EXAME DE ESTATÍSTICA AMBIENTAL 2ª Época (V1)

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1 Nome: Aluno nº: Duração: horas LICENCIATURA EM CIÊNCIAS DE ENGENHARIA - ENGENHARIA DO AMBIENTE EXAME DE ESTATÍSTICA AMBIENTAL ª Época (V) I (7 valores) Na abela seguine apresena-se os valores das coordenadas das variáveis nos primeiros eixos facoriais resulanes de uma Análise em Componenes Principais normada de um quadro de dados consiuído por 730 indivíduos caracerizados por 5 variáveis quaniaivas. Apresena-se ambém os valores próprios associados aos mesmos eixos. E E E3 E4 E5 V V V3 A B V C V Valor Próprio D E a) A coordenada da variável V4 no 5º eixo é: b) O coeficiene de correlação enre as variáveis V5 e V é:

2 c) O quadrado do coeficiene de correlação enre a variável V3 e a ª componene principal é: d) O quadrado do co-seno do ângulo formado pela variável V3, a origem e o 5º eixo facorial é: e) A percenagem de inércia explicada pela ª componene principal é: 3.09% 4.54% 0. 67%.83% f) Uma das frases seguines é falsa. Qual? A variável V5 esá bem represenada no º plano facorial A mariz de correlação é a mariz de inércia de Análise em Componenes Principais normada A covariância enre as duas primeiras componenes principais é A média da ª componene principal é -0.

3 g) Em dado passo de uma Classificação Ascendene Hierárquica, uilizando a disância euclidiana, chegou-se a siuação apresenada na abela seguine, em que os indivíduos e se agruparam dando origem ao grupo A. Indivíduo Grupo Variável Variável A 0 A A disância enre o novo grupo A e o indivíduo 4, usando o algorimo de Ward, é:

4 II (6 valores) - O cronograma da Figura represena graficamene 00 observações de série emporal original, X, correspondene à evolução, no empo, de variável conínua arbirária. Figura Cronograma da série original X com exensão N = 00. Alínea a) Pode-se afirmar que a série emporal, X, é esacionária, iso é, que pode ser visa como uma realização de processo esocásico esacionário aé à ª ordem? Jusificar, sucinamene, a resposa. Na Figura apresena-se o cronograma da série emporal diferenciada, Z, iso é, a série obida por aplicação do operador, = ( B), de diferenciação simples, à série original X. O símbolo B represena o operador araso. Figura Cronograma da série diferenciada Z ( Z X ( ) = = B X, =,,... ) 4

5 Os correlogramas (oal) (FAC esimada) e parcial (FACP esimada) da série diferenciada, que aparena ser esacionária aé à ª ordem, são apresenados na Figura 3. Figura 3- Correlogramas (oal)(fac esimada) e parcial (FACP esimada) da sériez Alínea b) Com base nos correlogramas oal (FAC esimada) e parcial (FACP esimada), concluiu-se, para um nível de significância α = 0.05, pela rejeição da hipóese nula, H 0, de a série diferenciada Z ser uma realização possível de uma sequência de variáveis aleaórias independenes e idenicamene disribuídas (i.i.d.). Fundamenar, sucinamene, a conclusão do ese/ensaio de hipóeses. Alínea c) Da análise do comporameno dos correlogramas oal (FAC esimada) e parcial (FACP esimada), jusificar porque não é fácil especificar valores opimais ou quase opimais, observando o princípio da parcimónia, para as ordens p e q dos polinómios auoregressivo e de média móvel, respecivamene, de modelo linear ARMA(p, q): com ( B) Z ( B) W, { W } ~ iid... N ( 0, w ) φ = θ σ, p ( ) p o polinómio auoregressivo, q ( ) L q o polinómio média móvel, e { W } sequência ruído branco de média 0 e variância finia consane φ B = φb φb L φ B θ B = + θb + θ B + + θ B σ w. FAC Função de AuoCorrelação FACP Função de AuoCorrelação Parcial 5

6 Alínea d) Com visa a seleccionar o melhor modelo ARMA(p, q), aravés da especificação dos valores das ordens p e q que opimizam criério baseado na eoria da informação, apresena-se no Quadro I resumo da variação do criério AICc (Akaike's Informaion Crierion, Bias correced) com as ordens p e q dos modelos ARMA ajusados e aceiáveis (causais e inveríveis). Quadro I Variação do criério AICc com as ordens p e q dos modelos ajsuados Ordem q 0 Ordem p 0 3 NaN Seleccionar, jusificando sucinamene, o melhor modelo ARMA. Alínea e) Para p = e q =, os resulados do exercício de esimação dos parâmeros, φ, θ e (variância finia da sequência ruído branco { W }), do modelo ARMA(, ), pelo méodo de mínimos quadrados não lineares, são resumidos no Quadro II abaixo. Parâmeros φ θ σ w Quadro II Resumo do exercício de esimação Esimadores/ Desvio padrão dos esimaivas 4 Esaísica 5 esimadores ˆ φ = 0.80 s = φ 7.7 ˆ ˆ θ = 0.8 s = ˆ θ 8.5 s w = σ w Avaliar a qualidade do modelo ajusado no que concerne à significância dos parâmeros ajusados e às condições de esacionaridade e causalidade e de inveribilidade do modelo ajusado. 3 NaN (No a Number) significa que o criério AICc não foi calculado para p = 0 e q = 0, pois um modelo ARMA(0, 0) é equivalene a Z W, { W } ~ iid... N ( 0, σw ) =. 4 Os esimadores, e respecivas esimaivas (realizações possíveis), dos parâmeros 6 φ e ˆ φ, i =,,..., p e ˆ θ, j =,,..., q. Os esimadores, e respecivas esimaivas, das variâncias, i 5 Esaísica ese é o rácio j ˆ β = com ˆ s ˆ β β designando o esimador do parâmero φ ou do parâmero i θ são idenificados por j σ, são designados por θ s.

7 Avaliar a qualidade do ajusameno, mediane a análise da série residual, W, com cronograma na Figura 4, suporada nos respecivos correlogramas oal (FAC esimada) e parcial (FACP esimada) consanes da Figuras 5. Figura 4- Cronograma da série residual W Figura 5- Correlogramas (oal)(fac esimada) e parcial (FACP esimada) da sériew Alínea f) Escrever, em noação própria, o melhor modelo linear para a série original X 7

8 III (7 valores) Seja uma variável regionalizada anisorópica (anisoropia geomérica) cujo variograma é esférico com efeio de pepia. A direcção principal de anisoropia é Ese/Oese com ampliude igual a 0m. Os valores dos resanes parâmeros do modelo são: efeio de pepia (c 0 )=0.5%, paamar do variograma esférico (c )=0.75%, relação de anisoropia (ρ)=.50. a) O valor do variograma γ(h) para h=40m na direcção Ese/Oese é: b) Suponha que o valor esimado de uma variável regionalizada num pono de coordenadas (0; 0) é obido à cusa do valor médio da variável nos ponos de coordenadas (0; -40) e (0; +40). Calcule o valor da variância de esimação (uilize o mesmo modelo de variograma referido na alínea anerior) é: c) Suponha que o valor esimado de uma variável regionalizada num pono de coordenadas (0; 0) é obido por krigagem a parir dos valores da variável observados nos ponos de coordenadas (0; 80) e (90; 0). O valor do peso a aribuir à segunda desas amosras é:

9 d) Suponha a mesma siuação referida na alínea anerior. O valor da variância de krigagem é: e) Uma das frases seguines é falsa. Qual: A krigagem ordinária é um méodo de esimação linear. A krigagem ordinária pressupõe que o variograma exise e é conhecido A krigagem ordinária pressupõe que a covariância espacial exise e é conhecida A krigagem ordinária é méodo de esimação não enviezado 9