-se necessário que as séries emporais sejam esacionárias, o que significa que elas esejam em equilíbrio em orno de um nível médio consane ao longo do empo. Conudo, a maioria das séries de ineresse de previsão não em ese comporameno, como por exemplo, processos indusriais ou econômicos (BOX; JENKINS, 1976). Pode-se, usualmene, avaliar a esacionariedade de um conjuno de dados de forma gráfica. Porém a forma mais adequada é aravés do uso dos eses como o da raiz uniária de Dickey-Fuller. Uma forma de remover a não-esacionariedade das séries emporais é aravés do (1) (2) (3) 4

5 méodo de diferenciação, que consise em realizar subrações dos valores observados em e em, sendo que em geral a diferenciação d igual a 1 é suficiene para ornar a séries esacionárias (MAKRIDAKIS e al., 1998). Fase 1 Idenificação Preparação dos dados: Transformação dos dados para esabilizar a variância; Realizar diferenças enre os dados para ober séries esacionárias; Seleção do modelo: Examine os dados, as funções de auocorrelação (ACF) e de auocorrelação parcial (PACF) a fim de idenificar os modelos poenciais; Fase 2 Esimaivas e Teses Esimaivas: Esimar os parâmeros para os modelos poenciais; Selecionar o melhor modelo uilizando criérios apropriados; Diagnósicos: Verifique as funções de auocorrelação e auocorrelação parcial dos residuos; Realizar ese de residuos; Os residuos são classificados como ruido branco? Fase 3 Aplicação Previsão: Realize a previsão uilizando o modelo esado; FIGURA 1- Passos para a modelagem Box-Jenkins Fone: MAKRIDAKIS e al., 1998 Caso os dados apresenem sazonalidade, é mais apropriado realizar diferenças sazonais. Para padrões de sazonalidade anual, deve-se uilizar. A equação Erro! Fone de referência não enconrada. exemplifica esa aplicação. (5) A fase críica da meodologia proposa por Box-Jenkins, conhecidos por modelos 5

6 ARIMA, é realmene a seleção do modelo, pois para uma mesma série hisórica, vários pesquisadores poderão deerminar modelos disinos (MORETTIN e TOLOI, 2006). Os modelos ARIMA, AuoRegressive Inegraed Moving Average, resulam da combinação de rês componenes, denominados filros : o componene auo-regressivo (AR), o filro de Inegração (I) e o componene de Médias Móveis (MA). Algumas regras podem ser usadas para idenificar o melhor modelo ARIMA. Caso os coeficienes de auo-correlação, quando ploados no correlograma, apresenem decaimeno exponencial a zero, ou próximo diso, idenificam um modelo auo-regressivo com parâmero p. Quando os coeficienes de auo-correlação parcial decaem exponencialmene a zero o modelo descrio é o de médias móveis com parâmero q. Quando ambos os efeios ocorrem, exisem indícios de se raar de um modelo ARMA. A ordem do modelo AR é deerminada pelo número de coeficienes de auo-correlação parcial significanes. O modelo MA, por sua vez é deerminado pelo número de coeficienes de auocorrelação significanes. Uma série pode ser modelada por rês filros ou apenas por um subconjuno deles, resulando em vários modelos, a formulação genérica de um modelo ARIMA (p,d,q) enconra-se na equação (6). ~ ~ ~ d ( Z 1 Z 1... pz p ) q q (6) onde: Z ~ Z ; i é o parâmero auo-regressivo de ordem p; é a diferenciação, d é a ordem de diferenciação; i é o parâmero de médias móveis de ordem q e para i =1,2,..., q com E( ) 2 2 = 0 ; E( ) = ; E( j ) = 0 para j. Os modelos ARIMA exploram a auo-correlação enre os valores da série em insanes sucessivos. Enreano, quando os dados são observados em períodos inferiores a um ano, a série ambém pode apresenar auo-correlação para uma esação de sazonalidade s. Os modelos que conemplam as séries de auo-correlação sazonal são conhecidos como modelos SARIMA. Os modelos SARIMA conêm uma pare não-sazonal, com parâmeros (p,d,q), e uma pare sazonal, com parâmeros (P,D,Q) s. 3. Combinação de Previsões Para Clemen (1989), o aproveiameno de diferenes écnicas, ao invés de uilizar a melhor, é basane lógico, pois o descare de algumas écnicas acarrea na perda de imporanes informações, uma vez que cada écnica em sua paricularidade na modelagem dos faores que influenciam a previsão. A combinação de previsões é uma écnica práica, econômica e úil, possuindo uma eoria bem fundamenada por vários esudos eóricos e práicos. Embora exisam alguns rabalhos aneriores, o de Baes e Granger (1969) é considerado o rabalho inicial. Baes e Granger (1969) propuseram uma combinação linear de duas previsões objeivas não-viesadas, aribuindo pesos k para uma das previsões e (1-k) para a oura. A expressão da combinação das previsões para o período é dado pela equação (7): F c, kf1, ( 1 k) F2, 0 < k < 1 (7) onde: k é o peso da previsão 1 e F 1 e F 2 são as previsões a serem combinadas. A escolha mais lógica para k é aribuir um peso maior à previsão que possuir os menores erros. Granger e Ramanahan (1984) apresenaram rês formas diferenes de esimar os pesos 6

7 lineares, uilizando o méodo de mínimos quadrados para esimar os pesos da combinação linear. Os méodos apresenados pelos auores basicamene consisem em aplicar modelos de regressão para gerar a previsão combinada, endo o valor real da série emporal como variável resposa e as previsões individuais como regressores. O méodo A consise numa regressão sem consane e sem resrição aos pesos e, para Granger e Ramanahan (1984), geram esimaivas combinadas viesadas. O méodo B consise em uma regressão sem consane, mas com resrição de que o somaório dos pesos seja igual a um e, porano, são semelhanes às esimaivas apresenadas por Baes e Granger (1969) e Newbold e Granger (1974), respecivamene. O méodo C consise numa regressão sem resrições, mas com a adição da consane de inercepo e é apresenado na equação (8): p Fc, c ki Fi, com c 0 (8) i 1 Granger e Ramanahan (1984) aponam que ese úlimo méodo produz melhores esimaivas para a previsão combinada, dado que produz os menores erros quadrados e as previsões combinadas são não-viesadas, mesmo que as esimaivas individuais o sejam. Ouro méodo de combinação que produz bons resulados é a média ariméica das previsões. Para Makridakis e Winkler (1983), uilizar a média das previsões é indubiavelmene melhor que usar um mau modelo ou uma écnica de previsão pobre, uma vez que os resulados regisrados pelos auores sugerem que o uso de média das previsões razem consideráveis benefícios práicos em ermos de melhoria da acurácia de previsão e de diminuição da sua variabilidade. Além disso, de acordo com Taylor e Bunn (1999), a média, além de ser um méodo imporane, é o méodo de combinação mais empregado. Para Menezes e al. (2000), uma possível resposa para a o sucesso da média ariméica pode esar associada à insabilidade dos pesos que, freqüenemene, resulam de mudanças não-sisemáicas que ocorrem ao longo do empo na mariz de covariância dos erros das previsões individuais. Devido a esas circunsâncias, a média, embora não enha pesos óimos, pode dar origem a resulados melhores que os de méodos mais sofisicados. 4. Aplicação Os dados uilizados foram obidos da demanda de energia de 85 meses, de seembro do ano zero a seembro do ano see, de um agene de disribuição no sul do Brasil. Os dados referem-se ao consumo oal e foram proposialmene alerados, somou-se uma consane de forma a maner o sigilo dos dados. Nesse rabalho, foram uilizadas quaro formas para ober as previsões: (i) suavização exponencial; (ii) modelos ARIMA; (iii) combinação das previsões obidas em (i) e (ii) aravés da média ariméica e (iv) combinação das previsões obidas em (i) e (ii) aravés do méodo C apresenado por Granger e Ramanahan (1984). O primeiro passo do rabalho foi ploar o gráfico o consumo oal, a fim de verificar alguns padrões de comporameno da série, como endência, sazonalidade e ciclos. Esse passo é 7

8 imporane para que se possa fazer uma pré-seleção dos modelos mais adequados denre as écnicas quaniaivas escolhidas: (i) modelos de suavização exponencial e (ii) modelo ARIMA. Com a referida pré-seleção realizada, procedeu-se com a modelagem e após verificou-se o ajuse de cada modelo. Para selecionar o melhor modelo em cada uma das caegorias acima ciadas, foram uilizadas as menores medidas de acuracidade, o ese de de Ljung-Box, bem como a análise gráfica da ACF e da PACF dos resíduos gerados. Após a esimação e seleção dos modelos para o consumo oal, foram obidas as combinações de previsões. O primeiro méodo a ser aplicado é o da média ariméica das duas previsões, já obidas nos passos aneriores, como a média é basane robusa pode ser considerada um pono de referência úil e o resulado pode ser obido conforme equação (9). A oura forma de combinação de previsões a ser uilizada é a regressão, uilizando o méodo C de Granger e Ramanahan (1984) apresenada na equação (8). onde: e represenam cada uma das previsões a serem combinadas. No inuio de verificar qual das previsões realizadas e combinações desas mais adequamene descreve o conjuno de dados do consumo de energia, uilizou-se como base para comparação duas diferenes medidas de acurácia: (i) Erro médio percenual absoluo (MAPE), (ii) Raiz do erro quadraico médio (RMSE). O modelo mais adequado é definido pelo menor valor aribuido aos criérios descrios aneriormene e calculados conforme equações (10) e (11). (9) (10) onde: é a diferença enre cada unidade de valor predio e de valor observado X no empo j e n é a quanidade de valores predios. Por fim, com base nas medidas de acurácia verificou-se qual o melhor méodo de previsão e uilizou-se ese para ober as previsões 3 passos a frene. 5. Resulados A série de dados que descreve o consumo de energia de uma disribuidora da região sul do país é apresenada na Figura 2. Ao longo da série é possível idenificar a presença de um padrão de comporameno a cada 12 observações, caracerizando sazonalidade. A esruura desa sazonalidade idenificada apresena a mesma ampliude durane odo o período, ao mesmo empo em que é percepível um comporameno de endência, sugerindo não esacionariedade. Por meio dos criérios supraciados, idenificam-se alguns modelos de previsão mais adequados para descrever os dados, denre as écnicas de suavização exponencial e modelagem ARIMA. Para as écnicas de previsão uilizadas, os modelos selecionados por suas caracerísicas foram o Hol-Winers adiivo e o SARIMA. Os dados foram analisados e o melhor modelo denro de cada classe de modelos foram obidos. Para a classe dos modelos de suavização exponencial, o melhor modelo foi o de Hol- (11) 8

9 Winers adiivo. Com a esimação dos parâmeros obeve as equações que enconram-se nas equações (12) a (14). (12) (13) (14) FIGURA 2- Série de dados do consumo de energia Para a classe dos modelos ARIMA, o melhor modelo foi o modelo SARIMA com uma diferenciação não sazonal e uma diferenciação sazonal, além de uma componene não sazonal de médias móveis e oura sazonal de média móvel, com esação sazonal s igual a 12, ou seja, um modelo ARIMA0,1,1)(0,1,1) 12. Eses modelos foram classificados como mais adequados em cada uma das classes, pois apresenaram as menores medidas de acurácia e o p-valor para a esaísica de Ljung-Box, conforme Tabela 1. TABELA 1 Medidas de acurácia e Tese Ljung-Box para modelos esaísicos MAPE RSME Ljung-Box (p-valor) Hol-Winers Adiivo 2, ,932 0,547 ARIMA(0,1,1)(0,1,1) 12 2, ,008 0,715 As análises gráficas da ACF e da PACF dos resíduos gerados por meio das modelagens descrias na Tabela 1 são apresenadas nas Figuras 3 e 4 e corroboram com a seleção dos modelos. 9

10 ACF Residual PACF Residual FIGURA 3- ACF e PACF Modelo Hol Winers Adiivo ACF Residual PACF Residual 10

11 FIGURA 4- ACF e PACF Modelo ARIMA (0,1,1) (0,1,1) Após realizadas as esimações foram geradas as combinações de previsões. As combinações foram calculadas considerando duas diferenes meodologias. Inicialmene foi obida a combinação por meio da média ariméica simples e na sequencia foi uilizado o méodo C realizando-se a combinação por meio de uma regressão linear simples. As medidas de acurácia para cada um dos quaro modelos de previsão são apresenados na Tabela 2. TABELA 2. Medidas de acurácia para os modelos e as combinações MAPE RMSE Hol-Winers Adiivo 2, ,932 ARIMA (0,1,1)(0,1,1) 2, ,008 Combinação por média 2, ,024 Combinação méodo C 2, ,288 Com base nas medidas de acurácia MAPE e RMSE, o modelo que melhor descreveu a série de dados de consumo oal de energia foi o obido por meio da écnica de suavização exponencial. O modelo Hol-Winers adiivo uilizado para a realização das previsões 3 passos a frene é apresenado na Equação (12) e as previsões geradas saõ apresenadas na Tabela3. onde: é o componene do nível médio; é o componene de endência; é o componene sazonal; é a previsão para períodos a frene e; é a modulação da sazonalidade; para ese caso m = 1,2,3. Previsão de Consumo Toal de Energia TABELA 3. Previsões Passos a Frene 11

12 1 2 3 Hol-Winers Adiivo Limie Superior Limie Inferior Considerações finais O presene arigo apresena um esudo de previsão do consumo de energia uma vez que previsões acurados nese seor propiciam benefícios ano a sociedade, quano a empresa que necessia dimensionar adequadamene a compra de energia. Ao se consruir os gráficos da séries emporais, observa-se uma esabilidade no consumo de energia enre os períodos compreendidos pelas observações de 01 a 24. Esa esabilidade ceramene se deve a campanhas de redução no consumo de energia impulsionadas principalmene pelo período de apagão, regisrado no Brasil durane ese período. Tal eveno gerou um padrão ligeiramene parabólico na endência da série, isso pode er afeado negaivamene as esimaivas, pois é uma causa especial que alerou os padrões do passado e afeou de alguma forma as previsões obidas com o modelo ARIMA, que em como suposição o aendimeno da consância dese padrão ao longo do empo, da mesma forma que deve er afeado as combinações das previsões. O paradigma de que uma écnica de combinação apresena melhor resulado que o melhor méodo individual não foi verificado como sendo verdadeiro quando uilizado o as medidas de acurácia para comparar a acuracidade das previsões do consumo, já que a écnica, Hol-Winers adiivo apresenou menores medidas de acurácia que a combinação pelo méodo C, que foi a melhor écnica de combinação adoada. Referências BATES, J. M.; GRANGER, C. W. J. The Combinaion of Forecass. Operaional Research, v. 20, n. 4, p , BOX, G. E. P. & JENKINS, G. M. Time Series Analysis. Forecasing and Conrol. Holden-Day. Edição revisada. San Francisco, CHAN, C. K., KINGSMAN, B. G. & WONG, H. The Value of Combining Forecass in Invenory Managemen a Case Sudy in Banking. European Journal of Operaional Research, v.117, 1999, p CLEMEN, R. T. Combining Forecass: A Review and Annoaed Bibliography. Inernaional Journal of Forecasing. v. 5, 1989, p GRANGER, C. W. J.; RAMANATHAN, R. Improved Mehods of Combining Forecass. Journal of Forecasing, v. 3, p , MAKRIDAKIS, S.; WHEELWRIGHT, S. C.; HYNDMAN, R. J. Forecasing: Mehods and Applicaions. 3. ed. New York: John Wiley & Sons, MAKRIDAKIS, S. & WINKLER, R.L. Averages of Forecass: Some Empirical Resuls. Managemen Science, v.29, n.9, 1983, p MENEZES, L. M.; BUNN, D. W.; TAYLOR, J. M. Review of Guidelines for he Use of Combined Forecass. 12

13 European Journal of Operaional Research, v p , MORETTIN, P. A. & TOLOI, C. M. de C. Previsão de Séries Temporais. Aual Ediora, 2a Edição. São Paulo, NEWBOLD, P.; GRANGER, C. W. J. Experience wih Forecasing Univariae Time Series and he Combinaion of Forecass. Journal of he Royal Saisical Sociey - A, v. 137, n. 2, p PELLEGRINI, F. & FOGLIATTO, F. Esudo Comparaivo enre os Modelos de Winers e de Box-Jenkins para Previsão de Demanda Sazonal. Produo & Produção. v. 4, n. especial, abril 2000, p TAYLOR, J. W. & BUNN, D. W. Invesigaing Improvemens in he Accuracy of Predicion Inervals for Combinaions of Forecass: A Simulaion Sudy. Inernaional Journal of Forecasing, v. 15, 1999, p WEBBY, R.; O CONNOR, M. Judgemenal and Saisical ime series forecasing: a review of he lieraure. Inernaional Journal of Forecasing, v. 12, p , WERNER, L. Um modelo composo para realizar previsão de demanda aravés da inegração da combinação de previsões e do ajuse baseado na opinião, Tese de douorado. Programa de Pós-Graduação em Engenharia de produção. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Poro Alegre