DINÂMICA DE ESTRUTURAS

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1 UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE ECNOLOGIA Área Deparamenal de Engenharia Civil COMPLEMENOS DE ANÁLISE ESRUURAL DINÂMICA DE ESRUURAS VERSÃO PROVISÓRIA JOÃO MANUEL CARVALHO ESÊVÃO FARO 006/0/7

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3 ÍNDICE Capíulo - Inrodução à Dinâmica de Esruuras..... Caracerização de um problema dinâmico..... Acções dinâmicas Discreização do sisema esruural Graus de liberdade Concenração de massas Amorecedores Molas Condensação esáica da mariz de rigidez Mudança de sisema de coordenadas Formulação das equações de movimeno Princípio de D Alember Princípio dos rabalhos viruais Princípio de Hamilon Problemas proposos Resoluções dos problemas proposos Problema..a) Problema..b) Problema..c) Problema..a) Problema..b) Problema..c)... 7 Capíulo - Oscilador linear de um grau de liberdade Resposa em regime livre Sisema não amorecido i -

4 ... Sisema amorecido Amorecimeno críico Amorecimeno sobrecríico Amorecimeno subcríico Decremeno logarímico Resposa em regime forçado Acções periódicas Acções não periódicas Méodos para a deerminação do amorecimeno viscoso Méodo baseado no decremeno logarímico Méodo da meia poência Méodo da energia dissipada por ciclo Problemas proposos Resoluções dos problemas proposos Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Capíulo 3 - Sisema linear de vários graus de liberdade Sisema de equações de movimeno Regime livre não amorecido Equação caracerísica Modos de vibração Regime forçado amorecido Coordenadas modais Méodo da sobreposição modal Méodo de Sodola ii -

5 3.5. Méodo de Rayleigh simplificado Problemas proposos Resoluções dos problemas proposos Problema Problema Problema Problema Bibliografia iii -

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7 CAPÍULO INRODUÇÃO À DINÂMICA DE ESRUURAS.. Caracerização de um problema dinâmico Os problemas de Dinâmica de Esruuras diferem dos problemas radicionais da eoria das Esruuras em dois aspecos fundamenais. Nos problemas do domínio da Dinâmica de Esruuras, ano as acções como a resposa da esruura a essas acções, variam com o empo, o que conduz a uma infinidade de soluções para o problema. Como al, apresenam uma maior dificuldade de resolução e com maior dispêndio de empo nesse ineno. Pelo conrário, os problemas que envolvem acções esáicas só êm uma solução. Nos problemas radicionais da eoria das Esruuras, os deslocamenos ocorridos numa esruura dependem das acções exeriores, e são obidos do equilíbrio esáico de forças, em que ou sendo [ k] { d} { F} com { F} { Q} { Q } 0 (.) { d} [ f] { F} (.) [ k] [ f] (.3) em que [k] é a mariz de rigidez, [f] é a mariz de flexibilidade, {d} é o vecor de deslocamenos generalizados e {F} é o vecor de forças (igual à soma vecorial das forças nodais {Q} e das forças de fixação {Q 0 }). Se as forças exeriores F () forem aplicadas de forma dinâmica, de acordo com o princípio de D Alember, os deslocamenos dependem das forças de resiuição F r ( ) (proporcionais à rigidez) e das forças de inércia, que resulam da aceleração - -

8 João M. C. Esêvão - ES - UAlg da massa da esruura, em conformidade com a ª lei de Newon. Por ouro lado, poderão exisir, ambém, forças dissipadoras F a(). Desa forma, o equilíbrio em regime dinâmico, corresponderá a { F r r r r I ( ) } { F a ( ) } { F r ( ) } { F ( ) } + + (.4) A análise dinâmica de uma esruura envolve a realização das seguines eapas: quanificação das acções dinâmicas; concepção de um modelo esruural; definição de um modelo maemáico (formulação das equações de movimeno, raduzidas nas equações de equilíbrio.4); esudo do modelo maemáico com base na eoria das vibrações. A resolução dos sisemas de equações de equilíbrio dinâmico (ou das equações de movimeno), permie a obenção da deformada dinâmica, em cada insane, a parir da qual se obêm os esforços e ensões, com base na eoria das Esruuras, aravés das equações (.) ou (.), como esá esquemaizado na figura.. Acções Modelo esruural Análise dinâmica Resposa da esruura: deslocamenos Análise esáica Esforços e ensões em cada insane FIGURA. - Esquemaização da análise dinâmica de esruuras. - -

9 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7.. Acções dinâmicas As acções dinâmicas podem ser classificadas como deerminísicas ou aleaórias (esocásicas). Em relação às acções deerminísicas, é conhecido o seu valor em cada insane. Conrariamene, as acções aleaórias só podem ser definidas em ermos esaísicos, não se conhecendo o seu valor num dado insane. A acção sísmica, a acção do veno e cero ráfego rodoviário, são exemplos de acções aleaórias. As acções deerminísicas podem ser divididas em acções periódicas e não periódicas, consoane os seus valores se repeem, ou não, após um dado período de empo fixo (). Em relação às acções periódicas eremos F( ) F( + n ) ; n,,3,k (.5) A acção periódica mais simples resula de uma variação sinusoidal da acção, o que é designada por acção harmónica simples. Ese ipo de acção pode resular do funcionameno de máquinas roaivas de ala velocidade, ais como urbinas, alernadores, cenrifugadoras e moores elécricos caracerizados por regimes sensivelmene uniformes. Ouras acções periódicas, mais complexas (resulanes, por exemplo, de marelos-pilões), podem ser decomposas nas suas componenes harmónicas, recorrendo para al, a uma análise de Fourier. As acções não periódicas podem ser classificadas como impulsivas (resulanes, por exemplo, de uma explosão ou do impaco de um veículo) e conínuas (por exemplo, a pare esacionária da acção de um sismo)..3. Discreização do sisema esruural Um modelo esruural deve ser concebido de forma a raduzir o comporameno do sisema real, com o maior rigor possível. No enano, para faciliar a resolução dos problemas de análise dinâmica, é necessário a adopção de criérios de discreização, de forma a modelar os sisemas reais (conínuos) como sendo consiuídos por um número finio de graus de liberdade. Esa - 3 -

10 João M. C. Esêvão - ES - UAlg redução do número de graus de liberdade pode ser feia aravés da concenração das massas e, ambém, por concenração das caracerísicas mecânicas das esruuras, como a rigidez e o amorecimeno..3.. Graus de liberdade Designam-se por graus de liberdade dinâmicos as coordenadas dos deslocamenos (lineares ou angulares) independenes, necessárias para descrever a solução de um sisema dinâmico em cada insane. É de salienar a diferença enre grau de liberdade esáico e dinâmico. Na análise dinâmica de uma esruura devemos considerar anos graus de liberdade quano os necessários para descrever a posição das massas na deformada dinâmica da esruura, podendo não coincidir com os graus de liberdade considerados para a análise esáica da mesma esruura. O esudo clássico dos sisemas esruurais é dividido em sisemas de um grau de liberdade e sisemas de vários graus de liberdade..3.. Concenração de massas A generalidade das esruuras apresena uma disribuição conínua da massa nos elemenos esruurais. Desse modo, o número de graus de liberdade a considerar numa análise dinâmica ende para infinio. É procedimeno usual, a simplificação da análise aravés da adopção de criérios de discreização da esruura, sendo comum a concenração das massas num número finio de ponos da esruura (figura.). Serão enão considerados os graus de liberdade correspondenes aos deslocamenos lineares das massas, segundo um conjuno de eixos, e respecivos deslocamenos angulares, caso não sejam desprezáveis os momenos de inércia dessas massas

11 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7 As forças de inércia serão proporcionais aos produos das massas pelas acelerações das mesmas (ª lei de Newon), em que FI ( ) m && x( ) (.6) m m m m && ( ) x F I () m FIGURA. - Ilusração da concenração de massas Amorecedores Na generalidade dos sisemas esruurais, a energia induzida pelas vibrações é gradualmene dissipada por deformação plásica, fricção, gerando calor e som. Face a essa dissipação de energia, a resposa do sisema, em ermos de deslocamenos, é gradualmene menor. O fenómeno que provoca essa redução gradual de energia é designado por amorecimeno, e pode ser dividido em dois grupos principais: amorecimeno inerno ou maerial (resulane de mecanismos dissipaivos de energia, inrínsecos aos maeriais, a nível microscópico ou macroscópico) e amorecimeno esruural (em que a - 5 -

12 João M. C. Esêvão - ES - UAlg dissipação de energia esá associada a movimenos relaivos de elemenos de um sisema esruural, nomeadamene nos nós de ligação e nos apoios). No processo de discreização das esruuras, é usual a concenração do amorecimeno em elemenos designados por amorecedores. Assume-se que um amorecedor não possui massa nem rigidez, e que só exise uma força de amorecimeno se exisir velocidade relaiva enre as duas exremidades do amorecedor. Dada a dificuldade inerene à quanificação do amorecimeno de sisemas reais, ese é modelado como sendo de um, ou mais, dos seguines ipos: Amorecimeno viscoso - Esa é a forma mais comum de modelar o comporameno de um amorecedor. De acordo com a lei de Newon, a ensão angencial gerada num escoameno de um fluido viscoso, enre duas superfícies, é proporcional ao gradiene de velocidades enre essas superfícies. Dessa forma, a força de amorecimeno é a resulane dessas ensões (figura.3), e será F ( ) c x& ( ) (.7) a em que c é o amorecimeno. c F a () x& ( ) x& ( ) x& ( ) F a () FIGURA.3 - Represenação esquemáica de um amorecedor viscoso. Amorecimeno de Coulomb - De acordo com ese modelo, a força de amorecimeno é consane e com senido oposo ao do movimeno, sendo proporcional ao ario enre duas superfícies

13 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7 Amorecimeno hiseréico - Quando um maerial deforma, a fricção inerna enre as fibras que o compõem dissipa energia (que é independene da frequência de exciação). Um maerial elásico que enha ese comporameno, apresena os diagramas ensão-exensão com ciclos hiseréicos como se exemplifica na figura.4. A energia dissipada, por ciclo e por unidade de volume, é igual à área de um ciclo hiseréico. O amorecimeno hiseréico é proporcional à ampliude do deslocameno, esando em fase com a velocidade. Ciclo hiseréico σ ε Energia dissipada FIGURA.4 - Exemplo de um ciclo hiseréico Molas Uma mola é um ipo de ligação onde se assume não exisir massa e amorecimeno, e que apresena um deerminado valor de rigidez k (figura.5). A força na mola é proporcional ao deslocameno relaivo das suas exremidades. Essa força é, vulgarmene, designada por força de resiuição, pois é a força que resiui à mola a sua forma inicial (não deformada). O valor dessa força é dado por Fr ( ) k x( ) (.8) k F r () x( ) x ( ) x ( ) F r () FIGURA.5 - Represenação esquemáica de uma mola

14 João M. C. Esêvão - ES - UAlg.3.5. Condensação esáica da mariz de rigidez Nas análises dinâmicas, a mariz de rigidez é expressa em relação aos graus de liberdade dinâmicos que resulam após discreização da esruura. Desa forma, a obenção direca da mariz de rigidez, associada somene aos graus de liberdade dinâmicos, orna-se, por vezes, difícil de ober. É possível realizar-se a análise dinâmica de uma esruura com base na mariz de rigidez associada aos graus de liberdade esáicos e dinâmicos, em conjuno. No enano, al procedimeno conduz a marizes muio maiores, o que é basane gravoso do pono de visa compuacional. A deerminação da mariz de rigidez, para efeios da análise dinâmica, pode ser obida por condensação esáica dessa mariz conjuna, ornando-se dependenes os graus de liberdade esáicos (d d ) dos graus de liberdade dinâmicos (d i ). A condensação da mariz de rigidez pode ser feia recorrendo às operações elemenares sobre as marizes, ou, de uma forma mais sisemáica, fazendo as seguines parições [ k] [ k ii ] [ k id ] [ k di ] [ k dd] ; { } { di} d { dd} ; { } { Fi } F { Fd } da expressão (.) eremos [ kii ] { di} + [ k id ] { dd} { Fi } [ k di ] { di} + [ k dd] { dd} { Fd} Resolvendo o sisema em ordem a {d d }, eremos { dd} [ k dd] ({ Fd} [ k di ] { di} ) [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] { } ( ) { } k d + k k F k d F ii i id dd d di i i (.9-) (.) (.3) (.4) que pode ser escrio como ([ k ] [ k ] [ k ] [ k ]) { d } { F } [ k ] [ k ] { F } ii id dd di i i id dd d (.5) - 8 -

15 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7 endo em cona a equação (.), a rigidez associada aos graus de liberdade dinâmicos será [ k] [ k ii ] [ k id ] [ k dd] [ k di ] (.6) e o novo vecor de forças será { F} { F } [ k ] [ k ] { F } i id dd d (.7).3.6. Mudança de sisema de coordenadas Em complexos sisemas esruurais, nomeadamene com barras inclinadas e/ou apoios inclinados, a deerminação das marizes de massa, de amorecimeno e de rigidez, associadas aos graus de liberdade, apresena alguma dificuldade. Ese ipo de problemas orna-se mais simples de resolver se recorrermos a mudanças do sisema de coordenadas, do ipo { q} { d}. Seja { q} [ ]{ d} (.8) em que [ ] é a mariz de ransformação. No sisema de coordenadas q, a expressão (.4) omará a forma [ m ]{&& q} [ c ]{ q& q q } [ k q ]{ q} { Fq} + + (.9) [ mq] [ ]{ d} + [ cq] [ ]{ d} + [ k q] [ ]{ d} { Fq} && & (.0) Dado que o rabalho realizado pelas forças é igual nos dois sisemas de coordenadas, logo pelo que { q} { F } ([ ]{ d} ) { F } { d} { F} q { F} [ ] { Fq} (.) q (.) - 9 -

16 João M. C. Esêvão - ES - UAlg Se muliplicarmos a equação (.0) por [ ], eremos [ ] [ m ][ ]{ d&& } [ ] [ c ][ ]{ d& q q } [ ] [ k q][ ]{ d} [ ] { Fq} que é equivalene a [ m]{ && d} [ c]{ d& } [ k]{ d} { F} + + (.3) + + (.4) sendo [ m] [ ] [ m ][ ] ; [ c] [ ] [ c ][ ] ; [ k] [ ] [ k ][ ] q q q (.5-7).4. Formulação das equações de movimeno A formulação das equações de movimeno (ou das equações de equilíbrio dinâmico), consiui um passo fundamenal na resolução de um qualquer problema de análise dinâmica, pelo que é essencial a compreensão dos diversos méodos que possibiliam essa formulação..4.. Princípio de D Alember O princípio de D Alember, como foi referido no pono., é um insrumeno muio imporane na formulação das equações de movimeno, que são expressas em ermos das equações de equilíbrio dinâmico (.). Em muios problemas, esa é a forma mais simples e direca de se esabelecerem as equações de movimeno (figura.6). k F r () c m F () F I () F () F a () FIGURA.6 - Equilíbrio dinâmico de um corpo rígido

17 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7.4.. Princípio dos rabalhos viruais Em sisemas mais complexos, as relações de equilíbrio de forças podem não ser evidenes. Neses casos, o princípio dos rabalhos viruais pode ser usado para a formulação das equações de movimeno. O princípio dos rabalhos viruais esipula que o rabalho realizado por odas as forças (de inércia inclusivé) em equilíbrio, que acuam num sisema esruural, é nulo quando ese é sujeio a um campo de deslocamenos viruais (e pequenos), compaíveis com as ligações exisenes Princípio de Hamilon Ese princípio raduz-se por ( ) δ E E d + δw d 0 (.8) C P nc em que W nc é o rabalho realizado pelas forças não conservaivas (de ario, por exemplo), E p é a energia poencial (resulane das forças de deformação inerna), E c é a energia cinéica do sisema (resulane, impliciamene, das forças de inércia), sendo δ uma indicação de variação no empo. A aplicação práica do princípio de Hamilon reside nas equações de equilíbrio de Lagrange. Escrevendo a energia poencial, cinéica e dissipada, em relação ao grau de liberdade i, as equações de Lagrange assumem a forma E d& C i EC EP ED + + Fi d d d& (.9) i i i sendo E D a energia dissipada e F i a força exerior aplicada no grau de liberdade i. Em sisemas conservaivos, verifica-se que a aplicação dese princípio conduz aos mesmos resulados da aplicação do princípio da conservação de energia: d d E ( E ) C + 0 (.30) P - -

18 João M. C. Esêvão - ES - UAlg.5. Problemas proposos.. Efecue a discreização dos sisemas esruurais seguines, e escreva as equações de movimeno, em relação aos graus de liberdade dinâmicos, admiindo que os sisemas não são amorecidos e que as barras são indeformáveis por core e axialmene (com massas desprezáveis). a) Corpo rígido.00 m 00 on. F () 3.50 E 0 GPa I cm 4 Ligação ariculada m 0.40 b) F () m 0 on. E 0 GPa m 0.50 I 4800 cm m Ligação ariculada c) F ().0 Corpo rígido m 9 on./m.0 Ligação ariculada flexível (f 0 5 m/kn) m Ligação ariculada flexível (f 0 5 m/kn) - -

19 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7.. Esabeleça as equações de movimeno para as esruuras represenadas em modelo nas figuras seguines. a) Considere que a hase, do pêndulo inverido, é rígida. 30 on m k 4000 knm/ rad b) Considere que o corpo C desliza, sem ario, sobre o corpo B. C m k c A m 3k B m F () c) Considerar o sisema sem amorecimeno. As barras são indeformáveis axialmene (com excepção da barra AB ) e ao core. F () m 5 on m A 3EI EA 3.EI EI 500 knm GA B m k 0.5EI EI EA C m 4.00 m 6.00 m - 3 -

20 João M. C. Esêvão - ES - UAlg.6. Resoluções dos problemas proposos.. a) Em primeiro lugar, é necessário a definição do modelo esruural e correspondene discreização. Vamos concenrar as massas nos nós da esruura, como se apresena na figura seguine. 50 on. 50 on. F () m Nese problema, só necessiamos de considerar um grau de liberdade dinâmico para caracerizar o movimeno das massas, dado que as barras são axialmene indeformáveis (oscilador de um grau de liberdade). Esse grau de liberdade corresponde à ranslação horizonal das massas e é coincidene com o grau de liberdade (esáico) que é necessário considerar para a resolução do problema esáico. Nese caso, só emos um deslocameno independene: d - 4 -

21 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7 Deerminação da rigidez do sisema. º modo esáico de deformação (d ): EI EI A rigidez será igual a k 6 8 3EI 3EI kn / m A massa do oscilador será m on. 00 kn s / m O sisema dinâmico pode ser represenado na seguine forma x () k m F () A equação de movimeno pode ser obida direcamene do equilíbrio dinâmico das forças, de acordo com o princípio de D Alember. x () && ( ) ( ) ( ) m x + k x F 00 && x x F ( ) ( ) ( ) k x( ) m && x ( ) F () - 5 -

22 João M. C. Esêvão - ES - UAlg b) Em primeiro lugar, vamos esabelecer o seguine modelo esruural: F () 0 on m G.00 Para caracerizar o movimeno da massa, será necessário definirmos um grau de liberdade dinâmico, raduzido pela ranslação verical da massa. Por definição, a rigidez correspondene será a força esáica verical, necessária de aplicar para induzir uma ranslação verical uniária. No enano, verifica-se que a imposição dessa ranslação uniária, gera a roação do nó. Por esse faco, na rigidez associada ao grau de liberdade dinâmico, esará incluída a parcela de força que é necessária para induzir, ambém, uma deerminada roação. Se considerarmos um grau de liberdade esáico, correspondene ao deslocameno angular do nó (roação) onde a massa foi concenrada, podemos ober a rigidez de ranslação verical por condensação da mariz de rigidez associada aos dois graus de liberdade. d d Deerminação da rigidez do sisema. º modo esáico de deformação (d ; d 0): 6EI 3EI EI 3 3 EI - 6 -

23 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7 º modo esáico de deformação (d ; d 0): 4EI EI k 6 4 EI 3EI EI 3EI 6EI 3EI + ; k k ; k EI [ k] knm 33 4EI + 4 k k EI k k EI Da expressão (.5) obemos a rigidez associada ao grau de liberdade dinâmico (d ), sendo igual a k k k k k kn / m A expressão anerior poderia ser obida com base nas operações elemenares sobre as marizes, muliplicando a segunda linha por k à primeira, o que dá origem à seguine mariz k e adicionando O comporameno dinâmico do sisema pode ser analisado aravés do seguine modelo de um grau de liberdade k m y () G F () - 7 -

24 João M. C. Esêvão - ES - UAlg O peso da massa será igual a G m g kn. Podemos escrever as equações de movimeno por aplicação das equações de Lagrange. Para al, necessiamos deerminar a energia poencial e a energia cinéica do sisema dinâmico. A energia poencial corresponderá à soma da energia poencial de posição (que é negaiva para um valor posiivo de y (), pois é reduzida a alura) e da energia poencial elásica acumulada na mola. A massa vai er um deslocameno oal, resulane do alongameno da mola, correspondene à parcela esáica (δ es ) do peso da massa (G) e à parcela dinâmica (y () ). Em regime dinâmico, a energia poencial de posição resula da variação da posição da massa em função de y (), sendo igual a E m g y G y P, pos. ( ) ( ) A energia poencial elásica corresponde à àrea do rapézio da figura seguine F r () k y () k δ es O y () y (0) δ es e é igual a,. ( ) E P elas [ ] k δ y + k δ + y k δ y es ( ) es ( ) es ( ) k y + k y δ es ( ) ( ) A energia poencial oal corresponde a E k y + k y G y P δ es ( ) ( ) ( ) - 8 -

25 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7 A energia cinéica do sisema é proporcional ao quadrado da velocidade da massa (& y ( ) ), sendo igual a E C m y & ( ) Aplicando a expressão (.9) iremos ober a equação de movimeno. ( & ) EC y& m y m && ( ) y ( ) ; EC E 0 ; y y P k δ + k y G es ( ) Como k δ es G, dado que o peso é a única força esáica que acua sobre a esruura, podemos concluir que o peso da massa não inerfere no comporameno dinâmico do sisema. A equação de movimeno será m && y + k y F 0 && y y F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) Dada a forma do corpo rígido, será necessário a deerminação do cenro de massa. x CM ( ) ( ) m ( ) ( ) y CM m CM m.5 m - 9 -

26 João M. C. Esêvão - ES - UAlg As equações de movimeno serão esabelecidas no modelo esruural da figura seguine, em que a barra é rígida. Dadas as dimensões do corpo rígido, não poderemos desprezar o momeno polar de inércia (J), ao concenrarmos a massa num único pono. F () f m ; J f.50 m.50 m.00 m Em que I x ( ) ( ) 444 on m I y ( -.5) ( -.5 ) 56 on m J I + I + x y m on on m ; ( ) Em virude da discreização adopada, o comporameno dinâmico do sisema esruural, só será convenienemene caracerizado se considerarmos dois graus de liberdade dinâmicos, como é apresenado no figura seguine. d k f A d 3.00 m.00 m B k f Recorrendo às equações de Lagrange (.9), vamos ober as equações de movimeno. Não vamos considerar o peso da massa, pois vimos, no problema anerior, que a caracerização do movimeno não depende do peso da massa. Para deerminarmos a energia poencial, vamos aplicar o princípio da sobreposição de efeios, impondo em primeiro lugar o deslocameno d e, após ese, o deslocameno d

27 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7 Na figura seguine, esão apresenados os gráficos das relações enre as forças de resiuição nas molas e os deslocamenos provocados por d e d. F ra () F ra () F ra () k d () k d () d () δ A () 3d () δ A () 3d () δ A () k 3d () + e F rb () F rb () F rb () k d () k d () k d () d () δ B () d () δ B () d () δ B () E m d& + J d& C ( ) ( ) ( 3 ) ( ) EP d + d + d d d + d d k ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ou seja ( ( ) 3 ( ) ) ( ( ) ( ) ) E k d d + k d + d P Grau de liberdade ( & ) EC d& m d m && ( ) d ( ) ; E d P Grau de liberdade E d& E d P E d C 0 ( ( ) 3 ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) d d + d k d d k C ( J d& ) J && ( ) d ( ) ; E d C 0 ( 9 ( ) 4 ( ) 3 ( ) ( ) ) ( ( ) 3 ( ) ) d + d d + d k d + d k - -

28 João M. C. Esêvão - ES - UAlg As forças exeriores devem ser reduzidas aos graus de liberdade dinâmicos. Desa forma, eremos F () 3 3 F 6 ( ).50 m.50 m 5 6 F ( ) 6 F ( ) As equações de movimeno serão ( ) m && d + d d k 0 F 6 J && 9 d + ( d + 3d ) k 0 F 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e podem ser escrias na forma && d d && ( ) ( ) d F ( ) 9 d ( ) F 6 ( ) ( ) que, de uma maneira geral, é equivalene a [ m] { && d } + [ k] { d } { F } ( ) ( ) ( ) O mesmo sisema de equações poderia er sido obido com recurso ao princípio de D Alember. Em relação ao grau de liberdade, o cálculo das forças de inércia seria realizado com o momeno polar de inércia. Dado que a esruura é isosáica, poderíamos deerminar a mariz de rigidez, associada aos graus de liberdade dinâmicos (que coincidem com os esáicos), a parir da inversão da mariz de flexibilidade, com alguma facilidade. Para al, vamos aplicar uma força uniária, segundo o deslocameno d, e um momeno uniário, segundo d. - -

29 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7 kn knm A B A B 3.00 m.00 m 3.00 m.00 m 0.4 kn 0.6 kn 0. kn 0. kn A flexibilidade desejada resula da inegração do produo das reacções nas molas f R R f + R R f ij Ai Aj mola Bi ( ) Bj mola mola f f 0. 5 f ( ) mola mola f f f f ( ) mola f f f A mariz de flexibilidade seria mola mola [ f] f f f f A mariz de rigidez seria k k k k [ k] [ f] equivalene à obida, aneriormene, recorrendo às equações de Lagrange... a) Nese sisema esruural, o movimeno da massa pode ser caracerizado aravés da roação da hase rígida, na base do pêndulo inverido, como se apresena na figura seguine

30 João M. C. Esêvão - ES - UAlg x () m 3.00 m θ () k Dado que o sisema é conservaivo, podemos ober a equação de movimeno recorrendo à aplicação do princípio da conservação de energia. Admiindo a hipóese dos pequenos deslocamenos e desprezando a energia poencial de posição: E m & C x ( ) E P E P,elas. k θ ( ) x() k 3 8 k x () Da equação (.30), eremos d d E ( E ) C + 0 P m x& d + k x 8 d ( ) () m & x x& 0 + k x& 8 x ( ) () () ( ) m & x ) + k x( ) x& () 9 ( 30 & x ) x( ) 9 ( & x ) + x( ) 3 (

31 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7 b) Na figura seguine, esão represenados os rês graus de liberdade dinâmicos, suficienes para caracerizar o movimeno das massas. C x C() k c A x A() 3k B x B() F () Vamos aplicar o princípio de D Alember, para esabelecermos o sisema de equações de movimeno. Dado que cada corpo esá em equilíbrio dinâmico, a parir desse equilíbrio de forças, podemos ober as equações de movimeno. Corpo A x A() F r k() F I A() F r 3k() F a () Corpo B x B() F r 3k() F I B() F () - 5 -

32 João M. C. Esêvão - ES - UAlg Corpo C x C() F I C() Da observação das figuras aneriores, podemos escrever que F rk( ) + Fa ( ) + FIA( ) Fr 3k( ) 0 Fr 3k( ) + FIB( ) F( ) 0 FIC( ) 0 que corresponde a k x 3k m && x A ( ) + c x& ( x x ) B( ) C() 0 A() A() + m && x + m && x A() B() 3k F () ( x x ) B() 0 A() 0 que pode ser escrio na seguine forma m && x A m && x m && x () B( ) C() + c x& + 3k 0 + k ( 4 x 3 x ) A() B( ) ( x x ) F A() B() A() () 0-6 -

33 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7 c) Além dos dois graus de liberdade dinâmicos (d e d ), eremos que considerar o deslocameno angular do pono B (d 3 ) e a ranslação verical do pono A (d 4 ), dada a exisência de uma força verical (dinâmica) nesse pono. d 4 d d 3 d º modo esáico de deformação (d ; d 0; d 3 0; d 4 0): 0.8 α 0.6 α.0 α arcg EI 3. EI 3 3EI 0. 6 α EI α 3 3EI EI α α 3. EI EI

34 João M. C. Esêvão - ES - UAlg k k k k 3 3EI 3. EI 3 EI 0. 8 senα cos α EI kn / m EI 3. EI 0. 8 cos α 0. 6 senα kn / m EI 3 EI kn / rad EI 3. EI 0. 8 senα 0. 6 cos α kn / m º modo esáico de deformação (d ; d 0; d 3 0; d 4 0): 0.6 α EI α α 3 3EI EI EI α α 3. EI k k kn / m k 3 3EI 3. EI 0. 6 cos α senα kn / m

35 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7 k k 3 3EI kn / rad EI 3 EI senα cos α kn / m º modo esáico de deformação (d 3 ; d 0 d 0; d 4 0): α 3 3EI 5 3 EI 6 3 3EI 5 3 EI 6 3 3EI 5 α k3 k kn / rad k 3 k kn / rad k k EI 3 EI kn / rad EI senα 6480 kn / m

36 João M. C. Esêvão - ES - UAlg 4º modo esáico de deformação (d 4 ; d 0; d 0; d 3 0): α.0 3. EI α α 3 3EI EI α α 3 3EI EI k4 k kn / m k 4 k kn / m k k k kn / m EI 3. EI 0. 8 senα cos α kn / m Mariz de rigidez: [ k] k k k k k k k k k k k k k k k k

37 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7 Da expressão (.5) obemos a mariz de rigidez associada aos graus de liberdade dinâmicos (d e d ), em que [ k ii ] [ ] k id ; [ k dd ] ; [ k di ] [ k id ] [ k] [ k ii ] [ k id ] [ k dd] [ k di ] O vecor de forças dinâmicas, correspondene aos graus de liberdade dinâmicos, pode ser obido da expressão (.6) { } F i 0 0 ; { F } d 0 F ( ) 77 7 F F k k F F { } { } [ ] [ ] { } i id dd d ( ) Eses resulados poderiam er sido obidos com recurso às operações elemenares sobre as marizes. Em primeiro lugar, efecua-se a ampliação da mariz de rigidez inicial com o vecor de forças F( ) Vamos anular a úlima coluna, a parir da úlima linha

38 João M. C. Esêvão - ES - UAlg F F F F ( ) ( ) ( ) ( ) Seguidamene vamos anular a erceira coluna, a parir da erceira linha F F F F ( ) ( ) ( ) ( ) A sub-mariz associada aos graus de liberdade dinâmicos, será a mariz de rigidez preendida. Da mesma forma, o vecor de forças é consiuído pelos elemenos das duas primeiras linhas. Dado que a esruura é isosáica, seria simples ober a mariz de rigidez a parir da inversão da mariz de flexibilidade. Vamos aplicar forças uniárias, segundo os graus de liberdade dinâmicos, e deerminam-se as reacções de apoio e os diagramas de esforços. kn kn Nese caso, não surgem esforços nas barras

39 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7 0.8 kn kn 0.6 kn kn 0.5 kn 0.5 kn MM (knm) 3 NN na barra AB (kn) As flexibilidades correspondem a f ij L M i M EI j dx + L 0 0 Ni Nj EA dx + R Bi R Bj f mola f f f 4 m / kn 0. 5EI EI ( ) 0 5 f. 0. 5EI EI ( 3) 5 ( ) m / kn EI 3 EI 3. EI 0. 5EI EI m / kn

40 João M. C. Esêvão - ES - UAlg Dando origem à seguine mariz de flexibilidade [ f] f f f f Pelo que se obém uma mariz de rigidez igual à obida por condensação k k k k [ k] [ f] Nos problemas aneriores, vimos que o sisema de equações de equilíbrio, para sisemas não amorecidos, é do ipo [ m] {&& d ( ) } + [ k] { d ( ) } { F ( ) } Sendo a massa movimenada segundo d igual a m 5 on., e segundo d igual a m on., logo, o sisema de equações de movimeno preendido será && d d && ( ) ( ) d ( ) d ( ) F + 7 ( )

41 CAPÍULO OSCILADOR LINEAR DE UM GRAU DE LIBERDADE.. Resposa em regime livre Um sisema esruural, de um grau de liberdade, diz-se que vibra em regime livre quando oscila, após uma perurbação inicial, sem que exisa uma acção dinâmica incidindo sobre o sisema. As perurbações iniciais do sisema podem resular, por exemplo, da liberação de massa ou da imposição de deslocamenos iniciais. Um sisema diz-se não amorecido caso não exisa um facor que provoque dissipação de energia durane o movimeno da massa. Dessa forma, a ampliude do movimeno maném-se consane com o empo. Na realidade, al só é possível no vácuo, pois o meio que envolve a massa (o ar, por exemplo) oferece resisência ao seu movimeno, pelo que as oscilações livres vão reduzindo-se, gradualmene (sisema amorecido).... Sisema não amorecido Caso não exisa uma acção exerna acuando no oscilador da figura. ( F ( ) 0 ), e admiindo que o sisema não é amorecido (c0), enão m && x ( ) + k x ( ) 0 && k x ( + ) m x ( 0 ) (.) x () k m F r () F I () FIGURA. - Oscilador linear de um grau de liberdade, não amorecido, em regime livre

42 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7 A solução da equação diferencial homogénea (.) será do ipo ( ) ( ) x( ) A cos ω n + B sen ω n (.) com a frequência angular naural (ou própria) do oscilador dada por ω n k (rad/s) (.3) m A frequência naural (cíclica) do movimeno vibraório do sisema esruural corresponde a f n ω π (Hz ou ciclos/s) (.4) O período será igual a (segundos) (.5) f As consanes A e B obêm-se a parir das condições iniciais do movimeno.... Sisema amorecido Se o sisema for amorecido (c>0), enão a equação de movimeno será m && x( ) + c x& ( ) + k x( ) 0 (.6) Seja x( ) A e r a solução da equação diferencial, subsiuindo em (.6), iremos ober logo r r r m r A e + c r A e + k A e 0 (.7) r c m r k (.8) m

43 João M. C. Esêvão - ES - UAlg com r c c k ± m m m (.9) As soluções da equação.9 conduzem a rês siuações de amorecimeno: críico, sobrecríico e subcríico.... Amorecimeno críico (c c ) Esa siuação corresponde à hipóese em que c k 0 c m k c mω n (.0) m m m Podemos definir um coeficiene de amorecimeno, adimensionalizado ao amorecimeno críico, dado por ζ c c c c mω n (.) Desa forma, o amorecimeno será críico quando ζ. A solução da equação de movimeno será ω ( ) x( ) e A + B n (.) com as consanes A e B dependenes das condições iniciais do movimeno.... Amorecimeno sobrecríico ( ζ > ) O amorecimeno diz-se sobrecríico quando c k > 0, logo exisem duas raízes reais e negaivas de (.8). m m A solução da equação de movimeno (figura.-a) será ζ ω [ ( c ) ( c )] x e n ( ) A cosh ω + B senh ω (.3)

44 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7 com a frequência angular amorecida dada por ω ω ζ (.4) c n e as consanes A e B ajusadas às condições iniciais do movimeno Amorecimeno subcríico ( ζ < ) Em condições de amorecimeno subcríico, eremos c k < 0, logo exisem duas raízes imaginárias de (.8). m m A solução da equação de movimeno (figura.-b) será ζ ω [ ( a ) ( a )] n x( ) e A cos ω + B sen ω (.5) com a frequência angular amorecida dada por ω ω ζ a n (.6) e com as consanes A e B obidas das condições iniciais do movimeno. Nos casos correnes, em que o sisema é fracamene amorecido ( ζ < 0% ), emos ω a ω (.7) n...4. Decremeno logarímico O amorecimeno em como efeio a redução gradual da ampliude do movimeno vibraório, com o empo. Sejam x i e x i+ dois máximos consecuivos (do mesmo sinal) dos deslocamenos nos empos i e i+, como é apresenado na figura.-b, e sendo x( )max A e ζ ω n (.8)

45 João M. C. Esêvão - ES - UAlg enão x x i i+ A e A e ζ ωni ζ ω ni+ e ζ ωna (.9) com o período amorecido dado por π a i+ i f ω a a (.0) Podemos definir como decremeno logarímico do amorecimeno, o logarimo naural do quociene enre dois máximos consecuivos (do mesmo sinal, e separados por um período), dado pela seguine expressão: δ ζ ω ln x i na x i+ πζ ζ n πζ ω (.) ω a x () a) x () A e ζ ωn x i x i+ b) a π ω a FIGURA. - Resposa em regime livre amorecido: a) sobrecríico b) subcríico

46 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7.. Resposa em regime forçado... Acções periódicas As acções harmónicas são um caso paricular, denro das acções periódicas. No enano, qualquer acção periódica pode ser desenvolvida em série de Fourier, logo pode ser subsiuída pela soma das suas componenes harmónicas (com diversas frequências e ampliudes). Consideremos o sisema linear de um grau de liberdade, da figura.3, sujeio à acção de uma força harmónica, igual a ( ) F( ) F0 cos ω (.) em que F 0 é ampliude da força e ω é a frequência angular de acuação da referida força. k x () c m F () F 0 FIGURA.3 - Oscilador linear de um grau de liberdade sujeio a uma força harmónica. Desa forma, a equação do movimeno será ( ) m && x( ) + c x& ( ) + k x( ) F0 cos ω (.3) Dividindo pela massa eremos && & F0 x( ) + ζω n x( ) + ωn x( ) cos( ω ) (.4) m

47 João M. C. Esêvão - ES - UAlg A solução desa equação diferencial resula da soma da solução geral da equação homogénea correspondene (regime ransiório) e da solução paricular da equação não homogénea (regime permanene): x x + x (.5) ( ) ( ) P( ) em que a parcela do regime ransiório será x ( ) [ cos ( a ) + ( a )] ( ) cosh ( ) + ( ) ζ ω e n A ω B sen ω ; ζ < ω e n A + B ; ζ ζ ω e n [ A c B senh c ω ω ] ; ζ > e a de regime permanene, será ( ) ( ) ( ) (.6) xp() A cos ω + B sen ω D cos ω θ (.7) em que as consanes (a deerminar) D e θ são, respecivamene, a ampliude e o ângulo de fase. Subsiuindo (.7) em (.4), vamos ober o seguine sisema de equações: ( n ) ω ω A ζωn ω B F 0 + m ζω n ω A + ( ωn ω ) B 0 (.8) cuja solução será A B ω ( ) + ( ) ω ζ ω ω n ζ ω ( ) + ( ) ω ζ ω ω n F0 m F0 m (.9) com ω ω ω n (.3) - 4 -

48 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7 De acordo com a figura.4, eremos o ângulo de fase igual a θ e a ampliude será B ζω arcg arcg (.30) A ω em que D F H m k x 0 es A + B H es (.3) ωn m k m H x H ( ω ) + ( ζω) (.33) é o facor de amplificação da resposa dinâmica do sisema esruural em relação à resposa esáica x es. Aendendo ao quadrane, para ω > será necessário adicionar π ao resulado da expressão (.30). F 0 D cos(ω θ) B cos(ω ) A sen(ω ) cos m ( ω ) B θ D ω ω A D B A F 0 m 0 s F 0 m cos ( ω ) F 0 m A sen(ω ) B cos(ω ) D cos(ω θ ) FIGURA.4 - Diagrama vecorial da resposa do oscilador. A resposa dinâmica, em regime permanene, pode ser escria na forma seguine ( ) x H X cos ω θ (.34) P() 0-4 -

49 João M. C. Esêvão - ES - UAlg A figura.5 represena, graficamene, a amplificação dinâmica (H ) em função do quociene enre as frequências angulares da exciação e naurais do oscilador ( ω ). H ζ0.5.0 ζ ω FIGURA.5 - Facor de amplificação dinâmica (H ) θ π ζ0.5 π ζ0.9 ζ0.9 ζ ω FIGURA.6 - Desfasameno enre a acção e a resposa da esruura (θ ) Um oscilador diz-se enrar em ressonância quando a frequência da exciação é igual à frequência naural do oscilador ( ω ). Caso o amorecimeno seja nulo, a amplificação será infinia para ω. Dado que as ampliudes de oscilação, de sisemas amorecidos em regime livre, diminuem com o empo, a resposa, em regime forçado, apresena duas fases: - uma fase inicial em que a componene ransiória em grande imporância; - uma segunda fase em que a oscilação corresponde, quase na oalidade, à componene de regime permanene

50 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7... Acções não periódicas A forma mais simples de raar ese ipo de acções, é considerar a exciação como a soma de um conjuno finio de impulsos (figura.7), produzidos em inervalos de empo dτ. Sendo válido o princípio da conservação da quanidade de movimeno, eremos m dx F F d x ( τ) & ( τ) τ d & m d τ (.35) Se considerarmos o impulso aplicado no empo τ (figura.7), com uma velocidade dx&, poderemos deerminar a resposa do sisema (com amorecimeno subcríico) num insane poserior ( τ), a parir da equação (.5). Esabelecendo as condições iniciais logo ( ) x τ 0 x( ) 0 A 0 (.36) τ ( τ) ( ) x& ( ) dx& Fm d B F τ τ 0 τ dτ (.37) m ω a dx F [ a ] ( τ) ζωn( τ) ( ) m ω a e sen ω τ dτ (.38) pelo que x m ω ( ) ( τ) a 0 ζω [ a ] ( τ) ( ) F e n sen ω τ dτ (.39) A expressão (.39) é designada por inegral de Duhamel, para ζ <. Se as condições iniciais do sisema esruural forem x( ) ( ) x& x& x0 e, será necessário adicionarmos a expressão (.5), ajusada às condições de froneira, à expressão (.39)

51 João M. C. Esêvão - ES - UAlg F () F (τ) τ dτ τ x () FIGURA.7 - Função não periódica decomposa em impulsos elemenares..3. Méodos para a deerminação do amorecimeno viscoso Para deerminarmos a resposa dinâmica de um sisema esruural, será necessário quanificarmos a massa, rigidez e amorecimeno do sisema. Na generalidade dos casos, é relaivamene fácil a quanificação da massa e rigidez, como foi viso no primeiro capíulo. Aendendo à complexidade do mecanismo de dissipação de energia da generalidade dos sisemas esruurais, orna-se difícil a deerminação do amorecimeno. Na realidade, esses mecanismos são muio mais complexos do que os simples mecanismos de amorecimeno viscoso (proporcionais à velocidade), genericamene adopados nas formulações de problemas dinâmicos de um grau de liberdade. No geral, é possível deerminarmos um valor de amorecimeno viscoso, que seja represenaivo do mecanismo real de dissipação de energia, aravés de méodos experimenais. Alguns dos méodos mais relevanes são aqui apresenados

52 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7.3.. Méodo baseado no decremeno logarímico A forma mais simples de deerminarmos o coeficiene de amorecimeno viscoso, baseia-se na medição experimenal de duas ampliudes (x i e x i+s ), no insane i e após s ciclos consecuivos. Sendo δ s xi ln (.40) xi+ s Da expressão (.), iremos ober ζ δ s ω a δs π s ω π s n (.4) dado que, para sisemas fracamene amorecidos (ζ<0.), ω a ω. n.3.. Méodo da meia poência O valor de ω correspondendo à amplificação máxima, pode ser obido derivando a expressão (.33) em ordem a ω. d dω ( ω ) + ( ζω) 0 ωmax ζ (.4) Subsiuindo a expressão de ω max na expressão (.33), iremos ober H max ζ ζ ζ ω ω n a (.43) Considerando os ponos de meia poência (figura.8), para os quais H H max, e igualando as expressões (.33) e (.43), iremos ober ( ) ( ) ω + ζω ζ ζ (.44)

53 João M. C. Esêvão - ES - UAlg O que conduz às soluções e ω ζ ζ ζ (.45) Dado que ω ζ + ζ ζ (.46) e logo ω ω 4ζ ζ 4ζ (.47) ω ω ζ (.48) ζ ( ω ω) ( ω ω) ω ω ( ω + ω ) ( ω ω ) ω ω ω + ω ω ω ω + ω (.49) H H max H max.0 ω ω ω FIGURA.8 - Amplificação dinâmica com idenificação dos ponos de meia poência

54 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/ Méodo da energia dissipada por ciclo Se considerarmos o sisema dinâmico da figura.9a, aplicando o princípio de D Alember, iremos ober a seguine equação de movimeno c x& ( ) + k x ( ) F ( ) (.50) Para uma resposa harmónica de ampliude X max e frequência ω, em que ( ) x X sen ω (.5) ( ) max subsiuindo (.5) em (.50), iremos ober ( ) ( ) F c X ω cos ω + k X sen ω ( ) max max [ ( ω )] ( ) max max k x ± c ω X X sen ( ) max ( ) k x ± c ω X x (.5) que corresponde a uma elipse como a represenada na figura.9b. F () cωx max ω max ( ) c X x c k X max k x( ) X max x () x () F () cωx max a) b) FIGURA.9 - a) oscilador com amorecimeno viscoso e sem massa b) resposa do oscilador

55 João M. C. Esêvão - ES - UAlg Se represenarmos graficamene a relação força/deslocameno (figura.9b), a um área limiada por um ciclo corresponde à energia dissipada no amorecedor ( E D ). Essa energia será igual a E F dx D ( ) π/ ω [ max ω cos( ω ) max ( ω )] max ω cos( ω ) c X + k X sen X d 0 max n max π ω c X π ω mω ζ X (.53) Caso o amorecimeno viscoso não seja linear, a relação força/deslocameno não será elípica, mas de uma forma disina (figura.0). No enano, podemos ober um coeficiene de amorecimeno viscoso equivalene, a parir da energia medida num ensaio (igual à área delimiada pelo diagrama força/deslocameno). ζ eq. E D πω m ω X n max (.54) F c x& a ( ) ( ) X max x () E D área da figura FIGURA.0 - oscilador com amorecimeno viscoso não linear

56 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7.4. Problemas proposos.. Um oscilador linear de um grau de liberdade (apresenado na figura seguine) possui 35 on. de massa. Deermine a frequência naural (não amorecida) do oscilador. m.00 m EI EA GA EI knm.. Considere o sisema dinâmico, de um grau de liberdade, represenado em modelo na figura seguine. a) Esabeleça a equação de movimeno e deermine a frequência naural do oscilador. b) Caso seja imposo ao oscilador um deslocameno de 0.0 m, segundo o grau de liberdade assinalado, permiindo, em seguida, o movimeno livre da massa, deermine: i) o valor do deslocameno no insane 5 s; ii) o número de ciclos necessários para que a ampliude máxima do deslocameno seja reduzida a um quaro do valor inicial. EA GA m 60 on. EI knm ζ % A EI m EI B EI C EI D m

57 João M. C. Esêvão - ES - UAlg.3. Considere o sisema dinâmico, com coeficiene de amorecimeno igual a 0%, represenado em modelo na figura seguine. O sisema esruural, composo por barras rígidas, é sujeio a uma força harmónica F () 0 sen(5). a) Esabeleça a equação de movimeno e deermine a frequência naural do oscilador. b) Calcule o deslocameno verical do pono F no insane seg. EI EA GA.00 A k B D C m 5 on. k 8000 kn/m E F F () m m.4. Considere o oscilador de um grau de liberdade, não amorecido, represenado em modelo na figura seguine. a) Esabeleça a equação do movimeno segundo o grau de liberdade assinalado. b) Calcule o momeno flecor no pono B, no insane 4.8 s, quando a esruura é sujeia a uma força harmónica cujo valor é F () 3 cos(4.6) kn, sabendo que no insane inicial d m e & m / s. ( ). d ( 0 ) m on. EI 396 knm EA GA F () A 3m B m 90º 90º.40 C m.5. Um oscilador linear de um grau de liberdade, cuja equação de movimeno && ( ) ( ) ( ) corresponde a 50 x x F, é sujeio à força represenada, graficamene, na figura seguine

58 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7 a) Deermine o deslocameno da massa do oscilador, para i) 4 s; ii) 8 s; F () 40 kn 0 kn iii) 0 s. 4 s 8 s b) Caso o coeficiene de amorecimeno fosse igual a 0%, qual seria o deslocameno para 0 s?.6. Foi realizado um ensaio experimenal (dinâmico) de um oscilador linear de um grau de liberdade. Foram feios dois regisos dos deslocamenos, um ao 4º ciclo e ouro ao 9º ciclo, respecivamene com.40 mm e mm. Deermine o valor aproximado do coeficiene de amorecimeno viscoso..7. O quadro seguine apresena um conjuno de valores de ampliude da resposa de um edifício, regisados com ruído ambienal. Calcule o valor aproximado do coeficiene de amorecimeno viscoso. Frequência (Hz) Ampliude ( 0-3 m) A figura seguine represena os resulados de um ensaio experimenal, correspondene à resposa de um oscilador linear de um grau de liberdade com 50 on. de massa (ω n 0 rad/s), sujeio à acção de uma força harmónica (ω 5 rad/s). Calcule o valor aproximado do coeficiene de amorecimeno viscoso, sabendo que a área a que corresponde um ciclo é de 0.8 kn mm. F () Ciclo hiseréico.577 mm.577 mm x () - 5 -

59 João M. C. Esêvão - ES - UAlg.5. Resoluções dos problemas proposos Noa: os resulados esão apresenados com cinco casas decimais, no enano os cálculos foram efecuados com odas as casas decimais que os meios de cálculo permiiram... k 3 EI L kn / m 6.00 ω n rad / s 0 f 3. 8 ciclos / s 3. 8 Hz π.. a) Dado que raa de uma esruura isosáica, será mais fácil deerminarmos a flexibilidade associada ao grau de liberdade dinâmico. A respeciva rigidez é igual ao inverso da flexibilidade. 0.5 knm kn 0.5 kn 0.5 kn Momenos flecores (knm)

60 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7 f f k L M M dx ( ) EI m / kn EI f EI EI EI kn / m ω n k m rad / s 0 f ciclos / s Hz π c mω n ζ kns / m Equação de movimeno: 4 ( ) ( ) ( ) 60 && y + 64 y& y 0 b) Como ζ<, a resposa do oscilador será do ipo com ζ ω [ ( ω a ) ( ω a )] y e n ( ) A cos + B sen ω ω ζ rad / s a n Aendendo às condições iniciais do movimeno pelo que ( ) y 0 y0 A y 0 & 0 0 y& ( 0) y& 0 B y + ζωn y ω y& ζ ω y e n ( ) y0 cos a + a + ζω 0 n 0 ( ω ) sen ( ω ) ω a y a

61 João M. C. Esêvão - ES - UAlg Como ( ) y 0 y m e y& ( ) 0 y& 0 0 A 0. 0 e B i) Para 5 seg. [ 0. cos ( ) ( )] y e + sen ( ) 0. [ ( ) ( )] y e 0. cos sen m ( 5) 0. 5 ii) y ( ) y 0 4 A e A e ζ ωn ζ ω n 0 e ζ ωn ζ ω ln ln. seg n Logo em f ciclos y ()

62 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7.3. a) Aplicando o princípio dos rabalhos viruais, o rabalho virual (em resulado de um deslocameno virual δy) realizado pelas forças exeriores (F () e força de inércia), será igual ao rabalho virual realizado pelas forças ineriores (força na mola). F () y y 8 y 4 y 4 5 && y + c y& y ( F( ) 5 && y c y& ) δy ( Kmola δmola ) y y y δ δ && y + c y& + 5 y F ( ) ( ) ( ) ( ) De oura forma, poderíamos ober a flexibilidade, associada ao grau de liberdade dinâmico, aplicando uma força uniária no pono F. kn kn 8 kn 5 kn f k m / kn k mola 5 kn / m f Frequência naural de vibração: ω n k m rad / s

63 João M. C. Esêvão - ES - UAlg 5 f π Hz c mζω n kns / m Equação de movimeno: ( ) 5 && y + 5 y& + 5 y 0 sen 5 ( ) ( ) ( ) b) y y + y ( ) ( ) P() ζ ω [ ( ωa ) ( ω a )] y e n ( ) A cos + B sen ζ ω y ζ ω e n A cos ( ω ) + B sen( ω ) & ( ) n [ a a ] [ ω ( ω ) ω cos ( ω )] ζ ω n a a a a + e A sen + B ( ω θ ) y H F P() sen k 0 0 & ω cos ( ω θ ) y ) H F k P( Aendendo às condições iniciais do movimeno ( ) sen ( θ ) y y ( ) y& y& A y H F 0 k y A H F 0 & 0 + ζ ωn ω cos ( θ ) 0 0 k B ω ω ζ rad / s a n ω a

64 Dinâmica de Esruuras versão provisória 006/0/7 ω ω 5 (ressonância) ω 5 n H ( ω ) + ( ζω ) ( ) + ( 0. ) 5 θ π logo y 0 0 A sen 5 0 π &y 0 0 B π.. cos y y + y ( ) ( ) P() [ 0. 8 cos ( ) ( )] y e + sen ( ) 0. 5 yp() 5 0 π sen sen 5 5 π Para s, eremos y ( ) m (para cima) y () y P() y ()

65 João M. C. Esêvão - ES - UAlg.4. Aendendo à exisência de um apoio inclinado e à dificuldade em relacionarmos a massa do pono A com o grau de liberdade dinâmico, a resolução do problema será simplificada caso realizemos uma mudança de sisema de coordenadas { q} { d}, em que q q º modo esáico de deformação (d ): 5 sen α. α α EI 3 4 EI sen α q d ; q.5 A mariz de ransformação será 5. [ ] Mariz de massas no sisema de coordenadas q [ m ] m q 0 m (on.) [ ] [ m ][ ] q on