Aplicação do gráfico de controle de média móvel exponencialmente ponderada (EWMA) para monitorar a variabilidade de um processo produtivo

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1 Aplicação do gráfico de conrole de média móvel exponencialmene ponderada (EWMA) para moniorar a variabilidade de um processo produivo Wesley Vieira da Silva 1 Paulo Sergio Macuchen Eduardo Damião da Silva 1 Luciana Sanos Cosa Nogas 1 wesley.vieira@pucpr.br paulo.nogas@pucpr.br eduardo.damiao@pucpr.br luvcosa@gmail.com RESUMO 1 Ponifícia Universidade Caólica do Paraná (PUCPR), CCSA/PPAD Curiiba, PR, Brasil Universidade do Sul de Sana Caarina (UNISUL) Tubarão, SC, Brasil Ese rabalho uiliza-se da cara de média móvel exponencialmene ponderada (EWMA), visando moniorar a variabilidade e a esabilidade do eor de pureza de uma indúsria química siuada no Sul do Esado de Sana Caarina. Saliena-se que o eor de pureza deve ser superior a 85%, segundo as especificações do mercado. A cara uilizada, com consane de alisameno =,55, idenificou um pono fora dos limies de conrole, apresenando um padrão que pode ser classificado como não naural. Dese modo, o processo produivo não se enconra em esado de conrole esaísico; ou seja, sua variabilidade é bem maior que a variabilidade naural. Palavras Chave: Média Móvel exponencialmene ponderada; Gráficos de Conrole; Indúsria Química. 1 INTRODUÇÃO Ao produzir um produo, as caracerísicas deses apresenam variação ineviável devido aos diversos faores que compõem o processo produivo. Porano, é necessário que esa variabilidade seja conrolada de modo que os poenciais produores possam fabricá-los endo uma boa qualidade e garana uma maior adequação ao seu uso. O conrole esaísico de processos é uma ferramena de grande imporância para o moniorameno de um processo produivo. Esa ferramena é represenada aravés dos gráficos de conrole desenvolvido por Waler A. Shewhar, durane a década de, que permie processar e dispor informações que possam ser uilizadas na idenificação dos ipos de causas para a variação da qualidade dos produos resulanes de um processo. Uma primeira suposição implícia na esruura do modelo de Shewhar é que a caracerísica da qualidade (X) que esá sendo moniorada apresene, enquano o processo esiver sob o esado de conrole esaísico, uma disribuição normal com média e variância σ ; iso é, X N( µ,σ ). Por ouro lado, uma oura suposição assume que as observações consecuivas de X são independenes enre si. Tal suposição é freqüenemene violada, dado que independência enre valores consecuivos de X dificilmene ocorrem em problemas físicos reais. A consrução da cara Shewhar, considerando uma esruura de dados correlacionados, aumena consideralvemene a freqüência de alarmes falsos. Uma solução proposa por Box & Jenkins (1976) consise em modelar a esruura de correlação com um modelo de séries emporais adequado, obendo a parir disso, os resíduos de al modelo e usálos para monar uma cara de conrole, obendo-se seus limies. A parir daí o modelo deve ser

2 aplicado aos novos dados do processo, onde é calculado os resíduos a cada novo pono e ploado na cara de conrole já dimensionada. A cara de Shewhar é robusa para deecar grandes mudanças ( 3σ n ) no processo produivo. A lenidão para deecar pequenas magniudes na sensibilidade do processo é de fao a conseqüência naural da grande proeção conra alarmes falsos. Todavia, processos ais como os da indúsria química, onde cada baelada de produção demora várias horas para ser processada e são alamene sensíveis a pequenas variações nos insumos de produções, necessiam de caras especiais para o seu moniorameno. As caras EWMA e CUSUM, procuram compensar a lenidão da cara de Shewhar. Podem ser uilizadas quando exisir o ineresse em mensurar pequenas alerações no sisema produivo( < 3σ n ), o que reduziria de forma significaiva a variabilidade previamene deecada. Ese arigo esá esruurado da seguine forma: a primeira seção refere-se a inrodução. A segunda seção ecerá breves considerações acerca do gráfico de conrole esaísico de processos chamada de Exponencial de Médias Móveis Ponderada (EWMA). A erceira seção evidencia os resulados empíricos e a quara seção ece algumas considerações e sugesões para rabalhos fuuros. - O GRÁFICO DE CONTROLE DE MÉDIA MÓVEL EXPONENCIALMENTE PONDERADA (EWMA) Como foi mencionado aneriormene, a grande desvanagem das caras de Shewhar, é que esas usam a informação sobre o processo conido no úlimo pono calculado, sendo que ese pono não incorpora informações sobre o passado do processo. Como o passado é ignorado, as caras de Shewhar são poucos sensíveis para deecar pequenos deslocamenos na média do processo. A cara EWMA foi inicialmene proposa por Robers [1959] para aplicações em conrole de qualidade com variáveis aleaórias, independenes e idenicamene disribuídas (i.i.d.) e em como objeivo suprir a deficiência apresenada pela cara de Shewhar; ou seja, incorporar direamene o comporameno passado no pono presene. O modelo que define a cara EWMA é dado da seguine forma: Onde: +=X ; com < 1 (1) : previsão para caracerísica da qualidade no período ; X : caracerísica da qualidade real para o período ; : consane de suavização ou de alisameno; -1 : previsão para a caracerísica da qualidade para o período -1. A demonsração de que o modelo (1) consiui, de fao, uma média ponderada para odas as observações, pode ser obida desenvolvendo recursivamene a equação (1). Subsiuindo o valor de -1 que seria dado pela equação (1), em-se que:

3 3 [ X + (1 ] = X + ( 1 ) 1 ) ou desa forma: = X + ( 1 ) X 1 + (1 ) subsiuindo - pelo valor dado pela equação (1), em-se assim: [ X + (1 ] = X + ( 1 ) X 1 + (1 ) ) 3 ou ainda, 3 = X + ( 1 ) X 1 + (1 ) X + (1 ) 3 A expressão acima indica que a caracerísica da qualidade real X aparece em odas as expressões da caracerísica da qualidade previsa para um período qualquer ; indicando ambém, que quano mais aniga a caracerísica da qualidade real exponencialmene, menor o peso com que aparece na expressão de. Ao final, caso seja desenvolvido oda a expressão, apenas o valor da caracerísica previsa, que foi adoado, irá aparecer ao lado de odas as caracerísicas da qualidade real, ou seja: = X + ( 1 ) X (1 ) X + (1 ) X 3 + Λ + (1 ) X + (1 ) () Generalizando a expressão acima, em-se: = (1 ) 1 + (1 ) j = X j (3) Onde : : represena o valor de inicialização, geralmene represenado pelo nível médio do processo. Se as observações X são variáveis aleaórias independenes, com variância σ, enão a variância de será: σ σ [ 1 (1 ) ] = (4) Por ouro lado, os limies de conrole da cara EWMA podem ser definidos como segue: LSC [ 1 (1 ] µ + Lσ ) = (5)

4 4 LC = µ (6) LIC [ 1 (1 ] µ Lσ ) = (7) NETO (1999), enfaiza que o gráfico de Exponencial de Médias Móveis Ponderada (EWMA), possui uma ampla variedade de aplicações. Denre elas enconra-se a previsão de endência não esacionária do nível do processo, permiindo dese modo, que a média do processo oscile livremene ao longo do empo. Tal aspeco orna-se imporane pois as previsões aravés do EWMA podem ser uilizadas visando deerminar ajuses feedback necessários para manuenção do nível do processo próximo do valor desejado. 3 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS EMPÍRICOS Nesa seção, verificam-se as hipóeses de independência da variável uilizada, bem como a hipóese de normalidade, poseriormene procede-se a esimação do modelo ARIMA (p,d,q), aplicando-se poseriormene a cara EWMA para as medidas do eor de pureza (%) de uma subsância química, de uma indúsria do Sul do Esado de Sana Caarina, com o objeivo de verificar se o processo esá ou não sob conrole esaísico Verificação da hipóese de independência. Nesa subseção, uiliza-se a função de auocorrelação amosral de modo a verificar se a disribuição de probabilidades dos eores de pureza são variáveis aleaórias independenes. Lag Corr. S.E FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO AMOSTRAL TEOR DE PUREA_ Q p , -,5,,5 1, FIGURA 1 GRÁFICO DA FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO AMOSTRAL PARA AS OBSERVAÇÕES INDIVIDUAIS DA VARIÁVEL TEOR DE PUREA ( % )

5 5 A figura 1, indica que há auocorrelação esaisicamene significaiva aé o 1º período de defasagem. Do lado esquerdo, em-se o número de defasagens (lag), a correlação (corr) e o respecivo erro padrão de esimaiva (S.E). Do lado direio, apresena-se a esaísica Pormaneau (Q) e sua respeciva significância esaísica, dado pelo valor de p. Nese caso, considera-se o nível de significancia de 1%, aceiando-se a hipóese da presença de auocorrelação no processo, sugerindo-se assim, o ajuse dos dados a um modelo de série emporal adequado às observações individuais, aplicando-se a cara EWMA nos resíduos provenienes dese modelo. 3. Verificação da hipóese de normalidade Os limies de conrole do gráfico EWMA são basane sensíveis à violação da suposição de que as observações da variável de ineresse X seguem uma disribuição normal. A hipóese de normalidade do conjuno de dados disponíveis para a avaliação da esabilidade do processo pode ser visualizada pelo gráfico de probabilidade normal e pelo ese nãoparamérico de Shapiro-Wilks. 3,5 GRÁFICO DE PROBABILIDADE NORMAL TEOR DE PUREA,5 1,5 Valor Esperado,5 -,5 Tese:Shapiro-Wilks W =,9368 p(valor) =,696-1,5 -, FIGURA GRÁFICO DE PROBABILIDADE NORMAL,PARA DISTRIBUIÇÃO DOS TEORES DE PUREA,DE UMA SUBSTÂNCIA QUÍMICA. Analisando a figura, observa-se que os ponos não esão localizados ao longo de uma rea. O ese de Shapiro-Wilks apona evidências que conrariam a idéia de normalidade ao nível de significância de 1%. Como a variável em quesão não em uma disribuição próxima da normal, opa-se em ransformar a variável original em uma nova variável que seja aproximadamene normal. 3.3 A modelagem ARIMA (p,d,q)

6 6 Para idenificar os valores de (p,d,q), inicialmene diferencia-se a série de enrada (X ), uma vez que na figura 1, exisem evidências de que as variáveis são não esacionários. Um processo esacionário é obido, quando a função auocorrelação amosral (f.a.c.) de = X decresce rapidamene para próximo de zero. A figura 3 a seguir, mosra que a série decresce rapidamene para próximo de zero após a primeira defasagem, indicando que o processo ornou-se esacionário. Diz-se enão que a série é inegrada de primeira ordem (d = 1). FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO AMOSTRAL SÉRIE DIFERENCIADA Lag Corr. S.E Q p , -,5,,5 1, FIGURA 3 GRÁFICO DA FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO PARCIAL, PARA AS OBSERVAÇÕES INDIVIDUAIS, DA VARIÁVEL TEOR DE PUREA DE UMA SUBSTÂNCIA QUÍMICA Os valores de p e q são obidos aravés das análises das auocorrelações e auocorrelações parciais esimadas, cujos comporamenos devem imiar os comporamenos das respecivas quanidades eóricas. A função de auocorrelação amosral apresenada na figura 3, evidenciando que somene a primeira auocorrelação é diferene de zero. Isso sugere que o processo avaliado é uma média móvel de primeira ordem, ou de forma abreviada, MA(1). Os parâmeros do modelo ARIMA (,1,1) ou IMA(1,1), foram obidos pelo méodo das esimaivas de máxima verossimilhança implemenadas no programa compuacional Saisica for Windows. O modelo de série emporal que mais adequadamene descreve o comporameno do eor pureza da subsância química, ou seja, IMA (1,1) pode ser descrio da seguine forma: 456,= (8) Onde:

7 7 â -1 : represena uma seqüência de resíduos (ruído branco) com desvio padrão σ a = 3,354, no insane ; : represena a disribuição do comporameno do eor de pureza projeada da subsância química, diferenciada uma vez, no insane. A figura 4 apresena os resulados da análise dos resíduos do modelo (8) esimado, cuja função de auocorrelação amosral e o ese Pormaneu, susena a hipóese de erros (ruídos brancos) ao nível de significância de 1%. FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO AMOSTRAL RESÍDUOS DO MODELO IMA (1,1) Lag Corr. S.E Q p , -,5,,5 1, FIGURA 4 FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO AMOSTRAL DOS RESÍDUOS PROVENIENTES DO MODELO IMA (1,1) A hipóese de que os resíduos independenes, provenienes do IMA (1,1) são normais, podem ser visualizados no gráfico de probabilidade normal para os resíduos ploados na figura 5 abaixo. O ese não paramérico de Shapiro-Wilks corrobora com esa decisão, ao nível de significância de 1%.

8 8 3 GRAFICO DE PROBABILIDADE NORMAL RESÍDUOS DO MODELO () Valor Normal Esperado TESTE: SHAPIRO-WILKS. W=,96779 p(valor) =, Valor Figura 5 Gráfico de probabilidade normal para os resíduos do modelo IMA (1,1) 3.4 A cara EWMA O veor de resíduos (ruído branco) foi uilizado para a consrução da cara EWMA, visando realizar o moniorameno da disribuição do eor de pureza da subsância química analisada. A cara apresenada na figura 6, foi consruída a parir dos resíduos individuais do modelo (8) com consane de suavização =,547, mosra um processo produivo posicionado enre os valores ( 6,31; 5,98), evidenciando fala de conrole esaísico do processo. EWMA (l =,547) Cara: ARIMA MÉDIA Observações CARTA DE CONTROLE - EWMA Amosras W : W : Figura 6 Cara EWMA para o eor de pureza da subsância química.

9 9 Como pode ser visualizado a parir da figura acima, há evidências de uma diminuição do eor de pureza da subsância química, conforme apona a baelada de número 31. A parir dese pono noa-se a ocorrência da esabilização do processo em um nível mais baixo do eor de pureza. De acordo com os eses seqüenciais é possível idenificar ouros comporamenos na cara EWMA que indiquem insabilidade no processo, como apona as observações abaixo mencionadas: Quaorze ponos consecuivos alernando-se para cima e para baixo, da baelada de número à 33 e da baelada de número 1 à 34; Quaro em cinco ponos consecuivos siuados nas zonas A ou B de um mesmo lado do gráfico, da baelada de número 6 à 64; número 61 à 65 e número 6 à 66. Embora a cara EWMA enha aponado que o processo esá fora de conrole a parir da baelada número 31, aravés dos eses seqüenciais, foi deecada pela cara, que a fala de conrole apresenou-se a parir da baelada número. Assim, cabe ao responsável pela produção, invesigar a causa dessa insabilidade no processo e promover ações correivas a fim de que se reorne à esabilidade. Vale salienar, que muias vezes as mudanças a serem feias no processo demandam uma roca de equipameno ou aé mesmo de projeo, devendo a adminisração conabilizar os cusos e benefícios provenienes da mudança, para que a fala de provisão de recursos impeça dar coninuidade às mudanças e, com isso, acarree mais problemas. Enreano é sempre viável e necessário invesir em qualidade, pois os ganhos obidos na grande maioria das vezes são sempre saisfaório, seja a curo ou a longo prazo. 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS E RECOMENDAÇÕES De acordo com o que foi apresenado, consaa-se que a cara EWMA possui um bom desempenho na deecção de insabilidades em processos produivos que apresenam desvios pequenos e difíceis de serem aponados pelas casas radicionalmene uilizadas, como as caras de Shewhar. O presene rabalho uilizou-se da meodologia de séries emporais para modelar a esruura de dados nese uilizada. Observou-se que os dados violaram as suposições básicas de independência esaísica e idenicamene disribuídos, propondo assim o modelo que foi apresenado. A série de enrada X, foi submeida ao operador diferença, para induzir a esacionariedade nos dados. O modelo de série emporal ajusado a série, IMA (1,1), apresena coeficiene esaisicamene significane e esável, bem como a menor variância residual. O ese Pormaneu, aplicado para disribuição dos resíduos do modelo esimado, não evidenciou auocorrelações residuais significaiva.

10 1 A cara EWMA, com consane de suavização =,55, recomenda que a empresa invesigue as causas que esão provocando o desajuse do processo e promova ações correivas apropriadas para esabilizar o processo e depois manê-lo sob conrole esaísico. Recomenda-se para rabalhos fuuros, que os cusos gerados pela insabilidade do processo sejam calculados e com isso busque oimizá-lo de forma a complemenar o esudo realizado. Além disso, sugere-se que modelos ARIMA (p,d,q) com inervenção sejam esimados com o objeivo de classificar o efeio das observações espúrias. BIBLIOGRAFIA CONSULTADA BOX, G. E. P, JENKINS G. M. Times series analysis: forecasing and conrol. Golden Day, San Francisco, BOX, G. E. P, JENKINS G. M. & MACGREGOR, J. F. Some recens advances in forecasing and conrol. Applied. Saisics, v.3, nº, pp , KUME, H. Méodos Esaísicos para a Melhoria da Qualidade. São Paulo: Ediora Gene, MONTGOMERY, Douglas C. Inroducion o Saisical Qualiy Conrol, 3 rd ed. Wiley, N.Y.,1997. NETO, João Caldas do Lago. O Efeio da Auocorrelação em Gráficos de Conrole para Variável de Conrole Conínua: Um Esudo de Caso. Disseração de Mesrado pela EPS/UFSC. Florianópolis, ROBERTS, S. W. Conrol Char Tess Based on Geomeric Moving Averages, Technomerics, vol WERKEMA, M. C. C. Ferramenas Esaísica Básicas para o Gerenciameno de Processos. Belo Horizone, MG: Fundação Chrisiano Ooni, Escola de Engenharia da UFMG, 1995.