A Previsão com a Metodologia de Box-Jenkins

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1 A Previsão com a Meodologia de Box-Jenkins. Inrodução Suponha que exisa um sisema que aue como um filro (Figura ), que é esimulado por uma série de ruídos brancos, resulanes de um processo de geração de números aleaórios, e que com esse esímulo seja gerada pelo sisema uma seqüência de valores observados seguindo um padrão, que corresponde à série emporal Y. ruído branco Filro série emporal Y Figura Geração de série emporal Y Figura Associação de modelo à série de observações Y Em siuações da realidade, em-se o caminho inverso ou seja, conhece-se o conjuno de observações seqüenciais Y geradas pelo sisema em quesão, ao qual buscase associar um modelo que corresponda aos processos inernos ao sisema que as gerou (Figura ). Uma vez que se esabeleça um modelo operacional para essa represenação, a série aleaória e de valores em orno de zero corresponde à seqüência de valores (resíduos) que resula ao exrair de Y os valores obidos com o modelo ajusado à essa mesma série de valores observados Y. A meodologia de Box-Jenkins para a previsão se baseia no ajuse de modelos enaivos denominados ARIMA a séries emporais de valores observados de forma que a diferença enre os valores gerados pelos modelos e os valores observados resule em séries de resíduos de comporameno aleaório em orno de zero. Os modelos ARIMA (auoregressivos inegrados e de médias móveis) são capazes de descrever os processos de geração de uma variedade de séries emporais para os previsores (que correspondem aos filros) sem precisar levar em cona as relações econômicas, por exemplo, que geraram as séries.

2 Segundo a sisemáica da meodologia de Box-Jenkins os modelos ARIMA descrevem ano o comporameno esacionário como o não-esacionário. Dessa forma, pode-se afirmar que essa é uma meodologia de modelagem flexível em que as previsões com base nesses modelos são feias a parir dos valores correnes e passados dessas séries. Pode-se associar o conceio inicial de um filro esimulado por uma série aleaória do ipo ruído branco à meodologia de Box-Jenkins (Figura 3). Figura 3 Os filros de médias móveis, auoregressivo e de inegração não-esacionária Na Figura 3 é represenado um conjuno de sucessivos filros aos quais associam-se os parâmeros dos modelos ARIMA (p,d,q) que represenam os sisemas esimulados pela série e que geraram a série emporal Y : o filro de médias móveis (parâmero q), o filro auoregressivo esacionário (parâmero p) e o filro de inegração não-esacionário (parâmero d).. A Esacionariedade da Série Temporal Os modelos ARIMA ou Box-Jenkins são excelenes modelos de previsão de curo prazo (Granger & Newbold, 977). Resulados de análises com esses modelos mosram que os melhores resulados (previsões) são obidos com de 5 a 0 anos de informação (mensal), paricularmene na presença de sazonalidade. Como já viso, a imporância do processo observado ser esacionário é a possibilidade de fixar parâmeros do modelo válidos para previsão do fuuro a parir do passado. Assim, como primeiro passo para essa modelagem são realizados procedimenos para a remoção da não-esacionariedade.

3 A análise das esaísicas básicas das séries esacionárias permie separar a esacionariedade em dois grupos: () esacionariedade no amplo senso: médias, variâncias e covariâncias consanes no empo. () esacionariedade no esrio senso: probabilidade de uma dada fluuação no processo em orno da média é a mesma em qualquer momeno do processo. Na práica, aceia-se que as séries observadas sejam séries fracamene esacionárias, siuações nas quais garane-se apenas médias e variâncias invarianes no empo. Exise uma equivalência enre os modelos ARIMA e os modelos ARMA (auoregressivos e de médias móveis). Esses úlimos são ajusados a séries já esacionárias ransformadas pelo méodo das diferenças de ordem d ou seja, cujas séries originais são séries não-esacionárias homogêneas (assim denominadas por er sido possível ober a esacionariedade com um número finio de diferenciações), como a série do exemplo a seguir (Figuras 4, 5, 6 e 7). Figura 4 Série de ofera moneária ajusada sazonalmene 3

4 =,..., n. Variância não-consane no empo. Figura 5 Série das as diferenças = 3,..., n. Z = (Y Y - ) (Y - Y - ) = Y Y - + Y -. Variância não-consane no empo. Figura 6 Série das as diferenças. Y = logy Variância ± consane. Série pode ser dia esacionária. A série original é dia homogênea de ordem d =. Figura 7 Série das primeiras diferenças dos dados ransformados. 4

5 Nas figuras 4, 5 e 6 são mosrados os gráficos de uma série original de ofera moneária ajusada sazonalmene, onde exise clara endência, e das respecivas séries ransformadas de primeiras e segundas diferenças. Observa-se que a variância é nãoconsane no empo em odas elas. Nesse caso é feia a ransformação logarímica nos dados originais e em seguida obida a série das primeiras diferenças da série Y = log Y ou seja: Δ Y, para a qual pode-se aceiar que a variância é consane e, assim, a série original é dia homogênea de primeira ordem (d = ) (Figura 7). À luz da análise de auocorrelação, seguem exemplos do uso do correlograma para idenificar séries emporais esacionárias para dados não sazonais:. Série pode se considerada esacionária quando há runcameno abrupo ou padrão de decaimeno rápido (Figuras 8 e 9). Figura 8 Valores das auocorrelações significaivos nos períodos iniciais de defasagem e runcameno após Figura 9 Valores das auocorrelações significaivos decaindo bem rápido para valores próximos de zero 5

6 . Série pode ser considerada não-esacionária quando há padrão de decaimeno leno para zero (Figura 0). Figura 0 Valores das auocorrelações significaivos decaindo exremamene devagar segundo padrões de decaimeno Como exemplos de padrão de decaimeno podem ser observados os padrões represenados na Figura : a) decaimeno exponencial sem oscilações b) decaimeno exponencial com oscilações c) decaimeno em onda senoidal Figura Exemplos de padrão de decaimeno 6

7 . Um Tese para Verificar a Esacionariedade: O Tese da Raiz Uniária de Dickey-Fuller Seja o processo esocásico de raiz uniária: Y = ρ Y - + ε, - ρ, onde ε é um ermo de erro de ruído branco. Quando ρ = (raiz uniária), o processo gerador da série Y é o passeio aleaório e a série é não-esacionária. Subraindo-se Y - dos dois lados da igualdade, escreve-se: Y Y - = ρ Y - Y - + ε Δ Y - = δ Y - + ε, () onde δ = ρ -. Um procedimeno de ese da raiz uniária pode ser aplicado à equação (). Dessa forma, esima-se os parâmeros da equação () e esa-se se δ = 0. Se δ = 0, ρ = raiz uniária e a série original é não-esacionária. Enreano, a esaísica de Sudens não se aplica nesse caso (Gujarai, 006). Usa-se o ese de Dickey-Fuller, que avalia se o valor da esaísica esimado para o parâmero de Y - segue a disribuição da esaísica τ (au). Dessa forma, o ese de Dickey-Fuller verifica a hipóese nula (δ = 0) é rejeiada ou não em deerminados níveis de significância esaísica, conforme valores abulados (Gujarai, 006, pág. 79). Se o valor em módulo de < esaísica τ, não é possível rejeiar a hipóese nula ou seja, a hipóese de não-esacionariedade. O procedimeno do ese deve ser mais sofisicado, enreano. À esimação da equação () (e conseqüene ese de hipóese sobre δ = 0), devem se junar a esimação das varianes possíveis do processo de passeio aleaório e os respecivos eses de hipóeses sobre δ = 0: Δ Y = β + δ Y - + ε () Δ Y = β + β + δ Y - + ε (3) onde é o empo ou a variável de endência. 7

8 Nessas duas varianes [() e (3)], δ = 0 significa que há raiz uniária ou seja, a série Y é não-esacionária. A hipóese alernaiva é que δ < 0, significando ρ - < 0 ou seja ρ < (observe que ρ > não é aceia por implicar em explosão de valores da série). Se a hipóese nula for rejeiada, isso significa que (Gujarai, 006): Y é uma série emporal esacionária com média zero: equação () Y é uma série emporal esacionária com média diferene de zero: equação () Y é uma série esacionária em orno de endência deerminísica: equação (3). O Tese F de Dickey-Fuller Suponha-se que a variável Y possa ser descria por: Y = α + β + ρ Y - + ε (4) Dickey e Fuller derivaram a disribuição para o esimador ρˆ e geraram um ese para a hipóese de Y se comporar como o passeio aleaório iso é, sob a hipóese que β = 0 e ρ =. O ese pode ser aplicado para uma versão geral da equação (4) ou seja, sob a suposição de que Y possa ser descria por: Y = α + β + ρ Y - + λ Δ Y - + ε, onde Δ Y - = Y - Y -. mesmo. Ouras defasagens Δ Y -i podem ser incluídas na equação, mas o ese seria o Com base nos Mínimos Quadrados Ordinários, são esimados os parâmeros das regressões irresrias (5) e resria (6) seguines: Y Y - = α + β + (ρ - ) Y - + λ Δ Y - (5) Y Y - = α + λ Δ Y - (6) 8

9 O procedimeno do ese calcula a esaísica F como a razão: (N K) (ESS F = q (ESS R IR ESS ) IR ) onde: ESS R e ESS IR são a soma do quadrado dos resíduos nas regressões resria e irresria, respecivamene, N K é o número de observações, é o número de parâmeros esimados na regressão irresria, e q é o número de resrições de parâmeros (no caso: β = 0; ρ = ) O valor calculado de F é comparado com os valores críicos da esaísica abulada em uma abela apropriada desenvolvida por Dickey e Fuller (Pindyck e Rubinfeld, 99, pág. 46). Assim, se F calculado > F críico de Dickey-Fuller, a hipóese do passeio aleaório pode ser rejeiada. 3. A Formulação dos Modelos ARMA (ou ARIMA) A diferença básica enre a regressão clássica e os modelos de séries emporais é que nos modelos de séries emporais ARMA (ou ARIMA) não se pode assumir independência enre observações. Ao conrário, os modelos auoregressivos e de médias móveis vão modelar o grau de auocorrelação enre desvios e observações defasadas. Em suma, de forma geral, quando faz-se referência a modelos ARIMA esses modelos esão sendo ajusados à série original. Já ao fazer-se referência a modelos ARMA, considera-se que a série é uma série diferenciada. Supondo Y a série já diferenciada, os modelos ARMA em sua forma geral se escrevem: Y = α + φ Y + φ Y φ p Y p + ε θ ε... θ q ε q O melhor modelo deve ser parcimonioso ou seja, deve-se min {p,q}(o que quer dizer que se deve enar uilizar o menor conjuno de parâmeros possível para seu 9

10 ajusameno à série de dados observados). Os parâmeros p e q represenam o número de parâmeros relaivos aos comprimenos de defasagem em que observa-se valores significaivos das auocorrelações e que correspondem a paricularidades do sisema de geração das séries que devem ser explicadas pelo modelo (pois correspondem a um padrão de geração). O processo gerador dos dados da série é dio aleaório linear se o modelo ajusado Y pode ser descrio como uma combinação linear de valores defasados de Y e ε. Esses modelos podem, para faciliar a compreensão, ser separados em dois modelos complemenares (conforme Figura 3): os modelos de médias móveis e os modelos auoregressivos. Os primeiros correspondem aos processos de médias móveis de ordem q em que cada observação Y é gerada por uma média ponderada dos erros aleaórios q períodos no passado. Denoa-se esse processo por MA(q), cuja equação é: Y = α + ε θε... θ qε q, onde os parâmeros,..., θ q θ podem ser posiivos ou negaivos. O sinal negaivo no erceiro ermo em diane corresponde a uma convenção. Assume-se que os erros aleaórios são gerados por um processo de geração de ruídos brancos ou seja: ε ~N(0,σ ε) e covariância γ k = 0 para defasagens k 0. Observa-se que Y são dependenes, ou melhor, uma função linear da ponderação dos erros. Seja exemplo, inicialmene, o modelo de processos aleaórios simples: Y = ε, = 0, ±, ±,..., válido para série puramene aleaória, nos quais, se ε são normalmene disribuídos, as observações são dias corresponderem ao ruído branco. Por ouro lado, é exemplo de modelo de um processo aleaório linear simples o modelo de médias móveis. Por exemplo, o modelo de médias móveis de primeira ordem escreve-se: Y = α + ε - θ ε -, cujos parâmeros são α, θ, σ ε. Como exemplo de processo aleaório linear simples (MA()), ome-se exemplo de MA() com θ = 0,5 (Figura ). 0

11 Figura Exemplo de processo de médias móveis MA() com θ = 0,5 (Levenbach e Cleary, 984). Ouro exemplo de processo aleaório linear simples é o processo AR(p) (auoregressivo) em que p =. O modelo AR() correspondene ao processo auoregressivo de ª ordem é ambém conhecido por processo de Markov, onde: Y = α + φ Y + ε, cujos parâmeros são α, φ, σ. Na Figura 3 é represenado exemplo de AR() com φ = + 0,9 (Y = 0,9Y - + ε ). ε Figura 3 Exemplo de processo auoregressivo AR() com φ = 0,9 4). Ouro exemplo, é o modelo AR() com φ = -0,9 (Y = -0,9Y - + ε ) (Figura

12 Figura 4 Exemplo de processo auoregressivo AR() com φ = -0,9 O modelo auoregressivo genérico AR(p) escreve-se: = α + φy + φy φpy p ε. Y + Na verdade, como o nome indica, AR(p) modela uma auoregressão da variável Y com essa mesma variável, defasada (Y -, Y -,..., Y -p ), para os p períodos de defasagem em que a auocorrelação parcial enre as variáveis é significaiva. Na Figura 5 é represenado o gráfico de exemplo de AR() com φ = +,0 e φ = -0,5 (Y =,0Y - 0,5Y - + ε ). Figura 5 Exemplo de processo auoregressivo AR() com φ = +,0 e φ = -0,5

13 Exise um princípio de dualidade enre os modelos do ipo MA e AR de forma que exise a seguine correspondência enre eles: MA de ordem finia AR de ordem infinia AR de ordem finia MA de ordem infinia Quando o processo gerador de série emporal corresponde a modelos composos por pare auoregressiva e pare médias móveis, os modelos uilizados são o ARMA(p,q). Como exemplo de ARMA(,), em-se: Y = α + φy + ε θε. 4. Eságios da Meodologia de Box-Jenkies A meodologia de Box-Jenkins corresponde a rês eságios principais: () idenificação de modelos enaivos (e de seus parâmeros), () esimação, e (3) ese de adequação, aos quais se segue a aplicação do modelo para a previsão ou conrole do sisema de geração dos valores observados Y (Figura 6). Figura 6 Eságios da meodologia de Box-Jenkins 3

14 Assim, como arefa inicial é preciso deerminar p e q para a idenificação de modelos enaivos. Para isso, procede-se ao exame dos coeficienes de auocorrelação e dos coeficienes de auocorrelação parcial, que permiem medir a força relaiva de ineração enre as variáveis Y defasadas. A combinação dos ermos ponderados por esses dois coeficienes, na ausência de aleaoriedade, poderiam revelar o modelo exao ARMA(p,q). Mas é fao que a aleaoriedade esá presene na amosra, o que leva a desvios dos verdadeiros valores observados. Logo, podem haver enganos na idenificação dos coeficienes de auocorrelação com base na análise de dados amosrais. Esses enganos são revelados no ese de adequação do modelo ou análise dos resíduos. 5. A Auocorrelação Parcial A auocorrelação parcial pode ser definida com o úlimo ermo auoregressivo de um modelo AR(m). Assim, ˆφ, ˆφ, ˆφ 3,..., ˆφ m-, ˆφ m são as m auocorrelações parciais de qualquer processo AR(m), como pode ser viso nas equações seguines: X = ˆφ X - + ε (7) X = φ X - + ˆφ X - + ε (8) Equações X = φ X - + φ X - + ˆφ 3 X -3 + ε (9)... X = φ X - + φ X ˆφ m- X -m + + ε (0) X = φ X - + φ X ˆφ m X -m + ε () ˆφ i são usadas para medir o grau de associação enre X e X -i, os demais efeios consanes, em sisemas de equações do ipo das equações (7)-() acima, que correspondem à um sisema de solução rabalhosa. As esimaivas de ˆφ, ˆφ,..., ˆφ m podem ser obidas com base na ransformação do sisema de equações. Seja exemplo: X = φˆ X + ε modelo auoregressivo de ª ordem 4

15 Muliplicando o primeiro e segundo ermos da equação por X -, obém-se: X -. X = ˆφ X -. X - + X - ε, onde: E (X -. X ) = ˆφ E (X -) + E (X - ε ) γ γ = ˆφ γ 0, γ γ 0 γ 0 0 = ˆφ ρ = ˆφ, ou melhor, que: ˆφ = ρ = r, sendo ρ a auocorrelação eórica (população) e r o valor amosral esimado. Sucessivamene, pode-se derivar ρ k = γ k. γ 0 Pode-se rabalhar as equações do sisema de equações (7)-() e ober as equações de Yule-Walker para obenção das auocorrelações defasadas e das auocorrelações parciais. Mas no caso de modelos complexos como o modelo ARMA (p,q), opa-se por simplificação nas esimaivas dos valores dessas auocorrelações. Assim, obém-se o correlograma da função da auocorrelação parcial (ou correlograma parcial, que equivale ao gráfico das auocorrelações parciais para diferenes defasagens), com base no cálculo de r kk coeficiene de auocorrelação parcial amosral e na realização de eses de hipóese para avaliação dos inervalos de defasagem enre as variáveis observadas em que essa auocorrelação é significaiva. Para isso, deve-se observar: ) r kk = r, se k (r r k j= k ( j= r k= r k, j r ) j ) k, j k j se k =, 3,... onde r kj = r k-, j r kk r k-,k-j para j =,,..., k- ) O desvio padrão de r kk = S r kk (n b + ) / 3) r r = kk S kk rkk 5

16 4) Na práica, se r kk >, significa que auocorrelações parciais são significaivas. 6. Expressão dos Modelos ARIMA na Forma Compacada Define-se o operador B como BY = Y -. Assim: B Y = B(BY ) = B(Y - ) = Y - B k Y = Y -k Y Y - = Y BY = (-B)Y Dessa forma, o modelo AR() se escreve, na forma compacada: AR() ( - φ B)Y = α + ε Por simplificação, Y incluirá α, sendo (Y - α), o que corresponde a modelar a série ajusada à média amosral ou seja: (Y - Y), Y sendo a média amosral da série. Assim, reescreve-se AR() como ( - φ B) Y = ε. Para defasagens de ordem sazonal pode-se uilizar o operador B L, sendo L o comprimeno de sazonalidade, de forma que: Y Y - = Y B Y = (-B )Y. Escrevendo os modelos na forma compacada é possível explorar a dualidade enre os modelos do ipo MA e AR. Para isso, seja o modelo AR(): ( - φ B) Y = ε, ε que pode ser reescrio Y =. φ B Expandindo Y como série de poência da forma: ( + x) p = + px + p(p ) x...! +, o ermo = ( - φ B) - = + φ B + φ B φ B +..., onde - < φ <. coef. coef....coef. n Dessa forma, escreve-se o modelo AR(): Y = ε + φ ε - + φ ε , ou seja, ele é expresso como um processo MA de ordem infinia (valores dos coeficienes n φ decrescenes exponencialmene). 6

17 De forma similar, MA() Y = ( - θ B) ε pode ser viso como AR de ordem infinia, pela mesma propriedade da dualidade ou melhor, se as condições de inveribilidade e esacionariedade forem obedecidas (serão apresenados mais à frene). Os processos de maior ordem MA, AR e ARMA podem ser represenados por: ( - φ B - φ B φ p B p ) Y = ( - θ B - θ B θ q B q ) ε, onde Y é a série observada ajusada à média amosral. Assim, Y = ( θ B θ ( φ B φ B B q... θ qb ) ε p... φ B ) p sendo: θ q (B) = - θ B - θ B θ q B q ; φ p (B) = - φ B - φ B φ p B p, e H(B) = θ φ q p (B) (B) pode ser denominada função de ransferência. Para represenar o modelo de ARIMA (p,d,q), Y nos modelos acima é subsiuído por w, sendo w a série esacionária: w = ( B) Y ª diferença ou, de forma geral, w = ( B) d Y ou seja, a série esacionária de ordem d. Assim, o modelo ARIMA (p,d,q) escreve-se: φ p (B)(-B) d Y = θ q (B) ε Por exemplo, o modelo ARIMA (,,) assume a forma compacada: ( - φ B)( B) Y = ( - θ B) ε O modelo operacional do sisema gerador da série original Y deve obedecer às exigências e : ) Unicidade de represenação ) Equilíbrio esaísico em orno da média O que garane: ) Unicidade da represenação, são as condições de inveribilidade de w. 7

18 ) Equilíbrio em orno do valor de uma média fixa, são as condições de esacionariedade de w. 7. As Condições de Esacionariedade e de Inveribilidade Seja o modelo auoregressivo puro AR(p). O modelo auoregressivo é válido para odas as observações da série. Assim, pode ser escrio para a média das observações da série esacionária Z : Z = α+φ Z + φ Z φ p Z p Supondo-se conhecido o valor eórico μ ou a média populacional, sendo que essa verdadeira média é consane em qualquer defasagem em que seja calculada, podese escrever: μ = α + φ μ + φ μ φ p μ, ou seja: μ = α ( φ φ... ). φp A análise da função de auocorrelação de processos esacionários leva ao esabelecimeno de conjunos de condições necessárias e suficienes para os valores φ k que garanem a esacionariedade, iso é, média finia de variância invariane do empo que se somam à condição necessária (φ + φ φ p ) <. Para o conjuno de modelos abaixo, as condições de esacionariedade são as seguines: Modelo: Z = α + ε - θ ε - Z = α + ε - θ ε - - θ ε - Condições de esacionariedade Nenhuma Nenhuma Z = α + φ Z - + ε φ < Z = α + φ Z - + φ Z - + ε φ + φ <, φ < φ - φ < Z = α + φ Z - + ε + θ ε - φ < 8

19 No processo ARIMA (ou ARMA) a condição de inveribilidade significa que sua pare MA pode ser inverida em AR (puro). Os pesos aplicados aos valores passados de Z são decrescenes, na medida em que a defasagem aumena. Para o conjuno de modelos abaixo, são condições de inveribilidade: Modelo Condições de inveribilidade Z = α + ε - θ ε - θ < Z = α + ε - θ ε - - θ ε - θ + θ <, θ < θ - θ < Z = α + φ Z - + ε Nenhuma Z = α + φ Z - + φ Z - + ε Nenhuma Z = α + φ Z - + ε + θ ε - θ < As condições de inveribilidade e esacionariedade esabelecem resrições aos valores das esimaivas dos parâmeros dos modelos. Como será viso, para a esimação desses parâmeros são obidas inicialmene suas esimaivas preliminares. As esimaivas preliminares dos parâmeros dos modelos de séries emporais ambém devem saisfazer às condições de esacionariedade e inveribilidade. Por conseqüência, a esimaiva preliminar do ermo consane α deve ser feia com base nas esimaivas dos θ s e φ s que saisfazem as condições de esacionariedade e inveribilidade. 8. O Termo Consane Considere-se a inrodução do ermo consane α no modelo genérico: ARMA (p, q) ARMA (α,φ s, θ s), ou seja: Z = α + φ Z - + φ Z φ p Z -p + ε - θ ε - - θ ε θ q ε -q ε, ε,... são assumidos esaisicamene independenes E(ε i ) = 0; E(ε i ) = σ ε ; ε i ~ N(0,σ ε ) Com o operador B, pode-se escrever o modelo na forma muliplicaiva (à exceção da inclusão adiiva do ermo consane α): 9

20 ( - φ B - φ B φ p B p ) Z = = α + ( - θ B - θ B θ q B q ) ε A análise do processo auoregressivo puro permie concluir que α = μφ p (B) onde φ p (B) = ( - φ B - φ B - φ 3 B φ p B p ) μ = média populacional de odas as realizações do processo esacionário sob esudo O ermo consane α pode ser obido nas rês siuações a seguir: ) φ p (B) não incluído no modelo (φ p (B) = ) e θ q (B) pode ser incluído, logo: θ q (B) = - θ B - θ B θ q B q Assim, φ p (B) Z = α + θ q (B) ε sendo Z = α + θ q (B) ε ou seja, o modelo de médias móveis, onde α = μφ p (B)= μ ) φ p (B) pode ser incluído e θ q (B) não pode ser incluído (θ q (B) = ) Assim, φ p (B)Z = α + θ q (B) ε φ p (B)Z = α + ε ou seja, o modelo auogressivo, onde α = μφ p (B) = μ( - φ B - φ B φ q B q ) = μ - φ Bμ - φ B μ φ q B q μ = μ - φ μ - φ μ φ p μ = μ( - φ - φ φ p ) 0

21 3) Ambos φ p (B) e θ q (B) podem ser incluídos Assim, φ p (B)Z = α + θ q (B) ε α = μφ p (B) = μ( - φ B - φ B φ p B ) = μ( - φ - φ φ p ) Para ober-se a esimaiva amosral de μ, calcula-se a média amosral da série de observações Z b, Z b+,..., Z n, al que: n Z b Z= = esimaiva de μ n b + Assim, se Z for esaisicamene diferene de zero, μ 0 é hipóese razoável. Como regra práica, obém-se a esaísica (Sudens): Z = / Sz/(n b + ), onde ese de hipóeses. S z n (Z Z) = b = (n b + ) /, como a qual realiza-se o Quando Z é a série de diferenças em relação à série original Y, o ermo consane α, ao ser incluído no modelo, incorpora-se como medida da endência deerminísica exisene, sendo que a endência esocásica é medida pelo modelo ARMA em seus parâmeros φ p e θ q. Quando a série modelada é a série original Y, no caso da média amosral não ser esaisicamene diferene de zero, considera-se que o ermo consane α não deve ser incluído na formação do modelo e que Y esá fluuando em orno de uma média zero. 9. Guia para Escolha do Modelo (AR(), AR(), MA(), MA(), ARMA(,)) No eságio de idenificação, as especificações funcionais dos modelos são escolhidas com base na avaliação dos padrões dos correlogramas, de forma que: A) Modelos: MA() e MA()

22 O correlograma em picos nas defasagens,,..., q e runcameno após, e o correlograma parcial apresena padrão de decaimeno. Nesse caso, se: () Se o correlograma em pico na defasagem e runcameno após e o correlograma parcial decai com uma forma exponencial o modelo enaivo pode ser Y = α - θ ε - + ε. () Se o correlograma em pico nas defasagens e e runcameno após e o correlograma parcial decai num miso de padrão exponencial / onda senoidal, o modelo enaivo parece ser Y = α - θ ε - - θ ε - + ε. B) Modelos: AR() e AR() O correlograma apresena padrão de decaimeno e o correlograma parcial em picos nas defasagens,,..., p e runcameno após. Nesse caso, se: () Se o correlograma parcial em picos na defasagem e o correlograma apresena decaimeno num padrão exponencial, o modelo enaivo pode ser: Y = α + φ Y - + ε. () Se o correlograma parcial em picos nas defasagens e e o correlograma apresena decaimeno num padrão miso exponencial / onda senoidal o modelo enaivo pode ser Y = α + φ Y - + φ Y - + ε. C) Modelos: MA(q) e AR(p) Se o correlograma em picos nas defasagens,,..., q e runcameno após e o correlograma parcial em picos nas defasagens,,..., p e runcameno após, devem ser avaliadas as siuações:. Se o correlograma runca-se mais abrupamene, o modelo é MA(q).. Se o correlograma parcial runca-se mais abrupamene, o modelo é AR(p).

23 3. Se ambos os correlogramas parecem runcar-se igualmene abrupamene, os modelos enaivos podem ser: ) MA(q) e não AR(p) ) AR(p) e não MA(q) Como regra práica, em geral MA(q) leva ao melhor modelo e deve ser enado em primeiro lugar. D) ARMA (p,q) O correlograma apresena padrão de decaimeno e o correlograma parcial, ambém. Nesse caso, o modelo enaivo deve er uma pare AR(p) e uma pare MA(q). Deve-se observar o princípio da parcimônia ou seja, por exemplo: se o correlograma apresena padrão de decaimeno exponencial e o correlograma parcial, ambém, o modelo enaivo deve ser, inicialmene, o mais simples: Y = α + φ Y - - θ ε - + ε. E) Nem MA(q), nem AR(p). O correlograma em pequenos valores (sem picos) e o correlograma parcial, idem. O modelo enaivo deve ser Y = α + ε. 0. A Esimação dos Parâmeros do Modelo Considere que o modelo escolhido enaivo seja ARMA(,), que em forma de desvios em relação à média em a forma maemáica X = φ X - + ε + θ ε -. A esimação dos parâmeros desse modelo deve se feia aravés de méodos de esimação não-linear. Assim, os passos seguines são observados: º) valores iniciais das esimaivas dos parâmeros φ e θ (e α, se for o caso) são definidos. º) modificações nesses valores são obidas, de forma a minimizar a soma dos quadrados dos erros. 3

24 Para avaliar a significância esaísica dos valores finais dos parâmeros, devem ser consruídos inervalos de confiança, realizados eses de hipóeses e verificadas as condições de esacionariedade e inveribilidade (para a unicidade de represenação). Ese ópico será reomado em dealhes mais adiane.. Verificação da Adequação do Modelo Supondo-se que φ = 0,35 e θ = 0,0 sejam os valores finais esimados para os parâmeros do modelo ARMA(,), escreve-se: Xˆ = 0,35 X - + ε 0,0 ε -. Com os valores de Xˆ gerados pelo modelo, obém-se os resíduos e = X - Se ajuse feio do modelo à série emporal de observações for bom, a série de e conforma-se como o processo gerador do ruído branco. Xˆ. Nesse momeno, deve ser feia a análise de auocorrelação dos resíduos, obendo-se esimaiva da esaísica χ para o ese de Box-Pierce (ou Ljung-Box). Caso a série de e não se compore como o ruído branco, deve-se escolher novo modelo. A análise do correlograma e do correlograma parcial pode sugerir qual o padrão do processo gerador da série original que deixou de ser modelado e esá presene na série de resíduos.. Teses da Precisão do Modelo Eses eses correspondem ao exame das propriedades esaísicas dos resíduos, pois qualquer dependência enre seus valores ou exisência de não-aleaoriedade poderá esar indicando a presença de informação que deveria ser explorada para melhorar a precisão do modelo ao represenar o padrão gerador da série emporal. São eles: ) Tese do sobre ajusameno ou ese da significância do parâmero adicional ou da esimaiva da variância dos resíduos σˆ ε. 4

25 Obém-se a esimaiva amosral da variância dos resíduos σˆ ε ajusada para os graus de liberdade. Se σˆ ε decrescer, significa que a adição do parâmero adicional melhorou o ajuse. Para isso, obém-se a esimaiva de σ ε por σˆ ε = onde S(α,θˆ, φ ˆ) soma do quadrado dos resíduos. S(αˆ,θˆ, φ ˆ), n p q Observa-se que, para amosras de amanho grande, usa-se indisinamene (n-pq) ou (n) no denominador. ) Tese da adequação do modelo ou ese da esaísica Qui-Quadrado de Box-Pierce modificado por Ljung e Box. Um grande valor da esaísica Q apona para a inadequação do modelo, sendo: m Q = n(n + ) (n k), k= r k χ críico abela Qui-Quadrado. r k = auocorrelações residuais, k =,..., m. n = número de observações uilizadas para ajusar o modelo (após méodo das diferenças) m = 6,, 8, 4 e 30 ou m é al que (m-p-q) = 0 m-p-q graus de liberdade Para verificar a adequação do modelo, além do ese da esaísica Qui- Quadrado, deve-se proceder ao exame da significância esaísica dos valores individuais das auocorrelações e auocorrelações parciais nos correlogramas dos resíduos. Caso o ese enha indicado bom modelo, é essencial apenas o exame complemenar do correlograma das auocorrelações dos resíduos. 5

26 3) Análise do periodograma Essa análise permie observar os efeios não-aleaórios periódicos. Como raase de análise no domínio da freqüência, o ese correspondene, ou ese de Kolmogorov-Smirnov (Box e Jenkins (976), Time-Series Analysis: Forecasing and Conrol, Holden-Day, cap. 8.) é viso em capíulo à frene. 4) Comparação dos correlogramas da série de dados originais ou ransformados, se for o caso, com os correlogramas da série obida com o modelo. As respecivas funções de auocorrelação devem er gráficos similares.. Uso do Modelo para a Previsão O uso do modelo ARMA (ou ARIMA) para a previsão será apresenado por meio de um exemplo (Bowerman & O Connel, 987). Seja: Uma empresa fabrica e vende oalhas de papel absorvene. Na Figura 7 é apresenado o gráfico da série de vendas (Y ) de 0 semanas de dados de vendas semanais em unidades de rolos. É objeivo da gerência da empresa prever as vendas semanais para planejar e programar a produção, o orçameno e esimar as necessidades de recursos e a capacidade das insalações para a produção e a esocagem do produo. Figura 7 Gráfico da série original de vendas de oalhas de papel absorvene (unidades de rolos) 6

27 Figura 8 Gráfico da série de primeiras diferenças A análise da Figura 7 mosra claramene que a série Y não é esacionária. Dessa forma na Figura 8 é apresenado o gráfico das primeiras diferenças Z = ΔY. As Figuras 9 e 0, respecivamene, mosram os correlogramas de Y e Z. Figura 9 Correlograma da série original 7

28 Figura 0 Correlograma da série de primeiras diferenças Enquano na Figura 9 confirma-se a não-esacionariedade nos dados originais, na Figura 0 apenas o primeiro valor de auocorrelação é significaivo ou seja: r >,6 com runcameno após essa defasagem (pode ser observado que os valores sucessivos das auocorrelações são não significaivos e próximos de zero com <,6 r k para k = ou 3 e r <, para k > 3). k 8

29 Figura Correlograma parcial da série de primeiras diferenças Na Figura é apresenado o correlograma parcial da série de primeiras diferenças. Observa-se que apenas o primeiro valor das auocorrelações parciais é significaivo, com r = 3,345 >. Há um runcameno de valores, pois r < para kk k >, após essa defasagem. Enreano os valores em módulo da esaísica r para kk k são,9;,455;,53;... indicando que o runcameno no correlograma parcial não é ão abrupo quano no correlograma (nesse, os valores em módulo da esaísica r k são 0,648; 0,75;,039; 0,88;...). Dessa forma, o modelo enaivo para represenar a série é o modelo de médias móveis Z = θ (B) ε. Nesse exemplo, deve-se avaliar a inclusão ou não do ermo consane α. Ou seja: Z = α + θ (B) ε, se α for incluído. Observa-se que, no modelo de médias móveis, α = μ. Assim, obém-se a esimaiva amosral Z para μ, de forma que: 9

30 0 Z = Z = = 0, S 0 (Z Z) = = (0 + ) Z =,04 0,00543 =, logo: = 0,0536 <,04 / (0 + ) O valor da esaísica permie concluir que o ermo consane α não deve ser incluído no modelo, o que significa Z esá fluuando em orno de uma média zero. Como a série original é Y (Z é a série de diferenças) não há endência deerminísica nos valores observados. Qualquer endência será esocásica. Assim, o modelo enaivo para represenar a série é do ipo MA() e não coném ermo consane, sendo escrio: Z = ε - θ ε -. Como Z = Y Y -, o modelo é escrio: Y = Y - + ε - θ ε -. Considerando que se conhece a esimaiva final do parâmero θ que obedece às condições de esacionariedade e inveribilidade, θˆ = 0,3545, o modelo assume a forma: Y = Y - + ε + 0,3545 ε -. Com esse modelo enaivo pode-se ober as esimaivas dos valores das vendas para, enão, prever-se vendas fuuras. Assim, obém-se a esimaiva Ŷ ou seja: Ŷ = +. Y0 + εˆ 0,3545εˆ 0 Enreano, Y 0 não é conhecido (corresponde a período anerior ao que se em dados), o que mosra necessário, como orienação, que seja observado que:. A previsão ponual dos fuuros desvios aleaórios é zero. Assim: εˆ = 0.. A previsão ponual dos desvios aleaórios passados é obida com informação do passado ou seja, equivale a ( Y k Ŷ k ) se Ŷ k for conhecido, e 0, se calculado). Ŷ k não for conhecido (ou se k Ŷ não iver podido ser 30

31 Nesse caso, Y 0 Ŷ 0 não pode ser obida pois Ŷ 0 não pode ser calculado, assim como Ŷ, pois Y 0 não é conhecido. Os valores seguines são obidos da mesma forma: Ŷ = Y + εˆ + 0,3545εˆ, εˆ = 0 e εˆ = Y Ŷ = 0 pois Ŷ não foi obido, logo Ŷ = = 5. Por ouro lado, Ŷ 3 εˆ + εˆ = Y + 3 0,3545, sendo 3 εˆ = 0 e εˆ = Ŷ = 4, = Y -0,5936, logo Ŷ 3 = 4, ,3545( 0,5936) = 4, 960. Y - Ŷ0 Sucessivamene, obém-se as esimaivas aé Ŷ 0 = 4,9553, de forma que = 5,6453 4,9553 0,6900. A parir desse pono, pode-se uilizar o 0 = modelo para previsão de valores fuuros. Sendo Ŷ = Y + εˆ θˆ εˆ, pode-se escrever: Ŷ + τ() Y + τ- + + τ + τ- períodos à frene de. = εˆ θˆ εˆ, sendo Ŷ -τ () a previsão feia no período para τ A previsão das vendas de oalhas de papel absorvene para o período é: Ŷ 0 (0) = Y0 + εˆ ( 0,3545)(Y0 Ŷ ) = 5, ,3545 (0,6900) = 5,8899. Uilizando-se um pacoe esaísico pode-se ober o desvio padrão do erro de previsão para cada período a parir do limie do amanho de amosra. Assim, o inervalo de confiança com 95% de probabilidade de coner o verdadeiro valor Y é [5,8899,036; 7,96] obido por pacoe esaísico compuacional (Bowerman e O Connel, 987). Pode-se afirmar que, uma vez conhecida, se a observação das vendas Y perencer ao inervalo, a previsão foi bem sucedida. De esudos aneriores, sabe-se que a meodologia de Box-Jenkins é precisa para o curo-prazo. O uso do modelo a parir desse pono permie ober: Ŷ = Y + εˆ θˆ εˆ, sendo usado no lugar do valor observado Y (supondo-se não conhecido) a sua esimaiva conhecida ou seja: Ŷ (0). 3

32 Da mesma forma, o valor Ŷ corresponde na verdade a Ŷ (0) = Ŷ (0) + εˆ θˆ εˆ = 5, , sendo εˆ = 0 pois Y não foi observado. Assim, Ŷ (0) = 5,8899. Observa-se que os sucessivos valores ponuais previsos são iguais ao valor previso para o período, equivalene a τ =. Isso permie dizer que a memória do modelo MA() é de um período. Da mesma forma à anerior, obendo-se o desvio padrão do erro de previsão por pacoe esaísico, o inervalo de confiança é [5,8899 3,478, 9,377]. Observase que, quano maior τ, maior é o desvio padrão do erro de previsão e o inervalo da previsão, o que significa mais imprecisa ela é. De forma geral, Ŷ0+ τ (0) = Y0+ τ + εˆ 0+ τ θˆ εˆ 0+ τ, o que significa que, para τ, εˆ 0 + τ = εˆ 0+ τ = 0 e Ŷ0 + τ (0) = Ŷ0+ τ- (0) + εˆ 0+ τ θˆ εˆ 0+ τ = 5,8899. Na medida em que novos valores forem conhecidos, por exemplo, Y = 6,099, pode-se calcular = Y - Ŷ (0) 0,00. εˆ = Assim, () = Y + εˆ θˆ εˆ 6,879 e os valores sucessivos são Ŷ = recalculados, como é exemplo Ŷ 3 () = 6, Esimação do Modelo Seja: d d φ (B)( B) y = θ(b)ε, onde w ( B) y A equação pode ser reescria como: =. ε d = θ (B) φ(b)(- B) y, ou seja: ε = θ (B) φ(b) w O objeivo da esimação é enconrar um conjuno de parâmeros (θ e φ) que minimizam a soma do quadrado dos erros, de forma que: S( φ,... φp,θ,...,θ q ) = ε 3

33 A esimaiva amosral dos parâmeros dá origem à minimização do somaório do quadrado dos resíduos do modelo: S( φ ˆ,...ˆ,θˆ,...,θˆ φp q ) = εˆ Na presença dos ermos de médias móveis, há não-linearidade. Logo, usa-se um procedimeno ieraivo de esimação não-linear para ober os valores das esimaivas dos parâmeros do modelo φ ˆ,...ˆ,θˆ,...,θˆ ) que minimizam ( φ p q εˆ. Uma vez que os parâmeros enham sido esimados, é preciso esar se os resíduos êm disribuição aleaória de média zero (pelo ese da esaísica Q de Box- Pierce, por exemplo). O procedimeno ieraivo de esimação não-linear dos parâmeros permie que se ese a significância desses esimadores por meio da esaísica. Além disso, é preciso verificar se esses parâmeros obedecem às condições de esacionariedade e inveribilidade. Após o exame da aleaoriedade dos resíduos da esimação e da significância dos esimadores, pode ser preciso redefinir o modelo, repeir a esimação e realizar novos exames para ese da adequação do modelo. Uma vez obida saisfação com o modelo, ele pode ser usado para previsão. Algumas vezes, mais de um modelo enaivo é considerado adequado após o exame da aleaoriedade dos resíduos e das propriedades esaísicas dos esimadores. Nesse caso, pode-se proceder ao ese da simulação ou seja, à comparação enre os valores gerados pelos modelos e os valores amosrais da observação y, obendo-se a soma do quadrado dos desvios caso a caso. Aquele modelo que corresponder ao menor somaório deve ser considerado o mais adequado. Enreano, sugere-se ambém reer as especificações alernaivas e uilizá-las para a previsão e, com base na avaliação do desempenho das previsões, escolher a especificação que pareça ser mais perinene com a siuação analisada. 33

34 3. A Esimação Não-Linear dos Parâmeros do Modelo Assume-se que exisem T + d observações disponíveis da série homogênea não-esacionária y de ordem d ou seja: y -d+,..., y 0, y,..., y T. Após diferenciar a série d vezes, obém-se a série esacionária w (w,...w T ). Para esimar os parâmeros do modelo ARMA (p,d) associado à série w baseia-se no pressuposo da disribuição normal e na independência dos ermos do erro ε,..., ε T ou seja ε ~N(0, σ ε ). Dessa forma, pode-se definir a função de verossimilhança logarímica condicional associada aos (p+q+) parâmeros (φ,..., φ p, θ,..., θ q, σ ε ): S( φ,..., φp,θ,...,θ L = -T log σ ε σ ε q A função é dia condicional pois depende dos valores do passado e de valores não observados w 0, w -,..., w -p+ e ε 0, ε -,..., ε -q+. Max L corresponde à minimização de S(φ,..., φ p, θ,..., θ q ). ) Para a esimação dos parâmeros é preciso escolher os valores não-observados passados de w (w 0, w -,..., ec.). Como solução ao problema, Pindyck & Rubinfeld (99) propõem que esses valores sejam os valores esperados incondicionais. Assim, ε 0 =... = ε -q+ = 0 e, se o nível médio da série α = 0, w 0 =... = w -p+ = 0. Dessa forma, o problema é deerminar φ ˆ que minimizam:,...ˆ φp,θˆ,..., θˆ q T S = = [ ε φˆ,...ˆ φ p,θˆ,...,θˆ q ] A esimação não-linear pode ser obida pelo méodo ieraivo que se baseia na aproximação linear dos dois primeiros ermos da expansão da função ε φˆ,...ˆ φ,θˆ,...,θˆ ] em série de Taylor em orno de um pono correspondene ao [ p q conjuno de valores iniciais dos parâmeros φ e θ, cujo veor pode ser represenado por β 0. Represena-se w o veor dos valores da variável w, =,..., T. Assim, a aproximação linear corresponde aos dois primeiros ermos de: p+ q [ε ] [ε = [ ε w, β 0 ] + (β i - β i,0 ) β i= β ] = β 0 + i 34

35 [ε ] β p+ q + (βi - βi,0) β= β 0 i= i +... onde β i, 0 é o valor da esimaiva preliminar do parâmero β i. Fazendo-se x [ε ] = β=β e considerando que x i, e [ε w, β 0 ] correspondem β i, 0 i a valores resulanes da aplicação das respecivas funções em um deerminado pono (relaivos às esimaivas iniciais dos parâmeros + os valores de w ), pode-se escrever: simplificação. p+ q p+ q β 0 i,0 i, + i= i= [ε w, ] + β x = βixi, [ε ], onde será feio ε = [ε w, β ],0 0, para O primeiro lado de igualdade corresponde aos diferenes valores da variável dependene para =,..., T obidos com um conjuno de esimaivas iniciais de parâmeros e valores observados da série esacionária w. O segundo lado da igualdade corresponde à função linear dos parâmeros a esimar muliplicados pelos valores correspondenes das variáveis independenes obidas em orno das esimaivas iniciais dos parâmeros aos quais se soma o ermo do erro aleaório. Novas esimaivas dos β i podem, enão, ser obidas por regressão linear. À medida que novos valores das esimaivas são obidos, esses são raados como valores iniciais e o procedimeno se repee, com o recálculo dos valores das variáveis independenes e dependenes, em orno de um novo pono (correspondene a essas novas esimaivas). A regressão linear é realizada aé que os valores esimados por ela se aproximem dos valores aneriormene obidos para os parâmeros (criério de convergência). Nesse pono, se aplicam os procedimenos para avaliação da significância dos esimadores e da qualidade do ajusameno. Se for impossível ober a convergência, diferenes esimaivas preliminares devem ser definidas e, caso a impossibilidade coninue, novas especificações funcionais devem ser enadas. Observa-se que, mesmo quando a convergência ocorrer na primeira enaiva de valores iniciais, é aconselhado esar a exisência de múliplas soluções por meio da 35

36 variação desse conjuno inicial de esimadores. A esimaiva final será aquela que corresponder à menor soma do quadrado dos erros (mínimo global). 3. Exemplo do Méodo de Esimação Não-Linear Como exemplo do primeiro passo do méodo ieraivo de esimação não-linear (Pindyck & Rubinfeld, 99), seja o modelo ARMA(,) escrio como: ε φ B = w, onde w é a série esacionária. θb Esse modelo em dois parâmeros (φ e θ ). Assim: ε B x, = φ, w,0 θ =, 0 φ θ,0b B - φ x ε,0, = φ, w,0 θ =, θ 0 ( θ,0b) B x, e x, correspondem a valores numéricos calculados para =,..., T. Pela expansão dessas expressões: x, = θ,0 x, + w x, θ,0 x, θ,0 x,- - w + φ,0 w =. Esses valores são função dos valores defasados: x,-, w -, x,-, x,- e w -, assim é preciso esimar valores defasados preliminares. Logo, considerando que o nível médio da série original é α = 0, x, = x,0 = w 0 = w - = x,0 = 0. Dessa forma, gera-se a série de valores x,, onde x,0, = = x 0 e x, = θ,0 x, θ,0 x,0 w + φ,0 w 0 x, = - w x,3 = θ,0 x, θ,0 x, w + φ,0 w x,3 - θ,0 w w + φ,0 w =, e assim por diane. 36

37 O mesmo procedimeno se aplica à série de valores x,. Uma série de valores deve ser gerada para ε - φ B =, =,..., T,,0,0 w - θ,0b sendo: ε,0 = w - φ w + θ ε, onde ε 0,0 = 0.,0 -,0 -,0 Com essas rês series de valores (x,, x, e ε,0 ) pode-se esimar novos parâmeros do seguine modelo de regressão linear: ε +,0 + φ,0 x, + θ,0 x, = φx, + θ x, ε 4. Guia para a Idenificação de Modelos Sazonais Quando as séries êm comporameno em que é remarcada a presença de sazonalidade, é preciso a idenificação de uma forma paricular do modelo de Box- Jenkins de ordem (p, P, q, Q) que descreve a série emporal esacionária Z b, Z b+,.., Z n. Nesse modelo, P e Q dizem respeio às caracerísicas de médias móveis e auoregressivas do processo de geração das séries associadas ao faor sazonal. Seja o modelo ARMA muliplicaivo (na forma compacada) geral (ou seja, sazonal): φ p (B) φ P (B L ) Z = θ q (B) θ Q (B L ) ε. De forma análoga aos modelos de séries não-sazonais (ou desazonalizadas), deve-se verificar se:. O ermo consane α deve ser incluído no modelo;. Quais dos operadores φ p (B), φ P (B L ), θ q (B) e θ Q (B L ) devem ser incluídos no modelo, e 3. A ordem de cada operador que será incluído no modelo. Considerando que n Z b Z= = e n b + S Z n ( (Z Z ) ) = b = (n b + ) - / 37

38 são a média e o desvio padrão da série emporal Z b, Z b+,..., Z n, o procedimeno aproximado para decidir se Z é esaisicamene diferene de zero, e decidir pela L inclusão do ermo consane: α = μ φ p (B) φ P (B ) no modelo geral de Box-Jenkins, é Z verificar se o valor absoluo do ermo: / Sz/(n b + ) é maior que, sendo Z a média amosral e S z o desvio padrão amosral. Da mesma forma que para séries não-sazonais, se a série de valores Z b,..., Z n é a série original, a média ser zero significa que os valores da série original fluuam em orno de uma média zero. Se, por ouro lado, Z b,..., Z n represenam a série diferenciada, afirmar que a média da população é zero equivale a dizer que a série original não em endência deerminísica. Ao conrário, diz-se que exise essa endência nos valores da série. Se a série não exibe endência deerminísica, qualquer oura endência será esocásica. Além disso, para deerminar quais dos operadores φ p (B), φ P (B L ), θ q (B) e θ Q (B L ) devem ser incluídos no modelo de Box-Jenkins geral: (a) É analisado o comporameno do correlograma e do correlograma parcial para deerminar se algum operador não sazonal de ordem q, θ q (B) = ( - θ B - θ B θ q B q ), e se algum operador não sazonal auoregressivo de ordem p, φ p (B) = ( - φ B - φ B φ p B p ), devem ser uilizados, conforme a Tabela. 38

39 TABELA Em geral, é preciso deerminar se uma ransformação paricular do ipo: Z = ( B L ) D ( B) d Y ransformou a série emporal original Y, Y,..., Y n, que apresenou variação sazonal, numa série esacionária Z b, Z b+,..., Z n. Para isso, devem ser examinados os valores do correlograma de Z no nível não sazonal e no nível sazonal. Define-se (muias vezes arbirariamene) o comporameno do correlograma (ou do correlograma parcial) no nível não sazonal como sendo o comporameno da função de auocorrelação nas defasagens aé (L - 3). Para informação mensal (L = ), esse é o comporameno nas defasagens aé 9. Para informação rimesral (L = 4), esse é o comporameno na defasagem. Enreano, nesse caso, freqüenemene considera-se ambém a defasagem e possivelmene a defasagem 3 como endo valores represenaivos do nível não sazonal. Os comporamenos apresenados no correlograma e no correlograma parcial no nível não sazonal são similares àqueles analisados aneriormene. Mais especificamene, define-se as defasagens,, e possivelmene 3 como sendo as defasagens baixas não sazonais no correlograma e diz-se que um pico exise numa defasagem baixa não sazonal k no correlograma se: r >,6. k Além disso, define-se as defasagens 4, 5,..., L - 3 como as defasagens não sazonais alas no correlograma, e diz-se que exise um pico numa defasagem ala não sazonal k no correlograma se: >. r k Análise similar é feia no correlograma parcial. Diz-se que exise um pico numa defasagem não sazonal k (k =,,..., L - 3) no correlograma parcial se: r >. kk (b) Define-se o comporameno do correlograma (ou do correlograma parcial) no nível sazonal como o comporameno da função de auocorrelação nas defasagens iguais (ou próximas) a L, L, 3L e 4L. Além disso: 39

40 b. Define-se as defasagens L, L, 3L e 4L como defasagens sazonais exaas. Um pico exise numa defasagem sazonal exaa k do correlogama se: >,5 e um r k pico exise numa defasagem exaa k do correlograma parcial se: r >. kk b. Define-se as defasagens L-, L-, L+, L+, L-, L-, L+, L+, 3L-, 3L-, 3L+, 3L+, 4L-, 4L-, 4L+ e 4L+ como defasagens sazonais aproximadas. Um pico exise numa defasagem sazonal aproximada k do correlograma se: r >,6. k Exise um pico numa defasagem sazonal aproximada k do correlograma parcial se: r kk >. O valor da função de auocorrelação no correlograma (ou correlograma parcial) runca após a defasagem k no nível sazonal se não houver picos em defasagem sazonais exaas ou aproximadas maiores que essa defasagem k. Além disso, o correlograma (ou correlograma parcial) apresena padrão de decaimeno no nível sazonal se a função de auocorrelação não é runcada, mas, ao invés disso, decresce numa forma de padrão de decaimeno definida nas defasagens do nível sazonal. Em geral, pode ser mosrado que, se os valores do correlograma da série Z b, Z b+,..., Z n : () runcam razoavelmene rápido ou decaem razoavelmene rápido no nível não sazonal, e () runcam razoavelmene rápido ou decaem razoavelmene rápido no nível sazonal, enão essa série em valores que podem ser considerados esacionários. Caso o oposo ocorra, a série é considerada não esacionária e novas ransformações devem ser feias na série de observações. Quando o correlograma (ou correlograma parcial) runca razoavelmene rápido no nível não sazonal, isso ocorre frequenemene após a defasagem k. No nível sazonal, isso ocorre frequenemene após a defasagem k L +. 40

41 5. Esimaivas Preliminares dos Parâmeros do Modelo Geral Os pacoes de sofware compuacional de séries emporais começam com esimaivas ponuais preliminares dos parâmeros a serem esimados e enão aplicam uma écnica de busca ineraiva para ober as esimaivas ponuais de mínimos quadrados dos parâmeros. Alguns pacoes iniciam o procedimeno com esimaivas geradas inernamene mas ouros requerem que o usuário as forneça. Essas esimaivas devem obedecer às condições de inveribilidade e esacionariedade. As esimaivas ponuais preliminares podem ser obidas: ) Esabelecendo-se as esimaivas preliminares dos operadores φ p (B), φ P (B L ), θ q (B), θ Q (B L ) iguais a 0,. L ) Obendo-se a esimaiva preliminar de α = μφ (B) φ (B ) = p P φ B... φ p,l B L φ,l B L... φ P,L B PL ) = p B ) (- φ = μ(- φ B - = μ(- φ -... φp ) (- φ,l φ,l... φp, L ) = Z(- 0,- 0,... 0,) (- 0, 0,... 0,) onde Z é a média amosral da série emporal esacionária Z b, Z b+,..., Z n. Quando se obém as esimaivas finais de mínimos quadrados dos parâmeros do modelo, deve-se verificar se essas esimaivas saisfazem às condições de esacionariedade e inveribilidade (Tabela ). Se não as saisfizerem, iso sugere que o modelo pode não ser adequado. 4

42 Tabela - Condições de esacionariedade e de inveribilidade sobre os parâmeros de primeira e segunda ordem dos operadores φ p (B), φ P (B L ), θ q (B) e θ Q (B L ). Operador θ (B) = ( - θ B) θ (B) = ( - θ B - θ B ) θ (B L ) = ( - θ,l B L ) θ (B L ) = ( - θ,l B L - θ,l B L ) φ (B) = ( - φ B) φ (B) = ( - φ B - φ B ) φ (B L ) = ( - φ,l B L ) φ (B L ) = ( - φ,l B L - φ,l B L ) Condições de esacionariedade Nenhuma Nenhuma Nenhuma Nenhuma φ < φ + φ < φ - φ < φ < φ,l < φ,l + φ,l < φ,l - φ,l < φ,l < Condições de inveribilidade θ < θ + θ < θ - θ < θ < θ,l < θ,l + θ,l < θ,l - θ,l < θ,l < Nenhuma Nenhuma Nenhuma Nenhuma 6. Melhorias no Modelo Sazonal Tenaivo Em geral, se as esaísicas Q (ou Q) indicam que a adequação de um modelo Box-Jenkins deve ser rejeiada, deve-se invesigar o correlograma e o correlograma parcial da série de resíduos para idenificar (enaivamene) um modelo descrevendo os resíduos. Esse deve ser combinado ao modelo da série de forma a gerar um novo modelo enaivo. A Tabela 3 apresena de forma sucina os valores críicos da esaísica para idenificar picos no correlograma e no correlograma da série de resíduos. 4