Teste F na Regressão Linear Múltipla para Dados Temporais com Correlação Serial.

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1 Deparameno de Ciências e ecnologias Mesrado em Esaísica, Maemáica e Compuação ese F na Regressão Linear Múlipla para Dados emporais com Correlação Serial. Bruno Fernando Pinheiro Faria Lisboa,

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3 Mesrado em Esaísica, Maemáica e Compuação ese F na Regressão Linear Múlipla para Dados emporais com Correlação Serial. Bruno Fernando Pinheiro Faria Disseração apresenada para obenção de Grau de Mesre em Esaísica, Maemáica e Compuação, especialidade Esaísica Compuacional Orienadora: Professora Douora Maria do Rosário Ramos (Professora Auxiliar da Universidade Abera) Lisboa,

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5 i Resumo Na análise de regressão linear, simples ou múlipla, o ese F é uilizado para esar simulaneamene a significância de um conjuno ou um subconjuno de parâmeros. Nese rabalho, é esudado o comporameno da esaísica F usual para esar a significância dos coeficienes sazonais no modelo de regressão linear múlipla para séries emporais com endência, sazonalidade e correlação serial. Quando alguns dos pressuposos de validade do ese são violados é de se esperar que o ese seja afeado. Por isso, analisa-se, aravés de um esudo de simulação de Mone Carlo, o comporameno da esaísica F quando são violados os pressuposos de normalidade e da independência dos erros num caso específico de modelo de auocorrelação AR(). O esudo de simulação para avaliar a performance do ese F usual foi realizado sob vários cenários, endo em cona desvios da normalidade e considerando que os erros do modelo são correlacionados, com diferenes inensidades da auocorrelação. O comporameno dos eses é avaliado com base nos valores do nível de significância empírico e da poência dos eses. Além disso, apresena-se eoricamene a esaísica de ese F para casos em que a auocorrelação nos erros é considerada aravés da esimação pelos mínimos quadrados generalizados e realiza-se, aravés de simulação, um esudo comparaivo do comporameno dese ese, quando a auocorrelação é incorreamene esimada. Finalmene são apresenadas duas aplicações em séries emporais, uma respeiane ao número de hóspedes em hoéis radicionais e casas de urismo rural nos Açores e a oura relaiva ao número de exporações de auomóveis em Porugal. Palavras-Chave: Séries emporais, Modelo Sazonal, ese F, Regressão Linear Múlipla, Modelo Auorregressivo.

6 ii Absrac In simple or muliple linear regression analysis, he F es is used o es simulaneously he significance of a se or a subse of parameers. In his assignmen i is sudied he behaviour of he usual F saisic o es he significance of seasonal coefficiens in muliple linear regression model for ime series wih rend, seasonaliy When some of he es assumpions are violaed, we have o assume ha he es can be affeced. herefore, we will analyse, hrough a Mone Carlo simulaion sudy, he behaviour of he F saisic, when he normaliy assumpions and he independence of he error erm in a specific case of auocorrelaion model AR() are violaed. he simulaion sudy o assess he performance of he usual F es was made under several siuaions, bearing in mind normaliy deviaions and considering ha he errors of he auoregressive model are correlaed wih differen auocorrelaion levels. he behaviour of he ess is evaluaed hrough he empirical significance level and he power of he es. Furhermore, we presen heoreically he F saisic in cases in which he auocorrelaion of he error erm is aken ino accoun hrough general leas squares esimaion and we make, hrough a simulaion sudy, a comparaive analysis of he aforemenioned es behaviour, when he auocorrelaion of he error erm is incorrecly esimaed. Finally, we will show wo applicaions in a ime series, one regarding he number of guess in radiional hoels and rural ourism in Azores and he oher he number of cars exporaions in Porugal. Keywords ime Series, Seasonal Model, F es, Muliple Linear Regression, Auoregressive Model

7 iii Agradecimenos Agradeço à Professora Douora Maria do Rosário Ramos a orienação, o apoio e a disponibilidade com que me acompanhou ao longo da elaboração desa disseração. Agradeço à minha namorada pelo auxílio presado na radução em alguns dos rabalhos elaborados nese mesrado, pela compreensão e paciência dispensada ao longo deses dois úlimos anos, por udo o que deixei de fazer em virude do rabalho e pela forma que sempre me apoiou, principalmene nos momenos mais difíceis. Agradeço ambém à minha família pelo apoio dado durane odo o meu percurso académico e que sem ele eu não eria chegado aé aqui.

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9 v Índice. Inrodução.... Séries emporais com endência e Sazonalidade Séries emporais Séries emporais com endência e Sazonalidade O ese F no Modelo de Regressão Linear Múlipla Modelo de Regressão Linear Múlipla Esimação dos Parâmeros no Modelo de Regressão Linear Múlipla O ese F de Ajusameno Global do Modelo Reduzido de Regressão Linear Múlipla O ese F de Ajusameno para o Modelo Reduzido O ese F de Significância de Resrições Lineares O ese F Usual sobre o Modelo de Regressão Linear em Séries emporais com endência e Sazonalidade Erros de ipo I e de ipo II Associados ao ese F Processos Auorregressivos de ª Ordem - AR() Processos Esacionários Processo de Ruído Branco e Processo Auorregressivo de ª Ordem - AR() Esaísica de ese F em Séries com Auocorrelação Esimação pelos Mínimos Quadrados Generalizados Méodo de Esimação de Cochrane-Orcu ese F na Esimação pelos Mínimos Quadrados Generalizados Comporameno do ese F quando os Erros são Auocorrelacionados de Ordem Esudos de Simulação Processo AR() em que os a êm Disribuição Normal Variações do Parâmero de endência e da Consane Variações do Desvio Padrão da Série de Ruído Branco e da Dimensão da Série Cálculo do Valor Críico da Esaísica F Usual aravés do Méodo de Mone Carlo Incorporação da Mariz de Covariância na Esimação pelos Mínimos Quadrados... 5

10 vi 6.. Processo AR() em que os a em Disribuição Gama Esudo de Séries Reais Número de Dormidas nos Açores em Hoelaria radicional e urismo de Espaço Rural Exporações de Auomóveis em Porugal Discussão de Resulados e Invesigação Fuura Bibliografia e Referências... 7 Anexo I... i Anexo II... ii

11 vii Índice de abelas abela. Análise de Variância para o ese F sobre o modelo compleo de regressão linear múlipla.... abela. Análise de Variância para o ese F sobre o modelo reduzido de regressão linear múlipla. abela 3. Poência e nível de significância empíricos do ese F, sobre a componene sazonal do modelo em que os erros são um processo AR() com ruído branco Normal(, ). =4. Resulados para,, 5,,.... abela 4. Poência e nível de significância empíricos do ese F, sobre a componene sazonal do modelo em que os erros são um processo AR() com ruído branco Normal(, ). =4. Resulados para,,, abela 5. Poência e nível de significância empíricos do ese F, sobre a componene sazonal do modelo em que os erros são um processo auorregressivo AR() com ruído branco Normal. Resulados para =4, =6 e =8;, e 3. abela 6. Poência e nível de significância empíricos obidos a parir de uma aproximação do valor críico da disribuição da esaísica F aravés de simulações pelo méodo de Mone Carlo. Resulados para =4, =6 e =8;, e 3. abela 7. Poência e nível de significância empíricos do ese F para o modelo em que os erros são um processo AR() com ruído branco Normal. Comparação enre os valores obidos segundo uma esimação pelos MQO e MQG. =4. Resulados para e 3. abela 8. Poência e nível de significância empíricos do ese F, com esimação pelos MQG, para o modelo em que os erros são um processo AR(), quando a esimaiva ˆ afasa-se do verdadeiro parâmero populacional. =4. Resulados para e 3. abela 9. Poência e nível de significância empíricos do ese F, para o modelo em que os erros são um processo AR() com ruído branco Gama. =4. Resulados para, e 3 ; r=.5, r=, r=.5, r=3, r=4.

12 viii abela. Esimaivas dos coeficienes do modelo linear da série número de dormidas em espaços de urismo rural e hoelaria radicional, pelo méodo dos mínimos quadrados. abela. Valores da FAC e FACP da série residual, obidos após ajusameno pelo méodo dos mínimos quadrados. abela. Esimaivas dos coeficienes do modelo linear da série exporações de auomóveis, pelo méodo dos mínimos quadrados. abela 3. Valores da FAC e FACP da série residual, obidos após ajusameno pelo méodo dos mínimos quadrados.

13 ix Índice de Figuras Figura. Função densidade de probabilidade da disribuição F, para 3 e 35 graus de liberdade do numerador e denominador, respeivamene.... Figura. Função densidade de probabilidade da disribuição F não cenral, para 3 e 35 graus de liberdade do numerador e denominador, respeivamene e parâmero de não cenralidade..... Figura 3. Série emporal com endência e sazonalidade simulada com 4, s 6,3,,3, 77 e.... i i Figura 4. Séries emporais com endência e sazonalidade simuladas com 4, s 6,3,,3, 77 e componene dos erros segundo um processo i AR() com disribuição Normal(, ). Gráficos para e Figura 5. Séries emporais com endência e sazonalidade simuladas com 4, s 6,3,,3, 77 e componene dos erros segundo um processo i AR() com disribuição Normal(, ). Gráficos para e Figura 6. Figura 7. Figura 8. Figura 9. de significância empírico do ese F para o modelo em que os erros são um processo auorregressivo AR() com ruído branco normal. =4. Resulados para, e Poência empírica do ese F, para o modelo em que os erros são um processo auorregressivo AR() com ruído branco normal. =4. Resulados para vários valore de.... de significância empírico do ese F para o modelo em que os erros são um processo auorregressivo AR() com ruído branco normal. Resulados para vários valores de.... Série da variável número de dormidas em espaços de urismo rural e hoelaria radicional nos Açores. Valores observados enre janeiro 3 e dezembro... Figura. Modelo ajusado da série da variável número de dormidas em espaços de urismo rural e hoelaria radicional resulane da esimação pelos mínimos quadrados.... Figura. Série residual (vs empo) resulane do ajusameno pelo méodo dos mínimos quadrados....

14 x Figura. Gráficos da FAC e FACP da série residual, obidos após ajusameno pelo méodo dos mínimos quadrados.... Figura 3. Gráfico da série dos resíduos depois de ajusada a um processo AR() ˆ aravés da ransformação a e e.... Figura 4. Série da variável exporações de auomóveis em Porugal. Valores observados enre janeiro 3 e dezembro.... Figura 5. Modelo ajusado da série da variável exporações de auomóveis, resulane da esimação pelos mínimos quadrados.... Figura 6. Gráfico da série residual (vs empo) resulane do ajusameno pelo méodo dos mínimos quadrados.... Figura 7. Gráficos da FAC e FACP da série residual, obidos após ajusameno pelo méodo dos mínimos quadrados....

15 . Inrodução. Inrodução A sazonalidade esá muias vezes presene em variáveis definidas no empo, quando a ordem de ocorrência é relevane, sendo exemplos as áreas do urismo, economia ou biologia. Devido à imporância que esa componene normalmene em no esudo desas variáveis, é imporane que um modelo maemáico que seja usado no ajusameno desas séries emporais reflia a variação aribuída à sazonalidade, caso esa seja significaiva. Para esar a significância desa componene, no caso específico do modelo com endência linear, é normalmene uilizada a esaísica de ese F. O problema principal que nos propomos aprofundar é o da performance do ese F usual na análise da sazonalidade numa série emporal com endência, em algumas siuações específicas que podem ou não ocorrer simulaneamene, nomeadamene: Quando as observações são dependenes, ou seja, quando exise alguma esruura de auocorrelação na série nese caso, quando a série dos erros é gerada por um processo AR(); Quando a disribuição dos valores da série se afasa da disribuição normal, apresenando vários níveis de assimeria. Nese rabalho, é realizada uma primeira abordagem eórica à emáica esudada, com base na lieraura exisene, onde é apresenado o modelo linear de séries emporais com endência e sazonalidade, assim como a expressão da esaísica de ese F em modelos compleos e reduzidos de regressão linear múlipla quando a esimação dos coeficienes do modelo é esimada pelo méodo dos mínimos quadrados, quer ordinários, quer generalizados. Faz-se ainda uma análise aos erros associados ao modelo, com incidência nos processos auorregressivos de ª ordem esacionários. Para complear o desenvolvimeno eórico é realizado um esudo de simulação esocásica, com o objeivo de comparar o comporameno do ese F segundo variações dos parâmeros iniciais da série emporal simulada e ober informações conclusivas acerca das seguines quesões: Como é afeado o nível de significância empírico e a poência empírica do ese F para cada uma das siuações acima descrias? Qual a consequência da esimação do parâmero de auocorrelação no ese F? --

16 . Inrodução Ese rabalho desenvolve-se ao longo de capíulos que podem ser organizados em duas pares mais abrangenes. A primeira pare engloba os capíulos, 3 e 4 onde é efeuado o enquadrameno do problema e apresenado o desenvolvimeno eórico e a descrição dos méodos usados ao longo do rabalho. A segunda pare reúne os capíulos 5, 6 e 7 e compreende um esudo de simulação para avaliar o comporameno do ese F segundo diferenes parâmeros iniciais, duas aplicações a séries de variáveis da área do urismo e da indúsria, respeivamene, bem como as conclusões e os comenários finais. No capíulo apresena-se formalmene o modelo linear adiivo represenaivo das séries emporais com endência e sazonalidade a parir do qual se desenvolve odo o esudo subsequene. No capíulo 3 é apresenado o méodo de esimação pelos mínimos quadrados ordinários e a expressão da esaísica F no ese à significância de um modelo linear (compleo ou reduzido). É definido formalmene o ese de hipóeses respeiane ao problema principal dese rabalho, é apresenada a esaísica F para esar a significância da componene sazonal numa série emporal com endência e sazonalidade e é feia uma breve referência aos erros de ipo I e de ipo II, inerenes ao ese de hipóeses definido. No capíulo 4 é abordado o processo auorregressivo de ª ordem, aravés do qual é definida a componene esocásica das séries emporais em esudo nese rabalho. É realizada uma caracerização do processo e são definidas as funções de auocorrelação e de auocorrelação parcial, aravés das quais ese processo pode ser idenificado por análise à componene dos resíduos. No capíulo 5 é apresenada a expressão da esaísica F em que a auocorrelação nos erros é ida em cona aravés da esimação pelos mínimos quadrados generalizados. É abordado, de forma resumida, o méodo de Cochrane e Orku, para esimação dos coeficienes do modelo em esudo quando os erros apresenam auocorrelação, e são referenciados alguns resulados de esudos já realizados. No capíulo 6 é apresenado um esudo de simulação para averiguar a performance da esaísica F usual, no ese à significância da componene sazonal, em séries em que a componene dos erros apresena correlação, nomeadamene, quando esa é um processo auorregressivo de ª ordem. A análise é feia endo em cona o nível de significância empírico e a poência empírica do ese. --

17 . Inrodução São experimenadas várias siuações que podem er influência no comporameno do ese, nomeadamene a dimensão da amosra simulada, o nível de auocorrelação da série dos erros e o desvio à normalidade, com a inclusão da disribuição gama na componene esocásica. É ambém analisada a influência do parâmero de endência e da consane na esaísica F, o comporameno do ese F quando a auocorrelação é omada em linha de cona aravés da esimação pelos mínimos quadrados generalizados, em paricular, quando a esimaiva do parâmero auorregressivo afasa-se do verdadeiro valor populacional. No capíulo 7 são apresenadas duas aplicações de análise ao comporameno da esaísica F usual no ese à significância da componene sazonal, uma relaiva à variável número de dormidas em espaços de urismo rural e hoelaria radicional nos Açores e oura referene à variável exporações de auomóveis em Porugal. No primeiro caso, a sazonalidade esá claramene definida, fao ese comprovado pela aplicação do ese F, enquano, na segunda série, a aplicação do ese F usual revela-se inconclusiva. Por úlimo, no capíulo 8 é apresenado um resumo dos resulados mais imporanes e são sugeridas ideias para invesigações fuuras. -3-

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19 . Séries emporais com endência e Sazonalidade. Séries emporais com endência e Sazonalidade.. Séries emporais Uma série emporal pode ser definida como uma sucessão de observações ordenadas no empo. São exemplos a precepiação diária, o número de nascimenos numa dada região ou o volume de vendas anuais de uma empresa. Em esaísica, assim como nouros campos da invesigação, como a economeria, a maemáica financeira e a bioesaísica, é usual esudarem-se séries emporais que apresenam algum ipo de variabilidade, à qual esão normalmene associadas perurbações aleaórias. O esudo desas sequências permie a caracerização dos processos por esas represenadas, a previsão do comporameno deses processos em ermos fuuros e, por úlimo, a idenificação e avaliação dos faores que possam er influenciado o comporameno das mesmas. Dada a naureza dos valores das séries emporais, esas podem ser classificadas como discreas ou conínuas. Uma série emporal diz-se discrea quando apenas pode ser observada em inervalos de empo regulares. São exemplos o número de passageiros mensais de uma companhia aérea, o volume de vendas anual e os lucros rimesrais. Nos casos em que os valores podem ser regisados em qualquer momeno emporal, sem inerrupções, as séries dizem-se conínuas. Como exemplos emos a velocidade do veno, a pressão e a emperaura. Nese rabalho são consideradas apenas séries discreas ou séries originalmene conínuas em que regisos são realizados em inervalos de empo regulares... Modelos com endência e Sazonalidade Para caracerizar e esudar uma série emporal é fundamenal enconrar um modelo maemáico que se aproxime dos valores em esudo. Normalmene as séries emporais são analisadas endo em cona aspeos como a endência, o ciclo, a sazonalidade e as variações aleaórias. Um dos modelos usados no esudo desas séries é um modelo com endência simples, caracerizado pela seguine expressão: -5-

20 . Séries emporais com endência e Sazonalidade Z, N em que os erros aleaórios,, são ais que E var Nese modelo, os valores observados dependem da componene deerminísica componene aleaória. em-se ainda que EZ. e da Em muias siuações, o valor médio das séries emporais incorpora componenes que são funções com deerminado ipo de variação. Em paricular, um dos ipos de variação que ocorre frequenemene é o caso em que a série apresena uma endência linear. Nese caso, a série é caracerizada por, Z Conudo, ese modelo de endência simples poderá não ser suficiene para caracerizar deerminadas séries, uma vez que o seu valor poderá incorporar componenes que são funções com ouro ipo de variação, ais como as periódicas. Um modelo que incorpore, para além da endência, uma variabilidade periódica designa-se de modelo linear com endência e sazonalidade e pode ser caracerizado por um modelo adiivo com a seguine expressão: Z s, (..) em que represena a endência, s represena a componene sazonal e represena a componene aleaória associada ao modelo. Viso s represenar uma função periódica de período P, em-se que s P s. Os valores de s,...,, s s designam-se de coeficiene sazonais. P P Dado que, do pono de visa gráfico, represena a ordenada na origem, exigese que s Para faciliar a esimação dos coeficienes sazonais de uma série emporal com endência a sazonalidade, recorre-se a uma ransformação da equação (..). É enão -6-

21 . Séries emporais com endência e Sazonalidade definido um conjuno de variáveis auxiliares, chamadas indicarizes, que: x i, de forma a Z P i x i s i em que os s i represenam os coeficienes sazonais; se ( j ) P i, para algum j,..., Ni x i., caso conrário P O faco de se er considerado s em como consequência uma dependência linear enre as variáveis x i, i i,..., P. Esa condicionane fará com que a esimação dos parâmeros aravés dos mínimos quadrados não seja possível. Para conornar ese problema, pode reescrever-se o modelo anerior na forma: com s S S i i S Z P xisi, i al como aconece com ouros esudos em esaísica, o ajusameno de um conjuno de dados a um modelo pressupõe a esimação de parâmeros populacionais, nese caso, dos coeficienes do modelo. Como se preende um ajuse dos dados a um modelo linear, com mais do que uma variável independene, os valores esperados da variável dependene serão obidos aravés da chamada regressão linear múlipla. Exise mais do que um méodo para esimar os coeficienes de um modelo de regressão linear, conudo o méodo dos mínimos quadrados é o mais uilizado, pois, sob a hipóese de independência, normalidade e homocedasicidade dos resíduos, fornece esimadores cenrados com variância mínima. O esudo do processo de regressão linear múlipla, com esimação pelos mínimos quadrados será abordado no próximo capíulo. -7-

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23 3. O ese F sobre o Modelo de Regressão Linear Múlipla 3. O ese F sobre o Modelo de Regressão Linear Múlipla 3.. O Modelo de Regressão Linear Múlipla Nas séries emporais, assim como em muios problemas de Esaísica, que envolvem mais do que uma variável, é possível esabelecer algum ipo de relação enre as variáveis independenes e a variável dependene. No caso das séries com endência linear e sazonalidade, esudadas nese rabalho, os dados são ajusados a um modelo aravés de regressão linear. Para modelos apenas com endência, é aplicada a regressão linear simples, pois exise somene uma variável independene, o empo. Por sua vez, quando é incorporada a componene de sazonalidade no modelo, é uilizada a regressão linear múlipla. De referir que as perurbações aleaórias inerenes às observações refleir-se-ão no modelo na chamada componene esocásica (dos erros aleaórios). Na regressão linear múlipla assume-se uma relação linear enre uma variável aleaória y, e k variáveis independenes (ou regressores), considerando os parâmeros,..., x,...,, x xk. Assim sendo e,,, p, o modelo de regressão linear múlipla é definido aravés da seguine expressão: yi, x( i) x( i)... k xk( i) i, i,..., n (3..) em que os parâmeros j, j,..., p são chamados coeficienes de regressão; e i represenam os erros aleaórios. Nese modelo, os parâmeros j represenam a variação esperada em y por unidade de variação em permanecem consanes. x j, quando odas as resanes variáveis x i, com i j, Na regressão linear múlipla assume-se os seguines pressuposos, relaivamene à componene dos erros aleaórios: i N(, ), i,..., n. n i variáveis aleaórias independenes. i A equação apresenada em (3..) refere-se a um elemeno genérico i. A relação enre as n observações é dada pelo seguine conjuno de equações: -9-

24 3. O ese F sobre o Modelo de Regressão Linear Múlipla y y y n, x, x, x () () ( n) x x x () () ( n)... x k... x k k k ()... x k () k ( n) n De forma a simplificar a escria, pode-se recorrer à noação maricial para represenar as equações aneriores. Assim sendo e, considerando as seguines marizes represenaivas de cada uma das variáveis em quesão, y y Y y n n, X x x x () () ( n) x x x () () ( n) em-se a seguine equação maricial: em que N(, ) i I n x k () x x k () k ( n) n( k) Y X,, k ( k), n Sublinhe-se que ese ipo de represenação, para além de simplificar a escria, facilia ambém a implemenação de procedimenos de cálculo, nomeadamene do pono de visa compuacional. n 3.. Esimação dos Parâmeros no Modelo de Regressão Linear Múlipla No modelo de regressão linear múlipla, os parâmeros ' k s, referenes à população, são à parida desconhecidos, pelo que é necessário proceder-se à sua esimação, a parir de um conjuno de n observações dessa população. O méodo dos mínimos quadrados ordinários (MQO), proposo por Karl Gauss ( ), é uma das écnicas mais uilizadas para esimar os parâmeros de um modelo linear, aravés da minimização da soma dos quadrados dos resíduos esimados e os dados observados). e i (diferença enre os valores omando b b, b,..., b ) como o veor da esimaiva dos coeficienes de ( k regressão, a esimaiva da variável resposa é calculada a parir dos dados amosrais a parir da expressão com e Y Yˆ Yˆ Xb, --

25 3. O ese F sobre o Modelo de Regressão Linear Múlipla Preende-se enão enconrar os esimadores de ' k s que minimizem a n e i i quanidade, que na forma maricial pode ser escria como e e. Uilizando a igualdade e Y Xb, em-se que e e Y Xb Y Xb Y Y bb Y b X Xb (3..) O passo seguine será o de diferenciar a expressão (3..) em ordem a b e igualar a zero, ou seja, resolver a seguine equação: que é equivalene a b b Y Xb Y Xb Y Y bx Y b X Xb Resolvendo a derivada parcial em relação a b, obém-se a seguine equação: Assim, desde que a expressão X X X X X X Y Xb X Y. seja inverível, o esimador b é dado por: b (3..) Se ocorrer colineariedade na mariz X, ou seja, se alguma variável x k puder ser expressa por uma combinação linear dos resanes veores coluna de X, a mariz X X é singular, logo, não inverível. Para conornar esre problema, pode-se reparamerizar o modelo de modo a que as variáveis independenes que nele figurem sejam linearmene independenes e enão aplicar a esimação pelos MQO. eorema 3..3: O esimador b X X X Y variância é var b X X Demonsração: E b E X X σ é um esimador cenrado e a sua X Y X X X EY X X X EXβ ε X X X Xβ β varb var X X X Y X X X X X X var(y). --

26 3. O ese F sobre o Modelo de Regressão Linear Múlipla var(xβ ε) var(ε) X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X XX X X X O esimador b segue uma disribuição N β, X X b. eorema (Gauss-Markov) Dadas as hipóeses do modelo clássico de regressão linear, o esimador pelos mínimos quadrados ordinários, é o mais eficiene enre odos os esimadores lineares não enviesados, pois apresena variância mínima. eorema 3..5: O esimador cenrado para a variância dado por: s e e Y n k n I XX X X Y y i yˆ i n k n k i dos erros aleaórios é Demonsração: A soma dos quadrados dos resíduos na regressão linear múlipla, dada por pode ser escria como: e e Y Xb Y Xb Y XX X X Y Y XX X X Y Y Y Y XX X X Y XX X X Y Y XX X X Y Y Y Y XX X X Y Y XX X X Y Y XX X X Y Y Y XX X X Y Y I XX X X Y e e, XX X X Y Esa úlima expressão corresponde a uma forma quadráica de variáveis aleaórias, do ipo P Y PY, em que Y segue uma disribuição mulivariada normal, I XX X X e cujo valor esperado é Y PY r( P) μ Pμ veor média de Y. em-se ainda que r I XX X X ri n rx X X X I r X XX X r n E, onde μ é o ri n r I k. n k --

27 3. O ese F sobre o Modelo de Regressão Linear Múlipla Enão, o valor esperado da soma dos quadrados dos resíduos é dado por E XX X e e E Y I XX X X Y r I XX X X Xβ I ( ) Xβ I XX X n k ( n k ) Xβ Xβ XX X ( n k ). A parir daqui deduz-se o esimador cenrado E n k s e e n k n k X Xβ X Xβ X : Xβ 3.3. O ese F de Ajusameno Global do Modelo de Regressão Linear Múlipla A esaísica F usual, proposa por Snedcoor, esa a significância de um conjuno de parâmeros de um modelo de regressão linear múlipla, quando o modelo é ajusado aos dados aravés do méodo dos mínimos quadrados. Define-se o seguine ese de hipóeses: H : k... vs H : j : j, j,..., k Uilizando a noação maricial, as hipóeses a esar assumem o seguine aspeo: H : β vs H :β A variabilidade oal dos valores da variável dependene Y, expressa aravés da soma dos quadrados dos desvios de Y face ao seu valor médio Y (SQ), pode ser separada em duas componenes adiivas: uma explicada pelo modelo de regressão (SQR) e a oura aribuída aos resíduos (SQE). Considerando enão as quanidades Noação maricial S S S n QE y i yˆ i S QE Y Xb Y Xb e e i n QR yˆ i y S QR Xb Y Xb Y i n Q y i y Q Y Y Y Y i S, -3-

28 3. O ese F sobre o Modelo de Regressão Linear Múlipla esabelece-se a seguine relação: n i SQ SQR SQE, ou seja, n n y y yˆ y y yˆ i i i A fração da variância oal em Y explicada pelo modelo de regressão e a da variância aribuída aos resíduos podem ser esimadas respeivamene pela divisão dos valores de SQR e SQE pelos seus graus de liberdade. Esas quanidades designam-se de quadrados médios da regressão (QMR) e quadrados médios dos resíduos (QME), respeivamene. em-se enão que: SQR QMR, k QME SQE n-k- e e. n k Para avaliar a qualidade do ajuse do modelo de regressão aos dados populacionais, compara-se a fração da variância explicada pelo modelo de regressão com a da variância aribuída aos resíduos. Assim, caso a primeira seja significaivamene superior à segunda, podemos concluir que o modelo é significaivo. Esa comparação é efeuada com base na disribuição esaísica da razão enre esas duas variâncias. Sob os pressuposos de independência e homocedasicidade dos erros aleaórios e sob a hipóese inicial H, em-se que: i i i SQR k ~ k e SQE ~ n k nk Como esas duas quanidades são independenes, a esaísica de ese, que corresponde à razão enre as duas quanidades aneriores, segue uma disribuição F com k e n-k- graus de liberdade, ou seja, SQR/ k F ~ SQE n k F k, nk Na forma maricial, a esaísica de ese F é dada por: -4-

29 3. O ese F sobre o Modelo de Regressão Linear Múlipla b X Xb k F Y I XX X X Y n k. A parir das expressões aneriores podemos definir uma abela de análise de variância do modelo ajusado de regressão linear múlipla. Origem da variação Graus de liberdade Soma dos quadrados Regressão k SQR Residual n-k- SQE oal n- SQ Quadrados médios SQR QMR k SQE QME n-k- Esaísica de ese F QMR F QME abela. Análise de Variância para o ese F sobre o compleo reduzido de regressão linear múlipla múlipla A esaísica de ese F, sob H, segue uma disribuição F k, nk. A um nível de significância, rejeia-se H se F F k, nk( ). Sob a veracidade da hipóese alernaiva H :β, a esaísica de ese F segue uma disribuição F não cenral com k e n k graus de liberdade e parâmero de não cenralidade dado por X X ese F de Ajusameno para o Modelo Reduzido A aplicação do ese F ao modelo compleo de regressão linear resula numa decisão sobre o conjuno de odos os parâmeros envolvidos no modelo. Porano, uma rejeição da hipóese nula expressa que pelo menos um dos parâmeros significaivamene diferene de zero, embora iso não signifique que odos o sejam. j é Para se averiguar se um subconjuno de parâmeros é significaivo no modelo de regressão linear, é necessário considerar-se um submodelo do modelo de regressão linear múlipla, de onde são excluídos os prediores correspondenes a esses parâmeros. Preende-se com ese procedimeno apurar se as variáveis que foram excluídas do modelo reduzido são ou não significaivas para o ajusameno global. -5-

30 3. O ese F sobre o Modelo de Regressão Linear Múlipla Considere-se enão as parições X e X, da mariz X, de modo a que X X X,, n k. em que X é uma mariz de dimensão n k e X é uma mariz de dimensão Pode-se reescrever o modelo compleo Y Xβ ε como: Y X β X β ε, com X X, X O modelo reduzido de regressão linear é enão definido por Y X β Preende-se averiguar se a inclusão de X é significaiva para o modelo, o que pode ser expresso pelo seguine ese de hipóeses: H : β vs H :β ε al como no modelo compleo de regressão linear, a significância de um subconjuno de parâmeros pode ser aferida a parir da fração da variabilidade oal explicada pela regressão, nese caso SQR compleo SQR reduzido, e da aribuída aos resíduos, SQE. De forma equivalene, pode-se escrever SQR compleo SQRreduzido compleo como SQE Reduzido SQE compleo. Sob a hipóese inicial H, as quanidades SQE SQE SQE Reduzido compleo e compleo divididas pelos respecivos graus de liberdades são duas variáveis aleaórias, ais que: SQE reduzido SQE k compleo ~ k e SQE compleo n k ~ nk. Como esas duas variáveis aleaórias são independenes, a esaísica de ese, definida como a razão enre essas duas quanidades, segue uma disribuição F com k e n-k- graus de liberdade, ou seja, F SQE reduzido SQE SQE compleo / compleo / k k, nk n k A informação relaiva ao modelo reduzido de regressão linear múlipla pode ser resumida no seguine quadro de análise de variância: ~ F -6-

31 Origem da variação Regressão k Residual n-k- g.l Soma dos quadrados Quadrados médios SQE reduzido SQE compleo SQE compleo oal n- SQ QMR 3. O ese F sobre o Modelo de Regressão Linear Múlipla SQE S * reduzido k SQRes QME n-k- QE compleo abela. Análise de Variância para o ese F sobre o modelo reduzido de regressão linear múlipla Usando a noação maricial, em-se que: SQE Y I X X X X Y, reduzido ' SQE Y I X X X X Y, compleo X X I X X X SQE SQE Y X X X Y. reduzido compleo Logo, a esaísica de ese F pode ser escria aravés da seguine razão: n k Y X X X X I X X X X Y F Y I X X X X Y k ~ F. k, nk Esaísica de ese F QMR * F QMEcompleo Sob a veracidade da hipóese alernaiva H :β, a esaísica de ese F segue uma disribuição F não cenral com k e n k graus de liberdade e cujo parâmero de não cenralidade é dado por: β X I X X X X X β O ese F de Significância de Resrições Lineares O ese F pode ambém ser uilizado para esar a significância de um conjuno de resrições lineares relaivas a um modelo de regressão linear múlipla. Nesse caso, a hipóese linear geral a esar é H : Rβ r Vs H : Rβ r, onde R é uma mariz m( k ) com caracerísica m, m ( k ), em que k é o número de variáveis regressoras do modelo. -7-

32 3. O ese F sobre o Modelo de Regressão Linear Múlipla Sob os pressuposos dos erros aleaórios s serem idênicos e independenemene disribuídos com ~ N, assume a seguine forma: i ' i, a esaísica F para esar H Rb r CX X C Rb r F F m, n k ms Y I X onde b X X X X X Y e Sob a hipóese alernaiva s n k X ~, Y. H : Rβ r, a esaísica de ese F segue uma disribuição F não cenral com m e n k graus de liberdade e parâmero de não cenralidade C Rβ r Rβ r CX X O ese F Usual sobre o Modelo de Regressão Linear em Séries emporais com endência e Sazonalidade Nesa secção vamos paricularizar a aplicação da esaísica F no ese à significância de modelos de regressão, em séries emporais com endência e sazonalidade que, como já vimos no capíulo, podem ser escrias como funções lineares no empo, iso é, Z p xisi, i com s i S S e S. i Para esar a significância do modelo compleo (componenes de endência e de sazonalidade), definem-se as seguines hipóeses: H : s s... s p H : i : si, i,..., p As marizes a usar para o modelo compleo apresenam o seguine aspeo: y y Y, y n n x x x p x x x p X, n xn xn xnp n( p) S β, ε S p n ( p) n -8-

33 3. O ese F sobre o Modelo de Regressão Linear Múlipla com se ( j ) p i, para algum j,..., Ni x i., caso conrário Sob H, a esaísica F seguirá uma disribuição Fisher com p e n p graus de liberdade, com F Xb Y Xb Y p Y I X X X X Y n p A esaísica F aplicada sobre ese modelo de regressão irá esar a presença de endência ou de sazonalidade na série emporal em esudo. Caso apenas uma dessas componenes seja significaiva no modelo, o ese F, aplicado ao modelo compleo, não deeará qual dessas componenes é significaiva, pelo que é necessário recorrer-se a um modelo reduzido de regressão linear. No esudo da significância da componene sazonal, o modelo reduzido de regressão linear a uilizar resula da eliminação desa componene da equação inicial, ou seja, O ese de hipóeses a considerar será Z. H s s... s Vs H : i : si, i,..., p. : P As marizes que incorporam ese modelo reduzido são as seguines: Y Y Y, Y n n X, n n β,. ε n Por fim, a esaísica F, para esar a significância da componene sazonal em séries emporais com endência linear, é dada por p Y I X X X X Y n p Y X X X X I X X X X F n ~ F. p, n p Sob H, a esaísica F segue uma disribuição Fisher com p e n p graus de liberdade. -9-

34 3. O ese F sobre o Modelo de Regressão Linear Múlipla 3.7. Erros de ipo I e Erros de ipo II Associados ao ese F Na aplicação do ese F, al como aconece nos eses de hipóeses em geral, são consideradas duas hipóeses relaivas a parâmeros populacionais a hipóese nula, represenada por H, e a hipóese alernaiva H que será aceie caso H seja rejeiada. A decisão de aceiação ou rejeição de H é efeuada com base no valor da esaísica de ese, que é calculada a parir dos valores de uma amosra reirada da população. Uma vez que esas amosras, à parida, apresenam aleaoriedade, a aceiação ou rejeição de H esará sempre associada a erros e riscos. Eses erros são classificados segundo dois ipos: Erro ipo I: rejeiar H sendo H verdadeira. Erro ipo II: Aceiar H, sendo H falsa. Numa omada de decisão decorrene da aplicação de um ese de hipóeses, podem ocorrer quaro siuações disinas, apresenadas no seguine quadro: Decisão Realidade (desconhecida) H é verdadeira H é falsa Não rejeiar H Decisão correa Erro ipo II Rejeiar Ho Erro ipo I Decisão correa Como a decisão é omada a parir do valor de uma variável aleaória, a eses erros esarão associadas as probabilidades da sua ocorrência: P(Erro do ipo I) = P(rejeiar H H é verdadeira), usualmene denominada de nível de significância da amosra. P(Erro do ipo II) = P(aceiar H H é falsa). O ideal seria conseguir minimizar simulaneamene as probabilidades de erro de ipo I e de ipo II, conudo iso não é possível, uma vez que, quando se reduz a probabilidade de um dos erros, aumena a probabilidade de ocorrência do ouro. Normalmene opa-se por conrolar o nível de significância da amosra, ou seja, a probabilidade de ocorrência do erro de ipo I, fixando-se um valor para a probabilidade da sua ocorrência. A parir desa pode ser deerminado o valor para a probabilidade do erro de ipo II e a poência de um ese esaísico, que corresponde à probabilidade de rejeiar H quando H é falsa, ou seja, --

35 df(x, 3, 35) O ese F sobre o Modelo de Regressão Linear Múlipla Poência do ese=p(rejeiar H H é falsa) = - P(aceiar H H é falsa) Viso a poência de um ese esaísico represenar a probabilidade de se rejeiar correamene H, a comparação das performances de eses esaísicos pode ser feia aravés da poência de cada um deles. Manendo o nível de significância consane, será mais eficiene o que apresenar maior poência. É práica comum considerar-se como nível de significância um dos valores %, 5% ou %. Em geral, verifica-se ainda que a poência de um ese esaísico diminui à medida que o verdadeiro valor dos parâmeros em causa se aproxima dos valores esabelecidos aravés de H e que o aumeno no amanho da amosra reduz os valores de e. No caso da aplicação do ese F para esar a significância da componene sazonal de uma série emporal com endência e sazonalidade, a esaísica de ese, sob H, segue uma disribuição F de Fisher com p e n p graus de liberdade. Assim, para um nível de significância de 5%, o chamado valor críico da disribuição F de Fisher é dado pelo quanil a F p, n p(.95). (3.6.) A rejeição da hipóese inicial irá ocorrer caso o valor da esaísica de ese F seja superior ao quanil a. A figura seguine ilusra a função densidade de probabilidade eórica da esaísica de ese F para 3 e 35 graus de liberdade (numerador e denominador, respeivamene). Fisher(x,3,35) Figura. Gráfico da função densidade x de probabilidade da disribuição F, para 3 e 35 graus de liberdade do numerador e denominador, respeivamene. --

36 df(x, 3, 35) O ese F sobre o Modelo de Regressão Linear Múlipla Se o valor da esaísica de ese for inferior ao valor críico, enão não se deve rejeiar a H. Caso o valor da esaísica de ese F se enconre na zona de rejeição, há que considerar a veracidade de H, sendo que, nesa siuação, a esaísica de ese F segue uma disribuição Fisher não cenral com p e n p graus de liberdade e parâmero de não cenralidade. A poência do ese F é dada pela probabilidade da esaísica de ese F, sob H, ser superior ao quanil a (3.6.), ou seja, Poência= PF a p, n p, No gráfico seguine são apresenadas as funções densidade de probabilidade eóricas da esaísica de ese F, sob H, com 3 e 35 graus de liberdade e sob H, considerando o parâmero de não cenralidade. Fisher(x,3,35) F 3,35 F 3,35, - Figura. Função densidade de probabilidade da disribuição F não cenral, para 3 e 35 graus de liberdade do numerador e denominador, respeivamene e parâmero de não cenralidade. Não se deve esquecer que as probabilidades dos erros de ipo I e II, assim como a poência de ese são calculadas parindo da hipóese nula e parindo do princípio que odos os pressuposos de aplicabilidade do ese são verificados, caso conrário os resulados obidos poderão não ser válidos Recorrendo a um esudo de simulação é possível esimar a ocorrência deses dois ipos de erro a um deerminado nível de significância nominal, aravés da aplicação do ese em n séries simuladas sob um conjuno fixo de condições iniciais. O nível de significância empírico é dado pela proporção de rejeições da hipóese nula dado que esa é verdadeira. Se n for elevado é de esperar que, sob H, o nível de significância empírico seja um valor próximo do valor de uilizado. Será ão mais próximo quano maior for o número de simulações efeuadas. Por ouro lado, se as simulações forem x --

37 3. O ese F sobre o Modelo de Regressão Linear Múlipla realizadas sob H, a proporção de rejeições da hipóese nula corresponderá à poência empírica do ese. No caso em esudo nese rabalho, para o cálculo do nível de significância empírico, as séries são simuladas sob H, ou seja, com os coeficienes sazonais nulos, enquano para o cálculo da poência empírica, pelo menos um desses coeficienes erá que ser não nulo. -3-

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39 4. Processos Auorregressivos de ª Ordem - AR() 4. Processos Auorregressivos de ª Ordem AR() Como referido no capíulo anerior, a independência dos erros é um dos pressuposos para a aplicação do méodo dos mínimos quadrados no modelo de regressão linear. No enano, em muios casos de séries emporais com endência e sazonalidade, ese pressuposo não é verificado, havendo, porano, algum ipo de correlação enre os erros do modelo. Com o inuio de modelar esses erros, as séries emporais podem ser visas como um conjuno de observações de um processo esocásico. Nesa secção, são abordados os conceios mais imporane para ese rabalho no que respeia aos processos esocásicos e, em paricular, são apresenadas as caracerísicas do processo auorregressivo esacionário de ª ordem, AR(). 4.. Processos Esacionários Definição 4... Chama-se processo esocásico a qualquer família ou colecção de variáveis aleaórias X ( ), em que é um conjuno de índices represenando o empo. Considerando um processo esocásico X, R, uma série emporal pode ser visa como um conjuno de observações de um processo esocásico nos insanes,...,, n. O conjuno de índices, chamado de espaço de parâmeros, nas séries emporais poderá ser um dos seguines conjunos: N, Z, R ou R. No caso paricular das séries discreas, será considerado ineiro, ; ; ;... espaço de esados. Definição 4... Um processo esocásico. Por sua vez, a X X dá-se o nome de, R diz-se esriamene esacionário sse a disribuição conjuna de X ),..., X ( ) for igual à disribuição conjuna de ( n X ( ),..., X ( ) para odo o n-úplo F n,..., n X X x,..., ),..., ( ) xn F X ( ),..., X ( ) x xn (,..., n n e odo o, ou seja, -5-

40 4. Processos Auorregressivos de ª Ordem - AR() em odos os ponos x,..., x n e em que F X ),..., X ( ) represena a função disribuição conjuna de X ),..., X ( ). ( n ( n Pode-se enão dizer que, num processo esriamene esacionário, a disribuição de probabilidade de um conjuno qualquer de margens maném-se inalerada para ranslações desas no empo. define-se: Definição Dado um processo esocásico () i) Função valor médio, : E X. ii) Função de variância, Var X. : iii) Função de covariância,, ) : ( X, al que X X ( ), X EX ( X (., ) cov ) iv) Função de correlação,, ) : (, ) ( cov X ( ), X (, ). var X ( ), X E, Definição Um processo esocásico diz-se esacionário de ª ordem ou esacionário para a covariância sse for al que, para odo o, i) E ( X ( )) X E,e ii) Var ( X ( )) iii) Cov X, X ),. ( A parir de iii) verifica-se que, num processo esacionário de ª ordem, a covariância enre duas margens do processo e depende apenas da sua disância emporal. Assim sendo, pode-se dizer que a função de covariância é invariável no empo, logo pode ser definida aravés de uma única variável k. Esa propriedade ambém se verifica com a função de correlação. -6-

41 Funções de auocovariância e de auocorrelação 4. Processos Auorregressivos de ª Ordem - AR() Definição Num processo esacionário de ª ordem, chama-se: Função de auocovariância à função: cov X ( ), X k. Função de auocorrelação (FAC) à função: k k k X k cov X ( ), X k X ( ), X k. Var ( X ( )) Var A função de auocorrelação em uma grande relevância na idenificação do processo subjacene à componene dos erros de uma série emporal. Nos casos dos dados serem provenienes de amosras, a idenificação desse processo erá que ser efeuada a parir das esimaivas dos valores da referida função. É naural considerar-se os seguines esimadores para as funções de auocovariância e auocorrelação, respeivamene: em que X n O esimador n X ˆ, k nk n k ( X X )( X k X ) n ( X X )( X X ) k ˆ k, (4..6) n ( X X ) ˆ k é enviesado à esquerda, o mesmo aconecendo com ˆ k. Quano maior for k, maior será o desvio de E( ˆ k ) relaivamene a k e de E( ˆ k ) relaivamene a k, por isso é procedimeno comum esimar-se k e de k. n k para os primeiros valores 4 Funções de auocovariância e de auocorrelação parciais A função de auocorrelação parcial complemena a função de auocorrelação no que respeia à idenificação do modelo a que corresponde a componene aleaória da série emporal em esudo. Enquano a função de auocorrelação (FAC) é uma medida de -7-

42 4. Processos Auorregressivos de ª Ordem - AR() associação linear enre X e X k, independenemene da relação com as variáveis inermédias no processo, a função de auocorrelação parcial (FACP) mede a relação exisene enre as variáveis X e X depois de reirado o efeio das variáveis k inermédias, X X,..., X. A função de auocorrelação parcial pode ser represenada por P. K, k Represenando por i,..., k, podemos escrever que: ki a correlação enre a variável X e X k i, com k X k X X... X e k k k k kk k, em que o resíduo e k é não correlacionado com Z k i, com i,..., k. associa A função de auocorrelação parcial é, porano, a função que, a cada inervalo k PK. kk A esimação da função de auocorrelação parcial, no caso dos processos esacionários de ª ordem, poderá ser efeuada a parir das seguines equações: j k j k j... kk jk, j,,..., k, em que os valores de amosra. em-se enão que: j serão subsiuídos pelos de ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ... ˆ ˆ j k j k j kk jk, j,,..., k. ˆ j, esimados a parir da Segundo Dublin (96), as soluções do sisema de equações anerior podem ser deerminadas de forma recursiva, a parir das seguines expressões: ˆ ( k)( k) ˆ k k j k j ˆ ˆ kj ˆ ˆ kj k j j e ˆ ˆ ˆ ˆ ( k ) j kj ( k)( k) k ( k j), j,..., k -8-

43 4. Processos Auorregressivos de ª Ordem - AR() 4.. Processo de Ruído Branco e Processo Auorregressivo de ª Ordem - AR() Um dos modelos que normalmene esá presene na componene dos erros de séries emporais é o chamado processo auorregressivo de ª ordem AR(), definido a parir de um processo de ruído branco. Definição 4... Um processo esocásico de ruído branco sse i) E a ) ii) ( Var ( a ) a (variância consane) iii) Cov( a, a ), k,,... k k A parir da definição anerior, pode concluir-se que k,,... k. k a, Z diz-se puramene aleaório ou Num processo de ruído brando, a sucessão das variáveis aleaórias apresenam correlação nula. É um processo que por si só não em grande uilidade, odavia é a parir dese que muios dos processos emporais são definidos. Conclui-se ainda que um processo de ruído branco é um processo esacionário de ª ordem. Definição 4... Um processo auorregressivo de ª ordem AR() é um processo definido a parir de um processo puramene aleaório a e que verifica a equação Z Z a, em que a é um processo de ruído branco. Escrevendo a série Z a parir do seu primeiro valor e considerando Z, em-se: Z a, Z a, Z Z a 3 a a a3, a a... a a. Assim, nos casos em que Z, podemos redefinir Z de forma não recursiva, aravés da seguine expressão: -9-

44 4. Processos Auorregressivos de ª Ordem - AR() Z j a a... a a a j. j Dada a correlação exisene enre as variáveis dese processo, quando Z, os valores da série serão afeados de alguma forma por ese valor inicial. Conudo, para valores de suficienemene grandes, Z perderá a sua influência no comporameno do processo. Assim sendo, considerando que o início da série é dado por ender para o infinio, em-se que Z N, com N a Z j j a j a j. j j Conudo, para Z poder ser represenado pelas séries represenadas na expressão anerior, é preciso que essas séries sejam convergenes em média quadráica, o que aconece se. Deduz-se ainda que o processo AR() é esacionário sse. Do resulado anerior pode concluir-se que, num processo AR(), se, a covariância e a correlação enre dois ponos do processo, e, dependem apenas da disância emporal, ou seja:, ) ( ), (, ) ( ). ( Z. a Propriedade Num processo AR(), em-se EZ e var Demonsração: Como E, para a j j j, EZ E a j E a j Ea j j j j var j j j Z var a j var a j vara j a Para j j j, a série geomérica j é convergene, sendo a sua soma j j j, var Z a logo, -3-

45 4. Processos Auorregressivos de ª Ordem - AR() Em (4..5) foram apresenadas as funções de auocovariância e de auocorrelação para qualquer processo esacionário de ª ordem, odavia exisem expressões mais simplificadas para o caso do processo AR(). obém-se, A função de auocovariância de um processo AR() é dada pela expressão Demonsração: k a k com k,,,.... Muliplicando ambos os membros da equação Z omando valores médios, E Como as variáveis a e Zk Z k Z Z a Z. k Z Z EZ Z Ea Z k k. k Z a por, k k Z são independenes com valor médio nulo, a Z E( a ) E( Z ) E. k k Assim, covz, Z EZ, Z k k k E Z, Z k k k E Z, Z k k Z k k k E k k Z k, Zk varz k. Z, a Como var k k a k k k a Como, enão k com k,,,.... Por sua vez, a função de auocorrelação de um processo AR() é dada por: k k k, k,,,.... k Nese processo, cada variável aleaória Z esá correlacionada com a variável aleaória definida no insane anerior, Z. Uma vez que o processo AR() é -3-

46 4. Processos Auorregressivos de ª Ordem - AR() esacionário de ª ordem, ou seja, esacionário para a variância, o valor do coeficiene de correlação enre duas variáveis consecuivas no empo, Z e Z,dado por, é consane. Ese valor corresponde ao valor da consane definida na equação dese modelo. Nauralmene que um esimador para o parâmero auorregressivo será ˆ ˆ. (4..4) ˆ ˆ O esimador ˆ em (4..4) engloba-se nos denominados esimadores de Yule- Walker. Nos capíulos 6 e 7, esudo de simulação e análise de séries reais, respeivamene, é uilizado ese esimador para deerminar a esimaiva do respeivo parâmero. No que concerne ao modelo de regressão linear quando os erros apresenam auocorrelação serial, é imporane salienar que o esimador dos mínimos quadrados ordinários coninua a ser não enviesado e consisene (a esimaiva converge para o valor do parâmero) no enano perde eficiência, deixando de er variância mínima. Ese aumeno da variância do esimador, face ao do modelo sem correlação, leva ambém a que os eses esaísicos de significância dos parâmeros e os limies de confiança dos mesmos deixem de ser os correos. Esa siuação é mais problemáica para valores de correlação maiores. -3-