Aplicação de Função de Transferência na Monitoração do Fio de Polipropileno da Empresa Têxtil Oeste Ltda.

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1 XIII SIMPEP Bauru, SP, Brasil, 6 a 8 de novembro de 6 Aplicação de Função de Transferência na Monioração do Fio de Polipropileno da Empresa Têxil Oese Lda. Suzana Russo (URI) jss@urisan.che.br Maria Emilia Camargo (UNISC) kamargo@erra.com.br Jonas Pedro Fabris (URI) jpfabris@homail.com RESUMO O objeivo dese esudo de caso é mosrar como os modelos de função de ransferência são apropriados para avaliar a esabilidade sobre o empo de um sisema produivo, explorando a habilidade dese modelo para idenificar as causas assinaláveis de variação e para modelar relacionamenos dinâmicos enre enradas e saídas do processo. Com ese esudo pode-se mosrar que os gráficos de conrole nem sempre são apropriadas por causa da auocorrelação nos dados. A meodologia uilizada foi a seguine: primeiramene, idenificase o modelo dos dados e depois raça-se os residuais da predição em uma gráfico de conrole. Avaliou-se ambém, o momeno consane para cada série para deerminar se a freqüência de amosragem esava correa. Os resulados permiem esabelecer a freqüência de amosragem correa para cada uma das séries e deecar quando esão fora dos limies de conrole esaísico. Palavras-chave: Gráficos de Conrole; Função de Transferência 1. Inrodução Muios modelos êm sido proposos para moniorar processos auocorrelacionados. Alwan e Robers (1998) sugerem o uso dos residuais dos modelos ARIMA na consrução dos gráficos de conroles. Mongomery e Masrangelo (1991) usaram os modelos EWMA onde os limies de conrole são adapáveis a naureza do processo e são deerminados pela esimaiva amorecida do processo de variabilidade. Lu e Reynolds (1999) invesigaram o esado consane nos modelos EWMA, CUSUM e Gráficos de Conrole de Shewhar para dados auocorrelacionados modelados por um processo auoregressivo de ordem um (1), adicionado do ermo do erro aleaório. Segundo Wes () o problema com odos esses modelos de conrole é que a esimaiva do processo da variância é sensível a valores aberranes. Se as causas assinaláveis esiverem presenes nos dados usados para enconrar o modelo, o modelo pode ser idenificado incorreamene e os esimadores dos parâmeros do modelo podem ser errôneos, resulando limies de conrole incorreos, TESTIK, 5. Para jusificar o uso desses méodos, pesquisadores êm sugerido que os dados não devem ser auocorrelacionados, e esses méodos são necessários para assegurar que as esimaivas dos parâmeros sejam independenes, ou seja, livres de conaminações vindas das causas assinaláveis de variação. Assim, o esudo visa invesigar o desempenho e a adequação do uso radicional dos méodos de conrole esaísico de processo em processos não-esacionários, e discuir o uso dos modelos de função de ransferência para idenificar os disúrbios ocasionados na série em esudo.. O modelo.1. Conrole esaísico de qualidade Segundo Woodall e al (4), o CEQ é uma écnica que consise em analisar o processo, esabelecer padrões, comparar desempenhos, verificar e esudar desvios, buscar e implemenar soluções, buscando a melhor performance de máquinas e/ou pessoas.

2 XIII SIMPEP Bauru, SP, Brasil, 6 a 8 de novembro de 6 Para enender melhor a écnica do CEQ, é necessário er-se em mene que a qualidade de um produo fabricado por um processo eseja ineviavelmene sujeia à variação, e quando essas variações são significanes em relação às especificações, corre-se o risco de se er produos não conformes, iso é, que não aendem às especificações. A eliminação de causas especiais exige uma ação local, que pode ser omada por pessoas próximas ao processo. Já as causas comuns exigem ações sobre o sisema de rabalho, que somene podem ser omadas pela adminisração, viso que o processo é em si consisene, mas, mesmo assim, incapaz de aender às especificações (MONTGOMERY, 1997). Foi W. A. Shewhar (1931) que inroduziu os gráficos de conrole em 194, com a inenção de eliminar variações, diferenciando-as enre as causas comuns e causas especiais... Modelos de função de ransferência Os modelos Box e Jenkins univariados permiem fazer a análise - descrição e previsão - de uma série emporal aravés do conhecimeno exclusivo dos seus valores. Conrariamene, aos demais modelos que são modelos não causais: em cada momeno a série é apenas explicada por valores da própria série aneriores a esse momeno. A exisência de fenômenos aleaórios relacionados enre si conduz ao raameno simulâneo das correspondenes séries emporais de forma que a informação conida em cada uma possa se beneficiar desse relacionameno e, porano, melhorar e enriquecer o esudo desses fenômenos (BOX E JENKINS, 1974). Segundo Al-Alwadhi (5) o objeivo do modelo de função de ransferência é enconrar a combinação linear enre duas ou mais séries aravés de um modelo esocásico com o menor erro médio quadráico. O modelo de função de ransferência de Box e Jenkins (1974) descreve a qualidade da caracerísica observada Z, como uma função de rês fones de variabilidade: ϖ s θ q Z = v( B) x b + I + a (1) δ φ r p s onde: ϖ s = ϖ ϖ 1B ϖ B... ωs B () r δ r = δ δ1b δ B... δ r B (3) q θ q = θ θ1b θ B... θ q B (4) φ = φ φ B φ B... φ B p p 1 p (5) O primeiro ermo da equação (1), v, é um ermo dinâmico de enrada e represena uma função impulso, v = v + v1b + vb +... aplicado na enrada x b com uma defazagem de b períodos. Se exisir uma relação dinâmica enre a enrada e a série emporal de saída, enâo pode-se modelaros valores resulando numa redução considerável da variância inexplicada. ϖ O segundo ermo, I, é o ermo da inervenção e indenifica os períodos no δ empo quando causas assinaláveis esão presenes no processo. I é uma variável indicadora com valor zero quando o processo não é perurbado e com valor um quando um disúrbio esá presene no processo. Exemplos de desenvolvimeno da função de ransferência enconra-se em Box, Jenkins e Reinsel (1994) e em Reinsel (1994) enconra-se dealhes do uso do ermo de inervenção. θ q O erceiro ermo, a, é o modelo geral ARMA. φ p x b

3 XIII SIMPEP Bauru, SP, Brasil, 6 a 8 de novembro de 6 A equação (1) pode ser esimada, e erá um R, o qual (a menos que Z seja correlacionado com as variáveis independenes) será menor do que 1. A equação pode ser usada para prever Z. Similarmene, o procedimeno da consrução dos modelos de função de ransferência envolvem a idenificação, a esimação, a verificação e a previsão. Uma vez obido o modelo de função de ransferência preliminar, calcula-se o ruido esimado da série a e idenifica-se o modelo apropriado pela análise das funções de auocorrelação (FAC) e auocorrelação parcial (FACP) para a variável independene x, como ambém a variável dependene Z, em um esforço para especificar o lag polinômios v (B), ω (B), φ (B), e θ (B) (BOX E JENKINS, 1976; AL-AWADHI, 5). 3. Aplicação dos modelos de função de ransferência As variáveis usadas nesse esudo foram o conrole da gramaura (DENIER) (variável conínua) e o número de não conformidade na seção de ecelagem (variável discrea), na Indusria Têxil Oese Lda., no período de janeiro de 6 (dados diários). É conhecido por Russo () que a variabilidade no fio do ecido ocasiona variação no ecido, ou seja a largura do ecido depende da gramaura do fio de polipropileno. Se a gramaura não esiver denro das especificações, dois ou rês dia após er-se-á problemas com a largura do ecido no seor de ecelagem, devido a defasagem de empo para o fio chegar no seor de ecelagem. Uma inspeção da figura 1 mosra a série diária do DENIER, que esá disribuída aleaoriamene sobre o período de empo. Observa-se que a série exibe um comporameno não esacionário, enreano, podendo ser modelado como Z = µ + a, onde µ é a componene da endência e a é a componene esocásica com média zero e variância σ a. 69 Plo of variable: DENIER DENIER Daily Daa Figura 1 Série diária DENIER da fia de polipropileno Ao verificar-se o comporameno do processo produivo, vê-se pela figura as condições de conrole, aravés dos gráficos de conrole X e R para os dados originais, onde seis valores caíram fora dos limies de conrole, indicando que se pode er um problema no processo neses ponos.

4 XIII SIMPEP Bauru, SP, Brasil, 6 a 8 de novembro de 6 Hisogram of Means X-bar and S Char; variable: DENIER X-bar: 645,49 (64,); Sigma: 1,835 (1,835); n :, , , , Hisogram of Sd.Devs Sd.Dv.: 8,6453 (8,6453); Sigma: 9,371 (6,5316 ); n:, , , , Figura Gráficos X e R para os dados observados Jusifica-se, enão fazer um esudo da auocorrelação dos dados, para depois ajusá-los novamene e verificar se o problema dos ponos fora dos limies era por causa da sisemáica ou das causas comuns e não por causa de ocorrência de causas especiais. Aravés dos gráficos da ACF e da PACF exposos nas figuras 3 e 4, vê-se que os dados são auocorrelacionados, pois emos lags fora dos limies de conrole, confirmando a auocorrelação da série. A inerpreação dos gráficos de conrole fica disorcida por causa da presença da auocorrelação nos dados, sendo incorreo a aplicação dessas écnicas nese conexo, podendo resular numa ala axa de falsos alarmes e baixa deecção de mudanças no processo. Assim, anes dos gráficos de conrole serem usados, a esacionariedade e a independência dos dados devem esar assegurados. 1 +,137,971 +,6, ,99,96 4 +,8, ,13,95 6 +,66, ,55,94 8 +,59, ,7,93 1 -,58, ,47,9 1 -,133, ,17, ,119, ,7,9 16 +,18, ,59, ,97, ,17,881 -,, ,85,871 -,33, ,55,86 4 +,57, ,115, ,1, ,5, ,95, ,45,87 3 -,39,8 Auocorrelaion Funcion DENIER (Sandard errors are whie-noise esimaes) -1, -,5,,5 1, Q p 1,98,1595,5, ,75,83 1,45,143 13,63,18 14,1,84 14,46,437 14,85,6 14,93,93 15,3,18 15,58, ,69,154 19,63,15 1,35,931 1,35,16 1,4,1639 1,83,1913 3,4,1891 3,8,341 3,8,851 4,,9 4,17,3383 4,57,377 5,1,45 6,83,3643 6,85,4173 6,94,467 8,4,4518 8,53,4896 8,76,531 Figure 3 ACF para os dados observados Parial Auocorrelaion Funcion DENIER (Sandard errors assume AR order of k-1) +,137, ,7, ,31, ,, ,16, ,54, ,83, ,18, ,64, ,1, ,38, ,14, ,78, ,135, ,44, ,96, ,137, ,78, ,53,985 +,4, ,,985 -,18, ,1, ,69, ,171, ,5, ,7, ,5, ,6, ,93,985-1, -,5,,5 1, Figure 4 PACF para os dados observados

5 XIII SIMPEP Bauru, SP, Brasil, 6 a 8 de novembro de 6 Os dados foram modelados aravés da meodologia de Box e Jenkins o que assegurou a independência das observações. O melhor modelo enconrado foi um AR(1,,1), o criério de validação usado foi o MAPE com 1,5%. O coeficiene de correlação foi de,631. Oura maneira de validar o modelo é aravés dos gráficos residuais do modelo. Aravés da figura 5 e 6 observa-se que a auocorrelação foi removida dos dados, pois se observa que os coeficienes não são significanemene diferenes de zero e, mosram que os dados definidos por â são independenes de observação para observação, onde se observa que odos os lags esão denro dos limies de conrole. Auocorrelaion Funcion DENIER : ARIMA (1,,1) residuals; 1 +,473,971 +,181, ,67,96 4 +,56, ,4,95 6 +,1, ,1,94 8 -,9, ,15,93 1 +,33, ,16,9 1 -,13, ,, ,, ,16,9 16 -,3, ,3, ,6, ,5,881 +,13, ,13,871 -,31, ,6,86 4 +,7, ,9, ,, ,1, ,1, ,15,87 3 -,1,8 (Sandard errors are whie-noise esimaes) -1, -,5,,5 1, Q p 3,7, 7,3, 7,7, 8,7, 8,4, 8,5,1 8,5, 8,6,4 8,9,9 8,4,16 8,45,8 8,47,47 8,47,78 8,47,14 8,5,187 8,5,76 8,57,388 8,65,59 8,66,717 8,68,944 8,7,115 8,83,15 8,83,1861 8,84,64 8,96,658 8,96,3131 8,98,36 9,5,413 9,8,461 9,8,5135 Conf. Limi Figure 5 ACF para os dados modelados Auocorrelaion Funcion DENIER : ARIMA (1,,1) residuals; (Sandard errors are whie-noise esimaes) 1 +,473,971 +,181, ,67,96 4 +,56, ,4,95 6 +,1, ,1,94 8 -,9, ,15,93 1 +,33, ,16,9 1 -,13, ,, ,, ,16,9 16 -,3, ,3, ,6, ,5,881 +,13, ,13,871 -,31, ,6,86 4 +,7, ,9, ,, ,1, ,1, ,15,87 3 -,1,8-1, -,5,,5 1, Q p 3,7, 7,3, 7,7, 8,7, 8,4, 8,5,1 8,5, 8,6,4 8,9,9 8,4,16 8,45,8 8,47,47 8,47,78 8,47,14 8,5,187 8,5,76 8,57,388 8,65,59 8,66,717 8,68,944 8,7,115 8,83,15 8,83,1861 8,84,64 8,96,658 8,96,3131 8,98,36 9,5,413 9,8,461 9,8,5135 Figure 6 PACF para os dados modelados Agora, se verifica o processo produivo. Com os resíduos enconrados no modelo foi aplicado aos gráficos de conrole de Shewhar. A figura 7 mosra as condições de conrole para as observações reais, uilizando-se os resíduos do modelo AR(1,,1), onde indica que os valores residuais esão praicamene denro dos limies de conrole para a média. Somene um pono enconra-se fora dos limies de conrole. De acordo com invesigações, o problema esava nas primeiras observações, as quais foram ignoradas, a condição de normalidade foi verificada e os gráficos de conrole X e R foram refeios. O pono esá fora dos limies por causa da sisemáica ou das causas comuns e não por causa de ocorrências de causas especiais.

6 XIII SIMPEP Bauru, SP, Brasil, 6 a 8 de novembro de 6 Hisogram of Means X-bar and S Char; variable: DENIER Residuals X-bar: 1,153 (1,153 ); Sigma : 13,9 (13,9 ); n:, 4 3 3, , , Hisogram of Sd.Devs Sd.Dv.: 11,18 (11,18 ); Sigma: 11,869 (8,395 ); n :, , ,1 8 5, Figura 7 - Gráficos da X e da R para os dados observados Se compararmos os gráficos de conrole par a a média dos dados modelados (Figura 7) com os gráficos de conrole da média dos dados reais (Figura ), mosra-se que os ponos em um comporameno similares enres seus vizinhos, os ponos são disribuídos aleaoriamene em vola da linha cenral (Figura 7). Assim, pode-se concluir que a auocorrelação foi removida. Quando os valores residuais são usados, vê-se claramene quais os ponos observados esão fora dos limies de conrole. Os ouros ponos aparecem por serem emporários, e depois da modelagem, o sisema de conrole se reesabelece. Iso pode er ocorrido por uma disfunção momenânea,ou al como uma variação brusca n a gramaura do fio, o qual causou anormalidade nos dados. A vanagem desse méodo é que não se corre o risco de ober falsas conclusões. A figura 8 mosra o número diário não conformidades na largura ecido no mesmo período. Observa-se que a série aparenemene apresena ser esacionária na média, não apresenando uma endência. 45 Plo of variable: NC NC Daily Daa Figura 8 Conagem diária dos dados A média enconrada para os dados foi de 6,71, a mediana 7 e a moda 8, que nos indica que a série não é simérica, seguindo uma disribuição de Poisson.. O desvio-padrão foi de 4,49. Com o ajuse feio aravés do modelo de regressão Poisson enconrou-se a equação: Z = 3,887 +,4. O algorimo de Newon-Raphson convergiu na erceira ieração. A abela 1 coném informações sobre a avaliação do modelo aravés da uilização dos eses de Pearson e o desvio G, indicando que o modelo não esá adequado, necessiando a verificação da superdispersão.

7 XIII SIMPEP Bauru, SP, Brasil, 6 a 8 de novembro de 6 Tabela 1 - Criérios de avaliação do modelo Criérios GL Graus de Valores Valores/GL Liberdade Escala da " Deviance" ( G ) 58 44,47,7667 Escala de Pearson ( χ ) 58 44,9,7636 Verossimilhança -175,69 Ao analisar a superdispersão, enconram-se os seguines parâmeros: Tabela - Criérios de avaliação do modelo Criérios GL Graus de Valores Valores/GL Liberdade Escala da " Deviance" ( G ) Escala de Pearson ( χ ) 58 57,76,99 Verossimilhança -584, Após a análise da superdispersão, verifica-se pela abela que o modelo de Poisson enconra-se adequado. A abela 3 enconra-se o sumário dos parâmeros do modelo. Tabea 5 - Sumário dos parâmeros do modelo Criérios Esimaiva Erro padrão Consane 3,55,5 Tempo,7,3 Erro,8756 Agora pode-se verificar o comporameno do processo produivo. Hisogram of C C Char; variable: NC ,61 3 6, , Figura 9 Gráfico U para os dados observados.

8 XIII SIMPEP Bauru, SP, Brasil, 6 a 8 de novembro de 6 Hisogram of Means X-bar and R Char; variable: Residuals D X-bar: -,17946 (-,17946); Sigma:,93313 (,93313); n: 5, 1,5 1, 1,75,5, -, ,5-1, -1,5-1,4314 -, Hisogram of Ranges Range:,174 (,174); Sigma:,863 (,863); n: 5, 5,5 5, 4,5 4,5893 4, 3,5 3,,5,,174 1,5 1,,5,, -, Figura 1 Gráfico U para os resíduos do modelo. As figuras 9 e 1 mosram as condições de conrole para as observações. Invesigações revelam que o sisema não esava ajusado e foi refeio o gráfico de conrole uilizando-se os resíduos enconrados pelo modelo de regressão Poisson para corrigir o problema. O problema esava em várias observações às quais depois de modeladas pela regressão Poisson foram verificadas denro dos limies de conrole. Segundo Wardell, Moskowiz e Plane (1994) iso é ineiramene possível em gráficos de conrole radicionais; os ponos esão fora dos limies por causa da sisemáica ou das causas comuns e não por causa de ocorrência de causas especiais. Após a modelagem nos dados conínuos uilizando-se Box e Jenkins, e dos dados discreos uilizando-s Modelos de Regressão Poisson, preende-se unir esses dois modelos, de maneira a se conseguir deecar o número possível de não conformidade no resulado do processo. Verificou-se que se o DENIER esiver fora das especificações, rês dias após em-se defeio na largura do ecido. Para isso, aplicou-se o ese de causalidade e ajusou-se um modelo via função de ransferência, uilizando-se como variáveis de enrada os resíduos obidos aravés da regressão de Poisson e dos modelos Box e Jenkins. Ao se aplicar o ese de causalidade, verificou-se que exise uma relação de causalidade unidirecional insanânea ou nível de significância de 5% para o lag 1 no valor de -,3. Aravés da abela 6, verifica-se que a variável de enrada o DENIER da fia é uma variável explicaiva da variável largura do ecido, onde o melhor modelo enconrado uilizando-se a função de ransferência foi: Z =,48,358Z 1,368a 1 +, 3X 1 + e. Tabela 6 - Criérios de avaliação do modelo Faor Lag Coef. Tcal Média,48,67 Auorregressivo 1 -,358,4 Médias Móveis 1 -,365,4 DENIER 1,3,6 Pode-se validar o modelo aravés dos gráficos residuais do modelo, onde noa-se nas figuras 11 e 1 que os coeficienes não são significanemene diferenes de zero e, que odos os lags esão denro dos limies de conrole. Observa-se ainda, que os dados definidos por

9 XIII SIMPEP Bauru, SP, Brasil, 6 a 8 de novembro de 6 â são independenes de observação para observação, desacando-se que os resíduos do modelo de função de ransferência são descorrelaados. 1 -,55,131 -,76,13 3 +,1, ,188, ,11, ,175,15 7 -,98, ,15,14 9 +,37, ,11, ,39, ,19, ,, ,14, ,4, ,83, ,, ,1, ,8,17 -,34, ,51,141 -,3,16 3 +,66,11 4 +,18, ,7, ,4,96 7 -,, ,59,98 9 -,1, ,48,893 Auocorrelaion Funcion ResNC - FT (Sandard errors are w hie-noise esimaes) -1, -,5,,5 1, Q p,18,6755,5,777,97,3965 5,13,739 5,89,3168 7,86,484 8,49,917 9,53,997 13,37, ,5,161 14,35,141 17,85,15 1,47,643 1,48,9 1,48,1,3,14,7,183,9,1937 3,48,171 3,58,61 3,8,318 3,9,3514 4,35,3847 4,38,441 4,9,4668 4,9,533 4,9,5787 5,3,61 5,38,6586 5,67,69 Conf. Limi Figure 11 ACF para os resíduos do modelo de função de ransferência Parial Auocorrelaion Funcion RESNC (Sandard errors assume AR order of k-1) -,55, ,8, ,194, ,18, ,99, ,116, ,4, ,119, ,159, ,64, ,15, ,99, ,159, ,7, ,159, ,54, ,9, ,16, ,17,1348 -,5, ,4,1348 +,13, ,7, ,7, ,17, ,63, ,49, ,99, ,16, ,8,1348-1, -,5,,5 1, Conf. Limi Figure 1 PACF para os resíduos do modelo de função de ransferência A figura 13 mosra as condições de conrole do processo produivo para as observações modeladas com os dados obidos dos resíduos da função de ransferência. Observa-se que após a modelagem dos dados via função de ransferência, as observações enconram-se agora denro dos limies de conrole, verificando-se que o processo ficou sob conrole. Hisogram of Means X-bar and S Char; variable: ResNC X-bar:,1896 (,1896); Sigma: 3,6979 (3,6979); n:, 1 8 8, , , Hisogram of Sd.Devs Sd.Dv.:,955 (,955); Sigma: 3,154 (,91); n:, , ,955 1, Figura 11 Gráficos da X e da R para os dados obidos com os resíduos da função de

10 XIII SIMPEP Bauru, SP, Brasil, 6 a 8 de novembro de 6 ransferência. Os ponos esavam fora dos limies de conrole por causa de causas comuns inerenes ao processo e, não pela ocorrência de causas especiais. 4. Conclusão Nese esudo procurou-se apresenar uma aplicação de dados reais. Foram apresenados os procedimenos para se usar as écnicas de conrole de qualidade em observações correlacionadas. Além de se verificar a auocorrelação dos dados, modelou-se os dados conínuos aravés dos modelos ARIMA e os dados de não conformidade aravés dos modelos de Regressão Poisson e, com os resíduos obidos uilizou-se os modelos de função de ransferência para se idenificar à exisência de causalidade. A função de ransferência empregada permiiu a confirmação da causalidade do DENIER na largura do ecido. Com isso, houve um crescimeno de informações para a correa omada de decisão e pode-se deecar que houve uma melhora nos ponos de saída de conrole. 5. Bibliografia consulada AL-AWADHI, S. A. Change in regime and ransfe funcion models os global solar radiaion in Kuwai. Environmenal Modelling and Sofware. v. pp ALWAN, L.C. Auocorrelaion: Fixed Versus Variable Conrol Limis Qualiy and Reliabiliy Engineering Inernaional, v4 (), pp BOX, G. E. P ; JENKINS, G. M.; REINSEL, G. C. Times series analysis: forecasing and conrol, 3ª Ed. San Francisco: Holden-Day, BOX, G. E. P; JENKINS, G. M. Times series analysis: forecasing and conrol. ª Ed. San Francisco: Holden-Day 1976 LU, C-W.; REYNOLDS, M. Jr. Conrol chars for monioring processes wih auocorrelaed daa. Journal of Qualiy Technology, MONTGOMERY. D. C.; MASTRANGELO, C. M. Some saisical process conrol mehods for auocorrelaed daa. Journal of Qualiy Technology, MONTGOMERY. D. C. Inroducion o saisical qualiy. 3ed. v., USA: John Wiley e Sons RUSSO, S. Gráfico de Conrole Para Variáveis Não-Conformes Auocorrelacionados. Tese de Douorado. Florianópolis: UFSC SHEWHART, W.A. Economic conrol of qualiy of he manufacured produc. Van Nosrand, New York TESTIK, M. C. Model inadequacy and residuals conrol chars for auocorrelaed processes. Qualiy and Reliabiliy Engineering Inernaional. 1, WANG, P.; PUTERMAN, M. L.; COCKBURN, I.; LE, N. Mixed Poisson regression models wih covariae dependen raes. Biomerics. V. 5 pp WEST, D.; DELLANA, S.; JARRETTI, J.Transfer funcion modeling of process wih dynamic inpus. Journal of Qualiy Technology. july. v34 n3. pp WOODDALL, H. W.; SPITZNER, D. J. ; MONTGOMERY, D. C.; GUPTA, S. Using conrol chars o monior process and produc qualiy profiles. Journal of Qualiy Technology: july 4; v36, n3. pp