Controle estatístico de processo: soluções de um estudo de caso usando procedimentos estatísticos

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1 XXIV Enconro Nac. de Eng. de Produção - Florianópolis, SC, Brasil, 03 a 05 de nov de 2004 Conrole esaísico de processo: soluções de um esudo de caso usando procedimenos esaísicos Suzana Russo (URI) jss@urisan.che.br Maria Emília Camargo (UCS) kamargo@zaz.com.br Resumo Embora os gráficos de conrole radicionais de Shewhar servem bem como uma ferramena fundamenal para aplicações do conrole esaísico de processo (SPC), suas suposições são desafiadas por muios ambienes indusriais modernos, pois não há nenhuma razão cienífica para se usar as écnicas radicionais dos gráficos de conrole, em virude de induzir a conclusões errôneas e faciliar a uma fala de segurança de que o processo eseja sob conrole esaísico com falha na idenificação de variação sisemáica do processo (BOX E LUCENO, 1997; MONTGOMERY, 1997). Por exemplo, quando os limies padrões de conrole forem usados em aplicações onde o processo é freqüenemene amosrado, a auocorrelação nas medidas pode resular em muios ponos fora dos limies de conrole. Enquano ese problema for assuno de pesquisa, os modelos esaísicos de séries emporais podem ajudar às écnicas radicionais dos gráficos de conrole de Shewhar provendo soluções efeivas. Ese arigo demonsra o uso de series emporais no sofware Saisica para a modelagem esaísica em conjuno com as écnicas radicionais dos gráficos de conrole de Shewhar. Palavras chave: Gráfico de conrole de Shewhar, Séries emporais 1. Inrodução Um dos resulados principais do esudo de qualidade indusrial foi o uso difundido de méodos de conrole esaísicos de processo para eliminar causas especiais de variação em processos e reduzir as causas comuns de variação (MONTGOMERY, 1997). Indúsrias ao longo do mundo adoaram o uso dos gráficos de conrole de Shewhar como o méodo principal de SPCs. Os gráficos de conrole de Shewhar são ensinados e aplicados em grande escala em componenes discreos e conínuos nos processos indusriais. Enquano o uso das écnicas de Shewhar é noavelmene versáil, não é a melhor solução para oda aplicação de SPC. Segundo Rodriguez (1994), há uma grande consciência por pare de engenheiros de qualidade que os gráficos de conrole radicionais são inconvenienes ou de um valor limiado em várias siuações indusriais, e algumas quesões esão surgindo, al como, o que se pode fazer com relação a auocorrelação dos dados e se há alguma maneira para se ajusar os gráficos de conrole para dados auocorrelacionados? A maioria desas pergunas serve como assuno de pesquisa e debae, não é nosso objeivo razer nese esudo soluções definiivas. O propósio é descrever uma abordagem mais indicada a esas soluções, e como pode ser implemenado no programa Saisica. O exemplo usado nese arigo e analisado aravés do sofware Saisica pode ser uilizado a uma grande variedade de processos. 2. Auocorrelação dos dados A auocorrelação nada mais é do que um mecanismo exisene no processo, que faz com que os dados não sejam independenes enre si ao longo do empo. Em qualquer momeno durane um processo, o valor de uma variável não é só um valor aleaório. Normalmene, é influenciado pelo seu próprio valor em algum momeno no empo. ENEGEP 2004 ABEPRO 1621

2 XXIV Enconro Nac. de Eng. de Produção - Florianópolis, SC, Brasil, 03 a 05 de nov de 2004 A auocorrelação em sido reconhecida como um fenômeno naural nas indúsrias onde parâmeros como emperaura e pressão variam lenamene para a axa ao qual eles são medidos. Somene em recenes esudos a auocorrelação em se ornado assuno nas aplicações de SPC, paricularmene em seores indusriais onde a auocorrelação é visa como um problema que resula em alarmes falsos nos gráficos de conrole. Quando a auocorrelação não é considerada pode viesar a inerpreação dos gráficos de conrole de Shewhar (RODRIGUEZ, 1994). Uma razão para esa preocupação é que, nos úlimos empos os dados passaram a ser auomaizados, e as amosras ornaram-se mais freqüenemene em alguns locais das indúsrias, sendo possível idenificar a auocorrelação que previamene não era deecada. Ouras discussões dese assuno, pode ser enconrada em Schneider e Prue (1994) e Woodall (1993). Os gráficos de conrole de Shewhar assumem que o processo x opera em função de uma média consane µ, e que x (a medida no empo ) pode ser esimado aravés da seguine equação: x = µ + e (1) onde e é um erro aleaório do processo da média µ. Assume-se que os erros são esaisicamene independene na derivação dos limies de conrole radicionais exibidos a rês desvios-padrões acima ou abaixo da linha cenral para a qual represena uma esimaiva µ. Quando os gráficos de conrole de Shewhar são consruídos para dados auocorrelacionados, os limies de conrole radicionais aumenam a probabilidade de ocorrer alarmes falsos (erro ipo I), e os usuários às vezes comenam que os limies de conrole esão muio aperados. Enão, a fórmula do cálculo dos limies de conrole deve ser alerada para que seja considerado o efeio da auocorrelação dos dados, ou enão deve-se modelar a sua esruura para elimina-la dos dados (Ramos, 2000; Cosa e al, 2004). Esa siuação é ilusrada na Figura 1 que mosra os dados no gráfico de conrole para a média de 211 observações de um processo indusrial, sendo considerada a caracerísica da qualidade a resisência da fia de polipropileno, coleadas no período de novembro e dezembro de 2003 e janeiro de ,8 Hisogram of Means X-bar Char; variable: Resisênc X-bar: 5,4191 (5,4191); Sigma:,11060 (,11060); n: 2 5,7 5,6 5,6198 5,5 5,4 5,4191 5,3 5,2 5,2184 5, Figure 1. Gráfico de Conrole Tradicional de Shewhar As observações foram colocadas no Saisica. As observações são deerminadas pelo variável X, e o empo é deerminado por. ENEGEP 2004 ABEPRO 1622

3 XXIV Enconro Nac. de Eng. de Produção - Florianópolis, SC, Brasil, 03 a 05 de nov de 2004 Esa é uma aplicação radicional dos gráficos de Shewhar. Idenificando e modelando a auocorrelação Você pode idenificar a auocorrelação aravés do procedimeno de um processo ARIMA. A figura 2 nos mosra que os dados são alamene auocorrelacionados com o lag 1 no valor de 0,417. Função de Auocorrelação Resisência da fia de polipropile (Sandard errors are whie-noise esimae Lag Corr. S.E. Q p 1 +,417, ,28, ,239, ,53, ,280, ,44, ,160, ,97, ,156, ,25, ,201, ,11, ,128, ,73, ,131, ,53, ,194, ,9, ,132, ,8, ,034, ,1, ,056, ,8, ,081, ,3, ,128, ,0, ,175, ,0, ,116, ,1, ,117, ,3, ,130, ,3, ,148, ,4 0, ,180, ,1 0, ,159, ,1 0, ,098, ,4 0, ,059, ,2 0, ,081, ,8 0, ,080, ,3 0, ,127, ,3 0, ,100, ,7 0, ,086, ,5 0, ,188, ,3 0, ,100, ,8 0, ,0-0,5 0,0 0,5 1,0 Conf. Limi Figura 2. Gráfico da Auocorrelação para os Dados A auocorrelação parcial mosrada na figura 3 sugere que os dados podem ser modelados com um modelo auorregressivo de primeira ordem, geralmene chamado modelo AR(1): x ˆ x - µ = φ + φ ~ x + e = Função de Auocorrelação Parcial Resisência da fia de polipropile (Sandard errors assume AR order of k- Lag Corr. S.E. 1 +,417, ,078, ,189, ,031, ,075, ,090, ,008, ,045, ,096, ,003, ,090, ,001, ,043, ,096, ,077, ,016, ,038, ,016, ,069, ,085, ,025, ,049, ,076, ,006, ,023, ,100, ,016, ,002, ,112, ,061, ,0-0,5 0,0 0,5 1,0 Conf. Limi Figura 3. Gráfico da Auocorrelação Parcial A equação do modelo enconrado é: ~ x = -0, ~ x 1 ENEGEP 2004 ABEPRO 1623

4 XXIV Enconro Nac. de Eng. de Produção - Florianópolis, SC, Brasil, 03 a 05 de nov de 2004 Méodo Há discordância considerável em como conrolar a auocorrelação dos dados num processo. Segundo Wheeler (1991) os limies de conroles habiuais só são conagiados pela auocorrelação quando ela se ornar excessiva (de 0.80 ou maior) e que nesas siuações o regisro freqüene dos dados é muio coerene, pois auxilia na verificação da auocorrelação. Wheeler (1991) conclui que não há necessidade de maner-se aflio com os efeios de auocorrelação nos gráficos de conrole. Alwan e Robers (1988) são defensores da remoção da auocorrelação dos dados para a consrução dos gráficos de conrole de Shewhar (ou gráficos EWMA ou gráficos de CUSUM) aravés dos resíduos (RODRIGUEZ, 1994). No exemplo aqui proposo, os resíduos são calculados como erros de previsão. Consroem-se enão, os gráficos de conrole de Shewhar aravés da série residual. A figura 4 mosra o gráfico de conrole para a série residual com 3σ de limies. 0,4 Hisogram of Mean X-bar Char; variable: AR X-bar: -,00444 (-,00444); Sigma:,16013 (,16013); n: 0,3, ,2 0,1 0,0 -, ,1-0,2-0,3 -, , Figure 4. Residuais do Modelo AR(1) O gráfico da figura 4 se assemelha a figura 2 de Mongomery e Masrangelo (1991), que concluem que o processo esá sob conrole. Além do gráfico de conrole residual, Mongomery e Masrangelo (1991) sugerem ajusar um modelo Médias Móveis Exponencialmene Ponderada (EWMA) aos dados. Ao se usar ese modelo como uma exibição, recai-se ao gráfico de conrole radicional EWMA, que é definido como: z = λ x + z ( 1- λ) -1 O gráfico de conrole EWMA esá baseado na suposição que as x de observações são independenes. Porém, no conexo de um processo com dados auocorrelacionados (e mais geralmene numa análise de séries emporais), a esaísica EWMA, z, faz um papel diferene: é a previsão um-passo-à-frene para um processo que pode ser modelado por um modelo ARIMA(0,1,1) x = x + e θe conano que o parâmero de peso λ seja λ = 1 θ. Esa esaísica ambém é um bom predior quando o processo pode ser descrio por um subconjuno dos modelos ARIMA para os quais ENEGEP 2004 ABEPRO 1624

5 XXIV Enconro Nac. de Eng. de Produção - Florianópolis, SC, Brasil, 03 a 05 de nov de 2004 o processo é posiivamene auocorrelacionado e o processo da média não mude muio depressa (MONTGOMERY e MASTRANGELO, 1991). Agora, pode-se ajusar um modelo ARIMA(0,1,1) para os dados da resisência da fia de polipropileno, o sumário do modelo ajusado é mosrado na abela 1. Parâmero Esimaiva Erro padrão(se) valor p Consane 0,0007 0,0015 0,6576 MA1,1 0,8375 0, Tabela 1 - Sumário do Modelo Ajusado ARIMA (0,1,1) O gráfico de conrole de Shewhar para os resíduos do modelo ARIMA (0,1,1) pelo uso EWMA esá represenado na figura 5. 0,08 Hisogram of EWMA EWMA X-bar Char; variable: MA011 EWMA X-bar:,00181 (,00181); Sigma:,12031 (,12031); n: 0,06, ,04 0,02 0,00, ,02-0,04 -, ,06-0, Figura 5. Modelo Residual ARIMA (0,1,1) A linha cenral do gráfico de conrole da previsão é feia pelo EWMA, para o modelo ARIMA(0,1,1), e se usa os erros padrões de predição para deerminar os limies superior e inferior de conrole. A linha cenral do gráfico EWMA é mosrado na figura 6. Hisogram of EWMA EWMA X-bar Char; variable: MA011 EWMA X-bar:,00181 (,00181); Sigma:,12031 (,12031); n: 2,7432 0,08 0,06 LIC 0,04 0,02 0,00 Linha Cenral -0,02-0,04 LSC -0,06-0, Figura 6. Linha Cenral do Gráfico de Conrole EWMA ENEGEP 2004 ABEPRO 1625

6 XXIV Enconro Nac. de Eng. de Produção - Florianópolis, SC, Brasil, 03 a 05 de nov de 2004 Conclusão Concluí-se que o processo esá em conrole. As figuras 4 e 6 não são as únicas figuras que podem ser consideradas ao se analisar dados da resisência, a consrução desas figuras ilusra o uso conjuno dos modelos ARIMA e os gráficos de conrole radicionais de Shewhar. Não há nenhuma resposa simples à perguna de como lidar com a auocorrelação dos dados, e ese assuno é um ópico de pesquisa com visões divergenes. Porém, em muias siuações o procedimeno de ARIMA é uma ferramena fundamenal por idenificar a auocorrelação e modelar as perurbações de processo, e pode ser usado juno com as écnicas radicionais de Shewar para criar uma variedade de gráficos de conrole úeis. Referências ALWAN, L. C. and ROBERTS, H. V. (1998), Time Series Modeling for Saisical Process Conrol, Journal of Business and Economic Saisics, 6, BOX, G.E.P; LUCENO, A.( 1997) Saisical conrol by monioring and feedback adjusmen, New York: Wiley & Sons. COSTA, A. F. B.; EPPRECHT, E. K.; CARPINETTI, L. C. R.. (2004) Conrole Esaísico de Qualidade, São Paulo: Alas. MONTGOMERY, D. C. (1997), Inroducion o Saisical Qualiy Conrol, Second Ediion, New York: John Wiley & Sons, Inc. MONTGOMERY, D.C. and MASTRANGELO, C. M. (1991), Some Saisical process Conrol Mehods for Auocorrelaed Daa, Journal of Qualiy Technology, 23, (wih discussion). RAMOS, A. W. (2000) CEP para Processos Conínuos e em Baeladas. São Paulo: Ediora Edgard Blücher LTDA. RODRIGUEZ, R.N., (1994) Recen Issues in Saisical Process Conrol: SAS Soluions Using Saisical Modeling Procedures. SUGI Proceedings. SAS Insiue Inc., Cary, NC. SCHNEIDER, H. and PRUETT, J. M. (1994), Conrol Charing Issues in he Process Indusries, Qualiy Engineering, 6, WHEELER, D. J. (1991), Shewhar s Char: Myhs, Facs, and Compeiors, 45 h Annual Qualiy Congress Transacions, American Sociey for Qualiy Conrol WOODALL, W. H. (1993), Auocorrelaed Daa and SPC, ASQC Saisics Division Newsleer, 13, ENEGEP 2004 ABEPRO 1626