Engenharia de Redes de Comunicação e Informação

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1 Engenharia de Redes de Comunicação e Informação FUNDAMENOS DE ELECOMUNICAÇÕES Colecção de Problemas 5/6 ºS Sinais e Sisemas Considere o sinal periódico + k=, A > g ( ) = g( k ), onde g ( ) = A rec / a) Calcule os coeficienes da respeciva série exponencial de Fourier b) Represene graficamene os especros de magniude e de fase de g ( ) c) Calcule a poência P de g ( ) d) Calcule o valor aproximado da largura de banda B de g ( ), al que que a poência P das componenes especrais de ( ) g conidas em B verifique P = 9 P Considere o pulso recangular p ( ) = A rec, A > a) Mosre que a ransformada de Fourier dese sinal é dada por F[ p( ) ] = P( f ) = A sinc( f) Verifique que a área delimiada por ( f ) A, independenemene do valor de b) Como se compora ( f ) P vale sempre P quando? Calcule as ransformadas de Fourier de ( ) = A exp( j f ) e de ( ) A cos( f ) e π p = π 3 Considere o sisema linear invariane com resposa impulsional h ( ) = A rec Suponha que a enrada dese sisema é o pulso p ( ) do problema anerior Deermine o sinal x o ( ) na saída daquele sisema e o respecivo especro ( f ) X o

2 4 Considere o sinal ( ) A cos( π f ) + A cos( πf ) ideal passa-baixo com ganho x i =, f > f, na enrada de um filro H e largura de banda ( f f )/ B = + a) Calcule a poência dos sinais de enrada x i ( ) e de saída ( ) x o b) Suponha agora que o filro é ideal passa-banda, cenrado em f, com ganho H e largura de banda B ( + ) c) Inerpree os resulados obidos = f f Calcule a poência do sinal de saída Sinais Aleaórios 5 Considere um sisema em empo discreo linear e invariane no empo que, a parir da sequência de enrada K x, x, x, K, gera a sequência de saída K y, y, y, K, onde, n n n+, n n n+ y n = xn + h xn n Suponha que os x n são amosras de variáveis aleaórias disribuídas, com média m e variância σ a) Calcule a média e a variância das variáveis aleaórias Y n X n, independenes e idenicamene b) Calcule o facor de correlação enre as variáveis aleaórias Y n e Y n c) Admiindo que R = E X X = σ δ é a auocorrelação m =, suponha que X [ ] { n n k} k da sequência de enrada Calcule a auocorrelação R [ k] E{ Y Y } saída k Y = da sequência de n n k 6 Considere um sisema linear e invariane no empo com resposa impulsional h ( ) δ( ) + αδ( ) =, ( ) = E{ x( ) x( τ) } = σ δ( τ) m R x τ + > Suponha que a enrada ( ) a) Calcule a média e a auocorrelação R ( τ) da saída ( ) y x em média m e auocorrelação y b) Calcule os especros de poência S x ( f ) da enrada e ( f ) c) Calcule a poência P y de saída, considerando agora que ( ) B sinc( B) B sinc( B -) h = + S y da saída 7 Considere o filro passa-baixo com função de ransferência B H( f ) = B + jf

3 Suponha que a enrada é ruído branco com densidade especral de poência consane dada por ( f ) N / Sw = o a) Calcule a densidade especral de poência da saída b) Calcule a poência de saída do filro Sisemas de ransmissão AM e FM 8 Considere o sinal de AM x ( ) A ( µ + cos( πf ) ) cos( πf ), poradora fc >> f c a) Esboce a forma de onda do sinal de AM ( ) = onde a frequência da c x c para µ =, 5, e b) Nas condições de a), e supondo que fm «f, deermine e esboce a forma de onda das saídas A e B do diagrama de blocos da figura seguine c x c ( ) Deecor de envolvene A cos ( π ( f f ) ) c + m f f B 9 Considere o sinal de AM x ( ) = A [ X + x( ) ] cos( πf + θ), onde ( ) c amosra de um sinal gaussiano de média nula e largura de banda especro de poência da mensagem é S ( f ) N / c x = x para f B c x é uma função B << fc Suponha que o, sendo nulo para os resanes valores de f Admia ainda que θ é uma variável aleaória independene do sinal modulane, com disribuição uniforme no inervalo [ π, +π] a) Deermine o especro de poência do sinal de AM e represene-o graficamene b) Escreva a expressão da função de auocorrelação do sinal de AM, e calcule a respeciva poência de ransmissão Considere uma onda periódica recangular, com média nula, ampliude A= e período, que modula em ângulo uma poradora sinusoidal de ampliude A c e frequência f c

4 a) Com A c = e 3 75 f c =, esboce as formas de onda dos sinais x PM ( ) e ( ) correspondenes, supondo que ϕ = π e que f = x FM b) Considere o discriminador de frequência cujo diagrama de blocos se apresena na figura, e onde x PM ( ) e ( ) x FM são os sinais deerminados em a) Para cada uma da enradas esboce as formas de onda dos sinais nos roços A, B e C x PM ( ) ( ) x FM d d Deecor de A envolvene B C Represenação Digial de Sinais Analógicos Num sisema de amosragem naural, o sinal analógico fone g ( ) com largura de banda B é muliplicado por um rem periódico de impulsos recangulares c ( ) Nese rem periódico, a frequência de repeição dos impulsos é f s, sendo a respeciva duração < s = / f s c( ) = c ( ), onde ( ) = rec + k = k s c a) Para f s > B, calcule e represene graficamene o especro do sinal amosrado ( ) g( ) c( ) g s = b) Supondo que o filro de reconsrução é ideal, deermine a expressão do sinal reconsruído ĝ ( ) c) Suponha agora que ( ) Asinc( W) g = e que a frequência de amosragem é f s = W /3 Deermine a expressão do sinal reconsruído ĝ ( ), considerando igualmene um filro de reconsrução ideal Uma sinusoide de ampliude 35 é quanizada usando um quanizador cuja caracerísica se ilusra na figura (a) com níveis de quanização, ±, ±, ± 3

5 4 ou 4 ou -4 - in in (a) -4 (b) a) Represene a saída (ou) do quanizador durane um período da enrada (in) b) Repia a) usando a caracerísica de quanização da figura (b), onde os níveis de quanização são ± 5, ± 5, ± 5, ± 3 5 c) A figura seguine mosra um sinal PCM onde as ampliudes + e represenam os símbolos binários e, respecivamene A palavra de código (binário naural) em comprimeno 3 Para cada um dos quanizadores do problema anerior, represene a forma de onda do sinal quanizado a parir do qual o sinal PCM foi gerado - b 3 Um sisema PCM usa um quanizador uniforme seguido de um codificador binário de 7 bis A axa de ransmissão dese sisema é 6 5 bps a) Deermine o valor máximo da largura de banda dos sinais fone para os quais o sisema opera adequadamene b) Suponha que os sinais fone referidos verificam m( ) poência do ruído de quanificação? Quano vale a

6 Codificação de Fones Digiais 4 Considere uma fone discrea sem memória com alfabeo A { m ; m m } =, cujos ; símbolos êm probabilidades de ocorrência 7, 5, 5, respecivamene a) Calcule a enropia da fone b) Deermine o código de Huffman e calcule a respeciva eficiência c) Defina o alfabeo da exensão de ª ordem da fone e calcule a respeciva disribuição de probabilidade d) Usando os resulados de (c), calcule a enropia desa exensão Compare com o resulado de (a) e comene e) Deermine o código de Huffman da exensão e calcule a respeciva eficiência Calcule a eficiência dese código referida à fone original Compare com o resulado obido em (b) e comene 5 Código de Shannon Considere o seguine méodo para gerar um código para uma fone cujos símbolos omam valores (,, K M) com probabilidades (, p,, ) 3 p K, p M respecivamene Assuma que as probabilidades esão ordenadas de al modo que p p p M K Defina i = i p k k= F, como sendo a soma das probabilidades de ocorrência de odos os símbolos cujos valores são menores do que i A palavra de código para i é o número F i [,] arredondado para uma represenação binária com l i bis, onde l i log pi l i = log p i, ie, o menor ineiro a) Mosre que o código consruído da forma descria é um código de prefixo cujo comprimeno médio verifica as desigualdades H L < H + b) Consrua o código correspondene à disribuição de probabilidade (5, 5, 5, 5)

7 ransmissão Digial em Banda de Base: Formaos de Sinalização Binários 6 Considere os seguines formaos de sinalização (códigos de linha): (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) Unipolar sem reorno a zero (NZR), Unipolar com reorno a zero (ZR), Polar NZR, Polar ZR, Bipolar, Mancheser Compare as respecivas propriedades em ermos de: imunidade a inversões de fase, adequação à sincronização emporal auomáica e eficiência especral ransmissão Digial em Banda de Base: Canal com Banda Infinia 7 Considere o impulso ( γ), α exp p ( ) =, α, γ >, caso conrário a) Suponha que p ( ) é observado na presença de ruído branco adiivo Deermine a resposa impulsional do filro adapado de araso mínimo, sujeia à resrição de energia E h = E o b) Deermine a resposa emporal do filro adapado ao impulso p ( ) e verifique o seu valor no insane = 8 Considere um sisema de ransmissão digial em banda de base que usa sinalização unipolar NZR baseada em impulsos recangulares de duação Os bis que modulam eses impulsos são equiprováveis e a poência de ransmissão vale P = dbw Suponha que o canal em banda infinia, inroduz ruído adiivo branco gaussiano com nível especral N o /, e que P R = P a) Seja Y = A + N a resposa do filro adapado no insane ópimo de amosragem, onde A é a variável aleaória que represena a resposa ao sinal ransmiido e N é a variável aleaória que resula da filragem do ruído de canal Caracerize a variável aleaória Y (média e variância) nas hipóeses H (ransmissão do bi ) e H (ransmissão do bi ) b) Escreva a expressão da probabilidade de erro em ermos da função de erro complemenar c) Repia as alíneas aneriores para o caso da sinalização unipolar ZR

8 9 Resolva o problema anerior a) para o caso da sinalização polar e b) para o caso da sinalização Mancheser Considere um sisema de ransmissão quaernário em que os símbolos (dibis) são equiprováveis O formao de sinalização usa impulsos recangulares p ( ) de duração = microseg e ampliude Vol, dando origem ao sinal PAM ( ) + x = akp( k), k= onde a va a k oma valores de acordo com a seguine abela dibi a k a) Calcule o valor da poência média P (em dbw e em dbm) do sinal PAM, bem como a respeciva eficiência especral (em baud/hz e em bps/hz) b) Represene graficamene o sinal PAM para a sequência binária c) Suponha que o canal não em perdas, ie, P R = P, e que inroduz ruído adiivo branco gaussiano com especro de poência S ( f ) N / w = o, onde 8 No = Wa/Hz O recepor, de mínima probabilidade de erro por símbolo, usa um filro adapado (i) Na ausência de ruído, calcule os quaro valores possíveis da saída do filro nos insanes ópimos de amosragem (ii) (iii) Calcule a variância das amosras de ruído na saída do filro Especifique as regiões ópimas de decisão

9 (iv) Calcule a probabilidade de erro por símbolo ransmissão Digial em Banda de Base: Canal com Banda Limiada Um compuador gera dados binários a uma axa de 56 Kbps A saída é ransmiida usando um sisema PAM em banda de base por forma a que o especro dos pulsos anes de amosragem (à saída do filro adapado de recepção) seja do ipo raised-cosine Calcule a banda de ransmissão requerida para cada um dos facores de decaímeno (rollof facors) seguines: α = 5, 5, 75 e sabendo que, nas condições do enunciado, o especro no canal em a mesma largura de banda do especro raised-cosine Um sinal analógico é amosrado, quanizado, e codificado num sinal PCM São usados 8 níveis de quanização Um impulso de sincronização é acrescenado no fim de cada palavra de código represenando uma amosra quanizada do sinal analógico O sinal PCM resulane é ransmiido aravés de um canal ideal com largura de banda KHz usando um sisema PAM quaernário por forma a ober-se pulsos com especro raised-cosine no recepor (al como no problema anerior) O facor de decaímeno vale a) Calcule a axa de ransmissão em bps b) Calcule a frequência de amosragem usada no sisema Qual é o valor máximo da largura de banda do sinal analógico suporada por ese sisema? Canais Discreos sem Memória Capacidade de canal 3 Considere o diagrama de ransição de probabilidade de um canal binário simérico, onde os símbolos de enrada são equiprováveis x = - p p y = x = - p p y = α + erfc( ) = erf ( α) = exp( u ) du, α > π α exp( α ) exp ( ) ( α ) πα α < erfc α < πα Para valores elevados de α, verifica-se

10 a) Calcule as probabilidades de ocorrência dos símbolos de saída b) Repia para o caso em que as probabilidades de ocorrência dos símbolos e na enrada são /4 e 3/4, respecivamene 4 Considere o canal binário simérico do problema anerior, onde p e p = p são as probabilidades de ocorrência dos símbolos de enrada x = e x =, respecivamene a) Mosre que a informação múua dese canal é dada por onde e I ( X;Y) = H( z) H( p) ( ) = zlog + ( z) H z b) Mosre que o valor de z = pp + z ( p )( p) log z H( p) = plog + ( p) log p p p que maximiza ( X;Y) c) Mosre que a capacidade do canal é enão I é igual a / ( ) C = H p 5 Uma imagem de elevisão a preo e branco inclui aproximadamene 5 3 pixels, cada um dos quais represena com igual probabilidade um de dez possíveis níveis de brilho Assuma que a axa de ransmissão é de 3 imagens por segundo e que a relação sinal-ruído vale 3 db Calcule o valor mínimo da largura de banda do canal necessária para suporar a ransmissão fiável (probabilidade de erro ão pequena quano se queira) dese sinal de vídeo Códigos de Blocos Lineares 6 As marizes geradora e de verificação de paridade de um código de blocos linear verificam a relação GH = Se ranspusermos ambos os membros desa igualdade, vem HG = Iso sugere que qualquer código de blocos (n,k) linear com marizes geradora e de verificação de paridade G e H, respecivamene, em um código dual (n,n-k) com mariz geradora H e de verificação de paridade G a) Parindo do código de Hamming (7,4), consrua as oio palavras do respecivo código dual b) Calcule a disância mínima do código dual deerminado em a)

11 7 Considere um código de repeição (5,) Deermine o sindroma s correspondene aos seguines padrões de erro: a) odos os possíveis padrões de erro singular; b) odos os possíveis padrões de erro duplo 8 Mosre que, para um código de Hamming, o descodificador falha se ocorrerem dois ou mais erros de ransmissão por cada palavra recebida Códigos Cíclicos 9 O polinómio 7 + X em 3 X + X + como facor primiivo Use ese polinómio como polinómio gerador de um código de Hamming (7,4) Desenhe os shif regisers que implemenam o codificador e o calculador do sindroma 3 O polinómio 7 + X em ambém 3 X + X + como facor primiivo a) Repia o problema anerior para o caso em que + X + X é o polinómio gerador de um código de Hamming (7,4) b) Compare os resulados obidos em a) com os obidos no problema anerior c) Considere os shif regisers obidos em a) Suponha que a palavra de código [ ] c = é ransmiida aravés de um canal ruidoso, sendo recebida a palavra y = [ ] Deermine sindroma polinomial ( X) que é igual ao do erro polinomial e ( X) Códigos Convolucionais 3 s de y e mosre 3 Considere o codificador com coding rae r = / e consrain lengh K = 4 da figura enrada flip-flop somador modulo- saída a) Deermine o diagrama de esados dese codificador b) Para a mensagem m =, deermine a sequência codificada c

12 c) Suponha que é recebida a sequência x = c + e, onde o padrão de erro e = d) Use o algorimo de Vierbi para ober a esimaiva da mensagem m es Espaço Vecorial de Sinais 3 Considere os quaro sinais da figura s ( ) s ( ) s 3 ( ) s 4 ( ) a) Use o méodo de orogonalização de Gram-Schmid para consruir a base oronormada que gera o espaço a que perencem os sinais ( ), s ( ), s ( ) e s ( ) s 3 4 b) Desenhe o correspondene diagrama de espaço de sinal (conselação) 33 Um conjuno de M sinais biorogonais obém-se de um conjuno de M sinais orogonais aumenando-o com os siméricos deses sinais a) A exensão do conjuno de sinais orogonais para o conjuno de sinais biorogonais maném inalerada a dimensão do espaço de sinal Porquê? s ( ) ( ) s b) Verifique que os M = sinais da figura são orogonais Consrua a conselação do conjuno de sinais biorogonais obido a parir dos sinais dados, sobre uma base oronormada de sinais φ ( ) e ( ) φ 34 Considere o par de sinais s i ( ) e ( ) s j, definidos no mesmo inervalo de empo com duração, e perencenes ao espaço de sinal gerado pela base oronormada definida pelos sinais { n ( )} n N = φ a) Mosre que o produo inerno daquele par de sinais é dado por

13 onde s i e j s = i( ),s j( ) si( ) s j( ) d = si s j s são os vecores que represenam os sinais s i ( ) e ( ) b) No seguimeno do resulado anerior, mosre que s j, respecivamene ( s ( ) s ( ) ) i j d = s s i j 35 Considere a conselação de sinais biorogonais obida na resolução de 33b) O canal de ransmissão inroduz ruído adiivo branco e gaussiano com especro de poência S ( f ) N / a) Desenhe o diagrama de blocos do recepor ópimo w = o b) Deermine a expressão da probabilidade de erro por símbolo em ermos da função de erro complemenar Modulações Digiais 36 Considere o sisema PSK quaernário que usa os sinais onde f c = nº ineiro >> s n E π cos πf + n, 4, ( ) = c, n =,3,5, 7 caso conrário a) Deermine uma base oronormada de sinais que gera o espaço a que perencem os sinais aneriores b) Desenhe a conselação dos sinais ( ), n =,3,5, 7 decisão do recepor ópimo s n,, e represene as regiões de c) Desenhe o diagrama de blocos do recepor ópimo e deermine o algorimo mais simples a ser implemenado pelo bloco de decisão d) Deermine, em ermos da função de erro complemenar, a expressão da probabilidade de erro por símbolo do recepor ópimo 37 Considere um sisema FSK coerene, onde os sinais s ( ) e ( ) símbolos e, respecivamene, são definidos por s, represenando os

14 s ( ),s ( ) f A π ± = c cos fc,, b caso conrário Assuma que f c >> f e que fc b = nº ineiro >> a) Calcule o valor mínimo de f para o qual os sinais s ( ) e ( ) s são orogonais b) Deermine valor de f que minimiza a probabilidade de erro por símbolo do recepor ópimo c) Para o valor de f obido em b), deermine o aumeno de E b / N o necessário para que ese sisema FSK coerene enha o mesmo desempenho que o sisema PSK binário coerene