INTERVALO BOOTSTRAP PARA PREVISÕES DE SÉRIES TEMPORAIS OBTIDAS PELO MÉTODO THETA

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1 DANIEL STEFFEN INTERVALO BOOTSTRAP PARA PREVISÕES DE SÉRIES TEMPORAIS OBTIDAS PELO MÉTODO THETA Disseração apresenada como requisio parcial à obenção do íulo de Mesre em Ciências pelo Programa de Pós-graduação em Méodos Numéricos em Engenharia, do Deparameno de Consrução Civil e do Deparameno de Maemáica da UFPR, na Área de Concenração em Programação Maemáica e na Linha de Pesquisa em Méodos Esaísicos Aplicados à Engenharia sob a orienação do Prof. Dr. Anselmo Chaves Neo. Curiiba 2010

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4 3 AGRADECIMENTOS Agradeço em primeiro lugar a Deus pela força que me deu durane o percurso de mais uma eapa vencida da minha vida. Ao professor Dr. Anselmo Chaves Neo, pela orienação e disposição para com ese rabalho. Ao professor Dr. Jair Mendes Marques, pela ajuda presada na programação em linguagem Malab. Aos meus pais Ernani e Ania Seffen pelo apoio irresrio na minha rajeória, propiciando as condições para a conclusão dese curso. Aos professores do PPGMNE da Universidade Federal do Paraná pelo esforço e dedicação no decorrer das disciplinas. Aos colegas do mesrado, em especial a Maria Ivee Basniak e Tereza Rachel Mafiolei pela ajuda presada no decorrer do curso. Agradeço a odos que direa ou indireamene conribuíram para a conclusão dese rabalho.

5 4 RESUMO Ese rabalho em a finalidade de desenvolver um programa compuacional em linguagem Malab versão 7.1, do méodo de previsão de séries emporais chamado Thea. O méodo é relaivamene recene e foi desenvolvido por Assimakopoulos e Nikolopoulos (2000). O Méodo Thea abordado nese rabalho mosrou-se muio eficiene na compeição M3 de Makridakis, onde foram esadas 3003 séries emporais. Ele esá baseado no conceio da modificação das curvauras locais das séries emporais obida por um coeficiene hea (Θ). Em sua abordagem mais simples a série emporal é decomposa em duas linhas hea L(Θ) represenando os ermos de longo prazo e de curo prazo. A previsão é feia combinando-se as previsões obidas aravés do ajuse das linhas hea obidas com a decomposição. Nese rabalho a série emporal é decomposa em aé rês linhas hea. As previsões obidas já foram comparadas com méodos radicionais e iveram um bom desempenho. Mas, como desvanagem pode ser ciada a fala de inervalos de confiança para as previsões. Nese rabalho é aplicada a écnica de reamosragem por compuação inensiva conhecida como Boosrap para esimar os inervalos de confiança para as previsões ponuais obidas por esse méodo de previsão. PALAVRAS-CHAVE: Méodo Thea, Boosrap, Séries Temporais.

6 5 ABSTRACT This work has porpose o develop a compuer program in Malab version 7.1, he mehod of ime series forecasing called Thea. The mehod is relaively recen and was developed by Assimakopoulos and Nikolopoulos (2000). The Thea mehod presened in his work was very efficien in M3 Makridakis compeiion, where hey were esed 3003 ime series. I is based on he concep of modifying he local curvaure of he ime series obained by a coefficien hea(θ). In is simples approach he ime series is decomposed ino wo lines hea L(Θ) represening erms of long-erm and shor erm. The forecas is made by combining he forecass obained by fiing hea lines obained wih he decomposiion. In his sudy he ime series is decomposed ino hree lines hea. The forecass obained have been compared wih radiional mehods and had a good performance. Bu he disadvanage can be cied a lack of confidence inervals for he forecass. This work applies he echnique of compuer-inensive resampling, known as he boosrap o esimae confidence inervals for he poin forecass obained by his mehod. KEYWORDS: Thea mehod, Boosrap, Time Series.

7 6 LISTA DE FIGURAS 1 - ESTRUTURA DE FILTRO LINEAR FLUXOGRAMA DOS ESTÁGIOS DA METODOLOGIA BOX & JENKINS ALGORITMO DA DISTRIBUIÇÃO BOOTSTRAP DE T n (x,f) ALGORITMO DA DISTRIBUIÇÃO BOOTSTRAP DE βˆ ALGORITMO DA DISTRIBUIÇÃO BOOTSTRAP DE Y ˆ ( h) DISTRIBUIÇÃO BOOTSTRAP DE PT21 PARA Yˆ T ( 1) DISTRIBUIÇÃO BOOTSTRAP DE PT22 PARA Yˆ T ( 1) DISTRIBUIÇÃO BOOTSTRAP DE PT23 PARA Yˆ T ( 1) DISTRIBUIÇÃO BOOTSTRAP DE PT31 PARA Yˆ T ( 1) DISTRIBUIÇÃO BOOTSTRAP DE PT31 PARA Yˆ T ( 1) LISTA DE QUADROS 1 - PROPRIEDADES DA FAC E FACP PARA MODELOS ARIMA... 40

8 7 LISTA DE GRÁFICOS 1 - COTAÇÕES DIÁRIAS DO BOVESPA (JUL 2007/JUL 2009) PADRÃO HORIZONTAL EM SÉRIES TEMPORAIS PADRÃO DE TENDÊNCIA EM SÉRIES TEMPORAIS PADRÃO CÍCLICO EM SÉRIES TEMPORAIS PADRÃO SAZONAL EM SÉRIES TEMPORAIS SÉRIE DO ÍNDICE BOVESPA E PREVISÃO THETA PELA DECOMPOSIÇÃO EM DUAS L(Θ) REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA SÉRIE TEMPORAL SÉRIE TEMPORAL, L(Θ=0) RL, L(Θ=2) AES E PT SÉRIE TEMPORAL, L(Θ=0) RL, L(Θ=2) AELB E PT SÉRIE TEMPORAL, L(Θ=0) RL, L(Θ=2) AEH E PT SÉRIE TEMPORAL, L(Θ=0) RL, L(Θ=0.5) AES, L(Θ=2) AELB E PT SÉRIE TEMPORAL, L(Θ=0) RL, L(Θ=1.6) AELB, L(Θ=2) AES E PT

9 8 LISTA DE TABELAS 1 - SÉRIE TEMPORAL GERADA POR SIMULADOR DECOMPOSIÇÃO DA SÉRIE EM DUAS LINHAS THETA EXTRAPOLAÇÃO DAS L(Θ) POR TENDÊNCIA LINEAR E ALISAMENTO EXPONENCIAL SIMPLES PERÍODO, VALOR REAL, LINHAS DE REGRESSÃO E ALISAMENTO, PREVISÕES THETA, ERRO MÉDIO PERCENTUAL ABSOLUTO (MAPE) E ERRO QUADRÁTICO MÉDIO (EQM) VALOR REAL DA SÉRIE, RESULTADO DA PREVISÃO THETA, DESVIO PADRÃO BOOTSTRAP, ERRO QUADRÁTICO MÉDIO E O INTERVALO DE CONFIANÇA (NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA DE 5% E 1000 REPLICAÇÕES) EXTRAPOLAÇÃO DAS L(Θ) POR TENDÊNCIA LINEAR E ALISAMENTO EXPONENCIAL LINEAR DE BROWN (AELB) PERÍODO, VALOR REAL, LINHAS DE REGRESSÃO E ALISAMENTO, PREVISÕES THETA, ERRO MÉDIO PERCENTUAL ABSOLUTO (MAPE) E ERRO QUADRÁTICO MÉDIO (EQM) VALOR REAL DA SÉRIE, RESULTADO DA PREVISÃO THETA, DESVIO PADRÃO BOOTSTRAP, ERRO QUADRÁTICO MÉDIO E O INTERVALO DE CONFIANÇA (NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA DE 5% E 1000 REPLICAÇÕES) EXTRAPOLAÇÃO DAS L(Θ) POR TENDÊNCIA LINEAR E ALISAMENTO EXPONENCIAL DE HOLT (AEH) PERÍODO, VALOR REAL, LINHAS DE REGRESSÃO E ALISAMENTO, PREVISÕES THETA, ERRO MÉDIO PERCENTUAL ABSOLUTO (MAPE) E ERRO QUADRÁTICO MÉDIO (EQM) VALOR REAL DA SÉRIE, RESULTADO DA PREVISÃO THETA, DESVIO PADRÃO BOOTSTRAP, ERRO QUADRÁTICO MÉDIO E O INTERVALO DE CONFIANÇA (NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA DE 5% E 1000 REPLICAÇÕES) DECOMPOSIÇÃO DA SÉRIE TEMPORAL EM TRÊS LINHAS THETA E COMBINAÇÃO... 81

10 EXTRAPOLAÇÃO DAS L(Θ) POR TENDÊNCIA LINEAR, ALISAMENTO EXPONENCIAL SIMPLES (AES) E ALISAMENTO EXPONENCIAL LINEAR DE BROWN PERÍODO, VALOR REAL, LINHAS DE REGRESSÃO E ALISAMENTO, PREVISÕES THETA, ERRO MÉDIO PERCENTUAL ABSOLUTO (MAPE) E ERRO QUADRÁTICO MÉDIO (EQM) VALOR REAL DA SÉRIE, RESULTADO DA PREVISÃO THETA, DESVIO PADRÃO BOOTSTRAP, ERRO QUADRÁTICO MÉDIO E O INTERVALO DE CONFIANÇA (NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA DE 5% E 1000 REPLICAÇÕES) DECOMPOSIÇÃO DA SÉRIE TEMPORAL EM TRÊS LINHAS THETA E COMBINAÇÃO EXTRAPOLAÇÃO DAS L(Θ) POR TENDÊNCIA LINEAR, ALISAMENTO EXPONENCIAL LINEAR DE BROWN (AELB) E ALISAMENTO EXPONENCIAL SIMPLES (AES) PERÍODO, VALOR REAL, LINHAS DE REGRESSÃO E ALISAMENTO, PREVISÕES THETA, ERRO MÉDIO PERCENTUAL ABSOLUTO (MAPE) E ERRO QUADRÁTICO MÉDIO (EQM) VALOR REAL DA SÉRIE, RESULTADO DA PREVISÃO THETA, DESVIO PADRÃO BOOTSTRAP, ERRO QUADRÁTICO MÉDIO E O INTERVALO DE CONFIANÇA (NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA DE 5% E 1000 REPLICAÇÕES) PREVISÕES E MAPE s OBTIDOS PELO MÉTODO THETA DECOMPOSTO EM DUAS LINHAS PREVISÕES E MAPE s OBTIDOS PELO MÉTODO THETA DECOMPOSTO EM TRÊS LINHAS E PREVISÕES E MAPE OBTIDO POR OUTRO MÉTODO DE PREVISÃO... 92

11 10 SUMÁRIO RESUMO... 4 ABSTRACT... 5 LISTA DE FIGURAS... 6 LISTA DE QUADROS... 6 LISTA DE GRÁFICOS... 7 LISTA DE TABELAS INTRODUÇÃO PROBLEMA OBJETIVOS JUSTIFICATIVA ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO REVISÃO DE LITERATURA TÉCNICAS DE PREVISÃO SÉRIES TEMPORAIS Definição Objeivos Padrões em Séries Temporais MODELOS DE PREVISÃO QUANTITATIVOS Tendência Linear Modelos de Médias Móveis Simples (MMS) Alisameno Exponencial Alisameno Exponencial Simples (AES) Alisameno Exponencial Linear de Brown (AELB) Alisameno Exponencial de Hol (AEH) METODOLOGIA DE BOX & JENKINS Processos Esacionários Modelo de Filro Linear Modelos Auo-Regressivos (AR) Modelos de Médias Móveis (MA) Modelos Auo-Regressivos e de Médias Móveis (ARMA)... 37

12 Modelos Auo-Regressivos Inegrados de Médias Móveis (ARIMA) Idenificação dos Modelos MÉTODO THETA Inrodução Considerações sobre o Méodo Thea O Méodo Thea Cálculo das Linhas Thea TÉCNICA COMPUTACIONALMENTE INTENSIVA BOOTSTRAP Inrodução Méodo Jackknife Obenção da Amosra Jackknife Méodo Boosrap Obenção da Amosra Boosrap Inervalos de Confiança Boosrap Inervalo -suden Inervalo Boosrap Residual MATERIAL E MÉTODO MATERIAL Geração da Série Temporal MÉTODO Adapação dos modelos e Implemenação Compuacional Méodo de Previsão Thea Previsões Thea Inervalos de Confiança Boosrap RESULTADOS E DISCUSSÕES PREVISÃO E INTERVALO BOOTSTRAP PARA A SÉRIE TEMPORAL Descrição da Série Temporal RESULTADOS PARA A SÉRIE DECOMPOSTA EM DUAS L(Θ) PT21 - Tendência Linear e Alisameno Exponencial Simples (AES) Previsões e Inervalo Boosrap para PT PT22 - Tendência Linear e Alisameno Exponencial Linear de Brown (AELB)... 72

13 Previsões e Inervalo Boosrap para PT PT23 - Tendência Linear e Alisameno Exponencial de Hol (AEH) Previsões e Inervalo Boosrap para PT RESULTADOS PARA A SÉRIE DECOMPOSTA EM TRÊS L(Θ) PT31 - Tendência Linear, Alisameno Exponencial Simples (AES) e Alisameno Exponencial Linear de Brown (AELB) Previsões e Inervalo Boosrap para PT PT32 - Tendência Linear, Alisameno Exponencial Linear de Brown (AELB) e Alisameno Exponencial Simples (AES) Previsões e Inervalo Boosrap para PT COMPARAÇÃO ENTRE AS PREVISÕES OBTIDAS PELO MÉTODO THETA COM OUTROS MÉTODOS DE PREVISÃO CONCLUSÃO E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS REFERÊNCIAS APÊNDICES APÊNDICE A - PROGRAMA PARA A PREVISÃO DE SÉRIE TEMPORAL ATRAVÉS DO MÉTODO THETA UTILIZANDO O SOFTWARE MATLAB APÊNDICE B - PROGRAMA PARA A PREVISÃO DE SÉRIE TEMPORAL ATRAVÉS DO MÉTODO DE ALISAMENTO EXPONENCIAL SIMPLES UTILIZANDO O SOFTWARE MATLAB APÊNDICE C - PROGRAMA PARA A PREVISÃO DE SÉRIE TEMPORAL ATRAVÉS DO MÉTODO DE ALISAMENTO EXPONENCIAL DE BROWN UTILIZANDO O SOFTWARE MATLAB APÊNDICE D - PROGRAMA PARA A PREVISÃO DE SÉRIE TEMPORAL ATRAVÉS DO MÉTODO DE ALISAMENTO EXPONENCIAL DE HOLT UTILIZANDO O SOFTWARE MATLAB APÊNDICE E - PROGRAMA PARA A OTIMIZAÇÃO DO COEFICIENTE THETA UTILIZANDO O SOFTWARE MATLAB APÊNDICE F - PROGRAMA GERADOR DE AMOSTRAS POR REAMOSTRAGEM COM REPOSIÇÃO

14 13 1 INTRODUÇÃO O mundo vem passando por grandes mudanças sociais nas úlimas décadas, mudanças que se ornam cada vez mais rápidas e imprevisíveis. Devido a essas mudanças, principalmene no que diz respeio a esraégias governamenais, finanças, markeing, produção agrícola, empresas de serviços, enre ouras, pode-se avaliar a imporância que os modelos de previsão em na omada de decisões. Essas previsões, al qual são feias pelas empresas para esimar a demanda de seus produos e, conseqüenemene, planejar a programação da produção, de compras e de ouras aividades inclusive idenificar quando e onde concenrar os esforços de markeing (LIEBEL, 2004). As écnicas de previsão podem ser divididas em duas caegorias (ELSAYED e BOUCHER, 1994): as écnicas quaniaivas e as écnicas qualiaivas. Nese rabalho é abordada uma écnica de previsão de séries emporais na qual as previsões são feias a parir de sequências de valores passados, ou seja, das observações da série Z usando os valores [Z -1, Z -2, Z -3..., Z 1 ]. Os objeivos das écnicas de previsão de séries emporais são: Fazer previsão de valores fuuros da série; Descrever apenas o comporameno da série (verificação de endência e sazonalidade); Idenificar o mecanismo gerador da série (o processo esocásico que gerou a série). É bem conhecido que em séries emporais pode-se rabalhar com várias meodologias, e o desenvolvimeno dos méodos aravés dos empos pode ser esquemaizado como: Méodos da era pré-box e Jenkins (décadas de 30 e 40), onde se esudava e aplicava o méodo composo pelas componenes da endência T, sazonalidade S e aleaoriedade A, ou seja, a série Z é uma função dessas rês componenes, ou melhor, Z = f(t, S, A ). Na década de 60 surgiram os Méodos Auomáicos ou caixa-prea, que são as écnicas de amorecimeno exponencial.

15 14 No início da década de 1970 surgiu o Méodo Box & Jenkins, quando G.E.P. Box & G. Jenkins publicaram os seus rabalhos que deram origem aos Modelos Box e Jenkins (1970). Na década de 1980 a inferência Bayesiana passou a ser aplicada em séries emporais e, mais recenemene surgiram ouras écnicas. Uma que em alcançado basane sucesso é o méodo das Redes Neurais (compuacionalmene inensivo) que passou a ser usado ambém em previsão. 1.1 PROBLEMA Os modelos de previsão êm grande imporância nos meios acadêmicos e sociais devido a sua vasa aplicabilidade nas diversas áreas do conhecimeno cienífico, indusrial, comercial e de serviços. Uma ilusração ineressane é a consrução de usina hidroelérica onde o conhecimeno da série emporal da vazão do rio que abasecerá a represa é fundamenal ao desenvolvimeno do projeo. Aualmene, as indúsrias necessiam planejar em dealhes a sua produção e o esoque manido a disposição das operações. Dese modo à aplicação de séries emporais é fundamenal. O Méodo Thea, abordado nese rabalho, possibilia decompor séries emporais em um conjuno de novas séries anes da aplicação de um modelo de previsão. No enano, as previsões feias pelo méodo Thea são ponuais e ainda não foi desenvolvido uma esimaiva por inervalo para essas previsões. Esse é o problema fundamenal desse méodo. 1.2 OBJETIVOS O principal objeivo dese rabalho é aplicar a écnica de reamosragem, por compuação inensiva, conhecida como Boosrap para ober um inervalo de confiança para as previsões ponuais fornecidas pelo méodo Thea de previsão. E, como objeivo específico será desenvolvido um programa compuacional experimenal em ambiene Malab versão 7.1 para ajusar o modelo de previsão e verificar a eficiência do mesmo.

16 JUSTIFICATIVA Ese rabalho se jusifica pelo fao de que a aplicação de écnicas de previsão de séries emporais, comprovadamene eficienes e aliadas à informáica vem a favorecer inúmeros seores da sociedade, pois é necessário er informações sobre números fuuros em odos os seores dos empreendimenos que merecem mais aenção, ano em faores de invesimeno como em realocação de pessoal e maerial. A aplicação do Méodo Thea de previsão garane uma grande aplicabilidade em empresas de pequeno pore, pois as mesmas não possuem bases esaísicas para avaliar seus dados, ou seja, a uilização de méodos com eficácia comprovada permie que pequenas empresas uilizem modelos de previsão sem grandes cusos e complicações, pois são fáceis de serem aplicados. 1.4 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO Esa disseração é composa por essa inrodução, de uma revisão de lieraura no capíulo 2, onde se aborda o méodo de previsão Thea, objeo de esudo desa disseração, e o méodo de compuação inensiva conhecido por Boosrap. Já no capíulo 3 são descrios o maerial e o méodo aplicado no rabalho. No capíulo 4 êm-se os resulados e a sua discussão. Finalmene, em-se no capíulo 5 a conclusão.

17 16 2 REVISÃO DE LITERATURA 2.1 TÉCNICAS DE PREVISÃO Uma previsão nada mais é que uma esimaiva quaniaiva sobre evenos fuuros baseados em informações de períodos passados e recenes. As écnicas de previsão podem ser divididas em duas caegorias (ELSAYED & BOUCHER, 1994): écnicas qualiaivas e quaniaivas. Técnicas qualiaivas são usadas quando há pouca informação e, assim, é necessário consular especialisas no assuno, e suas opiniões endem a ser a palavra final da previsão. Técnicas quaniaivas são usadas quando exise um hisórico de dados (venda, receia, cuso, produção, demanda para dimensionameno de esoque, enre ouros), e é possível aplicar diferenes méodos esaísicos com o objeivo de exrapolar esses dados e ober prováveis valores fuuros. As duas principais écnicas são as séries emporais e os modelos esruurais. Ese úlimo surgiu como uma alernaiva aos modelos de Box & Jenkins (VICENTE, 1992). Em ais modelos, Y é decomposo em ermos da endência ( µ ), do ciclo ( Ψ ), da sazonalidade ( γ ) e de um componene irregular ( ε ), ou seja, Y = µ +Ψ +γ + ε (1) A equação (1) é conhecida como equação das medidas ou equação das observações. (BRESSAN, 2002) A análise de séries emporais compreende modelos com os quais se realizam previsões a parir de sequências de dados hisóricos, ou seja, são previsões feias em função de realizações passadas. Nos modelos esruurais a análise é feia a parir das observações de variáveis emparelhadas (STEVENSON, 1981). Nese esudo aborda-se as séries emporais.

18 SÉRIES TEMPORAIS O conceio de séries emporais esá relacionado a um conjuno de observações de uma deerminada variável feia em períodos sucessivos de empo e ao longo de um deerminado inervalo. É possível ciar como exemplos as coações diárias da axa do dólar, as vendas mensais de um produo, a axa de desemprego de um país, enre ouros. No ajuse de modelos de séries emporais o pono de parida é fazer a represenação gráfica da série, pois aravés do gráfico se pode fazer uma melhor análise e idenificar as caracerísicas que podem ser relevanes para o esudo da série em quesão. Um exemplo bem conhecido de séries emporais são os índices diários da bolsa de valores de São Paulo (Índice Bovespa): GRÁFICO 1 - COTAÇÕES DIÁRIAS IBOVESPA (JULHO 2007/JULHO 2009) (X 1000) Fecha m eno Dias FONTE: hp:// Exisem vários méodos para a previsão de séries emporais, a escolha de méodos mais sofisicados não necessariamene apresena melhores resulados. Méodos mais simples podem render resulados muio saisfaórios dependendo de ceras condições, além de permiir uma melhor compreensão dos resulados. Sendo assim, deve-se primeiro avaliar o ipo da série para enão verificar a necessidade de aplicação de méodos mais complexos.

19 Definição Uma série emporal, segundo CHAVES NETO (2004), é um conjuno de realizações geradas sequencialmene no empo e que apresenam uma dependência serial (iso é, dependência enre insanes de empo). A noação usada para denoar uma série emporal é Z 1, Z 2, Z 3,..., Z T, que indica uma série de amanho T. O insane T indica o úlimo insane disponível. A caracerísica mais imporane dese ipo de dados é que as observações vizinhas são dependenes e esamos ineressados em analisar e modelar esa dependência. Enquano em modelos de regressão, por exemplo, a ordem das observações é irrelevane para a análise, em séries emporais a ordem dos dados é crucial (EHLERS 2007). A maior pare dos procedimenos esaísicos foi desenvolvida para analisar observações independenes, enão o esudo de séries emporais requer o uso de écnicas específicas que consideram a correlação enre as realizações nos insanes de empo. Dados de séries emporais surgem em vários campos do conhecimeno e exisem algumas caracerísicas pariculares a esse ipo de dados: Observações correlacionadas são mais difíceis de analisar e requerem écnicas específicas. Precisa-se levar em cona a ordem emporal das observações. Faores complicadores como presença de endências e variação sazonal ou cíclica, podem ser difíceis de esimar ou remover. A seleção de modelos pode ser basane complicada, e as ferramenas podem ser de difícil inerpreação. É mais difícil de lidar com observações perdidas e dados divergenes, devido à naureza seqüencial. Quano aos dados exisem dois ipos de séries, são elas: as discreas e as conínuas. Uma série emporal é dia ser conínua quando as observações são feias coninuamene no empo. Um exemplo clássico de uma série conínua é a vazão de um rio ou, enão, a alura das marés. Essas séries conínuas podem ser discreizadas omando-se valores a insanes de empo fixados. Definindo o conjuno

20 19 de índices de períodos como T = : < < } a série emporal pode ser denoada por { 1 2 { X( ) : T}. Uma série emporal é dia ser discrea quando as observações são feias em empos específicos, geralmene equiespaçados. Definindo o conjuno T= 1,..., } a série { n emporal será denoada por { X : T}. Uma série emporal ambém pode ser mulivariada. Se k variáveis são observadas a cada insane de empo (valores discreizados) denoa-se por { X1,..., Xk, T}. Nese caso várias séries correlacionadas devem ser analisadas conjunamene, ou seja, em cada insane de empo em-se um veor de observações. Segundo CHAVES NETO (2004), considerava-se a série emporal {Z, = 1,2,3,...,n} como composa por 4 componenes disinas: T (Tendência), S (Sazonalidade), C (Ciclo), a (ruído aleaório). As formas de decomposição dessas componenes são: Modelo adiivo: Z = T + S + C + a Modelo muiplicaivo: Z = T.S.C. a Modelo miso: Z = T.S.C + a H. O. Wold em 1938 mosrou que qualquer série emporal Z discrea poderia ser represenada por modelos AR (auo-regressivos) e MA (médias móveis), (WOLD, 1938). Porém, só foi possível a implemenação deses méodos na década de 60 com o adveno dos compuadores de 2 ª geração (ransisor). Nas décadas de 50 e 60 foram desenvolvidos os méodos auomáicos (Brown e Winers, enre ouros), os quais podem ser programados em compuador e que não requerem a inervenção de analisas. Os méodos de alisameno exponencial consiuem a formulação mais popular desa caegoria.

21 Objeivos Segundo MORETTIN & TOLOI (1981) os objeivos de se analisar uma série emporal são os seguines: 1) Descrição: propriedades da série como, por exemplo, o padrão de endência, a exisência de alerações esruurais, ec. 2) Explicação: consruir modelos que permiam explicar o comporameno da série no período observado. 3) Conrole de Processos: por exemplo, conrole esaísico de qualidade. 4) Previsão: prever valores fuuros com base em valores passados. Para alcançar esses objeivos, necessia-se idenificar o padrão gerador dos dados da seqüência observada. Em seguida, exrapola-se o padrão idenificado e se obêm previsões de evenos fuuros (STATSOFT, 1999) Padrões nas Séries Temporais KRAJEWSKI & RITZMAN (1998) apresenam cinco padrões básicos, observados em séries emporais: (i) Linearidade: é a série emporal no qual ocorre fluuação dos dados em orno de uma média consane; (ii) Tendência: ocorre quando a série emporal apresena um acréscimo ou decrescimeno em sua média ao longo do empo; (iii) Sazonal: é um padrão de acréscimos e decréscimos que se repee em períodos deerminados de empo da série emporal, que podem ser em dias, semanas, meses ou anos; (iv) Cíclicos: são padrões de acréscimos ou decréscimos graduais no valor da média de observações da série emporal em períodos mais longos de empo; (v) Randômico: ocorre quando não se pode prever o comporameno da série.

22 21 Os quaro primeiros padrões apresenados acima, podem ser enconrados em diversas combinações que acabam resulando num padrão idenificável e previsível em séries emporais. Já o padrão randômico ocorre ao acaso e não pode ser previso. Quando o padrão randômico ocorrer em uma série com padrões definidos e previsíveis, as observações podem ser consideradas especiais, necessiando uma análise mais aprofundada para enender a sua ocorrência. Adiane apresena-se vários padrões de realizações de séries emporais. GRÁFICO 2 - PADRÃO HORIZONTAL DE SÉRIES TEMPORAIS HORIZONTAL observação Série Tempo FONTE: O Auor (2010) GRÁFICO 3 - PADRÃO DE TENDÊNCIA DE SÉRIES TEMPORAIS TENDÊNCIA observação Tempo Série1 FONTE: O Auor (2010)

23 22 GRÁFICO 4 - PADRÃO CÍCLICO DE SÉRIES TEMPORAIS CÍCLICO observação Série Tempo FONTE: O Auor (2010) GRÁFICO 5 - PADRÃO SAZONAL DE SÉRIES TEMPORAIS SAZONAL observação Tempo 1º ano 2º ano FONTE: O Auor (2010) 2.3 MODELOS DE PREVISÃO QUANTITATIVOS Tendência Linear Tendência Linear é uma das écnica mais difundidas e uilizadas na aualidade (PELEGRINI, 2000). Segundo MAKRIDAKIS (e al,1998) a equação genérica de regressão linear simples, adapada ao conexo de previsão, é dada por: Y = α +βx i i + ε i

24 23 onde, Y i represena a i ésima observação de Y, X i represena a i ésima observação de X, α e β são consanes de suavização (desconhecidas) e ε i é uma variável randômica que segue a disribuição normal com média zero e variância 2 σ ε. A relação dese ipo de regressão é represenada por uma rea, logo as previsões são ponos dessa rea. Para que sejam feias exrapolações é necessário que a correlação enre X e Y seja suficienemene fore, garanindo um valor do coeficiene de correlação R 2 próximo de 1 (LIEBEL, 2004). O coeficiene de correlação mede o ajuse do modelo proposo aos dados amosrais, ou seja, quano o modelo explica da variação dos dados presene na pare esocásica do modelo. Valores próximos a zero indicam que o modelo não é adequado à série. Em regressão linear simples o objeivo é esimar os parâmeros α e β, ou seja, deerminar as esimaivas dos parâmeros, α e β, que minimizam o erro. O erro ε i é a diferença enre o valor da variável dependene esimaiva Y i observada e sua Ŷ i fornecida pelo modelo. O méodo dos mínimos quadrados é o mais uilizado para esimar os parâmeros dessa regressão (STEVENSON, 1981). Supondo o modelo de regressão escrio na forma maricial: Y = Xβ + ε, deve-se esimar o veor de parâmeros β para se modelar os dados. O melhor esimador do veor de parâmeros β é chamado de BLUE (melhor esimador linear não viciado) e em por expressão: ˆ 1 ' β = ( X' X) X Y. (2) O caso geral descrio na expressão (2) é conhecido como regressão linear múlipla, que é simplesmene a exensão do modelo de regressão linear simples para um número maior de variáveis.

25 Modelos de Médias Móveis Simples (MMS) Considerando a série emporal Z 1,...,Z, localmene consane (sem endência e sazonalidade), pode-se expressá-la em função de seu nível mais um ruído aleaório (ruído branco), ou seja: Z = µ + a, = 1,..., N, onde E( a ) = 0, V( ) = σ e µ é um parâmero desconhecido, que pode variar a 2 a lenamene com o empo e represena o nível da série. Usando-se o procedimeno de média móvel o que se faz é calcular a média ariméica das k observações mais recenes, ou seja: Z + Z Z k+ 1 M = + Z k ou M Z Z k = M 1+. (3) k Assim, a equação (3) é uma esimaiva do nível µ que não pondera observações mais anigas e sim prioriza as mais recenes. Devido a esse faor aribui-se o nome de média móvel, pois a cada período, a observação mais aniga é subsiuída pela mais recene. é: A previsão de odos os valores fuuros é dada pela úlima média móvel, iso Z Z k Ẑ(h) = Ẑ 1(h+ 1) +, (4) k

26 25 para odo horizone h > 0. Na verdade a expressão (4) consise num algorimo de aualização da previsão, devido que a cada insane, ou melhor, a cada nova observação é feia uma correção da esimaiva anerior de Z +h. A média e a variância da previsão são dados por: 2 σ a E[ Ẑ (h)] = µ e V[ Ẑ (h)] = 2. k E, assumindo Gaussianidade para os resíduos, a ~N(0, σ ), em-se que 2 a Ẑ (h) ~ 2 σ a N(µ, 2 ) (CHAVES NETO, 2004). Um dos problemas dese méodo é a escolha de k k, quano maior o valor de k mais suave é a previsão. Se k é pequeno a previsão oscila muio. Uma caracerísica imporane do méodo de médias móveis é: odas as observações êm o mesmo peso k 1, na práica é razoável supor que as observações mais recenes sejam mais relevanes para os próximos valores da série, e porano devem receber um peso maior que as observações mais anigas. O melhor amanho de k é aquele que minimiza o erro quadráico médio de previsão, ou seja, o EQM. Segundo MORETTIN & TOLOI (2006) denre as principais vanagens dese méodo podemos ciar a simplicidade e facilidade de aplicação. Esse méodo é recomendado quando se em um número pequeno de observações, ou seja, uma série cura. E possui uma boa caracerísica, que é a grande flexibilidade devido à possibilidade de escolha de k de acordo com o padrão da série. MORETTIN & TOLOI (2006) ambém ressalam algumas desvanagens que ese méodo apresena. Ele é uilizado somene para prever séries esacionárias, caso conrário a precisão obida será muio pequena, pois os pesos aribuídos às k observações são odos iguais e nenhum peso é dado às observações aneriores. Oura dificuldade é a necessidade de armazenar pelo menos ( k 1) observações. Aualmene ese méodo não é muio uilizado, pois o méodo de Alisameno Exponencial Simples possui odas as vanagens e ainda mais benefícios, que são descrios a seguir.

27 Alisameno Exponencial A eoria fundamenal do alisameno exponencial foi consruída por BROWN e MEYER (1961) e nela esabeleceu-se que, em qualquer série emporal {Z, = 0, 1,..., n}, deve exisir no empo um único polinômio represenando a série emporal: Z + m = a + c 2 2 b m+ m g m k, (5) ' K onde Z + m é a previsão para o horizone m esando no insane e a, b, c,..., g são os coeficienes da combinação linear da equação. Os coeficienes da equação (5) podem ser esimados como combinações lineares dos valores resulanes dos primeiros k+1 graus (simples, duplo, riplo, ec.) de alisameno aplicado para os valores Z. Os méodos de alisameno são os mais uilizados pelas empresas devido a simplicidade na implemenação e geração de bons resulados. Os modelos de Alisameno Exponencial podem ser de vários ipos: modelos de alisameno exponencial simples, modelos de alisameno exponencial Linear de Brown (AELB), modelos de Hol-Winers com e sem sazonalidade, denre ouros Alisameno Exponencial Simples (AES) A idéia geral do alisameno (amorecimeno) exponencial é parecida com a do méodo de médias móveis, mas os pesos das observações decrescem à medida que as observações esão mais longe do passado. Os pesos aribuídos aos elemenos da série emporal decaem exponencialmene (razão do nome suavização exponencial), do mais recene para o mais anigo (PELLEGRINI & FOGLIATTO, 2002). A maior dificuldade na aplicação é escolher a(s) consane(s) de alisameno, mas alguns Sofwares já ajusam esses modelos auomaicamene com consanes de amorecimeno oimizadas (BARROS, 2006). O méodo de alisameno exponencial simples (AES) se uiliza de médias móveis ponderadas exponencialmene (MAKRIDAKIS, e al., 1998). O argumeno

28 27 para o raameno diferenciado das observações da série emporal é fundamenado na suposição de que as úlimas observações conêm mais informações sobre o fuuro e, porano, são mais relevanes para a previsão. MORETTIN & TOLOI (2006) especificam o méodo AES aravés da seguine equação: Ẑ = Z α + ( 1 α) Z 1 ˆ, = 1,...,N (6) onde, Ẑ é o valor exponencialmene alisado (suavizado) e α é a consane de alisameno, 0 < α< 1. Pode-se demonsrar que a equação (6) se reduz a ˆ 1 = α e + Zˆ, onde e = Z - Z + Ẑ é o erro de previsão a um passo. Assim, a nova previsão pode ser obida da anerior adicionando-se um múliplo do erro de previsão. A soma dos pesos aribuídos às observações converge para 1 quando : 2 2 α[ 1 + ( 1 α) + ( 1 α) +...] = α+α( 1 α) + α( 1 α) +..., ocorrendo a soma de uma progressão geomérica com q = ( 1 α) de onde se obém, S = α 1 ( 1 α) = 1, 0 < α< 1 A consane de ponderação α esá limiada ao inervalo abero 0 e 1. Quano maior o seu valor maior será o peso dado às observações mais recenes (CORRÊA; GIANESI; CAON, 2000). Valores de α pequenos produzem previsões que dependem mais das observações passadas, pois o peso das mesmas será enão maior. Enquano valores de α próximos de 1 dependem das observações mais recenes, que são as observações que recebem o maior peso. De maneira semelhane à uilizada no méodo da Regressão Linear Simples, busca-se um valor de α que minimize o EQM.

29 28 Segundo CHAVES NETO (2004), para se prever valor fuuro da série usando o (AES), onde usa-se o úlimo valor amorecido exponencialmene, ou seja, µˆ (h) = µˆ h, ou µˆ (h) = αz T + (1 - α)µˆ -1 (h+1). A esperança do esimador é E[µˆ (h)] = µ e a variância é V[µˆ (h)] = assumindo Gaussianidade em-se o inervalo de confiança, 2 α α σ 2 a e P[µˆ (h) - z α 2 c σa 2 α < µ < µˆ (h) + z α 2 c σa 2 α = 1- α. O méodo agrega duas qualidades essenciais em um conexo de previsão de demanda em empresas: é simples e requer poucos dados. Adminisraivamene isso implica em pouco gaso com reinameno de pessoal para sua uilização e com colea de dados (LIEBEL, 2004) Alisameno Exponencial Linear de Brown (AELB) Quando uma série apresena endência o AES não é adequado, pois fornece previsões que subesimam ou superesimam consanemene os valores reais. Para eviar essas falhas uiliza-se o méodo de Alisameno Exponencial Linear de Brown. De acordo com BARROS (2006), o Alisameno Exponencial Linear de Brown é um méodo semelhane ao anerior, indicado a séries que apresenam endência. Nele, uma única consane de alisameno é empregada no processo de aualização de ambos os parâmeros m 1 e b 2.

30 29 Ese méodo consise em calcular um segundo valor exponencialmene alisado ( Z ) pela equação Z = αz + ( 1 α) Z 1, Z 1 = Z1 ~ onde Z : valor duplamene alisado; Z : alisameno exponencial simples; α : consane de alisameno enre 0 e 1; Considerando-se que a endência seja linear, o modelo poderá ser deerminado por: Z = m + b + a, =1,...,N, 1 2 onde m 1 é o inercepo e b 2 é a declividade. A equação de previsão é: onde: Z ˆ( h) = m ˆ 1 + b2 ( ), m 1, ˆ,, h ~ ~ ˆ = 2Z Z, ˆ = α ~ ~ Z Z. 1 α b 2, Em odos os méodos de alisameno é necessário escolher valores iniciais dos parâmeros de forma a inicializar as equações de aualização. Algumas escolhas possíveis são: Z 1 = Z 1

31 30 mˆ 1 ( 1) = Z 1 ( Z1) + ( Z4 Z b 2 (1) = 2 Z2 3). A previsão k passos à frene no insane é: ˆ = mˆ ( ) bˆ ( ).( k ) Z + k Segundo MORETTIN & TOLOI (1981), as vanagens do méodo são a grande flexibilidade de ajuse devido à consane de alisameno, facilidade de implemenação e enendimeno, sendo mais eficiene em ermos compuacionais do que as médias móveis. A desvanagem é que ele é direcionado para a endência linear e é menos flexível que o modelo de Hol que usa duas consanes de alisameno Alisameno Exponencial de Hol (AEH) Ese méodo é parecido com o anerior, mas agora exisem duas consanes de alisameno diferenes que alisam direamene os valores da endência. Os valores do nível e da endência da série, no insane, serão esimados por: Z = AZ + 1 A)( Z Tˆ ), 0 < A< 1 e = 2,...,N ( 1+ 1 ( ˆ, 0 < C< 1 e =2,...,N Tˆ = C Z Z 1) + ( 1 C) T 1 respecivamene. A e C são denominados consanes de alisameno. As fórmulas Z e Tˆ como em odos os méodos de alisameno, modificam esimaivas prévias quando uma nova observação é obida (MORETTIN; TOLOI, 2006).

32 31 A previsão para a observação Z +, no insane é dada por: h Zˆ ( h) = ~ Z + htˆ, 0 h > a previsão é feia adicionando-se ao valor ~ Z a endência muliplicada pelo número de passos à frene que se deseja prever (h). As equações uilizadas para aualização da previsão quando se em uma nova observação Z + 1 são: ~ ~ Z + 1 = AZ ( )( ˆ A Z + T ), (7) ˆ = ~ ~ C( Z 1 Z ) ( 1 C) Tˆ + +, (8) T + 1 a previsão para Z + será: h ˆ ( h 1) ~ Z + 1 = Z + 1 ( h 1) T+ 1 + ˆ. Para uilizar as equações (7) e (8) é necessário aribuir valores iniciais para ~ ~ Tˆ 2 e Z2. A forma mais simples de esimar os valores de Tˆ 2 e Z2 é dada por: ~ Z e Z2 = Z 2. Tˆ 2 = 2 Z1 Para deerminar as consanes de alisameno A e C deve-se uilizar um insrumeno de comparação enre os valores previsos e realizados, como a média dos quadrados dos erros (MQE). Os valores ideais são aqueles que minimizam o MQE.

33 METODOLOGIA DE BOX & JENKINS Os modelos de Box & Jenkins ambém conhecidos como modelos ARIMA, foram desenvolvidos nos anos 70, com base nos rabalhos de Yule que inroduziu os modelos auoregressivos (AR) em 1926 e os modelos de médias móveis (MA) inroduzido por Sluzky em A parir daí Box & Jenkins consruíram oda uma écnica de idenificação do modelo, esimação de parâmeros e verificação da validade do modelo. Eses modelos consisem em uma classe de modelos lineares que associam de forma conjuna pare auo-regressiva e pare médias móveis, ou seja, é faz-se uma inegração dos processos (TRENTIN, 2002). Conudo exisem algumas resrições na aplicação da écnica, ais como o número de amosras que deve ser maior que 50 observações e a necessidade de inervenção de um analisa no rao das informações; (CHAVES NETO, 1991) Processos Esacionários Um processo é dio esacionário quando em média e variância consanes, independenemene da escolha da origem dos empos (CHAVES NETO, 2004), ou seja, µ()=µ e V()=σ 2. A esacionariedade ou não-esacionariedade de uma série emporal pode ser verificada visualmene pela análise gráfica das observações da série. Quando as observações da série oscilam em orno da média, a série é dia esacionária. Traase de uma série denominada ruído aleaório composa de nível da série (c) e erro aleaório (a ). MAKRIDAKIS e al. (1998) apresenam o modelo maemáico que represena a série esacionária de ruído aleaório, Z = c+ a A aplicação dos modelos de Box & Jenkins necessia em um primeiro momeno ransformar séries não-esacionárias em esacionárias, se necessário. Para isso, deve-se remover os padrões não necessários na série omando-se um número finio de diferenças d (MORETTIN; TOLOI, 1981). A diferenciação é feia uilizandose um operador de reardo B, al que,

34 33 BZ =, Z 1 enão em-se: Z = Z Z 1 = ( 1 B) Z, porano: = 1 B. Se a ordem da diferenciação é d = 2, em-se: ω = ( Z Z 1) - ( Z 1 Z 2) = Z 2Z 1+ Z 2 = 2 Z Na maioria dos casos a esacionariedade da série é obida após uma ou duas diferenças (MORETTIN & TOLOI, 1981) Modelo de Filro Linear Ese modelo supõe que a série emporal seja gerada aravés de um filro linear ou sisema linear, cuja enrada é ruído branco a (MORETTIN & TOLOI, 2006). FIGURA 1 - ESTRUTURA DE FILTRO LINEAR ψ (B) a Filro Linear Z Ese modelo consise na soma das observações aleaórias a aneriores com aribuição de diferenes pesos a cada observação, como mosrado na equação:

35 34 Z = µ + a +ψ1a 1+ψ2a =µ+ ψ( B) a, em que 2 ψ (B) = 1 +ψ B+ψ +... (9) 1 2B A equação (9) denominada função de ransferência do filro é responsável pela ransformação de a em (MORETTIN & TOLOI, 2006). Z, e µ é um parâmero deerminando o nível da série De acordo com a análise de LIEBEL (2004) a sequência dos pesos ψ pode ser finia ou infinia. Independene disso, a soma desses pesos será deerminane para a análise da série. Se esa soma iver um resulado menor que o infinio, enão o filro é esável e o processo ao redor da qual o processo varia. Z é esacionário, se Z é esacionário, µ é a média Modelos Auo-regressivos (AR) Os modelos auo-regressivos são um caso especial de filro linear. A principal caracerísica do modelo auo-regressivo é que em lugar das variáveis independenes o processo se uilizará dos valores prévios da série para esimação do modelo; (LIEBEL, 2004). Considerando a série emporal Z, com observações Z, Z -1, Z -2,..., e seus ~ desvios da média Z ~ ~,, 1,..., dados por: 2 Z Z ~ = Z µ Z Enão o chamado processo auo-regressivo de ordem p, simbolicamene definido por AR(p) é esimado por: Z = δ+φ1z 1+φ2Z φpz p + a,

36 35 onde: Z é o valor observado na série no insane ; δ represena o ermo consane da série; φ i corresponde ao i-ésimo parâmero auo-regressivo, i = 1, 2,..., p; a é o erro (ruído) no insane ; Para a simplificação do modelo, uiliza-se um operador auo-regressivo de ordem p, dado por: φ (B) = 1 φ... φ 2 p 1B φ2b pb A esacionariedade é garanida se odas as raízes da equação φ ( B ) = 0, com base no polinômio apresenado pela equação acima forem maiores do que 1 em módulo. Para os processos auo-regressivos de primeira ordem, AR(1), a esacionariedade é obida se (MONTGOMERY, 1997): φ 1 < 1 Para os processos auo-regressivos de segunda ordem, AR(2), em esacionariedade assegurada quando (BOX, 1994): φ φ 1 +φ2 < 1 φ2 < φ 2 < 1 1 1

37 Modelos de Médias Móveis (MA) Considerando um processo linear Z = µ +ψ(b)a e suponha que ψ j = 0, j> q ; obemos um processo de médias móveis de ordem q, que denoaremos por MA(q); (MORETTIN & TOLOI, 2006). O modelo de médias móveis (MA) pode ser represenado por uma soma ponderada de ruídos, observados em cada período passado. A represenação dese modelo pode ser definida por (MAKRIDAKIS; WHEELWRIGHT; McGEE, 1983); Z = δ + a θ a θ a... θ a, q q onde: Z é o valor da série no insane ; δ represena o ermo consane da série; θ i corresponde ao i-ésimo parâmero auo-regressivo, i = 1, 2,..., q; a é o ruído no insane ; Similarmene ao processo auo-regressivo, uiliza-se um operador de média móvel de ordem q para simplificar a represenação do modelo, que é dado por: θ (B) = 1 θ... θ. (10) 2 q 1B θ2b qb Para a expressão (10) não há resrições sobre os parâmeros θ j para que o processo seja esacionário. Usando argumeno similar ao AR(p), pode se verificar que a condição de inveribilidade para um modelo MA(q) é assegurada quando θ 1 e θ 2 cumprem os mesmos requisios de esacionariedade de φ 1 e φ 2 nos processos auo-regressivos (BOX, 1994).

38 37 Analiicamene, em-se a inversibilidade para um processo MA(1) quando: θ 1 < 1 Para um processo MA(2) emos as seguines condições: θ θ 1 +θ2 < 1 θ2 < θ 2 < Modelos Auo-Regressivos e de Médias Móveis (ARMA) A inclusão de ambos os ermos auo-regressivos e médias móveis conduz a um modelo mais flexível do que se poderia alcançar com as formas AR puro e MA puro (CHAVES NETO, 2004). Porano, um modelo que incorpora esses dois ermos é o ARMA(p,q), que consegue adequar-se mais facilmene às séries emporais. O modelo é dado por: Z = δ+φ1z φpz p θ1a 1... θqa q + a, ou de forma simplificada: φ (B)Z = δ +θ(b)a. (11) Analisando a equação (11) é possível verificar que os modelos ARMA relacionam os valores das observações passadas e presene e, ambém com os erros passados apurados. A esacionariedade e inveribilidade para o processo auo-regressivo e médias móveis de primeira ordem ARMA(1,1), é assegurada respecivamene, quando φ 1 < 1 e θ 1 < 1 (MONTGOMERY, 1997). São as mesmas condições aplicadas individualmene aos modelos AR e MA.

39 Modelos Auo-Regressivos Inegrados de Médias Móveis (ARIMA) Os modelos ARIMA(p,d,q) englobam odos os modelos visos aneriormene bem como os processos não esacionários. A meodologia de Box & Jenkins consise na busca de um modelo ARIMA(p,d,q) que represene o processo esocásico gerador da série emporal, a parir de um modelo ARMA. Genericamene, um processo ARIMA(p,d,q) pode ser represenado pela equação: ω = φ ω φ ω + θ... θ, 1 1 p p a 1a 1 qa q onde ω é o valor da série no insane, após a diferença ou não; φ i e θ j são os parâmeros dos processos auo-regressivos e médias móveis ARMA(p,q), com i = 1, 2,..., p e j = 1, 2,...,q; modelo; em esacionária. a, corresponde ao ruído branco que não podem ser explicados pelos d, equivale ao número de diferenças necessárias para ransformar a série Segundo BOX e JENKINS (1976), a esraégia para a consrução de um modelo ARIMA envolve uma abordagem ieraiva que pode ser descria nos seguines passos: 1. Idenificação o objeivo é deerminar os valores de p, d e q do modelo ARIMA(p,d,q), esse é uma fase crucial do méodo. 2. Esimação nesa fase os parâmeros são esimados uilizando o algorimo de programação não-linear (Marquard). 3. Verificação pela análise de resíduos, verifica-se se o modelo é bom ou não, caso seja, pode-se passar para a úlima fase. 4. Previsão depois de idenificado o modelo, esimado e verificado, pode-se realizar previsões para períodos fuuros.

40 39 Aravés do fluxograma da figura 2 pode-se er uma visão mais clara das fases dessa meodologia. FIGURA 2 - FLUXOGRAMA DOS ESTÁGIOS DA METODOLOGIA BOX & JENKINS Pressuposição de uma classe de modelos ARIMA(p,d,q) Idenificação da esruura do modelo Esimação dos parâmeros do modelo (Algorimo de Marquard) Verificação da adequação do modelo (Análise de Resíduos) Modelo Adequado NÃO Modelo Adequado SIM PREVISÃO FONTE: BOX & JENKINS (1976)

41 Idenificação dos Modelos A idenificação do modelo é a eapa principal dessa meodologia. Segundo CHAVES NETO (1991) raa-se de uma fase crucial do méodo e aí um erro pode conduzir a resulados desasrosos. A esruura é idenificada por um analisa de séries emporais na qual é comparado o correlograma amosral da função de auocorrelação (FAC) e o correlograma da função de auocorrelação parcial (FACP) com os correlogramas eóricos das diversas esruuras ARMA(p,q). Não há consenso a respeio de qual esraégia seguir na idenificação dos modelos (GRANGER & NEWBOLD, 1986). MILLS (1990) define o comporameno esperado dos gráficos da função de auocorrelação e auocorrelação parcial para os modelos ARIMA. QUADRO 1 - PROPRIEDADES DA FAC E FACP PARA MODELOS ARIMA MODELO FAC FACP (1,d,0) Decaimeno exponencial ou oscilaório (2,d,0) Decaimeno exponencial ou senoidal (p,d,0) Decaimeno exponencial ou senoidal (0,d,1) r k = 0 para k > 1 (0,d,2) r k = 0 para k > 2 (0,d,q) r k = 0 para (1,d,1) (p,d,q) k > q Decaimeno exponencial a parir da defasagem 1 Decaimeno exponencial a parir da defasagem q p b k = 0 para k > 1 b k = 0 para k > 2 b k = 0 para k > p Prevalece decaimeno exponencial Prevalece decaimeno exponencial ou senoidal Prevalece combinação linear de decaimeno exponencial e/ou senoidal Prevalece decaimeno exponencial a parir da defasagem 1 Prevalece decaimeno exponencial e/ou senoidal a parir da defasagem q p FONTE: MILLS (1990)

42 41 A análise gráfica da FAC e FACP é uma esraégia muio uilizada pelos analisas de séries emporais para idenificação dos modelos, pacoes compuacionais, al como o Sagraphics gera esses gráficos auomaicamene. 2.5 MÉTODO THETA Inrodução Os méodos de previsão de séries emporais, classificados como méodos quaniaivos, baseiam suas previsões na exrapolação de caracerísicas de observações passadas, fornecendo previsões muio boas se o fuuro apresenar comporameno similar ao passado (WHEELWRIGHT, 1985). De acordo com WHEELWRIGTH (1985), a maioria dos méodos de previsão de séries emporais se baseia na suposição de que observações passadas coném odas as informações sobre o padrão de comporameno da série emporal e esse padrão é recorrene no empo. O propósio dos méodos de previsão consise em disinguir o padrão de qualquer ruído que possa esar conido nas observações e enão usar esse padrão para prever os valores fuuros da série emporal. SOUZA(1989) classifica os méodos de previsões de séries emporais em: Univariados, Funções de ransferência e Mulivariados. Os méodos mulivariados abrangem os procedimenos de previsão que associam mais de uma série emporal na efeivação de prognósicos sem, no enano, qualquer imposição em relação à causalidade enre essas séries. As meodologias nas quais a série de ineresse é explicada não só pelo seu passado hisórico, como ambém por ouras séries emporais não-correlaas enre si, são conhecidas como funções de ransferência. Esa classe de méodos de previsão envolve, porano, mais de uma série emporal, com a ressalva de que a relação de causalidade enre esas séries é perfeiamene conhecida. Os méodos univariados, que compreendem a maior pare dos méodos de previsão de séries emporais, consideram somene uma única série para a realização das predições. As previsões decorrenes da aplicação de méodos univariados podem esar relacionadas apenas com as informações conidas na série hisórica de ineresse (méodos baseados na esaísica clássica) ou ambém, além de

43 42 incorporarem essas informações, consideram ouras suposamene relevanes e que não esão conidas na série analisada (méodos baseados na esaísica bayesiana). ASSIMAKOPOULOS & NIKOLOPOULOS (2000) propuseram um novo modelo de previsão univariado chamado de Modelo Thea. Ese foi um dos méodos esados na Compeição M3 de Makridakis (2000), e apresenou um dos melhores desempenhos. Embora o porquê desa escolha paricular de modelo er sido boa, ainda não foi informado (GOOIJER; HYNDMAN, 2006) Considerações sobre o Méodo Thea O méodo Thea ou modelo Thea, desperou ineresse no meio acadêmico, devido ao seu surpreendene desempenho posiivo nas previsões em M3-compeiion (ASSIMAKOPOULOS & NIKOLOPOULOS, 2000). No enano, ese ineresse não foi seguido por um grande número de pesquisadores, com exceção de Hyndman e Billah em O modelo hea pode ser enendido segundo a análise de HYNDMAN e BILLAH (2003) como sendo equivalene ao Alisameno Exponencial Simples com desvio. Já NIKOPOULOS e ASSIMAKOPOULOS (2005) discordam desa abordagem, eles afirmam que o modelo hea é mais genérico que o Alisameno Exponencial Simples porque é uma aproximação da decomposição dos dados que se pode confiar para exrapolação sobre qualquer modelo de previsão O Méodo Thea O méodo Thea esá baseado na modificação da curvaura local de uma série emporal ajusada sazonalmene aravés do coeficiene hea ( Θ). O coeficiene hea é aplicado direamene na segunda diferença da série emporal (ASSIMAKOPOULOS; NIKOLOPOULOS, 2008). Essa aplicação resula em uma série chamada Thea Line L ( Θ), manendo a média e a declividade dos dados originais, mas não suas curvauras. As observações Xi da série podem ser escrias como:

44 43 X i i = + + X1 ( i 1).( X2 X1) = 1 2 ( i ). X " + 1 " onde: X = X 2X 1 X 2 + no empo se: Θ = 0 a série é ransformada em regressão linear; 0 < Θ< 1 a série é deflacionada; Θ > 1 a série é dilaada; Os ponos Yi de uma linha hea são definidos por: Y i i = + +Θ Y1 ( i 1).( Y2 Y1 ). = 1 2 ( i ). X " + 1 seja: Desa forma, o problema recai numa minimização de erros quadráicos, ou min( i 2 2 ei ) = min( ( Yi Xi) ) i A formulação geral do méodo hea é: - Decomposição da série emporal inicial em duas ou mais linhas hea; - Cada uma das linhas hea é exrapolada separadamene e as previsões são simplesmene combinadas com pesos iguais. A formulação mais simples do modelo e ambém a esada na M3- Compeiion é a decomposição da série emporal em duas linhas hea, nese caso as observações da série são decomposas da seguine forma: X = ( L( Θ = 0) + L( Θ= 2) ) 1 2