CONSTRUÇÃO DE MODELOS E PREVISÃO PARA EXPLICAÇÃO DA ENTRADA TURÍSTICA NO PORTO MAUÁ/ ALBA POSSE

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1 CONSTRUÇÃO DE MODELOS E PREVISÃO PARA EXPLICAÇÃO DA ENTRADA TURÍSTICA NO PORTO MAUÁ/ ALBA POSSE Suzana Russo, Dra Orienadora Norbero Omar Ilgner Orienador Fernanda de Melo Basso Bolsisa PIBIC/CNPq RESUMO No âmbio geral, o uso da esaísica auxilia em imporanes arefas profissionais e procura sineizar e represenar de forma compreensível à informação conida num conjuno de dados, aravés de vários méodos para obenção de conclusões e para omada de decisões. É possível analisar a série emporal do fluxo urísico no Poro Mauá /Alba Posse e desenvolver uma equação demonsraiva da realidade do fluxo de passagem de pessoas nesse poro. A dificuldade imposa pela ravessia do Rio Uruguai limia ano o fluxo urísico, quano o fluxo de cargas. Eses faos nos razem a seguine realidade enre a divisa Brasil Argenina no Noroese do RS. O fluxo urísico regional produzido pela população dese poro caraceriza-se por incursões de cura duração. A necessidade de modalização do mundo real em esimulado de forma inensa, o desenvolvimeno de novos méodos, que são capazes de descrever com maior grau de adequação as iner-relações enre as variáveis. O presene rabalho visa nesa eapa inicial, à análise emporal da enrada urísica no Poro Mauá /Alba Posse. Aravés da colea de dados, ainda em andameno, obiveram-se resulados parciais, eses indicam que o modelo enconrado foi SARIMA (3,1,)(,,1), e um MAPE de 17,87%. Palavras - Chave: Turismo; Séries Temporais; Modelos Box e Jenins. 1. INTRODUÇÃO No âmbio geral, o uso da esaísica auxilia em imporanes arefas profissionais e procura sineizar e represenar de forma compreensível à informação conida num conjuno de dados, aravés de vários méodos para obenção de conclusões e para omada de decisões. A dificuldade imposa pela ravessia do Rio Uruguai limia ano o fluxo urísico, quano o fluxo de cargas. Eses faos nos razem a seguine realidade enre a divisa Brasil Argenina no Noroese do RS. O fluxo urísico regional produzido pela população dese poro caraceriza-se por incursões de cura duração. A necessidade de modalização do mundo real em esimulado de forma inensa, o desenvolvimeno de novos méodos, que são capazes de descrever com maior grau de adequação as iner-relações enre as variáveis. Nese rabalho procurou-se inroduzir a fundamenação eórica relaiva a meodologia que Box e Jenins desenvolveram para analisar o comporameno de variáveis aravés de séries de empo, sendo assim, preende-se analisar a enrada de pessoas no Poro Mauá/Alba Posse, ou seja, enconrar uma equação represenaiva dos dados e enconrar previsões à curo prazo.

2 . OBJETIVOS.1 Objeivo Geral O presene rabalho visa nesa eapa inicial, à análise emporal da enrada urísica no Poro Mauá /Alba Posse, ou seja, aplicar écnicas adequadas para descrever o comporameno da série número de pessoas que realizam a ravessia, além de enconrar uma equação represenaiva dos dados.. Objeivos Específicos Modelar a série represenaiva do número de pessoas que realizam a ravessia diária no Poro Mauá /Alba Posse no período de janeiro de a julho de 3; Fazer previsões a curo prazo das séries proposas;. 3.FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: 3.1 Séries Esacionárias e Parâmeros Um processo esocásico é dio esriamene esacionário se suas propriedades não são afeadas por uma mudança na origem de empo, iso é, a disribuição conjuna P(Z, Z + ) é a mesma qualquer que seja. Sob o pono de visa inuiivo, uma série é esacionária se : a) não há mudança sisemáica da média (endência); b) não há mudança sisemáica na variância; c) não há variações esriamene periódicas. A maior pare da eoria de séries emporais lida com séries esacionárias. Por isso, a série deve ser rabalhada previamene aravés de ransformações. O gráfico da série deve mosrar as propriedades mais imporanes (endência, sazonalidade). Se a série é aproximadamene esacionária, o processo gerador esacionário pode, enão, ser adequadamene descrio pelos momenos de suas disribuições de probabilidade (Mureira; Müller e Turmman, 1993). O esudo dos processos esacionários pode ser feio no domínio da freqüência ou no domínio do empo. O esudo no domínio da freqüência dá papel de relevo aos conceios de periodograma e de densidade especral; o domínio no empo aribui papel predominane às funções auocovariância e auocorrelação (Belrão, 1991). A auocorrelação é uma medida de dependência enre observações da mesma série separadas por um deerminado inervalo chamado reardo. A função de auocorrelação (ACF) nada mais é do que a represenação gráfica do coeficiene de auocorrelação em função dos diversos reardos que podem ser aribuídos aos dados (Box, Jenins, Reinsel, 1994). A função de auocorrelação (ACF) permie que se enenda melhor o comporameno da dependência esaísica enre os dados e, poseriormene, será úil quando da deerminação de qual série emporal uilizar para o ajuse do processo. Define-se auocorrelação de ordem como

3 3 γ ρ = γ esimado por: o r = C Co onde γ = E[( Z µ )( Z µ )] é a auocovariância de ordem + γ = σ é a variância para cada o Z Z N K 1 C = γ = Z Z Z Z ( )( + ) N = 1 N = número de observações = N Z Z é a média amosral = 1 N Oura ferramena necessária à idenificação do processo é a função auocorrelação parcial, medida de auocorrelação de ordem condicionada ao conhecimeno das auocorrelações em odos os reardos de ordem inferior a. É definida por {φ } onde * φ = R R * sendo: R a mariz de auocorrelação já definida; R seu deerminane; R a mariz que difere de R somene pela úlima coluna, subsiuída por ( ρ1, ρ,..., ρ ) (Belrão, 1991). 3. Meodologia Box e Jenins Inicialmene, consrói-se o gráfico da série para inspeção visual da esacionariedade. Calculam-se média, variância, auocorrelações e auocorrelações parciais { φ }. O eságio da idenificação requer compuação auomáica e inspeção das auocorrelações esimadas (Souza e Camargo, 1996). É conveniene, ambém, consruir o hisograma dos valores observados para dar supore à hipóese de normalidade. Tesar a suposição de normalidade obendo os coeficienes de assimeria e curose associados à série de observações. Se a média da série é diferene de zero, deve-se rabalhar com a série desviada ~ Z = Z Z. Assim, é preciso esar se E( Z )= comparando-se Z com seu desvio s( Z ), que depende do processo. Deve-se ambém calcular, para cada modelo idenificado, as esimaivas iniciais dos parâmeros e da variância do ruído branco. O modelo que não se enquadrar nas resrições de admissibilidade - esacionariedade e inversibilidade - deverá, em princípio, ser rejeiado. Deve-se, ambém, esar a significância de cada parâmero, comparando sua esimaiva com o desvio associado.

4 4 3.3 O ciclo ieraivo de modelagem Feia a idenificação do modelo genérico ARMA(p,q), passa-se para a obenção das esimaivas de máxima verossimilhança (eficienes) para os (p+q+) parâmeros (φ1,..., φp, θ1,..., θ q, µ, σ ). a Em seguida, passa-se ao diagnósico do modelo, analisando-se a série de resíduos proveniene do ajusameno. Sendo aceio o modelo como ajusado, passa-se à fase de previsão, caso conrário, a análise dos resíduos deve indicar o novo modelo correne (Box e Jenins, 1976). O esquema da figura 1 mosra o ciclo ieraivo da modelagem Box e Jenins. Classe Geral dos Modelos Idenificação do Modelo Correne Esimação dos Parâmeros Diagnósico do Modelo N O modelo esá ajusado? S Previsões Úeis FIGURA 1 O ciclo ieraivo de modelagem Box e Jenins Obidas as esimaivas dos parâmeros resa decidir se o modelo é adequado. Esa decisão é omada mediane a verificação dos resíduos esimados. A verificação pode ser feia aravés do que se segue (Box e Jenins, 1976): 1) Auocorrelação dos resíduos: inspeção do gráfico r ( $a ). Se o modelo é adequado, as auocorrelações r ( $a ) devem esar praicamene odas denro dos limies de ± desvios padrões. ) Tese de Durbin-Wason: em por objeivo esar a hipóese nula de que os resíduos {a } são independenes.

5 5 3) Tese de Pormaneau: aravés da esaísica Q = N σ ( a$), esa-se a hipóese nula de que as auocorrelações, r ( $a ), = 1,,..., são iguais a zero. Se o modelo não é apropriado, os valores médios de Q enderão a crescer. Se a verificação do diagnósico acusa inadequação do modelo, é necessário enconrar o novo modelo para esudo. Se vários modelos são ajusados, o melhor será o que apresena menor valor de Q. Obido o modelo ajusado e, conseqüenemene as esimaivas dos parâmeros, pare-se para a uilização do modelo em previsão. Para uma série gerada por um ARMA φ( B) Z = θ ( B) a, define-se Z ˆ ( l) como uma previsão de Z l feia no insane para o avanço l (Box e Jenins, 1976). A parir da origem, far-se-á previsão Z $ ( l) Z + que pode ser uma função linear de l decorrene de valores prévios Z 1, Z,..., como ambém de resíduos a, a 1, a... Tomando-se a função de previsão: ) Z ( l ) = ψla + ψl + 1 a 1 + ψl + a +... onde ψ l, ψ l +1,... são pesos a serem deerminados. O erro no insane, para o avanço l, é dado por: ) e ( l) = Z Z( l ) = a + l + l com Var ( e ( l)) = (1 + ψ1 + ψ ψ l 1) σ a O inervalo de confiança para a previsão, com um nível de significância α é: l 1 1 ) Z + lε Z ( l) ± α ( σ a ψ j ) j= = Criério de validação A íulo de validar modelo ajusado, com visas à realização das previsões, será uilizado o MAPE (Erro Absoluo Médio Percenual). O MAPE será calculado a parir das previsões um passo à frene gerado por cada modelo esimado (Russo, 1989). O seguine criério de ajuse ambém deve ser considerado. MAPE (%) = Z Zˆ Z n 4. ANÁLISE DOS DADOS 4.1 Série Represenaiva do Fluxo de Pessoas no Poro Mauá/Alba Posse Após a colea dos dados, primeiramene foi consruído um gráfico represenaivo da série do fluxo de enrada de pessoas no Poro Mauá/Alba Posse, conforme figura 1:

6 6 5 Série de Enrada de Pessoas no Poro Mauá/Alba Posse Nº de pessoas Dias Figura 1 Gráfico represenaivo da série de enrada no Poro Mauá/Alba Posse O gráfico dos valores da série observada permie a visualização de uma série com endência crescene, sugerindo a exisência de componene sazonal significaiva (no decorrer do esabelecimeno da ordem do modelo, essa suposição sobre a exisência do componene sazonal deverá ser mais precisamene analisada, aravés do comporameno da função de auocorrelação e auocorrelação parcial). Função de Auocorrelação Enrada Poro Mauá/Alba Posse (Sandard errors are whie-noise esimaes) 1 +,55,415 +,397, ,63, ,7, ,31, ,411, ,433, ,365, ,61,41 1 +,131, ,134,41 1 +,189, ,97, ,35, ,31,41-1, -,5,,5 1, Q p 176,9, 68,7, 39,1, 351,7, 47,7, 56,6, 616,6, 694,6, 734,5, 744,7, 755,, 776,4, 88,7, 891,4, 948,5, Figura Gráfico represenaivo da função de auocorrelação Função de Auocorrelação Parcial Enrada Poro Mauá (Sandard errors assume AR order of -1) 1 +,55,416 +,133, ,, ,134, ,15, ,7, ,14, ,14, ,41, ,134, ,7, ,4, ,113, ,7, ,6,416-1, -,5,,5 1, Conf. Limi Figura 3 Gráfico represenaivo da função de auocorrelação parcial 4. Esabelecimeno da ordem do modelo (valor de d, D) A análise da figura permie verificar a exisência de uma série com endência crescene e sazonalidade. Significa dizer que a série não é esacionária ( d ) e orna-se necessário diferenciá-la para ober uma série esacionária. Para o esabelecimeno mais preciso da ordem d pode-se fazer o esudo da função de auocorrelação, a qual para simplificação será chamada de ACF. A seguir apresena-se os valores das séries diferenciadas e seus respecivos gráficos:

7 7 Enrada P.M Gráfico da Série Diferenciada: Enrada Poro Mauá/Alba Posse D(1); Dias Figura 4 Gráfico represenaivo da série diferenciada X Função de Auocorrelação da Série Diferenciada Enrada P.M.: ARIMA (3,1,) residuos; (Sandard errors are whie-noise esimaes) Q p 1 -,56,416 1,81,1783 -,9,415 6,77,34 3 -,16,415 16,5,11 4 -,53,414 53,31, 5 -,91,414 58,17, 6 +,14,414 67,13, 7 +,178,413 85,58, 8 +,88,413 9,1, 9 -,4,413 9,11, 1 -,3,41 114,4, 11 -,164,41 13,3, 1 -,74,41 133,5, 13 +,19,411 14,6, 14 +,131,411 15,8, 15 +,1,41 159,7, -1, -,5,,5 1, Figura 5 Gráfico represenaivo da função de auocorrelação da série diferenciada X Função de Auocorrelação Parcial Enrada P.M.: ARIMA (3,1,) residuos; (Sandard errors assume AR order of -1) 1 -,56,417 -,96, ,139, ,89, ,19, ,4, ,94, ,39, ,3, ,144, ,16, ,117, ,, ,16, ,17,417-1, -,5,,5 1, Figura 6 Gráfico represenaivo da função de auocorrelação parcial da série diferenciada X Assim, se consruindo o correlograma, se consaa que o coeficiene de auocorrelação não diminui rapidamene para zero quando o valor de (lags) aumena, pode-se concluir que a série não é esacionária. Em caso conrário, se o coeficiene de auocorrelação diminuir rapidamene para zero, pode-se dizer que a série é esacionária.. O gráfico para a série diferenciada demonsrado na figura 4, possibilia observar que a função de auocorrelação das figuras 5 e 6 apresena um decaimeno rápido para zero. Assim, pode observar que a série é esacionária. Com base nesa eoria, buscou-se analisar a ACF das séries X ( ), X ( ) 4.3 Esabelecimeno da ordem do modelo sazonal (p,d.q)x(p,d,q) O modelo a seguir apresena sazonalidade. 5 Gráfico da Série Sazonal: Enrada Poro Mauá/Alba Posse D(1); Nº de Pessoas Figura 7 Gráfico represenaivo da série sazonal. Dias

8 8 Função de Auocorrelação Enrada P.M.: ARIMA (3,1,)(,,1) residuos; (Sandard errors are whie-noise esimaes) 1 -,49,416 -,95, ,64, ,84, ,64, ,1, ,45, ,11, ,41, ,6, ,9,41 1 -,45, ,5, ,169, ,38,41 Q p 1,39,379 6,6,365 9,1,9 13,9,19 15,46,86 15,71,154 16,87,18 16,95,37 17,94,359 18,34,495 18,39,73 19,58,755 19,6,157 36,59,9 37,46,11 Função de Auocorrelação Parcial Enrada P.M.: ARIMA (3,1,)(,,1) residuos; (Sandard errors assume AR order of -1) 1 -,49,417 -,98, ,75, ,13, ,9, ,16, ,78, ,43, ,9, ,46, ,6, ,66, ,19, ,, ,15,417-1, -,5,,5 1, -1, -,5,,5 1, Figura 8 Gráfico da função de auocorrelação da série sazonal. Figura 9 Gráfico da função de auocorrelação parcial da série sazonal. Para de ober a ordem (p,d), a análise é efeuada aravés das funções de X. auocorrelação (ACF) e auocorrelação parcial (PACF) da série esacionária ( ) Pode-se observar na figura 5 que a ACF da série X apresena a primeira defasagem significaivamene diferene de zero, iso é, o valor do coeficiene de auocorrelação esá fora ± s para >. dos limies de conrole, ( ) r A figura 6 mosra que a PACF apresena uma queda rápida para zero, apesar de apresenar uma defasagem significaiva. A análise conjuna das ACF e PACF permie esabelecer o possível modelo: SARIMA (3,1,)(,,1). Tabela 1 Sumário do modelo ajusado de Enrada Poro Mauá/Alba Posse (Fluxo.sa) Parâmero Esimaiva Consane -,9116 AR(1) -,56588 AR() -,36168 AR(3) -,19366 SAR(7),994 SAR(14),955 MA(1),79995 A escolha do melhor modelo depende do criério adoado. Para fins de ajusameno do modelo esimado aos dados observados, pode-se adoar o criério da variância residual mínima. Por esse criério, o modelo escolhido é o SARIMA (3,1,)(,,1) Sazonal lag: 7 MS Resíduos =16,4.

9 9 4.4 Checagem do Diagnósico A eapa de verificação da escolha do modelo, efeuada no iem anerior, consise em avaliar se os resíduos daquele modelo formam um processo de ruído branco. Para ano, um dos eses mais sugerido por Box e Jenins é o Pormaneau, aravés da esaísica Q. Além da inspeção gráfica da série residual e das funções de auocorrelação e auocorrelação parcial. 8 Probabilidade de Normalidade dos Resíduos ARIMA (3,1,)(,,1) residuos; 6 4 Valores Normais Esperados Valores Figura 1 Gráfico represenaivo da probabilidade de normalidade dos resíduos Função de Auocorrelação Enrada P.M.: ARIMA (3,1,)(,,1) residuos; (Sandard errors are whie-noise esimaes) 1 -,49,416 -,95, ,64, ,84, ,64, ,1, ,45, ,11, ,41, ,6, ,9,41 1 -,45, ,5, ,169, ,38,41-1, -,5,,5 1, Q p 1,39,379 6,6,365 9,1,9 13,9,19 15,46,86 15,71,154 16,87,18 16,95,37 17,94,359 18,34,495 18,39,73 19,58,755 19,6,157 36,59,9 37,46,11 Figura 11 Gráfico represenaivo da função de auocorrelação dos resíduos Função de Auocorrelação Parcial dos Resíduos Enrada P.M.: ARIMA (3,1,)(,,1) residuals; (Sandard errors assume AR order of -1) 1 -,49,417 -,98, ,75, ,13, ,9, ,16, ,78, ,43, ,9, ,46, ,6, ,66, ,19, ,, ,15,417-1, -,5,,5 1, Figura 1 Gráfico represenaivo da função de auocorrelação parcial dos resíduos 4.5 Previsões A fase final do processo é o cálculo dos valores previsos para um horizone previamene esabelecido. Essa fase consiui-se somene de cálculos, os quais são oalmene esabelecidos pelo programa compuacional. Para a escolha do melhor modelo e para fins de previsão uilizou-se o MAPE (Erro Absoluo Médio Percenual). O MAPE calculado a parir das previsões foi de 17,87%.

10 1 As previsões esão represenadas na Figura 13, bem como os limies de confiança. 5 Previsão do Modelo:(3,1,)(,,1) Início: 1 Fim: Figura 13 Gráfico represenaivo das previsões Observado Previso ± 9% METODOLOGIA A pesquisa consou de um embasameno bibliográfico, para levanar as noções eóricas a respeio da meodologia esaísica proposa. Foi feia a colea diária dos dados, referenes ao período de janeiro de a julho de 3, aravés da consula a documenos organizacionais, direamene na Receia Federal da cidade de Poro Mauá. Com os dados coleados foi feia uma análise na meodologia Box e Jenins, onde se obeve o modelo sazonal SARIMA(3,1,)(,,1), e um erro médio percenual absoluo de 17,87%. Foram enconradas previsões para o modelo. Não foi analisado os ouliers nese esudo. 6. CONCLUSÃO Concluí-se com esse rabalho que a série precisou ser diferenciada para a reirada da auocorrelação dos dados e que o modelo SARIMA se adapou melhor, verificou-se a presença de ouliers, sendo assim sugere-se para rabalhos fuuros a análise de inervenção. 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BELTRÃO, Kaizô Iwaami. Séries Temporais no Domínio da Freqüência: Uma Inrodução. Rio de Janeiro. ABE SBE BOX, G.E.P. & JENKINS, G.M. Time Series Analysis. Forescaing and Conrol. 1ª ed.. San Francisco. Day BOX, G.E.P. & JENKINS, G.M. Time Series Analysis, Frecasing and Conrol. 3ª ed.. San Francisco. Day MURTEIRIA, Beno J. F. MÜLLER, Daniel A. TURKMAN. Feridum. Análise de Sucessões Cronológicas. Porugal. Ed. McGraw. 1993

11 11 RUSSO, Suzana Leião. A demanda de gasolina e óleo diesel no Brasil no período de 198 a Sana Maria. Ed. UFSM RUSSO, Suzana Leião. Gráficos de conrole para variáveis não-conformes auocorrelacionadas. 1ª ed. Sana Caarina. UFSC. Florianópolis. SOUZA, Reinaldo. CAMARGO, Maria Emília. Sana Maria. Análise e Previsão de Séries Temporais: Os Modelos ARIMA. SEDIGRAF. 1996